BÃ I Táº¬P TOÃ N 11 - huynhquysp.files.wordpress.com · Mảng nhị thức Newton đã được phổ biến một cách rộng rãi ở một tài liệu khác mà các em

Chuyên đề:

Tổ hợp - Xác suất

Huỳnh Văn Quy

Ngày 15 tháng 10 năm 2015

Mục lục

1 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 5

1.1 Bài toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Bài toán chọn người, sắp xếp người . . . . . . . . . 14

1.3 Bài toán chọn thẻ, chọn bi . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Bài toán có yếu tố hình học . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Bài toán tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 XÁC SUẤT 25

2.1 Bài toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Bài toán chọn bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Bài toán chọn người . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Bài toán kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4

Lời nói đầu

Tài liệu nhỏ này được biên soạn trong thời gian rất ngắn nhằm

giúp các em học sinh có thêm bài tập nhằm khắc sâu thêm các

kiến thức về phần tổ hợp xác suất. Tài liệu này chỉ gồm hai phần

nhỏ là các bài toán đếm và xác suất. Mảng nhị thức Newton đã

được phổ biến một cách rộng rãi ở một tài liệu khác mà các em

đã được phát ra trước đó nên GV không đưa vào. Ngay ở mảng

xác suất (phần 2) thì bài toán gieo đồng tiền và con súc xắc cũng

không được đưa vào, vì mục đích của tập tài liệu này là cung cấp

thêm một số bài tập hay, đòi hỏi suy nghĩ nhiều, thậm chí có một

số bài đòi hỏi ở mức độ tư duy rất cao. Nếu được vào nhiều quá thì

dẫn đến tâm lí choáng ngợp trước sự đồ sộ về số lượng. Trong quá

trình biên soạn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong

bạn đọc và các em học sinh thông cảm. Tài liệu có tham khảo bài

tập từ rất nhiều nguồn trên mạng.

GV: Huỳnh Văn Quy website: http://huynhquysp.wordpress.com

Chuyên đề 1

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

1.1 Bài toán số học

Bài 1.1. Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu

số chẵn, mỗi số có năm chữ số khác nhau.

Gợi ý: Chia ra 2 trường hợp. Có 1260 số.

Bài 1.2. Cho các số 1,2,5,7,8. Có bao nhiêu cách lập ra một số

gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho:

1. Số tạo thành là số chẵn.

2. Số tạo thành không có chữ số 7.

3. Số tạo thành nhỏ hơn 278.

Gợi ý: 1. Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 2.4.3 = 24

số chẵn.

2. Chỉ được chọn 4 trong số 1, 2, 5, 8. vậy có 4.3.2 = 𝐴34 = 24 số

không có số 7.

3. Chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2: Nếu là 1 thì có 1.4.3 = 12 số;

nếu là 2 thì chỉ có đúng 8 số (275; 271; 258; 257; 251; 218;

217; 215) nhỏ hơn 278. Vậy có 20 số nhỏ hơn 278.

5

6 CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Bài 1.3. Cho 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ

số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 số trên?

Gợi ý: Chữ số cuối cùng (hàng đơn vị) được chọn từ 1, 3, 5, 7,

9. Chữ số đầu tiên (hàng triệu) được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5. Còn 4

chữ số ở giữa được chọn từ 8 chữ số còn lại: có 𝐴48 = 1680 cách.

Nếu chữ số cuối cùng được chọn từ 7 hoặc 9 (2 cách chọn) thì chữ

số đầu tiên có 5 cách chọn. Vậy có 2.5.1680 = 16800 cách chọn.

Nếu chữ số cuối được chọn từ 1, 3, 5 (3 cách chọn) thì chữ số cuối

có 4 cách chọn. Vậy có 3.4.1680 = 20160 cách chọn

Vậy có tất cả 16800 + 20160 = 36960 số.

Bài 1.4. Cho các chữ số 0; 2; 4; 5; 6; 8; 9.

1. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số

các chữ số khác nhau.

2. Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong

đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.

Gợi ý: 1. Chữ số hàng trăm phải khác 0, nên có 6 cách chọn,

2 số còn lại có 6.5 = 30 cách chọn. Vậy có 6.6.5 = 180 số.

2. Chữ số hàng ngàn phải khác 0:

∙ Nếu chữ số hàng nghìn là 5 thì 3 số còn lại có 𝐴36120 cách

chọn, vậy có 1.120 = 120 số.

∙ Nếu chữ số hàng nghìn là 2 hoặc 4, hoặc 6, hoặc 8, hoặc 9

thì có 5 cách chọn. Ba số còn lại có 1 số 5 có 1 cách chọn

và 2 số còn lại có 𝐴25 = 20 cách chọn, vậy có 5.1.20 = 100

số.

Vậy có tất cả 120 + 100 = 220 số.

