Kun Attila-Zsolt Forizs Edit Adrian Pătruț

A SZERVETLEN KÉMIA ALAPJAI

(Bazele chimiei anorganice)

Kun Attila-Zsolt Forizs Edit Adrian Pătruț

A SZERVETLEN KÉMIA ALAPJAI

(Bazele chimiei anorganice)

CASA CĂRȚII DE ȘTIINȚĂ

Cluj-Napoca 2017

Lektorálta: Dr. Bódis Jenő egyetemi tanár

Borító: Dr. Kun Attila-Zsolt

© Kun Attila-Zsolt, Forizs Edit, Adrian Pătruț, 2017

Editură acreditată CNCSIS (24)

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

KUN, ATTILA ZSOLT

A szervetlen kémia alapjai = Bazele chimiei anorganice / Kun Attila-Zsolt,

Adrian Pătruţ, Forizs Edit. - Cluj-Napoca : Casa Cărţii de Ştiinţă, 2017

Conţine bibliografie

ISBN 978-606-17-1152-9

I. Pătruţ, Adrian

II. Forizs, Edit

54

5

Tartalom

Előszó .............................................................................................................................. 9

Bevezetés ...................................................................................................................... 13

1. Kémiai alapfogalmak ................................................................................................ 14

1.1. A kémia alaptörvényei ................................................................................... 14

1.2. A vegyérték, oxidációs szám ......................................................................... 15

1.3. Kémiai képletek ............................................................................................. 17

1.4. Az anyagok osztályozása ............................................................................... 18

2. Az atomok szerkezete ............................................................................................... 20

2.1. Klasszikus atommodellek .............................................................................. 23

2.1.1. A Thomson-féle atommodell ................................................................ 23

2.1.2. A Rutherford-féle atommodell ............................................................. 24

2.1.3. A Bohr-féle atommodell ....................................................................... 25

2.1.4. A hidrogénatom színképe ..................................................................... 28

2.1.5. A Bohr-Sommerfeld-féle atommodell .................................................. 30

2.1.6. Az elektronpálya mágneses momentuma ............................................. 33

2.1.7. A mágneses kvantumszám .................................................................... 33

2.1.8. Az elektron saját impulzusmomentuma ............................................... 34

2.1.9. A részecske-hullám kettősség általánosítása, de Broglie hipotézis ..... 36

2.2. Kvantummechanikai atommodell. A Schrödinger-féle egyenlet ................. 37

2.2.1. A hidrogénatom kvantummechanikai leírása ....................................... 40

2.2.2. Csomófelületek ..................................................................................... 43

2.2.3. A hullámfüggvény szögfüggő komponense ......................................... 43

2.2.4. A hullámfüggvény sugártól függő összetevője .................................... 45

2.2.5. A sajátfüggvények szintvonal-diagramja ............................................. 47

2.2.6. A Heisenberg-féle bizonytalansági elv ................................................. 48

2.2.7. Többelektronos atomok szerkezete ...................................................... 48

2.2.7.1. A Pauli-féle kizárási elv ............................................................. 51

2.2.7.2. A felépítési elv ........................................................................... 52

2.2.7.3. Hund szabály .............................................................................. 52

2.2.7.4. Termszimbólumok és kiválasztási szabályok ............................ 54

2.3. Az atommag ................................................................................................... 55

2.3.1. Az atommagok stabilitása ..................................................................... 56

2.3.2. Magmodellek ........................................................................................ 58

6

3. Az elemek periódusos rendszere ............................................................................. 60

3.1. Az elemek rendszerezése .............................................................................. 60

3.2. A periódusos rendszer rövid alakja .............................................................. 61

3.3. A periódusos rendszer hosszú alakja ............................................................ 62

3.4. Periodikusan változó tulajdonságok. ............................................................ 64

3.4.1. Periodikusan változó fizikai tulajdonságok .............................................. 64

3.4.2. Periodikusan változó kémiai tulajdonságok .............................................. 72

3.5. Nemperiodikus tulajdonságok ...................................................................... 75

3.6. A periódusos rendszer fejlődése ................................................................... 76

3.7. A periódusos rendszer különböző változatai................................................ 78

4. A kémiai kötések ...................................................................................................... 86

4.1. Az ionos kötés ............................................................................................... 88

4.2. A kovalens kötés ........................................................................................... 92

4.2.1. A vegyértékkötés (VB) módszer .......................................................... 92

4.2.2. A hibridizáció ....................................................................................... 94

4.2.2.1. Az sp3 hibridizáció .................................................................... 94

4.2.2.2. Az sp2 hibridizáció .................................................................... 97

4.2.2.3. Az sp hibridizáció ...................................................................... 99

4.2.2.4. Az s, p és d pályák hibridizációja ........................................... 100

4.2.3. Háromcentrumos kötés....................................................................... 102

4.3. Vegyértékelektronpár-taszítási elmélet (VSEPR) ...................................... 104

4.4. A molekulapálya elmélet (MO módszer) ................................................... 107

4.4.1. Kétatomos homonukleáris molekulák ............................................... 110

4.4.2. Kétatomos heteronukleáris molekulák MO diagramjai .................... 112

4.5. Delokalizált kötések .................................................................................... 116

5. Intermolekuláris kölcsönhatások ........................................................................... 117

5.1. A dipólus-dipólus kölcsönhatások .............................................................. 117

5.2. Indukciós erők ............................................................................................. 118

5.3. Diszperziós vagy London-erők ................................................................... 118

5.4. A hidrogénkötés .......................................................................................... 119

Irodalom ..................................................................................................................... 123

7

Cuprins

Prefață ........................................................................................................................... 11

Introducere .................................................................................................................... 13

1. Noțiuni fundamentale ............................................................................................... 14

1.1. Legile fundamentale ale chimiei ................................................................... 14

1.2. Valența, numărul de oxidare ......................................................................... 15

1.3. Formule chimice ............................................................................................ 17

1.4. Clasificarea substanțelor ............................................................................... 18

2. Structura atomului .................................................................................................... 20

2.1. Modele atomice clasice ................................................................................. 23

2.1.1. Modelul atomic al lui Thomson ........................................................... 23

2.1.2. Modelul atomuc al lui Rutherford ........................................................ 24

2.1.3. Modelul atomic al lui Bohr ................................................................... 25

2.1.4. Spectrul atomului de hidrogen .............................................................. 28

2.1.5. Modelul atomic Bohr-Sommerfeld....................................................... 30

2.1.6. Momentul magnetic orbital .................................................................. 33

2.1.7. Numărul cuantic magnetic .................................................................... 33

2.1.8. Momentul magnetic de spin ................................................................. 34

2.1.9. Generalizarea dualității undă-corpuscul. Ipoteza lui de Broglie ......... 36

2.2. Modelul mecanico-cuantic. Ecuația lui Schrödinger.................................... 37

2.2.1. Descrierea atomului de hidrogen .......................................................... 40

2.2.2. Suprafețe nodale.................................................................................... 43

2.2.3. Funcția de undă angulară ...................................................................... 43

2.2.4. Funcția de undă radială ......................................................................... 45

2.2.5. Diagrame cu nivele energetice ............................................................. 47

2.2.6. Principiul de incertitudine a lui Heisenberg ......................................... 48

2.2.7. Structura tomilor multielectronici ........................................................ 48

2.2.7.1. Principiul de excluziune al lui Pauli .......................................... 51

2.2.7.2. Principiul “Aufbau” ................................................................... 52

2.2.7.3. Regula lui Hund ......................................................................... 52

2.2.7.4. Termeni fundamentali. Reguli de selecție ................................. 54

2.3. Nucleul atomic ............................................................................................... 55

2.3.1. Stabilitatea nucleului atomic ................................................................ 56

2.3.2. Modele nucleare .................................................................................... 58

8

3. Sistemul periodic al elementelor ............................................................................. 60

3.1. Clasificarea elementelor ............................................................................... 60

3.2. Forma scurtă a sistemului periodic ............................................................... 61

3.3. Forma lungă a sistemului periodic ............................................................... 62

3.4. Proprietăți periodice...................................................................................... 64

3.4.1. Proprietăți fizice periodice ................................................................... 64

3.4.2. Variația periodică a proprietăților chimice .......................................... 72

3.5. Proprități neperiodice ................................................................................... 75

3.6. Dezvoltarea sistemului periodic ................................................................... 76

3.7. Variante ale sistemului periodic ................................................................... 78

4. Legătura chimică ...................................................................................................... 86

4.1. Legătura ionică.............................................................................................. 88

4.2. Legătura covalentă ........................................................................................ 92

4.2.1. Metoda legăturii de valență (MLV) ..................................................... 92

4.2.2. Teoria hibridizării ................................................................................. 94

4.2.2.1. Hibridizarea sp3 ......................................................................... 94

4.2.2.2. Hibridizarea sp2 ......................................................................... 97

4.2.2.3. Hibridizarea sp .......................................................................... 99

4.2.2.4. Hibridizări cu orbitali s, p și d................................................. 100

4.2.3. Legătura tricentrică bielectronică ...................................................... 102

4.3. Teoria repulsiei perechii de electroni neparticipanți (VSEPR) ................. 104

4.4. Metoda orbitalilor moleculari (MOM) ...................................................... 107

4.4.1. Molecule diatomice homonucleare .................................................... 110

4.4.2. Diagrama moleculară a moleculelor diatomice heteronucleare ........ 112

4.6. Legături delocalizate ................................................................................... 116

5. Interacțiuni intermoleculare ................................................................................... 117

5.1. Forțele dipol-dipol ...................................................................................... 117

5.2. Forțele de orientare ..................................................................................... 118

5.3. Forțe de dispersie London .......................................................................... 118

5.4. Legătura de hidrogen .................................................................................. 119

Bibliografie ................................................................................................................ 123

9

Előszó

Ez a könyv a kolozsvári Babeş-Bolyai egyetem első éves kémia szakos

hallgatóinak tartott előadások alapján készült. Célja a kémia alapfogalmainak

elsajátítása.

