Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt...ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. 3. Quy tắc nhân xác suất Để tính xác suất của biến

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

1

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

1 . Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A B , được gọi là hợp của hai

biến cố A và B.

Nếu A và B lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả

thuận lời cho A B và A B .

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Gọi A là biến cố “ Bạn đó là học sinh

giỏi Toán” và B là biến cố “ Bạn đó là học sinh giỏi Văn”. Khi đó A B là biến cố “ Bạn đó học

giỏi Văn hoặc học giỏi Toán”.

Tổng quát: Cho k biến cố 1 2 KA ,A ,...,A . Biến cố “ Có ít nhất một trong các biến cố 1 2 KA ,A ,...,A

xảy ra”, kí hiệu là 1 2 KA A ... A , được gọi là hợp của k biến cố đó.

2 . Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì

biến cố kia không xảy ra.

Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu A B .

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A .

3. Quy tắc cộng xác suất

Để tính xác suất của biến cố hợp, ta cần đến quy tắc cộng xác suất sau đây:

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P(A B) P(A) P(B) (1).

Ví dụ 3: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số

ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Hướng dấn giải:


2

Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có it nhất một thẻ đánh số chẵn ( Gọi là thẻ

chẵn). Gọi A là biến cố “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố “ Cả hai thẻ được rút là

thẻ chẵn”.

Khi đó biến cố “ Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là A B .

Do hai biến cố A và B xung khắc, nên P(A B) P(A) P(B) . Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có:

1 1 25 4 4

2 29 9

C .C C20 6P(A) .P(B)

36 36C C

Do đó: 20 6 13

P(A B)36 36 18

.

Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau:

Cho k biến cố 1 2 KA ,A ,...,A đôi một xung khắc. Khi đó

1 2 K 1 2 kP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) (2).

4. Biến cố đối

Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “ Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố

đối của A.

Chú ý: Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố xung khắc

chưa chắc là hai biến cố đối nhau.

Định lý: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đổi A là: P(A) 1 P(A) (3)

Ví dụ 4: Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2

viên bi:

a) Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu.

b) Tính xác suất để chọn được hai viên bi khác màu.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A là biến cố “ chọn được 2 viên bi xanh”, B là biến cố “ chọn được hai viên bi

đỏ”, C là “chọn được hai viên bi vàng” và H là biến cố “ chọn được 2 viên bi cùng

màu”.

Ta có: H A B C và các biến cố A,B,C đôi một xung khắc. Vậy theo công thức (2),

ta có P(H) P(A B C) P(A) P(B) P(C) .

Ta có: 22 234 2

2 2 29 9 9

CC C3 3 1P(A) ,P(B) ,P(C)

36 36 36C C C

Vậy 6 3 1 5

P(H)36 36 36 18

.


3

b) Biến cố “ Chọn được 2 viên bi khác màu” chính là biến cố H . Vậy theo công thức (3),

ta có: 5 13

P(H) 1 P(H) 1 .18 18

II. QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT

1. Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là

giao của hai biến cố A và B.

Cho k biến cố 1 2 KA ,A ,...,A . Biến cố “ Tất cả k biến cố 1 2 KA ,A ,...,A đều xảy ra”, kí

hiệu là 1 2 KA A ...A được gọi là giao của k biến cố đó.

2. Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra

của biến cố này làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Cho k kiến cố 1 2 KA ,A ,...,A , k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy

ra hay không xảy ra của mỗi nhóm biến cố tùy ý trong các biến cố đã cho không làm

ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại.

3. Quy tắc nhân xác suất

Để tính xác suất của biến cố giao, ta cần đến quy tắc nhân xác suất sau đây.

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

P(AB) P(A).P(B) (4).

Nhận xét: Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy: Nếu P(AB) P(A).P(B) thì hai biến cố

A,B độc lập với nhau. Ngược lại nếu có (4) thì A và B là hai biến cố độc lập với nhau.

Quy tắc nhân cho nhiều biến cố:

Nếu k biến cố 1 2 kA ,A ,....,A độc lập với nhau thì

1 2 k 1 2 kP(A ,A ,....,A ) P(A )P(A )...P(A ) (5).

Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 32 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại lá

bài trong cố bài và rút một lá bài khác. Tính xác suất để được át bích và át cơ.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố chọn lá bài thứ nhất là át bích, B là biến cố chọn được lá bài thứ hai

là át cơ.

Ta tìm P(AB). Ta thấy A và B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước

khi rút lá bài thứ hai. Do đó P(AB) P(A).P(B) , mà 1

P(A)32

và 1

P(B)32

.

Vậy 21 1P(AB) . 0,09.10

32 32.

Ví dụ 6: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác suất để

người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong một giờ là 1

7 và máy dệt B trọng


4

cùng thời gian trên là 1

5. Tính xác suất để người công nhân không phải can thiệp

máy nào trong một giờ.


Xác suất để máy dệt A hư độc lập với xác suất của máy dệt B hư.

Ta có: 1 6

P(A) 1 P(A) 17 7

với A là biến cố máy dệt A không hư.

1 4

P(B) 1 P(B) 15 5

với B là biến cố máy dệt B không hư.

Vậy xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ là:

6 4 24

P(A.B) . 0,69.7 5 35

Ví dụ 7: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần

bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần.

Hướng dẫn giải

A là biến cố người xạ thủ bắn trúng bia, A là biến cố người xạ thủ không bắn trúng

bia.

Ta có: P(A) 0,4 và P(A) 1 0,4 0,6 .

Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và không trúng 2 lần sau là:

1P 0,4.0,4.0,6 0,14.

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 không trúng là: 2 3 1P P P .

Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng 1 lần là:

P 0,14 0,14 0,14 0,42 .


5

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi

(không kể thứ tự ra khỏi hộp). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ?

A. 9

13 . B.

1

13. C.

12

13. D. Đáp án khác

Câu 2. Một chiếc hộp đựng 6 bút màu xanh, 6 bút màu đen, 5 bút màu tím và 3 bút màu đỏ được đánh

số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.

