Bevezetés a Geogebrába - Fazekas · 2017. 3. 5. · Az eszközök használatának alapjai • A megfelelő ikonra való kattintással aktiválhatod a különböző eszközöket

Bevezetés a Geogebrába

Szerzők:Judith Hohenwarter, [email protected]

Markus Hohenwarter, [email protected]

Fordította:Révai Nóra

2

A mű eredeti címe: Introduction to GeoGebra A kézirat utolsó módosítása: 2008. július 19.Készült a GeoGebra 3.0-hoz

Az eredeti mű szerzői: Judith Hohenwarter, Markus HohenwarterFordította: Révai NóraLektorálta: Papp Varga Zsuzsanna

© Judith Hohenwarter, Markus Hohenwarter, 2008© Hungarian translation Révai Nóra, 2011© Műszaki Könyvkiadó Kft., 2011

ISBN 978-963-16-4529-3Azonositó szám: MK-4529-3

Kiadja a Műszaki Könyvkiadó Kft.Felelős kiadó: Orgován Katalin ügyvezető igazgatóSzerkesztőségvezető: Hedvig OlgaFelelős szerkesztő: Csík ZoltánMűszaki szerkesztő: Haász AnikóTördelőszerkesztés és könyvterv: Weep Bt.1. magyar nyelvű kiadáse-mail: [email protected]

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS

Szeretnénk köszönetet mondani a Florida Atlantic University és Broward megye iskolaszé-kének a „Standards Mapped Graduate Education and Mentoring” („Közoktatási követel-ményrendszerhez igazodó egyetemi tanárképzés és mentorálás”) című, NSF Matematikai éstermészettudományi partnerségi projekt tagjainak, különösképpen a projekt vezetőinekHeinz-Otto Peitgennek és Richard Vossnak, akik ösztönözték munkánkat, valamint Browardmegye tanárainak – Guy Barmoha, Paul Beaulieu, James Duke Chin, Ana Escuder, Edward M.Knote, Athena Matherly, Barbara A. Perez, Lewis Prisco, Jeffrey Rosen és Megan Yanes – akönyv írása közben nyújtott folyamatos támogatásukért és együttműködésükért.

Jelen anyag a National Science Foundation EHR-0412342 számú pályázata, „StandardsMapped Graduate Education and Mentoring” („Közoktatási követelményrendszerhez igazodóegyetemi tanárképzés és mentorálás”) elnevezésű NSF Matematikai és természettudományipartnerségének keretében támogatott munkán alapul. Az alkotásban szereplő véleményeket,megállapításokat, következtetéseket és ajánlásokat a szerzők fogalmazták meg, így ezeknem feltétlenül tükrözik a National Science Foundation nézeteit.

3

HOGYAN HASZNÁLJUK A KÖNYVET?A „Bevezetés a Geogebrába” a GeoGebra nevű dinamikus matematikai szoftver minden alap-vető funkcióját bemutatja, így egyrészt egy, a GeoGebrát jól ismerő előadó használhatja be-vezető tanfolyamokhoz, másrészt az olvasó a szoftver használatát a könyv segítségévelegyedül is megtanulhatja.

A könyv példáit végigcsinálva megismerheted a GeoGebra működését, amely az általánosiskola felső tagozatától (10 éves kortól) az egyetemig mind matematikatanításra, mind annaktanulására alkalmas. A feladatok bevezetést nyújtanak a geometriai eszközök, az algebraikifejezések bevitelének, a parancsok, valamint a GeoGebra különböző funkcióinak használa-tába. Ahhoz, hogy minél alaposabban megismerkedhess ezzel a sokoldalú szoftverrel, éshogy módszertani ötleteket kapj a GeoGebra mindennapi tanításban való alkalmazására, eza bevezetés a matematikai témák egy széles skáláját fedi le. A könyv gyakorlóblokkjai a ko-rábban megtanult készségek gyakorlására és a szoftver egyéni felfedezésére nyújtanak le-hetőséget.

A könyv minden szerkesztési fájlja és a kiegészítő fájlok (GeoGebra-fájlok, dinamikus mun-kalapok, képfájlok) elérhetők online a http://www.geogebra.org/book/intro-en.zip oldalon.

Jó szórakozást és sikeres feladatmegoldást kívánunk a GeoGebrával!

Judith & Markus

4

5

1. Telepítés, bevezetés a GeoGebrába . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. Feladat: A GeoGebra telepítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Feladat: A kiegészítő fájlok elmentése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Bevezetés: Mi is az a GeoGebra és hogy működik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Rajzolás kontra geometriai szerkesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Feladat: Geometriai és egyéb alakzatok rajzolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104. Feladat: GeoGebra-fájlok mentése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. Feladat: Rajzok, Szerkesztések és Mozgatás-teszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. Feladat: Téglalap szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. Feladat: Szabályos háromszög szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. I. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I. a) Feladat: Négyzet szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I. b) Feladat: Szabályos hatszög szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I. c) Feladat: Háromszög köré írt köre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I. d) Feladat: Thales tételének szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Alapvető algebrai adatok bevitele, parancsok és függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218. a) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (1. Rész) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228. b) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (2. Rész) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229. Feladat: Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése . . . . . . . . . . . . . . . . 2510. Feladat: Csúszkák használata a paraméterek változtatásához . . . . . . . . . . . . . . . . 2611. Feladat: Függvénykönyvtárak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Képek exportálása a vágólapra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912. a) Feladat: Képek exportálása a vágólapra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912. b) Feladat: Képek beszúrása szöveges dokumentumba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6. II. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II. a) Feladat: Elsőfokú egyenlet paraméterei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II. b) Feladat: A derivált bevezetése – a deriváltfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II. c) Feladat: Függvénydominó-játék készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II. d) Feladat: Geometriai alakzatokkal kapcsolatos memóriajáték készítése . . . . . . . . 36

7. Kép beszúrása a geometria ablakba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713. Feladat: Szimmetrikus ábrák készítésére szolgáló rajzeszköz . . . . . . . . . . . . . . . . 3714. a) Feladat: Kép átméretezése és tükrözése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914. b) Feladat: Kép torzítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014. c) Feladat: A tükrözés tulajdonságainak felfedezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

TA RTA LO M J E G Y Z É K

6

8. Szöveg beszúrása a geometria ablakba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215. Feladat: Tükörképpontok koordinátái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4216. Feladat: Sokszög forgatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9. III. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III. a) Feladat: Egyenletrendszer szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III. b) Feladat: Képek eltolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III. c) Feladat: Egyenes meredekségének szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III. d) Feladat: A Louvre piramis felfedezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10. Statikus feladatlapok készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317. a) Feladat: Képek elmentése fájlként . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317. b) Feladat: Kép beszúrása Wordbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

11. Dinamikus munkalapok készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Bevezetés: A GeoGebraWiki és a Felhasználói fórum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618. a) Feladat: Dinamikus munkalap létrehozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5818. b) Feladat: Dinamikus munkalapok továbbfejlesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6118. c) Feladat: Dinamikus munkalapok tanulóknak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

12. IV. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63IV. a) Feladat: Hasonló mértani alakzatok területei közötti összefüggések . . . . . . . . . 64IV. b) Feladat: Egy háromszög belső szögösszegének szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . 66IV. c) Feladat: Egész számok összeadásának szemléltetése a számegyenesen . . . . . . 67IV. d) Feladat: Tangram kirakó készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7

1. Feladat: A GeoGebra telepítése

Előkészítés

Hozz létre egy GeoGebra_Bevezetes nevű mappát az Asztalon.

Útmutatás: Minden fájlt ebbe a mappába ments, hogy a későbbiekben is könnyen megtaláldőket.

Telepítés internet-hozzáféréssel

Telepítsd a GeoGebra Webstartot

• Nyisd meg a böngészőt és menj a www.geogebra.org/webstart oldalra.• Kattints a GeoGebra Webstart gombra.

Megjegyzés: A szoftver telepítése automatikus, minden megjelenő üzenetnél kattints azOK vagy a Tovább gombokra.

Útmutatás: Ha van internet-hozzáférésed, a GeoGebra Webstartnak jó néhány előnye vantelepítéskor:

• Nem kell különböző fájlokkal dolgozni, mert a GeoGebra automatikusan települ a számí-tógépre.

• A GeoGebra Webstart használatához nem szükséges speciális felhasználói jogokkal ren-delkezni, ami különösen iskolai számítógéplaborok és laptopok esetében hasznos.

• A GeoGebra Webstart telepítés után offline is használható.• Ha a telepítés után is van internet-hozzáférésed, a GeoGebra Webstart rendszeresen el-

lenőrzi, hogy vannak-e frissítések, és azokat automatikusan telepíti, így mindig a leg-frissebb GeoGebrával dolgozhatsz.

Internetkapcsolat nélküli telepítés

• A tanfolyam vezetőjétől pendrive-on vagy CD-n megkapod a telepítéshez szükséges fáj-lokat.

• Másold a fájlokat az adattárolóról a számítógép GeoGebra_Bevezetes mappájába.

Útmutatás: Ellenőrizd, hogy az operációs rendszerednek megfelel-e a fájl.Példa: MS Windows: GeoGebra_3_0_0_0.exe

Macintosh: GeoGebra_3_0_0_0.zip

• Kattints duplán a GeoGebra telepítőfájlra és kövesd a telepítővarázsló utasításait.

1 . TE L E P Í T É S , B E V E Z E T É S A GE OGE B R Á B A

2. Feladat: A kiegészítő fájlok elmentése

Töltsd le a kiegészítő fájlokat, és mentsd el a számítógépre.

• A tanfolyam vezetőjétől pendrive-on vagy CD-n megkapod a kiegészítő fájlokat, másoldaz adattárolóról a GeoGebra_Bevezetes_Fajlok (GeoGebra_Introduction_Files) mappát aszámítógépen lévő GeoGebra_Bevezetes mappába.

VAGY

• Töltsd le a tömörített (zip) fájlt a www.geogebra.org/book/intro-en.zip oldalról,

� mentsd el a zip fájlt a GeoGebra_Bevezetes mappába, majd

� bontsd ki a fájlokat a számítógépre. Az operációs rendszertől függően ezt a követke-zőképpen teheted meg:

MS Windows XP esetén jobb egérgombbal kattints a tömörített fájlra, és kövesd a va-rázsló utasításait.

Macintosh esetében duplán kattints a fájlra.

Bevezetés: Mi is az a GeoGebra és hogy működik?

Mi áll a GeoGebra hátterében?

A GeoGebra egy iskolák számára készült dinamikus matematikai szoftver, mely ötvözi a geo -metriát, az algebrát és az analízist.

A GeoGebra egyrészt egy dinamikus geometriai program, segítségével pontokkal, vekto-rokkal, szakaszokkal, egyenesekkel és kúpszeletekkel, valamint függvényekkel lehet szer-kesztéseket végezni, miközben az egyes elemek dinamikusan változtathatók. Másrésztegyenletek és koordináták közvetlenül is megadhatók, a GeoGebra számokat, vektorokat éspontokat mint változókat is tud kezelni. Meg tudja határozni függvények deriváltjait és in-tegráljait, illetve olyan parancsok adhatók, melyekkel például gyököket vagy csúcspontokatlehet megkeresni.

A GeoGebrát két nézet jellemzi: az algebra ablakban megjelenő kifejezés megfelel egy, ageometria ablakban lévő alakzatnak és fordítva.

A GeoGebra felhasználói felülete

A GeoGebra felhasználói felülete egy geometriai és egy algebra ablakból áll. Egyrészről arendelkezésre álló geometriai eszközöket kezelheted az egérrel, így a geometria ablak rajz-lapjára lehet geometriai szerkesztéseket készíteni. Ugyanakkor a billentyűzettel a parancs-sorba közvetlenül is bevihetők algebrai adatok, parancsok és függvények. Míg az alakzatokgrafikai képe a geometria ablakban, az algebrai, numerikus formájuk az algebra ablakban lát-ható.

A GeoGebra felület rugalmas, és tanítványaid igényeinek megfelelően adaptálható. Ha aszoftvert általános iskolában szeretnéd használni, az algebra ablakot, a parancssort és a ko-ordinátatengelyeket elrejtheted, és dolgozhatsz csak a rajzlappal és a geometriai eszközök-

8

kel. Később, a koordináta-rendszer bevezetésénél az egész koordinátákkal való munka ösz-tönzésére használhatsz rácsot. A középiskolában az algebrai adatok bevitelét is használha-tod, ha tanítványaidat az algebrán át a koordináta-geometriába, analízisbe szeretnédbevezetni.

Az eszközök használatának alapjai

• A megfelelő ikonra való kattintással aktiválhatod a különböző eszközöket.

• Az ikonok jobb alsó sarkában lévő nyílra kattintva nyisd meg az eszközkészletet, és válasszki egy másik eszközt.

Útmutatás: Nem kell minden alkalommal megnyitni az eszközkészletet, amikor aktiválniszeretnél egy eszközt; ha a gombon a használni kívánt eszköz ikonja látható,akkor az eszközt a gombra kattintva közvetlenül is aktiválhatod.

Útmutatás: Egy eszközkészlet hasonló jellegű eszközöket tartalmaz, illetve olyanokat, me-lyek ugyanolyan jellegű alakzatokat hoznak létre.

• Az eszköztáron látható, hogy melyik eszköz aktív, és hogyan használható.

9

3. Feladat: Geometriai és egyéb alakzatok rajzolása

Előkészítés

• Rejtsd el az algebra ablakot és a koordinátatengelyeket (Nézet menü).

• Jelenítsd meg a koordinátarácsot (Nézet menü).

Képrajzolás a GeoGebrával

Az egér segítségével használd az alábbi eszközöket, és rajzolj különböző alakzatokat a rajz-lapra (pl. négyzetet, téglalapot, házat, fát stb.).

Mit gyakoroljunk?

• Hogyan választhatunk ki egy már meglévő alakzatot?

Útmutatás: Amikor a kurzor egy alakzaton átmegy, a kereszt nyíllá változik, és az alakzatkiemelődik. Az alakzat ekkor kattintással választható ki.

• Hogyan hozhatunk létre egy pontot egy adott alakzaton?

