Click here to load reader
Upload
neva-nevchek
View
210
Download
19
Embed Size (px)
Citation preview
S V E U Č I L I Š T E U Z A G R E B U U N I V E R S I T Y O F Z A G R E B
G E O D E T S K I F A K U L T E T F A C U L T Y O F G E O D E S Y
Z a v o d z a g e o m a t i k u D e p a r t m e n t o f G e o m a t i c s
F r a A n d r i j e K a č i ć a M i o š i ć a 26, 10 000 Z a g r e b, H r v a t s k a , Tel.: +385 (1) 46 39 237
K a t e d r a z a d r ž a v n u i z m j e r u C h a i r o f S t a t e S u r v e y
___________________________________________________________________________
Prof. dr. sc. Tomislav Bašić Marko Pavasović, dipl. ing.
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
- Interni rukopis ‐
Ak. god. 2012./2013.
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 2
Sadržaj
Redni broj zadatka
Tematika Stranica
1
Računanje parametara nivo-elipsoida, ravninskih koordinata naslijeđene i službene kartografske projekcije Republike Hrvatske te njenih elemenata.
4
2
Redukcija mjerenih veličina s fizičke površine Zemlje na plohu elipsoida uz primjenu Helmertove 7-parametarske 3D transformacije upotrebom složene (potpune) i jednostavne matrice rotacije.
8
3 Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u dinamički sustav visina.
12
4 Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u sustav normalnih visina.
16
5 Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u ortometrijski sustav visina.
20
6 Izjednačenje mikro triango-trilateracijske mreže po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata.
24
7 Računanje azimuta projekcije geodetske linije u ravnini naslijeđene kartografske projekcije Republike Hrvatske.
29
8 Primjena T7D službenog transformacijskog modela Republike Hrvatske.
31
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 3
Predgovor
Poštovane kolegice i kolege studenti,
U svrhu što boljeg razumijevanja i savladavanja sadržaja i problematike vježbi kolegija
„Državna izmjera“ (VI semestar) Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike na
Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, kojeg pokriva Katedra za državnu izmjeru,
za Vas smo pripremili primjere riješenih numeričkih zadataka.
Numerički zadatci i njihova rješenja s popratnim pojašnjenjima pojedinih koraka
rješavanja obuhvaćaju programe vježbi iz kolegija i prvenstveno su namijenjeni
studentima kao pomoć prilikom pripreme za kolokvij i ispit.
Ovaj (zasad) interni rukopis svojevrstan je nastavak na vježbe iz kolegija „Geodetski
referentni okviri“ IV semestra. Podrazumijeva ali i ponavlja već usvojena znanja o
konverziji i transformaciji geodetskih koordinata, upoznaje studenta s određivanjem
parametara nivo-elipsoida, koordinatnim sustavima elipsoidne geodezije, značenjem i
primjenom fizikalnih parametara pri redukciji mjerenih veličina s fizičke površine
Zemlje na plohu elipsoida, posrednim izjednačenjem geodetskih mreža te sustavima
visina, sukladno programu vježbi iz kolegija.
Sva numerička rješenja izračunata su primjenom MS Excel 2013 programa kao dio MS
Office 2013 Plus programskog paketa (uz korištenje Macro naredbi odnosno VBA - Visual
Basic for Applications) iz razloga široke primjene navedenog programa među
studentskom populacijom Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu. Zbog ograničenja
Visual Basic alata čijoj porodici pripada i MS Excel u vidu broja signifikantnih znamenaka
koje program uzima u obzir prilikom računanja, numerička rješenja mogu odstupati od
onih izračunatih primjenom nekog od programskih jezika koji ne pripada navedenoj
porodici.
Nadamo se da će Vam pripremljeni materijali uvelike olakšati savladavanje gradiva
kolegija, samim time i pomoći u studiranju i uvjerenju da rješavanje numeričkih
zadataka u inženjerskim strukama ne predstavlja nikakav problem nego naprotiv,
neizostavan dio struke i čestu potrebu u njenoj praksi.
Zahvaljujemo se kolegi i demonstratoru, studentu Igoru Grgcu na konstruktivnim
diskusijama i svekolikoj pomoći oko pripreme numeričkih rješenja zadataka.
Autori
U Zagrebu, 12.03.2013.
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 4
1) Na temelju zadanih veličina u tablici 1.1 i 1.2 potrebno je odrediti:
razliku radijusa određenog kao geometrijska sredina: radijusa elipsoida dobivenog na osnovu aritmetičke sredine, radijusa zakrivljenosti sfere iste površine kao elipsoid te radijusa sfere istog volumena kao elipsoid i Grunertovog radijusa zakrivljenosti točke T1 na istom
razliku duljina luka meridijana od ekvatora točke T 1 na elipsoidu za „staru“ (naslijeđenu) i „novu“ (službenu) Gauss-Krügerovu/Transverse Mercatorovu projekciju RH
razliku početnih geodetskih širina točke T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH
normalnu vrijednost ubrzanja sile teže za točku T1
Tablica 1.1: Parametri elipsoida
Velika poluos elipsoida (a): 6378136.1234 m
Geocentrična gravitacijska konstanta (GM): 3.986004418E+14 kgm3s-2
Kutna brzina rotacije (): 7.292115E-05 rads-1
Dinamički faktor spljoštenosti (J2): 0.00108263
Tablica 1.2: Koordinate točke T1
ET1 = 640133.337 m
NT1 = 5041906.127 m
hT1 = 143.495 m
Rješenje: 1. korak: Određivanje male poluosi b iterativnim postupkom. Iterativni postupak određivanja male poluosi b nivo-elipsoida primjenjuje se u slučaju nepoznavanja spljoštenosti elipsoida (f ili μ), odnosnom prilikom zadavanja dinamičkog faktora spljoštenosti (oblika) J2 primjenom izraza (2.3) - (2.8) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija 4. iteracija 5. iteracija
b0 6000000.0000 6357528.2251 6356749.7136 6356751.4473 6356751.4434
m 0.003256177 0.003450207 0.003449784 0.003449785 0.003449785
e'2 0.130017234 0.006493498 0.006740044 0.006739495 0.006739496
2q0 0.011244478 0.000138764 0.000146710 0.000146692 0.000146692
e2 0.115057744 0.006451605 0.006694920 0.006694378 0.006694379
e2 0.006451605 0.006694920 0.006694378 0.006694379 0.006694379
b 6357528.2251 6356749.7136 6356751.4473 6356751.4434 6356751.4434
Ukoliko je razlika vrijednosti male poluosi b između n-te i n-1 iteracije zanemariva odnosno ako je jednaka nuli tada je iterativni postupak konvergirao i prihvaća se rješenje zadnje iteracije.
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 5
2. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti na osnovu aritmetičke sredine primjenom izraza (2.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
R1 = 6370999.9153 m
3. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti iste površine kao i elipsoid pomoću izraza (2.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
R2 = 6399398.9364 m
4. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti istog volumena kao elipsoid pomoću izraza (2.14) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
R3 = 6370999.9153 m
5. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti kao geometrijska sredina tri prethodno izračunata radijusa (R1, R2 i R3). Geometrijska sredina dviju varijabli jest drugi korijen iz njihovog umnoška pa analogno vrijedni i za određivanje geometrijske sredine triju varijabli.