A. 200

323. B.

287

323. C.

1

2. D. Đáp án khác.

Câu 3. Một hộp có 6 bi đỏ; 5 bi xanh; 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 bi; tính xác suất biến cố có ít nhất một

bi đỏ.?

A. 240

.1001

B. 137

.143

C. 400

.3003

D. Đáp án khác.

Câu 4. Một hộp có 6 bi đỏ; 5 bi xanh; 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 bi; tính xác suất biến cố có đúng 2 bi

xanh và ít nhất 2 bi vàng?

A. 400

.3003

B. 240

.1001

C. 137

.143

D. Đáp án khác.

Câu 5. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng. Mỗi hộp chọn 1 bi; tính

xác suất biến cố 2 bi màu đỏ?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


xác suất biến cố 2 bi cùng màu?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


xác suất biến cố 2 bi khác màu?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72

Câu 8. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng. Mỗi hộp chọn 2 bi, tính

xác suất biến cố 3 bi trắng, 1 bi đỏ?

A. 5

.27

B. 17

.54

C. 14

.27

D. 1

.72


6


xác suất biến cố chọn được 2 bi trắng, 2 bi đỏ?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 11

.27

D. 1

.72


xác suất biến cố chọn được ít nhất 2 bi đỏ?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 67

.72

Câu 11. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng. Chọn 1 hộp rồi lấy 1 bi,

tính xác suất biến cố lấy được 1 bi đỏ?

A. 4

.9

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


tính xác suất biến cố lấy được 1 bi trắng?

A. 5

.9

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


tính xác suất biến cố lấy 2 bi khác màu?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 19

.36

D. 1

.72


tính xác suất biến cố láy 2 bi màu trắng?

A. 5

.27

B. 7

.24

C. 14

.27

D. 1

.72

Câu 15. Một hộp chứa các quả cầu kích thước khác nhau gồm 4 quả cầu đỏ, 15 quả cầu xanh, 11 quả cầu

vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu được chọn có ít nhất 2 quả

cầu khác màu?

A. 147

261 B.

144

261

C. 149

261 D. Đáp án khác.

Câu 16. Một bình chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 2 bi vàng. Bốc ngẫu nhiên 6 viên. Tính xác suất để 6 viên bốc

được có đúng một màu

A. 95

143 B.

17

492

C. 1


Câu 17. Một bình chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 2 bi vàng. Bốc ngẫu nhiên 6 viên. Tính xác suất để ). 6 viên bốc

được có đúng hai màu đỏ và vàng?


7

A. 95

143 B.

17

492

C. 1



được có đủ ba màu.

A. 95

143 B.

17

492

C. 1


Câu 19. Một hộp bút có 10 bút xanh và 7 bút đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 bút. Tính xác suất sao cho trong 5 bút

lấy ra không cùng một màu.

A. 1

68. B.

63

68. C.

65


Câu 20. Từ một hộp có 13 bóng đèn, trong đó có 6 bóng hỏng, lấy ngẫu nhiên 5 bóng ra khỏi hộp. Tính

xác suất sao cho có nhiều nhất 2 bóng hỏng?

A. 427

429. B.

61

68 C.

63

68. D.

84

143.


xác suất sao cho có ít nhất 1 bóng tốt?

A. 427

429. B.

84

143. C.

63


Câu 22. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi chữ số đều lớn hơn 4. Hãy xác

định số phần tử của tập A. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập A, tính xác suất để số được

chọn có ba chữ số lẻ đứng kề nhau.

A. 33

120 B.

3

10 C.

47

120 D.

1

3

Câu 23. Cho tập hợp E 1,2,3,4,5,6 . Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có nhiều nhất ba chữ số, các chữ

số đôi một khác nhau được thành lập từ tập E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp M. Tính xác

suất lấy được một số thuộc tâp M, sao cho tổng các chữ số của số đó bằng 10.

A. 7

59 B.

5

59 C.

15

59. D.

18

156.

Câu 24. Cho đa giác đều gồm 2n đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba

đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 0,2 . Tìm n, biết n là số nguyên dương và n 2

.

A. 10. B. 12.

C. 8. D. Đáp án khác.


8

Câu 25. Có 10 học sinh lớp A, 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học

sinh nói trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất hai học sinh

lớp A.

A. 100

299. B.

124

299.

C. 122


Câu 26. Gọi A là tập hợp các số có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu

nhiên ba số từ tập hợp A, tính xác suất để trong ba số được chọn có đúng một số có mặt chữ số

4?

A. 2382

8555. B.

1298

8555

C. 2484


Câu 27. Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. giáo viên chủ nhiệm chọn 5 em học sinh để

lập một tốp ca hát chào mừng ngày khai giảng. Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học

sinh nữ?

A. 2270

2387. B.

22

2387. C.

13

2387. D.

2273

2387.

Câu 28. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số

0,1,2,3,4,5,6 . Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập A. Tìm xác suất để phần tử đó là một số

không chia hết cho 5?

A. 25

36 B.

9

36

C. 14


Câu 29. Một nhóm học sinh gồm 9 em trong đó có 3 nữ, được chia thành 3 tổ đều nhau. Tính xác suất để

mỗi tổ có 1 nữ?

A. 9

28. B.

21

28. C.

19


Câu 30. Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50, chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp. Tính

xác suất để tổng ba số trên ba viên bi được chọn là một số chia hết cho 3.

A. 3

122. B.

17

125. C.

409


Câu 31. Có 40 tấm thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy

được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết

cho 6.

A. 126

1147. B.

26

147.


9

C. 12


Câu 32. Có 12 số tự nhiên khác nhau trong đó có 5 số chẵn và 7 số lẻ, chọn ngẫu nhiên 3 số. Tính xác suất

để tổng 3 số được chọn là số chẵn.

A. 23

44. B.

17

44.

C. 21


Câu 33. Một lớp có 35 học sinh trong đó có 3 bạn là cán bộ lớp. Chọn ngẫu nhiên biết kỳ 3 học sinh tham

dự đại hội trường. Tính xác suất sao cho trong 3 bạn được chọn nhất thiết phải có cán bộ lớp?

