BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU - nguyenvantien0405 · BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU 1 Bài giảngXác suấtThốngkê 2015 NguyễnVănTiến Địnhnghĩa ... • Hàm

7/18/2016

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Chương 2

BIẾN NGẪU NHIÊN

MỘT CHIỀU

1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị nàođó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên.

• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …

• Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …

• Với mọi số thực x ta có {X<x} là một biến cốngẫu nhiên.

2


Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày

• Y: Tuổi thọ của iphone 6

• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. GọiZ: số mũ bảo hiểm được trả đúng người

• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mớinhập về

• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiêntrong lớp này


Ví dụ 2

• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấyngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bivàng có trong 2 viên lấy ra.

• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.

• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

4

0 1 2; ;Y


Phân loại bnn

5

Rời rạc

Có hữu hạn giá trị

Có vô hạn đếmđược giá trị

Bnn X

Liên tục

Giá trị lấp đầy mộthay vài khoảng hữuhạn hoặc vô hạn

P(X=a)=0 với mọi a


Hai biến ngẫu nhiên độc lập

• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biếncố:

• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.

• Nói cách khác các biến cố liên quan đến haibiến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.

6

X x Y y

7/18/2016

2


Luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biếnngẫu nhiên và xác suất tương ứng.

–Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì

–Xác suất để bnn nhận giá trị trong mộtkhoảng bất kì

• Dạng thường gặp: hàm phân phối xácsuất, công thức, bảng ppxs, hàm mật độxác suất


Hàm phân phối xác suất (ppxs)

• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, kýhiệu F(x), định nghĩa như sau:

• Hay

8

( ) xF x P X

( ) tF t P X


• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là mộtgiá trị bất kì.

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bêntrái số x.

• Xác suất X thuộc [a,b)

9

)( ( ) ( )b F aP b Fa X

Hàm ppxs


Tính chất

10

i) 0 1,F x x R

ii) F x là hàm tăng, liên tục bên trái. Nếu X là biến

ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục trên R.

iii) lim 0x

F F x

lim 1x

F F x

iv) P a X b F b F a .


Hàm ppxs


Công thức ppxs

Ví dụ. Một người nhắm bắn một mục tiêu chođến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (sốphát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúngcủa mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs củasố viên đạn được sử dụng.

Đ/S:

12

1

1 2 1

..................................................................

1 , 1,2,3...k

P X p P X p p

P X k p p k

7/18/2016

3


Bảng ppxs

• Ví dụ. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sảnphẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sảnphẩm loại A lấy ra?


Bảng ppxs

• Bảng phân phối xác suất của X.

• xi : giá trị có thể có của bnn X

• pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).

• Chú ý:

14

X x1 …. x2 …. xn

P p1 …. p2 …. pn

1

1n

i

i

p


Ví dụ 3 (sv tự giải)

Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sảnphẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩmxấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm vàtừ kiện 2 ra 1 sản phẩm.

a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩmtốt trong 3 sản phẩm lấy ra?

b) Xác định hàm ppxs tương ứng


Hàm ppxs

• Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp

• Khi đó:

16

1 2 3 ....x x x i iP X x p và

1

1 1 2

1 2 2 3

1 1 1

0 ,

,

,

...............................

... ,k k k

x x

p x x x

F x p p x x x

p p x x x


Biến ngẫu nhiên liên tục

• Cho X là bnn liên tục

• Ta có:

• Để thể hiện xác suất ta sử dụng hàm số.

• Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất

17

0)

)

( ) ,X a a

ii P a X b P a X b P X b P a X b

i P


Hàm mật độ xác suất

• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs F(x). Nếu tồntại hàm f(x) sao cho:

• Thì f(x) gọi là hàm mật độ của bnn X

• Viết tắt là: PDF (prob. density function)

18

,

x

F x f t dt x R

7/18/2016

4



• Nếu X liên tục thì:

19

f x

x

F x


Tính chất

iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:

20

) 0

) 1

)

b

a

i f x x R

ii f x dx

iii P a X b f x dx

'F x f x



Hàm mật độ xác suấtf(x) thỏa mãn 2 điềukiện:

21

) 0 ,

) 1

i f x x R

ii f x dx



22


Ví dụ 4

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Tìm k để f(x) là hàm mật độ xác suất

• B) Tính xác suất P(1<X<1,25)

23

2

,1 23

0 , 1,2

kxx

f x

x

2

; 1 23

kxf x x


Ví dụ 5

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Xác định hàm F(x)

• B) Tính xác suất P(0<X<1)

24

2

1 23

xf x x

7/18/2016

5


CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)

• Độ lệch chuẩn (Standard Error)

• Trung vị (Median) me

• Mốt (Mode) m0

• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV

• Hệ số bất đối xứng (Skewness)

• Hệ số nhọn (Kurtosis)

• Giá trị tới hạn


Kỳ vọng (Expected Value)

• Ký hiệu: E(X)

• Định nghĩa:

• E(X) là trung bình theo xác suất của X

• Có cùng đơn vị với X

26

-

, voi X roi rac

. ( ) , voi X lien tuc

i i

i

x p

E X

x f x dx


Ví dụ 6

• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thànhcông (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dựkiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năngthành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sửkết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuậnkỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu?


Ví dụ 7• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở

1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:

• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng nàynhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.

• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thựcphẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá20/kg ngàn mới hết hàng.

• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nênnhập thêm 20kg mỗi ngày hay không

28

X 80 100 120 150

P 0,2 0,4 0,3 0,1


Ví dụ 8

• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.

29

3

20.000100f x x

x


Hàm của bnn

• Cho bnn X có ppxs:

• Đặt (X)=X2 Phân phối xác suất của (X)

Hướng dẫn

• Giá trị của (X)

• Xác suất nhận các giá trị đó

30

X -1 0 1 2

P 0,2 0,1 0,3 0,4

7/18/2016

6


Kỳ vọng (tt)

• Cho bnn X

• Kỳ vọng toán học của hàm (X):

31

i i

i

x p neu X roi rac

E X

x f x dx neu X lientuc


Tính chất

32

1)Tính chat 1: E(C)=C voi C la hang so

2)Tính chat 2: E(C+X)=C+E(X)

3)Tính chat 3: E(C.X)=C.E(X)

4)Tính chat 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

5)Tính chat 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neu X va Y doc lap


Ví dụ 9

• Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập saocho:

• Đặt:

• A) Tìm E(G)

• B) Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝐸 𝐺 = 𝜇

33

1 2 3E X E X E X

1 2 3

1

4G X X X


Ví dụ 10• Xét hai bnn sau:

• So sánh E(X) và E(Y)

• Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên củaX, Y

34

X 3 4 5

P 0,3 0,4 0,3

Y 1 2 6 8

P 0,4 0,1 0,3 0,2


Đáp án

• Ta có: E(X)=4; E(Y)=4

• Đồ thị:

• Nhận xét: mức độ phân tán của các giá trị khácnhau

35

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8

Freq

uen

cy

Giá trị

Histogram 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

1 2 3 4 5 6 7 8

Freq

uen

cy

Giá trị

Histogram 2


Phương sai (Variance)

• Ký hiệu: V(X); Var(X)

• Định nghĩa:

36

2

2 2Var X E X E X E X

2 2

2 2

, neu X roi rac

,neu X lien tuc.

i i

i

E X x p

E X x f x dx

7/18/2016

7


Phương sai (Variance)

• Là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn sovới kỳ vọng toán của nó.

• Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2

• Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của cácquyết định.

37

22

22

, neu X roi rac.

, neu X lien tuc.

i i

i

x p E X

Var X

x f x dx E X


Phương sai của hàm bnn

38

2

XV X E X

2

2

Xx

X

V X x P X x

V X x f x dx


Tính chất của phương sai

39

2

i

1 1

1)Tính chat 1: V(C)=0 voi C la hang so

2)Tính chat 2: V(C+X)=V(X)

3)Tính chat 3: V(C.X)=C .V(X)

4) neu X va Y doc lap

neu cac X doc lap toan ph

V(X Y)=V(X)

a

V(Y)

V n= n n

i i

i i

X V X


Ví dụ 11

• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B làcác bnn độc lập X, Y:

a) Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngànhnào?

b) Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?

c) Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷlệ nào?

