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8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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Mexico octubre
994
Instituto Politecnico Nacional
Escuela Nacional de Ciencias Bio 6gicas
alindez Mayer
u z
Ordaz
undamentos biocineticos para el diseiio
procesos
ferm entativos
ioingenieri
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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EDITOR FUNDADOR: Q Z Vicente Lauria Flores
D r Radu
Racotta
Poulief
D r
Onofre Rojo Asenjo
M en C Ja im e G a rib ay A g uila r
D r
Carlos
de
1 0 V e g a
ez m
M en ]osefina Paredes GonUlez
Dra Estel Mel6ndez Camargo
Q B P Glafira Angeles Ocampo
Enf Sara
lici
Po nc e d e L eo n
Lie M ax
Krongo ld P e1 ze nn an
I B Q Adolfo Saldai1a Pedroza
C P Alberto M oren o Gonzalez
D r G e rm a n C h am o rr o Ceballos
Ing M arco Po lo B e rn a l Ya r ah u en
Dr
nuro
Nava
Jaimes
M en C Ru~n Mercado Escutia
D r A n to n io O r io J A n gu era
M en C Imelda Manlnez
Morales
M en C Emesto Filio LOpez
Ing
Pernando Oviedo Tovar
Lie Prancisco Patino Urate
Lie
Elisa
Cassigoli
P6rez
C P Alberto
M o reno G oo za kz
Lie Salvador Ruiz SuMez
Dr Guil lermo Chamber del Castillo
EDITOR: Q P Jorge Vargas Cbtvez
OMITE EDITORI L
Ing Marco Polo Bernal Yarahuan
ecreuuio
de
poyo
Dr Jose Antonio Iran Dfaz Gongora
Secretsrio cademico
Dr Benjamfn Varela Orihuela
SecreW io Tecnico
In g Alfredo LOpezHernandez
Se ct ets ri o G e ne ra l
C P Oscar J Joffre Velazquez
ir ec to r G ener al del IP N
DIRE TORIO
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E L E IT OR
Finaimente y considerando que se trata de un ejercicio academico cabe seiialar que
los textos reproducidos en esta publicacion manifiestan s610 las opiniones personales
de sus respectivos autores
Un organo importante para cumplir anterior es la publicacidn de INFORMES TEC-
NICOS que favorece el intercambio del quehacer cientffico tecnol6gico y humanfsti-
co realizado por los miembros de la comunidad politecnica dando por resultado la
promocion
de proyectos de investigaci6n inter y multidisciplinaria que sedalen nuevas
rutas bacia el futuro
Esta posici6n necesita de un continuo intercambio de experiencias entre las comunida-
des dedicadas desarrollo tanto de la enseiianza como de la ciencia y la tecnologfa
que retroalimente el proceso de creacion intelectual
EI Politecnico que siempre
ha
estado presente en el desarrollo del pals requiere de
una comunidad fonnada por el trinomio m aestro alumno egresado cuyos integrantes
tengan la capacidad requerida para a1ternar con los mejores profesionales del mundo
La educacion nacionai afronta el desaffo de preparar recursos humanos que Ie permitan
a Mexico el desarrollo y estar aJ dfa en el avance internacionai contemporaneo partici-
pando
en todas las areas de la actividad y del saber humano
PRESENT ION
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29
2.2.1Mod.l.amiento m.tem6tico de procesoebiol6gicos
2.2.2Concept cine ticos fundamentales
2.2.3Efecto de fadores ambientales a ob re
2.1 Estequiometria de reaccionesbiol6gicaa 18
2.1.1Estimad6n de rendimJent te6rkos 19
2.1.1.1Rendimiento celular
Y
g 19
2.1.1.2Rendimiento cal6rko Ykg 20
2.1.1.3Rendimiento de oxlgeno
Y~
23
2. 2
Modelos bi~ticoe 26
2. Bases de bioingenieJ1a para el diseflo de procesos. 15
1.2.3Prop6eitos de losmodelos auotem ticos en microbiologJa 8
1.2,4El empleo de modeloe matem ticos en
a
emeNmz.o de la ingenieria 9
1.2.5Sollld6n • lo s modelos matem tlcos 9
1.3HerramimIaa auotem tlcas
o1 tile8
en simulaci6n. 11
3
5
5
6
6
7
7
7
8
1.1Antecedentes
1.2ModeJoematem tlcos y slmuJadores de
p t OC e5O >
1~1 Modelo.. l visi6n
ge ....
1~2 Deeaipci6n
y
aplicac:i6nde modeloe
1~2.1 Modeloe
~\ 8
Ypredktivos
1.2.2.2Modelos estructurados y no estructurados
1.2.2.3Modelos dJstribuidos y tegregados
1.2.2.4Modelos detennlnlsticos estodstlcos
1.2.2.5Modelos continuos y dis<:retos
. Introducci6n
ONTENI O
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6
40
41
5
52
52
9
M
69
71
75
80
88
9
92
98
l Ot
l OS
6
9
116
2.2.3 .2 Mod.loe que deecn'ben Ie inhIbld6n del metabo 'D\o ceJuiar 32
2.2.3 .2 .1 lnhibici6n de (}AI [qpl por producto 32
2.2. 3.2 .2 1nhib1d6n de
[III
y [qpl por .... tr .t< >
2.2.4 EJect<>del metabolWmo end~no eobre Ie dMtica d. ,OICCi6n
2.2.5 ModeJoe deecriplivo. d.• Ie dnftica d••
lnIeeie
de productoe
2. 2.6
EJec ta de 1e'[ormad6n de lubprodudOolltObre a c lJW:tlca de reacci6n
2.3 SiIteJnu fmnentatlvo.
2.3 .1
Sistem .. cerrsdoe
2.3.2 SistelNLSlennentatlvoe a1nertoo
2.3.2 .1 Cullivo continuo de .imple eta
2.3.2.2 Cullivo continuo d. mUltiple eta
2.3.2 .3 Cullivo continuo con retro.liJn ntad6n extt>ma de
biomMa
2.3.3 Sistemas eetn.icerradOl
2.33. 1
Fedbatch con
swnlnis tro conotant t>
de nlltrientt>e
2.3.3 .2 Fedbatch exponendal (cultivo extendido)
2.3.3.3 Fedbatch con alimentact6n en forma de gndient t>
2.4 Transferenda
de oxigeno en
'actOn S
biol6gicoo homogmeo.
