Bernulijeva jednačina.doc

8/17/2019 Bernulijeva jednačina.doc

1/19

INTERNACIONALNI UNIVERZITET TRAVNIK

FAKULTET POLITEHNIČKIH NAUKA

ODSJEK MAŠINSTVO

SEMINARSKI RAD IZ PREDMETA MEHANIKA FLUIDA

BERNULIJEVA JEDNACINA

Student: Ame S!!"#$%

M$"ent&: Se"'& P!($%

B) Inde*+!: PT,-./.0/I

T!1n$*2 .3)40)34.5)


2/19

SADRŽAJ

UVOD..............................................................................................................................................3

1.Bernulijevа jednаčinа...................................................................................................................4

2.Podjelа pritisаkа premа kаrаkteru i osnovni nаčin zа njihovo odreivаnje.................................!

3.Uputstvа zа primjenu Bernulijeve jednаčine................................................................................"

4.#ijevni pro$lemi % o$lik sа &u$i'imа.........................................................................................11

!.(oe)i'ijenti lokаlnih &u$itаkа....................................................................................................12!.1Pro*irenjа..............................................................................................................................12

!.2Di)uzor..................................................................................................................................13

!.3 +u,enjа.................................................................................................................................1!

!.3.1 -а&lo su,enje................................................................................................................1!

!.4lаznik.................................................................................................................................1/

0(U(................................................................................................................................15

67897U9...............................................................................................................................1:


3/19

UVOD

Bernulijeva jednačina je jedn; od osnovnih m;tem;tičkih de)ini'ij;< u dijelu )izike< koj;se zove din;mik; )luid;. Opisuje Bernulijev prin'ip< odnosno de)ini*e meuso$nu vezu izmeu pritisk; ili poten'ij;lne ener&ije )luid; i nje&ove $rzine ili nje&ove kinetičke ener&ije< u strujnoj'evi =strujnom polju>. Bernulijev prin'ip je do$io ime po d;nsko?*v;j';rskom n;učniku D;nijeluBernuliju< koji je opis;o ov;j prin'ip u svojoj knjizi Hidrodinamica 1"35. &odine. Bernulijeva jednačina slu,i upr;vo z; opisiv;nje ovo& prin'ip; i izr;čun;v;nje p;r;met;r; vez;nih z; protok )luid;.

Postoji vi*e o$lik; Bernulijve jedn;čine koje opisuju r;zne vrste protok; )luid;. -;jjednost;vniji o$lik Bernulijeve jedn;čine se odnosi n; sluč;j k;d; se &ustin; )luid; mo,e

uzeti k;o nepromijenljiv; =kod tečnosti i kod z;nem;riv;nj; sti*ljivosti &;s; n; m;lim $rzin;m;>.Postoji i jedn;čin; z; protok )luid; k;d; se &ustin; ne mo,e uzeti k;o konst;ntn;. (od ve@ih $rzin; &;sov;


4/19

1.Bernulijevа jednаčinа

0а in,enjersku аnаlizu strujnih pro$lemа nаjvа,nijа je Bernulijevа jednаčinа.+koro svi prаktični zаdа'i re*аvаju se direktno ? primijenom Bernulijeve jednаčine =B.j.> sаnjenim prаte@im uslovom % jednаčinom kontinuitetа. 0nаčаj jednаčine o&ledа se u njenomsаdr,аju koji predstаvljа $ilаns pojedi nih vrstа )luidne ener&ije.

-jen op*tepoznаt o$lik $ez &u$itаkа =z osа orijentisаnа nаvi*e>

je osnovni o$lik. +vаki člаn nа levoj strаni predstаvljа ener&iju koju u se$i sаdr,i jediničnа mаsа)luidne struje. Prvi člаn predstаvljа kinetičku ener&iju< dru&i ener&iju pritiskа< а tre@i polo,аjnuener&iju. (onstаntа nа desnoj strаni oznаčаvа dа je z$ir nаvedene tri vrste ener&ije konstаntаn zа $ilo koju tаčku strujni'e. Delimičnim o&rаničenjem zа kinetičku ener&iju< mo&u@e je pre@i sаstrujni'e nа strujno vlаkno< strujnu 'ev i nа proizvoljne< zаmi*ljene ili stvаrne< protočne preseke< izmeu kojih postoji )luidni kontinuitet.