R1,2,3 = 6380452.2249 m
6. korak: Konverzija reduciranih HTRS96/TM koordinata točke T1 u nereducirane primjenom izraza (3.11) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
E_T1 = 140147.3517 m
N_T1 = 5042410.3680 m
7. korak: Konverzija nereduciranih HRTS96/TM koordinata u elipsoidne:
7.1 korak: Računanje početne geodetske širine 0 za apscisnu os x primjenom izraza (3.8) i (3.9) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
n = 0.0016792202 (treća spljoštenost)
_ = 6367448.2721
_ = 0.002518826
_ = 3.700948E-06
_ = 7.447767E-09
_ = 1.703598E-11
0 = 0.7944229194 rad
7.2 korak: Računanje pomoćnih veličina primjenom izraza (3.7) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
0 = 16°30'00''
v0 = 1.0016530981
N0 = 6389031.0483
t0 = 1.0182143869
0 = 0.05752329
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 6
7.3 korak: Računanje elipsoidnih koordinata točke T1 primjenom izraza (3.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
= 0.794177221 rad
= 0.319277051 rad
= 45°30'10''.81054
= 18°17'35''.61902
8. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti meridijanske elipse M primjenom izraza (3.1) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
M = 6367944.1593 m
9. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti meridijanske elipse N primjenom izraza (3.2) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
N = 6389025.7769 m
10. korak: Računanje Grunertovog (srednjeg) radijusa zakrivljenosti RGR primjenom izraza (3.3) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
RGR = 6378476.2585 m
11. korak: Računanje razlike između radijusa dobivenog kao geometrijska sredina (5. korak) i Grunertovog radijusa (10. korak):
R = 1975.9664 m
12. korak: Određivanje razlike duljine luka meridijana za točku T 1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH:
G() = 0 m
Razlika ne postoji jer duljina luka meridijana ne ovisi o svojstvima kartografske projekcije, već isključivo o parametrima elipsoida i geodetskoj širini! 13. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata točke T1 u nereducirane ravninske koordinate u „staroj“ (naslijeđenoj) Gauss-Krügerovoj projekciji RH :
13.1 korak: Računanje duljine luka meridijana primjenom izraza (3.5) i (3.6) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
n = 0.0016792202
= 6367448.2721
= -0.002518828
= 2.64354E-06
= -3.45262E-09
= 4.89183E-12
G() = 5040845.7700 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 7
13.2 korak: Računanje pomoćnih veličina primjenom izraza (3.4) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
e' = 0.082094433
= 0.057537679
N = 6389025.7768
t = 1.017714082
0 = 18°00'00''
l = 0.005117785
13.3 korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata primjenom izraza (3.10) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
x_ = 5040887.5987 m
y_ = 22916.8709 m
14. korak: Računanje početne geodetske širine za točku T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) Gauss-Krügerovoj projekciji RH:
0GK = 45°30'12''.16541
15. korak: Računanje početne geodetske širine za točku T1 u HRTS96/TM (izračunato u koraku 7.1):
0HTRS96/TM = 45°31'01''.48955
16. korak: Računanje razlike početnih geodetskih širina točke T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH:
0)HTRS96/TMGK = 0°00'49''.32413
17. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže za točku T1 primjenom izraza (2.16), (2.17), (2.18) i (2.19) iz prvih te izraza (5.1) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
q0' = 0.002688041
m' = 0.003449785
e = 9.780328041 ms-2
p = 9.832187627 ms-2
0 = 9.806655736 ms-2
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 8
2) Odredite duljinu geodetske linije između stajališne točke T 1 i vizurne točke T2 na novom službenom matematičkom modelu za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj ako je zadano: Tablica 2.1: Koordinate točke T1
y = 5599258.293 m
x = 5069028.270 m
HHVRS71 = 706.173 m
NHRG2009 = 45.171 m
Tablica 2.2: Transformacijski parametri za cijeli teritorij RH (izračunati s upotrebom nove plohe geoida)
Tx = 546.60923 m
Ty = 162.32734 m
Tz = 469.48444 m
Rx = -5.90493011 "
Ry = -2.07427449 "
Rz = 11.50998645 "
Dm = -4.44106998 ppm
Tablica 2.3: Mjerene veličine na fizičkoj površini Zemlje
Mjerena udaljenost između stajališne i vizurne točke: 25327.145 m Mjereni astronomski azimut: 45°45'45''.25 Zenitna udaljenost: 40°40'40''.88 Komponenta otklona vertikale stajališne točke u smjeru meridijanske elipse (HDKS): -9.94" Komponenta otklona vertikale stajališne točke u smjeru prvog vertikala (HDKS): 6.32" Elipsoidna visina vizurne točke: 1100.543 m Koeficijent refrakcije: 0.13 Tablica 2.4: Parametri GRS80 i Bessel1841 elipsoida
Parametar GRS80 Bessel1841
a [m] 6378137.00000 6356752.31414
b [m] 6377397.15500 6356078.96300
Rješenje: 1. korak: Konverzija ravninskih koordinata stajališne točke iz reduciranih u nereducirane primjenom izraza (3.11) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija :
x_T1HDKS = 5069535.2235 m
y_T1HDKS = 99268.2198 m
2. korak: Konverzija ravninskih koordinata stajališne točke iz nereduciranih ravninskih koordinata u elipsoidne koordinate primjenom izraza (3.13), (3.7), (3.8) i (3.9) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
T1HDKS = 45°45'31''.06070
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 9
T1HDKS = 16°16'33''.98730
HT1HVRS71 = 706.173
3. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata stajališne točku u kartezijeve pravokutne 3D koordinate primjenom izraza iz drugih auditornih vježbi kolegija „Geodetski referentni okviri“ :
XT1HDKS = 4278884.2073 m
YT1HDKS = 1249296.6664 m
ZT1HDKS = 4546617.1438 m
4. korak: Transformacija stajališne točke iz HDKS-a u HTRS96 (ETRS89):
Transformacija pomoću složene matrice rotacije Transformacija pomoću jednostavne matrice rotacije
XT1HTRS96 = 4279527.2426 m XT1