2.4.1
Generalidad .. so bre tratisfe ,ncta de oxigeno
2.4.2 Torres de contacto g_liquido
2.4.2.1 CoIU1l\.l\&lbw-bujeadoras
2. 4.2.2
Reacton s Airlift
2.4.3
Reactores
agitadOl
meC4nicaJnentt>
2.4.3.1 EJecta de
Ia
aiNaci6n en el conellQ'lo de potend I
2.4.3.2 Co rrela~ para
lransferencia de
maea
2.5 Transferencta de calor en biorreactores
2.5 .1 Co r r e1oc ione s para lransferenda de calor
3. Bibliograffa
2.2.3.1 Dependenda d. (}AIcon reepocto [
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La predicci6n de eventos basada en el uso de modelos matematicos se esta
convirtiendo en un componente esencial del metoda cientffico que permite
analizar el comportamiento de un fen6meno bajo diversas perspectivas y
condiciones experimentales simulaci6n de bioprocesos basada en modelos
matematicos perrnite ahondar en la comprensi6n de fen6menos complejos
poniendo a prueba las hip6tesis formuladas y visualizando las trayectorias
El uso de herramientas y metod os matematicos para el analisls y la evaluaci6n de
bioprocesos no es una disciplina nueva aunque ciertamente se ha observado un
mayor interes en esta area en las ultimas dos decadas coincidiendo con el arribo
de equipo y programas de c6mputo que facilitan el desarrollo de simuladores al
permitir una rapida visualizaci6n del efecto que diversas variables tienen sobre el
comportamiento y la economta de procesos fermentativos
E steq u io m etria d e la ~ rca ceio n es b io l6 g icas
C initica
d e
re a ccio n e« biol6g icas su sten U u ta en m odelos m a te n u S t ico s d e c re ci m ie n to celu la r
p ro d u cci6 n m et a b o lilo s y d e co n s u m o d e m a te ria le s
B a lance s d e m a ieriales y d e en erg fa en
u
u n o d e lo s d iverso s sislertUlS d e rea cci6 n q u e
fi nalm en te se tra d u cen en ecu acion es d escriptiu a s d e s sistema s b io 1 6 g i C D Sd e re a ccio n
C o rr ela cio n e s exi stentes en tre la s variab les d e operaci6 n y la s velo cid a d es d e transJe ren cia d e
m a s a calo r y m o m en to en re a cto re s b io l6gicos .
Una poderosa herramienta para el analisis cin~tico de procesos para el diseno de
reactores biol6gicos y en general para el diseno y la evaluad6n de bioprocesos 10
constituye la simulacion del comportamiento microbiano dentro de un sistema de
reacd6n simulaci6n esta basada en el conocimiento cuantitativo de:
NTRO u caON
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Es posible abordar el campo del diseflo de bioprocesos apoyandose en la
simulaci6n sustentada en modelos matematicos, sin disponer necesariamente de
simuladores costosos
sofisticados. Este texto pretende introducir allector en una
estrategia de diseno
y
evaluaci6n de procesos empleando modelos cineticos que
describen la producci6n de metabolites como una funci6n del estado fisiol6gico
microbiano, conjuntandolos con modelos de crecimiento, relaciones
estequiometricas
las ecuaciones caracteristicas de diversos sistemas homogeneos
de reaccion con el fin de obtener modelos descriptivos del comportamient6 de la
producci6n de celulas, metabolitos y energta, as como del consume de reactantes
oxigeno en diversos sistemas fermentativos.
Un desarrollo biotecnol6gico comprende varios pasos, y normalmente se inicia con
101busqueda y selecci6n de cepas seguida, usualmente, de la modificaci6n del
genoma mlcrobiano para obtener finalmente, la tepa
la linea celular que posea la
informaci6n genetica de interes para el preceso. Posteriormente, deben definirse
las condiciones ambientales para que el microorganismo exprese a su maxima
capacidad esta informaci6n genetica. Ello implica establecer las condiciones de
operaci6n para el sistema fermentative elegido para el proceso de produccion,
empleando como criterios de tales condiciones los valores de concentraci6n de
producto, productividad rendimiento del metabolito con relaci6n a los insumos
empleados. Esta informaci6n constituira la base para
l
posterior diseno a escala
del equipo principal involucrado
para la evaluaci6n econ6mica del bioproceso.
a experimentaci6n en esta fase del desarrollo consume una gran cantidad de
tiempo y de recursos mcteriales y humanos. En cambio, mediante la simulacion de
bioprocesos, basada en modelos biocineticos, es factible reducir marcadamente la
duracion y el costo de la investigaci6n para desarrollo de un proceso biologico.
El logro de un simulador util para el disei\o y la evaluaci6n de bioprocesos
requiere de modelos matematicos practices suficientemente confiables en las
Areas de la cinetica de reacciones biol6gicas biocinetica)
de los fen6menos de
transporte en biorreactores.
descritas matemliticamente por el modelo bajo condiciones extremas,
incluso
experimentalmente impracticables con resultados a menudo sorprendentes, que
dan mas luz acerca del propio fen6meno y pueden auxiliar en 101modificaci6n de
las
i
p6tesis originales.