Útmutatás: A létrehozott pont világoskék színű. Az egér mozgatásával mindig ellenőrizd,hogy a pont valóban az alakzaton helyezkedik-e el.

Új pont Új!

Mozgatás Új!

Egyenes két ponton keresztül Új!

Szakasz Új!

Alakzatok törlése Új!

Visszavonás / Újra gombok Új!

Rajzlap mozgatása Új!

Nagyítás / Kicsinyítés Új!

10

2 . RA J Z O L Á S KO N T R A G E O M E T R I A I S Z E R K E S Z T É S

• Hogyan javíthatjuk a hibákat lépésről lépésre a Visszavonás és az Újra gombokkal?

Útmutatás: Jó néhány eszköz hoz létre automatikusan pontokat, ezért ahhoz, hogy ezeketa gombokat használjuk, nincs szükség létrehozott alakzatra.

Példa: A Szakasz például alkalmazható már két meglévő pontra, de használhatjuk az üresrajzlapon is. A rajzlapra kattintva jönnek létre a pontok, és megjelenik az ezeketösszekötő szakasz.

4. Feladat: GeoGebra-fájlok mentéseMentsd el a rajzaidat!

• Nyisd meg a Fájl menüt, és válaszd ki a Mentést.

• A felugró párbeszédablakban válaszd ki a GeoGebra_Bevezetes mappát.

• Írj be egy fájlnevet.

• A művelet befejezéséhez kattints a Mentés gombra.

Útmutatás: A mentéssel egy .ggb kiterjesztésű fájl jön létre. Ez a kiterjesztés azonosítja a Geo Gebra fájlokat, és jelzi, hogy ezek csak a GeoGebra programmal nyithatókmeg.

Útmutatás: Megfelelő nevet válassz a fájloknak: kerüld a szóközöket és a speciális karakte-reket a fájlnevekben, mert felesleges problémákat okozhatnak, amikor egy másikszámítógépre másolod a fájlokat. Használhatsz viszont aláhúzásjelet és nagy -betűket a fájlnevekben (pl.: Elso_Rajz.ggb).

Mit gyakoroljunk?

• Hogyan nyitható új GeoGebra-ablak? (Fájl menü – Új ablak)

• Hogyan nyitható üres GeoGebra-felület ugyanazon ablakban? (Fájl menü – Új)

Útmutatás: Ha még nem mentetted el a szerkesztésedet, a GeoGebra ezt kérni fogja, mielőtt az üres képernyőt megnyitja.

• Hogyan nyitható meg egy már létező GeoGebra-fájl? (Fájl menü – Megnyitás)

� A felugró ablakban böngéssz a mappák között.� Válassz ki egy GeoGebra-(.ggb kiterjesztésű) fájlt.� Kattints a Megnyitás gombra.

11

5. Feladat: Rajzok, Szerkesztések és Mozgatás-teszt

Nyisd meg az F05_Rajzolas_szerkesztes_negyzetek.html nevű dinamikus munkalapot. A di-namikus ábrán különbözőképpen szerkesztett négyzeteket láthatunk.

• Vizsgáld meg a négyzeteket úgy, hogy minden csúcsukat mozgasd az egérrel.• Találd meg a négyszögek között a valódi négyzeteket, és állapítsd meg, hogy melyek azok,

amik csupán látszatra négyzetek.• Próbáld meg kitalálni, hogy az egyes négyzeteket hogyan hozták létre, és írd le sejtései-

det.

Megbeszélés

• Mi a különbség egy rajz és egy szerkesztés között?

• Mi az a Mozgatás-teszt és miért fontos?

• Miért fontos szerkeszteni az ábrákat rajzolás helyett egy interaktív geometriai programban?

• Mit kell tudni egy geometriai ábráról ahhoz, hogy egy dinamikus matematikai program-mal meg tudjuk szerkeszteni?

6. Feladat: Téglalap szerkesztéseElőkészítés

• A szerkesztés megkezdése előtt tekintsd át a téglalap tulajdonságait.

Útmutatás: Ha nem ismered a téglalap szerkesztéséhez szükséges lépéseket, nyisd megaz F06_Teglalap_szerkesztes.ggb fájlt, és használd a navigációs eszköztárgombjait a szerkesztési lépések rekonstruálásához.

• Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt.

• Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. (Nézet menü)

• Állítsd a Feliratozást Csak új pontok-ra. (Beállítások menü – Feliratozás)

12

Négyzetek, négyzetek, négyzetek...

Az alábbi ábrán 6 négyzet látható, vagy csak annak néznek ki?1. Mozgasd a négyzetek csúcspontjait az egérrel, és írd le megfigyeléseidet.2. Próbálj meg megfogalmazni egy-egy sejtést arról, hogy hogyan készültek anégyzetek, és írd le ezeket.

Új eszközök bevezetése

• Merőleges és Párhuzamos egyenesek

Útmutatás: Kattints egy már meglévő egyenesre és egy pontra, így létrejön a ponton át-menő, az egyenesre merőleges, illetve az egyenessel párhuzamos egyenes.

• Két alakzat metszéspontja

Útmutatás: Kattints két alakzat metszéspontjára, hogy megjelenjen az a metszéspont.Ahhoz, hogy minden metszéspontot megkapj, egymás után kattints a két alak-zatra.

• Sokszög

Útmutatás: A sokszög csúcsainak létrehozásához kattints a rajzlapra vagy már meglévőpontokra. Az utolsó és az első csúcs összekötésével tudod bezárni a sokszö-get. A csúcsokat mindig az óramutató járásával ellenkező irányban kösd össze.

Útmutatás: Ne felejtsd el elolvasni az eszköztár súgóját, ha nem tudod, hogy hogyan kellhasználni egy eszközt.

Útmutatás: Próbálj ki minden új eszközt mielőtt elkezdenél egy szerkesztést.

A szerkesztés menete

13

1 AB szakasz

2 B ponton átmenő, AB szakaszra merőleges egyenes

3 Új, C pont a merőleges egyenesen

4 C ponton átmenő, AB szakasszal párhuzamos egyenes

5 A ponton átmenő, AB szakaszra merőleges egyenes

6 D metszéspont

7 ABCD sokszög (Útmutatás: A sokszög bezárásához kattints újra az első csúcsra.)

8 Mentsd el a szerkesztést.

Ellenőrizd a szerkesztést

1. Alkalmazd a mozgatás-tesztet a szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez.

2. Jelenítsd meg a navigációs eszköztárat (Nézet menü), hogy szerkesztésedet a nyilakra kat-tintva lépésről lépésre átnézhesd.

3. Jelenítsd meg a szerkesztő protokollt (Nézet menü), és segítségével nézd át a téglalapszerkesztésének lépéseit.• Egy sor mozgatásával próbáld meg a szerkesztés lépéseinek sorrendjét megváltoztatni.

Miért NEM működik ez mindig?• Töréspontok megadásával csoportosítsd a szerkesztés lépéseit:� Jelenítsd meg a Töréspont oszlopot (a szerkesztő protokoll ablak Nézet menüjében).� Csoportosítsd a szerkesztés lépéseit úgy, hogy a Töréspont oszlopban a csoport

utolsó elemének megfelelő négyzetet bejelölöd.� Változtasd meg a beállítást úgy, hogy csak a töréspontok látszódjanak (a szerkesztő

protokoll ablak Nézet menüjében).� A szerkesztés lépésről lépésre való áttekintéséhez használd a navigációs eszköztá-

rat. Jól állítottad be a töréspontokat?

7. Feladat: Szabályos háromszög szerkesztése

Előkészítés• A szerkesztés megkezdése előtt tekintsd át a szabályos háromszög tulajdonságait.

Útmutatás: Ha nem ismered a szabályos háromszög szerkesztéséhez szükséges lépéseket,nyisd meg az F07_Szabalyos_haromszog_szerkesztes.ggb fájlt, és használd anavigációs eszköztár gombjait a szerkesztési lépések rekonstruálásához.

• Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt.• Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. (Nézet menü)• Állítsd a Feliratozást Csak új pontok-ra. (Beállítások menü – Feliratozás)

Új eszközök bevezetése

• Kör középponttal és kerületi ponttalÚtmutatás: Az első kattintás hozza létre a középpontot, a

második határozza meg a kör sugarát.

• Alakzat mutatása / elrejtéseÚtmutatás: Emeld ki azokat az alakzatokat, melyeket el sze-

retnél rejteni, majd a láthatósági változások al-kalmazásához kattints egy másik eszközre.

• SzögÚtmutatás: Kattints a pontokra az óramutató járásával ellentétes sorrendben. A GeoGebra

mindig a matematikai pozitív irányban hozza létre a szögeket.Útmutatás: Ne felejtsd el elolvasni az eszköztár súgóját, ha nem tudod, hogy hogyan kell

használni egy eszközt.Útmutatás: Próbálj ki minden új eszközt, mielőtt elkezdenél egy szerkesztést.

14

Ellenőrizd a szerkesztést

1. Alkalmazd a mozgatás-tesztet a szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez.

2. Jelenítsd meg a navigációs eszköztárat, vagy használd a szerkesztő protokollt, hogy szer-kesztésedet lépésről lépésre átnézhesd.

Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonságok párbeszédablak segítségével

A Tulajdonságok párbeszédablak többféle módon elérhető:

• Kattints egy alakzatra a jobb egérgombbal (Macintosh esetében Ctrl-kattintás)

• Válaszd ki a Tulajdonságokat a Szerkesztés menüből

• Mozgatás módban kattints duplán egy alakzatra

Mit gyakoroljunk?

• Válassz ki különböző alakzatokat a bal oldali listából és fedezd fel a különböző típusú alak-zatokhoz tartozó tulajdonságfüleket.

• Válassz ki egyszerre több alakzatot ahhoz, hogy egyszerre változtathasd meg valamelyiktulajdonságukat.

Útmutatás: Tartsd lenyomva a Ctrl gombot (Macintosh esetén a Command gombot) és vá-laszd ki a kívánt alakzatokat.

• Válaszd ki az ugyanolyan típusú alakzatokat a megfelelő címsorra kattintva.

• Jelenítsd meg különböző alakzatoknak az értékét, és próbálj ki néhány feliratstílust.

• Változtasd meg néhány alakzat tulajdonságait (pl. színét, stílusát).

15

1 AB szakasz

2A középpontú, B-n átmenő kör Útmutatás: Az A és B pontok mozgatásával ellenőrizd, hogy a kör valóban

ezekhez van-e kötve.

3B középpontú, A-n átmenő körÚtmutatás: A pontok mozgatásával ellenőrizd, hogy a kör valóban ezekhez

van-e kötve.

4 A két kör metszéspontja adja meg a C pontot.

5 ABC sokszög az óramutató járásával ellenkező irányban

6 Rejtsd el a köröket.

7Jelenítsd meg a háromszög belső szögeit.Útmutatás: Ha a sokszöget az óramutató járásával megegyező irányban hoztad

létre, akkor most a háromszög külső szögei jelennek meg.

8 Mentsd el a szerkesztést.

Ez a gyakorlóblokk alap- és haladó szintű geometria feladatok gyűjteménye. Az érdeklődé-sednek megfelelő feladatokat választhatsz, és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatszrajtuk.

Tippek és trükkök • Foglald össze a létrehozni kívánt geometriai ábra tulajdonságait.

• Próbáld meg kitalálni, hogy melyik GeoGebra-eszközöket lehet használni az ábra meg-szerkesztéséhez felhasználva a fenti tulajdonságokat (pl. derékszög – Merőleges eszköz).

• A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az esz-közöket. Ha nem ismered valamelyik eszköz használatát, aktiváld, és olvasd el az eszköz-tár súgóját.

• Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort ésa koordinátatengelyeket.

• Érdemes elmenteni a fájlokat, mielőtt egy új feladathoz fogsz hozzá.

• Ne feledkezz meg a Visszavonás és az Újra gombokról, ha esetleg hibázol.

• A szerkesztések ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. valóban egymáshozvannak-e kötve bizonyos alakzatok, létrehoztál-e felesleges alakzatokat).

• Amennyiben kérdéseid vannak, kérdezz meg egy kollégát, mielőtt a tanfolyam vezetőihezfordulnál.

16

3 . I . GYA KO R LÓ B LO K K

I. a) Feladat: Négyzet szerkesztése

Alapszint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A négyzet megszerkesztéseelőtt győződj meg róla, hogy tudod, hogyan kell használni ezeket.

• Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1a_Negyzet_szerkesztese.html fájlt.


1. Kösd össze az A és B pontokat egy a = AB szakasszal.

2. Szerkessz a B pontban egy, az AB szakaszra merőleges b egyenest.

3. Szerkessz egy B középpontú, A-n átmenő c kört.

4. Keresd meg a c kör és a b egyenes C metszéspontját.

5. Szerkessz az A pontban egy, az AB szakaszra merőleges d egyenest.

6. Szerkessz egy A középpontú, B-n átmenő e kört.

7. Keresd meg a d egyenes és az e kör D metszéspontját.

8. Hozd létre az ABCD sokszöget.

Útmutatás: Ne felejtsd el a D pont után az A pontra kattintva bezárni a sokszöget.

9. Rejtsd el a köröket és a merőleges egyeneseket.

10. A szerkesztésed ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet.

Erőpróba: Ki tudsz találni más szerkesztési eljárást?

Szakasz

Merőleges

Kör középponttal és kerületi ponttal

Két alakzat metszéspontja

Sokszög

Alakzat mutatása / elrejtése

Mozgatás

17

I. b) Feladat: Szabályos hatszög szerkesztése

Alapszint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A hatszög szerkesztésénekmegkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket.

Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1b_Hatszog_szerkesztese.html fájlt.


1. Rajzolj egy A középpontú, B-n átmenő kört.

2. Szerkessz egy másik, B középpontú, A-n átmenő kört.

3. Keresd meg a két kör metszéspontjait, így megkapod a C és D csúcspontokat.

4. Szerkessz egy új, C középpontú, A-n átmenő kört.

5. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd az E csúcspontot.

6. Szerkessz egy új, D középpontú, A-n átmenő kört.

7. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd az F csúcspontot.

8. Szerkessz egy új, E középpontú, A-n átmenő kört.

9. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd a G csúcspontot.

10. Hozd létre az FGECBD hatszöget.

11. Jelenítsd meg a hatszög szögeit.


Erőpróba: Próbáld meg megmagyarázni, hogy miért jó ez a szerkesztési eljárás.

