67

Бернулијева једначина

За инжењерску анализу струјних проблема најважнија је Бернулијева једначина. Скоро сви практични задаци решавају се директно - применом Бернулијеве једначине (Б.ј.) са њеним пратећим условом – једначином континуитета. Значај једначине огледа се у њеном садржају који представља биланс поједи них врста флуидне енергије. Њен општепознат облик без губитака (z оса оријентисана навише)

2 Jconst.2 kgv p gz

ρ⎡ ⎤

+ + = ⎢ ⎥⎣ ⎦

је основни облик. Сваки члан на левој страни представља енергију коју у себи садржи јединична маса флуидне струје. Први члан представља кинетичку енергију, други енергију притиска, а трећи положајну енергију. Константа на десној страни означава да је збир наведене три врсте енергије константан за било коју тачку струјнице. Делимичним ограничењем за кинетичку енергију, могуће је прећи са струјнице на струјно влакно, струјну цев и на произвољне, замишљене или стварне, проточне пресеке, између којих постоји флуидни континуитет. Други, врло често употребљаван облик Бренулијеве једначине је:

[ ]2 Jconst. mST

2 Nv p zg gρ

⎡ ⎤+ + = ⎢ ⎥⎣ ⎦

где су [ ]mST метри стуба течности, најчешће воде [ ]mVS . Овде су поједине врсте енергије дате у метрима стуба течности која струји кроз посматране пресеке. Погодна је за квантитативно и дијаграмско поређење свих врста енергије преко одговарајућих висина стубова проточне течности. Чланови су редом: брзинска висина, притисна (пијезометарска) висина и геодезијска висина. Снага флуидне струје добија се множењем сваког члана Бернулијеве једначине са проточном масом (ρQ), па је

[ ]21 const. W2

P Qv pQ z gQρ ρ= + + = .

Први члан одређује снагу флуидне струје при атмосферском притиску. Друга два члана одређују снагу када постоји разлика притисака у флуидној струји и околини у односу на коју се мери снага (најчешће атмосферски притисак). Ова снага може да буде позитивна и негативна, а уобичајено је да се даје са P pQ= ∆ . Основни облик Б.ј. (без губитака) описује струјање идеалног флуида, док проширени облик (са губицима) даје слику енергијских промена реалног, вискозног флуида. Губици при струјању стварног флуида приказани су уз помоћ експерименталних података у процентима кинетичке енергије основне флуидне струје. На овакав начин обрачунавање вискозних утицаја упутила је немогућност потпуне теоријске анализе струјања реалног флуида (турбулентан режим).

Подела притисака према карактеру и основни начин за њихово одређивање

При кретању, поред статичког притиска ps (сви ранији притисци имају карактер статичког), постоји и динамички притисак pd који је мера кинетичке енергије флуидне струје. Збир ова два притисака је тотални притисак pt, што проистиче из примене Б.ј. за тачке S и T (слика 1).

t s dp p p= + .

Динамички притисак дат је изразом

68

[ ]21 Pa2dp vρ=

где су: ρ - густина, а v – брзина флуидне струје.

Слика 1. Статички и тотални притисак при опструјавњу око тела

Тотални притисак мери се у тачкама где је брзине флуида једнака нули, тј. у зауставним тачкама, па се зато назива и зауставни притисак. Инструмент за одређивање тоталног притиска назива се Питова цев (слика 2).

Слика 2. Принцип мерења тоталног притиска Питовом цеви

Статички притисак мери се на површинама преко којих флуид прелази непромењеним брзинама (нпр. рупе на зидовима цеви) (слика 3).

Слика 3. Мерење статичког притиска помоћу U цеви

Динамички притисак одређује се посредним путем, мерењем разлике тоталног и статичког притиска. Уређај за мерење динамичког притиска зове се Прантлова сонда и приказан је на слици 4.

69

Слика 4. Принцип мерења динамичког притиска и Прантловa сонда

Упутства за примену Бернулијеве једначине

Ефикасна примена Б.ј. захтева поштовање одређених упутстава. 1. Б.ј. се увек пише само за два пресека и то тако да се са леве стране налази флуидна енергија у пресеку одакле тече струја (1), а са десне стране флуидна енергија у пресеку ка коме се струјање врши (2) (слика 5). Испред Б.ј. обавезно се ставља податак Б.ј. 1-2 којим је означено за које тачке је написана Бернулијева једначина. Увек треба имати на уму да су чланови Б.ј. енергије делића течности који се налази у уоченом положају. Тако нпр. ако су два флуидна делића на различитим висинама, онај у вишој тачки има вишу положајну енергију за њихову висинску разлику gh (слика 6).

Слика 5. Уочени струјни пресеци и њихове карактеристике

2. За било које две тачке које могу да се повежу замишљеном или стварном струјницом, Б.ј. је пуноважна (слика 7).

3. Уз Б.ј. која у основном облику садржи шест непознатих (v1, v2, p1, p2, h1, h2), увек се везује и једначина континуитета. У простим цевним проблемима ЈК гласи:

2 21 2

1 24 4d dv vπ π

=

и у Бј елиминише једну непознату – брзину. Ако се геодезијске висине (енергије положаја) оцењују у односу на ниже означен пресек, у Б.ј. уместо висина h1 и h2 јавља се њихова разлика као једна непозната.

70

Иако су увођењем једначине континуитета и реперног нивоа од ниже тачке елиминисане две непознате, основни облик Б.Ј. садржи још 4 непозанте и због тога се мора посветити посебна пажња избору карактеристичних тачака 1 и 2. Пресеке (нпр. тачке 1 и 2) треба узимати на местима за која постоји највећи број познатих података.

Слика 6. Висинска разлика флуидних делића

Слика 7. Повезивање две тачке замишљеном или стварном струјницом

За случај претакања (без губитака) из једног резервоара у други (слика 7), код којих је површина течности много већа од површине пресека спојне цеви, карактеристичне тачке Б.ј. су слободни нивои течности у резервоарима. На њима су кинетичке енергије делића течности занемарљиве, тј. v1=v2=0, а притисак p1=pa. Тада Б.ј. 1-2 гласи:

2 21 2 2

2 2ap v p vhgρ ρ+ + = +

односно

2 2a mp p phgρ ρ−

= = .

Слика 8. Слободно истицање у атмосферу

За случај слободног истицања у атмосферу (без губитака) (слика 8), карактеристичне тачке 1 и 2 су ниво течности у резервоару и завршни пресек цевовода у коме влада атмосферски притисак pa, па је Б.ј.1-2:

71

2 21 2

2 2a ap pv vhgρ ρ+ + = +

односно 22

2vhg

=

4. Ако се поред постојеће Б.ј. за неки струјни проблем могу написати и друге Б.ј., такве да се у њима јављају нове непознате величине, оне су такође пуноважне. То се редовно дешава при решавању проблема сложених цевовода. 5. У Б.ј. треба уносити интензитете средњих брзина (ознака v) и статичке притиска (ознака p) који су непроменљиви у целом попречном пресеку цевовода. Са апсолутних притисака врло је лако прећи на релативне – манометарске и вакуумметарске. За енергијски преглед проблема најјаснија представа добија се када се чланови Б.ј. изражавају у метрима стуба течности (mST). 6. Пре постављања Б.ј. требало би извршити анализу проблема: схватити и потврдити његов физички смисао, одредити карактеристичне тачке и редослед решавања једначина. Нумеричко решење даће квантитативне односе тражених и задатих величина и потврдиће оправданост постављеног задатка. Уколико је решење сумњиве вредности, разматрање енергијског биланса са графичком представом дуж тока струјања лако ће открити рачунску и формалну грешку.

Корекциони фактор кинетичке енергије

Када је Б.ј. написана за струјницу, кинетичка енергија проточне масе флуида (v2/2) представљена је брзином v у означеној тачки, а када је Б.ј. написана за неки проточни пресек, онда v представља средњу брзину флуида (vsr) кроз цео пресек. Међутим, у зависности од врсте струјања (ламинарно, прелазно, турбулентно) члан 2 2srv не даје увек праву величину кинетичке енергије и потребно је увести корекциони фактор α, који ће помножен са 2 2srv , дати стварну величину кинетичке енергије по јединици масе, тј.