HTRS96 = 4279527.2494 m
YT1HTRS96 = 1249084.5139 m YT1
HTRS96 = 1249084.5151 m
ZT1HTRS96 = 4547059.1546 m ZT1
HTRS96 = 4547059.1711 m
U ovom koraku primijenjena je transformacija iz lokalnog u globalni geodetski datum upotrebom složene (potpune) i jednostavne matrice rotacije (u izrazu za Helmertovu 7-parametarsku 3D transformaciju) s namjerom da se egzaktno vidi utjecaj odabrane matrice rotacije na vrijednost transformiranih koordinata. Izrazi za Helmertovu 7 -parametarsku 3D transformaciju i elemente složene i jednostavne matrice rotacije nalaze se u prvim, drugim i trećim auditornim vježbama iz kolegija „Geodetski referentni okviri“. U ovom slučaju transformacije, Eulerovi kutovi rotacije definirani su za rotaciju okvira/sustava u koji (engl. „to“ system/frame) želimo transformirati koordinatu u odnosu na okvir/sustav iz kojeg (engl. „from“ system/frame) želimo transformirati koordinatu što uzrokuje promjenu „izgleda“ jednostavne matrice rotacije u odnosu na ITRFyy transformaciju, odnosno matrica se transponira (kolokvijalno govoreći mijenjaju se predznaci svih elemenata rotacijske matrice). Obzirom da rješenje ovog zadatka ovisi o vrijednosti elipsoidnih koordinata stajališne točke T 1 u nastavku će biti prikazana rješenja za oba slučaja dobivanja koordinate točke T1 u HTRS96 - transformacijom upotrebom složene i jednostavne matrice rotacije. 5. korak: Konverzija HTRS96 kartezijevih pravokutnih 3D koordinata stajališne točke u elipsoidne iterativnim postupkom opisanim u prvim auditornim vježbama iz kolegija „Geodetski referentni okviri“:
e = 0.081819191
1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija 4. iteracija
= 45°45'30''.33537 45°45'30''.25831 45°45'30''.25857 45°45'30''.25857
N = 6389122.2961 6389122.2881 6389122.2881 6389122.2881
h = 708.6772 706.2339 706.2423 706.2423
T1HTRS96 = 45°45'30''.25857
T1
HTRS96 = 45°45'30''.25878
T1HTRS96 = 16°16'16''.22654
T1
HTRS96 = 16°16'16''.22650
HT1HVRS71 = 706.2423 m
HT1HVRS71 = 706.2590 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 10
Prikazani iterativni postupak odnosi se na kartezijeve koordinate stajališne točke T1 u HTRS96 dobivene transformacijom s upotrebom složene (potpune) matrice rotacije. Analogno tome vrijedi i za rješenje dobiveno upotrebom jednostavne matrice rotacije. 6. korak: Računanje astronomskih koordinata stajališne točke na temelju komponenti otklona vertikale i elipsoidnih koordinata iste u HDKS-u primjenom izraza (6.2) i (6.3) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
= 45°45'21''.12070
= 16°16'43''.04587
7. korak: Računanje komponenata otklona vertikale stajališne točke u HTRS96 također primjenom izraza (6.2) i (6.3) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
= -9.1379 " = -9.1381 "
= 18.7115 " = 18.7115 "
8. korak: Računanje elipsoidne visine stajališne točke u HTRS96 zbrajanjem ortometrijske visine točke u HVRS71 i odgovarajuće plohe geoida HRG2009 :
hT1HTRS96 = 751.413 m hT1
HTRS96 = 751.430 m
9. korak: Računanje Laplaceove popravke primjenom izraza (6.1) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
VL = 19.21348"
VL = 19.21351"
1
2 = 45°45'26''.03652
12 = 45°45'26''.03649
10. korak: Računanje popravke za otklon vertikale primjenom izraza (6.4) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
VOV = 22.80626"
VOV = 22.80646"
1
2 = 45°45'48''.84278
12 = 45°45'48''.84295
11. korak: Računanje azimutalne redukcije primjenom izraza (6.6) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
T1T2 = 0.05816238134"
T1
T2 = 0.05816238122"
1
2 = 45°45'48''.90094
1
2 = 45°45'48''.90111
12. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti primjenom izraza (3.1) i (3.2) iz prvih, odnosno izraza (6.17) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
M = 6368230.98587 m M = 6368230.98593 m
N = 6389122.28815 m N = 6389122.28817 m
R= 6378937.92915 m R= 6378937.92921 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 11
Za duljine geodetskih linija d < 30 km redukciju azimuta zbog prijelaza s azimuta normalnog presjeka na azimut geodetske linije (VNP-GL) nije potrebno računati jer je nivo signifikantnosti navedene redukcije ispod točnosti računanja/određivanja azimuta! 13. korak: Redukcija zbog zakrivljenosti putanje signala primjenom izraza (6.14) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
S1 = -0.00376307883455 m S1 = -0.00376307883448 m
S1 = 25327.1412 m
S1 = 25327.1412 m
Zbog izrazito male razlike u vrijednostima Eulerovog radijusa zakrivljenosti za postupak računanja geodetske širine promatrane točke u kojem se koristila složena, odnosno jednostavna matrica rotacije (pri transformaciji koordinata točke iz HDKS-a u HTRS96), iznosi redukcija mjerene dužine s fizičke površine Zemlje na plohu elipsoida u oba slučaja su gotovo identične! 14. korak: Prijelaz s zakrivljene opažane prostorne duljine na tetivu između točki na fizičkoj površini Zemlje primjenom izraza (6.15) iz drugih auditornih vježbi kolegija :
S2 = -0.0003 m
S2 = -0.0003 m
S2 = 25327.1410 m S2 = 25327.1410 m
15. korak: Redukcija s tetive na fizičkoj površini Zemlje na tetivu na elipsoidu primjenom izraza (6.16) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
S3 = 25321.0589 m S3 = 25321.0591 m
16. korak: Redukcija s tetive na elipsoidu na duljinu luka normalnog presjeka primjenom izraza (6.20) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
S4 = 25321.0755 m S4 = 25321.0757 m
17. korak: Redukcija s duljine luka normalnog presjeka na duljinu geodetske linije primjenom izraza (6.22) iz drugih auditornih vježbi kolegija:
S5 = 25321.0755 m S5 = 25321.0757 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 12
3) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 3.1) odredite visine čvornih repera u dinamičkom sustavu visina uzevši u obzir službeni model za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj.