Útmutatás: Mekkora a körök sugara és miért?



Sokszög

Szög


Mozgatás

18

I. c) Feladat: Háromszög köré írt köre

Haladó szint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A köré írt kör szerkeszté-sének megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket.

Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1c_Harom-szog_koreirt_kor_szerkesztese.html fájlt.


1. Rajzolj egy tetszőleges ABC háromszöget.

2. Szerkeszd meg a háromszög minden oldalának az oldalfelező merőlegesét.

Útmutatás: A Szakaszfelező eszköz már meglévő szakaszokra alkalmazható.

3. Keresd meg a szakaszfelezők D metszéspontját.

Útmutatás: A Két alakzat metszéspontja eszköz nem alkalmazható három egyenes met-széspontjának megkeresésére. Válassz ki 2 szakaszfelezőt egymás után, vagy kattints ametszéspontra, és az ebben a pozícióban megjelenő alakzatok listájából válaszd ki egyen-ként az egyeneseket.

4. Szerkessz egy D középpontú kört, melynek egyik kerületi pontja a háromszög valamelyikcsúcspontja.


Erőpróba: Módosítsd a szerkesztést az alábbi kérdések megválaszolásához:

1. Eshet-e a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre? Ha igen, milyen háromszögekesetében?

2. Próbáld meg megmagyarázni, hogy miért a szakaszfelezőkkel kell a háromszög köré írtkörét megszerkeszteni.

Sokszög

Szakaszfelező



Mozgatás

19

I. d) Feladat: Thales tételének szemléltetése

Haladó szint

Mielőtt megkezded a szerkesztést, próbáld ki a 04_Thales_tetel.html nevű dinamikus mun-kalapot, amely megmutatja, hogy hogyan fedezhetik fel újra a tanulók azt, amit Thales kb.2600 évvel ezelőtt felfedezett.

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A Thales-kör szerkesztésé-nek megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket.

Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod azF_1d_Thales_tetel _szerkesztese.html fájlt.


1. Rajzolj egy AB szakaszt.

2. Szerkessz egy A-n és B-n átmenő félkört.

Útmutatás: A pontokra való kattintás sorrendje határozza meg a félkör irányát.

3. Hozz létre egy új C pontot a félkörön.

Útmutatás: Mozgasd a C pontot az egérrel, és ellenőrizd, hogy valóban a félkörön fek-szik-e.

4. Hozd létre az ABC háromszöget.

5. Jelenítsd meg az ABC háromszög belső szögeit.

Erőpróba: Próbáld meg a tételt szemléletesen bizonyítani.

Útmutatás: Hozd létre az AB szakasz O felezőpontját, és jelenítsd meg az OC sugarat mint sza-kaszt.

Szakasz

Két pontra illeszkedő félkör Új!

Új pont

Sokszög

Szög

Mozgatás

20

Tippek és trükkök

• Nevezz el egy új alakzatot úgy, hogy algebrai alakja elé „név = ”-t írsz. Példa: A P = (3, 2) parancs létrehozza a P pontot.

• A szorzást a csillag karakterrel, vagy a tényezők közötti szóközzel jelölheted. Példa: a*x vagy a x.

• A GeoGebra kis-nagybetű érzékeny! A kis- és nagybetűket nem szabad összekeverni. Meg-jegyzés:

� A pontok mindig nagybetűvel vannak jelölve.Példa: A = (1, 2)

� A szakaszok, egyenesek, körök, függvények, ... mindig kisbetűvel van-nak jelölve.Példa: c kör: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16

� Egy függvény x változója, valamint egy kúpszelet egyenletében lévő xés y változók mindig kisbetűsek.Példa: f(x) = 3*x + 2

• Ha egy algebrai kifejezésen belül vagy egy parancsban szeretnél egy alakzatot használni,mindig létre kell hozni az alakzatot, mielőtt a parancssorban használnád. Példák:

� Az y = m x + b egy olyan egyenest hoz létre, melynek az m és bparaméterei már létező értékek (pl. számok / csúszkák)

� Az Egyenes[A, B] parancs a már létező A és B pontokon átmenőegyenest hoz létre.

• A parancssorba beírt kifejezést az Enter gomb lenyomásával hagyd jóvá.

• A parancssor bal szélén lévő kérdőjel ikonra kattintva nyisd meg a súgó ablakot,amely segít a parancssor és a parancsok használatában.

• Hibaüzenetek: Mindig olvasd el a hibaüzeneteket, hiszen ezek segíthetnek a problémamegoldásában.

• A parancsokat begépelheted, vagy kiválaszthatod a parancssor melletti listából.Útmutatás: Ha nem tudod, hogy egy parancs argumentumába milyen paraméterek szük-

ségesek, gépeld be a parancsot, és nyomd meg az F1-et. A felugró ablakbólmegismerheted a parancs szintaxisát és a szükséges paramétereket.

• Parancsok automatikus kiegészítése: A parancs első két betűjének begépelése után a GeoGebra megpróbálja kiegészíteni a parancsot.� Ha a GeoGebra a kívánt parancsot javasolja, nyomd meg az Enter gombot, és a kurzor

automatikusan a zárójelbe ugrik.� Ha a javasolt parancs nem az, amit használni szeretnél, folytasd a gépelést, amíg meg-

jelenik a kívánt parancs.

21

4. ALAPVETŐ ALGEBRAI ADATOK BEVITELE, PARANCSOK ÉS FÜGGVÉNYEK

8. a) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (1. Rész)

Vissza az iskolába...

Nyisd meg az F08_Kor_erintoi.html dinamikus munkalapot. Kövesd a munkalap utasításaita kör érintőinek megszerkesztéséhez.

Megbeszélés

• Melyik eszközöket használtad a szerkesztéshez?• Voltak új eszközök a javasolt szerkesztési eljárásban? Ha igen, hogy jöttél rá, hogy

hogyan kell ezeket használni?• Észrevettél valamit a jobb oldali kisalkalmazás eszköztárjával kapcsolatban?• Szerinted a tanítványaid tudnának egy ilyen dinamikus munkalappal dolgozni, és

egyedül rájönni a szerkesztési eljárásra?

8. b) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (2. Rész)

Mi történik, ha az egér vagy a touchpad nem működik?

Képzeld el, hogy az egér vagy a touchpad elromlik, miközben GeoGebra fájlokat szerkesztesza másnapi órádra. Hogy tudod befejezni a szerkesztést?

A GeoGebra a geometriai eszközök mellett algebrai adatok és parancsok bevitelét is le-hetővé teszi. Minden eszköznek megfelel egy parancs, és így egér használata nélkül is alkal-mazható.

Megjegyzés: A GeoGebrában több parancs található, mint eszköz, így nem minden parancs-nak felel meg geometriai eszköz.

1. Feladat: Próbáld ki a parancssor melletti lista parancsait, és keress olyan parancsokat, ame-lyeknek megfelelő geometriai eszközt már használtunk a tanfolyamon.

22

Mint azt a legutóbbi feladatban láthattad, egy kör érintőit meg lehet szerkeszteni kizárólaggeometriai eszközök használatával. Most ugyanezt a szerkesztést csak szövegbevitellel fog-juk megcsinálni.

Előkészítés


• Jelenítsd meg az algebra ablakot és a parancssort, valamint a koordinátatengelyeket(Nézet menü).


Megjegyzés: A GeoGebra megkülönböztet szabad és függő alakzatokat. Míg a szabad alak-zatok közvetlenül módosíthatóak az egérrel vagy a billentyűzettel, addig afüggő alakzatok a „szülőalakzattal” együtt változnak. Mindegy, hogy egy alak-zatot milyen módon (egérrel vagy billentyűzettel) hoztunk létre eredetileg.

1. Útmutatás: Ahhoz hogy egy alakzat algebrai alakját meg tudd változtatni a billentyűzetsegítségével, aktiváld a Mozgatás módot és kattints duplán az alakzatra az al-gebra ablakban. A változtatás után nyomd meg az Enter gombot.

2. Útmutatás: A szabad alakzatok kontrolláltabb mozgatásához használhatod a nyilakat. Ak-tiváld a Mozgatás módot és válaszd ki az alakzatot (pl. egy szabad pontot) bár-melyik ablakban. Nyomd meg a fel / le vagy a jobb / bal nyilakat az alakzatmegfelelő irányú mozgatásához.

4 C = (5, 4) C pont

5 s = Szakasz[A, C] AC szakasz

6 D = Középpont[s] Az AC szakasz D középpontja

7 d = Kör[D, C] D középpontú, C-n átmenő kör

8 Metszéspont[c, d] A két kör E és F metszéspontja

9 Egyenes[C, E] C-n és E-en átmenő érintő

10 Egyenes[C, F] C-n és F-en átmenő érintő

1 A = (0, 0)A pontÚtmutatás: Mindenképpen zárd be a zárójelet.

2 (3, 0)

B pont Útmutatás: Ha nem adsz meg nevet, az alakzatok ábécé-rend-

ben kapják a nevüket.

3 c = Kör[A, B]A középpontú, B-n átmenő körÚtmutatás: A kör egy függő alakzat.

23

A szerkesztés ellenőrzése és szemléletesebbé tétele

• A szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet.

• Tedd szemléletesebbé a szerkesztést az alakzatok tulajdonságainak változtatásával (szín,vonalvastagság, a segédalakzatok szaggatott vonallal ábrázolva, ...).

• Mentsd el a szerkesztést.

Megbeszélés

• Felmerült-e bármilyen nehézség vagy probléma a szerkesztési eljárás közben?

• A szerkesztés melyik módját (egérrel vagy billentyűzettel) szereted jobban és miért?

• Miért vigyük be az adatokat a billentyűzettel, ha ugyanezt megtehetjük az eszközökethasználva is?

Útmutatás: Vannak olyan parancsok, amelyeknek nincs geometriai eszköz megfelelőjük.

• Számít, hogy egy alakzatot milyen módon hoztunk létre? Megváltoztatható-e az alakzatmind az algebra ablakban (a billentyűzettel), mind pedig a geometria ablakban (az egér-rel)?

24

25

9. Feladat: Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése


Ebben a feladatban egy másodfokú polinom paramétereinek jelentését fogod felfedezni.Megtapasztalhatod, hogy hogyan építhető be a GeoGebra egy hagyományos iskolai kör-nyezetbe és hogyan használható aktív, tanulóközpontú tanuláshoz.

Kövesd a munkalap utasításait, és a GeoGebrával való munka közben írd le az eredmé-nyeidet és a megfigyeléseidet. A jegyzeteid segíteni fognak a feladatot követő megbeszé-lésnél.

Megbeszélés

• Felmerült bármilyen probléma vagy nehézség a GeoGebra használatával kapcsolatban?

• Hogyan építhető be egy hagyományos iskolai környezetbe egy ilyen típusú feladatmeg-oldás (GeoGebra papír alapú instrukciókkal ötvözve)?

• Szerinted lehetséges ezt házi feladatként feladni a tanulóknak?

• Milyen hatással lehet a diákok tanulására egy polinom paramétereinek dinamikus felfe-dezése?

• A matematika milyen más témaköreit lehetne hasonlóan (papír alapú feladatlap és a GeoGebra ötvözésével) tanítani?

Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése

1. Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt.

2. Gépeld be, hogy f(x) = x^2 és üss Entert. Milyen alakú a függvény grafi-konja? Írd le válaszodat egy papírra.

3. Mozgatás ( ) módban válaszd ki a polinomot az algebra ablakban, és használda fel ↑ és a le ↓ nyilakat. a) Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? Írd le megfigyeléseidet.b) Hogyan változik ekkor a polinom egyenlete? Írd le megfigyeléseidet.

4. Mozgatás ( ) módban ismét válaszd ki a polinomot az algebra ablakban, és ez-úttal a balra← és jobbra→ nyilakat használd. a) Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? Írd le megfigyeléseidet.b) Hogyan változik ekkor a polinom egyenlete? Írd le megfigyeléseidet.

5. Kattints duplán a polinom egyenletére Mozgatás módban. A billentyűzet segít-ségével változtasd az egyenletet f(x) = 3 x^2-re.Útmutatás: A szorzás jelölésére csillagot (*), vagy szóközt használj.a) Írd le, hogyan változik a függvény grafikonja.b) Ismét változtasd meg az egyenletet a paraméternek különböző (pl. 0.5; –2;

–0.8; 3) értékeket megadva. Írd le megfigyeléseidet.

10. Feladat: Csúszkák használata a paraméterek változtatásához

Próbáljunk ki egy dinamikusabb módszert annak felfedezésére, hogy egy f(x) = a x^2alakú polinom paramétereinek mi a jelentése. A paraméterek változtatásához csúszkákat fo-gunk használni.

Előkészítés


• Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket (Nézet menü).


Egy szám csúszkaként való ábrázolása

Ahhoz, hogy egy szám csúszkaként jelenjen meg a geometria ablakban, az algebra ablakbanjobb egérgombbal kell a változóra kattintani és ki kell választani az Alakzat megjelenítését.

A szerkesztés továbbfejlesztése

Hozzunk létre egy másik, b csúszkát, amely a polinom f(x) = a*x^2 + b egyenleté-ben a b konstanst változtatja.

Feladatok

• Változtasd az a paramétert a csúszkán lévő pont egérrel való húzogatásával. Hogyan vál-tozik ekkor a polinom grafikonja?

• Mi történik a grafikonnal, amikor a paraméter (a) nagyobb 1-nél, (b) 0 és 1 között van, (c)negatív? Írd le megfigyeléseidet.

• Változtasd a b paramétert. Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja?

3

Hozd létre a b csúszkát a Csúszka eszköz használatávalÚtmutatás: Aktiváld az eszközt és kattints a rajzlapra.

Használd az alapbeállításokat, és kattints azAlkalmazásra.

4 f(x) = a*x^2 + bAdd meg az f polinomot Útmutatás: A GeoGebra a régi függvényt felül fogja írni

az újjal.

1 a = 1 Hozd létre az a változót

2 f(x) = a*x^2Add meg az f másodfokú polinomot Útmutatás: Ne felejts el egy csillag jelet vagy egy szó-

közt ütni az a és az x^2 közé.