A. 23

44. B.

317

1309

C. 21


Câu 34. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất liên tiếp 5 lần độc lập. Tính xác suất để trong 5 lần gieo

có đúng hai lần xuất hiện mặt 1 chấm?

A. 1250

7776. B.

3240

7776

C. 1312

7776 D.

3250

7776

Câu 35. Trong một hộp có 10 cây viết khác nhau và có 4 cây bị hư. Lấy ngẫu nhiên 3 cây từ trong hộp này.

Tính xác suất để ít nhất có 2 cây đều tốt.

A. 1

3 B.

1

9

C. 2


Câu 36. Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô trong đó có 6 xe tốt. Họ điều động một cách ngẫu nhiên 3 xe đi

công tác. Tính xác suất sao cho 3 xe điều động đi phải có ít nhất một xe tốt?

A. 29

30 B.

3

30 C.

23

30 D.

12

30

Câu 37. Có 5 bông hoa hồng bạch, 7 bông hoa hồng nhung và 4 bông hoa cúc vàng. Chọn ngẫu nhiên 3

bông hoa. Tính xác suất để 3 bông hoa được chọn không cùng một loại?

A. 73

80. B.

7

80

C. 29


Câu 38. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng

đề thi. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu

nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc?


10

A. 19

323 B.

229

323 C.

34


Câu 39. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 nam và 10 nữ để tham gia đồng diễn. Tính xác

suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam.

A. 229

323. B.

325

506 C.

19


Câu 40. Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào tấm bia mỗi người mỗi phát. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ

A là 0.7. Tìm xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B. Biết xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia

là 0,94?

A. 0.25. B. 0.45. C. 0.8. D. 0.12.

III. ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C B B A A B C B C D A A C B C C C A C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A C B C C C D A A C A A B A C A A B B C

IV. ĐAP AN CHI TIÊT

Câu 1. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi

(không kể thứ tự ra khỏi hộp). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ?

A. 9

13 . B.

1

13. C.

12



Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong 15 viên bi, số cách chọn .

Gọi A là biến cố " trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ". Các trường hợp thuận lợi cho biến

cố A:

Trường hợp 1: Lấy được 1 bi đỏ và 2 bi xanh, số cách lấy

Trường hợp 2: Lấy được 2 bi đỏ và 1 bi xanh, số cách lấy

315n C 455

1 28 7C C

2 18 7C C


11

Trường hợp 3: Lấy được 3 bi đều đỏ, số cách lấy

Số trường hợp thuận lợi cho A,

Vậy .

Cách 2: Gọi biến cố "Cả 3 bi lấy ra đều không có đỏ", nghĩa là ba bi lấy ra đều bi xanh

. Suy ra

Câu 2. Một chiếc hộp đựng 6 bút màu xanh, 6 bút màu đen, 5 bút màu tím và 3 bút màu đỏ được đánh

số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.

A. 200

323. B.

287

323. C.

1



Số cách lấy 4 bút bất kì từ 20 bút đã cho là .

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất hai bút cùng màu

Số cách lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu là :

Số cách lấy được 4 bút mà có ít nhất hai bút cùng màu là :

Xác xuất lấy được 4 bút trong đó có ít nhất hai bút cùng màu là :

.

Câu 3. Một hộp có 6 bi đỏ; 5 bi xanh; 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 bi; tính xác suất biến cố có ít nhất một

bi đỏ.?

A. 240

.1001

B. 137

.143

C. 400

.3003

D. Đáp án khác.


38C

1 2 2 1 38 7 8 7 8n A C C C C C 420

n A 420 12P A

455 13n

A

37n A C 35 35 12

P A 1 P A 1455 13

420n C 4845

1 1 1 16 6 5 3n A C .C .C .C 540

n A n n A 4305

n A 4305 287P A

4845 323n


12

Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong 15 viên bi, số cách chọn 5

15C . Vậy không gian mẫu : 5

15n C

Gọi biến cố C: “ Chọn ít nhất được 1 bi màu đỏ”.

Biến cố C : “ Chọn được 5 viên bi đều không có bi đỏ”. Số trường hợp thuận lợi cho C , 5

9C cách. Vậy

5

9

5

15

C 137P C 1 P C 1 .

143C

Câu 4. Một hộp có 6 bi đỏ; 5 bi xanh; 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 bi; tính xác suất biến cố có đúng 2 bi

xanh và ít nhất 2 bi vàng?

A. 400

.3003

B. 240

.1001

C. 137

.143

D. Đáp án khác.


Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong 15 viên bi, số cách chọn 5

15C . Vậy không gian mẫu : 5

15n C

Gọi biến cố B: “ Có đúng 2 bi xanh và ít nhất 2 bi vàng”. Các trường hợp sau xảy ra thuận lợi cho A.

Trường hợp 1: Chọn được 2 bi xanh, 2 bi vàng và 1 bi đỏ, có 2 2 1

5 4 6C .C .C cách.

Trường hợp 2: Chọn được 2 bi xanh và 3 bi vàng, có 2 3

5 4C .C cách.

Ta có trường hợp 1 và trường hợp 2 xung khắc, nên

2 2 1 2 3

5 4 6 5 4n B C .C .C C .C 400

Vậy 5

15

n B 400 400P B .

3003n C


xác suất biến cố 2 bi màu đỏ?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


Gọi X là biến cố: “ Lấy mỗi hộp 1 viên bi đều màu đỏ”.

Gọi 1

X là biến cố : “ Lấy được 1 bi màu đỏ ở hộp thứ nhất”. Vậy 1

51 1

9

CP X

C


13

Gọi 2

X là biến cố: “ Lấy được 1 bi màu đỏ ở hộp thứ 2”. Vậy 1

32 1

9

CP X

C

Ta có biến cố 1

X và 2

X độc lập, nên: 1 1

5 31 2 1 1

9 9

C C 5P X P X P X . .

27C C


xác suất biến cố 2 bi cùng màu?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


Gọi Y là biến cố: “ Lấy mỗi hộp được 1 viên bi màu trắng”.

