BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 2. Trong 1 bình kín có 5 cầu trắng, 3 cầu

BÀI GIẢNG

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Giảng viên

ThS. Lê Trường Giang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING

KHOA CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING

KHOA CƠ BẢN

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Cán bộ giảng dạy:

Ths Lê Trường Giang

Chương 1

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Blaise Pascal

Pierre de Fermat

Vào năm 1651, Blaise Pascal

nhận được bức thư của nhà quý

tộc Pháp, De Méré, nhờ ông giải

quyết các rắc rối nảy sinh trong

trò chơi đánh bạc. Pascal đã

toán học hoá các trò trơi đánh

bạc này, nâng lên thành những

bài toán phức tạp hơn và trao

đổi với nhà toán học Fermat.

Những cuộc trao đổi đó đã nảy

sinh ra Lý thuyết Xác suất – Lý

thuyết toán học về các hiện

tượng ngẫu nhiên.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Blaise_pascal.jpghttp://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh:Pierre_de_Fermat.jpg

Gottfried Wilhelm Leibniz

James BERNOULLI

James BERNOULLI là

người phát minh ra Luật

Số Lớn. Chính vì lý do đó,

ngày nay Hội Xác Suất

Thống Kê Thế Giới mang

tên BERNOULLI

Leibniz có nhiều đóng

góp quan trọng trong

việc xây dựng Lý thuyết

Xác suất

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT

Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố

Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố

Bài 3. Công thức tính xác suất


1. Phép thử ngẫu nhiên

2. Không gian mẫu và biến cố

3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và sự kiện

1. Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là việc thực hiện một thí nghiệm

hay quan sát một hiện tượng nào đó để xem có xảy ra

hay không. (khi đó, hiện tượng có xảy ra hay không

trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên)

Ví dụ 1. Việc gieo một con xúc xắc và quan sắt số chấm

xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc là thực hiện một

phép thử ngẫu nhiên



Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, một và chỉ một kết quả

trong tập hợp các kết quả xuất hiện.

+ Một kết quả trong phép thử này được gọi là kết quả sơ cấp.

+ Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp được gọi là không gian mẫu.

Ta kí hiệu một kết quả sơ cấp là và không gian mẫu là .

Ví dụ 2. Gieo một con xúc xắc và quan sát số chấm xuất

hiện ở mặt trên của con xúc xắc. Khi đó, không gian mẫu

là 1,2,3,4,5,6

.



Một biến cố (sự kiện) A trong là một tập hợp gồm một số

kết quả sơ cấp thuộc

Biến cố A là một tập con của không gian mẫu .

A và A xảy ra nếu và chỉ nếu kết quả sơ cấp .A

Tập hợp rỗng gọi là biến cố rỗng

Bản thân được gọi là biến cố chắc chắn.

Sự kiện chỉ chứa một kết quả sơ cấp được gọi là biến cố sơ cấp.



Ví dụ 3. Gieo một con xúc xắc ta có

Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm

nhỏ hơn 7 là


bằng 7 là


nhỏ hơn 4 là biến cố ngẫu nhiên.



a. Tổng của hai biến cố

=C A B

=C A B

Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố

kí hiệu xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai

biến cố A hoặc B xảy ra.

Ví dụ 4A. Kiểm tra hai lô hàng,

gọi 1A là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi

2A là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi.

1 2

A A A là sự kiện có sản phẩm bị lỗi trong hai lô hàng.

b. Tích của hai biến cố



Tích của hai biến cố A và B là một biến cố C A B

kí hiệu là .C A B xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố

A và B cùng đồng thời xảy ra.

Ví dụ 4B. Kiểm tra hai lô hàng,

gọi 1A là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi.

2A là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi.

1 2.A A A là sự kiện trong hai lô hàng đều có sản phẩm lỗi.

c. Quan hệ kéo theo



Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ khi

nếu A xảy ra thì B xảy ra, kí hiệu là A B .

Ví dụ 5. Gieo một con xúc xắc,

gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4.

Gọi iB là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm là , 1,6.i i

Khi đó ta có 1 2 3, ,B A B A B A .



d. Quan hệ tương đương

Hai sự kiện A và B được gọi là bằng nhau (tương đương nhau)

khi và chỉ khi A B và .B A

Ví dụ 6. Gieo hai con xúc xắc,

A là sự kiện tổng số chấm xuất hiện là số lẻ.

B là sự kiện một con xúc xắc xuất hiện là số lẻ

và một con xuất hiện số chấm là số chẳn.