Bài 1.5. Có bao nhiêu số tự nhiên:


1.1. BÀI TOÁN SỐ HỌC 7

a) Có 5 chữ số và nhất thiết có mặt chữ số 0.

b) Chia hết cho 5 và có 5 chữ số khác nhau.

c) Có 5 chữ số khác nhau mà một trong ba chữ số đầu tiên là 1.

d) Có 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó có đúng 3 chữ số chẵn

và ba chữ số lẻ.

e) Có 4 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của nó là một

số lẻ.

f) Chẵn, có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 2009.

g) Có 6 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của nó là một

số chẵn.

h) Có 10 chữ số khác nhau mà 1 và 2 cạnh nhau.

i) Có 5 chữ số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

j) Có 7 chữ số khác nhau và không bắt đầu bằng 207.

k) chẵn, có các chữ số khác nhau và thuộc khoảng (20000; 70000).

l) Có 7 chữ số khác nhau mà 2 và 3 không đứng cạnh nhau.

m) Có 3 chữ số và tổng các chữ số của nó bằng 9.

n) Có 6 chữ số khác nhau mà 5 và 6 không đồng thời có mặt.

o) Có 12 chữ số trong dó 1 và 2 xuất hiện đúng hai lần, còn các

chữ số khác xuất hiện đúng một lần.

Bài 1.6. Cho tập hợp 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

a) Có bao nhiêu tập con 𝑋 của tập 𝐴 thỏa mãn điều kiện 𝑋 chứa

1 và không chứa 2.



b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

lấy từ tập 𝐴 và không bắt đầu bởi 123.

Bài 1.7. Cho tập 𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao

nhiêu số 𝑛 gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ 𝑋 (chữ số đầu tiên

phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:

a) 𝑛 là một số chẵn.

b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.

Bài 1.8. Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,

sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.

1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

Bài 1.9. (Học viện BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong

các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1.

Bài 1.10. (ĐHQG Hà Nội 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập

được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho

5?

Bài 1.11. (Đại học Huế 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ

các chữ số đã cho ta có thể lập được:

1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau

từng đôi một.

2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó

khác nhau từng đôi một.

3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó

khác nhau từng đôi một.



Bài 1.12. (Đại học Cần Thơ, khối D, 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6

ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác

nhau từng đôi một. Hỏi:

1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.

2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.

Bài 1.13. (ĐH Thái Nguyên 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số

sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.

Bài 1.14. (ĐH Thái Nguyên, khối D, 2000) Từ 3 chữ số 2,3,4 có

thể tạo ra được nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số, trong đó phải

có mặt đủ 3 chữ số trên.

Bài 1.15. (ĐH sư phạm Vinh, 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên

có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn

chữ số đứng liền trước.

Bài 1.16. (ĐH Cảnh sát Nhân dân khối G, 2000) Có bao nhiêu

số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?

Bài 1.17. (ĐH Cảnh sát Nhân dân khối G phân ban, 2000) Có

bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 500000?

Bài 1.18. Từ các chữ số 1 đến 9 hỏi có thể lập được bao nhiêu số

chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?

Gợi ý: Gọi 𝑋 = 𝑎𝑏𝑐 là số phải lập. Ta xét các trường hợp:

1. 𝑎 = 7

∙ Nếu 𝑏 lẻ thì 𝑏 có 3 cách chọn, 𝑐 chẵn nên có 4 cách.

Vậy trường hợp này có 3.4 = 12 số

∙ Nếu 𝑏 chẵn thì 𝑏 có 4 cách chọn, 𝑐 chẵn nên 𝑐 có 3 cách

chọn. Vậy có 4.3 = 12 số.

Tóm lại trường hợp 𝑎 = 7 có 24 số thỏa đề.



2. 𝑎 < 7 ⇒ 𝑎 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

∙ Nếu 𝑎 chẵn thì 𝑎 có 3 cách chọn, 𝑐 chẵn nên 𝑐 có 3 cách

chọn, 𝑏 có 7 cách. vậy có 3.3.7 = 63 số.

∙ Nếu 𝑎 lẻ thì 𝑎 có 3 cách chọn, 𝑐 chẵn nên 𝑐 có 4 cách, 𝑏

có 7 cách. Vậy có 3.4.7 = 84 số.

Vậy trường hợp này có 63 + 84 = 147 số

Tóm lại có 151 số.

Bài 1.19. (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0,1,2,3,4.

Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có 7 chữ số từ các chữ số

trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có

mặt đúng một lần.

Bài 1.20. (ĐH Quốc gia TP HCM 2001)

1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau,

trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.

2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2

có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số

còn lại có mặt không quá một lần.

Bài 1.21. (CĐ Tài chính - hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu

số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có măt đúng 2 lần,

chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?

Bài 1.22. (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4,5 có

thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và

trong đó phải có mặt chữ số 0.

Bài 1.23. (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác

nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.



Bài 1.24. (ĐH kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5

chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.

Bài 1.25. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết

phải có hai chữ số 1 và 5.

Bài 1.26. (ĐH Huế 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số

sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

Bài 1.27. (Học viện Ngân hàng TP HCM 2001)

1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi

một?

2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 có thể lập được bao nhiêu

số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 1.28. (ĐH ngoại thương TP HCM 2001) Từ các chữ số 1, 2,

3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau

mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

Bài 1.29. (HV quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9

đứng ở vị trí chính giữa?

Gợi ý: Số các số có 9 chữ số tạo ra là số hoán vị của 9 phần tử

nên là 𝑃9 = 9! = 362880 số.

Số các số có 9 chữ số khác nhau mà số 9 đứng chính giữa là số

hoán vị của 8 phần tử nên là 𝑃8 = 8! = 40320 số.

Bài 1.30. (ĐHSP Hà Nội 2, năm 2001) Tính tổng tất cả các số

tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1,

3, 4, 5, 7, 8.