Tablica 3.1: Mjerenja u nivelmanskoj figuri
Od do dh [m] d [km] Reper ETRS89 [dms] ETRS89 [dms] u.s.t [mgal]
R1 R2 -1.36540 0.38 R1 45°06'37'' 13°46'16'' 980623.06
R2 R3 5.95963 0.84 R2 45°06'38'' 13°45'49'' 980623.34
R3 R4 -23.50444 1.13 R3 45°06'25'' 13°45'19'' 980622.34
R4 R5 -16.27527 0.99 R4 45°06'24'' 13°44'28'' 980627.28
R5 R6 7.35173 0.48 R5 45°06'27'' 13°43'49'' 980631.35
R6 R7 13.08708 0.60 R6 45°06'22'' 13°43'26'' 980629.74
R7 R8 -44.14067 0.76 R7 45°06'30'' 13°43'02'' 980627.27
R8 45°06'27'' 13°42'37'' 980636.70
HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m
Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R1 i R8 prema izrazu (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija:
CR1= 168.69315 GPU
CR8= 110.94514 GPU
2. korak: Računanje geopotencijalnih razlika na temelju mjerenih visinskih razlika:
Od do C [GPU]
R1 R2 -1.33894
R2 R3 5.84415
R3 R4 -23.04904
R4 R5 -15.96001
R5 R6 7.20933
R6 R7 12.83356
R7 R8 -43.28575
3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota :
Elementi jednadžbi popravaka
A
l
e
Ae
s
1 0 0 0 0 0
167.35421
1
1
-166.35421
-1 1 0 0 0 0
5.84415
1
0
-5.84415
0 -1 1 0 0 0
-23.04904
1
0
23.04904
0 0 -1 1 0 0
-15.96001
1
0
15.96001
0 0 0 -1 1 0
7.20933
1
0
-7.20933
0 0 0 0 -1 1
12.83356
1
0
-12.83356
0 0 0 0 0 -1
-154.23089
-1
153.23089
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 13
Matrica težina mjerenja
P
2.632 0 0 0 0 0 0
0 1.190 0 0 0 0 0
0 0 0.885 0 0 0 0
0 0 0 1.010 0 0 0
0 0 0 0 2.083 0 0
0 0 0 0 0 1.667 0
0 0 0 0 0 0 1.316
Elementi normalnih jednadžbi
N
3.82206 -1.19048 0 0 0 0
-1.19048 2.07543 -0.88496 0 0 0
0 -0.88496 1.89506 -1.01010 0 0
0 0 -1.01010 3.09343 -2.08333 0
0 0 0 -2.08333 3.75000 -1.66667
0 0 0 0 -1.66667 2.98246
n
Ne
AtPs
Ne-n
s_
433.448495
2.631579
-430.816916
-430.816916
-429.816916
27.354698
0.000000
-27.354698
-27.354698
-26.354698
-4.276159
0.000000
4.276159
4.276159
5.276159
-31.140659
0.000000
31.140659
31.140659
32.140659
-6.369833
0.000000
6.369833
6.369833
7.369833
224.324654
1.315789
-223.008865
-223.008865
-222.008865
Rješavanje normalnih jednadžbi
Qxx
Qxxe
x
0.35212 0.29050 0.20761 0.13498 0.09977 0.05575
1.14073
167.35411
0.29050 0.93266 0.66653 0.43336 0.32031 0.17900
2.82236
173.19805
0.20761 0.66653 1.28388 0.83475 0.61699 0.34479
3.95454
150.14872
0.13498 0.43336 0.83475 1.18641 0.87691 0.49004
3.95645
134.18846
0.09977 0.32031 0.61699 0.87691 1.00293 0.56046
3.47737
141.39767
0.05575 0.17900 0.34479 0.49004 0.56046 0.64849
2.27853
154.23108
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica
(Ne)tQxxe = 6.000000 = u Računanje popravaka mjerenja
Ax
l
v [GPU]
167.35411
-
167.35421
=
-0.000097
5.84394 5.84415 -0.000214
-23.04932 -23.04904 -0.000288
-15.96026 -15.96001 -0.000252
7.20921 7.20933 -0.000122
12.83341 12.83356 -0.000153
-154.23108 -154.23089 -0.000194
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 14
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja
AtPv
vtPv = 0.0000003364
0.00000
-ltPv = 0.0000003364
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Kontrola izjednačenih mjerenja
L
v
L_
F_
-1.33894
+
-0.00010
=
-1.33904
,
-1.33904
5.84415 -0.00021 5.84394 5.84394
-23.04904 -0.00029 -23.04932 -23.04932
-15.96001 -0.00025 -15.96026 -15.96026
7.20933 -0.00012 7.20921 7.20921
12.83356 -0.00015 12.83341 12.83341
-43.28575 -0.00019 -43.28595 -43.28595
Ocjena točnosti referentnog mjerenja
s0 = 0.00058 GPU
Ocjena točnosti mjerenja i nepoznanica
s1 = 0.00036 GPU sR2 = 0.00034 GPU
s2 = 0.00053 GPU sR3 = 0.00056 GPU
s3 = 0.00062 GPU sR4 = 0.00066 GPU
s4 = 0.00058 GPU sR5 = 0.00063 GPU
s5 = 0.00040 GPU sR6 = 0.00058 GPU
s6 = 0.00045 GPU sR7 = 0.00047 GPU
s7 = 0.00051 GPU
Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja
Q_
0.35212 -0.06162 -0.08290 -0.07263 -0.03521 -0.04402 -0.05575
-0.06162 0.70378 -0.18324 -0.16054 -0.07784 -0.09730 -0.12324
-0.08290 -0.18324 0.88349 -0.21597 -0.10471 -0.13089 -0.16579
-0.07263 -0.16054 -0.21597 0.80079 -0.09174 -0.11467 -0.14525
-0.03521 -0.07784 -0.10471 -0.09174 0.43552 -0.05560 -0.07042
-0.04402 -0.09730 -0.13089 -0.11467 -0.05560 0.53050 -0.08803
-0.05575 -0.12324 -0.16579 -0.14525 -0.07042 -0.08803 0.64849
s1_ = 0.00034 GPU
s2_ = 0.00049 GPU
s3_ = 0.00055 GPU
s4_ = 0.00052 GPU
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 15
s5_ = 0.00038 GPU
s6_ = 0.00042 GPU
s7_ = 0.00047 GPU
Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže na GRS80 nivo -elipsoidu za geodetsku širinu od 45° i definitivnih vrijednosti visina čvornih repera u dinamičkom sustavu visina primjenom izraza (5.1) iz drugih, odnosno izraza (2.11) iz trećih auditornih vježbi kolegija:
a = 6378137.0000 m Reper Hdin [m] GM = 3.986005E+14 m3s-2 R1 172.02705
= 7.292115E-05 rads-1 R2 170.66155
J2 = 0.00108263
R3 176.62098
b = 6356752.3141 m R4 153.11613
R5 136.84044
045 = 9.8061992 ms-2
R6 144.19213
R7 157.27917
R8 113.13776
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 16
4) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 4.1) odredite visine čvornih repera u normalnom sustavu visina uzevši u obzir službeni model za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj.