Ta có .A B

e. Quan hệ xung khắc



Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc

nếu hai biến cố A và B không cùng xảy ra.

Kí hiệu . .A B



B là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4.

Khi đó hai sự kiện A và B là xung khắc.

f. Quan hệ đối lập



Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A .

A và A thỏa đồng thời i và ii

i. A A ,

ii. . .A A



A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2.



g. Biến cố độc lập

Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự

kiện A xảy ra hay không sẽ không ảnh hưởng đến sự

xảy ra hay không của sự kiện B và ngược lại.

h. Họ đầy đủ các biến cố

Họ các biến cố 1 2, ,..., nA A A được gọi là một họ đầy đủ

Thỏa đồng thời i và ii

i. Xung khắc từng đôi một , i jA A i j i j

ii. Phải có một biến cố trong họ xảy ra 1 2 ... nA A A .


1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

4. Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề



Xét một không gian các biến cố sơ cấp có n

biến cố sơ cấp đồng khả năng và giả sử có m

biến cố sơ cấp thuận lợi cho một biến cố ngẫu

nhiên A. Khi đó, xác suất của của A kí hiệu P(A).

soá caùcsöï sô caápkieän thuaän lôïi cho [ ]

soá caùcsöï kieänsô caápcuûa [ ]

A A mP A

n

.



Tính chất của xác suất

a) 0 1. P A

b) 1, P 0 P .

c) 1 . P A P A

d) Nếu A B thì P A P B .

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Quan

sát số chấm ở mặt trên của con xúc xắc.

a. Tính xác suất số chấm là số chẵn?

b. Tính xác suất số chấm bé hơn 4?

c. Tính xác suất số chấm là 6?



Ví dụ 2. Trong 1 bình kín có 5 cầu trắng, 3 cầu đen giống

nhau về hình dạng, kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả.

Tính xác suất để:

a.Lấy được 2 cầu trắng

b.Lấy được 2 cầu đen

c.Lấy được một cầu trắng và một cầu đen



Ví dụ 3 (BTN). Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ một lô

hàng chứa 12 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm và 8

chính phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm lấy

a. Có 2 chính phẩm.

b. Có ít nhất 1 phế phẩm.

c. Có cả chính phẩm và phế phẩm ít nhất là 2.



Ví dụ 4 (BTN). Trong một hộp kín chứa các quả cầu

cùng hình dạng và kích thức. Trong đó có 5 quả màu

màu xanh, 4 quả màu đỏ, 3 quả màu trắng? Chọn

ngẫu nhiên cùng lúc 3 quả cầu. Tính các xác suất

sau

a. Cả 3 quả cầu cùng một màu

b. Đúng hai quả cầu cùng màu

c. Ít nhất hai quả cầu cùng màu

d. Cả 3 quả khác màu nhau.


2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Định nghĩa. Giả sử một phép thử được thực hiện lập lại n lần

trong trong cùng một điều kiện xác định và đếm được An lần

xuất hiện một sự kiện A. Khi đó, tần suất (tỉ lệ) An

n

được gọi là

xác suất của sự kiện A khi n tăng lên vô hạn

lim .An

nP A

n


3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Không gian mẫu có thể được biểu diễn bởi

một miền hình học có độ đo là ( )mes .

Mỗi sự kiện ngẫu nhiên được biểu diễn bởi

một miền hình học A có độ đo là ( )mes A .

Xác suất P(A) của sự kiện A được xác định bởi

( ).

( )

mes AP A

mes

Bài 2. Định nghĩa xác suất của sự kiện

4. Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề

Cho không gian mẫu và - đại số các sự kiện của .

Một hàm P: 0,1 được gọi là một “độ đo xác suất”

hay nói gọn là xác suất nếu thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i. 1P .

ii. Nếu hai sự kiện A và B xung khắc thì

.P A B P A P B

iii. Đối với một dãy giảm các sự kiện 1 2

... ...n

A A A , , 1,2,...iA i

thuộc - đại số và 1 2. ... ...

nA A A đẳng thức sau luôn đúng

lim 0n

n

A

.


1. Công thức cộng xác suất

2. Công thức xác suất có điều kiện

3. Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện

4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

5. Công thức Bernoulli


1. Công thức cộng xác suất Cho A và B là hai sự kiện trong cùng một không gian mẫu.

Khi đó đẳng thức sau luôn đúng

. .P A B P A P B P A B Nếu A và B là hai sự kiện xung khắc thì

.P A B P A P B Xét trường hợp A, B, C là ba sự kiện ngẫu nhiên

. . . . . .