Bài 1.31. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta lập các số có 6 chữ số

khác nhau. Tính tổng tất cả các số lập được.



Gợi ý: Số các số có 6 chữ số lập được là 6! = 720 (số)

Ta thấy cứ mỗi số 𝑋 lập được luôn tồn tại duy nhất một số 𝑋 ′

trong các số lập được để 𝑋 +𝑋 ′ = 777777.

Vậy tổng các số lập được là: 360.777777 = 279999720 (số).

Bài 1.32. Từ các số 0, 1, 3, 4, 6, 7. Ta lập các số có 4 chữ số khác

nhau. Hỏi lập được bao nhiêu số? Tính tổng tất cả các số đó.

Gợi ý: Gọi 𝑋 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 là số lập được.

Số cách chọn 𝑎 là 5, số cách chọn các số 𝑏, 𝑐, 𝑑 là 𝐴35.

Vậy số các số lập được là: 5× 𝐴35 = 5× 5!

2!= 300 (số).

Ta cộng các số lập được theo từng cột:

+) Ở cột đơn vị: số 0 có mặt 𝐴35 lần; số 1 có mặt 4.𝐴2

4 lần.

Các số 3, 4, 6, 7 cũng có mặt 4.𝐴24 lần.

Tổng các số ở cột đơn vị là: (1+3+4+6+7).4.𝐴24 = 84.12 = 1008.

Tương tự tổng các cột hàng chục, hàng trăm cũng là 1008.

Ở cột hàng nghìn: số lần xuất hiện các số 1, 3, 4, 6, 7 là 𝐴35 lần.

Do đó tổng cột hàng nghìn là (1 + 3 + 4 + 6 + 7).𝐴35 = 1260

Vậy tổng các số lập được là: 1260+1008(100+10+1) = 1371888.

Bài 1.33. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) Có bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các

số đó.

Bài 1.34. Có ba nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và

đôi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên.

Gợi ý: Mỗi số ứng với một hoán vị của 5 phần tử 5, 6, 7, 8, 9. Vậy

só 𝑃5 = 1.2.3.4.5 = 120 số.

Sự xuất hiện của mỗi chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ở mỗi hàng (đơn vị, chục,

trăm,...) là như nhau, nên tổng tất cả các chữ số ở mỗi hàng của

120 số trên là: (5 + 6 + 7 + 8 + 9) · 1205

= 840

Suy ra tổng của 120 số là

840(100 + 101 + 1062 + 103 + 104) = 840.11111 = 9333240.



Bài 1.35. (ĐH Thái Nguyên khối D năm 2001)

1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành

từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ

các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn 345.

Bài 1.36. (ĐH Y Hà Nội 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và

không lớn hơn 789.

Bài 1.37. (ĐH khối A dự bị 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác

nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

Bài 1.38. (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và

thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong

mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối

một đơn vị.

Bài 1.39. (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số

gồm 7 chữ số khác nhau?

Bài 1.40. (CĐ xây dựng số 3 - 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5

có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn

245.

Bài 1.41. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5,

9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?

Bài 1.42. (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6

chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng

ngàn bằng 8.



1.2 Bài toán chọn người, sắp xếp người

Bài 1.43. Trong một buổi liên hoan có 6 cặp nam nữ, trong đó

có 3 cặp là vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người sao

cho không có cặp vợ chồng nào.

Bài 1.44. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà

vật lí nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác gồm 3

người sao cho có cả nam lẫn nữ và có cả nhà toán học lẫn vật lý.

Bài 1.45. Một nhóm có 3 học sinh giỏi, 4 học sinh khá và 3 học

sinh trung bình. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh sao cho:

a) Không có học sinh trung bình.

b) Mỗi loại học sinh có ít nhất một.

Bài 1.46. Có 12 nam trong đó có anh A và 12 nữ trong đó có

chị B. Chọn ra 5 người với yêu cầu sau khi chọn phải có ít nhất 2

nam, 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Có cả anh A và chị B.

b) Không có anh A và chị B.

c) Anh A và chị B không đồng thời có mặt.

Bài 1.47. Từ một nhóm có 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối

B và 5 học sinh khối C, ta chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất

5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tìm số cách chọn.

Bài 1.48. Một nhóm có 10 nam và 14 nữ. có bao nhiêu cách chọn

8 người sao cho:

a) Có ít nhất một nam.

b) Có ít nhất 3 nữ.

c) Có ít nhất 1 nam, 1 nữ.


1.2. BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI, SẮP XẾP NGƯỜI 15

d) Có ít nhất 2 nam, 2 nữ.

Bài 1.49. Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. chọn ra

6 học sinh để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Tùy ý một tốp ca như thế.

b) Có ít nhất hai nữ.

Bài 1.50. Trong một cuộc chơi dã ngoại của một tổ học sinh, cứ

hai học sinh bất kì đều chụp với nhau một kiểu làm kỉ niệm. Hỏi

tổ học sinh có bao nhiêu người, biết rằng cuốn phim có 36 kiểu

chụp.

Bài 1.51. Có 8 vận động viên bóng bàn cùng tham dự một giải

đấu. Trong vòng đầu ban tổ chức cần phân ra 4 cặp đấu. Hỏi có

bao nhiêu cách chia cặp.