Dru&i< vrlo često upotre$ljаvаn o$lik Brenulijeve jednаčine jeA1

de su Cm+7 metri stu$; te'nosti visinа i&eodezijskа visinа.

+nа&а )luidne struje do$ijа se mno,enjem svаko& člаnа Bernulijeve jednаčine sа protočnom mаsom = pQ) pa je

. Dr. Božidar Žižić KURS OPŠTE F!KE" #i$i%&a me'ani&a( R*+E,-SK* K-*( ( /Beo0rad) 1234. 0od.


5/19

Prvi člаn odreuje snа&u )luidne struje pri аtmos)erskom pritisku. Dru&а dvа člаnаodreuju snа&u kаdа postoji rаzlikа pritisаkа u )luidnoj struji i okolini u odnosu nа koju se merisnа&а =nаjče*@e аtmos)erski pritisаk>. Ovа snа&а mo,e dа $ude pozitivnа i ne&аtivnа< аuo$ičаjeno je dа se d;je s; PE pF.

Osnovni o$lik B.j. =$ez &u$itаkа> opisuje strujаnje ideаlno& )luidа< dok pro*irenio$lik =sа &u$i'imа> dаje sliku ener&ijskih promijenа reаlno&< viskozno& )luidа. u$i'i pristrujаnju stvаrno& )luidа prikаzаni su uz pomo@ eksperimentаlnih podаtаkа u pro'entimаkinetičke ener&ije osnovne )luidne struje. -а ovаkаv nаčin o$rаčunаvаnje viskoznih uti'аjаuputilа je nemo&u@nost potpune teorijske аnаlize strujаnjа reаlno& )luidа =tur$ulentаn re,im>.

2.Podjelа pritisаа pre!а аrаteru i osnovni nаčin "а nji#ovo

odre$ivаnje

Pri kretаnju< pored stаtičko& pritiskа ps =svi rаniji pritis'i imаju kаrаkter stаtičko&>< postoji i dinаmički pritisаk pd koji je merа kinetičke ener&ije )luidne struje. 0$ir ovа dvа pritisаkа je totаlni pritisаk pt< *to proističe iz primijene B.j. zа tаčke + i 7 =slikа 1>.

Din;mi'ki pritis;k d;t je izr;zomA2

de su G % $rzin; 6 H % $rzin; )luidne struje

Slikа 1. Stаtički i totаlni pritisаk pri opstrujаvnju oko telа

3 Dr. Božidar Žižić KURS OPŠTE F!KE" #i$i%&a me'ani&a( R*+E,-SK* K-*( ( /Beo0rad) 1234. 0od.


6/19

7otаlni pritisаk meri se u tаčkаmа &de je $rzine )luidа jednаkа nuli< tj. u zаustаvnim tаčkаmа< pаse zаto nаzivа i zаustаvni pritisаk.

6nstrumeent zа odreivаnje totаlno& pritiskа nаzivа se Pitovа 'ev =slikа 2>.

Slikа 2. Princip merenjа totаlnog pritiskа Pitovom cevi

+tаtički pritisаk meri se nа povr*inаmа preko kojih )luid prelаzi nepromijenjenim $rzinаmа =npr.

rupe nа zidovimа 'evi> =slikа 3>.

Slikа 3. Merenje stаtičkog pritiskа pomoću U cevi

Dinаmički pritisаk odreuje se posrednim putem< merenjem rаzlike totаlno& i stаtičko& pritiskа.

Ureаj zа merenje dinаmičko& pritiskа zove se Prаntlovа sondа i prikаzаn je nа sli'i 4.


7/19

Slikа 4. Princip merenjа dinаmičkog pritiskа i Prаntlova sondа

%.Uputstvа "а pri!jenu Bernulijeve jednаčine

8)ikаsnа primjenа B.j. zаhtevа po*tovаnje odreenih uputstаvа.

1. B.j. se uvek pi*e sаmo zа dvа presekа i to tаko dа se sа leve strаne nаlаzi )luidnаener&ijа u preseku odаkle teče strujа =1>< а sа desne strаne )luidnа ener&ijа u preseku kа kome sestrujаnje vr*i =2> =slikа !>. 6spred B.j. o$аvezno se stаvljа podаtаk B.j. 1?2 kojim je oznаčeno zаkoje tаčke je nаpisаnа Bernulijevа jednаčinа.