26

27

11. Feladat: Függvénykönyvtárak

A polinomokon kívül a GeoGebrában különféle függvények találhatók (pl. trigonometrikusfüggvények, abszolútérték-függvény, exponenciális függvény). A GeoGebra a függvényeketis alakzatokként kezeli, így geometriai szerkesztésekkel ötvözve használhatók.

Megjegyzés: Néhány függvény kiválasztható a parancssor melletti menüből. A GeoGebra általtámogatott teljes függvénylista megtalálható az online kézikönyvben (http://www.geogebra.org/help/docuen). Magyarul a http://www.geogebra.org/help/docuhu címen érhető el a kézi-könyv.

1. Feladat: Abszolútértékek szemléltetése

Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Győződj meg róla, hogy az algebra ablak, a parancssor ésa koordinátatengelyek látszanak.

Útmutatás: Ha gondolod, bezárhatod az algebra ablakot, és a nevekkel és értékekkel felira-tozhatod az alakzatokat.

(a) Mozgasd a konstans g függvényt az egérrel vagy a nyilakkal. A metszéspontok y koordi-nátája felel meg az x koordináták abszolútértékének.

(b) Mozgasd az abszolútérték-függvényt fel és le az egérrel vagy a nyilakkal. Hogyan válto-zik a függvény egyenlete?

(c) Hogyan használható ez az ábra ahhoz, hogy a tanulók megismerkedjenek az abszolútér-ték fogalmával?

Útmutatás: A függvény grafikonjának szimmetriája azt sugallja, hogy egy abszolútértékesfeladatnak általában két megoldása van.

1 f(x) = abs(x) Add meg az f abszolútérték-függvényt

2 g(x) = 3 Add meg a konstans g függvényt

3 Keresd meg a két függvény metszéspontját

1

Hozz létre három csúszkát: az a1-et, az ω1-et és a φ

1-et.

Útmutatás: Az a1 szám nevében az _ hatására az 1 alsó-index lesz. A görög betűket a csúszka párbe-szédablakban a Név rubrika melletti lenyit-ható listából választhatod ki.

2g(x) = a_1 sin(ω_1x + φ_1)

Add meg a g szinuszfüggvényt Útmutatás: A görög betűket ismét a parancssor melletti

listából választhatod ki.

2. Feladat: Szinuszhullámok szuperpozíciója

A hanghullámok matematikailag szinuszhullámok kombinációjaként ábrázolhatók. A zeneihangok több y(t)=a sin(ωt + φ) alakú szinuszhullámból állnak. Az a amplitudó be-folyásolja a hang erejét, míg az ω frekvencia határozza meg a hangmagasságot. A φ para-métert fázisnak hívják és azt jelzi, hogy a hanghullámok időben eltolódnak-e.

Ha két szinuszhullám interferál, szuperpozíció következik be. Ez azt jelenti, hogy a szi-nuszhullámok erősítik vagy gyengítik egymást. Ezt a jelenséget szimulálhatjuk a GeoGebrá-val ahhoz, hogy más a természetben előforduló különleges esetet vizsgálhassunk.

(a) A csúszkaértékek változtatásával vizsgáld a paraméterek hatását a szinuszfüggvény gra-fikonjára.

(b) Változtasd meg a függvények színét, hogy könnyebben azonosíthatók legyenek.

(c) Állítsd be az értékeket a1= 1, ω1 = 1 és φ1 = 0-ra. Mely a2, ω2, és φ2 értékek esetén maximális az összeg amplitúdója?

Útmutatás: Ebben az esetben maximális a létrejövő hang ereje.

(d) Mely a2, ω2, és φ2 értékekre oltják ki egymást a függvények?

Útmutatás: Ebben az esetben nem hallható hang.

3 Hozz létre három csúszkát: az a2-t, az ω2-t és a φ

2-t.

4h(x) = a_2 sin(ω_2x + φ_2)

Adj meg egy másik, h szinuszfüggvényt.

5összeg(x) = g(x) + h(x)

Hozd létre a két függvény összegét.

A GeoGebra rajzlapját képként exportálhatod a számítógéped vágólapjára. Ezeket a képeketkönnyen beszúrhatod szöveges dokumentumokba vagy prezentációkba, így dolgozatokhoz,tesztekhez, jegyzetekhez vagy matematikai játékokhoz tetszetős ábrákat készíthetsz.

12. a) Feladat: Képek exportálása a vágólapra

Hozd létre az ábrát

Nyiss meg egy új GeoGebra-dokumentumot, és jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancs-sort és a koordinátatengelyeket.

Útmutatás: Megváltoztathatod az alakzatok tulajdonságait (pl. a pontok színét, az érintőkstílusát, megjelenítheted a függvény nevét és értékét).

1 f(x)=0.5x3+2x2+0.2x-1 Add meg az f harmadfokú polinomot

2 R=Gyök[f]

Határozd meg az f polinom gyökeitÚtmutatás: Ha több gyök van, a GeoGebra inde-

xekkel különbözteti meg ezeket, hapéldául R =-t gépelsz, akkor(R

1,R

2,R

3)-nak nevezi el őket.

3 E=Szélsőérték[f] Határozd meg az f polinom szélsőértékeit

4 Hozd létre az f érintőit az E1

és az E2

pontban

5 I=Inflexióspont[f] Határozd meg az f polinom inflexiós pontjait

29

5. KÉ P E K E X P O RTÁ L Á S A A VÁ G Ó L A P R A

Kép exportálása a vágólapra

A GeoGebra a teljes geometria ablakot exportálja a vágólapra, ezért a GeoGebra-ablakotkicsinyítsd, hogy ne legyen felesleges hely a rajzlapon:

• Mozgasd az ábrát a rajzlap bal felső sarkába a rajzlap Mozgatás eszközének ( ) segítsé-gével (lásd a bal oldali ábrát alább).

Útmutatás: Használhatod a Nagyítás és a Kicsinyítés gombot az ábra exportáláshozvaló előkészítéséhez.

• Kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot a jobb alsó sarkának behúzásával (lásd a jobb oldali ábrátalább).

Útmutatás: A kurzor alakja változik, ahogy a GeoGebra-ablak szélein vagy sarkain átmegy.

Használd a Fájl menüt a rajzlap vágólapra való exportálásához:

• Export – Rajzlap vágólapra másolása

Útmutatás: Használhatod a Ctrl – Shift – C billentyűkombinációt is.

• Az ábrád most a számítógép vágólapján van tárolva és beszúrható bármilyen szöveg-szerkesztőben vagy prezentációkészítőben.

30

A GeoGebra-ablak a méretcsökkentés előtt

A GeoGebra-ablak a méretcsökkentés után

12. b) Feladat: Képek beszúrása szöveges dokumentumba

Képek beszúrása a vágólapról

Miután a GeoGebrából exportáltunk egy ábrát a számítógép vágólapjára, beszúrhatjuk egyszövegszerkesztőben készülő dokumentumba (pl. MS Wordbe).

• Nyiss meg egy új szöveges dokumentumot.

• A Szerkesztés menüben válaszd ki a Beillesztést, ezt követően a kép a kurzor helyén jele-nik meg.

Útmutatás: A Ctrl – V billentyűkombinációt is használhatod.

Kép kicsinyítése

Ha szükséges, Wordben kicsinyítheted a képet:

• Kattints duplán a beillesztett képre.

• Válaszd ki a Méret fület a felugró „Kép formázása” ablakban.

• Változtasd a kép magasságát / szélességét vagy cm-ben, vagy százalékban.

• Kattints az OK gombra.

Megjegyzés: Ha egy kép túl nagy ahhoz, hogy egy oldalra elférjen, a Word automatikusan ki-csinyíteni fogja, és így a méretek is megváltoznak.

31

Ez a gyakorlóblokk olyan feladatok gyűjteménye, melyekkel az adatok algebrai bevitelét, aparancsokat és a függvényeket lehet gyakorolni. Alap- és haladó szintű feladatokat is találszköztük. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz és akár egyénileg, akár kol-légáiddal dolgozhatsz rajtuk.


• Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, és a feladat megkezdése előtt döntsd el, hogyszükség lesz-e az algebra ablakra, a parancssorra és a koordinátatengelyekre.




• Algebrai kifejezések és függvények megadásánál ellenőrizd, hogy ismered-e ezek szinta-xisát. Ha gondjaid vannak, olvasd át a 4. fejezet (Alapvető algebrai adatok bevitele, pa-rancsok és függvények) Tippek és trükkök részét, vagy kérj segítséget kollégáidtól.

• Alaposan ellenőrizd a megadott algebrai adatot, mielőtt Entert ütsz. Ha hibaüzenet jele-nik meg, olvasd el, hiszen segíthet a hiba elhárításában.



32

6. I I . GYA KO R LÓ B LO K K

II. a) Feladat: Elsőfokú egyenlet paraméterei

Alapszint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket, algebrai inputokat és parancsokat fogodhasználni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használniezeket.

Útmutatás: Ha gondolod, először megnyithatod az F_2a_egyenes_parameterei.html fájlt.


1. A következőt gépeld a parancssorba:Egyenes: y = 0.8 x + 3.2

1. Feladat: Változtasd meg az egyenest azalgebra ablakban a nyilakkal.Melyik paramétert tudod ígyváltoztatni?

2. Feladat: Mozgasd az egyenest a geometria ablakban az egérrel. Milyen transzformációttudsz így végrehajtani az egyenesen?

2. Töröld ki az egyenest. Hozz létre egy m és egy b csúszkát, a csúszka alapbeállításait hasz-nálva.

3. A következőt gépeld a parancssorba: Egyenes: y = m x + b

Útmutatás: Ne felejts el egy csillag karaktert, vagy egy szóközt ütni a szorzás jelzésére.

4. 3. Feladat: Írj útmutatást a tanítványaidnak, melynek segítségével megvizsgálhatják acsúszkákat használva az egyenlet paramétereinek hatását az egyenesre. Azútmutatást papíron is oda lehet nekik adni a GeoGebra-fájllal együtt.

Erőpróba: Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a meredekség és az y-tengelymetszetmegjelenítésével.

5. Hozd létre az egyenes és az y tengely metszéspontját.

Útmutatás: Használd a Metszéspont eszközt ( ) vagy a Metszéspont[Egyenes,yTengely] parancsot.

6. Hozz létre egy pontot az origóban, és húzd meg a két pontot összekötő szakaszt.

7. Használd a Meredekség eszközt ( ), és hozd létre az egyenes meredekségét (három-szög).

8. Rejtsd el a felesleges alakzatokat, és módosítsd a látható alakzatok megjelenését.

33

Csúszka

Egyenes: y = m x + b

Szakasz

Metszéspont[Egyenes, yTengely]


Meredekség


Mozgatás

II. b) Feladat: A derivált bevezetése – a deriváltfüggvény

Haladó szint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket, algebrai inputokat és parancsokat fogodhasználni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használniezeket.

Útmutatás: Ha gondolod, először megnyithatod az F_2b_meredekseg_fuggveny.html fájlt


1. Add meg a következő polinomot: f(x) = x^2/2 + 1

2. Hozz létre egy új A pontot az f függvényen.

Útmutatás: Az A pont mozgatásával ellenőrizd,hogy valóban a függvény grafikonjánmarad-e.

3. Hozd létre az f függvény A pontbeli t érintőjét.

4. Hozd létre a t érintő meredekségét a „meredekség = Meredekség[t]” paranccsal.

5. Definiáld az S pontot az alábbi módon: S = (x(A), meredekség)

Útmutatás: Az x(A) az A pont x koordinátáját adja meg.

6. Kösd össze az A és az S pontokat egy szakasszal.

7. Feladat: Mozgasd az A pontot a grafikon mentén, és fogalmazz meg sejtést az S pont általbejárt úttal kapcsolatban, amely megfelel a deriváltfüggvénynek.

Erőpróba: Próbáld meg kitalálni a deriváltfüggvény egyenletét.

8. Állítsd be, hogy látható legyen az S pont nyomvonala. Sejtésed ellenőrzéséhez mozgasdaz A pontot.

Útmutatás: A jobb egérgombbal kattints az S pontra (Macintoshon Ctrl + kattintás), éskattints a Nyomvonalra.

9. Találd ki a keletkező deriváltfüggvény egyenletét. Add meg a függvényt, és mozgasd azA pontot. Ha a megadott egyenlet helyes, akkor az S nyomvonala meg fog egyezni azegyenlet grafikonjával.

10. Változtasd az eredeti f polinom egyenletét, hogy új problémát kapj.

34

f(x) = x^2/2 + 1

Új pont

Érintő Új!

meredekség = Meredekség[t]

S = (x(A), meredekség)

Szakasz

Mozgatás

II. c) Feladat: Függvénydominó-játék készítése

Alapszint

Ebben a feladatban függvénygrafikonok vágólapra való exportálását, majd ezek szöveg-szerkesztőbe való beszúrását gyakorolhatod, és így egy „függvénydominó” játékot készít-hetsz. A feladat megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan lehet különbözőfüggvényeket megadni.

Készítési eljárás

1. Adj meg egy tetszőleges függvényt. Példa: e(x) = exp(x)

2. Mozgasd a függvény grafikonját a rajzlap bal felső sarkába, majd igazítsd hozzá a Geo-Gebra-ablak méretét.

3. Exportáld a rajzlapot a vágólapra (Fájl menü – Export – Rajzlap vágólapra másolása).

4. Nyiss meg egy új dokumentumot egy szövegszerkesztőben.

5. Hozz létre egy táblázatot (Táblázat menü – Beszúrás – Táblázat...), melynek 2 oszlopa ésjó pár sora legyen.

6. Helyezd a kurzort a táblázat egyik cellájára. Szúrd be a függvénygrafikont a vágólapról(Szerkesztés menü – Beillesztés, vagy Ctrl – V billentyűkombináció)

7. Ha szükséges, állítsd be a kép méreteit (kattints duplán a képre, hogy megjelenjen a Képformázása párbeszédablak, majd kattints a Méret fülre).

8. A kép melletti cellába írd be egy másik függvény egyenletét.

Útmutatás: Használhatsz egyenletszerkesztőt.

9. Ismételd meg az 1-8 lépéseket különböző függvényekkel (pl. trigonometrikus, logaritmi-kus).

Útmutatás: Győződj meg róla, hogy a függvény grafikonját és egyenletét külön dominó-kártyákra tetted.