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Hyprofl ch LI l1 Cnlga1lj, Albt>rt.r
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III.
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Ra te oc
Hys im
Fida p
OlLm ad
En el area qutmica ha habido un gran avance en el desarrollo de programas de
computaci6n que permiten vislumbrar futuras alternativas para la in genieria de
bioprocesos.
Dentro de estos avances se tiene ya el desarrollo de sistemas expertos
que pueden Ilevar a cabo tareas de diseno evaluar todas las opciones de trabajo
disponibles con la capacidad para generar los diagramas de flujo 6ptimos y
seleccionar el eq uipo mas apropiado para el proceso. EI desarrollo de tales
programas se ha realizado en varias universidades norteamerlcanas con el
financiamiento de importantes consorcios industriales. Tal es el caso de los
sistemas expertos IDEA
Initial
De sig ll a nd
Ecollolllic
Analysis), CAPS
Computer
Aided Pro c ess Syll llzesis) y WISE Was le im mob iliz at io ll S ys tem s
Expert).
Existen
tambien program as comerciales hechos tanto para PC s como para grandes
sistemas de c6mputo elaborados para el diseiio de procesos Y de plantas quimicas;
entre otros estan:
En el campo de la bioingenieria aun persiste una tendencia de trabajo que
mantiene una separaci6n entre la disciplina microbiol6gica
y
la ingenieria. Como
consecuencia se tienen dificultades para la integraci6n de conocimientos en 10 que
se denomina
in gen ieria
de
bioprocesos.
Hasta el momento existe un retraso
irnportante de esta area del conocimiento en comparaci6n con la in gen ie ria de
p ro c eso s e n la in dustria
ql/illlica,
particularmente en la metodologta de trabajo
y
espec:ialmente en
relativo
desarrollo de programas computacionales
espectficos para la simulaci6n de sistemas de reacci6n de biorreactores y de
complejos industriales en el area biotecnol6gica.
ANTECEDENTES
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Como resultado del trabajo intensive de equipos completes de programadores de
compai\ias dedicadas al desarrollo de software principalmente norteamericanas ,
actualmente existen paquetes de simulaci6n para las industrias qulmica
petroqulmica. Algunos de ellos, presuntamente, pueden aplicarse a bioprocesos
por estar suplementados con diversas operaciones unitarias de separaci6n usuales
en la bioindustria. Una de las compaiUasmas importantes en el desarrollo venta
de software para el disefto de procesos industriales, Aspen Technology, anunci6
en 1988 la venta de un simulador de bioprocesos basado en su simulador AFPS
A spen F low sheet Process S imu la to r .
Usualmente, este tipo de compaiuas venden
servicios de asesoria a la industria, haciendo las adaptaciones necesarias al so ftware
basico de acuerdo a los requerimientos especificos de la empresa contratante, de
tal forma que el acceso a este tipo de simuladores es relativamente costoso dado el
grado de complejidad el numero de usuaries, relativamente pequeno, que
demanda. Fundamentalmente, es de utilidad para el desarrollo de nuevos
procesos el disefto de plantas quimicas, aunque tambien puede utilizarse para
mejoramiento de la infraestructura existente en la industria quimica.
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La
soluci6n de las ecuaciones de balance para cada componente, permite obtener
Transje rencia CO li version
ACllmlllaci611
Donde los terminos }...... representan las concentraciones de componentes en el
sistema, reactantes productos, que afectan a la velocidad de reacci6n r .
Generalmente, 105procesos de transferencia
y
conversi6n se comblnan en las
ecuaciones de balance de masa de energla y tienen la forma general:
Los procesos de conversi6n de nutrientes amasa celular, energia y otros productos
de reaccion, se efectUanpor eJ metabolismo microbiano
y
SOD descritos mediante
ecuaciones cineticas que tienen la forma general:
Los procesos de transporte se describen mediante ecuaciones que contienen
terminos de concentraci6n (para transporte a traves de los IImites de un sistema
homogeneo) bien de gradientes de concentraci6n (para transporte en el interior
de un sistema heterogeneo).
Ambos estan descritos mediante ecuaciones de velocidad, de transporte de
conversion, respectlvamente. Para definir los procesos de transferencia es
necesario definir previamente,
sistema
y
sus limites. Dichos procesos definen la
transferencia de masa
energia entre el medio ambiente
y
el sistema. n un
proceso fermentativo se lleva a cabo la transferencia de nutrientes hacia el sistema,
y de metabolitos y energla hacia el entorno.
Pro c e so s d e t ra n sf orma c i6n Conversion
En un reactor biol6gico se Ilevan a cabo una serle de procesos, los cuales en su
interacci6n determinan eJ comportamiento de la fermentaci6n. Tales procesos
pueden dividirse en dos c1ases:
Procesos
transfo rencill T renspor te
1.2.1 Modelos,
un
vlsi6n general
1.2 MODELOS MATE MATICOS Y SIMULADORES DE PROCESOS
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Por otra parte, un modelo
predictivo
permite su utilizacion bajo condiciones
distintas a las experimentales
extrapolacion ,
Usualmente, este tipo de modelo
considera algunos mecanismos de funcionamiento del microorganismo sus
constantes poseen significado fisico
biol6gico modelos de induccion-represion
de Gad Yagil .