A könyv a tudomány jelenlegi állása szerint tárgyalja a kémia alaptörvényeit,

valamint az atom- és molekulaszerkezet kérdéseit. Szerkezetileg a könyv öt fejezetet

tartalmaz. A könyv első része bevezető általános fogalmakat ismétel át, a második

rész az atomszerkezetre vonatkozó alapismereteket foglalja össze, a harmadik rész a

periódusos rendszerre utal. A negyedik fejezet a kémiai kötéseket tárgyalja a

klasszikus elméletek bemutatása, valamint a kvantummechanikai elméletek alapján

(vegyértékkötés módszer, molekulaorbitál-módszer), végül az ötödik fejezet az

intermolekuláris kölcsönhatásokat ismerteti.

Bár a könyv elsősorban az első éves vegyészhallgatók számára készült,

hasznos lehet az ismeretek kiegészítése és felfrissítése céljából a régebben végzett

vegyészek számára is. Ajánljuk ezt a könyvet a kémia és vegyészmérnök szakos

egyetemi hallgatókon kívül a fizika, biológia, környezettudomány szakos

hallgatóknak, kémia tanároknak és bárkinek, aki érdeklődik a kémia iránt.

Köszönetünket fejezzük ki dr. Bódis Jenő egyetemi tanárnak a könyv

lektorálásáért, aki megjegyzéseivel és észrevételeivel hozzájárult a kézirat

javításához.

A szerzők

Kolozsvár, 2017. június

10

11

Prefaţă

În ultimele decenii chimia s-a transformat datorită unei dezvoltări

spectaculoase continue, nu numai cu progrese ştiinţifice dar şi cu implicaţii

importante în viața cotidiană. Cunoaşterea aspectelor moderne necesită informare

permanentă și împrospătarea cunoștințelor despre stadiul actual al științei.

Cartea “Bazele chimie anorganice” scrisă în concepţie modernă, este

structurată pe cinci capitole. Prima parte după o introducere scurtă, abordează

noţiuni fundamentale de chimie, capitolul doi tratează structura atomului, modele

atomice clasice, modelul cuatic şi noţiuni introductive legate de nucleul atomic,

modele nucleare.

Capitolul trei sumarizează cunoştinţele actuale referitoare la sistemul

periodic al elementelor: scurt istoric al clasificării elementelor, formele sistemului

periodic, variaţia proprietăţilor periodice, proprietăţi neperiodice, precum şi

utilizarea sistemului periodic al elementelor.

Capitolul patru are ca scop aprofundarea cunoştinţelor referitoare la

legătura chimică. În acest context sunt prezentate legătura ionică, precum și

teoriile legăturii covalente: metoda legăturii de valenţă (VB), metoda orbitalilor

moleculari (MO), cu aplicaţii şi exemple. In acest capitol se prezintă şi teoria

repulsiei perechilor de electroni (VSEPR) pentru stabilirea geometriei moleculare.

In capitolul cinci se tratează legăturile intermoleculare, legături de tip van

der Waals precum și legătura de hidrogen.

Cartea conţine cunoştinte fundamentale de chimie anorganică, prezentate

după stadiul actual al cunoaşterii, necesare pentru studiul chimiei în general.

Lucrarea se adresează în primul rând studenţilor, cadrelor didactice din

învăţământul preuniversitar, chimiştilor, inginerilor chimişti şi altor specialişti

interesaţi de chimie.

Autorii

Cluj-Napoca, iunie 2017

12

13

Bevezetés

A kémia a természettudományoknak az az ága, amelyik az anyagok

összetételét, szerkezetét, minőségi változásait, átalakulásait, valamint fizikai és

kémiai tulajdonságait tanulmányozza.

A kémia szó eredete nagyon régi, az ókorra tehető, egyes vélemények szerint

az arab “al kemi” szóból ered, mely Egyiptom egy részének régi elnevezése volt.

A kémia történetében több korszak különböztethető meg (ókori kémia,

alkímia, jatrokémia, a flogisztonelmélet korszaka, modern kémia). A modern kémia

kezdetei Lomonoszov és Lavoisier munkájához kapcsolhatók, akik egymástól

függetlenül megfogalmazták a természettudomány egyik legfontosabb törvényét: a

tömegmegmaradás törvényét.

A kémiai ismeretek fejlődése a 19. századtól a kémia különböző ágainak a

megjelenéséhez és önállósodásához vezetett. Megjelenik a leíró kémia két nagy része

a szervetlen és a szerves kémia.

A szervetlen kémia a kémiának az elemekkel és nemszén-vegyületekkel

foglalkozó ága, ezek előállítási módszereit, összetételét, szerkezetét, tulajdonságait és

reakcióit tanulmányozza. A kvantumkémia fejlődése kihatott a szervetlen kémia

fejlődésére, jelentős eredményeket hozott a szervetlen vegyületek szerkezetvizsgálata

terén, hozzájárult az anyagok egyes tulajdonságai és a tulajdonságok szerkezeti

hordozói közti összefüggések tisztázásához. A 20. század első felében az empirikus,

leíró jellegű klasszikus szervetlen kémia átalakult egy módszerekben új, szerkezeti

szervetlen kémiává.

A szerves és szervetlen kémia mellett W. F. Ostwald elkülöníti a fizikai

kémiát, majd sorra megjelennek az analitikai kémia, radiokémia, elméleti kémia,

alkalmazott kémia stb. A szervetlen kémiához tartozik a koordinációs kémia, a

fémorganikus kémia, valamint a bioszervetlen kémia is.

A kémia szoros kapcsolatban van a természettudományok többi ágával, a

matematikával, fizikával, biológiával, földrajzzal és egyre fontosabb a kapcsolata az

orvostudománnyal és a műszaki tudományokkal is. Ezeknek a kapcsolatoknak

köszönhetően interdiszciplináris tudományok jelentek meg: biokémia,

gyógyszerkémia, geokémia, élelmiszer-kémia, környezeti kémia, agrárkémia stb.

14

1. Kémiai alapfogalmak

1.1. A kémia alaptörvényei

Az anyagszerkezet tudományos megismerése akkor kezdődött, amikor

mennyiségi szempontból kezdték tanulmányozni az anyag összetételében a vegyi

átalakulások során bekövetkező változásokat.

Főleg a fémek oxidációjával és a fémoxidok redukciójával kapcsolatos

vizsgálatok során M. Lomonoszov (1756) majd tőle függetlenül A. Lavoisier (1774)

felismerték a természettudomány egyik legfontosabb törvényét. Tömegmérések

alapján megállapították, hogy kémiai reakciók során a reakcióba lépő anyagok

tömegének összege egyenlő a reakciótermékek tömegének összegével. Az

anyagmegmaradás törvénye általánosabban is megfogalmazható: zárt rendszerben a

testek tömegének összege, bármilyen átalakulás során állandó marad.

Később J. Proust (1799) több vegyület gondos analízise után felismerte az

állandó súlyviszonyok (állandó összetétel) törvényét, mely szerint vegyületekben az

alkotórészek súlyaránya szigorúan állandó, vagyis bármely módszerrel állítunk elő

egy anyagot annak összetétele mindig ugyanaz. A súlyarányok tanulmányozása során

J. Dalton megfogalmazta a többszörös súlyviszonyok törvényét (1808): azonos

elemeket tartalmazó, de különböző összetételű vegyületekben egyik elem ugyanazon

mennyiségére vonatkoztatott másik elem mennyiségei úgy aránylanak egymáshoz,

mint a kis egész számok. Például vízben a hidrogén és az oxigén tömegaránya mindig

1:8, hidrogén-peroxidban 1:16, tehát az oxigén tömegarányai úgy viszonyulnak

egymáshoz a két vegyületben, mint 1:2.

A súlyviszony törvények magyarázatára Dalton (1808) kidolgozta

atomelméletét, mely szerint az anyagok tömegükben oszthatatlan részecskékből,

atomokból állnak, amelyeknek meghatározott tömegük és kiterjedésük van. Az

elemeket azonos atomok, a vegyületeket különböző atomokból álló molekulák

alkotják. Minden elemnek egy jól meghatározott atomfajta felel meg, annyiféle atom

van ahány elem. Ugyanazon elem atomjai azonos súlyúak, tömegűek. A többszörös

súlyviszonyok törvényének az a magyarázata, hogy vegyületképzéskor csak egész

számú atomok egyesülhetnek.

Ezeket a törvényeket J. L. Gay-Lussac kiegészítette a vegyülő gázok

térfogati törvényével (1808), mely szerint vegyülő gázok térfogatai úgy aránylanak

egymáshoz, mint a kis egész számok:

1 térfogat hidrogén + 1 térfogat klór = 2 térfogat sósavgáz

2 térfogat hidrogén + 1 térfogat oxigén = 2 térfogat vízgőz

3 térfogat hidrogén + 1 térfogat nitrogén = 2 térfogat ammóniagáz

15

Ezek a reakciók csak azzal a feltétellel magyarázhatók, hogy az elemi gázok

kétatomos molekulák:

H2 + Cl2 = 2 HCl

2 H2 + O2 = 2 H2O

3 H2 + N2 = 2 NH3

A korszak másik fontos eredménye az 1811-ben megjelent Avogadro

törvény: azonos hőmérsékletű és nyomású (ideális) gázok egyenlő térfogataiban

azonos számú részecske van.

Mivel egyetlen atom vagy molekula tömege grammokban kifejezve annyira

kicsi, hogy nem alkalmas a kémiai reakciókban szereplő viszonyok kifejezésére,

bevezették a relatív atomsúly, illetve relatív atomtömeg fogalmát. Relatív

atomtömeg-egységnek előbb a hidrogénatomot, később az oxigénatom tömegének

1/16-od részét választották. 1961-től a IUPAC (Union of Pure and Applied

Chemistry - Tiszta és alkalmazott kémia nemzetközi uniója) relatív atomtömeg

egységnek (ate) a 12-es szén-izotóp tömegének 1/12-ed részét választotta. 1 ate =

1,66·10-27

kg.

A relatív atomtömeg illetve relatív molekulatömeg az a dimenziómentes

viszonyszám, amely megmutatja, hogy egy atom vagy molekula tömege hányszorosa

az atomtömeg-egységének. Ezek a számok átlagértékek, amelyek tükrözik az

izotópok előfordulási arányát.