Gọi 1

Y là biến cố: “ Lấy được 1 viên bi màu trắng ở hộp thứ nhất”. Vậy 1

41 1

9

CP Y .

C

Gọi 2

Y là biến cố: “ Lấy được 1 bi màu trắng ở hộp thứ 2”. Vậy 1

62 1

9

CP Y .

C

Ta có biến cố 1

Y và 2

Y độc lập với nhau nên 11

641 2 1 1

9 9

CC 8P Y P Y .P Y . .

27C C

Gọi biến cố A: “ Lấy được 2 viên bi cùng màu”.

5 8 13P A P X P Y .

27 27 27


xác suất biến cố 2 bi khác màu?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


Gọi biến cố Z: “ Mỗi hộp chọn 1 viên bi và hai bi lấy ra khác màu”.

Có 2 trường hợp sau xảy ra thuận lợi cho biến cố Z.

1Z : “ Hộp thứ nhất lấy được 1 viên bi đỏ và hộp thứ 2 lấy được 1 viên bi màu trắng”.

1 1

5 61 1 1

9 9

C C 10P Z . .

27C C


14

Biến cố 2

Z : “ Hộp thứ nhất lấy được 1 viên bi trắng và hộp thứ hai lấy được 1 viên bi màu đỏ”.

11

342 1 1

9 9

CC 4P Z . .

27C C

Vậy 1 2

10 4 14P Z P Z P Z .

27 27 27


xác suất biến cố 3 bi trắng, 1 bi đỏ?

A. 5

.27

B. 17

.54

C. 14

.27

D. 1

.72


Gọi biến cố A: “ Chọn được 3 bi trắng”.

Gọi biến cố 1

A : “ Chọn 2 bi trắng hộp 1 và 1 bi trắng ở hộp thứ hai”.

Ta có: 1 12

6 341 2 2

9 9

C .CC 1P A . .

12C C

Gọi biến cố 2

A : “ Chọn được 1 bi trắng ở hộp 1 và 2 bi trắng ở hộp thứ hai”.

Vậy 1 1 2

4 5 62 2 2

9 9

C .C C 25P A . .

108C C

Vì 1

A và 2

A là 2 biến cố xung khắc nên: 1 2

1 25 17P A P A P A .

12 108 54


xác suất biến cố chọn được 2 bi trắng, 2 bi đỏ?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 11

.27

D. 1

.72


Gọi biến cố B: “ Chọn được 2 bi trắng”.

Gọi biến cố 1

B : “ ở hộp 1 chọn được 2 bi trắng, hộp thứ hai chọn được 2 bi đỏ”.

22

341 2 2

9 9

CC 1P B . .

72C C


15

Gọi biến cố 2

B : “ ở hộp thứ nhất chọn được 2 bi màu đỏ, hộp thứ hai chọn được 2 bi màu trắng”.

2 2

5 62 2 2

9 9

C C 25P B . .

216C C

Gọi biến cố 3

B : “ ở hộp thứ nhất chọn được 1 bi trắng và hộp thứ 2 chọn được 1 bi trắng”.

1 2 3

11P B P B P B P B .

27


xác suất biến cố chọn được ít nhất 2 bi đỏ?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 67

.72


Gọi biến cố C: “ Có ít nhất 1 viên bi màu đỏ”.

Gọi biến cố D: “ Cả bốn viên bi được chọn đều màu trắng”. 22

64

2 2

9 9

CC 5P D . .

72C C

Dễ dàng thấy D là biến cố đối của C. Nên 5 67P C 1 P D 1 .

72 72


tính xác suất biến cố lấy được 1 bi đỏ?

A. 4

.9

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


Xác suất chọn hộp : 1

P .2

Xác suất chọn được 1 bi đỏ ở hộp 1: 1

51 1

9

C 5P .

9C

Xác suất chọn được 1 bi đỏ ở hộp thứ 2: 1

32 1

9

C 3P .

9C

Xác suất chọn được 1 bi trắng ở hộp thứ 1: 1

43 1

9

C 4P .

9C

Xác suất chọn được 1 bi trắng ở hộp 2: 1

64 1

9

C 6P .

9C


16

Gọi X là biến cố “ Chọn 1 hộp sau đó lấy ra 1 bi, và được bi đỏ”. 1 5 1 3 4P X . . .

2 9 2 9 9


tính xác suất biến cố lấy được 1 bi trắng?

A. 5

.9

B. 13

.27

C. 14

.27

D. 1

.72


Xác suất chọn hộp : 1

P .2

Xác suất chọn được 1 bi đỏ ở hộp 1: 1

51 1

9

C 5P .

9C

Xác suất chọn được 1 bi đỏ ở hộp thứ 2: 1

32 1

9

C 3P .

9C

Xác suất chọn được 1 bi trắng ở hộp thứ 1: 1

43 1

9

C 4P .

9C

Xác suất chọn được 1 bi trắng ở hộp 2: 1

64 1

9

C 6P .

9C

Gọi Y là biến cố: “ Chọn một hộp sau đó lấy ra, 1 bi từ hộp đã chọn và bi được lấy ra có màu trắng”.

1 4 1 6 5P Y . . .

2 9 2 9 9


tính xác suất biến cố lấy 2 bi khác màu?

A. 5

.27

B. 13

.27

C. 19

.36

D. 1

.72


Xác suất chọn 2 bi ở hộp thứ nhất và 2 bi được chọn phải khác màu:

1 1

5 41 2

9

C .C 5P .

9C

Xác suất chọn 2 bi ở hộp thứ 2 và 2 bi được chọn phải khác màu:

1 1

3 62 2

9

C .C 1P .

2C


17

Gọi A là biến cố: “ Chọn một hộp và từ hộp đó lấy ra được hai viên bi khác màu”

1 5 1 1 19P A . . .

2 9 2 2 36


tính xác suất biến cố láy 2 bi màu trắng?

A. 5

.27

B. 7

.24

C. 14

.27

D. 1

.72


Xác suất chọn 2 viên bi ở hộp thứ nhất và hai viên bi được chọn đều màu trắng:

2

41 2

9

C 1P .