Un modelo desc r ipi iuo de un sistema, solo da informaci6n del comportamiento de
este dehtro de los limites experimentales bajo los cuales fue obtenido y no hay
garantia de que el modelo sea valido en condiciones diferentes a las
experimentales. Generalmente, el modelo procede de un ajuste de resultados
experimentales a algun tipo de curva y permite la interpolacion, mas no la
extrapolacion.
2 2 Modelos descriptiuos y predictivos
Un modelo puede pertenecer a mas de una clase. Por ejemplo eJ modelo logistico
es matematico, descriptivo, no estructurado, determintstico y continuo.
Segregado
ist r il uid o
Discrete
ontinuo
Estocasti coD ele rmin ist ico
No estruc tu rad o
strllc turado
Pred ic tivoesc r ip tiv e
Las diversas clases de modelos matematicos existentes pueden agruparse en pares
contrastantes:
1.22 Descripcion y aplicacton de modelos
un conjunto de expresiones que describen la variaci6n de la concentraci6n de cada
uno de los componentes del sistema, como una unci6n de las variables de
operaci6n que afectan al sistema de reacci6n. Dependiendo del tipo de sistema y
de las condiciones de proceso, se obtienen soluciones para procesos transitorios
dcjdt . 0 en estado de equilibrio dtnamico dcjdt 0 .
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7
La gran mayorfa de los modelos utilizados en microbiologia son determinis ti cos
Tales modelos son aplicables cuando se manejan poblaciones con un gran ntimero
de individuos.
se trabaja con poblaciones pequenas, las diferencias entre
organismos pueden tener tal influencia en el comportamiento general de la
poblaci6n que se requiere recurrir a terminos probabilfsticos para describir su
variaci6n. En este caso se estarfa manejando un modelo
esto isti co
2 2 4Modelos detenninisticos y estocasticos
Un modelo segreg do considera a ruimero de celulas como una variable que
describe a la cantidad de biomasa, en tanto que uno distribuido maneja terminos de
concentraci6n celular como si estas celulas se encontrasen disueltas en el medio de
cultivo,
En biologla, las celulas han de considerarse como unidades discretas. Sin embargo,
en un gran numero de modelos tal naturaleza discreta no es tomada en
consideraci6n
una poblaci6n celular en un cultivo es considerada como
homogenea.
2 2 3Modelos distribuidos y segregados
Los modelos estructur dos
com p rt menttdiz dos toman en consideraci6n la
estructura interna de la celula, en tanto que los no estructurados no 10 hacen. Dado
que una poblaci6n celular cambia su composici6n macromolecular RNA, DNA,
proteinas, materiales de reserva, enzimas, etc. como una respuesta a cam bios
ambientales, es de esperarse que un modelo no esiruciurado presente fallas al tratar
de describir un proceso fermentativo transitorio en el que las condiciones
ambientales se modifican en el tiempo, y con ello la velocidad de sintesis y la
concentraci6n de los diversos componentes que constituyen la biomasa. Dada la
complejidad estructural de una celula, no es posible definirla sino
superficialmente, por 10 que es cornun considerar en. el modelo 5610 un numero
relativamente pequeno de componentes clave.
2 2 2 Modelos estructurados
y
estructurados
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8
Los m odelo s
son
lIerram ienta s conceptu ales allxiliares en la in te rp reta ci6rl de m ecanism os
biol6g ic os P u ed m u tilizarse para ID pre diccion de com porlamienlos en situaciones
no
experimentadas 10 que define situ acio nes criticas llacia
dmu fe
se della diri gir la
investigaci 6n
U n modelo l lidJ do es una gur uti l para tl d iseno y la operaci6n d e b io pr oc es os
G ener alm ente se busca una co rr elD ci6 n m alcm 6tica
m r
s varia bles de operaci6n
y
el
comporta m ienlo del proceso para encontrar 5 oplim iza ci 6n
EI desarrollo de un m odelo perm ite de una m anera sis tem atica estudiar el com portam iento
de s is temas espedficos para lo s cualesexis ie info rm acio n teoric a experim enta l
£ uso de m odelo s oblign al microbiclogo a se r m as rig uroso en sus planieam ientos y
definiciones Term inos com o rendim ientos velocidades de consum o etc deben ex presarse
m atem atica m ente de la l fo rm a que
exista nillguna am higiiedad en
su
si gnificado
Un modelo puede definirse como una especificaci6n matematica de las
lnterrelaciones entre las diferentes partes de un sistema Tal especificaci6ntoma
generalmente la forma de un conjunto de ecuaciones que cumplen con los
siguientes prop6sitos:
1 2 3 Prop6sitos de los modelos matemiticos en microbiologia
En los modelos continuos las variables cambian continuamente Aunque muchos
sistemas biol6gicosson discretos al manejarseuna gran cantidad de indivlduos en
una poblaci6n ocurre una dispersi6n de eventos en el tiempo por ejemplo la
multiplicaci6n celular 10que permite considerar al fen6menocomosi ocurriese de
manera continua
2 2 5 Modelos continuos Y
discretos
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9
Un modele matem<\ticopuede estar constituido por un complejo de ecuaciones de
diversa indole. soluci6n a este complejo consiste en convertirlo en correlaciones
f licilesde visuaJizar y manipular.
soluci6n puede ser de naturaleza analltica,
nurnerica, y debe relacionar explidtamente a las variab le s c /e pe nd ientes respuesta
del sistema) con las variab les controlables variables de diseno de operaci6n). En el
esquema siguiente se muestran las principales variables que intervienen en un
modelo de biorreactor y que puede manejarse como un sistema fr rmen ta tiv o un ii ario
o descomponerse en
sl~bsis temas
con el fin de simplificar la soluci6n del modele
para realizar el analisis del proceso. .