Bài 1.52. Một trường có 5 học sinh khối mười hai, 3 học sinh khối

mười một và hai học sinh khối 10 là các học sinh xuất sắc. Hỏi có

bao nhiêu cách chọn 5 học sinh xuất sắc của trường đó tham gia

một đoàn đại biểu sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.

Bài 1.53. (Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội thanh niên tình

nguyện gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội

thanh niên tình nguyện trền về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh

có 4 nam và 1 nữ.

Bài 1.54. Một đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông

có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp 𝐴, 4 học sinh lớp 𝐵 và 3 học

sinh lớp 𝐶.

Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này

thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

như vậy?

Gợi ý: 𝑛(Ω) = 𝐶412 = 495.

Ta tính số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học



sinh. Chia ra 3 trường hợp: (Lớp A có 2 học sinh, lớp B 1 học

sinh, lớp C có 1 học sinh; ...)

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh là:

120 + 90 + 60 = 270

Số cách chọn phải tìm là: 495− 270 = 225.

Bài 1.55. (Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội thanh niên tình

nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách

phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền

núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

Gợi ý: Có 𝐶13 .𝐶

412 cách phân công các thanh niên tình nguyện về

tỉnh thứ nhất.

Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ

nhất thì có 𝐶12 .𝐶

48 cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh

thứ hai.

Với mỗi cách phân công tác thanh niên tình nguyện về tỉn thứ

nhất và tỉnh thứ hai thì có 𝐶11 .𝐶

44 cách phân công thanh niên tình

nguyện về tỉnh thứ ba.

Số cách phân công thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu

cầu bài toán là: 𝐶13 .𝐶

412.𝐶

12 .𝐶

48 .𝐶

11 .𝐶

44 = 207900 cách.

Bài 1.56. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau

gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. từ 30

câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5

câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phả có đủ ba

loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2.

Gợi ý: Chia ra 3 trường hợp: Vd: TH1 có 2 dễ+1TB+ 2 khó: có

𝐶215.𝐶

110.𝐶

25 = 10500 (đề);...

Theo quy tắc cộng có: 𝐶215.𝐶

110.𝐶

25 + 𝐶2

15.𝐶210.𝐶

15 + 𝐶3

15.𝐶110.𝐶

15 =

56875 đề



Bài 1.57. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em,

trong đó 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối

10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè

Hùng Vương sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.

Gợi ý: Số cách chọn 8 học sinh từ 18 học sinh của độ tuyển là:

𝐶818 = 43758 cách

Số cách chọn 8 học sinh chỉ gồm học sinh ở 2 khối là:

∙ Số cách chọn 8 học sinh khối 12 và 11 là: 𝐶813.

∙ Số cách chọn 8 học sinh khối 11 và 10 là 𝐶811.

∙ Số cách chọn 8 học sinh khối 10 và 12 là 𝐶812.

Số cách chọn theo yêu cầu bài toán: 43758− (𝐶813 + 𝐶8

11 + 𝐶812) =

41811 cách.

Bài 1.58. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu

vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa

điểm 𝐴, 2 người ở địa điểm 𝐵, còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có

bao nhiêu cách phân công?

Bài 1.59. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp.

Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội thanh niên

của trường sao cho 3 người đó phải có ít nhất một cán bộ lớp.

Bài 1.60. (CĐSP Mẫu giáo TW1 2000) Một lớp học mẫu giáo

gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm

muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam

và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 1.61. (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm 10 học sinh, trong đó

có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên

thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.

Bài 1.62. (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10

người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.



1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số

người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau,

2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá

1 nam.

Bài 1.63. Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo

cần chọn ra 5 em tham dự lễ mitting tại trường với yêu cầu có cả

nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 1.64. (HV Kĩ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3

học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học

sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học

sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.

Bài 1.65. (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10

học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác "Mùa hè

xanh". Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải

có ít nhất:

1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.

2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.

Bài 1.66. (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của

một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 11, 5 học sinh

khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại

hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.

Bài 1.67. (ĐH khối B 2003 dự bị 1 ) Từ một tổ gồm 7 học sinh

nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ

phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Bài 1.68. Có 5 học sinh gồm 3 nam 2 nữ ngồi vào 5 ghế theo một

dãy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Ngồi như thế nào cũng được?



b) Nếu 2 nữ muốn ngồi gần nhau?

c) Nếu 2 nữ muốn ngồi gần nhau và 3 nam muốn ngồi gần nhau.

Gợi ý: a) Số cách xếp 5 bạn học sinh vào 5 ghế là số hoán vị của

5 phần tử nên là 𝑃5 = 5! = 120 cách.

b) Chưa xét thứ tự giữa các nam và các nữ thì để 2 nữ gần nhau

ta có 4 cách sắp xếp.

Trong mỗi cách sắp xếp: số cách xếp nữ là 2!, số cách xếp nam

là 3!. Vậy số cách xếp là 48 cách.

c) Chưa xét thứ tự giữa các nam và các nữ thì để 2 nữ gần nhau

và 3 nam gần nhau ta có 2 cách xếp.

Số cách xếp là: 2.3!.2! = 24 cách.