Az anyagmennyiség mértékegysége a mól. A mól annak a rendszernek a

kémiai anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, ahány atom van

0,012 kg tiszta 12

C-nuklidban. Bármely anyag egy mólja azonos számú molekulát,

atomot vagy iont tartalmaz. Ez az Avogadro-szám, amelynek jelenlegi pontos értéke

6,02214176(30) 1023

a CODATA (Committee on Data for Science and Technology –

Tudományos és technológiai adatok bizottsága) 2006-os ajánlása szerint. Általános

számításokhoz elterjedt a 6,023·1023

érték használata. A mól tehát bármely önálló

részecskékből álló rendszernek az a mennyisége, amely Avogadro-számnyi

részecskét tartalmaz.

Az azonos számú molekulát tartalmazó gázok térfogatai egyformák, tehát az

egy mól mennyiségű gázok térfogatai is egyenlők. Ez a móltérfogat, amelynek értéke

22,413996(39) dm3 (közelítőleg 22,4 dm

3), 0 C hőmérsékleten és 1,01310

5 Pa

nyomáson.

16

1.2. A vegyérték, oxidációs szám

Klasszikus értelmezés szerint a vegyérték az a szám, amely kifejezi, hogy

adott elem egy atomja hány hidrogénatommal vegyül, vagy hány atom hidrogént

képes vegyületeiben helyettesíteni. Ionkötés esetében a vegyérték azonos az ion

töltésszámával. Használatos a kovalens vegyérték fogalma is, mely az atom által

létesített kovalens kötések számával adható meg. A vegyérték egy más megközelítés

szerint az a szám, amely megadja, hogy az atom hány elektronnal vesz részt kötés

(kötések) kialakításában.

A vegyérték fogalom mellett egyre elterjedtebb az oxidációs szám

használata. Egy kötésben levő atom oxidációs száma megadható a kötő

elektronpárokat a nagyobb elektronegativitású atomhoz rendelve, egyazon elem

atomjait összekötő elektronokat pedig a két atom között megfelezve. A kötött atom

oxidációs száma megegyezik a neki tulajdonított fiktív töltésszámmal. A félreértések

elkerülésére az oxidációs számot az adott elem vegyjele fölé írjuk: először az

előjelet, majd az értéket.

Az oxidációs szám megállapításának szabályai:

• szabad atomok és elemek oxidációs száma zérus;

• egy anyagot alkotó atomok oxidációs számainak összege egyenlő ennek

össztöltésével: a molekulák esetében az összeg zérus, egyszerű ionok

oxidációs száma megegyezik a valóságos töltéssel; összetett iont alkotó

atomok oxidációs számának összege egyenlő az ion töltésével;

• a hidrogén oxidációs száma +1 nemfémekkel alkotott vegyületekben, fémekkel

alkotott hidridekben az oxidációs száma 1;

• a fluor oxidációs száma vegyületeiben mindig 1;

• az oxigénnek vegyületeiben 2 az oxidációs száma, kivéve ha fluoratomokkal

kapcsolódik vagy más oxigénatomokkal:

a) peroxidokban (O22

ionok) az oxidációs szám 1;

b) szuperoxidokban (O2 ionok) az oxidációs szám értéke 1/2.

• az 1. csoport elemeinek vegyületeikben az oxidációs száma +1;

• a 2. csoport elemeinek vegyületeikben az oxidációs száma +2;

• a 16. csoport elemeinek oxidációs száma biner vegyületeikben 2, kivéve, ha

oxigénnel és halogénekkel kapcsolódnak;

• a 15. csoport elemeinek oxidációs száma biner vegyületeikben 3, kivéve, ha

olyan elemekkel kapcsolódnak, melyek a periódusos rendszerben tőlük jobbra

helyezkednek el.

17

1.3. Kémiai képletek

A kémiai elemek jelölésére vegyjelet használnak, ez az elem nemzetközileg

elfogadott nevének rövidítése és általában az elem latin nevének egy-két betűjéből

áll. A vegyjeleket először Jöns Jakob Berzelius (1779-1848) vezette be. A 111-nél

nagyobb rendszámú elemek IUPAC határozat alapján vannak elnevezve. A

vegyületek jelölésére képleteket használnak. A képletek többfélék lehetnek.

• Tapasztalati képlet: a vegyületek sztöchiometriai összetételét fejezi ki,

megadva az alkotó elemek arányát. A vegyjelek mellé írt alsó index az

összetevők legegyszerűbb arányát fejezi ki.

• Molekulaképlet vagy összegképlet: kifejezi a molekula minőségi és

mennyiségi összetételét. A molekulaképlet megegyezhet a tapasztalati

képlettel.

• Szerkezeti képlet: megadja az atomok kapcsolódásának a sorrendjét is,

kétdimenziós képlet, amely nem nyújt felvilágosítást a molekula térbeli

alakjára:

H C C H

CC

CC

C

C

H

H

H

H

H

HH C C OH

H H

H H

H C O C H

H

H

H

H

• Szetereoképlet: jelzi az atomok térbeli elrendeződését, a molekula

konfigurációját, például a ciklohexán, illetve a P4O9 molekulák szerkezete:

P

O PO

PO O

O

O

O

O

P

OH2C

H2C

C CH2

CH2CH2

H2

A koordinációs szám megadja egy atom, ion vagy molekula közvetlen

szomszédainak számát. A Na3[AlF6] esetében az alumínium koordinációs száma 6,

oxidációs száma pedig +3. A központi atom koordinációs száma tehát nagyobb, mint

a klasszikus vegyérték. A koordinációs számnak nagyon fontos szerepe van a

koordinatív vegyületek kémiájában.

18

1.2. Az anyagok osztályozása

Az anyagokat alapvetően kémiai összetételük és fizikai halmazállapotuk

szerint csoportosíthatjuk. Kémiai összetétel alapján lehetnek elemek, vegyületek és

keverékek. A fizikai halmazállapot lehet: szilárd, folyadék, gáz és plazma.

Az elemek egyetlen kémiailag meghatározott atomféleségből állnak, pl.

oxigén. A vegyület olyan anyag mely 2 vagy több elem atomjait tartalmazza,

összetétele szigorúan állandó bármely minta esetén.

Az elemek és a vegyületek tiszta anyagok, összetételük állandó, sajátságaik

jól meghatározottak, jellegzetességeik alapján megkülönböztethetők egymástól.

A tiszta anyagok keveréke olyan összetétellel és sajátságokkal rendelkezik,

amely a tiszta anyagok viszonylagos mennyiségétől függően változik. A keverékek

két típusa ismert: heterogén keverékek, mely elkülöníthető részekből áll pl. cukor +

só, és homogén keverékek melyek összetétele molekuláris szintig egyöntetű, ezt

oldatnak is nevezhetjük. Pl. a levegő egy gáznemű oldat, amely alapvetően nitrogén

és oxigén keveréke, vagy cukor és víz (folyékony) oldata.

Elemek Vegyületek Homogén Heterogén

CuSO4 CuSO4 H2O+ CuSO4 +benzolCu, O2, S

Anyagok

Tiszta anyagok Keverékek

1.1. ábra. Az anyagok osztályozása.

A keverékek szétválasztása komponenseikre nagyon fontos, főleg az ipar

számára, ahol nélkülözhetetlen a tiszta anyagok előállítása. Ezért az összetevők

valamilyen (mechanikai, fizikai, kémiai) tulajdonságának különbsége alapján nagyon

sok elválasztási módszer alakult ki.

A dekantálás a legegyszerűbb módszer szilárd és folyékony fázisból álló

rendszer alkotórészeinek szétválasztására. A dekantálás a leülepedett nagyobb

sűrűségű szilárd anyag felett levő folyadék leöntését jelenti. A szűrés szintén

szilárd részecskéknek folyadéktól való elválasztására szolgáló művelet. A

desztilláció a leggyakrabban alkalmazott művelet folyadékelegyek szétválasztására,

amely a szétválasztandó komponensek illékonyságának különbözőségén alapul,

egymás utáni elpárologtatás és kondenzáltatás útján. A desztilláció lehet egyszerű

19

vagy szakaszos, és végezhető légköri nyomáson, vákuumban vagy túlnyomáson. Az

extrakció (szelektív kioldás) lehet folyadék-folyadék, szilárd-folyadék illetve

szuperkritikus extrakció – a gáz-folyadék kioldást abszorpciónak nevezzük.

A kromatográfia elegyek komponenseinek szétválasztására szolgáló olyan

módszerek gyűjtőneve, ahol az elválasztás a komponenseknek egy álló és egy mozgó

fázis közötti megoszlásának különbségén alapszik. Mikhail Tswett botanikus 1906-

ban oszlopkromatográfia segítségével sikeresen elválasztotta a növényi levelek

pigmentjeit. Erre a célra függőleges üvegcsövet adszorbeáló anyaggal (Al2O3) töltött

meg, erre öntötte a mintát, melyet oldószerrel mosott át. Az oszlopon lefele haladva a

tiszta pigmentek jól elkülönültek egymástól színes sávok formájában. A

kromatográfiás módszerek csoportosítása többféleképp történhet. Az elválasztásban

résztvevő fázisok alakja és természete szerint lehetnek sík elrendeződésűek: a papír-,

vékonyréteg-kromatográfia és oszlop elrendeződésűek: folyadék- és

gázkromatográfia (GC). Az elválasztandó anyagok fázisa szerint lehet folyadék- vagy

gázkromatográfia. A gázkromatográfiánál az elválasztás alapja a komponensek

különböző megoszlása egy inert állófázis valamint a gázhalmazállapotú mozgófázis

között, mely az elgőzölt minta és egy vivőgáz pl. hélium keverékéből áll. Az inert

állófázis az oszlopban elhelyezett szilárd anyag vagy rávitt folyadék. A gáz áthalad

az oszlopon, a gázelegyben levő anyagok különböző mértékben kötődnek az álló

fázishoz és elkülönülnek. A gázkromatográfia keverékek gyors elválasztásának a

módszere, nélkülözhetetlen a kémiai szintézisben, alkalmas kismennyiségű anyagok

kimutatására. A nagyhatékonyságú folyadékkromatográfia (HPLC, High

Performance Liquid Chromatography) gyakran használt eljárás az analitikai

kémiában vegyületek azonosítására, elválasztására és mennyiségi meghatározására.