1.2.5 Soluci6n
los modelos miltematic08
La ensenanza del diseno la evaluaci6n de procesos, mediante el uso de
simuladores basados en modelos matematicos, presenta algunas ventajas. En
disciplinas como la ingenierfa, es importante que el alumno sea capaz de observar
la repercusi6n economica causada por la modificad6n del equipo, de sus
variables de operaci6n. Mediante la simulaci6n pueden predecirse tales efectos. EI
simple conocimiento de los fundamentos te6ricos y de la metodologia de calculo,
es a menudo insuficiente para que un estudiante de ingenieria, un ingeniero con
poca experiencia, pueda emitir juicios de valor para seleccionar las condiciones
que mas favorezcan a la economla de un proceso. Un simulador permite evaluarlo
despues de haberlo sometido a un exhaustivo analisis bajo las mas variadas
condiciones.
1.2.4 EI empleo de model os matematicos en la ensenanza de
ingenieria
L a
fa dlidad de manejo marem4l ico d el romp le jo o b ten ida a l s er c om b in ado el mod e lo c in n ic o
con o tto a mjunJo de ecua c ic n es que inJegran e l modelo gen era l d e un
p r o e s o
L a p re cis io n de l modelo en la descripcion de un a lT a ye ctoriJl
cinnic
La facil id ad de Ob lC ll ci6nde sus con stan tes pa rti e lido d e la teorla q ue Ie su slenla
de da tos
expe rimen ta le s
utilidad de un modelo clnetico depende de varios criterios:
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Mas que por la carencia de inodelos este analisis puede estar limitado por las
herramientas matematicasdisponibles para la soluci6n del complejode ecuaciones
t formalismc matem diico
y
mitodos matem ti ti cos . Usualmenteentre mas complejaes la
descripci6nmatematica de un proceso mayores dificultades presenta su soluci6n
Por
10
tanto el exito del analisisde procesosradica en la capacidad para definir un
problema con un grade de detalle sufidente que permita resolver el complejo
matematico y describir el comportamiento del sistema subsistema con una
precisi6n aceptabJe evitando que eJ exceso de detalles nos lIeve a un conjunto
irresoluble de ecuaciones D M Himmelblau y KB Bischoffen su texto Process
atU1 lysisand simulation justamente mencionan: Tiene escasomeritoel hallazgo de
u na so lu ao n a na litica fo rm al a lin problema,
obsta nte 10ele gante que esta pu diera ser, si
se dificu lta la obtencia ll de numero» por lo s problem as que presenia su tr a iam iento
maiemdtico .
V
ARlABLES QUE INTERVII NEN EN UN SISl1 MA FERMENTAnvo UNITARlO
Varlabus colltrolables
Variables depelldielltes
VariAblesdedl etIo
C
Concentradon
de
inhibidores
lI\~tab6 UC OS
T Ip o de reactor
E
Ccncentrec ien
de materia) celular
onffgurad n
geomelrica
del eeeetee
L
C
Concentrad6n de oxigeno disue1to
Tlpo d.
<ll u
C
Conccntrac16n
de
productoe
0 ... YRUm erode lUlb inas
C
Con«ntraci6n de
reectantes
51st.. . d . enfrlam len .
pI
Area de transiereneia de calor
E
C
TempetatufiL1 de operad6 n
C
TensSO n uper L c -l a 1
B
Vi9cosidad
VariAbles
k
operaciDtr
C
VariAblesambienblles
CoaIposlcl6n del
fluJo
d. allm tac 6n
Aujo de ktdoo Jeali
R
fr
Au;o de ague d~ wriamiento
R
VariAblesfl iol6giCAS
fl \1jo de a ir e
E
C
Composici6 n
de
la
bicmesa
Flujo
de
aUmenlad n ~
nulnentes
A
C
Ve1 ddad de c:orwumo de odgeno
T...
de
t\'IfOOIlm taci6n d. b_
C
VeJex:id.3 d de COn:um1 )de reactant ,
Ternpe:ratuR
de l
agu. a de
mfriuniento
T
Veloddad de aedJniento
Velocided d. agitaci6n
C
veloddad d. iounaci6n de preductos
VoIumm
del
reactor
R
C
Veloddad
de
gf ne1aef6n de calor
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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11
Los metodos numericos se basan en el concepto de diferencias finitas que permite
dos vias de utilizaci6n. Por un lado, una ecuaci6n diferencial puede integrarse
numericamente calculando los valores de la funci6n en valores discretos
bien, un
conjunto finito de valores experimentales, puede ser numericamente diferenciado
o integrado. Estos y otros metodos del arsenal matematico que se emplea en el
diseno de bioprocesos por simulacion, se resumen en el siguiente listado.
Para simular un proceso real, es necesario expresarlo previamente en terminos
matematicos. Usualmente se plantea como un conjunto de ecuaciones algebraicas
diferenciales. Para su soluci6n es necesario investigar, calcular
en Ultima
instancia, determinar experimentalmente el valor de las constantes que intervienen
en cada una de las ecuaciones del conjunto. Para estimar el valor de estas
constantes, construir el modelo, analizar y evaluar las soluciones generadas por
este s;/llulacioll , habitualmente es necesario emplear equipo de c6mputo y una
gran diversidad de herramientas matematicas simb6licas y numericas que van
desde_ la teorta de las ecuaciones algebraicas a los metodos de solud6n de
ecuaciones diferenciales, pasando por el calculo matricial, Los modelos
matematicos mas comunes que se manejan en las areas de ingenieria y clencias,
usualmente se plantean en forma de ecuaciones diferendales.
dinamica de los
sistemas ftsicos que tienen una variable independiente puede modelarse mediante
ecu ciones diferenci les ordin ries Aquellos que tienen dos
mas variables
independientes se expresan en forma de
ecu c ion e s d if or enc i e s
p rci les Varios
tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y algunas parciales tienen solud6n
analltica. Sin embargo, la gran mayorla de ellas, particularmente las no lineales y
las que involucran sistemas de ecuaciones diferenciales interdependientes,
requieren metod os numericos para su soluci6n. Un sistema de ecuaciones
diferenciales puede transformarse en una ecuaci6n unitaria de orden mayor,
aunque a menudo resulta extremadamente compleja su solud6n analftica .