P A B C

P A P B P C P A B P BC P AC P A BC

Nếu A, B, C là ba sự kiện đôi một xung khắc thì

.P A B C P A P B P C


1. Công thức cộng xác suất Chú ý: . . .P A B P A P A B

Ví dụ 2. Một nhóm có 10 bạn sinh viên, trong đó có 6 sinh viên học

giỏi toán. Chọn ngẫu nhiên 6 bạn sinh viên, tính xác suất để chọn

được số sinh viên giỏi toán nhiều hơn không giỏi toán ?

ĐS: 23/42.

Ví dụ 1. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 0,09;

mắc bệnh phổi là 0,12 và mắc cả hai bệnh là 0,07. Khám ngẫu nhiên

một người trong vùng đó, tính xác suất người đó không mắc cả hai

bệnh trên.

ĐS: 0,86.



Ví dụ 3 (BTN). Một lớp học có 80 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên

giỏi Tin học, 30 sinh viên giỏi Anh văn, 10 sinh viên giỏi cả

Tin học và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp đó.

Tính xác suất chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn

Tin học và Anh văn?

Ví dụ 4 (BTN). Một cửa hàng cần bán 50 sản phẩm, trong đó

có 15 sản phẩm không đạt trọng lượng, 10 sản phẩm không đạt

chất lượng và 5 sản phẩm không đạt cả chất lượng và trọng

lượng. Khách hàng vào chọn mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm.

a. Tính xác suất chọn phải sản phẩm không đạt ít nhất một

trong hai chuẩn trên?

b. Tính xác suất chọn được sản phẩm không vi phạm cả hai

tiêu chuẩn?

c. Tính xác suất chọn sản phẩm đạt chất lượng nhưng không

đạt trọng lượng?

d. Tính xác suất chọn sản phẩm không đạt chất lượng nhưng

đạt trọng lượng?

e. Tính xác suất chọn phải sản phẩm chỉ vi phạm 1 tiêu chuẩn?





Xét đến trường hợp A và B không độc lập, nghĩa là nếu biết trước

sự kiện B đã xảy ra thì sẽ ảnh hưởng đến sự xảy ra của sự kiện A.

Xác suất của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra trước đó gọi là

xác suất có điều kiện và kí hiệu là P(A/B).

Công thức tính xác suất có điều kiện như sau

.

/

P A B

P A B

P B

Tính chất.

1. 0 / 1.P A B

2. / 1P B B .

3. / / / . /P A C B P A B P C B P AC B .

Nếu A C thì / / /P A C B P A B P C B .

4. / 1 /P A B P A B .





Gọi A và B là hai sự kiện trên một không gian xác suất

. /P AB P A P B A

. /P AB P B P A B

Hai sự kiện A và B độc lập nếu và chỉ nếu .P AB P A P B .

Với A, B, C là ba sự kiện trong một không gian xác suất

. / . / .P ABC P A P B A P C AB



Ví dụ 5. Một hộp kín chứa 8 quả cầu màu đỏ và 5 quả

màu trắng. Lấy ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một quả

cầu, không hoàn lại. Tính xác suất lấy được

a. Cả hai quả cầu màu đỏ?

b. Hai quả cầu khác màu?

c. Quả cầu thứ hai màu trắng?

ĐS: 14/39; 20/39; 5/13

Ví dụ 6 (BTN). Đề bài tương tự ví dụ 6, nhưng chọn 2 lần

và có hoàn lại.



Ví dụ 7. Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia một

cách độc lập, mỗi người bắn một phát. Xác suất để

xạ thủ thứ nhất và thứ hai bắn trúng bia lần lượt là

0,7 và 0,8. Tính xác suất để

a. Cả hai xạ thủ bắn trúng bia

b. Chỉ có xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia

ĐS: 0,56; 0,14.



Ví dụ 8 (BTN). Để dập tắt nạn dịch sâu bệnh hại

lúa, đội bảo vệ thực vật đã tiến hành phun thuốc 3

lần liên tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết sau

lần phun thứ nhất là 0,5. Nếu sống sót ở lần phun

thứ nhất thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ

hai là 0,7. Nếu sống sót ở lần phun thứ hai thì khả

năng sâu bị chết ở lần phun thứ 3 là 0,9. Tính xác

suất sâu bị chết sau đợt phun thuốc.



4.1 Công thức xác suất đầy đủ

Cho A1, A2,...,An là họ đầy đủ các biến cố.