Bài 1.69. [Đại học hàng hải 1999] Có bao nhiêu cách xếp năm

bạn học sinh 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸 vào một chiếc ghế dài sao cho:

1. Bạn 𝐶 ngồi chính giữa.

2. Hai bạn 𝐴 và 𝐸 ngồi ở hai đầu ghế.

Bài 1.70. Có bao nhiêu cách xếp vị trí cho 5 học sinh nam và 3

học sinh nữ vào một bàn tròn sao cho:

a) 3 học sinh nữ ngồi cạnh nhau.

b) không có 2 học sinh nữ nào cạnh nhau.

Bài 1.71. Có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp

các em trên theo một hàng dọc sao cho:

1. giữa hai em nữ bất kì không có em nam nào.

2. hai em vị trí đầu và cuối là nam và không có em nữ nào đứng

liên tiếp nhau.



Bài 1.72. (ĐH Nông nghiệp HN 2001) Có 6 học sinh nam và 3

học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp

để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi

chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới)

1.3 Bài toán chọn thẻ, chọn bi

Bài 1.73. Một hộp có bi xanh, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Chọn ngẫu

nhiên 4 bi. Tính số khả năng không có đủ 3 màu.

Bài 1.74. Một hộp có 𝑛 bi xanh và 𝑛 bi đỏ khác nhau. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn 𝑛 bi từ hộp.

Bài 1.75. Có bao nhiêu cách chia 8 viên bi khác nhau cho 3 người

sao cho một người có 2 viên bi, còn hai người còn lại mỗi người có

3 viên bi.


sao cho mỗi người có ít nhất một bi.

Bài 1.77. Có 5 bi xanh giống nhau, 4 bi trắng giống nhau và 3

bi vàng khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số bi trên vào 12 ô

theo một hàng dọc sao cho mỗi ô có đúng một bi.

Bài 1.78. Có bao nhiêu cách xếp 10 viên bi khác nhau vào 5 hộp

khác nhau mà mỗi hộp:

1. có thể không có viên bi nào.

2. có đúng 2 viên bi.

3. có ít nhất 1 viên bi.


sao cho mỗi người có ít nhất một viên bi.

Bài 1.80. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích

thước đôi một khác nhau.


1.4. BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC 21

1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên

bi đỏ.

2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng

số bi đỏ.

Bài 1.81. (Đại học Huế, 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên

bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả

3 màu.

Bài 1.82. (Học viện quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính

khác nhau và 3 viên xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:

1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp

cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

1.4 Bài toán có yếu tố hình học

Bài 1.83. Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách từ 8 cuốn sách

toán, 6 cuốn sách lý và 5 cuốn sách hóa sao cho mỗi loại có ít nhất

1 cuốn.

Bài 1.84. Thầy giáo có 12 cuốn sách khác nhau, trong đó có 5

cuốn văn học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội họa. Ông lấy 6 cuốn

tặng cho 6 học sinh, mỗi người một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách

tặng nếu:

1. Thầy giáo chỉ tặng sách văn học và âm nhạc.

2. Sau khi tặng xong, mỗi loại còn ít nhất một cuốn.

Bài 1.85. Trên đường tròn cho 𝑛 điểm. Gọi 𝑇𝑛 là số tam giác có

các đỉnh lấy từ 𝑛 điểm đã cho, 𝐶𝑛 là số đoạn thẳng có 2 đầu mút

lấy từ 𝑛 điểm đã cho. Tìm 𝑛 biết 𝑇𝑛 = 20𝐶𝑛.



Bài 1.86. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Xét tập hợp 𝑇 gồm 5 đường thẳng

song song với 𝐵𝐶, 6 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 và 7 đường

thẳng song song với 𝐴𝐵. Hỏi các đường thẳng trong tập hợp 𝑇

tạo thành bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?

Bài 1.87. Trên các cạnh 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 của hình vuông

𝐴𝐵𝐶𝐷 lần lượt cho 1, 2, 3, 𝑛 điểm khác các đỉnh 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷. Tìm

𝑛 biết rằng số tam giác có các đỉnh được chọn từ 𝑛 + 6 điểm đã

cho là 439.

Bài 1.88. Cho hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 song song với nhau. Trên 𝑎

chọn 10 điểm phân biệt và trên 𝑏 chọn 𝑛 điểm phân biệt. Tìm 𝑛

biết số tam giác được tạo thành từ các điểm đã cho là 2800.

Bài 1.89. (CĐ sư phạm khối A 2002)

1. Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt.

b) 6 đường tròn phân biệt.

2. Từ kết quả câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp

các đường nói trên.

Bài 1.90. (CĐ sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi 𝑛

cạnh. Xác định 𝑛 để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.

Bài 1.91. Cho hai đường thẳng 𝑑1, 𝑑2 song song với nhau. trên

đường thẳng 𝑑1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng 𝑑2 cho

8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3

đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.

1.5 Bài toán tập hợp

Bài 1.92. Cho 𝐴 là tập có 2𝑛 phần tử. Hỏi 𝐴 có bao nhiêu tập

con


1.5. BÀI TOÁN TẬP HỢP 23

a) khác rỗng.

b) Có không quá 𝑛 phần tử.

Bài 1.93. Cho 𝐴 là một tập có 20 phần tử.

1. Có bao nhiêu tập hợp con của 𝐴?

2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của 𝐴 mà số phần tử là

số chẵn?