35

II. d) Feladat: Geometriai alakzatokkal kapcsolatos memóriajáték készítése

Haladó szint

Ebben a feladatban a geometriai alakzatok vágólapra való exportálását, majd ezek szöveg-szerkesztőbe való beszúrását gyakorolhatod, és így egy geometriai alakzatokkal kapcsolatosmemóriajáték kártyáit készítheted el. A feladat megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudsz-e kü-lönböző geometriai alakzatokat szerkeszteni (pl. négyszögeket, háromszögeket).

Készítési eljárás

1. Hozz létre a GeoGebrában egy geometriai alakzatot (pl. egy egyenlőszárú háromszöget).

2. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonságok párbeszédablakának segítségével.

3. Mozgasd az ábrát a rajzlap bal felső sarkába, majd igazítsd hozzá a GeoGebra-ablak mé-retét.

4. Exportáld a rajzlapot a vágólapra (Fájl menü – Export – Rajzlap vágólapra másolása).

5. Nyiss meg egy új dokumentumot egy szövegszerkesztőben.

6. Hozz létre egy táblázatot (Táblázat menü – Beszúrás – Táblázat...), melynek 3 oszlopa ésjó pár sora legyen.

7. Állítsd a sorok magasságát és az oszlopok szélességét 5 cm-re (2 inch).

Útmutatás: Helyezd a kurzort a táblázatra és nyisd meg a Táblázat tulajdonságai ablakota Táblázat menüben. A Sor fülön add meg a sor magasságát, az Oszlop fülönpedig az oszlop kívánt szélességét. A Cella fülön állítsd a függőleges igazítástKözépre. Kattints az OK-ra, amikor elkészültél.

8. Helyezd a kurzort a táblázat egyik cellájára. Szúrd be az ábrát a vágólapról (Szerkesztésmenü – Beillesztés vagy Ctrl – V billentyűkombináció).

9. Ha szükséges, állítsd be a kép méreteit (kattints duplán a képre, hogy megjelenjen a Képformázása párbeszédablak, majd kattints a Méret fülre).

10. Egy másik cellába írd a geometriai alakzat nevét.

11. Ismételd meg az 1-10 lépéseket különböző alakzatokkal (pl. kör, négyszögek, háromszö-gek).

36

13. Feladat: Szimmetrikus ábrák készítésére szolgáló rajzeszköz


Nyisd meg az F13_rajzolas_szimmetria.html nevű dinamikus munkalapot. Kövesd az utasí-tásokat, és tapasztald meg magad, hogy hogyan fedezhetik fel tanítványaid egy virág szim-metriatengelyeit a feladatlap segítségével.

Útmutatás: A későbbiekben megtanulod, hogyan készíthetsz te is ilyen dinamikus munkala-pokat.

Megbeszélés

• Hogyan hasznosíthatnák tanítványaid ezt az előre elkészített szerkesztést?

• Milyen eszközöket használtunk a dinamikus ábra elkészítéséhez?

Előkészítés


• Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket (Nézet menü).


37

7. KÉ P B E S Z Ú R Á S A A G E O M E T R I A A B L A K B A

1 Új A pont

2 A A Jelenítsd meg az A pont feliratát

3 Tükrözés tengelye a két ponton át

4 Tengelyes tükrözés az egyenesre, hogy megkapjuk az A pont A' tükörképét

5 Az A-t és az A' képét összekötő szakasz

Megbeszélés

A Nyomvonal ( ) funkciónak van néhány jellegzetessége:

• A nyomvonal egy átmeneti jelenség. Minden alkalommal, amikor a kép frissül, a nyom-vonal eltűnik.

• A nyomvonalat nem lehet elmenteni és nem jelenik meg az algebra ablakban.

• A nyomvonal törléséhez frissíteni kell a nézetet (Nézet menü – Nézet frissítése vagy Ctrl– F billentyűkombináció; Macintoshon Apple-F )

A szerkesztés továbbfejlesztése

Megjegyzés: Ellenőrizd, hogy az F13_virag.jpg fájl le van-e mentve a számítógépedre.

38

6

Kapcsold be A és A' pontok nyomvonalátÚtmutatás: Jobb egérgombbal kattints a pontra (Macintoshon Ctrl + kattintás)

és válaszd ki a Nyomvonalat a menüből. Amikor az A pontot moz-gatod, nyomvonala megjelenik a rajzlapon.

7 Dinamikus ábra rajzolásához mozgasd az A pontot

8 Szúrd be a képet a rajzlapra

9 Állítsd be a beszúrt kép helyzetét

10Állítsd be, hogy a kép háttérkép legyen (Tulajdonságok párbeszédablak,Alap fül)

11 Csökkentsd a kép kitöltését (Tulajdonságok párbeszédablak, Stílus fül)

14. a) Feladat: Kép átméretezése és tükrözése

Ebben a feladatban azt tanulhatod meg, hogy hogyan kell a GeoGebrában egy beszúrt képetátméretezni, valamint hogy hogyan transzformálhatod azt.

Előkészítés

• Ellenőrizd, hogy az F14_Naplemente_palmafak.jpg fájl le van-e mentve a számítógépedre.


• Zárd be az algebra ablakot, és rejtsd el a koordinátatengelyeket.


Feladatok

(a) Mozgasd az A pontot az egérrel.Hogyan változik ekkor a tükörkép?

(b) Mozgasd a tükrözés tengelyét akét pont húzogatásával. Hogyanváltozik ekkor a tükörkép?

39

1Szúrd be az F14_Naplemente_palmafak.jpg (A14_Sunset_Palmtrees.jpg)képet a rajzlap bal oldalára

2 Új A pont a kép bal alsó sarkába

3

Állítsd be az A pontot a kép első sarokpontjánakÚtmutatás: Nyisd meg a Tulajdonságok párbeszédablakot és válaszd ki a

képet az alakzatok listájából. Kattints a Pozíció fülre, és a Sarok-pont 1 melletti legördülő listából válaszd ki az A pontot.

4 B = A + (3,0)

5Állítsd be a B-t a kép második sarokpontjánakÚtmutatás: Ezzel megváltoztattad a kép szélességét 3 cm-re.

6 Két ponton átmenő függőleges egyenes a rajzlap közepére

7Tükrözd a képet az egyenesreÚtmutatás: Csökkentheted a tükörkép kitöltését, hogy jobban meg tudd kü-

lönböztetni az eredeti képtől.

14. b) Feladat: Kép torzítása

Ebben a feladatban azt tanulhatod meg, hogy hogyan kell a GeoGebrában egy beszúrt képetátméretezni, valamint hogy hogyan torzíthatod azt.

A 14. a) feladatban létrehozott szerkesztést fogjuk módosítani, ha meg szeretnéd tartani azeredetit is, mentsd el a fájlt.


Feladatok

(a) Hogyan változik az eredeti és a tükörkép a D pont mozgatásakor?

(b) Mikor milyen alakú az eredeti és a tükörkép?

40

1 A kezdőábra a 14. a) feladatban létrehozott ábra legyen

2 Töröld a B pontot, hogy a kép visszanyerje eredeti méretét

3 Hozz létre egy B pontot az eredeti kép jobb alsó sarkában

4Állítsd be a B-t a kép második sarokpontjánakÚtmutatás: A B pont mozgatásával a kép most átméretezhető.

5 Hozz létre egy új D pontot az eredeti kép bal felső sarkában

6 Állítsd be a D-t a kép negyedik sarokpontjának

14. c) Feladat: A tükrözés tulajdonságainak felfedezése

Ebben a feladatban egy olyan dinamikus ábrát hozunk létre, melynek segítségével tanítvá-nyaid felfedezhetik a tükrözés tulajdonságait.

A 14. b) feladatban létrehozott szerkesztést fogjuk módosítani, ha meg szeretnéd tartani azeredetit is, mentsd el a fájlt.


Feladat

Mozgasd az eredeti kép sarokpontjait és a tükrözés tengelyét. Mit veszel észre a tengely ésa szakaszok által meghatározott szögekkel kapcsolatban? Hogy hívjuk az eredeti és a kép-pontokat összekötő szakaszoknak a tengellyel való kapcsolatát?

41

1 A kezdőábra a 14. b) feladatban létrehozott ábra legyen

2 AB szakasz

3 AD szakasz

4 D ponton átmenő, AB szakasszal párhuzamos egyenes

5 B ponton átmenő, AD szakasszal párhuzamos egyenes

6 Keresd meg a két egyenes C metszéspontját

7 Rejtsd el a segédalakzatokat

8 Tükrözd mind a négy sarokpontot az egyenesre

9 Kösd össze az egymásnak megfelelő pontokat szakaszokkal (pl. A-t A'-vel)

10 Hozd létre a tükrözés tengelye és a szakaszok által meghatározott szögeket

15. Feladat: Tükörképpontok koordinátái

Előkészítés


• Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket, valamint a rá-csot (Nézet menü).

• A Beállítások menüben állítsd a Pont elfogást Be (Rács)-ra.

Statikus szöveg beszúrása

Szúrj be egy címet a GeoGebra geometria ablakába, hogy a tanítványaid tudják, hogy mirőlszól ez a dinamikus ábra:

• Aktiváld az ABC „Szöveg beszúrása” eszközt, és kattints a rajzlap felső részére.

• Gépeld az alábbi szöveget a felugró ablakba: Pont tükrözése a koordinátaten-gelyekre

• Kattints a Rendben gombra.

• Állítsd be a szöveg helyzetét a Mozgatás eszközzel.

Útmutatás: A szöveg tulajdonságait megváltoztathatod a Tulajdonság párbeszédablakban(pl. szöveg, betűtípus, betűméret, formázás). Az Alap fülön rögzítheted a szö-veg helyzetét, hogy ne lehessen véletlenül elmozgatni.

Dinamikus szöveg beszúrása

A dinamikus szöveg már létező alakzatokra vonatkozik és automatikusan alkalmazkodik amódosításokhoz (például az A = (3,1) szöveg).

• Aktiváld az ABC „Szöveg beszúrása” eszközt, és kattints a rajzlapra.

• A felugró ablakba gépeld be, hogy A =

42

8. SZ Ö V E G B E S Z Ú R Á S A A G E O M E T R I A A B L A K B A

1 A kezdőábra a 14. a) feladatban létrehozott ábra legyen

2 Töröld a B pontot, hogy a kép visszanyerje eredeti méretét

3 Hozz létre egy B pontot az eredeti kép jobb alsó sarkában

4Állítsd be a B-t a kép második sarokpontjánakÚtmutatás: A B pont mozgatásával a kép most átméretezhető.

5 Hozz létre egy új D pontot az eredeti kép bal felső sarkában

6 Állítsd be a D-t a kép negyedik sarokpontjának

43

Útmutatás: Ez lesz a szöveg statikus része, ami nem fog változni az A pont mozgatásakor.

• Akár az algebra, akár a geometria ablakban az A pontra kattintva írhatod be a szöveg di-namikus részét.

� A GeoGebra beszúrja a szöveg mezőbe a pont nevét, és idézőjelbe teszi a már meglévő(statikus) szöveget.

� A GeoGebra ezen kívül egy + jellel köti össze a statikus és a dinamikus részt.

• Kattints a Rendben gombra.

Megjegyzés: A szöveg az A pont koordinátáit mutatja, amelyek az A pont mozgatásával au-tomatikusan változnak.

Tedd szemléletesebbé a dinamikus ábrát!

• Szúrj be dinamikus szöveget, amely az A' és az A1' képpontok koordinátáit mutatja.

• Ahhoz, hogy nagyobb részét lásd a koordinátasíknak, használd a Kicsinyítés funkciót.

Útmutatás: Beállíthatod a rácsvonalak távolságát.

� Nyisd meg a rajzlap Tulajdonság párbeszédablakát (jobb gomb – Macintoshon Ctrl-kat-tintás a rajzlapra, Rajzlap kiválasztása)

� Válaszd ki a Rács fület.

� Jelöld be a Távolság melletti négyzetet és mindkét távolságot állítsd 1-re.

• Zárd be az algebra ablakot, és rögzíts minden szöveget, hogy ne lehessen őket véletlenülelmozgatni.

Feladat

Készíts ehhez a dinamikus ábrához feladatsort a tanítványaidnak, mely segítségével felfe-dezhetik az eredeti és a képpontok koordinátái közötti összefüggést.

16. Feladat: Sokszög forgatása

Előkészítés


• Rejtsd el az algebra ablakot és a parancssort, amennyiben szükséges.

• Jelenítsd meg a koordinátatengelyeket és a rácsot.

• Nyisd meg a rajzlap Tulajdonságok párbeszédablakát:

� A Tengelyek – xTengely fülön állítsd be a távolságot 1-re.

� A Tengelyek – yTengely fülön állítsd be a távolságot 1-re.


44

1 Hozz létre egy tetszőleges ABC háromszöget

2 A koordináta-rendszer origójába új D pont

3

Változtasd az új pont nevét O-raÚtmutatás: GeoGebrában az alábbi módon gyorsan át tudod nevezni az

alakzatokat. Aktiváld a Mozgatás módot és válaszd ki az alak-zatot. Ahogy elkezded az új nevet gépelni, a GeoGebra meg-nyitja az Átnevezés párbeszédablakot.

4Hozz létre egy csúszkát az α szögnekÚtmutatás: A csúszka párbeszédablakában a Szöget válaszd és állítsd a be-

osztást 90°-ra.

5 Forgasd el az ABC háromszöget az O pont körül α szöggel.Útmutatás: Az óramutató járásával ellentétes irányt válaszd.

6 AO és A'O szakasz

7AOA' szögÚtmutatás: A pontokat az óramutató járásával ellentétes irányban válaszd ki.

Rejtsd el a szög feliratát.

8 Mozgasd a csúszkát, és figyeld meg a háromszög képét.

Tedd szemléletesebbé a szerkesztést!

Megbeszélés

Hogyan használhatod ezt a fájlt az origó körüli forgatás bevezetéséhez?