Khi đó, với một biến cố B trong không gian mẫu ta có

1

/

n

i i

i

P B P A P B A

.

, / , 1,2,...,i i

P A P B A i n được gọi là xác suất tiên nghiệm,

còn các xác suất /i

P A B được gọi là xác suất hậu nghiệm.

/

/ .i i i

i

P AB P A P B A

P A B

P B P B

Ví dụ 9. Có ba lô hàng, tỉ lệ phế phẩm ở từng lô hàng

tương ứng là 7%, 5%, 3%. Chọn ngẫu nhiên một lô

hàng rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính

xác suất chọn được phế phẩm?

ĐS: 0,05.



4.1 Công thức xác suất đầy đủ

Ví dụ 10 (BTN). Cửa hàng có một lô hàng 50 sản phẩm,

trong đó có 5 phế phẩm. Có hai người lần lượt vào mua,

mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm.

Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai có khả năng lấy

được phế phẩm cao hơn?.



4.2. Công thức Bayes

Giả sử A1, A2,...,An là nhóm biến cố đầy đủ,

A là biến cố đã xảy ra cùng với một trong các biến cố Ai.

1

1

/ /

/ .

/

i i i i i

i n

i

i

P AB P A P B A P A P B A

P A B

P B P BP A P B A

Nhà Toán học người Anh Thomas Bayes (1702 – 1761).

Ví dụ 11. Một kho hàng chứa cùng một loại sản phẩm do

ba nhà máy sản xuất, biết số sản phẩm của nhà máy I

chiếm 2/3 số sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm của

nhà máy II chiếm 1/4 số sản phẩm của kho hàng, số sản

phẩm còn lại của nhà máy III. Tỷ lệ sản phẩm tốt của mỗi

nhà máy lần lượt là 80%, 60% và 40%. Lấy ngẫu nhiên

một sản phẩm từ kho hàng

a. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt?

b. Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, tính xác suất

để sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất?

ĐS: 0,72; 9/43.




Ví dụ 12. Trong số 10 xạ thủ có 5 người bắn trúng bia với

xác suất 0,9 (nhóm thứ nhất); có 3 người bắn trúng bia

với xác suất 0,8 (nhóm thứ hai) và có 2 người bắn trúng

bia với xác suất 0,7 (nhóm thứ ba). Chọn ngẫu nhiên một

xạ thủ và cho anh ta bắn một viên đạn nhưng kết quả

không trúng bia. Tính xác suất để xạ thủ đó thuộc nhóm

thứ hai.

ĐS: 0,17; 6/17.







Ví dụ 13 (BTN). Có hai hộp thuốc. Hộp thứ nhất

đựng 8 lọ thuốc, trong đó có 3 lọ kém chất lượng;

hộp thứ hai đựng 6 lọ thuốc, trong đó có 2 lọ kém

chất lượng.

a. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Tính xác

suất để được 1 lọ tốt 1 lọ kém chất lượng?

b. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra một

lọ thì được lọ kém chất lượng. Tính xác suất để lọ

kém chất lượng đó thuộc hộp 2?



Xét loại phép thử chỉ có hai kết quả là “thành công” kí hiệu T

hoặc “thất bại” kí hiệu T . Nếu xác suất thành công P T q

thì xác suất thất bại sẽ là 1P T q .

Phép thử loại trên được gọi là phép thử Bernuolli, kí hiệu là B(q).

Lập lại phép thử B(q) n lần độc lập nhau, xác suất để có k lần

thành công 0 k n , kí hiệu ,nP k q được cho bởi công thức

, 1 .n k

k k

n nP k q C q q

Nhà Toán học người Thụy Sĩ James Bernoulli (1654 – 1705).



Ví dụ 14. Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%,

Kiểm tra một lô hàng gồm 75 sản phẩm.

a. Tính xác suất có 10 phế phẩm trong lô hàng?

b. Tính xác suất để có ít nhất một phế phẩm?

ĐS: 0,0394; 0,998.

Ví dụ 15.(BTN) Tỷ lệ sản xuất phế phẩm của một máy là

5%, Kiểm tra một lô hàng gồm 100 sản phẩm.

a. Tính xác suất có 6 phế phẩm trong lô hàng?

b. Tính xác suất có không ít hơn 3 phế phẩm?



Ví dụ 16. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt từ một

lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 3% để nghiên cứu. Hỏi phải

lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất

một hạt lép không bé hơn 95% ?

ĐS: 99.

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Documents

BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 2. Trong 1 bình kín có 5 cầu trắng, 3 cầu