Berbagi Info_ INDUKSI MATEMATIKA.pdf

10/27/2015 Berbagi Info: INDUKSI MATEMATIKA

http://asbarsalim009.blogspot.co.id/2015/02/induksimatematika.html?m=1 1/15

berbagai pengetahuan tentang sifat sifat shalat nabi, sifat whuduh, ribah, cara mandi wajibdan sebagainya.

Berbagi Info

6 F e b 2 0 1 5

INDUKSI MATEMATIKA

MAKALAHTEORI BILANGAN“Induksi Matematika”

OLEH:KELAS:III/EKELOMPOK 4

Rosdianti 10536 4627 13Waode Fitria 10536 4637 13Dian Sriwahyuni 10536 4642 13Ana Risliana 10536 4650 13

PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR

2014

http://asbarsalim009.blogspot.co.id/?m=1

http://3.bp.blogspot.com/-NyqJWzJPj0Y/VNRe5Sb6iAI/AAAAAAAAAyY/prWOwZ4q7Vk/s1600/00000000.jpg



BAB IPENDAHULUAN

A. Latar belakangBanyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang menyenangkan dan susah

untuk di pelajari, namun jika kita berusaha dan memikirkan bahwa matematika itu menyenangkan,pasti kita bisa mempelajari matematika itu. Bukankah di dunia ini atau persisnya di dalamkehidupan kita ini semuanya menggunakan matematika ?

Untuk menumbuhkan rasa menyenangkan ketika kita belajar matematika, yaitu gunakanimajinasimu bahwa matematika itu menyenangkan, berikan rasa percaya diri di dalam kepalamubahwa matematika itu gampang, dan kalau perlu ketika kita mengerjakan soal matematika kita harusberimajinasi seperti pemandu sorak yang tidak sabar menunggu hasil pertandingan yang berakhirdengan kemenangan.(bersoraknya dalam hati)

Nah ! untuk itu kami akan membahas tentang induksi matematika di mana Induksi matematikamerupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatupernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksi matematikaatau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataanpernyataan yangmenyangkut bilanganbilangan asli.

Bukan hanya itu induksi matematika pun mempunyai prinsip tersendiri untuk memecahkansuatu permasalahan dan menyelesaikannya yaitu prinsip terurut rapi (wellordering principle) daribilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut:

Induksi matematika ditemukan pertama kali oleh seorang metematikawan asal prancis yang

bernama Blaise Pascal (16231662). Induksi matematika merupakan teknik yang dikembangkanuntuk membuktikan pernyataan dan merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi.Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataanpernyataan yang menyangkut bilanganbilangan asli. Pengertian lain yaitu suatu cara standar dalammembuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian carainduksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asliatau semua bilangan dalam himpunan bagiannya.

Induksi matematis adalah suatu teknik pembuktian penting dan dapat digunakan untukmembuktikan pernyataan benar. Dalam bagian ini kita akan menggambarkan bagaimana induksimatematis dapat digunakan dan mengapa induksi matematis merupakan suatu teknik pembuktianvalid. Dengan mencatat bahwa induksi matematis hanya dapat digunakan untuk membuktikan hasilyang diperoleh suatu cara lain. Ini bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema.

B. Rumusan masalah



1. Bagaimana pengertian dari induksi matematika ?2. Bagaimana Prinsip Induksi Matematika ?3. Bagaimana Hubungan Prinsip Induksi Matematika ?4. Bagaimana Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematika?

C. Tujuan1. Mengetahui induksi Matematika.2. Mengetahui Prinsip Induksi Matematika.3. Mengetahui Hubungan Prinsip Induksi Matematika4. Mengetahui Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematika.

BAB IIPEMBAHASAN

INDUKSI MATEMATIKAA. Definisi:

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untukmenyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi.Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataanpernyataan yang menyangkut bilanganbilangan asli.Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuksemua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah denganmenunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkanbahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1(atau S(k + 1) benar).Untuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilangan asli, adadua langkah yang dilakukan, yaitu:

1. Jika benar, dan

2. Jika benar yang mengakibatkan juga benar,

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan



Maka bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli pertama, yaitu

1+2+:::+n, adalah sama dengan .Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiapbilangan asli, langkah langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:1. Cara Biasa / Basis

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa jumlah 1bilangan asli pertama adalah = 1. Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1. Untuk n=1, Ruas kiri = 1 Sedangkan Ruas kanan = 1 Kerena ruas kiri = ruas kanan, maka persamaanbenar untuk n=1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut jugabenar untuk n = k+1.

Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk setiapbilangan asli n

B. Prinsip Induksi MatematikaDefenisi lain dari Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yangsering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentukbilangan asli. Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahassuatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi(wellordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalahhimpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut. Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi daribilangan asli berikut.1. Prinsip Terurut Rapi Bilangan AsliSetiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil. Secara lebih formal,

prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunanbagian dari N, maka ada v0 anggota V sedemikian sehingga v0 ≤ v untuk setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yangdinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N. Adapun Prinsip Induksi Matematika: Misalkan S adalahhimpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:

1. S memiliki anggota bilangan 1; dan2. Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.

Maka diperoleh S = N.Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan

mencoba memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.



Pada gambar : Gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masingmasing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino.

Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkandomino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabilaproses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelahkanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya.

Bagian gambar (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi daribilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino.Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktifdan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semuadomino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akanrebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N.

Bagaimana dengan bukti formal dari prinsip induksi matematika?Bukti Andaikan S ≠ N. Maka himpunan N – S bukan merupakan himpunan kosong, sehingga

berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan bahwa m –1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan m adalah anggota terkecil dari N – S,maka m – 1 anggota S.

Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bahwa k = m – 1 merupakan anggota S, makak + 1 = (m – 1) + 1 = m juga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi bahwa mbukan anggota S. Sehingga N – S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain N = S.

Selain diformulasikan seperti di atas, Prinsip Induksi Matematika juga dapat dinyatakansebagai berikut. Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n.Apabila:1. P(1) benar.2. Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N.

2. Prinsip Induksi Matematika (versi kedua) Misalkan n0 anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap

bilangan asli n ≥ n0. Apabila:

(1) Pernyataan P(n0) benar;

(2) Untuk setiap k ≥ n0, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar.

Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n0.

Berikut ini adalah contoh yang menunjukkan bagaimana Induksi Matematika dapat digunakan



untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli. Contohnya Pengubinan dengan Tromino.

Diberikan suatu papan catur 2n × 2n (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojokdihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (Trominoadalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebuttidak dalam satu barisan yang berjajar). Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas

papan catur 21 × 21 yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang samadengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan

ukuran 2k + 1 × 2k + 1 yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut

menjadi 4 papan catur 2k × 2k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang

salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengahtengah papan catur 2k + 1 × 2k + 1

sedemikian sehingga persegipersegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakankasus n = k untuk menutup bagian A, B – T, C – T, dan D – T dengan tromino. Proses tersebut akan

menutup papan catur 2k + 1 × 2k + 1 tepat sempurna dengan trominotromino. (Gambar di bawah inimengilustrasikan untuk kasus n = 3).C. Hubungan Prinsip Induksi Matematika

Hubungan prinsp induksi matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkanS = n anggota N | P(n) adalah benar. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematikadi awal secara berturutturut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip InduksiMatematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan kesimpulan P(n)benar untuk setiap n anggota N.

Asumsi bahwa “jika P(k) benar” dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalahvaliditas dari “jika P(k), maka P(k + 1)”. Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n): “n = n +5”, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi P(k) untukmendapatkan P(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): “1 = 6” adalah salah, kita tidak dapatmenggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk setiap n anggota N.

D. Contoh Soal Penggunaan Induksi MatematikaAdapun beberapa contoh dalam penggunaan induksi matematika berikut ini:

1. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5n− 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1,2, ....jawab:Adapun langkahlangkahnya yaitu:

Akan ditunjukkan bahwa 5n − 1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Maka 51− 1 = 5− 1 = 4 habis dibagi 4.

Asumsikan bahwa 5n− 1 habis dibagi 4 untuk n = k, juga untuk n = k + 1,

5n− 1 = (5)k+1− 1 = [5.5k]− 1



=[(1 + 4).5k]− 1

= [5k +4.5k]−1

= (5k− 1) + 4.5k

Karena n=k, maka jika k=1 akan berlaku, n=k=1. Jadi,

(5k− 1) + 4.5k = (511)+4.51

= (51)+4.5= 4+20 = 24

Jadi, 24 dibagi 4 akan bernilai 6Berlaku pula n = k = 2. Jadi,

(5k− 1) + 4.5k = (521)+4.52

= (251)+4.25 = 24+100 =124

Jadi, 124 dibagi 4 akan bernilai 31

2. Buktikan 1+3+5+...+(2n1)= n2

Jawab:

1. Rumusnya benar untuk n=1 karena 1=12

2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n=k ; yaitu kita misalkan bahwa 1+3+5 +...+(2k