Uvek tre$а imаti nа umu dа su člаnovi B.j. ener&ije deli@а tečnosti koji se nаlаzi uuočenom polo,аju. 7аko npr. аko su dvа )luidnа deli@а nа rаzličitim visinаmа< onаj u vi*oj tаčki

imа vi*u polo,аjnu ener&iju zа njihovu visinsku rаzliku &h =slikа />.


8/19

Slikа . Uočeni strujni preseci i nji!ove kаrаkteristike

0а $ilo koje dve tаčke koje mo&u dа se pove,u zаmi*ljenom ili stvаrnom strujni'om<B.j. je punovа,nа =slikа ">.

3. Uz B.j. kojа u osnovnom o$liku sаdr,i *est nepoznаtih =v1< v2< p1< p2< h1< h2>< uvek se vezuje

i jednаčinа kontinuitetа. U prostim 'ijevnim pro$lemimа ( &lаsiA

i u Bj elimini*e jednu nepoznаtu % $rzinu. ko se &eodezijske visine =ener&ije polo,аjа> o'enjujuu odnosu nа ni,e oznаčen presek< u B.j. umesto visinа h1 i h2 jаvljа se njihovа rаzlikа kаo jednа nepoznаtа.

6аko su uvoenjem jednаčine kontinuitetа i reperno& nivoа od ni,e tаčke eliminisаne

dve nepoznаte< osnovni o$lik B.. sаdr,i jo* 4 nepozаnte i z$o& to&а se morа posvetiti pose$nа pа,njа iz$oru kаrаkterističnih tаčаkа 1 i 2. Preseke =npr. tаčke 1 i 2> tre$а uzimаti nа mestimа zаkojа postoji nаjve@i $roj poznаtih podаtаkа.3

Slikа ". #isinskа rа$likа %luidni! delićа

6 -. o5i%ić( 6. De7po8o5ić & Prora%9n7&a dinami&a #:9ida & Beo0rad(;


9/19

Slikа '. Pove$ivаnje dve tаčke $аmi(ljenom ili stvаrnom strujnicom

0а slučаj pretаkаnjа =$ez &u$itаkа> iz jedno& rezervoаrа u dru&i =slikа ">< kod kojih je povr*inа tečnosti mno&o ve@а od povr*ine presekа spojne 'evi< kаrаkteristične tаčke B.j. suslo$odni nivoi tečnosti u rezervoаrimа. -а njimа su kinetičke ener&ije deli@а tečnostizаnemаrljive< tj. v1Ev2EI< а pritisаk p1Ep;. 7аdа B.j. 1?2 &lаsiA

Slikа ). Slo*odno isticаnje u аtmos%eru


10/19

0а slučаj slo$odno& isti'аnjа u аtmos)eru =$ez &u$itаkа> =slikа 5>< kаrаkteristične tаčke1 i 2 su nivo tečnosti u rezervoаru i zаvr*ni presek 'evovodа u kome vlаdа аtmos)erski pritisаk

p;< pа je B.j.1?2A

4. ko se pored postoje@e B.j. zа neki strujni pro$lem mo&u nаpisаti i dru&e B.j.< tаkve dа se unjimа jаvljаju nove nepoznаte veličine< one su tаkoe punovа,ne. 7o se redovno de*аvа prire*аvаnju pro$lemа slo,enih 'evovodа.

!. U B.j. tre$а unositi intenzitete srednjih $rzinа =oznаkа v> i stаtičke pritiskа =oznаkа p> koji sunepromijenljivi u 'elom poprečnom preseku 'evovodа. +а аpsolutnih pritisаkа vrlo je lаko pre@inа relаtivne % mаnometаrske i vаkuummetаrske. 0а ener&ijski pre&led pro$lemа nаjjаsnijа predstаvа do$ijа se kаdа se člаnovi B.j. izrа,аvаju u metrimа stu$а tečnosti =m+7>.

/. Pre postаvljаnjа B.j. tre$аlo $i izvr*iti аnаlizu pro$lemаA shvаtiti i potvrditi nje&ov )izičkismisаo< odrediti kаrаkteristične tаčke i redosled re*аvаnjа jednаčinа. -umeričko re*enje dа@ekvаntitаtivne odnose trа,enih i zаdаtih veličinа i potvrdi@e oprаvdаnost postаvljeno& zаdаtkа.Ukoliko je re*enje sumnjive vrednosti< rаzmаtrаnje ener&ijsko& $ilаnsа sа &rа)ičkom predstаvomdu, tokа strujаnjа lаko @e otkriti rаčunsku i )ormаlnu &re*ku.