2

2sr

kvE α=

(vsr се обично пише без индекса). Ова енергија треба да се уведе у Б.ј. За ламинарно струјање кроз цеви је α=2, а за турбулентно струјање је α=1,01-1,1, па се најчешће узима као 1. Б.ј. са корекционим фактором гласи:

2 21 1 2 2

1 22 2p v p vgz gzα αρ ρ+ + = + +

На корекциони фактор обраћа се пажња када ламинарно струјање прелази у турбулентно и када је ламинарно струјање кроз цео цевовод. Због економичности, у цевоводима су углавном турбулентна струјања, па се корекциони фактор не пише.

Цевни проблеми – облик са губицима

Струјање реалног флуида прате губици. Теоријска анализа струјања реалног флуида заснива се на Навије-Стоксовој једначини која због комплексности не може да се користи у пракси. Вискозне силе које се јављају при струјању кроз цевоводе у практичним задацима представљају се члановима који у себи садрже губитке енергије. Грубици се дела на локалне губитке и губитке услед трења. И ови чланови са губицима енергије представљају се у процентима кинетичке енергије. За локалне губитке члан губитка представљен је производом коефицијента локалног губитака ζ и динамичког притиска

72

2 2vρ за цевни пресек непосредно испред локалног отпора. За губитке услед трења, члан губитака представља се као

2

2l vdρλ

где су λ коефицијент трења, l дужина цевне деонице и d унутрашњи пресек цеви. Локални губици јављају се при промени вектора брзине. Карактеристична места где се јављају локални губици су: колена, вентили, засуни, бленде, нагла проширења и сужења, усисне корпе, рачве и др. Део укупне флуидне енергије у пресеку 1 (слика 9) троши се на савладавање губитака који се јављају при струјању на путу до пресека 2. Због тога је укупна енергија у пресеку 2 мања од енергије у пресеку 1, за вредност губитака. Изгубљена енергија (губици) hig у Б.ј. на уносе се са десне стране:

Слика 9. Примена Бернулијеве једначине са губицима на цевовод са променљивим цевним пресеком

2 21 1 2 2

1 22 2 ip v p vgz gz h gα αρ ρ+ + = + + +

Коефицијенти локалних губитака

Локални губици могу да се распореде у неколико група: проширења, сужења, кривине, рачве и цевне арматуре. Проширења

Слика 10. Нагло проширење

Пад притиска и коефицијент локалног губитка су:

( )21 2

2

1

2 21

12

112

p v v

ApAv

ρ

ζρ

∆ = −

⎛ ⎞∆= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

73

Испитивања су показала да притисак у вртложној зони 1p′ није једнак притиску у улазној деоници p1, па се због тога уводи корекциони фактор С, те је кориговани коефицијент губитка:

21

2 21

12

Ap Cv A

ζρ∆ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

где је С незнатно веће од 1. Изгу бљена снага услед наглог проширења дата је са P pQ= ∆ . Дифузор Употребом дифузора (слика 11) смањује се губитак у односу на нагло проширење. Експерименти су показали да је коефицијент губитка

( )2

2 22 11 21

2

1 1 12 2

p p

Av v vA

ζρ ρ

∆ ∆= =

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

,

функција угла θ и односа површина А2/А1. Његова вредност и вредност степена корисности дифузора ( 1η ζ= − ) дате су на слици 12. степен корисности показује колико се енергије сачувало после дифузора.

Слика 11. Дифузор

Слика 12. Коефицијент губитка ζ и степен корисности η дифузора

Испитивања су показала да је:

74

o угао проширења, који даје најбољи коефицијент корисности око 6°-8° за цеви кружног пресека, 6° за цеви квадратног пресека и 11° за правоугаоне цеви;

o за задани однос А2/А1, дифузор са кружним пресеком и квадратним наставком даје најбоље η; o дужина цеви пре дифузора треба да буде што је могуће краћа. У извесној граници η је

функција производа θ и l/D1, где је l/D1 - ″ефективна улазна дужина″; o дужина цеви иза дифузора побољшава η; дужина излазне цеви треба да буде 4-6 пута већа од

већег пречника D. У пракси се дифузор најчешће користи за трансформацију кинетичке енергије у енергију притиска. Када је дифузор постављен на крају цевовода, а на улазу у резервоар, треба очекивати повећање протока, због смањења излазног губитка. Сужења Нагло сужење При струјању флуида кроз нагло сужење проточна површина смањује се како је приказано на слици 13. Постигнувши низводно од сужења најмањи пресек ("vena contracta") струја се постепено шири да би најзад потпуно попунила пресек. Вртлози који се стварају између зидова цеви и граничних струјница, користе струјну енергију која их држи у ротацији.

Слика 13. Нагло сужење

Занемарујући губитке кроз сужени део "venе contracta" губитак у проширеној деоници, који је много већи (због неповољног grad p) је

22 2 2

2 20

1 1( ) 12 2max

Ap v v vA

ρ ρ⎛ ⎞

∆ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

односно 2

2

2 02

112

ApAv

ζρ

⎛ ⎞∆= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Количник А2/А0 зависи од А2/А1, па је коефицијент губитка ζ у функцији од А2/А1. Неке вредности за ζ дате су у табели 1. Табела 1. Вредности ζ за нагла сужења

А2/А1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ζ 0,34 0,27 0,16 0,05 0

Млазник Постепено сужење (слика 14), у нормално изведеним конструкцијама, одликује се малим коефицијентом губитка ζ. Губитак се везује за брзину v2, тј.

75

22

2vp ζρ∆ = .

Слика 14. Млазник

У табели 2 дати су експериментални подаци за ζ у функцији угла θ и односа улазног и излазног пречника. Табела 2. Вредности ζ за млазнике

за D1/D2=1,2 θ [°] 10 20 30 40 ζ 0,04 0,05 0,07 0,08

за D1/D2=2 θ [°] 10 20 30 40 ζ 0,07 0,08 0,12 0,14

за D1/D2=3 θ [°] 10 20 30 40 ζ 0,08 0,10 0,14 0,17

Улазни губитак Улазни губици мањи су уколико је улаз подешен тако да је блажа промена струјнице. На слици 15 дате су вредности коефицијента губитака ζ за неке врсте цевних улаза.

Слика 15. Различите врсте цевних улаза

Треба избегавати усвајање наглог сужења за улаз у цевоводе, а уместо тога практиковати заобљене прелазе. Постепено сужавајућим, добро обрађеним пресеком могуће је највише смањити улазни губитак.

76

Кривине Колено Губици у коленима већи су од губитака у правим цевима исте дужине. Ти додатни губици проузроковани су повећаном турбуленцијом која је последица промене смера струјања. Промена струјања изазива повећање притиска на спољашњој страни кривине и смањење притиска на унутрашњој. Због тога се нарушава профил брзине и центрифугалне силе изазивају секундарно струјање као што је приказано на слици 16. Струја флуида напута колено крећући се у дуплој спирали која нестаје тек у доста удаљеном низводном пресеку. Међутим, подразумева се да је пун ефекат губитка концентрисан на колено.

Слика 16. Струјна слика и распоред притиска у колену

Слика 17. Коефицијент губитка ζ за колено до 90° и оштро колено до 90° у зависности од односа r/D

Коефицијент губитка дефинише се као

212

p

vζ

ρ

∆= ,

77

и зависи од односа r/D, а не зависи од Re. На следећим дијаграмима дате су вредности коефицијента губитка ζ за колено до 90° и оштро колено до 90° (слика 17), као и за колено од 90° (слика 18).

Слика 18. Коефицијент губитка ζ за колено од 90° у зависности од односа r/D и релативне

храпавости е/D Цевне кривине мање од 90° имају мањи коефицијент губитка ζ (слика 17). Међутим, да би се коефицијент губитка ζ знатније смањио, угао α мора бити мањи од 45°. За веће односе r/D занамарљив је губитак проузрокован одлепљивањем струје, али је испољен губитак услед појаве секундарне спиралне струје, тако да се са порастом угла α постепено повећава губитак. Нпр. коефицијент губитка за колено од 180° само је за око 50 % већи од истог коефицијента за колено од 90°.

Слика 19. Коефицијент губитка ζ за оштро колено од 90° са скретним лопатицама у зависности од облика скретних лопатица – крива 1 лопатице облика аеропрофила а); криве 2, 3 и 4 кружни лук

различитог облика б) и односа s/c Уградњом скретних лопатица у оштро колено губици се знатно смањују. На следећем дијаграму (слика 19) дати су коефицијенти губитака ζ за разне врсте скретних лопатица. Да би се флуидна струја скренула тачно за 90°, потребно је лопатице савити за додатни угао δ, због ранијег одлепљивања струје (слика 20).