20

2. Az atomok szerkezete

Dalton (1804) atomelmélete szerint az anyag legkisebb része az atom. Az

elemek azonos atomokból épülnek fel, a vegyületek különböző elemek atomjaiból

állnak. A Dalton-féle atomelmélet az atomokat az anyagok további oszthatatlan

részeinek tekintette. Bár elképzelését a később elért kísérleti eredmények

megcáfolták, az elmélet vitathatatlan érdeme, hogy az elem és a vegyület fogalmát

ma is elfogadható módon definiálta.

A századfordulón az elektron felfedezése, majd a radioaktivitás jelenségének

a felfedezése megdöntötte az atomok oszthatatlanságába vetett hitet. Kiderült, hogy a

kémiai módszerekkel oszthatatlannak tűnő atomok atomfizikai módszerekkel

felbonthatók és kisebb, elemi részecskékből állnak.

Az elektron felfedezésére a katódsugárzás tanulmányozásánál, a XIX.

század második felében került sor. Kísérleti célra egy üvegkészüléket használtak,

amelybe elektródákat helyeztek, kiszivattyúzták az üvegcsőben levő gáz nagy részét

(kb. 0,001 MPa nyomásig) és az elektródákra nagyfeszültséget kapcsoltak (2.1. ábra).

V

vákuum

2.1. ábra. Katódsugárcső.

Megfelelő vákuum és feszültség esetén a cső világítani kezd, további

gázritkításra a cső fénye lassan kialszik, de a katódról induló láthatatlan sugárzás

megmarad, vezetés észlelhető, a cső fala halványan fluoreszkál a katódról érkező

sugarak becsapódása következtében. Ez a sugárzás semleges térben egyenes irányba

halad, de töltéssel rendelkező ponthoz képest negatív töltésűnek mutatkozik, negatív

töltésű lemeztől eltér és pozitív töltésű lemez felé hajlik. A katódsugarak természetét

J. Thomson (1897) katódsugár-cső segítségével vizsgálta (2.2. ábra). Kísérletei során

a sugarak útjába mágneses erőteret és ellenkező töltésű elektródákat helyezett.

21

2.2. ábra. A katódsugár tulajdonságainak vizsgálata.

A katódsugarak negatív töltés hordozói, negatív erőtér hatására a sugarak a B

pontba csapódnak be, mágneses tér alkalmazásakor viszont a C pontba csapódnak be.

George Stoney (1874) meghatározta az elektron töltésének és tömegének

arányát, e/m = 1,7588·1011

C/kg, az elektron elnevezés is tőle ered. Az elektron

töltése az eddig észlelt legkisebb elektromos töltés.

1909-ben R. Millikan egyszerű kísérlet, az ún. "olajcsepp kísérlet" alapján,

meghatározta az elektron tömegét. A módszer lényege az volt, hogy finoman

porlasztott olajcseppekre elektromos töltést juttatott és mérte azt a térerőt, amely a

cseppek szabadesését megakadályozta, ebből kiszámította a csepp igen kis töltését, e

= 1,6.10-19

C. Ismerve az e/m arányt kiszámítható lett az elektron tömege is, m =

9,1.10-31

g.

Pozitív sugarak. 1886-ban Eugen Goldstein módosított katódsugárcsőben

végrehajtott kísérletek alapján kimutatta, hogy pozitív töltésű sugárzás is létezik (2.3.

ábra).

vákuum

perforált katód (-)

anód (+)

nagyfeszültség

2.3. ábra. Pozitív sugarak képződése.

22

A pozitív sugarak vizsgálatakor kirerült, hogy ezek töltés/tömeg aránya

kisebb az elektron esetében talált érték ezredrészénél, és függ a gáz anyagi

minőségétől.

2.1. táblázat. Néhány atomi részecske tömege és töltése

Elemi részecske Tömeg (g) Tömeg (ate) Abszolút töltés (C)

Elektron 9,10939x10-28

5,48580x10-4 1,6022x10

-19

Proton 1,67262x10-24

1,00728 1,6022x10-19

Neutron 1,67493x10-24

1,00866 -

A radioaktivitás felfedezése Antoine Henri Becquerel Nobel díjas francia

fizikus nevéhez fűződik, aki észrevette, hogy az uránszurokérc nevű ásvány

jelenlétében a fényképezőlemez megfeketedett. A radioaktív sugárzás egy összetett

sugárzás, amelyik erős elektromos vagy mágneses tér hatására felbomlik: egy része

irányt változtat és a pozitív pólus felé tér el – ez a ß-sugárzás, egy másik rész a

negatív pólus felé tér el – ezek az α-sugarak, és a harmadik rész nem változtat irányt

– ezek a gamma-sugarak. Az α-sugarak pozitív töltésű héliumionok (He2+

), a ß-

sugarak az elektronok, míg a gamma-sugarak nem hordoznak elektromos töltéseket, a

nagy áthatolóképességű elektromágneses sugarak.

részecskék

sugarak

részecskék

radioaktiv anyag

ólom tömb

2.4. ábra. A radioaktív sugárzás komponensei.

A röntgensugárzás felfedezése W. C. Röntgen nevéhez fűződik, aki

megállapította, hogy ha a katódsugarak módosított katódsugárcsőben levő

anyagoknak ütköznek pl. fémből készült antikatódnak, új, láthatatlan sugárzás

keletkezik (2.5. ábra). A röntgensugárzás vagy X-sugárzás nagy energiájú

elektromágneses sugárzás, amelyet nem térít el sem mágneses, sem elektromos

erőtér. A nagy áthatolóképességű sugárzás frekvenciája függ az antikatód anyagi

minőségétől, hullámhossza ~ 0,01-10 nm.

23

antikatód

légritkított

üvegcsõ

katód

X sugarak

V

2.5. ábra. Röntgen-sugárzás.

2.1. Klasszikus atommodellek

Az elektron felfedezése és töltésének meghatározása az atom szerkezetére

vonatkozó hipotézisek megjelenéséhez vezetett. Az első modellek alapját csak az az

ismeret képezte, hogy az atomok semlegesek, egyenlő számú negatív és pozitív

töltéseket tartalmaznak. A XX. század elején különböző modelleket állítottak fel az

atomok belső szerkezetének leírására.

2.1.1. A Thomson-féle atommodell

1904-ben Joseph John Thomson olyan atommodellt javasolt, mely szerint az

atom egy 10-10

m sugarú, folytonos eloszlású pozitív töltésű gömb, ebben vannak

elhelyezve a negatív töltésű elektronok (2.6. ábra). A mazsolás puding néven is

ismert modellel nem lehetett megmagyarázni az atomok spektrumvonalait.

elektronok

+

+

+

+

+ +

++

pozitív töltésü atom

2.6. ábra. Thomson atommodellje.

24

2.1.2. A Rutherford-féle atommodell

A Thomson-féle atommodellt Ernest Rutherford kísérletei megcáfolták. A

modell bizonyítására Ernest Rutherford és munkatársai Hans Geiger és Ernest

Marsden olyan kísérletet hajtott végre, amely az α-részecskék szóródását

tanulmányozta vékony fémlemezeken. Rádium bomlásából származó vékony α-

sugárnyalábot bocsátottak merőlegesen aranyfóliára, mely mögött cink-szulfidos

fluoreszkáló ernyő volt elhelyezve. A részecskék az ernyőbe csapódva fényjelenséget

okoztak, így meghatározhatóvá vált az α-részecskék száma és becsapódásuk helye

(2.7. ábra).

2.7. ábra. Rutherford kísérlete.

Rutherford részletesen tanulmányozta az α-részecskék áthatolását, illetve

szóródását vékony fémlemezeken és megfigyelte:

• az α-részecskék zöme irányváltoztatás nélkül halad át a különböző fémekből

készült vékony fémlemezeken

• csekély részük többé-kevésbé eltérül az eredeti iránytól, szóródik

• ritkán akár 180-os, nagyszögű eltérés, visszaverődés is előfordul.

A kísérlet során kölcsönhatás jelentkezett az α-részecskék és a fémlemez

között. Ezekből a tényekből a következőket vonta le: mivel a tömör fémlemezen az α-

részecskék nagy része irányváltozás nélkül hatol át, az atomok által elfoglalt teret az

anyagi részecskék nem töltik ki egyenletesen. Az α-sugarak elhajlását az atom pozitív

részecskéjének közelsége okozza, a visszaverődést pedig ebbe a részecskébe való

ütközés. Az eltérések kis száma arra utal, hogy az atom külső nagy része laza negatív

töltésű tér és a pozitív töltésű, kisméretű atommag ennek csak igen kis részét foglalja

el.

A Rutherford-féle atommodell (1911), melyet bolygómodellnek is

neveznek, az atomot apró bolygórendszernek tekintette, amelynek középpontjában

található a Nap szerepét betöltő atommag, és körülötte bolygók módjára keringenek

25

az elektronok. Ismerve az α-részecskék töltését és tömegét, a szóródási kísérletek

alapján arra a következtetésre jutott, hogy az atomok kb. 10-10

m sugarú laza

képződmények, gyakorlatilag egész tömegük a rendkívül kis kiterjedésű (10-14

m

sugarú), pozitív töltésű atommagban összpontosul. A szóródási kísérletek alapján

rájött, hogy az atommagok pozitív töltéseinek száma azonos az illető elem

rendszámával, vagyis a periódusos rendszerben elfoglalt helyszámával.

Ahány pozitív töltése van az atommagnak, annyi elektron kering körülötte,

ezért az atom elektromosan semleges.

A modell hibái onnan származnak, hogy az elektron mozgását az atommag

körül nem lehet a klasszikus fizika törvényeivel magyarázni. A modell a klasszikus

elektrodinamika törvényei szerint nem lehet stabil: a keringő elektronok gyorsuló

mozgást végeznek, folyamatosan elektromágneses hullámokat bocsátanak ki, a

kibocsátott sugárzás energiaveszteséget okoz, így az elektron pályája egy spirál lesz,

végül az atommagba zuhan. Számítás szerint egy ilyen spirál élete 10-8

s lenne. Tehát

az elektrodinamika törvényei szerint a Rutherford-féle atom instabil és rövid életében

folytonos színképű sugárzást bocsájtana ki. Ez ellentmond a valóságnak, mivel az

atomok nagyon stabilak és meghatározott körülmények között kibocsájtott színképük

nem folytonos. A makrovilágra felállított fizikai törvények nem alkalmazhatók a

mikrovilágra.