6C

Xác suất chọn 2 viên bi ở hộp thứ hai và hai viên bi được chọn đều màu trắng:

2

62 2

9

C 5P .

12C

Gọi B là biến cố : “ Chọn một hộp và từ hộp đó lấy ra được hai viên bi màu trắng”.

1 1 1 5 7P B . . .

2 6 2 12 24

Câu 15. Một hộp chứa các quả cầu kích thước khác nhau gồm 4 quả cầu đỏ, 15 quả cầu xanh, 11 quả cầu

vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu được chọn có ít nhất 2 quả

cầu khác màu?

A. 147

261 B.

144

261

C. 149



Chọn 4 quả cầu trong 30 quả cầu, có 430C cách. Vậy không gian mẫu 4

30n C .

Gọi biến cố A “ trong 4 quả cầu được chọn có ít nhất 2 quả cầu khác màu”. Số trường hợp thuận lợi cho A

là:

Trường hợp 1: Chọn được 2 quả cầu khác màu:


18

Chọn được 2 quả đỏ và 2 quả xanh, có 2 24 15C C cách.

Chọn được 2 quả đỏ và 2 quả vàng, có 2 24 11C C cách.

Chọn được 2 quả vàng và 2 quả xanh, có 2 211 15C C cách.

Trường hợp 1 có 2 2 2 2 2 24 15 4 11 11 15C C C C C C 6735 cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 quả cầu khác màu:

Chọn được 2 quả cầu đỏ, 1 xanh và 1 quả vàng có 2 1 14 15 11C C C cách.

Chọn được 2 quả cầu xanh, 1 quả đỏ và 1 quả vàng, có 2 1 115 4 11C C C cách.

Chọn được 2 quả cầu vàng, 1 xanh và 1 quả đỏ có 2 1 111 15 4C C C cách.

Trường hợp 2 có 2 1 1 2 1 1 2 1 14 15 11 15 4 11 11 15 4C C C C C C C C C 8910 cách.

Số thuận lợi cho A là 6735 9810 15645 cách.

Xác suất cần tìm 4

30

n A 15645 149P A

261n C


được có đúng một màu

A. 95

143 B.

17

492

C. 1



Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong 14 viên bi, có 614C cách. Vậy không gian mẫu 6

14n C

Gọi biến cố A “6 viên bốc được có đúng một màu”. Số thuận lợi cho A là 67n A C cách. Xác suất cần

tìm

67

614

n A C 1P A

429n C

.

Câu 17. Một bình chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 2 bi vàng. Bốc ngẫu nhiên 6 viên. Tính xác suất để ). 6 viên bốc

được có đúng hai màu đỏ và vàng?


19

A. 95

143 B.

17

492

C. 1




14n C

Gọi biến cố B “6 viên bốc được có đúng hai màu đỏ và vàng”. Số trường hợp thuận lợi cho là:

Trường hợp 1: Chọn được 1 vàng và 5 đỏ, có 1 52 5C .C 2 cách.

Trường hợp 2: Chọn được 2 vàng và 4 đỏ, có 2 42 5C .C 5 cách.

Số thuận lợi cho B là n B 2 5 7 cách.


14

n B 7 1P B

429n C

.


được có đủ ba màu.

A. 95

143 B.

17

492

C. 1




14n C

Trường hợp 1: Chọn được 1 vàng, 1 đỏ, 4 xanh, có 1 1 42 5 7C C C cách.








20

Số thuận lợi cho C là 1 1 4 1 2 3 1 3 2 1 4 1 2 1 32 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7n C C C C C C C C C C C C C C C C 2 2 2 2 3 1

2 5 7 2 5 7C C C C C C 1995

cách. Xác suất cần tìm 6

14

n C 1995 95P C

143n C

Câu 19. Một hộp bút có 10 bút xanh và 7 bút đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 bút. Tính xác suất sao cho trong 5 bút

lấy ra không cùng một màu.

A. 1

68. B.

63

68. C.

65



Chọn 5 bút trong 17 bút có 517C cách. Vậy không gian mẫu 5

17n C .

Số trường hợp lấy ra cả 5 bút đều màu xanh có 510C cách.

Số trường hợp lấy ra cả 5 bút đều màu đỏ có 57C cách.

Số trường hợp lấy ra 5 bút không cùng một màu là 5 5 517 10 7C C C 5915 cách.

Gọi biến cố A “Chọn được 5 bút không cùng một màu”. Số trường hợp thuận lợi cho A là n A 5915 .

Xác suất cần tìm là 5

17

n A 5915 65P A

68n C


xác suất sao cho có nhiều nhất 2 bóng hỏng?

A. 427

429. B.

61

68 C.

63

68. D.

84

143.


Chọn 5 bòng đèn trong 13 bóng có 513C cách. Vậy không gian mẫu 5

13n C .

Gọi biến cố A “Chọn được 5 bóng và nhiều nhất 2 bóng hỏng”. Có các trường hợp thuận lợi cho A là:

Trường hợp 1: Chọn được 2 bóng hỏng và 3 bóng tốt có 2 36 7C .C cách.

Trường hợp 2: Chọn được 1 bóng hỏng và 4 bóng tốt có 1 46 7C .C cách.

Trường hợp 3: Chọn được 5 bóng đều tốt có 57C cách.

Số cách thuận lợi cho A là 2 3 1 4 56 7 6 7 7n A C .C C C C 756 cách.


21

Xác suất cần tìm

5

13

n A 756 84P A

143n C.


xác suất sao cho có ít nhất 1 bóng tốt?

A. 427

429. B.

84

143. C.

63



Chọn 5 bòng đèn trong 13 bóng có 513C cách. Vậy không gian mẫu 5

13n C .

Gọi biến cố B “Chọn được 5 bóng và có ít nhất một bóng tốt”. Gọi biến cố B “Chọn được 5 bóng đều

không tốt” có nghĩa cả 5 bóng đều hỏng, số cách thuận lợi cho B là 56n B C . Dễ thấy B và B là hai biến

cố đối nên xác suất cần tìm là:

56

513

C 427P B 1 P B 1

429C.