78

Слика 20. Додатно савијање лопатица у циљу постизања скретања струје за 90°

Рачве Рачве и тројници У табели 3 дати су коефицијенти губитака ζ за неке случајеве рачвања и сучељавања флуидне струје (слика 21). Притисци у појединим гранама једне рачве (θ<90°), или тројника (θ=90°), међусобно се разликују само за величину губитка који се одређује преко одговарајућег коефицијента губитка и брзине основног тока струје. Губитак у рачви може се смањити заобљивањем улазних ивица. Табела 3. Коефицијент ζ за рачвање и сучељавање (слика 21)

v2/v1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рачвање а) ζ1-2 0,96 0,88 0,89 0,96 1,10 1,0

θ=90° ζ1-3 0,05 -0,08 -0,04 0,07 0,21 0,35 Рачвање б) ζ1-2 0,90 0,66 0,47 0,33 0,29 0,35

θ=45° ζ1-3 0,04 -0,06 -0,04 0,07 0,20 0,33 Сучељавање ц) ζ2-1 -1,04 -0,40 0,20 0,47 0,73 0,92

θ=90° ζ3-1 0,06 0,18 0,30 0,40 0,50 0,60 Сучељавање д) ζ2-1 -0,90 -0,37 0 0,22 0,37 0,38

θ=45° ζ3-1 0,05 0,17 0,18 0,05 -0,20 -0,57

Слика 21. Неки случајеви рачвања и сучељавања

Пад притиска правцем струјања одређен је коефицијентом губитка ζ и брзином флуидне струје v1. Нпр. за случај сучељавања (ц) за v2/v1=0,2, пад притиска од рачве до хоризонталне цеви је негативан

2 21 1 2

12 12 1 0, 4 0, 22 2v vp vρ ρ ρζ −−∆ = = − = − ,

што значи да је притисак од рачве до хоризонталне цеви порастао. Цевне арматуре Усисна корпа У зависности од конструкције, вредност коефицијента губитка је ζ=1÷5. На слици 22 приказана је једноставна корпа. За усисну корпу са једносмерним вентилом, конструкције према слици 23,

79

коефицијент губитка дат је у функцији пречника усисног цевовода и износи 2, 2D

ζ = ,

где је D [m].

Слика 22. Једноставна усисна корпа

Слика 23. Усисна корпа са једносмерним вентилом

Затварач (лептир) Коефицијент губитка у функцији угла θ дат је табелом 4. Табела 4. Коефицијент ζ за лептир затварач (слика 24)

θ [°] 5 10 15 20 25 30 40 50 60 65 70 90 ζ 0,24 0,52 0,90 1,54 2,51 3,91 10,8 32,6 118 256 751 ∞

Слика 24. Лептир затварач

Славина Коефицијент губитка у функцији угла θ и односа површина А1/А0, дат је табелом 5. На слици

Слика 25. Славина

Табела 5. Коефицијент ζ за славину (слика 25)

θ [°] 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 67 А1/А0 0,93 0,85 0,77 0,69 0,60 0,52 0,44 0,35 0,27 0,19 0,11 0 ζ 0,05 0,31 0,88 1,84 3,45 6,15 11,2 20,7 41,0 95,3 275 ∞

80

Засун Коефицијент губитка за засун са симетричним језгром (слика 26) у зависности од геометријских карактеристика дат је у табели 6. Табела 6. Коефицијент ζ за симетричан засун

D [mm] Dc/D L/D ζ 300 0,67 1,50 1,45 300 0,67 2,68 2,80 250 0,80 1,50 0,39 200 0,75 1,33 0,60

Слика 26. Засун са симетричним језгром

Вентил Коефицијент губитка за различито изведене конструкције вентила, дат је дијаграмски на слици 27. Табела 7. Коефицијент губитка за вентиле са подеоним зидом у зависности од називног пречника (слике 28 и 29)

D [mm] ζ - са подеоним ζ - са подеоним зидом од 45° зидом од 90°

13 10,8 15,9 20 8,0 10,5 25 - 9,3 30 - 8,6 40 4,9 7,6 50 - 6,9 80 4,0 -

100 4,1 - 150 4,4 - 200 4,7 - 250 5,1 - 300 5,4 - 350 5,5 -

81

Слика 27. Коефицијенти губитака вентила различитих конструкција

Слика 28. Вентил са подеоним зидом од 45°

Слика 28. Вентил са подеоним зидом од 90°

Излазни губитак При истицању флуида из цеви у резервоар (слика 29) кинетичка енергија, коју је флуид поседовао у цеви, губи се у великим димензијама резервоара и остаје неискоришћена. Овај губитак одређен је са

212

p vρ∆ = ,

а коефицијент губитка ζ=1 - за турбулентно струјање, ζ=2 - за ламинарно струјање.

Слика 29. Истицање флуида из цеви у резервоар

Коефицијент трења

Губици који се јављају због трења последица су вискозности и изражавају се са Дарси-Вајсбаховом (Darcy-Weisbach) формулом

82

2

2tl vh gd

λ= ,

где су: l, d - дужина и пречник цевовода за који се одређује губитак, v - средња брзина струјања флуида кроз цевовод, λ - коефицијент трења. Коефицијент трења зависи од режима струјања (Рејнолдсовог броја Rе) и од релативне храпавости цевовода δ=е/d (е-апсолутна храпавост - табела 8). За практично решавање цевних проблема зависност између λ, Rе и δ дата је Мудијевим (Moody) дијаграмом (слика 30). У Мудијевом дијаграму разликују се три области: ламинарна, прелазна и турбулентна. У ламинарном подручју коефицијент трења λ дат је Стоксовом формулом

64Re

λ = .

Између ламинарне и прелазне области налази се критична зона, 2000<Rе<4000, у којој се може очекивати ламинаран или турбулентан режим струјања флуида. Табела 8. Вредности апсолутне храпавости за најчешће употребљаване цеви

ВРСТА ЦЕВИ - МАТЕРИЈАЛ СТАЊЕ ЦЕВИ е [mm] ВУЧЕНЕ ЦЕВИ ИЗ БАКРА, ТЕХНИЧКИ ГЛАТКЕ 0.0015 МЕСИНГА ИЛИ СТАКЛА И

СЛ.

ВУЧЕНЕ ЧЕЛИЧНЕ ЦЕВИ НОВЕ 0,03 ( МАННЕСМАНН ) ЧИШ]ЕНЕ ПОСЛЕ 0,15 - 0,2

ДУЖЕ УПОТРЕБЕ ЗАРЂАЛЕ 0,4 СА ЈАКОМ КОРОЗИЈОМ до 3 И РЂОМ

ЗАВАРЕНЕ ЧЕЛИЧНЕ ЦЕВИ НОВЕ, БИТУМИРАНЕ 0,05 (ЗА ХИДРО ЦЕНТРАЛЕ И УПОТРЕБЉАВАНЕ

ДРУГЕ ВЕЛИКЕ ЦЕВОВОДЕ) ЈЕДНОЛИКО ЛАКО 0,15 ЗАРЂАНЕ ПОСЛЕ ДУГОГОДИШЊЕ 0,5 УПОТРЕБЕ ЈАЧЕ ЗАРЂАНЕ 1 - 1,5 ЈАКО ЗАРЂАНЕ И 2 - 4 КОРОДИРАНЕ

ПОЦИНКОВАНЕ ГАСНЕ И НОВЕ 0,05 - 0,1 ВОДОВОДНЕ ЦЕВИ ОД 1/2″-4″

ЛИВЕНЕ ЦЕВИ НОВЕ 0,25 - 1 НОВЕ, БИТУМИРАНЕ 0,1 - 0,15 УПОТРЕБЉАВНЕ МЕСТИМИЧНО ЗАРЂАНЕ 1 - 1,5 ЗА КОРОДИРАНИМ 1,5 - 4 ГНЕЗДИМА ОЧИШ]ЕНЕ ПОСЛЕ 0,3 - 1,5 ДУГЕ УПОТРЕБЕ

ДРВЕНЕ ЦЕВИ РАЗНЕ 0,2 - 1 БЕТОНСКЕ ЦЕВИ ГЛАЧАНЕ 0,3 - 0,8

НЕОБРАЂЕНЕ ЦЕВИ ОД АЗБЕСТНОГ НОВЕ 0,05 - 1

ЦЕМЕНТА

83

Слика 30. Мудијев дијаграм

У прелазној зони коефицијент трења зависи од вискозности (Rе) и од релативне храпавости. За вредности релативне храпавости δ=0,001 и мање, при смањењу Rе, λ се приближава вредности за глатке цеви, што је условљено стварањем ламинарног слоја на зидовима цеви који делимично

84

прекрива све неравнине. За извесне вредности Rе у прелазној зони филм потпуно прекрива мале неравнине и вредност коефицијента трења λ иста је као иза потпуно глатку цев. За веће Rе, неравнине се пробијају кроз ламинарни слој што проузрокује додатну турбуленцију и повећани губитак енергије. За област потпуне турбуленције (храпаве цеви) дебљина филма је занемарљива у односу на храпавост, што изазива потпуно турбулентно струјање у целом пресеку цеви. Вискозност нема утицаја на изгубљену енергију која је сразмерна v2 и коефицијент трења не зависи од Rе.