Chuyên đề 2

XÁC SUẤT

2.1 Bài toán số

Bài 2.1. Gọi 𝑆 là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn

ngẫu nhiên một số từ tập hợp 𝑆. Tính xác suất để số được chọn

có chữ số hàng đơn vị và hàng chục đều là chữ số chẵn.

Gợi ý: Gọi 𝑆 là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu

nhiên....

Số phần tử của tập hợp 𝑆 là 90.

Gọi 𝑎𝑏 là số tự nhiên có hai chữ số mà 𝑎, 𝑏 đều là số chẵn. Ta có:

𝑎 ∈ {2; 4; 6; 8}, 𝑏 ∈ 0; 2; 4; 6; 8. Suy ra ta có 4.5 = 20 số 𝑎𝑏.

Bài 2.2. Gọi 𝑀 là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác

nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ 𝑀 , tính xác suất để số được

chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các

chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).

Gợi ý: Xét các số có 9 chữ số khác nhau:

∙ Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.

∙ Có 𝐴89 cách chọn 8 chữ số tiếp theo.

25

26 CHUYÊN ĐỀ 2. XÁC SUẤT

Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9.𝐴89 = 3265920

Xét các số thỏa mãn đề bài:

∙ Có 𝐶45 cách chọn chữ số lẻ.

∙ Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do đó chữ số 0 không thể

đứng đầu và đứng cuối nên có 7 cách xếp.

∙ Tiếp theo ta có 𝐴24 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai

bên chữ số 0.

∙ Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn

lại.

Gọi 𝐴 là biến cố đã cho, khi đó 𝑛(𝐴) = 𝐶45 .7.𝐴

24.6! = 302400.

Vậy xác suất cần tìm là: 𝑃 (𝐴) =302400

3265920=

5

54.

Bài 2.3. Gọi 𝑆 là tập hợp các ước số nguyên dương của số 43200.

Chọn ngẫu nhiên một số trong 𝑆. Tính xác suất chọn được số

không chia hết cho 5.

Gợi ý: Ta có: 43200 = 26.33.52.

Mỗi ước nguyên dương của số 43200 là một có dạng 2𝑖.3𝑗.5𝑘, trong

đó 𝑖 ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}; 𝑗 ∈ {0; 1; 2; 3}; 𝑘 ∈ {0; 1; 2}.Số ước nguyên dương bằng số bộ (𝑖; 𝑗; 𝑘) được chọn từ 3 tập trên.

Suy ra số cách chọn bộ (𝑖; 𝑗; 𝑘) từ 3 tập trên là 𝐶47 .𝐶

14 .𝐶

13 = 7.4.3 =

84 cách.

Vậy số phần tử của 𝑆 là 84.

Số các ước cả 43200 không chia hết cho 5 trong tập 𝑆 là số cách

chọn bộ (𝑖; 𝑗; 0) từ 3 tập trên suy ra số các ước của 43200 không

chia hết cho 5 trong tập 𝑆 là 𝐶17 .𝐶

14 = 7.4 = 28

Từ đó ta có chọn 1 số trong 𝑆 không chia hết cho 5 có 28 cách

chọn.

Suy ra xác suất chọn được số không chia hết cho 5 trong 𝑆 là

𝑃 = 2884

= 13.


2.2. BÀI TOÁN CHỌN BI 27

Bài 2.4. (Đề thi ĐH khối A năm 2013) Gọi 𝑆 là tập hợp tất cả

các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của 𝑆. Chọn ngẫu nhiên một

số từ 𝑆, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

2.2 Bài toán chọn bi

Bài 2.5. Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên

bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để

trong số bi được chọn không đủ cả ba màu

Gợi ý: Số cách chọn ngẫu nhiên 4 bi từ số bi trong hộp là: 𝐶418 =

3060

Số cách chọn 4 bi đủ ba màu từ số bi trong hộp là:

𝐶25𝐶

16𝐶

17 + 𝐶1

5𝐶26𝐶

17 + 𝐶1

5𝐶16𝐶

27

Số cách chọn 4 viên bi để không có đủ 3 màu là:

𝐶418 −

(︀𝐶2

5𝐶16𝐶

17 + 𝐶1

5𝐶26𝐶

17 + 𝐶1

5𝐶16𝐶

27

)︀= 1485

Vậy xác suất để trong số bi được chọn không có đủ 3 màu là:

𝐶418 − (𝐶2

5𝐶16𝐶

17 + 𝐶1

5𝐶26𝐶

17 + 𝐶1

5𝐶16𝐶

27)

𝐶418

=33

68≃ 48.53%

Bài 2.6. Một bình đựng 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi

vàng. Lẫy ngẫu nhiên từ bình ra 3 viên bi. Tính xác suất để lấy

được 3 viên bi có đủ 3 màu.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu (số kết quả có thể xảy

ra): 𝐶39 .

Số cách chọn ba viên bi có đủ 3 màu: 4.3.2 = 24.

Do đó xác suất cần tính là: 𝑃 =24

84=

2

7.



Bài 2.7. Một hộp đựng 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Lẫy ngẫu

nhiên 5 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu,

đồng thời số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau.

Gợi ý: Có 𝐶512 = 792 cách chọn 5 bi từ hộp 12 bi. Do đó: 𝑛(Ω) =

792.