2.1.3. A Bohr-féle atommodell

A Rutherford féle atommodellt 1913-ban Niels Bohr dán fizikus fejlesztette

tovább a kvantumelmélet eredményeit felhasználva. Bohr szerint az atom két részből

áll, az atommagból és az elektronburokból. Az elektronoknak az atommag körüli

elhelyezkedésére vonatkozóan két posztulátumot állított fel:

1. A stacionárius pályák kvantumelve értelmében az elektron csak meghatározott

(diszkrét) pályákon, meghatározott energiával keringhet a mag körül. Ezeken a

pályákon (orbitálokon) a klasszikus elektrodinamika törvényeivel ellentétben

sugárzás kibocsátása nélkül mozog (nincs energiaveszteség).

2. A frekvencia elv értelmében az atom által kisugárzott vagy elnyelt

elektromágneses sugárzás és az elektron energiaváltozása között a következő

összefüggés áll fenn:

ΔE = E1 - E2 = hν (2.1.)

ahol E1, E2 az elektron energiája az átmenetben szereplő két pályán: ha E1 > E2

fénykibocsátás (emisszió), ha E1 < E2 fényelnyelés (abszorpció) történik. A

kisugárzott vagy elnyelt energia tehát nem lehet tetszés szerinti ν rezgésszámú foton,

26

hanem csak a pályák energiakülönbsége által meghatározott frekvenciájú sugárzás,

ezért az atomok színképe vonalas szerkezetű.

Az elektron az egyik meghatározott energiájú pályáról egy másikra való

átmenetkor energiáját ugrásszerűen változtatja. Ha az elektronnal energiát közlünk,

akkor egy belsőbb pályáról külsőbb pályára kerül és fordítva, energia-leadáskor

külsőbb pályáról belsőbb pályára esik vissza, miközben az energia különbségnek

megfelelő elektromágneses sugárzás jön létre. Alapállapotban az elektron a legkisebb

sugarú és legalacsonyabb energiájú pályán mozog. Franck és Hertz kísérletileg is

igazolta az atomok kvantumszerű energiafelvételét.

A Bohr-posztulátumok, melyek a kvantumelméleten alapulnak, rámutatnak

arra, hogy az elektron mozgása már nem írható le a klasszikus fizika törvényeivel. A

hidrogénatomra végzett matematikai levezetéseknél a kvantumelvet egy pozitív egész

szám (kvantumszám) alkalmazásával (n =1, 2, 3…) vette figyelembe. Kiszámította az

egyetlen proton körül keringő elektron (hidrogénatom) kvantumszámtól függő

lehetséges pályáinak sugarát (rn) és a hozzájuk tartozó energiát (En).

A rendszerre érvényesek a klasszikus fizika törvényei, a Coulomb-törvény és

a centrifugális erő törvénye (2.8. ábra).

r1

r2

n=1n=2

v

2.8. ábra. A Bohr-féle atom.

A Coulomb-törvény szerint:

0

2

21

4

1

k

r

QQkF (2.2.)

Az összefüggésben ε0 a vákuum elektromos permittivitása. Az atommodell

alapján a pozitív töltés vonzásával a centrifugális erő tart egyensúlyt: míg az elektron

megengedett pályán mozog, a két erő egyenlő:

r

m

r

e 2

2

2

0

v

4

1

(2.3.)

27

Ebből kifejezhető:

mr

e

0

22

4v

(2.4)

Az elektron impulzusmomentuma a Planck-féle hatáskvantum egészszámú

többszöröse:

nhrm 2v (2.5)

Ez az összefüggés jelentette a kapcsolatot a makroszkopikus és

mikroszkopikus világ között. Az összefüggésből kifejezve v-t, majd felhasználva az

előző összefüggéseket meghatározható a képzeletbeli atom sugara:

0

2

222

22

4

1.

mr

e=

mr4

hn (2.6)

mr4

hn=

rm2

nh=

222

222

vv (2.7)

em

hn=r

2

022

(2.8.)

A hidrogénatom elektronhéjában keringő elektron lehetséges pályáinak

sugara egyenesen arányos a kvantumszám négyzetével. Alapállapotban (n=1) a

hidrogénatom elektronpályájának a 2.8. összefüggés alapján számított sugara a Bohr-

féle sugár (a0) néven ismert állandó, a0 = 5,291.10-11

m, továbbá r2 = 4r1, r3 = 9r1…

rn = n2 r1.

Mikor az elektron megengedett pályán mozog, melyhez egy bizonyos

kvantumszám rendelhető, En energiával rendelkezik, mely fordítottan arányos a

kvantumszám négyzetével.

Az elektron energiája stacionárius állapotban a Bohr-modell alapján a

kinetikus és potenciális energiák algebrai összege:

E+E=E potkinn (2.9.)

2r

e.

4

1=

mr42

me=

2

m=E

2

kin

00

22v

(2.10.)

A potenciális energia a Coulomb-féle erőből számítható ki:

E=Fr

e

4

1=F pot

2

0 (2.11)

28

2r

e.

4

1-=

r

e-

2r

e

4

1=E+E=E

2

0

22

0

potkinn

(2.12)

Behelyettesítve az r értékét:

222

0

4

8 hn

meEn

(2.13.)

Az első három energiaszintre kapott értékek: n = 1 (K) E1 = -13,35 eV; n = 2

(L) E2 = -3,39 eV; n = 3 (M) E3 = -1,5 eV.

Az n=1-el jellemzett stacionárius állapot a hidrogénatom alapállapota,

amikor az energia minimális. Az n = 2, 3…-al jellemzett állapotok gerjesztett

állapotok. Az n növekedésével az energianívók közelednek egymáshoz, ha n értéke

nagyon nagy, akkor az En→0, az elektron szabad állapotba kerül, az atom

ionizálódik. Az ionizációs energia az az energia, amely az elektront teljesen

eltávolítja, kiszakítja a mag vonzó hatásából.

Két lehetséges kvantumállapot energiakülönbsége megadja a hidrogénatom

emissziós színképében jelentkező spektrumvonalak hullámszámát. A hidrogénatom

Bohr-modellje tehát elméleti magyarázatot ad az empirikus spektroszkópiai adatok

értelmezésére.

2.1.4. A hidrogénatom színképe

Különböző halmazállapotú anyagok megfelelő izzításkor (láng, elektromos

szikra, ívfény) világítani kezdenek. A kibocsátott fény meghatározott frekvenciájú és

jellemző a kibocsátó atomra. Egy adott sugárzásban fellépő frekvenciák összessége a

frekvenciaszínkép, mely megfelelő készülékben spektrumvonalakkal jeleníthető meg.

Az atomok színképe vonalas. A vonalak helyzetének megadása történhet frekvencia

(ν, Hz), hullámhossz (λ = c/ν, nm) vagy hullámszám (σ, ῡ = 1/λ, cm-1) alapján.

Legegyszerűbb a hidrogénatom színképe, a többi atom színképe bonyolult. A

hidrogénatom színképe több sorozatot tartalmaz, amelyek közül legnagyobb

energiájú az ún. Lyman-sorozat, mely az UV-tartományban jelenik meg akkor,

amikor a gerjesztett elektron valamely magasabb energiaszintű pályáról a maghoz

legközelebbi 1-es főkvantumszámú pályára esik vissza. A színkép többi sorozatának

(a látható tartományban levő Balmer, az infravörös tartományban levő Paschen-,

Brackett- és Pfund-sorozatoknak) a vonalai a gerjesztett elektronnak az n = 2, 3, 4 és

5 pályákra való visszaugrásakor képződnek (2.9. ábra).

29

1

2

3

4

5

67

Folytonos színkép (szabad elektron)

Lyman-sorozat

Balmer

Paschen

Brackett

Pfund

E

0k

van

tum

szám

8...

2.9. ábra. Színképsorozatok.

Fényabszorpció esetén a hidrogénatom csak olyan hullámhosszú sugarakat

nyelhet el, amelyek energiakvantuma egyenlő két pálya közti energiakülönbséggel,

ilyenkor az elektron kisebb energiájú pályáról nagyobb energiájú pályára ugrik át. A

pályák energiaszintjei csak meghatározott értékek lehetnek, ezért az abszorpciós

színképek szerkezete vonalas.

A látható spektrumtartományban (400-700 nm) fellépő vonalak

hullámszámára Balmer (1885) kísérleti összefüggést állapított meg:

n

1-

2

1R=

22 (2.14)

Az R, a Rydberg-féle állandó, értéke 10973731,568539 m-1 (CODATA

érték). A 2.14 összefüggés egy-egy vonal hullámszámát két tényező, ún. term

különbségeként adja meg. Bohr bebizonyította, hogy ezek a termek hidrogénatom

esetén a különböző kvantumállapotoknak megfelelő energiák. A kísérleti adatokból

meghatározott Rydberg állandó így elméletileg is kiszámíthatóvá vált. Bohr 2.

posztulátuma, vagyis a frekvencia-elv értelmében felírható:

n

1-

n

1

ch8

em=

22

21

320

4

(2.15)

30

n

1-

n

1

h8

em=E-E=h 2

221

220

4

12

(2.16)

A Rydberg állandó számolt értéke 109,7373105 m

-1.

A Bohr modell hiányosságai. A Bohr-modell közelítő pontossággal

megmagyarázza a hidrogénatom vonalas színképét, de többelektronos atomokra már

nem alkalmazható. Nagy felbontóképességű spektroszkóppal végzett vizsgálatok

kimutatták, hogy jóval több színképvonal létezik, mint amennyit a

főkvantumszámmal meghatározott elektronpályák kombinációja megenged. A

modell alapján nem magyarázható a spektrumvonalak további felhasadása mágneses

(Zeeman-effektus) illetve elektromos erőtér (Stark-effektus) hatására (2.10. ábra).

n=2 1

2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f

3 1 4 1

Lyman-sorozat

Stark-effektus

Zeeman-effektus

2.10. ábra. A Lyman-sorozat felhasadása elektromos és mágneses erőtérben.

Egy-egy elektronhéjban tehát több energiaállapot lehetséges, mint amennyit

a főkvantumszám meghatároz. Az n főkvantumszám tehát nem elég az

elektronpályák teljes jellemzésére, a színképek finomszerkezetének magyarázatára

további adatokra van szükség, ezért az atommodellt módosítani kellett.