Губитак услед трења у цевима различитих попречних пресека

Инжењерска пракса захтева познавање струјања и кроз цеви различитих попречних пресека (вентилација, хлађење, струјање у отвореним каналима и др.). За одређивање падова притисака при струјању кроз различите попречне пресеке користи се уобичајени израз

2

2ih

l vgh Dλ=

са ниже представљеним појмом хидрауличног пречника Dh. Укупна сила трења на граници струјне површине (зидови цеви) је

0TF Olτ=

где су: О - унутрашњи обим цеви; l - дужина цеви; τ0 - тангенцијални напон на зиду цеви. За дати попречни пресек и проток (према томе и средњу брзину v) сила трења пропорционална је обиму попречног пресека (или обиму оквашеног попречног пресека, када флуид делимично попуњава пресек). Кружни попречни пресек има најмањи обим за дату површину пресека, па је због тога, с гледишта изгубљене енергије, најповољнији за употребу. Ако се основни критеријум за струјање, Рејнолдсов број, изрази преко хидрауличког пречника Dh; за одређивање коефицијента трења, при турбулентном протицању кроз разне пресеке, може се користити Мудијев дијаграм. Хидраулични полупречник Rh дефинисан је као

hARO

= ,

где су А и О површина и обим оквашеног проточног пресека. Хидраулични пречник који се уврсти у Rе број (Rе=vDh/ν) и губитак енергије услед трења

2

2h

p l vD

λρ∆

= ,

везан је са Re релацијом 4h hD R=

За цев кружног попречног пресека (слика 31 горе) је

hD D= ; 4hDR = .

За правоугаони попречни пресек (2а×2б) (слика 31 средина) 4

h hab abD R

a b a b= =

+ +.

За квадратни попречни пресек (2а×2а) (слика 31 доле)

2hD a= ; 2haR = .

85

Слика 31. Кружни, правоугаони и квадратни попречни пресек

Ламинарно струјање кроз квадратни и елиптични пресек једини су случајеви када се за одређивање коефицијента трења, са довољном тачношћу може искористити коефицијент трења λ за одговарајћи (исте површине) кружни попречни пресек. За одређивање коефицијента трења, односно падова притисака, устаљеног ламинарног струјања кроз прстенасте, елиптичне и правоугаоне пресеке употребљавају се ниже наведени изрази, добијени теоријским разматрањем одговарајућег ламинарног струјања. За струјање између два саосна цилиндра (слика 32)

2 22 2 2 1

2 12

1

8

ln

lvpr rr r r

r

η∆ =

−− −

(v је средња брзина). За врло уске прстенасте пресеке је

212 lvp ηδ

∆ =

где је 2 1r rδ = − - ширина прстенастог процепа. Хидраулични пречник је Dh=2δ, а коефицијент трења је

48Re

λ = ,

где је 2hvD vRe δ

ν ν= = .

За струјање кроз процеп који образују ексцентрични цилиндри (слика 33), приближна формула за пад притиска је

2 2

2

12 1312

lvpe

ηδ

δ

∆ =⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

86

где је: е - ексцентрицитет

2 1r rδ = − - ширина процепа саосно постављених цилиндара.

Слика 32. Струјање између два

саосна цилиндра

Слика 33. Струјање кроз процеп између два ексцентрична

цилиндра

Слика 34. Струјање кроз

елиптичан пресек

За струјање кроз цеви елиптичног пресека (слика 34), коефицијент трења се одређује према коефицијенту трења за струјање кроз цев одговарајућег кружног пресека,

64 64

hRe vDνλ = =

где се Dh одређује из 2 2

2 2 2 2 21 1 1 1 1

2 8(2 ) (2 )h

a bD a b a b

⎡ ⎤ += + =⎢ ⎥

⎣ ⎦,

односно 2 2

22 2

8h

a bDa b

=+

.

За струјање кроз цев правоугаоног пресека важи

2( / )

3

b a

lvpfbη

∆ = и 4h

abDa b

=+

.

Вредности рачунске функције ( / )b af су у табели 9. Табела 9. Вредности функције ( / )b af за струјање кроз правоугаоне пресеке

а/b 1 1,25 1,5 2 3 4 5 10 ∞ ( / )b af 0,422 0,515 0,585 0,686 0,789 0,824 0,874 0,938 1

Веза између коефицијената трења и датих падова притисака добија се из раније наведеног израза

2

2h

l v pD

λ ρ = ∆ .

За одређивање коефицијента трења за струјање у потпуно турбулентној зони, поред Мудијевог дијаграма, може се употребљавати и формула

0,25

0,11h

eD

λ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

где је е - апсолутна храпавост.

87

Према најновијим истраживањима утврђено је да се хидраулични пречник може користити за турбулентна струјања кроз правоугаоне попречне пресеке код којих је однос ширине и висине у границама 0,3<а/b<3. Коришћењем хидрауличног радијуса у Мудијевом дијаграму не могу се очекивати довољно тачни резултати при турбулентном струјању између две паралелне плоче и између два саосна цилиндра.

Метод приближавања

Величине v, d и λ су у међусобној зависности преко Бернулијеве једначине и Мудијевог дијаграма. Врло чест случај је да су две величине, од неведене три, непознате (скоро увек λ), а за њихово одређивање располаже се само једним аналитичким изразом - Бернулијевом једначином. Тада се приступа методу приближавања, нпр. за непознате λ и v. Редослед операција је следећи: прво се претпостави вредност λ и из Бернулијеве једначине одређује се друга непозната v; затим се са познатим производом vd ν улази у дијаграм и одређује ново λ, које се поново уводи у Бернулијеву једначину и процес се понавља. Када се поклопи претпостављена са добијеном вредношћу, непознате λ и v су одређене. Претпоставља се она вредност која се најмање мења (λ), а тачно решења редовно се добија после два до три понављања, јер непознате врло брзо конвергирају ка тачном решењу. Наведеном методом добија се тачно решење јер Мудијев дијаграм и Бернулијева једначина представљају две међусобно независне хидродинамичке релације.

Цевовод са турбомашином; критични притисак; затворен цевни систем

Ако се између тачака 1 и 2 цевног система (слика 35), који је обухваћен Бернулијевом једначином, налази пумпа, њен напор YP (gHP) треба убележити са леве стране једначине. Напор пумпе YP је енергија коју радно коло пумпе преда свакој јединици проточне масе флуида. Пумпа придодаје енергију основној струји флуида и тако повећава укупну расположиву енергију. Укупна расположива енергија, која се налази са леве стране Бернулијеве једначине, користи се за постизање крајњих хидродинамичких параметара флуида у тачки 2 (p2, v2, z2) и савлађивање свих успутних губитака. Са гледишта Бернулијеве једначине свеједно је где се налази пумпа између тачака 1 и 2. У положају I пумпа свој одпринос флуиду остварује повећањем притиска на потисној страни, а у положају II снижавањем притиска на усисној страни (када су једнаки пресеци усисног и потисног цевовода пумпе). У положају II, притисак на усисној страни пумпе мора да буде већи од критичног притиска pk. Бернулијева једначина за тачке 1 и 2 између којих се налази пумпа дата је са

1 21 1 2 i

p pgz H g gz ghρ ρ+ + = + + ∑

88

Слика 35. Цевовод са туромашином

Напор турбине YP треба убележити са десне стране Бернулијеве једначине, са стране губитака, јер турбина одузима од флуида енергију да би се прерадила у други облик, нпр. електричну енергију. Снага пумпе на спојници електромотора и пумпе, и снага турбине на спојници турбине и генератора дата је следећим релацијама: - за пумпу

[ ]WP

P

QY gP ρη

= ;

- за турбину

[ ]WP TP Y gρ η= ;

где су: ρ [kg/m3] и Q [m3/s] - густина и проток флуида, YP, YT [J/kg] - напор пумпе, турбине, ηP, ηT - укупни степен корисности пумпе, турбине. Места у цевоводу на којима се јављају најнижи притисци карактеристична су и на њих треба обратити пажњу. То су: улаз у пумпу, највише тачке цевовода, нагла сужења, улази у резервоаре у којима влада потпритисак и сл. У тим тачкама мора се обезбедити већи притисак од критичног p>pk, како би се онемогућило испаравање флуида, развој кавитацијских појава и образовање парног мехура са прекидом флуидне струје.