45

1 ABC Írd be a következő statikus szöveget: Sokszög forgatása

2 ABC Írd be a következő dinamikus szöveget: "A = "+A

3 ABC Írd be a következő dinamikus szöveget: "A' = "+A'

4 Mozgasd a csúszkát és a szövegeket a kívánt helyre

5 Rögzítsd a csúszkát (Tulajdonság párbeszédablak – Csúszka fül)

6 Rögzítsd a szövegeket (Tulajdonság párbeszédablak – Alap fül)

Ez a gyakorlóblokk olyan feladatok gyűjteménye, melyekkel képek és szövegek geometria ab-lakba való beszúrását lehet gyakorolni. Két nehézségi szintű feladat van: alapszintű és haladó.Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz és akár egyénileg, akár kollégáiddaldolgozhatsz rajtuk.



• Ha olyan feladatot választasz, melyben képet kell a GeoGebrába beszúrni, a feladat meg-kezdése előtt ellenőrizd, hogy a kép le van-e mentve a számítógépre.








46

9. I I I . GYA KO R LÓ B LO K K

III. a) Feladat: Egyenletrendszer szemléltetése

Alapszint

Ebben a feladatban algebrai adatbevitelt és parancsokat fogsz használni. A feladat előtt el-lenőrizd, hogy ismered-e ezek szintaxisát.

Megnézheted az F_3a_egyenletrendszer.html nevű dinamikus munkalapot, amely meg-mutatja, hogy tanítványaid hogyan használhatják ezt a szerkesztést egyenletrendszerekgrafikus megoldásához.


1. Hozd létre az m_1 és b_1 csúszkákat, a csúszka alapbeállításait használva.

2. Add meg az l_1 lineáris egyenletet a következő egyenlettel: y = m_1 x + b_1.

3. Hozd létre az m_2 és b_2 csúszkákat, a csúszka alapbeállításait használva.

4. Add meg az l_2 lineáris egyenletet a következő egyenlettel: y = m_2 x + b_2.

5. Írd be a következő dinamikus szöveget: "Egyenes 1: y = "+l_1.

6. Írd be a következő dinamikus szöveget: "Egyenes 2: y = "+l_2.

7. Keresd meg a két egyenes A metszéspontját vagy a két alakzat Metszéspontja ( ) esz-közzel, vagy a következő szöveget gépelve a parancssorba:A = Metszéspont[l_1, l_2].

8. Írd be a következő dinamikus szöveget: "Megoldás: x = "+x(A).

Útmutatás: x (A) az A pont x koordinátáját adja meg.

9. Írd be a következő dinamikus szöveget: "y = "+y(A).

Útmutatás: y(A) az A pont y koordinátáját adja meg.

Erőpróba: Készíts hasonló szerkesztést, amely egy másodfokú egyenletrendszer megoldá-sának szemléltetését teszi lehetővé.

Útmutatás: Függvények az „f (x ) =” szintaxissal adhatók meg.

Megjegyzés: Ilyen dinamikus ábra egy egyváltozós egyenlet megjelenítésére is alkalmas, haa két függvény az egyenlet két oldala.

47

III. b) Feladat: Képek eltolása

Alapszint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A szerkesztés megkezdéseelőtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket.


1. Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort, a ko-ordinátatengelyeket és a rácsot. A Beállítások menüben állítsd a Pont elfogást Be (Rács)-ra.

2. Szúrd be az A_3b_Bart.png képet az első síknegyedbe.

3. Hozd létre az A = (1,1), a B = (3,1) és a D = (1,4) pontokat.

4. Állítsd be az A pontot a kép első, a B-t a második és a D-t a negyedik sarokpontjának (Tulajdonságok párbeszédablak, Pozíció fül)

5. Hozd létre az ABD háromszöget.

6. Hozd létre az O = (0,0) és a P = (3,1) pontokat.

7. Hozd létre az u = Vektor[O,P] vektort.

Útmutatás: Használhatod a Vektor eszközt ( ) is a kezdő- és végpontot megadva.

8. Told el a képet az u vektorral az Alakzat eltolása vektorral eszköz ( ) segítségével.

Útmutatás: Csökkentheted a transzformált kép kitöltését.

9. Told el a három sarokpontot, A-t, B-t és D-t u vektorral.

10. Hozd létre az A'B 'D' háromszöget.

11. Rejtsd el az O pontot, hogy ne lehessen vélet-lenül elmozgatni. Tedd szemléletesebbé a szer-kesztést az alakzatok színének és méreténekváltoztatásával.

Erőpróba:

Adj meg dinamikus szövegeket, melyek mutatják

• az A, B, D és A', B ', D ' pontok koordinátáit,

• az u vektor koordinátáit.

48

Kép beszúrása

A = (1,1)

Sokszög

Vektor[O,P]

Vektor Új!

Alakzat eltolása vektorral Új!

Mozgatás

ABC Szöveg beszúrása

III. c) Feladat: Egyenes meredekségének szemléltetése

Haladó szint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket és algebrai kifejezéseket fogod használni.A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközö-ket, valamint hogy ismered-e az algebrai kifejezések szintaxisát.


1. Jelenítsd meg az algebra ablakot, a koordinátatengelyeket és a rácsot. A Beállítások me-nüben állítsd a pontelfogást Be (Rács)-ra, és a feliratozást az Összes új alakzatra.

2. Hozd létre az A és B ponton átmenő a egyenest.

3. Szerkeszd meg az A ponton átmenő, y tengelyre merőleges b egyenest.

4. Szerkeszd meg a B ponton átmenő, x tengelyre merőleges c egyenest.

5. Keresd meg a b és c egyenesek C metszéspontját.

Útmutatás: A merőleges egyeneseket elrejtheted.

6. Hozd létre az ACB sokszöget, és rejtsd el az oldalak feliratait.

7. Számítsd ki a magasságot: magasság = y(B) – y(A)

Útmutatás: y(A) az A pont y koordinátáját adja meg.

8. Számítsd ki a szélességet: szélesség = x(B) – x(A)

Útmutatás: x(B) a B pont x koordinátáját adja meg.

9. Írd be a következő dinamikus szöveget: "magasság = " + magasság.

10. Írd be a következő dinamikus szöveget: "szélesség = " + szélesség.

11. Írd be a parancssorba az alábbi egyenletet,amely az a egyenes meredekségét számoljaki:meredekség = magasság / szélesség

12. Írd be a következő dinamikus szöveget:"meredekség = " + meredekség.

13. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést azalakzatok tulajdonságainak megváltoztatá-sával.

49

Két ponton átmenő egyenes

Merőleges


Sokszög

magasság = y(B)-y(A)

szélesség = x(B)-x(A)

meredekség = magasság / szélesség


Felező- vagy középpont

Mozgatás

1. Erőpróba: Törtet tartalmazó dinamikus szöveg beírása

LaTeX formulák használatával a szövegekben törteket, négyzetgyököket és más matemati-kai szimbólumokat is használhatunk.

1. Aktiváld a Szöveg beszúrása (ABC) eszközt, és kattints a rajzlapra.

2. Gépeld be a „meredekség =” szöveget a felugró ablak mezőjébe.

3. Pipáld be a LaTeX formula jelölőnégyzetet, és válaszd ki az a/b-t a legördülő menüből.

4. Helyezd a kurzort az első kapcsos zárójelbe, és válaszd ki az algebra ablakban a magas-ságot.

5. Helyezd a kurzort a második kapcsos zárójelbe, és válaszd ki az algebra ablakban a szé-lességet.

6. Kattints a Rendben gombra.

2. Erőpróba: Csatolj szöveget egy alakzathoz

A csatolt szövegek együtt mozognak az alakzattal, amikor azok helyzetét változtatjuk.

1. Hozd létre a függőleges szakasz D középpontját a Felező- vagy középpont eszközzel( ).

2. Hozd létre a vízszintes szakasz E középpontját.

3. Nyisd meg a Tulajdonságok párbeszédablakot, és válaszd ki az első szöveget (magas-ság =…). Kattints a Pozíció fülre, és a Kezdőpont melletti legördülő menüből válaszd kia D pontot.

4. Válaszd ki a második szöveget (szélesség =…) a Tulajdonság párbeszédablakban, és ál-lítsd be kezdőpontként az E pontot.

5. Rejtsd el a D és E középpontokat.

50

III. d) Feladat: A Louvre piramis felfedezése

Haladó szint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket és algebrai kifejezéseket fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e használni, va-lamint hogy ismered-e az algebrai kifejezések szintaxisát. Ellenőrizd továbbá, hogy azF_3d_Louvre.jpg fájl le van-e mentve a számítógépedre.

A párizsi Louvre a világ egyik leglátogatottabb és leghíresebb művészeti múzeuma. Az épü-letben megtalálható a világ leghíresebb alkotásai közül is néhány, köztük Leonardo da VinciMona Lisája. A múzeum főbejáratát 1989-ben renoválták, ekkor építették rá az üvegpiramist(http://en.wikipedia.org/wiki/Louvre, 2008. február 20.) (Magyarul: http://hu.wikipedia.org/wiki/Louvre - ford.)

A piramis meredekségének meghatározása

1. Kapcsold ki a pontelfogást, állítsd a tizedesjegyekszámát 1-re, és változtasd a feliratozást Összes újalakzatra (Beállítások menü).

2. Szúrd be az F_3d_Louvre.jpg képet a koordinátasíkelső síknegyedébe úgy, hogy a bal alsó sarok azorigóra essen.

3. Csökkentsd a kép kitöltését (kb. 50%-ra), és állítsdbe háttérképnek (Tulajdonságok párbeszédablak).

4. Hozz létre egy, a piramis alappontján és csúcsán átmenő egyenest.

Útmutatás: Változtasd meg az egyenes tulajdonságait, hogy jobban látszódjon.

5. A Meredekség eszköz ( ) használatával szemléltesd az egyenes meredekségét.

Útmutatás: Változtasd meg a szemléltető háromszög tulajdonságait, hogy jobban lát-szódjon.

Útmutatás: A meredekséget szemléltető háromszög az elsőként létrehozott ponttól függőalakzat.

6. Feladat: Határozd meg a piramis oldalainak meredekségét %-ban.

7. Ábrázold az x tengely és az egyenes által meghatározott szöget.

Feladat: Határozd meg a piramis oldalainak hajlásszögét.

51

Kép beszúrása

Két ponton átmenő egyenes

Meredekség

Szög

Új pont

Merőleges


Alakzatok mutatása / elrejtése

Szakasz

Mozgatás

52

Erőpróba

A piramis alapja egy 35 méter oldalú négyzet. Hasonló háromszögeket használva határozdmeg a piramis magasságát.

1. Hozz létre egy új C pontot az egyenesen.

2. A C pont és a piramis B csúcsának segítségével szerkeszd meg az egyenes meredekségétszemléltető háromszöget.

Útmutatás: Hozz létre egy C ponton átmenő, y tengelyre merőleges, valamint egy a pira-mis B csúcsán átmenő, x tengelyre merőleges egyenest. Keresd meg a kétegyenes D metszéspontját.

Útmutatás: Rejtsd el a segédegyeneseket.

3. Kösd össze szakaszokkal a D pontot a B, illetve a C ponttal.

Útmutatás: Változtasd meg a szakaszok tulajdonságait, hogy jobban látszódjanak.

Útmutatás: Átnevezheted a függőleges szakaszt magasságnak és a vízszintest félalapnak.

4. Mozgasd a C pontot az egyenes mentén addig, amíg a háromszög vízszintes oldala egybenem esik a piramis talajszintjével.

5. Feladat: Hasonló háromszögeket használva számítsd ki a piramis magasságát.

Útmutatás: Használd a meredekséget szemléltető háromszöget és az új háromszöget. Nefelejtsd el, hogy az alap hossza 35 méter.

Ellenőrizd a megoldásod a GeoGebrával

6. Jelenítsd meg a magasságnak és a félalapnakmegfelelő szakaszok nevét és értékét.

7. Húzd a C pontot addig, amíg a vízszintesoldal hossza 35/2 = 17.5 méter nem lesz.

Útmutatás: Lehet, hogy ehhez távolítanodés/vagy mozgatnod kell a rajzlapot.

8. Ellenőrizd, hogy a piramis magassága megfe-lel-e a megoldásodnak.

Megjegyzés

A fenti instrukciók segítségével grafikusan meghatároztad a piramis magasságának körül-belüli értékét. A valóságban a Louvre piramis alapja 35 méter hosszú és magassága 21,65 méter. Oldalainak meredeksége 118% és dőlésszögük kb. 52%(http://de.wikipedia.org/wiki/Glaspyramide_im_Innenhof_des_Louvre, 2008. február 22.)

17. a) Feladat: Képek elmentése fájlként

Ebben a feladatban azt tanulhatod meg, hogy hogyan kell a GeoGebrából képet exportálniegy fájlba. A vágólapra való exportáláshoz képest ennek a funkciónak számos előnye van:

• Elmentheted a képet és később is használhatod. Ez a vágólapra másolásnál nem lehetsé-ges, hiszen abban az esetben az adatot csak átmenetileg tárolja a számítógép, és a ké-sőbbiekben nem lehet újra használni.

• Meghatározhatod a kép méreteit, ami jól jön, ha azt szeretnéd, hogy tanítványaid a váz-latot mérésre használják.

• Megváltoztathatod a kép felbontását és így a képfájl méretét is. A felbontás a kép minő-ségét határozza meg: egy jó minőségű nyomtatáshoz viszonylag nagy felbontást javas-lunk (300 dpi). Ha egy internetes oldalra szeretnél feltölteni egy képet, akkor érdemeskisebb fájllal dolgozni, és a szokásos 72 dpi-s felbontást használni.

Útmutatás: A dpi a „dots per inch” (inchenkénti pontok száma) rövidítése.

• Meghatározhatod a kép formátumát. A GeoGebra többféle képformátumot kínál fel, azalapbeállítás a png (Portable Network Graphics), ami jól használható, ha a képet szövegesdokumentumba vagy prezentációba szeretnéd beszúrni.

Útmutatás: Ha a többi formátumot nem ismered, ne törődj velük.


Készíts egy egyszerű ábrát a GeoGebrában. Használd például aSzabályos sokszög eszközt ( ), és hozz létre egy négyzetet,egy ötszöget vagy egy hatszöget a rajzlapra.

• Aktiváld az eszközt, és kattints a rajzlapra kétszer, hogy meg-add a szabályos sokszög oldalának hosszát.