1)=k2.maka rumus tersebut benar untuk n=k+1 (Catatan bahwa bilangan bulat positif ganjil ken adalah(2k – 1), karena bilangan bulat ini diperoleh dengan menambahkan 2 suatu total dari k – 1 kali

dengan 1.); yaitu bahwa 1+3+5+...+(2k1)+(2k+1)=(k+1)2

Dengan menambahkan (2k+1) pada kedua ruas, Sehingga mengasumsikan bahwa P(k) benar, inimengikuti1+3 + 5 +…+(2k – 1) + (2k + 1) = 1 + 3 +…+ (2k – 1) + (2k + 1)

= k2 + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2.Ini menunjukkan bahwa P(n + 1) mengikuti dari P(n). Catatan bahwa kita menggunakan hipotesisinduktif P(n) dalam kesamaan kedua dengan menempatkan kembali jumlah dari n bilangan bulat

positif ganjil pertama dengan n2.3. Contoh soal pada Jumlah n Bilangan Asli Pertama. Buktikan untuk setiap n anggota N, jumlah dari

n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,

Bukti Kita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan Prinsip Induksi Matematika yang



dibahas di awal. Misalkan S adalah himpunan yang memuat n anggota N sedemikian sehinggarumus di atas bernilai benar. Kita harus menguji apakah kondisi (1) dan (2) pada Prinsip InduksiMatematika terpenuhi. Jika n = 1, maka 1 = ∙ 1 ∙ (1 + 1) sehingga 1 anggota S, dan kondisi (1) terpenuhi. Selanjutnya, andaikan k anggota Smaka kita akan menunjukkan k + 1 juga akan menjadi anggota S. Jika k angota S, maka:Jika kita menambahkan k + 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh

Karena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n = k + 1, maka kita menyimpulkan bahwak + 1 anggota S. Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut Prinsip InduksiMatematika kita memperoleh bahwa S = N, atau dengan kata lain persamaan tersebut berlakuuntuk semua bilangan asli.

4. Karena P(1) benar dan implikasi P(n) = P(n +1) benar untuk semua bilangan bulat positif n,prinsip induksi matematis menunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.a. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

f(n) = (1 x 2) + (2 x 3) + (3 x 4) + + n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2). Jawaban:

Langkah 1: f(n) => n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2). Jika f(1), maka=> 1 (1+1) = 1 (1 + 1)(1 + 2)=>1(2) = n (2)(3)=> 2 = 2

Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1. Langkah 2:

Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) = . (persamaan 1) Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu:

f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = (persamaan 2)Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas, yaitu:1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = +(k + 1)(k + 2)

Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas. Dengan demikian, kita telah membuktikanbahwa pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, dengan menggunakan induksimatematika.

b. Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2. Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n)=1+3+5+⋯+2n−1=n2

Jawab:



Langkah pembuktian pertama: untuk n =1, benar bahwa S(1)=12=1 Langkah pembuktian kedua: andaikan benar untuk n=k, yaitu

S(k)=1+3+5+⋯+2k−1=k2, maka akan dibuktikan benar pula untuk n=k+1, yaitu

S(k+1)=1+3+5+⋯+2k−1+2(k+1)−1=(k+1)2

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k2=1+3+5+...+2k−1

sesuai dengan pengandaian awal [1+3+5+⋯+2k−1]+2(k+1)−1=k2+2(k+1)−1kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

k2+2k+1=(k+1)2, ingat bahwa (k+1)2=k2+2k+1

(k+1)2=(k+1)2 (terbukti benar)Kesimpulan:Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian

BAB IIIPENUTUP

A. KesimpulanInduksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk

menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli.suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi

(wellordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalahhimpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Induksi matematis digunakan untuk membuktikan hasil tentang kompleksitas algoritma,pembetulan tipe program komputer tertentu, teorema tentang graf dan pohon, dan juga suatu rangeluas dari identitas dan pertidaksamaan.

Induksi Matematika juga merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikanpernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Selain itu Induksi Matematika juga

digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

B. SaranDalam makalah ini penulis memiliki harapan agar pembaca memberikan kritik dan saran yang

membangun. Karena penulis sadar dalam penulisan makalah ini terdapat begitu banyak kekurangan.Selain itu, penulis juga menyarankan setelah membaca makalah ini kita semua dapat

mengatakan bahwa matematika itu asyik. Setelah kita belajar tentang induksi Matematika kita akanlebih tertantang lagi dan lebih bersemangat dalam belajar khususnya matematika. Namun sepertiapa kata pepatah pasti tidak ada gading yang tak retak apalagi mengenai sesuatu yang diciptakanmanusia pastilah tidak ada yang sempurna.