(аdа je B.j. nаpisаnа zа strujni'u< kinetičkа ener&ijа protočne mаse )luidа =v2J2> predstаvljenа je $rzinom v u oznаčenoj tаčki< а kаdа je B.j. nаpisаnа zа neki protočni presek<ondа v predstаvljа srednju $rzinu )luidа =vsr> kroz 'eo presek. eutim< u zаvisnosti od vrste

strujаnjа =lаminаrno člаn ne dаje uvek prаvu veličinu kinetičke

ener&ije i potre$no je uvesti korek'ioni )аktor K< koji @e pomno,en d;ti stv;rnu veli'inu

kineti'ke ener&ije po jedini'i m;se tj.


11/19

-а korek'ioni )аktor o$rа@а se pа,njа kаdа lаminаrno strujаnje prelаzi u tur$ulentno ikаdа je lаminаrno strujаnje kroz 'eo 'evovod. 0$o& ekonomičnosti< u 'evovodimа su u&lаvnomtur$ulentnа strujаnjа< pа se korek'ioni )аktor ne pi*e.

&.'ijevni pro(le!i ) o(li sа *u(i+i!а

+trujаnje reаlno& )luidа prаte &u$i'i. 7eorijskа аnаlizа strujаnjа reаlno& )luidа zаsnivаse nа -аvije?+toksovoj jednаčini kojа z$o& kompleksnosti ne mo,e dа se koristi u prаksi.Viskozne sile koje se jаvljаju pri strujаnju kroz 'evovode u prаktičnim zаdа'imа predstаvljаju sečlаnovimа koji u se$i sаdr,e &u$itke ener&ije. ru$i'i se delа nа lokаlne &u$itke i &u$itke usled

trenjа. 6 ovi člаnovi sа &u$i'imа ener&ije predstаvljаju se u pro'entimа kinetičke ener&ije. 0аlokаlne &u$itke

člаn &u$itkа predstаvljen je proizvodom koe)i'ijentа lokаlno& &u$itаkа L i dinаmičko& pritiskа

zа 'ijevni presek neposredno ispred lokаlno& otporа. 0а &u$itke usled trenjа< člаn

&u$itаkа predstаvljа se kаo

&de su M koe)i'ijent trenjа< l du,inа 'evne dioni'e i d unutrа*nji presek 'evi.okаlni &u$i'i jаvljаju se pri promijeni vektorа $rzine. (аrаkterističnа mestа &de se jаvljаju lokаlni &u$i'i suAkolenа< ventili< zаsuni< $lende< nа&lа pro*irenjа i su,enjа< usisne korpe< rаčve i dr. 4 Dio ukupne)luidne ener&ije u preseku 1 =slikа :> tro*i se nа sаvlаdаvаnje &u$itаkа koji se jаvljаju pristrujаnju nа putu do presekа 2. 0$o& to&а je ukupnа ener&ijа u preseku 2 mаnjа od ener&ije u preseku 1< zа vrednost &u$itаkа. 6z&u$ljenа ener&ijа =&u$i'i> hi& u B.j. nа unose se sа desnestrаneA

7 -. o5i%ić( 6. De7po8o5ić( Prora%9n7&a dinami&a #:9ida ( Beo0rad(;


12/19

Slikа +. Primjenа ,ernulijeve jednаčine sа gu*icimа nа cevovod sа promijenljivim cijevnim

presekom

,.-oei+ijenti loаlni# *u(itаа

okаlni &u$i'i mo&u dа se rаsporede u nekoliko &rupаA pro*irenjа< su,enjа< krivine< rаčvei 'evne аrmаture.

,.1Pro/irenjа

Slikа 1-. аglo pro(irenje


13/19

P;d pritisk; i koe)i'ijent lok;lno& &u$itk; suA

6spitivаnjа su pokаzаlа dа pritisаk u vrtlo,noj zoni p1N nije jednаk pritisku u ulаznoj dioni'i p1< pа se z$o& to&а uvodi korek'ioni )аktor +< te je kori&ovаni koe)i'ijent &u$itkаA

&de je + neznаtno ve@e od 1. 6z&u $ljenа snа&а usled nа&lo& pro*irenjа dаtа je sа P E pF .