Câu 22. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi chữ số đều lớn hơn 4. Hãy xác

định số phần tử của tập A. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập A, tính xác suất để số được

chọn có ba chữ số lẻ đứng kề nhau.

A. 33

120 B.

3

10 C.

47

120 D.

1

3


Vì số tự nhiên cần tìm có 5 chữ số khác nhau mà mỗi chữ số đều lớn hơn 4, có nghĩa số tự nhiên cần tìm

được thành lập từ các chữ số {5, 6, 7, 8, 9}.

Vậy số phần tử của tập hợp A là 5! 120 số.

Gọi n abcde là một số được chọn từ tập A thỏa có ba chữ số lẻ đứng kề nhau.

Vì ba chữ số lẻ đứng gần nhau nên gom chúng thành chữ số X.

Bước 1: Xếp X và hai chữ số chẵn còn lại có 3! Cách xếp.

Bước 2: Ứng với mỗi cách ở bước 1, có 3! Cách xếp các phần tử trong X.

Vậy có 3!.3! 36 số n cần tìm. Kết luận xác suất cần tìm: 36 3

P120 10

.


22

Câu 23. Cho tập hợp E 1,2,3,4,5,6 . Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có nhiều nhất ba chữ số, các chữ

số đôi một khác nhau được thành lập từ tập E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp M. Tính xác

suất lấy được một số thuộc tâp M, sao cho tổng các chữ số của số đó bằng 10.

A. 7

59 B.

5

59 C.

15

59. D.

18

156.


Các số có một chữ số được thành lập từ tập E là 6 số.

Các số có hai chữ số khác nhau được thành lập từ tập E là 26A 30 số.

Các số có ba chữ số khác nhau được thành lập từ tập E là 36A 120 số.

Suy ra số phần tử thuộc tập hợp M là 6 30 120 156 .

Gọi A là biến cố “Chọn được một số từ tập M sao cho số được chọn có tổng các chữ số bằng 10”.

Các tập con của E có nhiều nhất ba phần tử, có tổng các phần tử bằng 10 là:

4,6 ; 1,3,6 ; 1,4,5 ; 2,3,5 . Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

n A 2! 3.3! 20 . Xác suất cần tìm

n A 20 5P A

156 59n.

Câu 24. Cho đa giác đều gồm 2n đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba

đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 0,2 . Tìm n, biết n là số nguyên dương và n 2

.

A. 10. B. 12.

C. 8. D. Đáp án khác.


Số cách chọn 3 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác là 32nC .

Ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của

một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, và đỉnh còn lại là một trong số 2n – 2 đỉnh còn lại của

đa giác.

Số cách chọn một đường kính (mà hai đầu mút là hai đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác) là n. Suy ra số

cách chọn 3 đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác để chúng tạo thành một tam giác vuông là n 2n 2 .


23

Vì xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 0,2 nên

3

2n

n 2n 2 6n 2n 2 10,2 n 8

52n 2n 1 2n 2C

.

Câu 25. Có 10 học sinh lớp A, 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học

sinh nói trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất hai học sinh

lớp A.

A. 100

299. B.

124

299.

C. 122



Chọn 5 học sinh bất kỳ trong 27 học sinh có 527C cách. Vậy số phần tử không gian mẫu là 5

27n C .

Gọi biến cố X: ‘’5 học sinh được chọn lớp nào cũng có và học sinh lớp A ít nhất là hai ‘’. Có các trường

hợp thuận lợi cho X sau :

Trường hợp 1 : 5 học sinh được chọn có 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C. Số cách

chọn là 2 2 110 9 8C .C .C .


chọn là 2 1 210 9 8C .C .C .


chọn là 3 1 110 9 8C .C .C .

Số trường hợp thuận lợi cho A là : 2 2 1 2 1 210 9 8 10 9 8n A C .C .C C .C .C 3 1 1

10 9 8C .C .C 32940 cách. Xác suất cần

tìm 5

27

n A 32940 122P A

299n C

Câu 26. Gọi A là tập hợp các số có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu

nhiên ba số từ tập hợp A, tính xác suất để trong ba số được chọn có đúng một số có mặt chữ số

4?

A. 2382

8555. B.

1298

8555

C. 2484




24

Số phần tử của A là 35A 60 số.

Các phần tử thuộc tập A mà không có mặt chữ số 4 là 34A 24 số.

Các phần tử thuộc tập A mà có mặt chữ số 4 là : 60 24 36 .

Số cách chọn ba phần tử khác nhau thuộc tập A là 360n C .

Số cách chọn ba phần tử khác nhau thuộc tập A trong đó có đúng một phần tử có mặt chữ số 4 là 1 236 24C .C

. Kết luận xác suất cần tìm là 1 236 24

360

C .C 2484P

8555C .

Câu 27. Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. giáo viên chủ nhiệm chọn 5 em học sinh để

lập một tốp ca hát chào mừng ngày khai giảng. Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học

sinh nữ?

A. 2270

2387. B.

22

2387. C.

13

2387. D.

2273

2387.


Chọn ngẫu nhiên 5 em học sinh trong 35 em của lớp có 535C cách chọn. Vậy số phần tử của không gian

mẫu là 535n C .

Gọi biến cố A là ‘’Chọn được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’. Suy ra A là biến cố ‘’ Chọn

được 5 học sinh trong đó không có học sinh nữ’’ có nghĩa 5 em được chọn đều là nam. Số kết quả thuận

lợi cho A là 520n A C .

Vì A và A là hai biến cố đối nhau nên 520

535

C 2273P A 1 P A 1

2387C .

Câu 28. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số

0,1,2,3,4,5,6 . Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập A. Tìm xác suất để phần tử đó là một số

không chia hết cho 5?

A. 25

36 B.

9

36

C. 14




25

Gọi n abcde, a 0 là số có 5 chữ số khác nhau. a có 6 cách chọn, mỗi cách sắp xếp b,c,d,e là một chỉnh

hợp chập 4 của 6 phần tử (giải thích : bỏ một chữ số a đã chọn). Vậy có 466.A 2160 số có 5 chữ số khác

nhau. Suy ra số phần tử của A là 2160 .