Demikian sedikit saran yang bisa saya sampaikan, semoga bisa diterima dengan lapang dada dan

kepala dingin. Saling menghargai pendapat orang lain adalah ciri manusia yang beradab.

DAFTAR PUSTAKA

Sukirman. 2006. Pengantar Teori Bilangan.Hanggar Kreator : Yogyakarta

http://TeoriBilangan,com/belajarmatematika/(di posting pada tgl 26 November 2014)/http://www.sekolahmatematika.com/jasapengerjaanprmatematika/(di posting pada tgl 26November 2014)/

LAMPIRANLAMPIRANPertanyaan

1. (Klp 1: Sangkala ) Hubungan induksi matematika tentang pembuktian deduktif dalam islam ?2. (Klp 2:Andi Rahmiyati) Mengapa dikatakan induksi matematika jika pembuktiannya secara

deduktif ?3. (Klp 3:Asbar Salim) Berikan Contoh Hubungan prinsip induksi matematika ?4. (Klp 5: Nurfadillah) Penjelasan gambar tentang pengumbian dengan trombino ?5. (Klp 6: Siti Fahmia) Penjelasan gambar tentang efek domino ?6. (Klp 7: Erliani) Bagaiman pola yang digunakan bila itu menggunakan bilangan ganjil dan

bilangan genap7. (Klp 8: Asri) Penjelasan lebih lanjut dari prinsip terurut rapi ?

Jawaban

http://teori-bilangan%2Ccom/belajar-matematika/(di%20posting%20pada%20tgl%2026%20November%202014)/

http://www.sekolahmatematika.com/jasa-pengerjaan-pr-matematika/(di%20posting%20pada%20tgl%2026%20November%202014)/



1. Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa pembuktian secara deduktif adalah pembuktiandari umum ke khusus, yang dipakai dalam induksi matematika yang merupakan suatu teknikyang sederhana, yang kuat dan bagus untuk membuktikan berbagai pernyataan mengenaibilangan asli yaitu; N=1,2,3.....,dst

Dalam hubungannya sendiri dengan islam dengan pembuktian deduktif yaitu kita bisamembuktikan ayat Allah (Qs AlFatihah:1)

6 6 4 3Semuanya berjumlah 19

שسم هللا الرمحن الرحمي (1)

Memiliki 19 huruf hijaiyah dan termasuk bilangan asli dan bilangan prima.

Dari bilangan 19 inilah yang diambil dari firman Allah bisa di kaji lagi dan memiliki hubungandalam kitab suci Qur’an ,mari kita buktikan dengan pembuktian deduktif:1. Jumlah surah dalam AlQur’an = 114 surah, dan bilangan prima yang ke 114 adalah 619

Perhatikan bahwa 619= 114619= 114 619

2. AlQur’an terdiri atas 30 juz. Perhatikan bahwa bilangan 30 ini adalah bilangan komposityang ke19 . perhatikan deret: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30 ke19

3. AlQur’an terdiri atas 114 surah = 6 19 = 6 (10+9) = 60 + 54

60 surah dengan banyak ayat genap = 6 1054 surah dengan banyak ayat ganjil = 6 9

2. Karena dalam membuktikan suatu penyelesaiaan dengan induksi matematika harus terlebih dahulumemahami dan menggunakan pembuktian secara deduktif, karena pembuktian deduktif jugamerupakan bagian dari induksi matematika.mari kita simak sekali lagi apa sebenarnya/pengertian dari induksi matematika itu: Induksi



matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakansuatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksimatematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataanpernyataanyang menyangkut bilanganbilangan asli.Jadi, tidak ada lagi yang boleh memisahkannya.

3. Kami mengambil kembali contoh soal dalam makalah kami untuk menghubungkan prinsip dariinduksi matematika, seperti kita telah ketahui bersama bahwa prinsip induksi matematika sebagaiberikut: Untuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilanganasli, ada dua langkah yang dilakukan, yaitu:

1. Jika benar, dan2. Jika benar yang mengakibatkan juga benar,

Maka bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.Jadi, Hubungan prinsp induksi matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan

memisalkan S = n anggota N | P(n) adalah benar. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip InduksiMatematika di awal secara berturutturut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada PrinsipInduksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengankesimpulan P(n) benar untuk setiap n anggota N.