89

Слика 36. Основна шема пумпног постројења

Основна шема пумпног постројења, приказана на слици 36 састоји се од пумпе 4, усисне цеви 2 и потисног цевовда 6. На улазу у усисну цев налази се усисна корпа 1 са једносмерним вентилом који при пуњењу усисне цеви пумпе (пре почетка или после завршетка рада) не дозвољава води да истече из цеви. Са 3 и 5 означени су вакуумметар и манометар који се уграђују на усисној, односно на потисној страни пумпе и служе за контролу правилног рада. Укупан напор пумпе за дату шему изражеј је са

2 1P i

p pY gH ghρ−

= + +

или 2 22 1

2m v

Pp p v vY gz

ρ+ −

= + +

где су са i u pgh gh gh= + означени сви губици у усисном и потисном делу цевовода. Висинска разлика z је за случај класичних манометара и вакуумметара, растојање између оса инструмената, а не њихових прикључних места. У свим индустријским гранама центрифугална пумпа је најприсутнија машина. Њени основни делови: ротор и кућиште као и карактеристични дијаграм, приказани су на сликама 37 и 38. Поред неопходне Q-H криве (Q [m3/s], gHP [J/kg] или HP [mST]) која је на скици представљена кривом (1); за одређивање карактеристика радне тачке потребни су: карактеристика цевовода (2), крива снаге (3) и крива степена корисности пумпе (4). Радна тачка налази се у пресеку карактеристике цевовода и Q-H (Q-∆p за вентилаторе) криве. Сагласно теорији сличности за пумпе се могу дефинисати следећи бездимензијски критеријуми:

90

1 23 3

1 1 2 2

1 22 2 2 21 1 2 2

1 23 5 3 51 1 1 2 2 2

1 2 1 21 2 3 41 1 2 2

3 4 3 41 2

. значица протока

. значица брзоходости

. значица снаге

. специфичан број обртаја( ) ( )

P P

Q Q constn D n DY Y const

n D n DP P const

n D n D

n Q n Q constgh gh

φ

ψ

µρ ρ

φ ψ

= = = −

= = = −

= = = −

= = = −

Слика 37. Основни делови центрифугалне пумпе Слика 38. Карактеристике пумпе

За једну пумпу и исто η при промени броја обртаја следи

2 31 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2; ;Q n H n P n

Q n H n P n⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

што је довољно за конструисање кривих H=f(Q); P=F(Q) за различито n. Поред наведених карактеристика редовно се прилаже крива NPSH која одређује максимално дозвољену усисну висину да би улазни елементи пумпе били заштићени од кавитације. Препоручљива регулација Q-H кривих је са континуалном променом броја обртаја. У недостатку такве опреме обично се спроводи пригушење вентилом на потисном цевоводу пумпе. Ефекти таквог пригушења приказани су на слици 39. Шрафирана површина представља изгубљену енергију – енергију утрошену на пригушење. За случај смањења протока са Q на Q1 користан напор се са вредности Н (када је потпуно отоврен вентил) смањио на вредност Н1. Изгубљена снага је

1

11000Q g HN ρ

η∆

∆ =

где је 10 1H H H∆ = − .

91

Слика 39. Ефекти пригушења вентила на потисној грани цевовода

Смањењем пречника ротора остварује се ефекат сличан смањењу броја обртаја (слика 40). Законитост овог поступка дата је са

2

;sm sm sm sm

Q D H DQ D H D

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠,

где је D – спољашњи пречник ротора. Дозвољено смањење спољашњег пречника ротора је до 10 %.

Слика 40. Ефекат смањења пречника ротора

Затворен цевни систем (нпр. хладњак) карактерише цевна петља кроз коју циркулише флуид. Енергија пумпе троши се само на савладавање локалних отпора и трења без обзира колике су висинске разлике у појединим тачкама система. У највишим тачкама цевовода проверава се да ли је притисак већи од критичног.

Енергијски дијаграм

Дијаграмско представљање стања појединих врста енергије дуж струјања омогућава континуалан увид у промене енергије притиска, кинетичке енергије, енергије утрошене на савладавање отпора и расположиве положајне енергије. Овакав графички преглед упозорава на карактеристична места која заслужују детаљнију анализу. Уобичајено је да се у дијаграмима енергија флуидне струје представља по јединици тежинског протока, тако да се димензије појединих врста енергије изражавају у метрима стуба флуида.

92

Енергија натпритиска pm/ρg назива се пијезометарском висином. Она је позитивна, за разлику од негативне пијезометарске висине pv/ρg. На слици 41 приказан је пример енергијског дијаграма за цевни систем променљивог пресека са уграђеним вентилом који спаја два резервоара.

Слика 41. Енергијски дијаграм

Никурадзеове једначине Никурадзе је, на бази израчунавања линеарног распореда тангенцијалног напона у цеви кружног пресека и тангенцијалних напона изазваних турбуленцијом, представљених Прант-Кармановом једначином

4

20 22

2

dd

1dd

vyy k

R vy

τ τ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

одредио изразе за распоред брзине, средњу брзину, тангенцијални напон на зиду цеви, коефицијент трења и дебљину ламинарног слоја при турбулентном струјању у глатким и храпавим цевима. У овим изразима делимично су кориговане константе према многобројним огледима које је извео Никурадзе. Релације су следеће: - За турбулентно струјање кроз глатке цеви а) Распоред брзина одређује се према општем изразу

* 2,5lnmaxv v yRv

−= −

или према огледима за глатке цеви *

* 5,5 5,75logv v yv ν

= +

где је *v привидна брзина одређена са

93

* 0v τρ

=

б) Однос средње и максималне брзине дат је општим изразом

1

1 4,078

sr

max

vv λ

=+

в) Коефицијент трења λ за Re бројеве веће од 5000 са довољном тачношћу може да се одреди из

1 0,8 2,0log Re λλ= − +

г) Тангенцијални напон на зиду цеви одређен је општим изразом

2

0 8srv ρ

τ λ= .

д) Дебљина ламинарног слоја одређује се према

32,8D Reδ

λ= .

- За турбулентно струјање кроз храпаве цеви (слика 42)

Слика 42. Распоред брзине при турбулентном струјање кроз цеви

а) Распоред брзина одређује се према наведеном општем изразу; или према

* 8,48 5,75logv yev

= +

б) Однос средње и максималне брзине једнак је наведеном општем изразу. в) Коефицијент трења λ одређује се према

1 1,14 2log Deλ

= +

г) Тангенцијални напон на зиду одређује се према наведеном општем изразу. Никарадзеове једначине дају податке о унутрашњој структури струјања кроз цеви. Појмови који се овде срећу биће објашњени у поглављу Динамика вискозног флуида.

94

Сложени цевоводи

При рачвању и сучељавању струје укупни проток једнак је збиру или разлици протока у гранама, а падови притисака од тачке рачвања до тачке сучељавања, исти су у свакој грани. Основне релације за решавање проблема добијају се из Бернулијевих једначина које треба написати за струјнице кроз грану цевовода 1-А-I-Б-2 и 1-А-II-Б-2 (слика 43). Анализа стационарног стања притиска и протока у цевним системима је од великог значаја за инжињерску праксу. Потребне једначине које описују хидраулички феномен представљају систем нелинеарних алгебарских једначина које се могу решити директно. Уобичајено је да се те једначине изражавају на два основна начина: у функцији непознатих протока уцевима, или непознатих притисака (пијезометара) у чворним тачкама мреже.