Gọi 1n abcde, a 0 là phần tử thuộc tập A và chia hết cho 5. Có hai trừng hợp xảy ra :

Trường hợp 1 : e 0 , mỗi cách sắp xếp a,b,c,d là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Vậy có 46A số tận

cùng bằng 0.

Trường hợp 2 : e 5 , a có 5 cách chọn (bỏ hai chữ số 0 và 5). Mỗi cách sắp xếp b,c,d là một chỉnh hợp

chập 3 của 5 phần tử. Vậy có 355.A số tận cùng bằng 5.

Suy ra có 4 36 5A 5.A 660 số thuộc tập A mà chia hết cho 5. Vậy có 2160 660 1500 số không chia hết

cho 5.

Gọi X là biến cố ‘’Chọn một số thuộc tập A và không chia hết cho 5’’. Số trường hợp thuận lợi cho X là

11500n X C .

Xác suất cần tìm :

11500

12160

n X C 25P X

36n C

.

Câu 29. Một nhóm học sinh gồm 9 em trong đó có 3 nữ, được chia thành 3 tổ đều nhau. Tính xác suất để

mỗi tổ có 1 nữ?

A. 9

28. B.

21

28. C.

19



Chia đều 9 học sinh thành ba tổ. Đầu tiên chọn 3 em trong 9 em để vào tổ thứ nhất, có 39C cách. Tiếp đến

chọn 3 em trong 6 em còn lại vào tổ thứ hai, có 36C cách. Cối cùng 3 em còn lại vào tổ thứ ba có 1 cách.

Theo quy tắc nhân có 3 39 6C .C .1 1680 cách. Vậy không gian mẫu n 1680 .

Gọi biến cố A ‘’Chia ba tổ đều nhau và mỗi tổ có 1 nữ’’. Số trường hợp thuận lợi cho A là

2 2 26 4 2n A 3!.C .C .C 540 .


n A 540 9P A

1680 28n

.


26

Câu 30. Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50, chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp. Tính

xác suất để tổng ba số trên ba viên bi được chọn là một số chia hết cho 3.

A. 3

122. B.

17

125. C.

409

1225. D. Đáp án khác..


Chọn 3 viên bi trong 50 viên bi có 350C cách. Vậy không gian mẫu là 3

50n C

Gọi A là biến cố ‘’ Tổng ba số trên ba viên bi được chọn là một số chia hết cho 3’’.

Trong 50 viên bi được chia thành ba loại : Gồm 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho 3

dư 1 và 17 viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2.

Để tìm số cách chọn 3 viên bi có tổng số là một số chia hết cho 3, ta xét hai trường hợp :

Trường hợp 1: 3 viên bi được chọn cùng một loại, có 3 3 316 17 17C C C cách.

Trường hợp 2: 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có 1 1 116 17 17C .C .C cách.

Suy ra 3 3 3 1 1 116 17 17 16 17 17n A C C C C .C .C 6544 cách.


50

n A 6544 409P A

1225n C

Câu 31. Có 40 tấm thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy

được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết

cho 6.

A. 126

1147. B.

26

147.

C. 12



Chọn 10 tấm thẻ trong 40 tấm thẻ có 1040C cách. Vậy không gian mẫu 10

40n C

Từ 1 đến 40 có tất cả 20 số chẵn và 20 số lẻ. Số cách chọn 5 tấm thẻ mang số lẻ là 520C cách.

Trong 20 số chẵn trên có đúng 6 số chia hết cho 6 là {6, 12, 18, 24, 30, 36}, nên chọn 1 tấm thẻ chia hết cho 6

có 16C cách (hiển nhiên tấm thẻ này mang số chẵn), sau đó chọn 4 thẻ mang số chẵn trong 14 tấm thẻ còn

lại có 414C cách.


27

Gọi biến cố A ‘’ Chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng một thẻ mang

số chia hết cho 6’’. Số trường hợp thuận lợi cho A là 5 1 420 6 14n A C .C .C . Xác suất cần tìm

5 1 420 6 14

1040

n A C .C .C 126P A

1147n C

Câu 32. Có 12 số tự nhiên khác nhau trong đó có 5 số chẵn và 7 số lẻ, chọn ngẫu nhiên 3 số. Tính xác suất

để tổng 3 số được chọn là số chẵn.

A. 23

44. B.

17

44.

C. 21



Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 12 số tự nhiên có 312C cách. Vậy 3

12n C

Gọi biến cố A “Chọn được 3 số tự nhiên thỏa tổng của chúng là một số chẵn”. Có các trường hợp sau

thuận lợi cho A:

Trường hợp 1: Chọn được cả ba số tự nhiên chẵn có 35C cách.

Trường hợp 2: Chọn được hai số tự nhiên lẻ và một số tự nhiên chẵn có 2 17 5C .C cách.

Số thuận lợi cho A là 3 2 15 7 5n A C C .C 115 cách.


12

n A 115 23P A

44n C

.

Câu 33. Một lớp có 35 học sinh trong đó có 3 bạn là cán bộ lớp. Chọn ngẫu nhiên biết kỳ 3 học sinh tham

dự đại hội trường. Tính xác suất sao cho trong 3 bạn được chọn nhất thiết phải có cán bộ lớp?

A. 23

44. B.

317

1309

C. 21



Chọn 3 học sinh trong 35 học sinh có 335C cách. Không gian mẫu 3

35n C .

Gọi biến cố A “3 học sinh được chọn nhất thiết phải có cán bộ lớp”. Số trường hợp thuận lợi cho biến cố

A là:


28

Trường hợp 1: Chọn được 1 cán bộ lớp và 2 học sinh bình thường có 1 23 32C .C cách.

Trường hợp 2: Chọn được 2 cán bộ lớp và 1 học sinh bình thường có 2 13 32C .C cách.

Trường hợp 3: Chọn được cả ba cán bộ lớp có 33C cách.