2.1.5. A Bohr-Sommerfeld-féle atommodell

Arnold Sommerfeld 1915-ben az eredeti Bohr-modellt úgy módosította,

hogy kör alakú pályák mellett ellipszispályákat is feltételez (2.11. ábra). Az

ellipszispályák mindkét tengelye csak meghatározott értéket vehet fel, ez szükségessé

tette egy újabb kvantumszám, az l mellék-kvantumszám bevezetését.

31

2b

2a

r

e

2.11. ábra. Ellipszis alakú pálya.

Ellipszis pályán mozgó elektron helyzete két adattal jellemezhető (r, φ) és

ennek megfelelően két kvantumfeltétel szükséges a pályák kiválasztására:

hn=dphn=dp rrr

r

r0

max

min

(2.17)

Mivel centrális mozgásnál a szögimpulzus pφ állandó:

2

hn=p2p=dp

2

0

vagyis (2.18)

Az nφ kvantumszám (azimutális kvantumszám) az impulzusmomentumot

kvantálja.

Sommerfeld az nr és nφ kvantumszámok és az ellipszis adatai között a

következő összefüggést állapította meg:

n

n=

n+n

n=

a

b

r

(2.19)

ahol b/a az ellipszis kis és nagy tengelyének aránya nφ + nr = n pedig a

főkvantumszám.

A számítások szerint a pálya energiája csak az n főkvantumszámtól függ, az

ellipszis fél nagytengelye és a főkvantumszám között pedig a következő összefüggés

adódik: a = n2ao, ahol ao a Bohr-féle sugár.

Az összefüggések alapján könnyen megállapítható a kvantumpályák

jellemző adatai (a, b) és adott főkvantumszám esetén a lehetséges pályák száma.

Az nφ értéke nem lehet zérus, ez azt jelentené, hogy az ellipszis egyenesbe megy át,

melynek mentén az elektron rezgő mozgást végez. A Bohr elméletnél ilyen pálya

nem lehetséges, mert ebben az esetben az elektronnak az atomaggal ütköznie

kellene. Az nφ legkisebb értéke tehát 1, legnagyobb pedig n, mely körpálya esetén

valósul meg: nφ = 1, 2, 3… n. A főkvantumszám minden n értékéhez tehát n állapot,

32

n számú különböző excentricitású pálya tartozik, melyek energia szempontjából

nem különböztethetők meg (2.2. táblázat). Az ilyen állapotokat degenerált

állapotoknak nevezik.

2.2. táblázat. A pályák száma és alakja

n nφ Alak Nagytengely Fél kistengely Pályák száma

1 1 kör a = a0 b = a0 1

2 1

2

ellipszis

kör

a = 4a0

a = 4a0

b = 2a0

b = 4a0

2

3 1

2

3

ellipszis

ellipszis

kör

a = 9a0

a = 9a0

a = 9a0

b = 3a0

b = 6a0

b = 9a0

3

Az ellipszis pályák bevezetése tehát önmagában nem magyarázza a

hidrogénatom spektrumának finomszerkezetét, mert a különböző alakú, de azonos

nagytengelyű pályák energiája egybeesik. Figyelembe véve a pályamozgást végző

elektron relativisztikus tömegnövekedését megszűnik az egybeesés, amint ezt

Sommerfeld kimutatta. Úgyszintén megszűnik az energiaszintek egybeesése a

többelektronos atomoknál, melyeknél a legkülső elektron mozgását a többi zavarja

(perturbálja). Többelektronos atomoknál az azonos főkvantumszámú, de különböző

azimutális kvantumszámú és az egy elektronnal rendelkező atomnál egybeeső

energianívók szétválnak.

Az nφ kvantumszám tehát az impulzusmomentumot kvantálja. A

spektroszkópiai adatok csak úgy magyarázhatók, ha feltételezzük, hogy az

impulzusmomentum nem nφ-vel, hanem nφ-1 = l-el arányos. Az l ún.

mellékkvantumszám értéke 0…(nφ-1)-ig változik, és a pályaimpulzussal a következő

összefüggésben van:

l=2

hl=p

2

hl|=p| ll

(2.20)

A kvantummechanika a következő összefüggést használja:

1)+l(l=2

h1)+l(l=p

l

(2.21)

A Bohr-Sommerfeld elmélet keretében nem lehet megmagyarázni a pl zérus

értékét, amely l=0 esetnek felel meg, várható hogy a pálya menti mozgáshoz mindig

tartozzon impulzusnyomaték.

A különböző mellékkvantumszámú pályákat a spektroszkópiában bevezetett

jelölés szerint: l=0 s, l=1 p, l=2 d és l=3 f pályának nevezik.

33

2.1.6. Az elektronpálya mágneses momentuma

A kör vagy ellipszis pályán mozgó elektron körárammal egyenértékű, az

elektrodinamika szerint ennek mágneses momentum felel meg.

A mechanikai impulzusmomentum és a mágneses momentum közti

összefüggés az elektrodinamika törvényei és a pálya impulzusmomentumra érvényes

kvantumfeltétel alapján számítható ki. A mágneses momentum μl az

impulzusmomentummal a következő összefüggésben van:

m2

e-=

e

l (2.22)

0e

l-l=

m4

eh-l= (2.23)

magneton-Bohrm4

eh=

e

0

(2.24)

Az atom mágneses momentuma tehát ugyancsak kvantált mennyiség, a μl

vektor akárcsak a pl vektor merőleges a pálya síkjára, de a pl-el ellenkező irányba

mutat.

2.1.7. A mágneses kvantumszám

Külső mágneses tér hatására a színképvonalak nagy része több egymáshoz

közel álló vonalakra hasad, ez a Zeeman-effektus, ugyancsak felhasadás észlelhető

elektromos tér hatására is, ez a Stark-effektus.

A spektrumvonalak felhasadása arra utal, hogy az elektronok atomon belüli

állapota az n és l kvantumszámokkal nincs teljesen jellemezve. Erőtér-mentes

állapotban ugyanolyan energiával rendelkező elektronok a külső erőtér és a pálya

mágnesesség kölcsönhatása miatt különböző energiára tesznek szert.

A spektrumvonalak felhasadásának a kvantumelmélet szerint az a

magyarázata, hogy a mag körül keringő elektronok impulzus momentumának iránya

nem lehet tetszőleges a mágneses erővonalakhoz képest, csak olyan beállású lehet,

amelyben az impulzusmomentumnak az erővonalakra való vetülete zérus, vagy h/2π

egész számú többszöröse m∙h/2π, ahol m a mágneses kvantumszám. Az m lehetséges

értékei, mivel pl = l∙h/2π, és ennek vetülete pl cosα = m∙h/2π, m = l∙cosα. Mivel a cosα

+1 és -1 között változik, ezért m +l…0…-l között minden egész számú értéket

felvehet.

34

-2

-1

0

+1

+2

ml

2.12. ábra. Az impulzusmomentum lehetséges irányai l = 2 esetén.

Adott l esetén a mágneses kvantumszámnak összesen 2l+1 értéke lehet, tehát

a pálya impulzusmomentumának ennyi beállási lehetősége van az erővonalakhoz

képest. Külső mágneses tér jelenlétében minden beállási helyzethez kissé különböző

energia érték tartozik, az energiaszintek felhasadnak (2.12. ábra).

Többelektronos atomokban minden elektron a többi által létesített belső

mágneses térben mozog, ezért a pályák általában egymáshoz képest meghatározott

irányításúak. A mágneses kvantumszám az elektronpályák atomon belüli

viszonylagos helyzetét is megszabja. Az m kvantumszám bevezetését térbeli

kvantálásnak nevezik.

2.1.8. Az elektron saját impulzusmomentuma

A spektrumokfinom szerkezetének tanulmányozása arra az eredményre

vezetett, hogy a termek elméleti értelmezésére az m és l kvantumszámok akkor sem

elegendőek, ha a fényt kibocsátó atomok nincsenek külső mágneses (vagy

elektromos) térben.

Az alkálifémek spektrumában számos vonal megkettőződése, vagyis dublett

termek észlelhetők. A nátrium intenzív sárga D vonala is dublett, két vonalból (D1 és

D2) áll, a második csoportba tartozó elemek spektrumában triplett vonalak

figyelhetők meg.

E tények arra mutatnak, hogy az atomban az ugyanazon n és l

kvantumszámokkal jellemzett elektronok energiája is különböző lehet, tehát az

elektron állapotának leírására szükséges még egy kvantumszám. A spektroszkópiai

adatokat azzal a feltevéssel lehetett értelmezni, hogy ennek az új kvantumszámnak,

melyet s-el jelölünk, egyelektronos rendszereknél csak két értéke lehetséges: s = ±½.

35

Goudsmit és Uhlenbeck (1925) az s kvantumszámnak a következő

szemléletes értelmezést adták: az elektron az atomban pálya menti mozgásán kívül

saját tengelye körül is forog, és ennek megfelelően pályaimpulzus nyomatékán kívül

mechanikai saját impulzusmomentummal, spinnel is rendelkezik. A saját

impulzusmomentum és a spin-kvantumszám közötti összefüggés:

2

1-=s

2

1=s

2

hs|=p|

svagy

(2.25)

Az s spinkvantumszám két lehetséges értéke közt a különbség egy, ami

megfelel annak az általános szabálynak, hogy a kvantumszámok értéke csak egész

számmal változhat.

A spin kvantumszámnak a pályamomentumhoz (pl) képest csak két beállási

lehetősége van: paralel (párhuzamos) vagy antiparalel beállás.

2.13. ábra. A spinmomentum beállása a pályamomentumhoz képest.

A spinmomentum és a pályamomentum egymáshoz képesti meghatározott

orientációja érthetővé válik, figyelembe véve, hogy az elektron saját tengelye körüli

forgásának is mágneses momentum felel meg: a pálya és spin momentum tehát

mágneses kölcsönhatásban van. Ha nincs pályamomentum (l=0) akkor a spin iránya

tetszőleges.

A spinnek, mint az elektron saját tengely körüli forgásának felfogása

szervesen illeszkedik a Bohr-Sommerfeld féle fél-klasszikus atommodellbe. E

felfogás nem kielégítő voltát mutatja az a körülmény, hogy a hipotézis alapján

számolt egyes tulajdonságok (pl. a spin mágneses momentuma) nem egyeznek a

tapasztalattal.