1.3 HERRAMIENTAS MATEMATICAS mILES EN SIMULACl6N
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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Metodo de Euler
Metodo de Taylor
Metodo de Heun
Mctodos de Runge Kutta y Runge Kutta Fehlberg
M~todo de Adams Bashforl
SoLUC I N NUM ERIC
DE
ECU QONES
DIF ERENCt LES
ORDlN RI S
.Extrapolation de Richardson
F6rmulas de Newton Cotes
M~todo d. Simpson
Integrad6n d. Romberg
Cuadratura geusstana
D IF ERENCt C I N E lNTEGR OON NUMERIC S
M€todos
interpolaci n y aproximaci n po lin mica
Polinomios de Taylor
olinomio interpolante de lagrange
Ecuati6n de diferenda regresiv de Newton
Ecuati6n de Stirling
Interpolaci6n de Hermite
Soluci n polinomios
M~todo de MiiIler
Metoda de Homer
S olu ci n d e ecuaciones una va riable
M~todo de bisecci6n
Metodo de Newton Raphson
etodos de
solucion
de
ecuaciones cuadratices cubicas
y
cuarticas
etc
etodos m airici ale s para la soluci n un sistem a de ecuaciones lineales
Solud6n por I. regia de Cramer
Solud6n por eliminad6n gaussiana
Solud6n por eliminati6n de Gauss Jordan
Solution mediante la matriz de Hilbert
Soluti6n mediante el metodo iterative de Gauss Seidel
ECU CIONES LCEBR IC S
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Para tener finalmente un simulador es necesario que la soluci6n matematica sea
traducida a un programa de calculo
software
capaz de generar los resultados
graficos
numericos del modelo empleando micro
minicomputadoras
h ardware .
Para la escritura del programa puede recurrirse a diversos lenguajes
de programaci6n Pasc al, Basic, Fortran , C etc. hojas de calculo Exre l, Lohl5
Q uat /To, etc. bien puede emplearse so ftware matematico de alto ruvel que
incorpora como
su rutin s
muchas de las funciones anteriormente mencionadas
Transformadas de Fourier
Transformadas de Laplace
Transformadas de Mellin
Transformadas de Hankel
M ero oos
E S PE C IA I E S P A R A L A S O LU C lO N A N A U nC A D E E CU A O O NE S D IF ER EN O A LES
Solu cion es q ue se ex presan en terminos de
FunciOn error gaUSl;iana
Funci6n gamma de Euler.
FunciOn beta de Euler
Funci6n integral exponencial
Funciones poligamma
Funciones de Bessel
Funciones Riemann·Siegel
Funci6n zeta de Hurwitz
Funciones de Ajry
Funciones hipergeometrtcas
M etodos
so lu cion
pu r s ri s
Polinomios de Legendre
Polinomios de Laguerre
Polinomios d Gcgenbauer
Polinomios de Chebyshev.
Polinomios de Jacobi
SoLU O O N D E EC U A O ON ES IN TE GR AU S Y DlFERIlNC IA U S OR A PR O X M A C IO N
M~todo de Adems-Moulton
M~todo de Milne
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14
Maple
Matllematica .
Estos ultimos simplifican enormemente la visualizaci6n del
comportamiento de un modelo ya que pueden utilizarse directamente los
m6duJos matematicos que integran el paquete de calculo
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(13ioingenierfaes] e l usa de la in genieria y de lo s principias biolog ic os p ar a la
iden ti ficaci6n
de
lasfim ciones
de
sistemas
tr iv os y
para el desarrollo
de
dispositivos
terapeuna» , espeoalmente paries
sis tem as corporales,artificia le s
1992: (Microsoft Books.helf)
1981:EFB(EuropeM Pede.allan of Biotechnology)
Definida de una manera mas restrictiva, (la biotecno ogia implica] el uso
in te grad; de la bioquim ica , de la m icroblologia y la ingenieria para lograr fa
apli eaci6 n teenol6gica de las capacidadesm elab6licas de m ic roorganismos, c:ilu la s
y
lejidos cu ltiuados,
de
componenies.
982:OBoe (Organlwtlon for EconomicCooperation and Development)
[Biotecnologta es] la ap licaeion de princip ios cie n tif icos y de in genieria para el
p rocesa m ie nto de materiales par agenles b iol6g icoscon el fin. de producir bienes y
seroicios
[Biotecnologla es]
/a a plicacio ll de la bioq ll m ie a , la m icrob iotogia y la ingenieria
quim ica al media ambien le, n sf com o a procesosy productos industriales il lc luldos
lo s
energeti cos,
la s
productas para el cu idado de sa lud y para la agr icultura},
9 : iUPAC (Int ,Uonal Union of PUn> an d Applied Chemi.try)
Aun cuando el ermino bio tecnoiog ia es de factura relativamente reciente, tanto los
conceptos implfcitos en ~I, como las areas de incidenda e incluso parte de la
metodologia que utiliza, hist6ricamente han quedado comprendidas dentro de
disdplinas tales
C 11\ O
la microbiologia industr ia l, la te cnologi«
de
enzim as
y
la
leol g ia
de
ferm en ta ciones.
