Math 29.07.2008 � 2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 1
Table of Integrals1) x dx
nxn nÚ =
++1
11
2) 1x
dx xÚ = ln
3) udv uv vduÚ Ú= -
4) u x v x dx u x v x v x u x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )¢ = - ¢Ú Ú5)
1 1ax b
dxa
ax b+
= +Ú ln( )
6) 1 1
2( )x adx
x a+= -
+Ú
7) ( ) ( )x a dx x ax
nn n+ = + +
+ÊË
�¯Ú a
1+ n 1, n π -1
8) x x a dxx a nx x a
n nn
n( )
( ) ( )( )( )
+ = + + -+ +Ú+1
2 1
9) dx
xx
1 21
+=Ú -tan
10) dx
a x ax a2 2
11
+=Ú -tan ( / )
11) xdx
a xa x2 2
2 212+
= +Ú ln( )
12) x dx
a xx a x a
2
2 21
+= -Ú -tan ( / )
13) x dx
a xx a a x
3
2 22 2 2 21
212+
= - +Ú ln( )
14) ( ) tanax bx c dxac b
ax b
ac b
2 12
12
2
4
2
4+ + =
-
+
-
ÏÌÔ
ÓÔ
¸ýÔ
þÔ- -Ú
15) 1 1
( )( )ln( ) ln( )
x a x bdx
b aa x b x
+ +=
-+ - +[ ]Ú , a bπ
16) x
x a x bdx
a ba a x b b x
( )( )ln( ) ln( )
+ +=
-+ - +[ ]Ú 1
, a bπ
� 2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 2
17) x
x adx
a
a xa x
( )ln( )
+=
++ +Ú 2 , a bπ
18) x
ax bx cdx
ax bx c
a
b
a ac b
ax b
ac b2
2
21
22 4
2
4+ += + + -
-
+
-
ÏÌÔ
ÓÔ
¸ýÔ
þÔÚ -ln( )
tan
19) x adx x a- = -Ú 23
3 2( ) /
20) 1
2x a
dx x a±
= ±Ú
21) 1
2a x
dx a x-
= -Ú
22) x x adx a x a x a- = - + -Ú 23
25
3 2 5 2( ) ( )/ /
23) ax bdxb
a
xb ax+ = +Ê
Ë�¯ +Ú 2
323
24) ( ) /ax b dx b axb
a
bx ax+ = + + +Ê
ËÁ��̄Ú 3 2
2 225
45
25
25) x
x adx x a x a
±= ±( ) ±Ú 2
32
26) x
a xdx x a x a
x a x
x a-= - - - -
-È
ÎÍ
ù
ûúÚ -tan 1
27) x
x adx x x a a x x a
+= + - + +[ ]Ú ln
28) x ax bdxb
a
bx
a
xb ax+ = - + +
Ê
ËÁ��̄ +Ú 4
15
215
25
2
2
2
29) x ax bdxb x
a
xb ax
b a x b ax
a+ = +
Ê
ËÁ��̄ + -
+ +( )Ú 4 2
2 2
4
3 2 2
3 2
/
/
ln
30)
x ax bdxb x
a
bx
a
xb ax
b a x b ax
a
3 22
2
3 2 5 2
3
5 2
8 12 3
2 2
8
// /
/
ln
+ = - + +Ê
ËÁ��̄ +
-+ +( )
Ú
31) x a dx x x a a x x a2 2 2 2 2 2 212
12
± = ± ± + ±ÊË
�¯Ú ln
32) a x dx x a x ax a x
x a2 2 2 2 2 1
2 2
2 212
12
- = - - --
È
ÎÍÍ
ù
ûúúÚ -tan
Math 29.07.2008
Math 29.07.2008 � 2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 3
33) x x a x a2 2 2 2 3 213
± = ±Ú ( ) /
34) 1
2 22 2
x adx x x a
±= + ±È
ÎÍùûúÚ ln
35) 1
2 21
2 2
2 2a x
dxx a x
x a-= - -
-
È
ÎÍÍ
ù
ûúú
-Ú tan
36) x
x adx x a
2 22 2
±= -Ú
37) x
a xdx a x
2 22 2
-= - -Ú
38) x
x adx x x a x x a
2
2 22 2 2 21
212±
= ± + ±ÈÎÍ
ùûúÚ m ln
39) x
a xdx x a x a
x a x
x a
2
2 22 2 1
2 2
2 212
12-
= - - - --
È
ÎÍÍ
ù
ûúúÚ -tan
40)
ax bx cb
a
xax bx c
ac b
a
ax b
aax bc c
2 2
2
3 22
4 2
4
8
22
+ + = +ÊË
�¯ + +
+ - + + + +ÊËÁ
��̄
Ú
/ ln
41)
x ax bx cx bx
a
ac b
aax bx c
b ac b
a
ax b
aax bc c
23 2
22
2
5 22
3 128 3
24
4
16
22
+ + = + + -Ê
ËÁ��̄ + +
- - + + + +ÊËÁ
��̄
Ú
( )ln/
42) 1 1 2
22
2
ax bx cdx
a
ax b
aax bx c
+ += + + + +È
ÎÍùûúÚ ln
43) x
ax bx cdx
aax bx c
b
a
ax b
aax bx c
22
3 221
2
22
+ += + + - + + + +È
ÎÍùûúÚ / ln
44) ln lnxdx x x xÚ = -
45) ln( ) ln( )ax b dxax b
aax b x+ = + + -Ú
46) ln( ) ln( ) tana x b dx x a x bb
a
ax
bx2 2 2 2 2 2 12
2± = ± + ÊË
�¯ -Ú -
47) ln( ) ln( ) tana b x dx x a b xa
b
bx
ax2 2 2 2 2 2 12
2- = - + ÊË
�¯ -Ú -
� 2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 4