Слика 43. Сложен цевовод

Једначине дате у функцији непознатих протока у литератури називају се “једначинама петљи”, док се други начин изражавања везује за “једначине чворних тачака”. Данас постоји развијен већи број алгоритама за решавашње овог система једначина и они се са мање или више успеха користе у инжињерској пракси. Већина тих техника примењује се са ограничењима која су везана или за конфигурацију цевног система или за хидрауличке компоненте које су практично увек присутне. Као коначан циљ у овој области хидраулике могло би да се да у задатак постављање алгоритма за решење система једначина које описују потпуно општу конфигурацију мреже са неограниченим бројем свих врста хидрауличких компоненти. Општи принципи које треба да задовољи сваки програм којим се анализира стање у мрежи, могу се свести на следеће:

o програм треба да је довољно брз o ефикасан при коришћењу меморије рачунара o једносатаван за примену.

Мреже које се таквим програмом решавају морају задовољити следеће захтеве:

o Физички опис мреже мора бити познат. Он се састоји од дефинисаних пречника цеви, дужина, храпавости, потрошње у чворовима тачака и свих потребних информација које се односе на: резервоаре, пумпе, арматуру итд.

o Графички приказ мреже може бити сасвим шематски. Цеви се могу сећи у равни без рачвања. o Мрежа се може састојати од цеви које чине петље и цеви које су ван петљи, са потрошњом у

било којој чворној тачки. o Пумпе и арматура могу се налазити без ограничења у било којој цевној деоници.

“Једначине петљи” (једначине у функцији непознатих протока) добијају се на следећи начин. За сваки чвор (слика 44) за .constρ = важи

( ) ( )i iizlaz ulazQ Q C− =∑ ∑

где је С “потрошач” који се флуидом снабдева из тог чвора. За дату илустрацију С=-5 l/s због

6 1 2 5 5Q Q Q Q− − − = − .

95

Слика 44. Чвор у сложеном цевоводу

Уколико цевна мрежа садржи Ј чворова, а сви потрошачи су познати, онда се може написати Ј-1 независних једначина континуитета које су нелинеарне. Енергијска једначина (Б.j.) је задовољена уколико је пад притиска око сваке цевне мреже (I, II, …) једнак нули (слика 45). Ове нелинеарне једначине пишу се у облику

4

1

0r

nll l

l

K Q=

=∑

0II

nll l

l

K Q =∑

где су:

,I IIlK -коефицијенти пада притиска,

,I IIln -експоненти протока, брзине (најчешће 2).

Слика 45. Петља у сложеном цевоводу

L посебних петљи и N цеви који сачињавају укупну мрежузадовољавају једначину

( 1)N J L= − + .

Једначине “чворних тачака” (када су непознати притисци у чворовима), добијају се тако што се протоци прво изразе зависно од падова притиска дуж сваке гране петље.

1 1

ij ijn nij i j

ijij ij

h H HQ

K K⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

па се, затим, замене у једначину континуитета чвора

96

1 1

ij ijn ni j i j

ij ijizlaz ulaz

H H H HC

K K

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑

Овде индекси i и ј означавају чворове, а i jH H− представља пад притиска у цеви између чворова i и ј са смером струјања флуида од i према ј.Наведени системи једначина континуитета и енергијских једначина решавају се, како је напоменуто, итерацијским методама помоћу рачунара. Рачунарски програми мрежних система укључују утицаје: пумпних станица, резервоара и цевне арматуре.

Истицање кроз отворе и наглавке

Својства млаза који истиче изражена су преко четири кофицијента: φ - коефицијент брзине µ - коефицијент протока ψ - коефицијент контракције ζ - коефицијент губитка при истицању. Смисао ових коефицијената дат је у примеру слободног истицања у атмосфери.

Отвори

Истицање течности у атмосферу кроз отвор са оштрим ивицама

Слика 46. Истицање течности у атмосферу кроз отвор са оштрим ивицама

Струја течности при истицању сужава се и на блиском растојању од отвора (≈D/2) пресек струје је најмањи (слика 46). Однос површина

minAA

ψ=

зове се коефицијент контракције. Тек у најужем пресеку, због паралелних струјница, притисак је атмосферски и Б.j. за ниво течности у суду и тај пресек одређује брзину v у најужем пресеку (највећа брзина)

( )2

12vHg ζ= + ,

одакле је 1 2

1v gH

ζ=

+

Вредност 11

φζ

=+

назива се коефицијент брзине, тако да је

2v gHφ= .

Коефицијент протока µ одређује се из израза за проток

97

2 2minQ vA gH A A gHφ ψ φψ= = =

где је µ φψ= .

У случају идеалног флуида (ζ=0, односно 1φ = ) теоријска или идеална брзина истицања је

2tv gH= ,

тако да се коефицијент брзине φ може представити и као однос стварне и идеалне брзине

1t

vv

φ = <

јер је због трења, стварна брзина увек мања од теоријске. У пресеку отвора, само у централној зони млаза, брзина је иста и практично једнака теоријској брзини. У спољним слојевима брзина услед трења опада. Истицање кроз отвор у танком зиду идентично је истицању кроз отвор са оштрим ивицама, јер мала дебљина зида не проузрокује појаву ефекта “лепљења” млаза уз граничне површине отвора (слика 47).

Слика 47. Истицање кроз отовор у танком зиду и кроз отовр са оштром ивицом

Истицање течности кроз потопљен отвор

Слика 48. Истицање течности кроз потопљен отвор

Б.ј. за ниво течности у суду А и најужи пресек млаза у коме је брзина струје течности v (слика 48), гласи

2

(1 )2vHg ζ= + ,

тако да су сви коефицијенти дефинисани на потпуно исти начин као и у претходном случају, тј.

98

11

φζ

=+

; 2v gHφ=

и

µ ψφ= ; 2Q A gHµ= .

Експерименти су показали да је коефицијент протока кроз потопљен отвор приближно једнак коефицијенту отпора при слободном истицању у атмосферу. Коефицијенти: контракције ψ, губирака ζ, брзине φ и протока µ зависе од облика отвора, затим, као и сви други хидраулички коефицијенти, од Rе. На дијаграму (слика 49) приказане су вредности ψ, φ и µ у функцији од Ret за кружни отвор. Овде је

2tt

gH Dv DReν ν

= = .

Слика 49. Коефицијент истицања млаза у функцији Рејнолдсовог броја

За врло мале вредности Ret (Ret<25) ефекат вискозности је најважнији и смањeње брзине према ивицама отвора толико је велико да практично нема контракције ψ=1 и φ=µ. За ову област важе следеће теоријске формуле, потврђене експериментима

3

50D gHQ π

ν= ;

25tRe

µ = .

Повећањем Ret (вискозност губи значај) због смањивања ψ, расте φ. Смањена контракција ψ резултат је малог смањења брзине према ивицама отвора и пoстизања већег полупречника кривине код “vena contracta”. Када Ret → ∞, φ и ψ добијају вредности као при истицању идеалног флуида, φ→1, а ψ→0,6. Максималан коефицијент протока µmax=0,69 добија се за Ret≈350. При истицању мање вискозних течности (вода, бензин, керозин) кроз кружне отворе у танким зидовима, за инжињерске проблеме, најчешће се усвајају вредности:

ψ=0,63; φ=0,97; µ=0,61 и ζ=0,065. Делимична контракција Делимична контракција појављује се када се излазни отвор налази у близини зидова резервоара. Ако је отвор симетричан у односу на резервоар (слика 50), зидови резервоара усмеравају струју кроз отвор, чиме се спречава пуна контракција. Коефицијент контракције повећава се па, према томе, и проток.

99

Слика 50. Истицање из отвора симетрично постављеног у односу на резервоар

За истицање мање вискозне течности кроз кружне отворе распоређене у оси цилиндричних резервоара, коефицијент контракције ψ1 може се одредити према експерименталној формули

21 0,371 nψψ ψ

= +

где је 0 1/n A A= , а ψ коефицијент контракције отвора за пуну контракцију. Ако је 1n ≈ , вредности за ζ и φ су ζ=0,065 и φ=0,97. Проток и коефицијент протока могу се одредити уз помоћ Б.ј. за пресеке 1 и 2

2 2 21 1 2 2 2

2 2 2p v p v vζρ ρ+ = + + , 1 1 2 2 2 1v A v A v Aψ= = .