Az elektron ps sajátmomentumának egységéhez kétszer akkora μs mágneses

momentum tartozik, mint amekkora az egységnyi mechanikai pályamomentumnak

megfelelő μl mágneses momentum:

pcm

e-|=|

se

s

(2.26)

36

Ezt a jelenséget a pörgő elektron magnetomechanikai anomáliájának

nevezik. A spin az elektron olyan alapsajátságának tekinthető, amelynek nincs

makrofizikai megfelelője.

Az elektronoknak tehát egyrészt pályamenti mozgásuk, másrészt spinjük

folytán van mechanikai momentuma, az eredő impulzusmomentum:

2

hj=

2

hs+l (2.27)

ahol j = l + s = l ± ½ a belső kvantumszám, mely a teljes mechanikai momentumot

szabja meg h/2π egységekben.

A kvantummechanika szerint:

2

h1)+j(j|=p|

j

(2.28)

2.1.9. A részecske-hullám kettősség általánosítása, de Broglie hipotézis

A részecske-hullám kettősség problémája először a fény természetének

vizsgálata során jelent meg. A fénysebességgel mozgó fotonnak tehetetlen tömege és

impulzusa van, akárcsak a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskéknek, melyek az

Einstein-féle összefüggésekből számíthatók ki:

hcmE ff 2

(2.29)

A foton tömege és impulzusa tehát:

hcmp

c

hm fff 2 (2.30)

Ezek az összefüggések a részecske-hullám kettősség kvantitatív kifejezőinek

tekinthetők.

1923-ban de Broglie arra a következtetésre jut, hogy az összefüggés nemcsak

fotonokra, hanem a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskékre is érvényes, amelyek

tehát szintén hullámsajátságokkal rendelkeznek. Az m tömegű és v sebességgel

mozgó részecskék impulzusa:

hm v (2.31)

ahol λ a de Broglie-féle anyaghullámra jellemző hullámhossz. A de Broglie-féle

37

összefüggés szerint az anyag valamelyik m tömegű v sebességű részecskéjének

hullámhossza:

vm

h (2.32)

Az összefüggés a kvantummechanika egyik alapegyenlete.

De Broglie feltevését kísérletileg először Clinton Davison és Lester Germer

igazolták (1927), kimutatva, hogy vékony fémrétegeken (pl. ezüst fólián) áthaladó

elektronsugarak interferálnak és az interferenciakép alapján számított hullámhossz

igen jól egyezett a de Broglie összefüggés alapján számolt értékekkel. Ez világosan

jelzi, hogy az anyagi részecskéknek hullámsajátságai vannak. A de Broglie-féle

egyenlet alapján könnyen eljuthatunk a mag körül keringő elektron megengedett

pályáit kiválasztó kvantumfeltételhez.

Feltételezve, hogy a körpályán mozgó elektronhoz tartozó anyaghullám

ugyancsak körpálya mentén terjed, úgy a hullám csak akkor lehet stacionárius

(vagyis önmagába visszatérő) ha a pálya kerülete a hullámhossz (λ) egészszámú (n)

többszöröse:

2

hn=rm

m

hn=n=r2 v

v (2.33)

A mag erőterében mozgó elektron impulzusának kvantáltsága tehát az

elektron hullámtermészetének következménye.

2.2. Kvantummechanikai atommodell A Schrödinger-féle egyenlet

A kvantummechanika elméletét egy időben, de egymástól függetlenül és

eltérő módszerekkel dolgozta ki Ervin Schrödinger és Werner Heisenberg 1926-

1927-ben.

De Broglie hipotézise alapján feltételezhető, hogy az elektron

hullámtermészetét az atomon belül is megtartja. Az elektronhoz rendelhető hullám

nem lehet haladó hullám, mivel az atommag vonzása a mozgó elektront az atomon

belül visszatartja, tehát valamilyen állóhullám jön létre.

A kvantummechanikában egy mikrorendszer állapota az ún. Ψ függvénnyel

írható le, amit állapot- vagy hullámfüggvénynek neveznek. Ez a függvény általában a

helykoordináták és az időkoordináták összetett függvénye.

A Ψ függvény fizikai tartalmának értelmezése Max Born-tól származik. A Ψ

gyakran komplex függvény ezért megszorozzák komplex konjugáltjával (Ψ*). A

38

hullámfüggvény négyzete vagy a ΨΨ* típusú szorzat, a tér egy tetszőleges pontjában

arányos annak a valószínűségével, hogy a részecske e pont környezetében legyen,

vagyis a részecske tartózkodási helyének valószínűségi sűrűségével. Egydimenziós

rendszernél, ha a részecske csak az x irányba mozog, annak a valószínűsége, hogy a

részecske x és x+dx között tartózkodjon dW = ΨΨ*dx. A valószínűségi sűrűségből

megkapható a tartózkodási valószínűség, megszorozva azt az infinitezimálisan

kicsiny intervallum dx hosszával.

Háromdimenziós mozgásnál (elektron a mag körül) a hullámfüggvény az r

helyzetvektortól függ. Annak valószínűsége, hogy a részecske az r vektorral

jellemzett pont körüli dτ=dx∙dy∙dz térfogatelemben legyen dW =

Ψ(x,y,z)Ψ*(x,y,z)dτ. Annak valószínűsége, hogy ez teljes bizonyossággal

bekövetkezzen definicószerűen W=1. Ha valamennyi koordináta - és + között

változik, akkor az elektron a térben valahol biztosan megtalálható.

x

y

z

r

dx

dy

dz

2.14. ábra. A dτ térfogatelem derékszögű koordináta rendszerben.

A hullámfüggvény egyik tulajdonsága tehát, hogy eleget kell tennie a

normálási feltételnek:

12d (2.34)

A hullámfüggvénnyel szemben támasztott követelmények:

• a Ψ hullámfüggvény sehol sem válhat végtelenné, ez alapvető követelmény, ha

ez megtörténne az egyenletbeli integrál végtelen, a normálási tényező pedig zéró

lenne;

• egyértékű kell legyen, képtelenség, hogy a részecske egy adott pontban egynél

többféle valószínűséggel szerepeljen;

39

• folytonos kell legyen;

• eleget kell tennie a határfeltételeknek.

Egy rendszer állapota a fizikai mennyiségek teljes készletével jellemezhető,

a kvantummechanikában ez helyettesíthető egyetlen mennyiséggel (energia,

impulzusmomentum stb.). A kvantummechanikában azokat az értékeket, amelyeket

egy mennyiség felvehet, sajátértéknek nevezik, ezek lehetnek folytonosak, vagy

diszkrétek: An, n = 1, 2, 3… Az An sajátértékhez Ψn sajátfüggvény rendelhető. A

kvantummechanikában a fizikai mennyiségek ún. operátorokkal fejezhetők ki. Az

operátor olyan matematikai eljárás, amely a függvénnyel végrehajtandó műveletet

fejezi ki.

Tehát minden fizikai mennyiséghez tartozik egy  operátor, amely a

mennyiséghez rendelt (Ψ) hullámfüggvényre hat. Ha az An mennyiséghez tartozó

hullámfüggvény Ψn, akkor a hozzátartozó Â operátorral kijelölt műveletek elvégzése

után a Ψn függvénynek egy konstanssal, a megfelelő sajátértékkel (An), való szorzatát

kapjuk: Â Ψn = AnΨn. A sajátértékegyenlet általános alakja: (operátor)x(függvény) =

(számfaktor)x(előbbi függvény). Esetünkben: (energia operátor)x(hullámfüggvény) =

(energia) x (hullámfüggvény).

Az egyenlet megoldásai közül csak azok fontosak, amelyek eleget tesznek a

normálási feltételnek. A megoldáshoz tartozó A konstansok az ún. sajátértékek. A

sajátértékegyenlet a normálási feltétellel együtt megadja a kérdéses fizikai mennyiség

(A) sajátfüggvényeit és sajátértékeit.

Egy korpuszkulum impulzus komponenseire a px, py, pz operátorok

alkalmazhatók:

zip

yip

xip zyx

ˆˆˆ (2.35)

ahol ℏ = h/2π = 1,055.10-34

Js.

A kvantummechanikában gyakran használt fizikai mennyiség az energia (E),

amelynek Ĥ operátorát Hamilton-féle operátornak nevezik, William Hamilton XIX

századi matematikus tiszteletére. Egy m tömegű elektron esetén, mely külső

erőtérben mozog, a klasszikus energia függvény a kinetikus és a potenciális energiák

összege, és a következő alakban adható meg:

zyxVpppmEEE zyxpotkin ,,2

1 222 (2.36)

A Hamilton-féle operátor:

40

zyxVzdyx

mH ,,2 2

2

2

2

2

22

(2.37)

Az első tag a kinetikus energia operátora, a második a potenciális energia

operátor. A sajátértékegyenlet az elektronra: Ĥ Ψ = EΨ, vagyis:

zyxEzyxzyxVzyx

m ,,,,,,2 2

2

2

2

2

22

(2.38)

A fenti három dimenzióra érvényes egyenletet 1926-ban Schrödinger vezette

le, ezért Schrödinger-egyenletnek nevezik. Ez az egyenlet az energia sajátérték-

egyenlete, mely megadja a V potenciállal rendelkező térben mozgó elektron

sajátfüggvényeit és energia sajátértékeit.

Az egyenlet megoldása egy nehéz matematikai feladat, csak néhány esetben

létezik egzakt megoldás, az esetek döntő többségében csak közelítő megoldások

lehetségesek. Analitikai megoldás létezik például arra az esetre, amikor az m tömegű

elektron x=a hosszú egydimenziós dobozban mozog. Ilyenkor a Ψ = A sin(α ∙ x)

függvény ki tudja elégíteni a differenciálegyenletet. Az α és E megadhatók a

következő kifejezésekkel:

2m=E

2mE=

22

2

2

energiaaz (2.39)

2.2.1. A hidrogénatom kvantummechanikai leírása

A hidrogénatom kvantummechanikai modellje lényeges, mivel a

Schrödinger egyenletnek csak erre az atomra van egzakt megoldása. A hidrogénatom

protonból és elektronból áll, a Coulomb-féle vonzást a centrifugális erő egyenlíti ki.