Para la
biotecnolo gia
existen infinJdad de definiclones,
no asl para la
bio inge1lierla.
A esta Ultima a menudo se Ie restnnge
l
ambito
btomedico
SES DE IOINGENIERi P R EL DISENO DE
PROCESOS
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De acuerdo a
anterior la
bioingenieri
podria definirse como
el
uso
integmdo
de
con_ocimientosy h er ram ie nta s m eiodo lo gic as de In b ioquhnic a , microbiolo gia, compu tacion e
ingenieri quimic p r el
diseiio
y l ev lu cioll d e
bioprocesos . EI grade de
complejidad que esto encierra hace necesario que el diseiio la evaluaci6n se
aborden con el auxilio de una de las herramientas mas poderosas que existen en el
Definicion de las operaci ones p revias a la fermen ta cio n upstream proces sin g)
y
de las
corresp ondientes a la recuperation y puriJ icacion del p roduclo downstream processing)
que esta n comp rendidas dentr o del bio p roceso .
Analisis econOmico .
D isello de biorreacto res .
Diseiio de l s is tema
de
reaccion.
DESARROLLO DE BIOPROCESOS BIO INCENI£RlA
Ma.nipu/aci6n geneli ea para l ob lenei6 n de c e p s de l neas celu la res de alta p roduccio n.
E valuaci 6n y selecdon de cepas
de Uneas celuiare s,
lnveslig acion de cond icio nes de producdon
y andlisis cinet ico
del
p roceso
para una posterior
defin ic io n d el si stema d e r ea cdon.
ln vestigadon de meto dolog ia de recuperad6n y purifica ciO n de b iop roductos.
DESARROLLO 8101eCNOL6G lco
Con e prop6sito de aclarar terminos Y5610con fines dtdacticos pueden definirse
ambos terminos de acuerdo a sus competencias. Para ella se agrupan las
actividades necesarias para lograr la ap licacio n. tecnologica de las pote ncinlidades
biologicas celulares en dos conjuntos secuenciaJes uno de la competencia de la
bioiecnologia
y
otro de la bioingenieria.
Ni estas ni otras definiciones son de aceptaci6n general. A menudo se confunde a
la bio te cnologia con la in genieria genetic« identificandola con la manipulacion
genetica de microorganismos celulas animales 0 vegetales para producir razas
nuevas. Aunque estrictamente esta ultima constituye s610una de las disciplinas
que intervienen en la biotecnologia. A la
bioingenie ri
frecuentemente se Ie identifica
con el disei\o
y
escalamiento de bioprocesos.
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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Estos tres factores son criterios fundamentales para el disello y eualuacion de
procesos fermentatiuos.
alto
rendimiento
c ficicllcia
co nversion de materia s p rimo s
a
productos}
El impacto econ6mico de cada uno de ellos dependera de la clase de producto que
se pretenda obtener. En el caso de productos de bajo valor agregado, por ejemplo:
proteina unicelular SCP tratamiento de aguas residuales,
la
fermentaci6n
representa la parte medular del costo total por el consumo de energla para la
eliminaci6n de calor
para la transferencia de masa, si se trata de procesos
aerobios. En cambio, en la produccion de etanol, el consumo de energia para la
recuperaci6n del producto es el que rob seriamente afecta 1a economia del
proceso, por 10que resulta conveniente recurrir al disefto de procesos tntegrados
de producci6n recuperaci6n simultanea. 5i se trata de producir roetabolitos de
alta pureza utilizando usualmente cepas recombinantes , su recuperacion,
purificaci6n son las que rob gravitan en el costo global del proceso. Cualquiera
que sea el caso, es posible reducir el costo de recuperaci6n si aumenta la
concentraci6n de prod ucto en la mezcla de reacci6n. Por ello, el objetivo del diseno
de bioprocesos constste en encontrar las condiciones de producci6n en donde se
obtenga:
lt concentrecion
producto
lt
producHlJldad oeloddad
vo umitric
produccion
Recuperacion
purijicaci6n pr oductos downstream processing
Como se mencion6, en un proceso fermentativo existen diversos subprocesos que
se agrupan en:
Preparaci sn
malerias primas fo rmutaci6n
y
ester iliz.aci6 n
de
mostos upstream
processing
Fmnentadon
area de las ciencias:
In simulnci6n
b ioprocesos bllSlldaen rno los matem6tico s.
Para
hacer uso de esta herramienta es necesario lener informaci6n suficiente sobre
es iequiome tr ia d e reacd ones biologicas bioci ll etica s is temas reaccion transfrrencia
l asll
ca lor
momenta
en
reactores biol 6glcos.
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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18
cada uno de los componentes.
COM POSIOON EI.EM£NT A l D E M ICROQRCANISMOS
Elemmto £1 dm s
Lev aduras y oll 80S
I J
lCl£ I
J
IC /£ J
Carbono
,. [Clmin.
47.0 44.0
,. [C1m ;1x.
53.0
S
NItr6gcno
,. [N]rnin.
12.0
3.9 7.5 5.9
,. [N ]m ;1 x.
14.0
8 11.0 4 5
FOsforo
,. [Pjmin.
1.5 31 .3 1.0 44.0
r [P m ;1x.
2.0 26 ..5 1 .5
33 _1
Polasio
[K rnin .
1 .S 31 .3
1.5
29.3
[K Q \dx.
2 S
21 .2
2.0
25.0
M ugnesi o
,. [M gJrnin.
0.1
470.0 0.1
440.0
[M glm ax.
0.3 76 .7 0.3 166.7
AlNfre
[S mln.
0.300
56 .7
0.3 1
46 .7
,. [S m ax.