Одатле је

1 22 2 2

1

1 21

p pv ggn ρζ ψ

−=

+ −,

и

1 2 pQ A gg

µρ∆

=

где је

11 2

11 n

ψµζ ψ

=+ −

.

Ако је делимична контракција остварена на начин приказан на слици 51 (за осносиметрично или раванско струјање), коефицијент контракције ψ за отвор, и крај цеви, одређен је према дијаграму исте слике.

Слика 51. Коефицијент контракције млаза за делимичну контракцију

У случају када се излазни отвор налази сасвим при дну резервоара, као што је приказано на слици 52, коефицијент протока може да се одреди према експерименталној формули

100

2 (1 )OkO

µ µ ∆= +

где су: k - коефицијент облика, за кружни отвор k=0,128, за квадратни k=0,152 и за правоугаони k=0,134, О - обим отвора, ∆О - део обима који додирује дно суда (на коме нема скретања струјница). Коефицијент протока зависи и од облика отвора. Ова зависност дата је у табели 10, а вредност одређене су за отворе површине А=1,286 cm2. Табела 10. Коефицијент протока µ за различите отворе и напоре

Вредност коефицујента протока µ H [cm] Круг Квадрат Правоугаоник

шир/вис=4 шир/вис=16 30,4 0,620 0,628 0,643 0,664 60,8 0,613 0,623 0,636 0,651 121,6 0,608 0,618 0,629 0,642 182,4 0,607 0,616 0,627 0,637 243,2 0,606 0,614 0,625 0,636 304,0 0,605 0,613 0,624 0,633 608,0 0,603 0,611 0,621 0,629

Слика 52. Истицање из резервоара кроз отвор на самом дну

Наглавци

Наглавци су кратки цевни елементи чија је дужина l, само неколико пута већа од пречника отвора D (l = (2 ÷ 6) D). Основна намена наглавка је повећање протока при одређеном пречнику отвора D и висини нивоа течности H. Формуле изведене за отворе важе и за наглавке, само су вредности коефицијената другачије. У табели 11 дате су ове вредности за једноставне карактеристичне случајеве наглавака. Табела 11. Коефицијенти истицања за раyличите наглавке (слика 53)

Врста наглавка ψ ζ φ µ отвор у танком зиду 0,63 0,065 0,97 0,61

цилиндрични наглавак: спољашњи

1

0,49

0,82

0,82

унутрашњи 1 1 0,71 0,71 конични наглавак

конвергентан β=12,6°

0,98

0,06

0,97

0,95 дивергентан β=7,2° 1 3,94 0,45 0,45

За мале вредноси Rе (Rе <40.000) вредности коефицијената зависе од Rе.

v gH= φ 2 ; 2

24

DQ gHπ µ= ; µ φψ= ; 21 1ζφ

= −

101

Слика 52. Различите врсте наглавака (отвор у танком зиду, спољашњи и унутрашњи цилиндрични

наглавак, коничан конвергентан и дивергентан наглавак) Истицање кроз отворе у зиду велике дебљине је идентично истицању круз спољашњи цилиндрични наглавак. Ако је угао β коничног дивергентног наглавка већи од 7,2° струја флуида неће испуњавати цео пресек. Истицање кроз наглавак са елиптично (звонасто) заобљеним изводницама (два полупречника кривине) је са најмањим губицима и практично без контракције (слика 54).

0,03 0,1ζ = ÷ ; ψ=1; µ=φ=0,99÷0,96.

Слика 54. Наглавак са елиптично заобљеним ивицама

Општи назив за овакве и сличне врсте наглавака је млазник. Ако се звонасто заобљеном наглавку дода дифузор, добија се конвергентно-дивергентни наглавак (слика 55) који омогућује повећање протока и до 2,5 пута у односу на претходни за исти пречник грла D и висину нивоа течности H.

Слика 55. Конвергентно дивергентан наглавак

102

2

1 24

DQ gHπ µ= ,

где је µ1 (слика 56) дата у функцији од висине нивоа течности Н, а за угао β=5°30' којим се постиже највећи коефицијент протока. Овакав наглавак користи се када проток за задату висину Н кроз мали отвор D мора да буде што је могуће већи. Међутим, практично је применљив само за висине H=1÷4 m, јер се при већим висинама јавља кавитација у грлу наглавка, а њена појава проузрокује повећање отпора и смањење протока.

Слика 56. Коефицијент протока за оптималан конвергентно-дивергентан наглавак

При истицању кроз цилиндричне наглавке треба обратити пажњу на притисак у најужем пресеку млаза. Он не сме да опадне испод критичног притиска pk.

Истицање са променљивим нивоом

Бернулијева једначина изведена је за стационарно струјање. Међутим, ако промене брзине и протока нису нагле, Б.ј. може да се примени и у тражењу решења таквих проблема; проблема где је, значи, нестационарност слабо изражена. Највећи број ових задатака односи се на истицање из резервоара. Не постоји потреба да се шаблонизује принцип рада јер су потребне операције математичке и хидромеханичке природе познате и једноставне. Променљив ниво означава ограничено огледало слободне површине што повлачи незанемаривање кинетичке енергије у таквим површинама.

Нестационарно струјање

Б.ј. за нестационарно струјање нестишљиве течности у пољу Земљине теже је 22 2

1 1 2 21 2 (1 2)

1

d2 2 i

p v p v vgz gz gh ltρ ρ −∂

+ + = + + + +∂∑ ∫ .

Последњи израз са десне стране добијен је задржавањем члана локалног извода брзине по времену v t∂ ∂ у трансформисаној Ојлеровој једначини и његовим интеграљењем дуж струнце (струјне цеви)

dl . Део 2 22 1

2v v−

представља промену кинетичке енергије по јединици масе која је уследила због преласка флуидних делића из положаја 1 у положај 2 у истом временском тренутку t. Члан

103

2

1

dv lt∂∂∫

представља промену, у јединици времена, кинетичке енергије по јединици масе у целокупној запремини струјне цеви од пресека 1 до пресека 2, и узима се у обзир кадгод брзина зависи и од времена; ( , )v v l t= . Израз

2

1

1 dv lg t

∂∂∫

назива се инерцијским напором јер нестационарну промену брзине уноси међу остале чланове Б.ј. са неким коначним временом. Најједноставнији случај нестационарног струјања приказан је на слици 55. Б.ј. за истицање без губитака кроз цев константног попречног пресека има облик

2 d2 d

ap p v vgh ltρ ρ

+ = + +

где је 2 2

1 1

d dd dd d

v v vl l lt t t∂

= =∂∫ ∫ ,

пошто је брзина v зависна само од времена, а не и од координата; v=v(t). Ако се пресек 2 пренесе на крај цеви, добија се

2

0d

2 da ap p v vgh l

tρ ρ+ = + +

односно 2

0

d 1d 2v vght l

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Види се да је најјаче изражена нестационарност везана за почетни тренутак када је v=0, јер је

0

ddv ght l= .

При стационарном струјању,када је d d 0v t = , 2v gh= .

Значи, у почетним тренуцима истицања брзина расте од 0 до 2v gh= , а убрзање од максималне вредности пада до нуле. Убрзање d dv t је обрнуто сразмерно дужини цеви 0l , тј. уколико је већа дужина цеви, утолико је максимално убрзање мање. За приближну процену времена трајања нестационарног струјања Т у почетку истицања, може се сматрати да убрзање d dv t остаје константно, односно

0

2dd

ghv gh vt l T T= = = , тј. 0 02vl lT

gh g h= = ;

време успостављања стационарног стања расте са дужином цеви, а опада са квадратним кореном висине стуба течности.

Mерење протока

Постоје многобројни и врло разноврсни принципи, методе и инструменти за одређивање брзине и протока флуидне струје. Оовде ће се представити неколико “класичних” начина за одређивање

104

протока у цевима. Прантлова цев Овом цеви, као што је већ познато, може се одредити брзина флуидне струје у свакој тачки пресечне површине тока, на тај начин наћи профил брзине, а из њега одредити и проток. На слици 56 дата су одступања у мереним притисцима када се правац цеви не поклапа са правцем струјања. Отвори за статички притисак су равномерно распоређени по обиму цеви на месту на коме су изједначени утицаји смањеног притиска услед струјања флуида око врха цеви и повећаног притиска услед држача цеви. За мерење брзине струјања ваздуха при нормалним атмосферским условима ( )0 0101325 Pa и 15 °Cp t= = количник 1 8gρ = , те се формула за брзину са довољном тачношћу може упростити ако се динамички притисак dp мери у [ ]mmVS .