Tablica 4.1: Mjerenja u nivelmanskoj figuri
Od do dh [m] d [km] Reper ETRS89 [dms] ETRS89 [dms] u.s.t [mgal]
R1 R2 -1.36540 0.38 R1 45°06'37'' 13°46'16'' 980623.06
R2 R3 5.95963 0.84 R2 45°06'38'' 13°45'49'' 980623.34
R3 R4 -23.50444 1.13 R3 45°06'25'' 13°45'19'' 980622.34
R4 R5 -16.27527 0.99 R4 45°06'24'' 13°44'28'' 980627.28
R5 R6 7.35173 0.48 R5 45°06'27'' 13°43'49'' 980631.35
R6 R7 13.08708 0.60 R6 45°06'22'' 13°43'26'' 980629.74
R7 R8 -44.14067 0.76 R7 45°06'30'' 13°43'02'' 980627.27
R8 45°06'27'' 13°42'37'' 980636.70
HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R1 i R8 primjenom izraza (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija:
CR1 = 168.69315 GPU
CR8 = 110.94514 GPU
2. korak: Računanje geopotencijalnih razlika na temelju mjerenih visinskih razlika:
Od do C [GPU]
R1 R2 -1.33894
R2 R3 5.84415
R3 R4 -23.04904
R4 R5 -15.96001
R5 R6 7.20933
R6 R7 12.83356
R7 R8 -43.28575
3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota:
Elementi jednadžbi popravaka
A
l
e
Ae
s
1 0 0 0 0 0
167.35421
1
1
-166.35421
-1 1 0 0 0 0
5.84415
1
0
-5.84415
0 -1 1 0 0 0
-23.04904
1
0
23.04904
0 0 -1 1 0 0
-15.96001
1
0
15.96001
0 0 0 -1 1 0
7.20933
1
0
-7.20933
0 0 0 0 -1 1
12.83356
1
0
-12.83356
0 0 0 0 0 -1
-154.23089
-1
153.23089
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 17
Matrica težina mjerenja
P
2.632 0 0 0 0 0 0
0 1.190 0 0 0 0 0
0 0 0.885 0 0 0 0
0 0 0 1.010 0 0 0
0 0 0 0 2.083 0 0
0 0 0 0 0 1.667 0
0 0 0 0 0 0 1.316
Elementi normalnih jednadžbi
N
3.82206 -1.19048 0 0 0 0
-1.19048 2.07543 -0.88496 0 0 0
0 -0.88496 1.89506 -1.01010 0 0
0 0 -1.01010 3.09343 -2.08333 0
0 0 0 -2.08333 3.75000 -1.66667
0 0 0 0 -1.66667 2.98246
n
Ne
AtPs
Ne-n
s_
433.448495
2.631579
-430.816916
-430.816916
-429.816916
27.354698
0.000000
-27.354698
-27.354698
-26.354698
-4.276159
0.000000
4.276159
4.276159
5.276159
-31.140659
0.000000
31.140659
31.140659
32.140659
-6.369833
0.000000
6.369833
6.369833
7.369833
224.324654
1.315789
-223.008865
-223.008865
-222.008865
Rješavanje normalnih jednadžbi
Qxx
Qxxe
x
0.35212 0.29050 0.20761 0.13498 0.09977 0.05575
1.14073
167.35411
0.29050 0.93266 0.66653 0.43336 0.32031 0.17900
2.82236
173.19805
0.20761 0.66653 1.28388 0.83475 0.61699 0.34479
3.95454
150.14872
0.13498 0.43336 0.83475 1.18641 0.87691 0.49004
3.95645
134.18846
0.09977 0.32031 0.61699 0.87691 1.00293 0.56046
3.47737
141.39767
0.05575 0.17900 0.34479 0.49004 0.56046 0.64849
2.27853
154.23108
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica
(Ne)tQxxe = 6.000000 = u Računanje popravaka mjerenja
Ax
l
v [GPU]
167.35411
-
167.35421
=
-0.000097
5.84394 5.84415 -0.000214
-23.04932 -23.04904 -0.000288
-15.96026 -15.96001 -0.000252
7.20921 7.20933 -0.000122
12.83341 12.83356 -0.000153
-154.23108 -154.23089 -0.000194
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 18
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja
AtPv
vtPv = 0.0000003364
0.00000
-ltPv = 0.0000003364
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Kontrola izjednačenih mjerenja
L
v
L_
F_
-1.33894
+
-0.00010
=
-1.33904
,
-1.33904
5.84415 -0.00021 5.84394 5.84394
-23.04904 -0.00029 -23.04932 -23.04932
-15.96001 -0.00025 -15.96026 -15.96026
7.20933 -0.00012 7.20921 7.20921
12.83356 -0.00015 12.83341 12.83341
-43.28575 -0.00019 -43.28595 -43.28595
Ocjena točnosti referentnog mjerenja
s0 = 0.00058 GPU
Ocjena točnosti mjerenja i nepoznanica
s1 = 0.00036 GPU sR2 = 0.00034 GPU
s2 = 0.00053 GPU sR3 = 0.00056 GPU
s3 = 0.00062 GPU sR4 = 0.00066 GPU
s4 = 0.00058 GPU sR5 = 0.00063 GPU
s5 = 0.00040 GPU sR6 = 0.00058 GPU
s6 = 0.00045 GPU sR7 = 0.00047 GPU
s7 = 0.00051 GPU
Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja
Q_
0.35212 -0.06162 -0.08290 -0.07263 -0.03521 -0.04402 -0.05575
-0.06162 0.70378 -0.18324 -0.16054 -0.07784 -0.09730 -0.12324
-0.08290 -0.18324 0.88349 -0.21597 -0.10471 -0.13089 -0.16579
-0.07263 -0.16054 -0.21597 0.80079 -0.09174 -0.11467 -0.14525
-0.03521 -0.07784 -0.10471 -0.09174 0.43552 -0.05560 -0.07042
-0.04402 -0.09730 -0.13089 -0.11467 -0.05560 0.53050 -0.08803
-0.05575 -0.12324 -0.16579 -0.14525 -0.07042 -0.08803 0.64849
s1_ = 0.00034 GPU
s2_ = 0.00049 GPU
s3_ = 0.00055 GPU
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 19
s4_ = 0.00052 GPU
s5_ = 0.00038 GPU
s6_ = 0.00042 GPU
s7_ = 0.00047 GPU
Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže na GRS80 nivo-elipsoidu, srednje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže te definitivnih visina u normalnom sustavu visina primjenom izraza (5.1) iz drugih, odnosno izraza (2.21) i (2.22) iz trećih auditornih vježbi kolegija:
a = 6378137.0000 m
GM = 3.986005E+14 m3s-2
= 7.292115E-05 rads-1
J2 = 0.00108263
b = 6356752.3141 m
f = 0.003352811
m = 0.003449786
1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija
Reper 0 [ms-2] _ [ms-2] HN [m] _ [ms-2] HN [m] _ [ms-2] HN [m]
R1 9.8062990 9.8062725 172.02577 9.8060336 172.02996 9.8060336 172.02996
R2 9.8062993 9.8062729 170.66026 9.8060360 170.66439 9.8060360 170.66439
R3 9.8062960 9.8062688 176.61972 9.8060235 176.62414 9.8060235 176.62414
R4 9.8062957 9.8062721 153.11499 9.8060595 153.11831 9.8060595 153.11831
R5 9.8062965 9.8062754 136.83938 9.8060854 136.84203 9.8060854 136.84203
R6 9.8062952 9.8062730 144.19104 9.8060728 144.19399 9.8060728 144.19399
R7 9.8062973 9.8062730 157.27798 9.8060546 157.28149 9.8060546 157.28149
R8 9.8062965 9.8062790 113.13683 9.8061220 113.13865 9.8061220 113.13865
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 20
5) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 5.1) odredite visine čvornih repera u ortometrijskom sustavu visina.