48) ln( ) tan lnax bx c dxa
ac bax b
ac bx
b
ax ax bx c2 2 1
221
42
42
2+ + = - +
-
È
ÎÍÍ
ù
ûúú- + +Ê
Ë�¯ + +( )Ú -
49) x ax b dxb
ax x x
b
aax bln( ) ln( )+ = - + -
Ê
ËÁ��̄ +Ú 2
14
12
2 22
2
50) x a b x dx x xa
ba bxln( ) ln( )2 2 2 2 2
2
22 21
212
- = - + -Ê
ËÁ��̄ -Ú
51) e dxa
eax axÚ = 1
52) xe dxa
xei
ai axax axÚ = + ( )1
2 3 2p/ erf where erf x e dttx
( ) = -Ú2 2
0p
53) xe dx x ex xÚ = -( )1
54) xe dxx
a aeax axÚ = -Ê
ËÁ��̄
12
55) x e dx e x xx x2 2 2 2Ú = - +( )
56) x e dx ex
a
x
a aax x2
2
2 32 2Ú = - +
Ê
ËÁ��̄
57) x e dx e x x xx x3 3 23 6 6Ú = - + -( )
58) x e dxa
n axn ax nÚ = -( ) + -11
1G[ , ] where G( , )a x t e dta tx
= - -�Ú 1
59) e dx ia
ix aax2
2Ú = - ( )perf
60) sin cosxdx xÚ = -
61) sin sin2
214
2xdxx
xÚ = -
62) sin cos cos3 34
112
3xdx x xÚ = - +
63) cos sinxdx xÚ =
64) cos sin2
214
2xdxx
xÚ = +
65) cos sin sin3 34
112
3xdx x xÚ = +
66) sin cos cosx xdx xÚ = - 12
2
Math 29.07.2008
Math 29.07.2008 � 2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 5
67) sin cos sin sin2 14
112
3x xdx x xÚ = -
68) sin cos cos cosx xdx x x2 14
112
3Ú = - -
69) sin cos sin2 2
81
324x xdx
xxÚ = -
70) tan ln cosxdx xÚ = -
71) tan tan2 xdx x xÚ = - +
72) tan ln[cos ] sec3 212
xdx x xÚ = +
73) sec lncos( / ) sin( / )cos( / ) sin( / )
xdxx x
x xÚ = +-
2 22 2
74) sec tan2 xdx xÚ =
75) sec sec tan lncos( / ) sin( / )cos( / ) sin( / )
3 12
2 22 2
xdx x xx x
x xÚ = + +-
76) sec tan secx xdx xÚ =
77) sec tan sec2 212
x xdx xÚ =
78) sec tan secn nx xdxn
xÚ = 1, n π 0
79) csc ln tan( / )xdx xÚ = 2
80) csc cot2 xdx x= -Ú81) csc cot csc ln cos( / )sin( / )3 1
212
2 2xdx x x x x= - - ( )Ú82) csc cot cscn nx xdx
nxÚ = - 1
, n π 0
83) sec csc ln tanx xdx xÚ =
84) x xdx x x xcos cos sinÚ = +
85) x xdx x x x x2 22 2cos cos ( )sinÚ = + -
86) x xdx i n ix n ixn n ncos ( , ) ( , )Ú = - ( ) + - + -( ) +{ }+12
1 1 11 G G
87) x xdx i n ix n ixn n nsin ( ) ( , ) ( ) ( , )Ú = - + - - - + -{ }12
1 1 1G G
� 2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 6
88) e xdx e x xx xsin sin cosÚ = -[ ]12
89) e ax dxb a
e b ax a axbx bxsin( ) sin cosÚ =+
-[ ]12 2
90) xe xdx e x x x x xx xsin cos cos sinÚ = - +[ ]12
91) e xdx e x xx xcos sin cosÚ = +[ ]12
92) e ax dxb a
e a ax b axbx bxcos( ) sin cosÚ =+
+[ ]12 2
93) xe xdx e x x x x xx xcos cos sin sinÚ = - +[ ]12
94) cosh sinhxdx xÚ =
95) e bxdxe
a ba bx b bxax
axcosh cosh sinhÚ =
--[ ]2 2
96) sinh coshxdx xÚ =
97) e bxdxe
a bb bx a bxax
axsinh cosh sinhÚ =
-- +[ ]2 2
98) e xdx e ex x xtanh tan ( )Ú = - -2 1
99) tanh ln coshaxdxa
axÚ = 1
100) cos cosh sin cosh cos sinhax bxdxa b
a ax bx b ax bxÚ =+
+[ ]12 2
101) cos sinh cos cosh sin sinhax bxdxa b
b ax bx a ax bxÚ =+
+[ ]12 2
102) sin cosh cos cosh sin sinhax bxdxa b
a ax bx b ax bxÚ =+
- +[ ]12 2
103) sin sinh cosh sin cos sinhax bxdxa b
b bx ax a ax bxÚ =+
-[ ]12 2
104) sinh cosh sinh( )ax axdxa
ax axÚ = - +[ ]14
2 2
105) sinh cosh cosh sinh cosh sinhax bxdxb a
b bx ax a ax bxÚ =-
-[ ]12 2
Math 29.07.2008