• Gépeld be a csúcsok számát (pl. 6, ha hatszöget szeretnél) afelugró párbeszédablakba, és kattints a Rendben gombra.

A GeoGebra most is a teljes geometria ablakot exportálja a képfájlba. Ezért kicsinyítsd a GeoGebra ablak méretét, hogy a rajzlapon ne legyen felesleges hely.

• Mozgasd az ábrát (vagy az exportálni kívánt részt) a rajzlap bal felső sarkába a Rajzlapmozgatása eszközzel ( ).


• Kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot a jobb alsó sarkának behúzásával

Útmutatás: A kurzor alakja változik, ahogy a GeoGebra-ablak szélei vagy sarkai feletthalad át.

53

10. STAT I K U S F E L A D AT L A P O K K É S Z Í T É S E

Kép exportálása fájlként

Használd a Fájl menüt ahhoz, hogy a rajzlapot képként exportáld:

• Export – Rajzlap mint kép

Útmutatás: Használhatod a Ctrl – Shift – P billentyűkombinációt is.

• Ha szeretnéd, a felugró ablakban megváltoztathatod a beállításokat (formátum, arány,felbontás).

Útmutatás: Mindig ellenőrizd a kép méretét (cm-ben vagy dpi-ben). Ha a kép nem fér kiegy A4-es lapra, módosítanod kell az ábrát az exportálás előtt. Ez különösenfontos, ha a méretet meg szeretnéd őrizni egy szöveges dokumentumbanvagy egy prezentációban.

• Kattints a Mentésre és mentsd el a képet a GeoGebra_Bevezetes mappába. Az ábrát mostmár beillesztheted egy szöveges dokumentumba vagy egy prezentációba.

17. b) Feladat: Kép beszúrása Wordbe

Képfájl beszúrása szöveges dokumentumba

Miután egy GeoGebra-ábrát képként exportáltunk, beszúrhatjuk egy szöveges dokumen-tumba (pl. Wordben).

• Nyiss meg egy új szöveges dokumentumot.

• A Beszúrás menüben válaszd a Kép – fájlból menüpontot.

• A felugró párbeszédablakban válaszd ki a képet.

Útmutatás: Böngéssz a könyvtárakban ahhoz, hogy megtaláld a fájlt.

• A Beszúrás gombra kattintva a kép a kurzor helyén jelenik meg.

54

A kép kicsinyítése

Ha szükséges, Wordben kicsinyítheted a képet:

• Kattints duplán a beillesztett képre.

• Válaszd ki a Méret fület a felugró ablakban.

• Változtasd a kép magasságát / szélességét vagy cm-ben, vagy százalékban.

• Kattints az OK gombra.

Megjegyzés: Ha egy kép túl nagy ahhoz, hogy egy oldalra elférjen, a Word automatikusan ki-csinyíteni fogja, és így a méretek is megváltoznak.

55

Bevezetés: A GeoGebraWiki és a Felhasználói fórum

Dinamikus munkalapok

A GeoGebra a dinamikus ábrák weboldalként való exportálásával lehetővé teszi, hogy elké-szítsd a saját interaktív tananyagaidat, az úgynevezett dinamikus munkalapokat. Általábanegy dinamikus munkalap egy címből, egy rövid magyarázatból, egy interaktív kisalkalma-zásból, valamint a tanulóknak készített feladatokból és útmutatásokból áll.

A tanulóknak ahhoz, hogy dinamikus munkalapokkal dolgozzanak egyáltalán nem kell is-merniük a GeoGebrát, hiszen az interaktív weboldalak függetlenek a szoftvertől, ezekhezvagy online vagy egy helyi adattárolón lehet hozzáférni.

A GeoGebraWiki

A GeoGebraWiki (www.geogebra.org/wiki) olyan ingyenes tananyagok gyűjteménye (pl. di-namikus munkalapoké), amelyeket a világ különböző tájain tevékenykedő tanárok készítet-tek. A tartalmak rendszerezése és könnyebb hozzáférhetősége céljából a különbözőnyelvekhez (pl. német, angol, francia ) különböző wikik léteznek.

Minden GeoGebraWikin található anyag a Creative Common licence alá tartozik(http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/GeoGebraWiki:Copyrights), azaz ezeket in-gyen használhatod nem kereskedelmi célú felhasználás esetén, valamint, amennyiben meg-jelölöd az eredeti szerzőt, létrehozhatsz származékos műveket.

56

11. D I N A M I K U S M U N KA L A P O K K É S Z Í T É S E

A GeoGebra felhasználói fóruma

A GeoGebra felhasználói fórumát (www.geogebra.org/forum) azért hozták létre, hogy a GeoGebra-felhasználóknak további támogatást nyújtsanak. A fórum tanároknak készült és ta-nárok tartják fent, azzal a céllal, hogy GeoGebrával kapcsolatos kérdéseket lehessen feltenniés megválaszolni.

A GeoGebra felhasználói fórum különböző nyelvű tematikus fórumokból áll, így a felhaszná-lók anyanyelvükön tehetik fel kérdéseiket és válaszolhatják meg másokét. A magyar fórummellett egy levelezőlistára is feliratkozhatnak az érdeklődők: [email protected]

57

18. a) Feladat: Dinamikus munkalap létrehozása

Ebben a feladatban azt fogod megtanulni, hogy hogyan lehetdinamikus munkalapot létrehozni. A példa azt szemlélteti, hogyhogyan becsülhető egy függvénygrafikon és az x tengely általmeghatározott terület alsó és felső közelítő összegekkel.

Előkészítés


• Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koor-dinátatengelyeket (Nézet menü).


Feladat: Használd az n csúszkát az alsó és felső összegek számolásához használt téglalapokszámának módosításához. Hogyan változik a két összeg különbsége, ha (a) n kicsi (b) n nagy?

58

1 Add meg a következő harmadfokú polinomot:f(x) = -0.5x^3 + 2x^2 – x + 1

2Hozz létre az x tengelyen egy A és egy B pontotÚtmutatás: Ezek a pontok fogják meghatározni az intervallumot.

3 Hozz létre egy csúszkát az n számnak (intervallum: 1-től 50-ig, beosztás: 1)

4Hozd létre a felső összeget: felsőösszeg = Felsőösszeg[f(x), x(A), x(B), n] Útmutatás: x(A) az A pont x koordinátáját adja meg.

5 Hozd létre az alsó összeget: alsóösszeg = Alsóösszeg[f(x), x(A), x(B), n]

6 ABCÍrd be a következő dinamikus szöveget: "felsőösszeg = " + Felsőösszeg

7 ABCÍrd be a következő dinamikus szöveget: "alsóösszeg = " + Alsóösszeg

8 Számítsd ki a két összeg különbségét: különbség = felsőösszeg - alsóösszeg

9 ABC

Írd be a következő dinamikus szöveget: "különbség = " + különbségÚtmutatás: Rögzítsd a csúszkát és a szövegeket a Tulajdonság párbeszéd -

ablak segítségével.

A GeoGebra ablak kicsinyítése

A GeoGebra az algebra és a geometria ablakot exportálja a munkalap dinamikus ábrájába.Ahhoz, hogy a munkalapon legyen hely a feladatoknak és a magyarázatnak, exportálás előttkicsinyítened kell a GeoGebra-ablak méretét.

• Ha nem akarod, hogy az algebra ablak is látható legyen, exportálás előtt rejtsd el.

• Mozgasd az ábrát (vagy az exportálni kívánt részt) a rajzlap bal felső sarkába a Rajzlapmozgatása eszközzel ( ).


• Kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot a jobb alsó sarkának behúzásával.

Útmutatás: A kurzor alakja változik, ahogy a GeoGebra-ablak szélei vagy sarkai felett haladát.

Megjegyzés: Azon kívül, hogy az interaktív kisalkalmazás elférjen egy oldalon és maradjonhely a munkalapon szövegnek is, ellenőrizd azt is, hogy az ábra elég nagy-eahhoz, hogy a tanulók kísérletezni tudjanak vele.

Dinamikus munkalap exportálása

Miután beállítottad a GeoGebra-ablak méretét, az ábra készen áll arra, hogy a Fájl menübőldinamikus munkalapként exportáld.

• Export – Dinamikus munkalap mint weblap

Útmutatás: Használhatod a Ctrl – Shift – W billentyűkombinációt is.

59

• A felugró ablakban töltsd ki a szövegmezőket (cím, szerző, dátum).

• Írj rövid magyarázatot a dinamikus ábráról a „Szöveg a szerkesztés előtt” mezőbe.

• Írj feladatokat és útmutatásokat a tanulóknak a „Szöveg a szerkesztés után” mezőbe.

• Kattints az Export gombra, és mentsd el a dinamikus munkalapot.

Útmutatás: A GeoGebra több fájlt hoz létre, melyeknek együtt (egy helyen) kell maradniukahhoz, hogy a munkalap működjön. Javasoljuk, hogy a dinamikus munkalapelmentése előtt hozz létre egy új mappát (pl. Dinamikus_munkalapok) a Geo-Gebra_Bevezetes mappán belül.

Tippek és trükkök dinamikus munkalapok készítéséhez

• A dinamikus munkalap automatikusan megnyílik az alapértelemezett böngészőben, mi-után elmentetted. Ellenőrizd a beírt szövegeket, valamint, hogy működik-e az interaktívkisalkalmazás. Ha változtatni szeretnél a munkalapon, menj vissza a GeoGebra-fájlba,hajtsd végre az ábrán a változtatásokat, majd a módosítások alkalmazásához exportáldújra az ábrát (használhatod ugyanazt a fájlnevet, ha felül szeretnéd írni az előzőt).

Útmutatás: A munkalap szövegét ugyanúgy változtathatod.

• A GeoGebra automatikusan elmenti az export ablakba írt szövegeket, ha az export pár-beszédablak kitöltése közben szeretnél módosítani az ábrán, csak zárd be az ablakot, ésfolytasd a kitöltést később.

• Ellenőrizd, hogy a kisalkalmazásod nem túl nagy-e. Nem szerencsés, ha a tanulóknak gör-getni kell a feladatok és az ábra között, hiszen ez nehezíti a tanulást.

• A dinamikus munkalapnak el kell férnie egy oldalon. Ha 3 feladatnál többet szeretnél adni,esetleg érdemes egy másik munkalapot létrehozni ugyanezzel az ábrával, de más felada-tokkal.

60

18. b) Feladat: Dinamikus munkalapok továbbfejlesztése

A dinamikus munkalapok export párbeszédablaka két fülből áll: Általános és Haladó. Az előzőfeladatban az exportálás előtt az Általános fület használtuk magyarázatok, feladatok és út-mutatások beírására. Most azt fogod megtanulni, hogy a Haladó fül segítségével hogyan fej-lesztheted a dinamikus munkalapot az interaktív ábrához különböző funkciókat hozzáadva.

Funkciók

• Használható jobb gomb: A tanulók a jobb egérgombbal az alakzatokra vagy a rajzlaprakattintva hozzáférnek a helyi menühöz (pl. alakzatok vagy feliratok mutatása / elrejtése,nyomvonal ki- / bekapcsolása, Tulajdonságok párbeszédablak).

• Szerkesztés újrakezdéséhez gomb mutatása: Az interaktív kisalkalmazás jobb felső sar-kában megjelenik egy újrakezdés ikon, amely lehetővé teszi, hogy visszaállítsuk az ábráta kezdeti állapotba.

• Megnyithatod az alkalmazás ablakot, ha kettőt kattintasz a rajzlapon: A tanulók meg-nyithatják a GeoGebra-ablakot az interaktív kisalkalmazásra duplán kattintva.

Felhasználói felület

• Menüsor megjelenítése: Az interaktív kisalkalmazáson belül megjelenik a menüsor.

• Eszközkészlet megjelenítése: Az interaktív kisalkalmazáson belül megjelenik az eszköz-készlet, így a geometriai eszközök is hozzáférhetővé válnak.

• Eszközkészlet súgó megjelenítése: Az eszközkészlettel együtt a súgót is megjelenítheteda kisalkalmazásban. Ha azt szeretnéd, hogy tanítványaid használják a geometriai eszkö-zöket, a súgó segítségével megtanulhatják, hogyan kell ezeket használni.

61

• Parancssor megjelenítése: Az interaktív kisalkalmazás alján megjelenik a parancssor, ígya tanulók algebrai kifejezéseket és parancsokat is megadhatnak az ábra felfedezése köz-ben .

• Az interaktív kisalkalmazás szélessége és magassága: Módosíthatod a kisalkalmazás szé-lességét és magasságát.

Megjegyzés: Ha kicsinyíted a kisalkalmazást, elképzelhető, hogy a munkalap fontos ré-szei nem lesznek láthatóak.

Útmutatás: Ha a menüsort, az eszközkészletet és a parancssort is meg szeretnéd jelení-teni, szükség lehet az interaktív kisalkalmazás magasságának átállítására.

Feladat

A 18. feladatban elkészített dinamikus munkalapot exportáld továbbfejlesztett munkalap-ként. Használd a Haladó fület, próbáld ki a különböző funkciókat, és nézd meg, hogy hogyanváltozik ennek megfelelően a munkalap kisalkalmazása.

18. c) Feladat: Dinamikus munkalapok tanulóknak

Többféleképpen is adhatsz dinamikus munkalapot tanítványaidnak, arra azonban mindenesetben ügyelni kell, hogy az exportáláskor létrehozott fájlok együtt maradjanak.

Megjegyzés: A létrehozott fájlok különböző kiterjesztésűek (.ggb, .html, .jar), ha bármelyik fájlhiányzik ezek közül, a dinamikus munkalap nem fog működni.

Helyi adattároló

Másold az összes fájlt egy mappába, mielőtt ezt a mappát elmented egy helyi adattárolóra(pl. pendrive, CD). Kérd meg tanítványaidat, hogy másolják a teljes mappát a saját számító-gépükre. A tanulóknak ezután a .html kiterjesztésű fájlt kell megnyitniuk a böngészőben.

Internet és GeoGebra-feltöltéskezelő

Amennyiben a dinamikus munkalapot online szeretnéd a diákok rendelkezésére bocsátani,minden fájlt egy webszerver ugyanazon helyére kell feltöltened.