Gọi 𝑋 là biến cố: "Trong 5 bi được lấy ra có đủ ba màu, đồng thời

số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau." Ta có các trường hợp sau:

∙ TH1: 1X, 1Đ, 3V: có 𝐶13 .𝐶

14 .𝐶

35 = 120 cách chọn.

∙ TH2: 2X, 2Đ, 1V: có 𝐶23 .𝐶

24 .𝐶

15 = 90 cách chọn.

Suy ra: 𝑛(Ω) = 120 + 90 = 210

Vậy 𝑃 (𝑋) =𝑛(𝑋)

𝑛(Ω)=

35

132.

Bài 2.8. Một hộp đựng 6 bi trắng, 4 bi đỏ và 2 bi xanh. Chọn

ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để chọn được:

a) 3 bi trắng, 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

b) ít nhất 1 bi xanh.

c) mỗi loại ít nhất một bi.

Bài 2.9. (Đề thi ĐH khối B năm 2013) Có hai chiếc hộp chứa bi.

Hộp thứ nhất có chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên trắng, hộp thứ hai

chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp

ra 1 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi có cùng màu.

Bài 2.10. Có 5 chiếc hộp, mỗi hộp đựng 10 tấm thẻ đánh số từ 1

đến 10. Từ mỗi hộp, rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ. Tính xác suất để

trong 5 tấm thẻ rút được không có tấm thẻ mang số 1 hoặc số 5.


2.3. BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI 29

2.3 Bài toán chọn người

Bài 2.11. Một chi Đoàn có 15 Đoàn viên trong đó có 7 nam và

8 nữ. Người ta chọn ra 4 người trong chi đoàn đó để lập một đội

thanh niên tình nguyện. Tính xác suất để trong 4 người được chọn

có ít nhất một nữ.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu là: |Ω| = 𝐶415 = 1365.

Gọi 𝐴 là biến cố: "trong 4 người được chọn có ít nhất một nữ".

Số kết quả thuận lợi của biến cố 𝐴 là: 𝑛(𝐴) = 𝐶415 − 𝐶4

7 = 1330.

Vậy xác suất cần tính là 𝑃 (𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(Ω)=

1330

1365=

38

39

Bài 2.12. Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên

chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3

học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Gợi ý: 𝑛(Ω) = 𝐶311 = 165.

Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là: 𝐶25 .𝐶

16 +𝐶1

5 .𝐶26 = 135.

Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:135

165=

9

11.

Bài 2.13. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông

có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp 𝐴, 4 học sinh lớp 𝐵 và 3 học

sinh lớp 𝐶. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính

xác suất để trong 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp

trên.

Gợi ý: Số cách chọn 4 học sinh có trong 12 học sinh là: 𝐶412 = 495

cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà không có học sinh của quá 2 lớp gồm:

TH1: Chỉ có học sinh lớp A: có 𝐶54 cách.

TH2: Chỉ có học sinh lớp B: có 𝐶44 cách.



TH3: Có học sinh lớp A và có học sinh lớp B: 𝐶49 −𝐶4

5 −𝐶44 cách.

TH4: Có học sinh lớp A và có học sinh lớp C: 𝐶48 − 𝐶4

5 cách.

TH4: Có học sinh lớp B và có học sinh lớp C: 𝐶47 − 𝐶4

4 cách.

Tóm lại là có: 𝐶49 + 𝐶4

8 + 𝐶47 − 𝐶4

5 − 𝐶44 = 225 cách

Vậy xác suất cần tính là:225

495=

5

11.

Bài 2.14. [bài tập] Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống

học sinh sinh viên có 8 người tham gia, trong đó có hai bạn Việt

và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng 𝐴 và 𝐵, mỗi

bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc

thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm

chung một bảng đấu.

Bài 2.15. Giải bóng chuyền VTV cup gồm 9 đội bóng tham dự,

trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức

cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C, mỗi bảng

3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác

nhau.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu là: 𝑛(Ω) = 𝐶39 .𝐶

36 .𝐶

33 =

1680

Gọi 𝐴 là biến cố "3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau".

Số kết quả thuận lợi cho biến cố 𝐴 là 𝑛(𝐴) = 3!.𝐶26 .𝐶

24 .𝐶

22 = 540.

Vậy xác suất cần tính là: 𝑃 (𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(Ω)=

540

1680=

9

28.

Bài 2.16. Trong một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ.

Nhà trường cần chọn 4 học sinh để thành lập tổ công tác tình

nguyện. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu: 𝑛(Ω) = 𝐶425 = 12650

Gọi 𝐴 là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Khi

đó:

𝑛(𝐴) = 𝐶115.𝐶

310 + 𝐶2

15.𝐶210 + 𝐶3

15.𝐶110 = 11075


2.3. BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI 31

Vậy xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 𝑃 (𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(Ω)=

443

506.

Bài 2.17. Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 10 học sinh

giỏi, 11 học sinh khá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên

trong lớp học 4 học sinh tham dự trại hè. Tính xác suất để nhóm

học sinh được chọn có đủ học sinh giỏi, học sinh khá và học sinh

trung bình.