Tablica 5.1: Mjerenja u nivelmanskoj figuri
Od do dh [m] d [km] Reper ETRS89 [dms] ETRS89 [dms] u.s.t [mgal]
R1 R2 -1.36540 0.38 R1 45°06'37'' 13°46'16'' 980623.06
R2 R3 5.95963 0.84 R2 45°06'38'' 13°45'49'' 980623.34
R3 R4 -23.50444 1.13 R3 45°06'25'' 13°45'19'' 980622.34
R4 R5 -16.27527 0.99 R4 45°06'24'' 13°44'28'' 980627.28
R5 R6 7.35173 0.48 R5 45°06'27'' 13°43'49'' 980631.35
R6 R7 13.08708 0.60 R6 45°06'22'' 13°43'26'' 980629.74
R7 R8 -44.14067 0.76 R7 45°06'30'' 13°43'02'' 980627.27
R8 45°06'27'' 13°42'37'' 980636.70
HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R1 i R8 primjenom izraza (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija:
CR1= 168.69315 GPU
CR8= 110.94514 GPU
2. korak: Računanje geopotencijalnih razlika na temelju mjerenih visinskih razlika:
Od do C [GPU]
R1 R2 -1.33894
R2 R3 5.84415
R3 R4 -23.04904
R4 R5 -15.96001
R5 R6 7.20933
R6 R7 12.83356
R7 R8 -43.28575
3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota (c) i približnih ortometrijskih visina (H): Elementi jednadžbi popravaka
A
lC
lH
e
Ae
sC
sH
1 0 0 0 0 0
167.35421
170.66110
1
1
-166.35421
-169.6611
-1 1 0 0 0 0
5.84415
5.95963
1
0
-5.84415
-5.95963
0 -1 1 0 0 0
-23.04904
-23.50444
1
0
23.04904
23.50444
0 0 -1 1 0 0
-15.96001
-16.27527
1
0
15.96001
16.27527
0 0 0 -1 1 0
7.20933
7.35173
1
0
-7.20933
-7.35173
0 0 0 0 -1 1
12.83356
13.08708
1
0
-12.83356
-13.08708
0 0 0 0 0 -1
-154.23089
-157.27649
-1
153.23089
156.27649
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 21
Matrica težina mjerenja
P
2.632 0 0 0 0 0 0
0 1.190 0 0 0 0 0
0 0 0.885 0 0 0 0
0 0 0 1.010 0 0 0
0 0 0 0 2.083 0 0
0 0 0 0 0 1.667 0
0 0 0 0 0 0 1.316
Elementi normalnih jednadžbi
N
3.82206 -1.19048 0 0 0 0
-1.19048 2.07543 -0.88496 0 0 0
0 -0.88496 1.89506 -1.01010 0 0
0 0 -1.01010 3.09343 -2.08333 0
0 0 0 -2.08333 3.75000 -1.66667
0 0 0 0 -1.66667 2.98246
nC
nH
Ne
433.448495
442.013360
2.631579
27.354698
27.895187
0.000000
-4.276159
-4.360723
0.000000
-31.140659
-31.755771
0.000000
-6.369833
-6.495696
0.000000
224.324654
228.754550
1.315789
AtPsC
Ne-nC
sC_
-430.816916
-430.816916
-429.816916
-27.354698
-27.354698
-26.354698
4.276159
4.276159
5.276159
31.140659
31.140659
32.140659
6.369833
6.369833
7.369833
-223.008865
-223.008865
-222.008865
AtPsH
Ne-nH
sH_
-439.381781
-439.381781
-438.381781
-27.895187
-27.895187
-26.895187
4.360723
4.360723
5.360723
31.755771
31.755771
32.755771
6.495696
6.495696
7.495696
-227.438761
-227.438761
-226.438761
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 22
Rješavanje normalnih jednadžbi
Qxx
Qxxe
xC
xH
0.35212 0.29050 0.20761 0.13498 0.09977 0.05575
1.14073
167.35411
170.66085
0.29050 0.93266 0.66653 0.43336 0.32031 0.17900
2.82236
173.19805
176.61994
0.20761 0.66653 1.28388 0.83475 0.61699 0.34479
3.95454
150.14872
153.11477
0.13498 0.43336 0.83475 1.18641 0.87691 0.49004
3.95645
134.18846
136.83887
0.09977 0.32031 0.61699 0.87691 1.00293 0.56046
3.47737
141.39767
144.19029
0.05575 0.17900 0.34479 0.49004 0.56046 0.64849
2.27853
154.23108
157.27698
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica
(Ne)tQxxe = 6.000000 = u Računanje popravaka mjerenja
AxC
lC
vC [GPU]
167.35411
-
167.35421
=
-0.000097
5.84394 5.84415 -0.000214
-23.04932 -23.04904 -0.000288
-15.96026 -15.96001 -0.000252
7.20921 7.20933 -0.000122
12.83341 12.83356 -0.000153
-154.23108 -154.23089 -0.000194
AxH
lH
vH [m]
170.66085
-
170.66110
=
-0.00025
5.95909 5.95963 -0.00054
-23.50517 -23.50444 -0.00073
-16.27591 -16.27527 -0.00064
7.35142 7.35173 -0.00031
13.08669 13.08708 -0.00039
-157.27698 -157.27649 -0.00049
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja
AtPvC
AtPvH
vCtPvC = 0.0000003364
0.00000
0.00000
-lCtPvC = 0.0000003364
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
vHtPvH = 0.0000008511
0.00000
0.00000
-lHtPvH = 0.0000008511
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Kontrola izjednačenih mjerenja
LC
vC
L_C
F_C
-1.33894
+
-0.00010
=
-1.33904
,
-1.33904
5.84415 -0.00021 5.84394 5.84394
-23.04904 -0.00029 -23.04932 -23.04932
-15.96001 -0.00025 -15.96026 -15.96026
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 23
7.20933 -0.00012 7.20921 7.20921
12.83356 -0.00015 12.83341 12.83341
-43.28575 -0.00019 -43.28595 -43.28595
LH
vH
L_H
F_H
-1.36540
+
-0.00025
=
-1.36565
,
-1.36565
5.95963 -0.00054 5.95909 5.95909
-23.50444 -0.00073 -23.50517 -23.50517
-16.27527 -0.00064 -16.27591 -16.27591
7.35173 -0.00031 7.35142 7.35142
13.08708 -0.00039 13.08669 13.08669
-44.14067 -0.00049 -44.14116 -44.14116
Ocjena točnosti referentnog mjerenja
sC0 = 0.00058 GPU sH
0 = 0.00092 m
Ocjena točnosti mjerenja
sC1 = 0.00036 GPU sH
1 = 0.00057 m
sC2 = 0.00053 GPU sH
2 = 0.00085 m
sC3 = 0.00062 GPU sH
3 = 0.00098 m
sC4 = 0.00058 GPU sH
4 = 0.00092 m
sC5 = 0.00040 GPU sH
5 = 0.00064 m
sC6 = 0.00045 GPU sH
6 = 0.00071 m
sC7 = 0.00051 GPU sH
7 = 0.00080 m
Ocjena točnosti nepoznanica
sCR2 = 0.00034 GPU sH
R2 = 0.00055 m
sCR3 = 0.00056 GPU sH
R3 = 0.00089 m
sCR4 = 0.00066 GPU sH
R4 = 0.00105 m
sCR5 = 0.00063 GPU sH
R5 = 0.00100 m
sCR6 = 0.00058 GPU sH
R6 = 0.00092 m
sCR7 = 0.00047 GPU sH
R7 = 0.00074 m
Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja
Q_
0.35212 -0.06162 -0.08290 -0.07263 -0.03521 -0.04402 -0.05575
-0.06162 0.70378 -0.18324 -0.16054 -0.07784 -0.09730 -0.12324
-0.08290 -0.18324 0.88349 -0.21597 -0.10471 -0.13089 -0.16579
-0.07263 -0.16054 -0.21597 0.80079 -0.09174 -0.11467 -0.14525
-0.03521 -0.07784 -0.10471 -0.09174 0.43552 -0.05560 -0.07042
-0.04402 -0.09730 -0.13089 -0.11467 -0.05560 0.53050 -0.08803
-0.05575 -0.12324 -0.16579 -0.14525 -0.07042 -0.08803 0.64849
sC1_ = 0.00034 GPU sH