40

X 0 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35

P 0,2 0,45 0,35


Ví dụ 11

d) Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong1 tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổngtiền lãi trong 1 tháng?

e) Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìmtrung bình và phương sai của tiền lãi thu được.

f) Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau.Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãitrong 2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi khôngdưới 50 triệu.

g) Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?

41

X 0 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35

P 0,2 0,45 0,35


Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tậptrung của X.

• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X

• (X) có đơn vị là đơn vị của X

42

X Var X

7/18/2016

8


Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

• Cho X là bnn có kỳ vọng và độ lệch chuẩn>0.

• Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.

43

XZ

0 1E Z V Z


Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫunhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ nhưsau:

• Tìm hằng số k?

• Xác định hàm ppxs?

• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.

44

2 4 , 0,4f x kx x x

Ví dụ 12


Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CVx.

• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CVx càng nhỏbnn càng thuần nhất.

• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùngđơn vị, không có cùng kỳ vọng.

45

0X

XCV E XE X


Median (Trung vị)

• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phânphối.

• Hay

46

0,5

0,5

e

e

P X m

P X m

0,5e eP X m P X m


Median (Trung vị)

• Nếu X liên tục thì:

47

0,5em

f x dx

1 0,5S

em


ModXKý hiệu:

Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:

48

0x R

f m max f x

0 ii

P X m max P x x

0ModX m

7/18/2016

9


Ví dụ 13Cho bnn X

Ta có:

Vậy

49

X 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

X 1 2 3 4 5

F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75

4Med X Mod X


Ví dụ 14

• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất

• Tìm MedX và ModX?

50

32 ,0 2

4

0 , 0,2

x x xf x

x


Điểm (giá trị) tới hạn

• Cho bnn X có luật phân phối xác định

• Giá trị tới hạn mức α là số thực, ký hiệu là Xα

sao cho:

51

P X X

X


Ví dụ 15

Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàmmật độ

a) Tìm hằng số k

b) Tìm Mod(X)

c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được1 tháng tuổi

52

2 4 , 0;4f x kx x x


Ví dụ 16

• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một sốcuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm vềloại sách này như sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bánra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối nămphải hạ giá với giá 5USD một cuốn.

53

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25


Ví dụ 16

• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán đượctrung bình là bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kìvọng là lớn nhất.

54

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25

7/18/2016

10


Ví dụ 17

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.

b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

55

1sin , 0,

2

0 , 0,

x xf x

x


Đề đợt 1 năm 2013• Cho Xi (i=1,2…,8) là các biến ngẫu nhiên độc lập

có cùng kỳ vọng µ và phương sai 𝜎2.

• Xét các biến ngẫu nhiên sau:

• a. Tính kỳ vọng toán của Y1, Y2.

• b. Chứng minh rằng V(Y1)<V(Y2)

56

81 2 8

1

1

5

2 6 7 8

1

... 1

8 8

12 3 4

14

i

i

i

i

X X XY X

Y X X X X


Đề 5/2015

• Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập saocho:

• Đặt:

• A) Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝐸 𝐺 = 𝜇

• B) Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝑉 𝐺 nhỏ nhất

57

2;i iE X V X

1 2 3

1

4G X X X


Đề 11/2015

• Cho lợi nhuận của một công ty (%/ngày) là mộtbiến ngẫu nhiên X liên tục có đồ thị của hàmmật độ 𝑦 = 𝑓 𝑥 đối xứng qua trục tung nhưhình bên.

58


Đề 11/2015

• a) Cho 𝛼 = 5%. Hãy tính giá trị tới hạn Xα

và nêu ý nghĩa của giá trị tới hạn này (có

nghĩa 𝑃 𝑋 > 𝑋𝛼 = 𝛼).

• b) VaR1-α là một giá trị được định nghĩa là

mức chịu đựng lỗ của công ty, có nghĩa là

xác suất công ty sẽ lỗ một khoản lớn hơn

hay bằng VaR1-α là 𝛼.

• Hãy tính VaR95%?

59

Documents

BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU - nguyenvantien0405 · BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU 1 Bài giảngXác suấtThốngkê 2015 NguyễnVănTiến Địnhnghĩa ... • Hàm