Asumsi bahwa “jika P(k) benar” dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis 2,kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah validitasdari “jika P(k), maka P(k + 1)”. Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n): “n = n + 5”,maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi P(k) untukmendapatkan P(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): “1 = 6” adalah salah, kita tidak dapatmenggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk setiap n anggota N.Adapun contoh soalnya yaitu:

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5n− 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1,2, ....jawab:Adapun langkahlangkahnya yaitu:

Akan ditunjukkan bahwa 5n − 1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Maka 51− 1 = 5− 1 = 4 habis dibagi 4.

Asumsikan bahwa 5n− 1 habis dibagi 4 untuk n = k, juga untuk n = k + 1,

5n− 1 = (5)k+1− 1 = [5.5k]− 1

=[(1 + 4).5k]− 1

= [5k +4.5k]−1

= (5k− 1) + 4.5k

Karena n=k, maka jika k=1 akan berlaku, n=k=1. Jadi,

(5k− 1) + 4.5k = (511)+4.51

16:22:43Tuesday 10.27.2015



= (51)+4.5= 4+20 = 24

Jadi, 24 dibagi 4 akan bernilai 6Berlaku pula n = k = 2. Jadi,

(5k− 1) + 4.5k = (521)+4.52

= (251)+4.25 = 24+100 =124

Jadi, 124 dibagi 4 akan bernilai 314. Perhatikan gambar dibawah ini !

Diberikan suatu papan catur 2n × 2n (n > 0), dengan salahsatu persegi di bagian pojok dihilangkan, buktikan bahwapapan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengantromino. (Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegitersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar).

Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 21 × 21 yang salahsatu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan

pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran 2k + 1 × 2k + 1 yang

salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut menjadi 4 papan catur 2k ×

2k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok

hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengahtengah papan catur 2k + 1 × 2k + 1 sedemikian sehinggapersegipersegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untukmenutup bagian A, B – T, C – T, dan D – T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur

2k + 1 × 2k + 1 tepat sempurna dengan trominotromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untukkasus n = 3).

Dengan kata lain, pengujian dengantromino ini kita ingin membuktukan bahwa apakah jikasalah satu pojoknya dihilangkan 1 maka akan menutupi semua trombino itu dengan n=3.Ternyata sudah terbukti.

5. Pada gambar :

1. Gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertamayang ditata rapi dengan jarak antara masingmasingdomino yang berdekatan kurang dari tinggi domino.

2. Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke



Asbar salim di Jumat, Februari 06, 2015

kanan, maka domino tersebut akan merebahkan dominonomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b).

Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1)tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), danseterusnya.

3. Bagian gambar (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakananalogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dariproses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akanmemberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, padaakhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, dominoyang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S =N.

Saya kira sudah jelas, pembuktian secara domino ingin membuktikan bahwa prinsipinduksi matematika itu berlaku untuk bilangan asli.

Pola untuk bilangan ganjil Pola untuk bilangan genap

Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil. Secara lebih formal,prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunanbagian dari N, maka ada v0 anggota V sedemikian sehingga v0 ≤ v untuk setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yangdinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N. Adapun Prinsip Induksi Matematika: Misalkan S adalahhimpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:

1. S memiliki anggota bilangan 1; dan2. Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.

Maka diperoleh S = N.jika S memiliki anggota bilangan 1(S=1). Dan untuk setiap k anggota N(N=k), jika k anggotaS(S=k), maka k+1 anggota S (S=k+1). Maka diperoleh S=NS = N =>1+k = k+1 => Terbukti.

Berbagi 8

Tidak ada komentar:

https://plus.google.com/110352900656007256338

http://asbarsalim009.blogspot.co.id/2015/02/induksi-matematika.html?m=1



‹ ›Beranda

Lihat versi web

Buat sebuah Link

Poskan Komentar

Link ke posting ini

Asbar salim Ikuti 72

Banyak TemanBanyak Rejeki

Lihat profil lengkapku

Berbagai Info

Diberdayakan oleh Blogger.

http://asbarsalim009.blogspot.co.id/2015/02/keterbagian-bilangan-bulat.html?m=1

http://asbarsalim009.blogspot.co.id/2015/02/bilangan-bulat.html?m=1

http://asbarsalim009.blogspot.co.id/?m=1

http://asbarsalim009.blogspot.com/2015/02/induksi-matematika.html?m=0

https://www.blogger.com/blog-this.g



https://www.blogger.com/

Documents

Berbagi Info_ INDUKSI MATEMATIKA.pdf