Megjegyzés: Ha nincs saját tárhelyed a weben, a GeoGebra-feltöltéskezelővel (www.geo-gebra.org/en/upload) megkönnyítettük, hogy dinamikus munkalapokat tölt-hess fel az internetre. Miután létrehoztál egy felhasználói fiókot, feltöltheted afájljaidat a kijelölt mappába. Mivel a GeoGebra-feltöltéskezelő kifejezetten di-namikus munkalapokhoz készült, ezért elég csak a .html és a .ggb kiterjesztésűfájlokat feltöltened (a .jar fájlokat nem szükséges).

Miután feltöltötted a fájlokat egy szerverre, elég a saját weboldaladon megadnod egy linket,vagy megadni a tanulóknak azt a címet, amit a böngésző címmezőjébe gépelve közvetlenülelérhetik a munkalapot.

62

Ez a gyakorlóblokk olyan feladatok gyűjteménye, melyekkel GeoGebra-szerkesztések képkéntvaló exportálását és dinamikus munkalapok készítését lehet gyakorolni. Alap- és haladószintű feladatokat is találsz köztük. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz,és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatsz rajtuk.





• A dinamikus ábrák ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. létrehoztál-e feles-leges alakzatokat, a csúszkákat és a szövegeket rögzítetted-e, hogy ne lehessen véletle-nül elmozdítani őket).




• Próbáld ki a dinamikus munkalapokat, és ellenőrizd, hogy nincs-e bennük hiba, ha van, javítsd ki.

• Mindig egy mappában tartsd a dinamikus munkalapok fájljait (.ggb, .html, .jar kiterjesz-tésű fájlok).

• Több munkalapot is elmenthetsz ugyanabba a mappába.

Megjegyzés: A .jar kiterjesztésű fájl egy mappában csak egyszer jön létre. Ha valamelyikdinamikus munkalapot szeretnéd a tanítványaidnak odaadni, a .ggb és a.html fájlok mellé a megfelelő .jar fájlokat is át kell másolnod.


63

12. IV. GYA KO R LÓ B LO K K

IV. a) Feladat:Hasonló mértani alakzatok területei közötti összefüggések

Alapszint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket és algebrai kifejezéseket fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e használni.

Feladat

Ebben a feladatban az alábbi feladatlapot fogod elkészíteni tanítványaidnak. Segítségévelfelfedezhetik az a, a/2 és 2a oldalhosszúságú négyzetek területei közötti összefüggést.

64

a = 2

Szakasz pontból adott távolsággal Új!

Szabályos sokszög

Mozgatás

Területek közötti összefüggés

1. Mérd meg az alábbi három négyzet oldalának hosszát. Hasonlítsd össze a kéknégyzet oldalának hosszát a piros és a zöld négyzetekével. Mi az összefüggés?

2. Számítsd ki a négyzetek területét. Hasonlítsd össze a kék négyzet területét apiros és a zöld négyzetekével. Mi az összefüggés?

3. Fogalmazz meg egy sejtést arról, hogy hogyan függ össze a kék négyzet olda-lának hossza és területe a piros és a zöld négyzetekével.

4. Próbáld meg bizonyítani a sejtésedet.

Útmutatás: Tegyük fel, hogy a kék négyzet oldalának hossza a, számítsd ki anégyzetek területét a függvényében.


1. Szerkesztésedet kezdd az a = 2 szám létrehozásával.

2. Szerkeszd meg a kék négyzetet a Szakasz pontból adott távolsággal eszközzel úgy, hogya távolság az a szám legyen, majd a szakasz két végpontjából kiindulva szerkessz egy sza-bályos négyszöget.

3. Szerkeszd meg ugyanígy az a/2 oldalhosszú piros négyzetet, és a 2a oldalhosszú zöldnégyzetet.

4. Nevezd át a csúcsokat, és változtasd meg a négyzetek tulajdonságait (pl. szín, vonalvas-tagság).

5. Készítsd elő a GeoGebra-ablakot a rajzlap képként való exportálásához (pl. helyezd el anégyzeteket, ahova szeretnéd, kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot).

6. Exportáld a rajzlapot mint képet, és mentsd el a képfájlt.

Útmutatás: Mivel tanítványaidnak meg kell majd mérniük a négyzetek oldalait, ne változ-tasd meg a kép méretét.

7. Nyiss meg egy szövegszerkesztőt, adj egy címet a feladatlapnak, és írd be a feladatokat.

8. Szúrd be a képet a négyzetekről a feladatlapba.

Útmutatás: Nyomtass egy példányt, és a négyzetek oldalhosszának megmérésével ellen-őrizd a feladatlapot.

1. Erőpróba

Készíts hasonló példákat különböző geometriai formákhoz (pl. adott sugarú kör, szabályos há-romszög, téglalap). Mely formákra ugyanaz az összefüggés az adott oldalhossz (sugár) és aterület között? Próbáld meg megmagyarázni az oldalhossz (sugár) és a terület közötti ösz-szefüggést.

2. Erőpróba

Készíts a szerkesztéseden alapuló dinamikus munkalapot, amelynek segítségével tanítvá-nyaid általánosíthatják a különböző geometriai alakzatok oldalhossza és területe közötti ösz-szefüggésről megfogalmazott sejtésüket (lásd például az F_4a_Kor_teruletek.html fájlt).

65

IV. b) Feladat: Egy háromszög belső szögösszegének szemléltetése

Alapszint

Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A szerkesztés megkezdéseelőtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e használni.


1. Hozd létre az ABC háromszöget.

Útmutatás: Az óramutató járásával ellenkezőirányban.

2. Hozd létre a háromszög α, β és γ szögeit.

3. Állítsd a tizedes jegyek számát 0-ra (Beállításokmenü).

4. Hozd létre a δ és ε csúszkákat a következő beállításokkal: típusa – szög, intervallum – 0°-tól 180°-ig, beosztás – 10°.

5. Hozd létre az AC szakasz D és az AB szakasz E felezőpontját.

6. Forgasd a háromszöget a D pont körül δ szöggel (az óramutató járásával megegyezőirányban).

7. Forgasd a háromszöget az E pont körül ε szöggel (az óramutató járásával ellenkező irány-ban).

8. Mindkét csúszkát állítsd 180°-ra, majd hozd létre a ζ (A'C 'B ') és a η (C1',B1',A1') szögeket.

9. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonság párbeszédablak segítségével.

Útmutatás: Egybevágó szögek azonos színűek legyenek.

1. ErőpróbaSzúrj be dinamikus szöveget, amely mutatja, hogy a belső szögek összege 180°.Útmutatás: Hozz létre a belső szögekhez egy-egy dinamikus szöveget (pl. "α = " + α), számítsd

ki a szögek összegét az összeg = α + β + γ kifejezéssel, majd szúrd be azösszeget mint dinamikus szöveget. Jelöld az egymásnak megfelelő szögeket ésszövegeket ugyanazzal a színnel. Rögzítsd a rajzlapon a szövegeket.

2. ErőpróbaExportáld az ábrát dinamikus munkalapként. Találj ki feladatokat, melyek segítenek tanítvá-nyaidnak felfedezni a háromszög szögeinek összegével kapcsolatos összefüggést. Ellenőriz-tesd velük a sejtésüket a munkalap segítségével.

66

Pont körüli forgatás adott szöggel

Mozgatás


Sokszög

Szög

Csúszka

Felező- vagy középpont

IV. c) Feladat: Egész számok összeadásának szemléltetése a számegyenesen

Haladó szint

Ebben a feladatban használhatod az alább látható eszközöket, vagy az ezeknek megfelelő pa-rancsokat. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e hasz-nálni.


1. Nyiss meg egy új GeoGebra-ablakot és rejtsd el az algebra ablakot. Állítsd a feliratozást„Összes új alakzatra” (Beállítások menü).

2. Nyisd meg a rajzlap tulajdonságait tartalmazó Rajzlap párbeszédablakot.

Útmutatás: Az yTengely fülön kattintsd ki a Megjelenítés jelölőnégyzetet, az xTengelyfülön pipáld be a Távolság jelölőnégyzetét, és állítsd a távolságot 1-re. Az x tengely minimumának adj meg -21-et, a maximumának 21-et.

3. Hozd létre az a és b csúszkákat (az intervallum [-10; 10], a beosztás 1 legyen). Jelenítsd mega csúszkák értékét a nevük helyett (Tulajdonság párbeszédablak).

4. Hozd létre az A = (0, 1) és a B = A + (a, 0) pontokat.

5. Hozd létre az a hosszúságú u = Vektor [A, B] vektort.

6. Hozd létre a C = B + (0, 1) és a D = C + (b, 0) pontokat, valamint a b hosz-szúságú v = Vektor [C, D] vektort.

7. Hozd létre az R = (x(D), 0) pontot.

Útmutatás: x(D) a D pont x koordinátájának felel meg, az R pont tehát éppen azösszeadás eredményét mutatja a számegyenesen.

8. Hozd létre a Z = (0, 0) pontot, valamint az alábbi szakaszokat:g = Szakasz[Z, A], h = Szakasz[B, C] és i = Szakasz[D, R] .

9. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonság párbeszédablak segítségével (pl. vál-toztasd meg a színeket, a vonalstílusokat, rögzítsd a csúszkákat, rejtsd el a feliratokat).

67

Szakasz

Szöveg beszúrása

Jelölőnégyzet alakzatok elrejtésé-hez és megjelenítéséhez Új!

Csúszka

Új pont

Vektor

Mozgatás

1. Erőpróba

Tedd szemléletesebbé az interaktív ábrát dinamikus szövegek hozzáadásával, melyek a meg-felelő összeadásokat mutatják.

10. Számítsd ki az r = a + b-t.

11. Ahhoz, hogy az összeadás részeit különböző színnel jeleníthesd meg, a dinamikus szö-veget lépésről lépésre kell beszúrnod.a) Szöveg1 beszúrása: ab) Szöveg2 beszúrása: " + "c) Szöveg3 beszúrása: bd) Szöveg4 beszúrása: " = "e) Szöveg5 beszúrása: r

12. Színezd a szöveg1-nek és a szöveg3-nak megfelelő csúszkát, valamint a szöveg5-öt és azR pontot ugyanazzal a színnel. Rejtsd el a csúszkák feliratait és rögzítsd a szövegeket(Tulajdonság párbeszédablak).

13. Exportáld az interaktív ábrát dinamikus munkalapként.

2. Erőpróba

Tegyél a geometria ablakba egy jelölőnégyzetet, amely lehetővé teszi az összeadás ered-ményének (szöveg5, R pont és i szakasz) mutatását, illetve elrejtését.

14. Aktiváld a Jelölőnégyzet alakzatok elrejtéséhez és megjelenítéséhez eszközt.

15. Kattints a rajzlapra az összeadás eredménye mellé.

16. A Felirat mezőbe írd be, hogy „Eredmény mutatása”.

17. A legördülő menüből válaszd ki egymás után azokat az alakzatokat, melyek mutatását /elrejtését a jelölőnégyzet szabályozza majd (Szöveg5, R pont, i szakasz).

18. A jelölőnégyzet létrehozásához kattints az Alkalmaz gombra.

19. Ahhoz, hogy ellenőrizd, hogy mindhárom alakzat mutatható, illetve elrejthető-e, Mozga-tás módban pipáld be, illetve ki a jelölőnégyzetet.

20. Rögzítsd a jelölőnégyzetet, hogy ne lehessen véletlenül elmozdítani (Tulajdonság párbe-szédablak).

21. Exportáld az új interaktív ábrát dinamikus munkalapként.

Útmutatás: Adhatsz egy új nevet ennek a munkalapnak.

68

69

IV. d) Feladat: Tangram kirakó készítése

Haladó szint

Ebben a feladatban egy Tangram-kirakót fogsz készíteni(lásd: jobb oldali ábra). A kirakó 7 mértani alakzatból áll,melyek mindegyike az a oldalhossz segítségével meg-szerkeszthető (lásd F_4d_Tangram_kirako.html).

A szerkesztésekhez több geometriai eszközre leszszükséged. Mielőtt hozzáfognál az alakzatok megszer-kesztéséhez, olvasd el az alábbi útmutatást.

1. Add meg az a = 6 számot. Ez szolgál majd a Tangramkirakó minden háromszög- és négyszögszerkesztésé-nek alapjául.

2. Próbáld meg kiszámolni az alakzatok oldalhosszait.

Útmutatás: Néhány esetben érdemes megvizsgálni az átlókat vagy a magasságot, hiszenezek hossza könnyebben fejezhető ki az a függvényében, mint maguk az oldalhosszak.

3. Minden alakzatot egy adott hosszúságú szakasszal kezdj. Így később mozgathatod ésforgathatod majd az ábrát.

4. Útmutatás a szerkesztéshez:

a) Ha egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogó fele, a szer-kesztéshez használhatod a Thales-tételt (lásd I. Gyakorlóblokk).

b) Ha ismered a derékszögű háromszög befogóinak hosszát, szerkesztheted hasonlóana négyzethez, melyet már korábban ismertettünk.

c) Ahhoz, hogy egy négyzetet az átlóiból kiindulva szerkesszünk meg, hasznos tudni,hogy ezek merőlegesen felezik egymást.

d) A paralelogramma szerkesztéséhez hasznos ismerni a hegyesszögének nagyságát.

5. Ellenőrizd szerkesztésedet úgy, hogy megpróbálsz az összes alakzatot felhasználva egy aoldalhosszúságú négyzetet összerakni.

1. ErőpróbaRendezd el az alakzatokat az interaktív kisalkalmazás széleire véletlenszerűen. Exportáld azábrát dinamikus munkalapként, és írj magyarázatot a tanítványaidnak (lásd F_4d_tangram_kirako.html dinamikus munkalap).

2. ErőpróbaEzekből az alakzatokból nemcsak négyzetet, hanem más mértani formákatis össze lehet rakni (lásd F_4d_tangram_kirako.html). Keress az internetenegy másik Tangram-figurát (pl. F_4d_tangram_macska.png), majd impor-táld ezt a rajzlapra. Ismét exportáld a GeoGebra-ábrát egy másik néven, újinstrukciókkal.

Documents

Bevezetés a Geogebrába - Fazekas · 2017. 3. 5. · Az eszközök használatának alapjai • A megfelelő ikonra való kattintással aktiválhatod a különböző eszközöket