1_ = 0.00055 m
sC2_ = 0.00049 GPU sH
2_ = 0.00077 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 24
sC3_ = 0.00055 GPU sH
3_ = 0.00087 m
sC4_ = 0.00052 GPU sH
4_ = 0.00083 m
sC5_ = 0.00038 GPU sH
5_ = 0.00061 m
sC6_ = 0.00042 GPU sH
6_ = 0.00067 m
sC7_ = 0.00047 GPU sH
7_ = 0.00074 m
Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje srednje integralne vrijednosti ubrzanja sile teže duž realne težišnice prema Helmertu i definitivnih vrijednosti ortometrijskih visina čvornih repera primjenom izraza (2.15) i (2.17) iz trećih auditornih vježbi kolegija:
Reper C [GPU] u.s.t [mgal] u.s.t [ms-2] H~ [m] g_ [ms-2] Hort [m]
R1 168.69315 980623.06 9.8062306 172.02650 9.8063035 172.02522
R2 167.35411 980623.34 9.8062334 170.66085 9.8063058 170.65969
R3 173.19805 980622.34 9.8062234 176.61994 9.8062983 176.61919
R4 150.14872 980627.28 9.8062728 153.11477 9.8063377 153.11396
R5 134.18846 980631.35 9.8063135 136.83887 9.8063715 136.83804
R6 141.39767 980629.74 9.8062974 144.19029 9.8063585 144.18978
R7 154.23108 980627.27 9.8062727 157.27698 9.8063394 157.27692
R8 110.94514 980636.70 9.8063670 113.13582 9.8064150 113.13527
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 25
6) Za potrebe praćenja pomaka na klizištu uspostavljena je mikro triango-trilateracijska mreža (slika 6.1). Koordinate točke TM005 (tablica 6.1) određene su relativnim statičkim pozicioniranjem te potom transformirane u novu službeni položajni datum Republike Hrvatske pomoću službenih EUREF transformacijskih parametara. Na temelju zadanih veličina i mjerenih veličina u mikro triango-trilateracijskoj mreži odredite koordinate nepoznatih točaka. Točnost mjerenja kutova je 5", a točnost mjerenja duljina je 2 mm.
Slika 6.1: Mikro triango-trilateracijska mreža
Tablica 6.1: Zadane i mjerene veličine u mikro triango-trilateracijskoj mreži
Točka y [m] x [m] Kut [° ' ''] Dužina [m]
TM007 5399021.8743 4994974.4331 36 28513 a 322.887
TM0110 5398631.2900 4995292.5400 75.27454 d 503.729
68.03223
Koordinate točke TM005
Lokalni transformacijski parametri za smjer ETRS89 -> HDKS (izračunati s upotrebom stare plohe geoida
= 45°05'31''.2861
Tx = -546.6158 m
= 13°42'20''.6408
Ty = -162.3755 m
H = 159.154 m
Tz = -469.4824 m
NHRG2000 = 43.980 m
Rx = 5.904977 "
NHRG2009 = 43.760 m
Ry = 2.073969 "
NHR1901 = 5.126 m
Rz = -11.509939 "
DM = 4.438848 ppm
Rješenje: 1. korak: Računanje ortometrijske visine točke TM005 u AVD1875:
HMP005AVD1875 = 115.174 m
2. korak: Računanje kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u HTRS96 (ETRS89):
XMP005HTRS96 = 4382002.1366 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 26
YMP005HTRS96 = 1068681.5492 m
ZMP005HTRS96 = 4494655.6543 m
3. korak: Transformacija koordinata točke TM005 u HDKS primjenom složene matrice rotacije:
XMP005HDKS = 4381370.1372 m
YMP005HDKS = 1068897.1136 m
ZMP005HDKS = 4494219.5728 m
4. korak: Konverzija HDKS kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u elipsoidne:
TM005HDKS = 45°05'32''.07414
TM005HDKS = 13°42'37''.06787
HMP005AVD1875 = 115.468 m
5. korak: Konverzija HDKS elipsoidnih koordinata točke TM005 u ravninske nereducirane Gauss-Krügerove koordinate:
x_TM005HDKS = 4995498.5657 m
y_TM005HDKS = -101513.4310 m
6. korak: Računanje reduciranih ravninskih Gauss-Krügerovih koordinata točke TM005:
xTM005HDKS = 4994999.0159 m
yTM005HDKS = 5398496.7203 m
7. korak: Izjednačenje mikro triango-trilateracijske mreže: Elementi jednadžbi popravaka
A
l
e
Ae
s
0.9090 0.4168
-0.014530
1
1.325772
1.340302
0.6315 -0.7754
-0.005151
1
-0.143880
-0.138729
0.0739 -0.1613
0.005759
-0.087348
-0.093107
0.0882 0.0718
0.000314
0.160021
0.159707
-0.1621 0.0895
-0.006350
-0.072673
-0.066322
Matrica težina mjerenja
P
250000 0 0 0 0
0 250000 0 0 0
0 0 518400 0 0
0 0 0 518400 0
0 0 0 0 518400
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 27
Elementi normalnih jednadžbi
N n Ne AtPs Ne-n s_
326772.4946 -38123.0589 -3346.3185 288649.4358 291995.7542 291995.7542 291996.7542
-38123.0589 214034.3971 -1279.6407 175911.3382 177190.9789 177190.9789 177191.9789
Rješavanje normalnih jednadžbi
Qxx
Qxxe
x [m]
0.0000031252 0.0000005566
0.0000036818
-0.0112
0.0000005566 0.0000047713
0.0000053279
-0.0080
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica
(Ne)tQxxe = 2.0000000 = u Izjednačene vrijednosti nepoznanica
xTM011 = 4995292.5288 m
yTM011 = 5398631.2820 m
Računanje popravaka mjerenja:
Ax
l
v
-0.013475
-
-0.014530
=
0.001055
-0.000876 -0.005151 0.004276
0.000459 0.005759 -0.005300
-0.001557 0.000314 -0.001871
0.001098 -0.006350 0.007449
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja
AtPv
vtPv = 49.98645131
0.00000000
-ltPv = 49.98645131
0.00000000
Kontrola izjednačenih mjerenja
L
v
L_
F_
322.887000
+
0.001055
=
322.888055
,
322.888055
503.729000 0.004276 503.733276 503.733276
68.056194 -0.005300 68.050895 68.050895
36.480917 -0.001871 36.479045 36.479045
75.462611 0.007449 75.470060 75.470060
Ocjena točnosti referentnog mjerenja
s0 = 4.082
Ocjena točnosti mjerenja
sa = 0.0082 m
sd = 0.0082 m
s= 20.41 "
s= 20.41 "
s= 20.41 "
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 28
Ocjena točnosti nepoznanica
sx = 0.0072 m
sy = 0.0089 m
Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja
Q_
3.8328E-06 6.3472E-09 -1.7512E-07 4.5017E-07 -2.7506E-07
6.3472E-09 3.5697E-06 6.5405E-07 -1.0449E-07 -5.4956E-07
-1.7512E-07 6.5405E-07 1.2794E-07 -3.9859E-08 -8.8086E-08
4.5017E-07 -1.0449E-07 -3.9859E-08 5.5976E-08 -1.6118E-08
-2.7506E-07 -5.4956E-07 -8.8086E-08 -1.6118E-08 1.0420E-07
s_a = 0.0080 m
s_d = 0.0077 m
s_= 5.26 "
s_= 3.48 "
s_= 4.74 "
Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike.