Gợi ý: Gọi 𝐴 là biến cố: "4 học sinh được chọn có đủ học sinh

giỏi, học sinh khá và học sinh trung bình"

Số phần tử của không gian mẫu: 𝑛(Ω) = 𝐶433 = 40920

Ta có các trường hợp lựa chọn sau:

a) Có 2 học sinh giỏi, 1 học sinh khá và 1 học sinh trung bình. Số

cách chọn là: 𝐶210.𝐶

111.𝐶

112 = 5940

b) Có 1 học sinh giỏi, 2 học sinh khá và 1 học sinh trung bình. Số


211.𝐶

112 = 6600

c) Có 1 học sinh giỏi, 1 học sinh khá và 2 học sinh trung bình. Số


111.𝐶

212 = 7260

Ta được 𝑛(𝐴) = 5940 + 6600 + 7260 = 19800.

Do đó: 𝑃 (𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(Ω)=

15

31.

Bài 2.18. Một đội công tác xã hội có 6 nam và 6 nữ, trong đó có

2 nam và 2 nữ thuộc tỉnh 𝐴, 2 nam và 2 nữ thuộc tỉnh 𝐵, 2 nam

và 2 nữ thuộc tỉnh 𝐶. Chọn ngẫu nhiên 6 người từ đội công tác xã

hội đó. Tính xác suất để chọn được mỗi tỉnh 2 người gồm 1 nam

và 1 nữ.

Bài 2.19. Một đoàn tàu có 3 toa đang dừng ở sân ga. có 5 người

đang bước lên tàu và độc lập với nhau trong cách chọn toa. Tính

xác suất để 5 người đó:



a) cùng bước lên một toa.

b) bước lên 2 toa.

c) bước lên 3 toa.

2.4 Bài toán kiểm tra

Bài 2.20. Trong kì thi TN THPT, Bình làm đề thi trắc nghiệm

môn Hóa học. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án

trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu

được 0,2 điểm. Bình trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45

câu; 5 câu còn lại Bình chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để điểm

thi môn Hóa học của Bình không dưới 9,5 điểm.

Gợi ý: Bạn Bình được không dưới 9,5 điểm khi và chỉ khi trong

5 câu trả lời ngẫu nhiên Bình trả lời đúng ít nhất 3 câu.

Xác suất trả lời đúng một câu hỏi là 0,25, trả lời sai là 0,75.

Xác suất Bình trả lời đúng 3 câu trên 5 câu là 𝐶35 .(0, 25)

3.(0, 75)2;


4.(0, 75);


5;

Vậy xác suất Bình được không dưới 9,5 điểm là:

𝐶35(0, 25)

3(0, 75)2 + 𝐶45 .(0, 25)

4.(0, 75) + 𝐶55 .(0, 25)

5 = 0, 104

Bài 2.21. Đề cương ôn tập cuối năm môn Lịch sử lớp 12 có 40

câu hỏi khác nhau. Đề thi kiểm tra học kì 2 gồm câu hỏi trong số

40 câu hỏi đó. Một học sinh chỉ học 20 câu trong đề cương ôn tập.

Giả sử các câu hỏi trong đề cương đều có khả năng được chọn làm

câu hỏi thi như nhau. Tính xác suất để có ít nhất 2 câu hỏi trong

đề thi kiểm tra học kỳ 2 nằm trong số 20 câu hỏi mà em học sinh

đã học.


2.4. BÀI TOÁN KIỂM TRA 33

Gợi ý: Ta có: 𝑛(Ω) = 𝐶340 = 9880

Gọi 𝐴 là biến cố có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi nằm trong số 20

câu hỏi mà học sinh đã học.

TH1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi mà học sinh đã học: có 𝐶220𝐶

120

cách.

TH2: Trong đề thi có đúng 3 câu hỏi mà học sinh đã học: có 𝐶320

cách

⇒ 𝑛(𝐴) = 𝐶220𝐶

120 + 𝐶3

20 = 1330

Vậy xác suất cần tìm là: 𝑃 (𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(Ω)=

1330

9880=

7

52.

Bài 2.22. Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí

sinh phải thi 4 môn trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn,

Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật

lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh

đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn vật lí và 20 học

sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của

trường X, tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh

chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu là: 𝑛(Ω) = 𝐶340.

Gọi 𝐴 là biến cố: "3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn

môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học".

Số phần tử của biến cố 𝐴 là: 𝑛(𝐴) = 𝐶110.𝐶

220+𝐶2

10.𝐶120+𝐶1

20.𝐶110.𝐶

110

Vậy xác suất để xảy ra biến cố 𝐴 là:

𝑃𝐴 =𝑛𝐴

𝑛Ω

=𝐶1

10.𝐶220 + 𝐶2

10.𝐶120 + 𝐶1

20.𝐶110.𝐶

110

𝐶340

=120

247.

Bài 2.23. Có 20 câu hỏi trong đó có 2 câu hỏi khó, 9 câu hỏi trung

bình và 9 câu hỏi dễ. Cần chọn ra 7 câu để lập một đề thi. Tính

xác suất để trong mỗi đề thi, mỗi loại câu hỏi có ít nhất 2 câu hỏi.



Hãy nhớ:

Việc học như một con thuyền đi ngược, không tiến thì ắt sẽ lùi.

Chúc các em học giỏi!


Documents

BÃ I Táº¬P TOÃ N 11 - huynhquysp.files.wordpress.com · Mảng nhị thức Newton đã được phổ biến một cách rộng rãi ở một tài liệu khác mà các em