Az elektron mozgása egy gömbfelületen való mozgáshoz hasonlít, ha a proton

nyugalmi állapotban a gömb központjában helyezkedik el. Az elektron helyzetének

megadásához két szög (θ, φ) és az r sugár szükséges. Mivel nem feltételezhető, hogy

az elektron a központtól mindig azonos távolságra mozog, valamennyi lehetséges

sugárral kell számolni. A hullámfüggvény megadásához tehát három változót kell

figyelembe venni (θ, φ, r).

A hidrogénatomra számolt eredmények érvényesek a He+, Li

2+, Be

3+ stb.

ionokra is (ún. hidrogénszerű atomok), melyekben nagyobb a magtöltés, de a mag

körül ezeknél is csak egy elektron található.

41

A hullámfüggvényeket a Schrödinger-egyenlet megoldásával állíthatjuk elő.

Ha a mag töltése +Ze, akkor az r távolságra mozgó elektron potenciális energiája:

00

2

4

e=e

r4

Ze-=V(r) (2.40)

r

eZ-=V(r)

2

(2.41)

A kinetikus energia operátorát Ê kin-el jelölve a Schrödinger egyenlet:

E=

r

eZ-E

2

kin

ˆ (2.42)

A hidrogénatom gömbszimmetrikus rendszer, ezért az elektron mozgásának

leírására polárkoordinátákat használnak (θ, φ, r), ahol r a rádiuszvektor, θ a

rádiuszvektor és a z tengely által bezárt szög, és φ a rádiuszvektor xy síkban való

vetületének az x tengellyel bezárt szöge.

x

y

z

P(x, y, z)

r

2.15. ábra. Polárkoordinátákra való áttérés.

A Descartes-féle koordináták és a polárkoordináták közti összefüggés:

x = r sinθcosφ y = r sinθsinφ (2.43)

z = rcosθ r2 = x

2 + y

2 + z

2

A Schrödinger-egyenlet formája a polárkoordinátákra való áttérés után:

02

sin

1sin

sin

1122

2

22

2

2

VE

m

rrrr

rr

(2.44)

42

A hullámfüggvény, Ψ(r, θ, φ) matematikai megoldása során a függvény két

egymástól független tagra bontható, amelyek közül az első csak a sugártól a második

csak a szögektől függ. A megoldás során megállapították: az elektron

háromdimenziós mozgásának a leírásához három kvantumszám n, l és m szükséges.

A hullámfüggvény alakja:

Ψnlm(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ) (2.45)

ahol a kvantumszámok lehetséges értékei: n: 1, 2, 3…; l: 0, 1, 2…(n-1),

m: -l, -(l-1)…-1, 0, 1…(l-1), l.

A hullámfüggvény Rnl(r) tagja a sugártól, az Ylm(θ, φ) tag pedig a szögektől

függ.

A hullámfüggvény megadja a hidrogénatom egyetlen elektronjának

valamennyi állapotát. Az állapotokat leíró hullámfüggvényeket atomi pályáknak

(orbitáloknak) is nevezik. Az atomi pálya típusát a mellékkvantumszám határozza

meg. Az l = 0, 1, 2, 3 stb. értékek esetén ezek jelölése s, p, d, f, g és így tovább.

A hidrogénatomban levő elektron impulzusnyomatéka a következő

kvantálási szabálynak tesz eleget:

)1+l(l=L (2.46)

A hullámfüggvény négyzete mindig pozitív értékeket ad, maga a függvény

azonban pozitív és negatív előjelű, sőt kompex értékű is lehet. Néhány

hullámfüggvény matematikai alakja:

a=rr

Z= 00

0

23

(2.47)

e1

=s rZr

-100 0

:1 (2.48)

er

Zr-2

32

1=2s r2

Zr-

0

0

200: (2.59)

cossin: 121 er32

1=p2 r2

Zr-

x 0 (2.50)

cos: 210 er32

1=p2 r2

Zr-

z 0 (2.51)

sinsin: 211 er32

1=p2 r2

-Zr

y 0 (2.52)

43

2.2.2. Csomófelületek

Azokon a helyeken, amelyeken a hullámfüggvény értéke 0, a

hullámfüggvény négyzete is zérus, tehát az elektron előfordulási valószínűsége

ezekben a pontokban nulla. Ezek a pontok összefüggő felületeket – úgynevezett

csomófelületeket alkotnak. A hullámfüggvény értéke a csomósíkon áthaladva előjelet

vált – kivétel a végtelenben levő csomófelület, mert az elektronsűrüség

aszimptotikusan tart a nullához.

A hullámfüggvény Ψnlm(r,θ,φ) = Rnl(r)∙Ylm(θ,φ) alakjában a változók tovább

szeparálhatóak, így Ψnlm(r,θ,φ) = Rnl(r)∙Θl,m(θ)∙Φm(φ) formára hozható. Mint három

tényező szorzata, a hullámfüggvény akkor lesz zéró, ha valamelyik tag lenullázódik.

Attól függően, hogy melyik tényező lesz nulla, három különböző típusú csomófelület

létezik:

• ha Rnl(r) = 0 adott r értékre, akkor csomógömbről,

• ha Θl,m(θ) = 0 adott θ szögre, akkor csomókúpról,

• ha Φm(φ) = 0 adott φ szögre, akkor függőleges csomósíkról

beszélünk. (A θ = 90° értékre kialakuló csomókúp tulajdonképp vízszintes

csomósík.)

A különböző csomófelületek számát a kvantumszámok határozzák meg.

Minden orbitálnak összesen n csomófelülete van. A csomógömbök száma n-l, amiből

egy a végtelenben helyezkedik el, tehát n-l-1 véges sugarú csomógömb van.

Függőleges csomósíkból |𝑚| van, tehát a csomókúpok száma l-|𝑚| lesz.

2.2.3. A hullámfüggvény szögfüggő komponense

A kémiai kötések kialakulásának szemléltetéséhez sokszor elég csak a

hullámfüggvény szögfüggő részének vizsgálata, valamint a hullámfüggvény

szimmetriájának megállapítása.

A szögtől függő komponens Ynl(θ, φ) ábrázolása térbeli felületeket

eredményez, ezek alakja a 2.16. ábrán látható.

Megfigyelhető, hogy míg az s orbitál gömbszimmetrikus, míg a többi

orbitálnak kitüntetett irányai vannak, ahol az elektronsűrüség maximális. Kémiai

kötések kialakulásához ezekben az irányokban történhet meg legjobb eredménnyel az

orbitálok átfedődése.

Ha az elektron előfordulási valószínüségét egy alhéj összes pályáján

összegezzük, az eredmény minden esetben gömbszimmetrikus lesz. Tehát egy

teljesen betöltött p (6 elektron), d (10 elektron), f (14 elektron) alhéj

44

gömbszimmetrikus. Ugyanez a helyzet a félig betöltött alhéjak (minden orbitálon

csak 1-1 elektron van) esetében is. Ha a hidrogénatom külső mágneses térbe kerül

(ami egy másik atom mágneses tere is lehet), akkor a gömbszimmetrikus eloszlás, és

ezzel együtt a különböző állapotok degenerációja is megszűnik.

2.16. ábra. A szögfüggő komponensek ábrázolása.

45

2.2.4. A hullámfüggvény sugártól függő összetevője

Az Rnl(r) függvények ábrázolása, mivel a szögfüggő komponenst figyelmen

kívül hagyjuk nem ad teljes képet az elektronsűrűség eloszlásáról. A függvény a

magból kiinduló egyenes mentén szemlélteti a relatív elektronsűrűség eloszlást (2.17.

ábra).

Megfigyelhető, hogy a mag helyén (r = 0) csak az s függvények

rendelkeznek véges értékekkel, az elektronsűrűségük itt a legnagyobb, majd a sugár

növekedésével gyorsan csökken. (Ez a magyarázata annak, hogy egyes

magreakciókban az atommag leginkább az 1s orbitálról képes elektront befogni,

mivel ennek a hullámfüggvénynek a legnagyobb az értéke az atommagban.) A

nagyobb mellék-kvantumszámú pályák nem csak hogy az atommagon átmenő

csomófelülettel rendelkeznek, de a hullámfüggvényük sugárfüggő komponense is

nulla az atommagban.

2.17. ábra. Az Rnl(r) függvények ábrázolása.

46

Gyakran használják a radiális eloszlásfüggvényt. A hullámfüggvény sugártól

függő összetevőjéből kiszámolható, hogy az elektron a magtól r távolságban levő,

elhanyagolhatóan kis vastagságú dr gömbhéjban milyen valószínűséggel tartózkodik.

Az r sugarú gömb felülete 4πr2, a dr vastagságú gömbhéj térfogata: dτ = 4r

2πdr, tehát

dW = R2nl(r)Y

2lm(θ, φ)dτ. Figyelmen kívül hagyva a szögfüggő komponenst (Y

2lm =1)

és dτ értékét behelyettesítve, dW = 4r2πR

2nl(r)dr, ahol a 4r

2πR

2nl(r) tag a radiális

eloszlás. Ennek változása r függvényében néhány n és l értékre a 2.18. ábrán látható.

2.18. ábra. A radiális eloszlás ábrázolása r/r0 függvényében.

Az 1s állapot legvalószínűbb sugara ao, egyezik a Bohr-féle sugárral. A

Bohr-modell szerint az elektron a mag körül olyan pályákon mozog, amelyek sugara

annál nagyobb minél nagyobb az elektron energiája. A legkisebb sugarú pálya ao. Az

elektron a kvantummechanikai modell szerint is a magtól ao távolságra tartózkodik a

legnagyobb valószínűséggel, de nem csak ilyen sugarú pályán mozog, ettől eltérő

távolságban is van tartózkodási valószínűsége. Növekvő n-el a maximális

47

tartózkodási valószínűségi helyek magtól való távolsága nő. A Bohr-modellből

hiányzik a valószínűség fogalma.

2.2.5. A sajátfüggvények szintvonal-diagramjai

A Ψ(r,θ,φ) hullámfüggvények, vagy azok Ψ2(r,θ,φ) négyzetei, a térben olyan

felületekkel is ábrázolhatóak, ahol értékük konstans, tehát azonos elektronsűrűségű

helyeknek felelnek meg. A térbeli felületek síkmetszeteit szintvonal-diagramoknak

nevezik.

2.19. ábra. Szintvonal-diagramok – Ψ(r,θ,