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 29
7) Izračunajte azimut projekcije geodetske linije sa stajališne točke T 1 na vizurnu točku T2 u ravnini naslijeđene kartografske projekcije Republike Hrvatske.
T1
T2 y = 5548152.352 m y = 5557768.135 m
x = 5072167.876 m x = 5076681.318 m
Rješenje: 1. korak: Računanje smjernog kuta u ravnini projekcije prema izrazima iz vježbi kolegija „Izmjera zemljišta u II semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike:
T1T2 = 64°51'20''.33257
2. korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata stajalište i vizurne točke prema izrazima (311) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
xT1 = 5072675.1435 m
yT1= 48157.1677 m
xT2 = 5077189.0369 m
yT2 = 57773.9124 m
3. korak: Konverzija ravninskih nereduciranih koordinata stajališne točke u elipsoidne prema izrazima (3.7), (3.8), (3.9) i (3.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
T1 = 45°47'32''.38418
T1 = 15°37'09''.98233
4. korak: Računanje srednjeg (Grunertovog) radijusa zakrivljenosti prema izrazu (3.2), odnosno izrazima za M (3.1) i N (3.2) iz prvih auditornih vježbi kolegija:
MT1 = 6367559.991 m
NT1 = 6388360.917 m
RT1 = 6377951.974 m
5. korak: Računanje kutne nesuglasice između projekcije geodetske linije i tetive između stajališne i vizurne točke u ravnini kartografske projekcije primjenom izraza (5.28) odnosno (5.29) iz petog predavanja kolegija:
T1T2 = -0.51443 "
6. korak: Računanje konvergencije meridijana za stajališnu točku primjenom izraza (5.21) iz petog predavanja kolegija:
0 = 15°
e' = 0.081970841
= 0.057155077
t = 1.028047142
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 30
l = 0.010811259
T1 = 0°26'38''.52040
7. korak: računanje azimuta projekcije geodetske linije primjenom izraza (5.30) iz petog predavanja kolegija:
T1T2 = 65°17'59''.36741
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 31
8) Točka TM004 sastavni je dio temeljne mreže grada Zagreba uspostavljene za potrebe godišnjeg periodičkog praćenja geotektonske aktivnosti. Koordinate točke TM004 određene su relativnim statičkim pozicioniranjem i naknadnom obradom baznih linija i vektora te izjednačenjem u aktualnom datumu preciznih efemerida GNSS satelita i epohi opažanja, a zatim transformirane u novi datum Republike Hrvatske pomoću službenih EUREF transformacijskih parametara. Odredite ravninske koordinate točke TM004 u HDKS-u i ortometrijsku visinu u naslijeđenom visinskom datumu RH primjenom novog službenog transformacijskog modela Republike Hrvatske T7D ako je zadano:
TM004 E = 482199.686 m
N = 5068751.187 m
H = 751.174 m
NHRG2009 = 45.171 m
Visinska nesuglasica datuma (Trst 1875 - HVRS71) = 25.70 cm
Tablica 8.1: Jedinstveni transformacijski parametri za cijeli teritorij RH (izračunati s upotrebom plohe geoida HRG2009)
Tx = -546.61584 m
Ty = -162.37548 m
Tz = -469.48238 m
Rx = 5.90497746 "
Ry = 2.07396936 "
Rz = -11.50993888 "
DM = 4.43884789 ppm
Tablica 8.2: Distorzijske komponente točke TM004 u HDKS-u
HDKS HDKS dx [cm] dy [cm]
45°45'30'' 16°16'30'' -18.35 10.18
45°45'30'' 16°17'15'' -15.84 15.24
45°46'00'' 16°17'15'' -22.67 22.17
45°46'00'' 16°16'30'' -26.38 18.13
dHTM004 = -9.97 cm
Rješenje: 1. korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata točke TM004:
E_HTRS96 = -17802.0942 m
N_HTRS96 = 5069258.1128 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 32
2. korak: Računanje elipsoidnih koordinata točke TM004 u HTRS96:
HTRS96 = 45°45'30''.24998
HTRS96 = 16°16'16''.25001
3. korak: Računanje ortometrijske visine u HVRS71:
HHVRS71= 706.003 m
4. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata točke TM004 u kartezijeve pravokutne 3D koordinate:
XHTRS96= 4279527.1224 m
YHTRS96= 1249085.0074 m
ZHTRS96= 4547058.7982 m
5. korak: Transformacija kartezijevih pravokutnih 3D koordinata iz HTRS96 u HDKS primjenom složene i jednostavne matrice rotacije:
X'HDKS = 4278884.0746 m X'HDKS = 4278884.0815 m
Y'HDKS = 1249297.1542 m Y'HDKS = 1249297.1554 m
Z'HDKS = 4546616.7542 m Z'HDKS = 4546616.7707 m
6. korak: Konverzija HDKS kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u elipsoidne:
'HDKS = 45°45'31''.05168
'HDKS = 45°45'31''.05189
'HDKS = 16°16'34''.01069
'HDKS = 16°16'34''.01066
H'HVRS71 = 705.9004 m
H'HVRS71 = 705.9170 m
7. korak: Računanje komponenata položajne distorzije u točci TM004 primjenom izraza za bilinearnu interpolaciju iz desetog predavanja kolegija u poglavlju „GRID transformacija“ :
a0 = -18.35 cm
b0 = 10.18 cm
a1 = 2.51 cm
b1 = 5.06 cm
a2 = -8.03 cm
b2 = 7.95 cm
a3 = 1.20 cm
b3 = -1.02 cm
X = 0.089126525
Y = 0.035055921
dxTM004 = -18.40 cm
dyTM004 = 10.91 cm
8. korak: Konverzija HDKS elipsoidnih koordinata u nereducirane ravninske koordinate:
x'_HDKS = 5069534.9532 m x'_HDKS = 5069534.9597 m
y'_HDKS = 99268.7297 m y'_HDKS = 99268.7288 m
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ak. god. 2012./2013. 33
9. korak: Računanje HDKS reduciranih ravninskih koordinata točke TM004:
x'HDKS = 5069027.9997 m x'HDKS = 5069028.0062 m
y'HDKS = 5599258.8028 m y'HDKS = 5599258.8019 m
10. korak: Računanje ortometrijske visine točke TM004 u AVD1875:
H'AVD1875= 706.1574 m H'AVD1875= 706.1740 m
11. korak: Dodavanje distorzijske komponente na ravninske koordinate i ortometrijsku visinu:
xHDKS = 5069027.8157 m xHDKS = 5069027.8222 m
yHDKS = 5599258.9119 m yHDKS = 5599258.9110 m
HAVD1875 = 706.0577 m
HAVD1875 = 706.0743 m