20

12 dv pρ =

02 m4

sd

dp gv pρ

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Динамички притисак практично се не мења при скретању Прантлове цеви из правца брзине до 16α = ± ° . Тачно показивање динамичког притиска последица је приближно подједнаког одступања

статичког и тоталног притиска у том, прилично широком, појасу скретања цеви.

Слика 56. Одступања у мереним притисцима Прантловом сондом за α≠0

Бленда Проток може да се одреди изазивањем вештачког поремећаја и његовим мерењем. Мери се разлика притисака испред и иза локалног отпора којим је проузрокован поремећај. У овом случају уношењем бленде у флуидну струју јавлља се разлика притисака испред и иза ње. изглед струјнице показан је на слици 57. Б.ј. за пресеке 1 и 2 гласи

2 21 1 2 2

1 22 2p v p v ghρ ρ −+ = + + .

Ако се сада привремено занемари губитак 1 2gh − , а брзина 1v изрази преко максималне брзине 2v као

105

21 2 2

1 1

A Av v vA A

ψ= =

добија се 22

1 2 2

11

2p p v A

Aψ

ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

,

односно

1 22 2

1

2( ) 1

1

p pvA

A

ρ ψ

−=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

а проток 2

1 22 2 2

1

2( )14

1

p pdQ A vA

A

πψρψ

−= =

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Слика 57. Мерна бленда

Погодније је израз за проток Q представити у експерименталном облику

21 22( )

4p pdQ Eπµρ−

=

где су:

( ) ( )2 4 21 1

1 1 11 1 1

EA A d D m

= = =− − −

;

µ - коефицијент протока добијен експериментално, који обухвата грешку услед испуштања коефицијента контракције ψ из израза испод квадратног корена, и губитак 1 2gh − који је у горњем извођењу био занемарен. Коефицијент протока µ може да се представи као производ три фактора. Фактори Z1 и Z2 су поправни коефицијенти

1 2C Z Zµ = ⋅ ⋅ .

За два начина извођења прикључака за притисак, вредности за факторе C, Z1 и Z2 дате су у дијаграмима на сликама 58 и 59.

106

Одређивање протока врши се следећим редоследом: прво се за усвојену вредност m из првог дијаграма одреди вредност C. Са том вредношћу приближно се одреди проток по формули

21 22( )

4p pdQ C Eπρ−

=

За тако одређен проток нађе се брзина v у отвору бленде d и одговарајући Re vdReν

= .

Најзад се из другог и трећег дијаграма налазе поправни коефицијенти Z1 и Z2 и коначан проток 2

1 22( )4

p pdQ Eπµρ−

=

где је

1 2C Z Zµ = ⋅ ⋅

Слика 58. Фактори коефицијената протока бленде са непосредним прикључцима за притисак

107

На сликама 58 и 59 за вредности Z1 унешене су вредности грешке која се може очекивати за измерени проток.

Слика 59. Фактори коефицијената протока бленде са размакнутим прикључцима за притисак

Бленда изазива смањење протока кроз цев. Ако је пречник бленде већи, мањи је пад притиска али је тачност измереног протока мања, док мањи пречник изазива веће пригушење струје. Ако за то постоји могућност, пречник бленде треба одређивати према најпогоднијем паду притиска који се унапред усваја. За приближно познат проток Q према формули

( )1 22

42

QC m Ep p

Dπρ

⋅ ⋅ =−

одређује се производ C m E⋅ ⋅ који је унешен у први дијаграм. Из тог дијаграма налази се m и најпогоднији пречник бленде

d D m= .

108

Да би се избегли поремећаји који нису везани за бленду, препоручује се да права деоница цеви узводно буде дужине 10D, а низводно 5D. Изгубљени притисак може да се представи аналитичким изразом

1 2(1 )( )p m p p∆ = − − .

Места на којима се налазе најмањи статички притисци испред и иза бленде одређени су експериментално. Њихов положај означен је на слици 60.

Слика 60. Положај прикључака за притисак

Тачне карактеристичне димензије нормалне бленде (два начина извођења), са прикључцима за притисак непосредно испред и иза, дате су на слици 61.

Слика 61. Димензије нормалне бленде (DIN)

Млазник

Слика 62. Коефицијент протока µ за млазник

109

Са млазником у цеви довољне дужине испред и иза њега и прикључцима за притисак изведеним непосредно испред и иза њега, проток се одређује према формули

21 22( )

4p pdQ Eπµρ−

= ,

где је коефицијент протока µ дат у дијаграму на слици 62. Дијаграм важи за нлазнике са великим полупречником кривине и високим вредностима d D m= . Енглески стандарди (BSC) препоручују извођење млазника са четвртином елипсе, амерички (ASME) са великим полупречником кривине, док немачки (DIN) стандарди захтевају извођење млазника са два полупречника кривине. Тачне геометријске релације за DIN-ов нормалан млазник (два начина извођења прикључака за притисак) дате су на слици 63.

Слика 63. Димензије нормалног млазника (DIN)

Вентури-метар Састоји се конвергентног паралелног и дивергентног дела. Прикључци за притисак налазе се непосредно испред конвергентне секције и у грлу – најужој деоници. Уобичајени углови конвергентне и дивергентне секције означени су на слици 64. У грлу Вентури-метра пречник се креће од D/4 до D/2 (D је пречник цеви).

Слика 64. Вентури-метар

Проток се одређује према обрасцу

2 21 2 1 2

12( ) 2( )

4 4p p p pd dQ E C Z Eπ πµρ ρ− −

= = ⋅

где су:

2

1

1E

m=

−,

2dmD

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, а коефицијент протока 1C Zµ = ⋅ одређује се из дијаграма на слици 65.

110

Слика 65. Коефицијенти протока за Вентури-метар (BSC)

Уз дијаграм на слици 65 прилаже се и дијаграм на слици 66 за одређивање коефицијента протока µ према ASME PTC за једну вредност d/D=0,5, али за различите пречнике цевовода, у функцији Рејнолдсовог броја. Re број одређује се према пречнику и брзини струје у грлу Вентури-метра.

Слика 66. Коефицијент протока за Вентури-метар (ASME PTC)

Прикључци за притисак изводе се како је приказано на слици 64 да се турбулентни утицаји не би одразили на величину мереног притиска. Напомена. Разлика вредности µ према BSC и ASME PTC указује да за врло тачна мерења протока, или мерења у специјалним условима (изражена стишљивост, високе температуре, различите врсте и влажности гасне средине) треба увести додатне поправне коефицијенте. Ове коефицијенте и метод рада прописују стандарди (DIN, GOST, BSC). Правац (и брзина) струјања мери се прецизно сондама са више прикључака за притисак. На слици 67 приказана је сонда са струјањем преко цилиндричног тела. Правац струјања одређен је и очитан преко угла закретања сонде када су притисци на прикључцима 1 и 3 једнаки. Тада је притисак на прикључку 2 pt. Уколико се прикључци притиска 1 и 3 поставе у положај где влада статички притисак, разлика p2-p1 или p2-p3 даје динамички притисак, односно брзину v∞. Положај прикључака 1 и 3 одређује се из познатог распореда брзине на цилиндру и Б.ј. Распоред брзине за невискозан флуид константне густине дат је са 2 sinv vθ θ∞= , а Б.ј. за тачке ∞ и 1 или ∞ и 3 даје

111

2 21 1

2 2p v p vρ ρ∞ ∞+ = + тј. 1 0p p

ρ∞−=

односно

( )2 2110

2p p v vρρ

∞∞

−= = − .

Замена 1 2 sinv v θ∞= доводи до

( )2 20 1 4sinv θ∞= −

и коначног резултата θ=30°.

Слика 67. Цилиндрична сонда за одређивање правца (и брзине) струјања

Мерила протекле запремине флуида која се поред наведених најчешће срећу у примени, тачности су ±0,5 % ÷ ±3 % у опсегу протока и вискозности 1:10, а према принципу рада подељена су на: запреминска, индуктивна, турбинска, вртложна, моментна и др.