Số thuận lợi cho A là 1 2 2 1 33 32 3 32 3n A C .C C .C C 1585 cách

Xác suất cần tìm là:

3

35

n A 1585 317P A

1309n C.

Câu 34. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất liên tiếp 5 lần độc lập. Tính xác suất để trong 5 lần gieo

có đúng hai lần xuất hiện mặt 1 chấm?

A. 1250

7776. B.

3240

7776

C. 1312

7776 D.

3250

7776


Chọn 2 trong 5 lần gieo xuất hiện mặt một chấm có 25C cách.

Xác suất của một lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm là 1

6. Suy ra xác suất của một lần gieo không xuất hiện

mặt 1 chấm là 5

6.

Do đó xác suất cần tìm là

2 325

1 5 1250P C

6 6 7776.

Câu 35. Trong một hộp có 10 cây viết khác nhau và có 4 cây bị hư. Lấy ngẫu nhiên 3 cây từ trong hộp này.

Tính xác suất để ít nhất có 2 cây đều tốt.

A. 1

3 B.

1

9

C. 2



Chọn ngẫu nhiên 3 cây viết từ 10 cây viết có 310C cách. Vậy không gian mẫu 3

10n C


29

Gọi biến cố A “Chọn được 3 cây trong đó có ít nhất 2 cây đều tốt”. Số trường hợp thuận lợi cho A là:

Trường hợp 1: Chọn được 2 cây tốt và 1 cây bị hư, có 2 16 4C .C 60 cách.

Trường hợp 2: Chọn được cả 3 cây đều tốt, có 36C 20 cách.

Số thuận lợi cho A là n A 60 20 80 cách.


10

n A 80 2P A

3n C

.

Câu 36. Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô trong đó có 6 xe tốt. Họ điều động một cách ngẫu nhiên 3 xe đi

công tác. Tính xác suất sao cho 3 xe điều động đi phải có ít nhất một xe tốt?

A. 29

30 B.

3

30 C.

23

30 D.

12

30


Chọn 3 xe bất kì trong 10 xe có 310C cách. Vậy không gian mẫu có 3

10n C .

Gọi biến cố A “ 3 xe điều động đi công tác có ít nhất một xe tốt”. Suy ra A là biến cố 3 xe điều động đi

công tác không có xe nào tốt. Số trường hợp thuận lợi cho A là 34C , dễ thấy A và A là hai biến cố đối

nên 34

310

C 29P A 1 P A 1

30C .

Câu 37. Có 5 bông hoa hồng bạch, 7 bông hoa hồng nhung và 4 bông hoa cúc vàng. Chọn ngẫu nhiên 3

bông hoa. Tính xác suất để 3 bông hoa được chọn không cùng một loại?

A. 73

80. B.

7

80

C. 29



Gọi A, B, C tương ứng là 3 biến cố “Chọn được ba bông hoa hồng bạch”

“Chọn được ba bông hoa hồng nhung”và “Chọn được ba bông hoa cúc vàng”

H là biến cố “Chọn được ba bông hoa cùng loại”. Có A, B, C đôi một xung khắc và H A B C

P H P A P B P C với 35

316

C 1P A

56C ,

37

316

C 35P B

560C ,

34

316

C 4P C

560C . Vậy

7P H

80 .


30

Biến cố chọn ba bông hoa không cùng loại là H .

Vậy 7 73P H 1 P H 1

80 80 .

Câu 38. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng

đề thi. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu

nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc?

A. 19

323 B.

229

323 C.

34



Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có 420C 4845 đề thi.

Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc, có 2 210 10C .C 2025 cách.

Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc, có 3 110 10C .C 1200 cách.

Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc, có 410C 210 cách.

Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc, có 2025 1200 210 3435 cách.

Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc là 3435 229

4845 323

Câu 39. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 nam và 10 nữ để tham gia đồng diễn. Tính xác

suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam.

A. 229

323. B.

325

506 C.

19



Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 25 học sinh, số cách chọn

Gọi biến cố A "5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam". Các

trường hợp xảy ra thuận lợi cho A:

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 4 nam, số cách chọn .

Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 3 nam, số cách chọn .

Từ đó suy ra

525n C

1 410 15C .C

2 310 15C .C

1 4 2 310 15 10 15n A C .C C .C 34125


31


Câu 40. Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào tấm bia mỗi người mỗi phát. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ

A là 0.7. Tìm xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B. Biết xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia

là 0,94?

A. 0.25. B. 0.45. C. 0.8. D. 0.12.


Gọi xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B là P B b với 0 b 1 .

Gọi X là xác suất cả hai xạ thủ bắn trật. Có X A B và A , B là hai biến cố độc lập nên

P X P A B P A .P B 1 0,7 1 b (1).

Gọi X là biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia, dễ dàng thấy X và X là hai biến cố đối nên

P X 1 P X 1 0,94 0,06 (2).

Từ (1) và (2) được 1 0,7 1 b 0,06 b 0,8 .

.

5

25

n A 34125 325P A

506n C


32

NHẤT ĐỊNH PHẢI ĐỖ ĐẠI HỌC ĐÓ NHÉ!! Các em chỉ cần chăm thôi, tài liệu và Phương pháp cứ để thầy lo.

➤Các tài liệu hay và các phương pháp đều được giảng trong các bài học của thầy. ●Facebook thầy: Đạt Nguyễn Tiến | https://www.facebook.com/thaydat.toan Để tham gia học offline cùng thầy Đạt: Các em đến đăng ký tại Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu, Q.Hai Bà Trưng, Hà Nội Để học online các em tham gia các khóa sau trên HOC24H.VN

✔ Khóa luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán 2018: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-hoc.79.html

✔ Khóa luyện thi nâng cao lớp 12: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-luyen-thi-nang-cao-2018-mon-toan.138.html

✔ Khóa luyện đề thi thử THPT Quốc gia 2018: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-luyen-de-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan.149.html

✔ Khóa tổng ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2018: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-tong-on-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan.147.html

✔ Chinh phục kiến thức lớp 11: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-chinh-phuc-kien-thuc-toan-11.97.html

Documents

Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt...ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. 3. Quy tắc nhân xác suất Để tính xác suất của biến