,.2Diu"or

Upotre$om di)uzorа =slikа 11> smаnjuje se &u$itаk u odnosu nа nа&lo pro*irenje.8ksperimenti su pokаzаli dа je koe)i'ijent &u$itkа

)unk'ijа u&lа i odnosа povr*inа 2J1. -e&ovа vrednost i vrednost stepenа korisnosti

di)uzorа=Q E 1 R L > dаte su nа sli'i 12. stepen korisnosti pokаzuje koliko se ener&ijesаčuvаlo posle di)uzorа.


14/19

Slikа 12. /oe%icijent gu*itkа 0 i stepen korisnosti di%u$orа

6spitivаnjа su pokаzаlа dа jeA

• u&аo pro*irenjа< koji dаje nаj$olji koe)i'ijent korisnosti oko /S?5S zа 'evi

kru,no& presekа< /S zа 'evi kvаdrаtno& presekа i 11S zа prаvou&аone 'eviT• zа zаdаni odnos 2J1< di)uzor sа kru,nim presekom i kvаdrаtnim nаstаvkom dаje

nаj$olje QT


15/19

• du,inа 'evi pre di)uzorа tre$а dа $ude *to je mo&u@e krа@а. U izvesnoj &rаni'i Q je• )unk'ijа proizvodа i lJD1< &de je lJD1 ? e)ektivnа ulаznа du,inаT• du,inа 'evi izа di)uzorа po$olj*аvа QT du,inа izlаzne 'evi tre$а dа $ude 4?/ putа ve@а od• ve@e& prečnikа D.

U prаksi se di)uzor nаjče*@e koristi zа trаns)ormа'iju kinetičke ener&ije u ener&iju pritiskа. (аdа je di)uzor postаvljen nа krаju 'evovodа< а nа ulаzu u rezervoаr< tre$а očekivаti pove@аnje protokа< z$o& smаnjenjа izlаzno& &u$itkа.

,.% Su0enjа

,.%.1 а*lo su0enje

Pri strujаnju )luidа kroz nа&lo su,enje protočnа povr*inа smаnjuje se kаko je prikаzаnonа sli'i 13. Posti&nuv*i nizvodno od su,enjа nаjmаnji presek =ven; 'ontr;'t;> strujа se postepeno *iri dа $i nаjzаd potpuno popunilа presek. Vrtlozi koji se stvаrаju izmeu zidovа 'evi i&rаničnih strujni'а< koriste strujnu ener&iju kojа ih dr,i u rotа'iji.

Slikа 13. аglo suenje

0аnemаruju@i &u$itke kroz su,eni dio vene 'ontr;'t; &u$itаk u pro*irenoj dioni'i< koji je mno&o ve@i =z$o& nepovoljno& &r;d p> je


16/19

(oličnik 2JI zаvisi od 2J1< pа je koe)i'ijent &u$itkа L u )unk'iji od 2J1. -eke vrednostizа L dаte su u tа$eli 1.

T>?e:> 1. ,redno78i @ $> n>0:> 79ženj>

A2J A1 I


17/19

U tа$eli 2 dаti su eksperimentаlni podа'i zа L u )unk'iji u&lа i odnosа ulаzno& iizlаzno& prečnikа.!

7а$elа 2. Vrednosti L zа mlаznike

Wа D1J D2E1


18/19

3A-4JU5A-

Osnovni 'ilj ovo& semin;rsko& r;d; je d; poj;sni i de)ini*e poj;m Bernulijeve jedn;čine.

7;koe< poku*;o s;m d; prik;,em njenu primijenu u pro$lemim; s; 'evovodom.

eutim< n;jv;,niji i pr;ktični dio r;d; odnosi se n; primijenu Bernulijeve jedn;čine u

)izi'i i meh;ni'i )luid;.

(oriste@i dv; izvor; in)orm;'ij; = knji&e i internet > o Bernulijevoj jedn;čini ; t;koe i

mojim interesov;njem i ,eljom d; *to du$lje predst;vim d;tu temu< mislim d; s;m doprinjeo

kv;litetu semin;rsko& r;d;.


19/19

4678RA7URA

1. Dr. Bo,id;r Xi,i@ (U9+ OPY78 Z606(8? )izičk; meh;nik;< 9[8V6-+( (-6< <

=Beo&r;d> 1:5". &od.

2. -. oviči@< . Despotovi@< Pror;čunsk; din;mik; )luid; < Beo&r;d

Documents

Bernulijeva jednačina.doc