0.600
78.3
0.60
73.3
Oligoelementos
,. [Cal
0.100 470
O.lO
440.0
[Fe
oms 3133
[Mn]
0.005 9400
,. [Zn
0.005 9400
[Co)
0.001
47000
,. [M o
0.001 47000
En
un proceso fermentativo, los reactantes se convierten, por acdon microbiana, en
una mezcla de productos de reacci6n. 5i la poblaci6n celuJar se mantiene estatica sin
crecimiento , funcionando 5610 como biocatallzador de la reacci6n; unicamentc se
requiere formular la mezcla de reactantes considerando la estequiometrla de la
bioconversi6n. En caso de existir crecimiento, debe considerarse la fracci6n de
reactantes que se convierten en biomasa, asi como la parte de la fuente de energia
utilizada para e metabolismo celular end6geno.
Cuando e producto de reacci6n es la propia biomasa 0 bien, algun components
intraceluJar 0 secretado que no represente una fracci6n masa importante enzimas,
vitaminas, peptidos, etc. , el medio de cultivo se formula a partir de la composici6n
del propio material celular, considerando los rendimientos correspondientes para
2.1 ESTEQUlOMETRiA DE REACCIONES BIOL6GlCAS
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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19
Yg
YcfC/s /[C/x ;
C/ x
0 52 gC/ geel
RENDIMIENTOSCELULARESMAxIMOS
Sustrato FOrnwia
PM ls }
Valor te rico Valorexperimental
Bact
Lev.
IY gI
Y g
IYgI
Dodecano
C
12
H
U
170 0.847
1.07 1.03
Metano CH4 16 0.750 0.95 0.56 1.01
Etanol
~H60
46 0.522 0.66 0.49 0.68
Glucose
C
6
H
12
0
6
8
0.400 0.50 0.38.0.4 0.51
Metanol CH
4
0
32
0.375
0.48 0.48
Disacarido
l2
H O 342 0.421
0.53
.46
GUcerol C3Hs03
0.391
0.50 0.45
Hexane
C6H]4
86
0.837
1.06
Lecteto
C3Hs03
89 0.404 0.51 0.18
En este caso el rendimiento celular basado en el carbone de sustrato [Cs que se
incorpora a la biomasa como carbono celular
sera de
0 6 6
gCdgCs
Yc
independientemente de IIIfuente de carbonoque se utilice.
Sobre esta base es factible calcular el rendimiento te6rico celular maximo que se
esperaria para cualquier fuente de carbono biodegradable conociendo las
fraccionesde carbono n el materialcelular C/ x y en el sustrato C/ s.
0 66
Cccl
0 34
CC02
suslr to
2.1.1.1Rendimieuto celular Yg
Si se considera un proceso aerobic donde no se tienen desviaciones del
metabolismo celular y no hay acumulactonmasiva de metabolites se
tendra
una
estequiometria simple de reaccion:
2.1.1Estimad6n de rendimientos teoricos
En procesos fermentativos en donde no
h y desviacionen el metabolismo aerobic
y no se presenta acumulaci6n importante de subproductos la fracci6nde carbono
del sustrato que se incorpora a la masa celular es aproximadamente del
66 ;
el
resto se convierte en C~. Considerando que el resto de los nutrientes se
incorporan fntegramente a la biornasa
n
el medic
cultivo debera haber un
exceso
carbono comosustrato para que se mantenga
balanceado
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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2
1. Existe una relaci6n estequiometnca entre la cantidad de O2 que se consume
por combusti6n de una substancia y el grado de reducci6n de la misma. En
general se tiene establecido que por cada mol de O2consumido en la reacci6n
de oxidaci6n se Iiberan aproximadamente 112 Kcal.
Por otra parte considerando el valor de 26 5 kcal por electr6n disponible
ave que es la carttidad de energia liberada por la transferencia de un electr6n
equivalente del sustrato reducido al cxtgeno y estimando el numero de
electrones disponibles de los atomos de carbonof4] lridrogenofl ] origello [ 2j y
nitrogcllo[ 3j en el sustra to t re 11lJas° ell producio s se puede lambiell caJcular el
calor de combusti6n respectivo. En este Ultimo caso los valores son
ligeramente menores a los obtenidos considerando el oxigeno consumido
en
la reacci6n de oxidaci6n del compuesto.
Durante una fermentaci6n una parte del contenido energ~tico del sustrato se
libera como calor y otra queda alma.cenadaen los productos de reacci6n. Conocido
contenido energetico de la fuente de carbono de los productos de la reacci6n
es pos ble estimar la cantidad de energia que se Iibera durante la fermentaci6n por
oxidaci6n biol6gica del sustrato. Sobre esta base pueden calcularse los valores del
calor de combusti6n del sustrato Mis- celulas AHc
productos AHp.
21.1.2
en imieuto
calorico Ykg
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
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CALOR DECOMBUsnON DESUSTRATO
erpresado
en
kCQl jmoi .
lJ H S J
Calculc besado en el ~ alIlSUDlidon I. r.aa:HIn [112kaI/mol 0,1
l1 H5
C61 cu lo
basedo
en Latnergla de 1 I t _ I e < : t r o n a s dlsponiblet
[2 6 .05 kc ..
I/ .v e· »)
Su strato Reacci6nd. oridaci6n lJ.RS l
ftXpJ lJ .HS2
fave
ct no
CH4 2 2
~
C~+~O
224 212.8 208.4
Etanol
C2H60+~
~
2C02+3H20
33 6 326 5
312.6 12
lucosa
C6HI206+~
~
6C02 6H20
672 673 625.2 24
Metanol
2CH40+~
~
2C02+4H20
168 173.7 156.3
6
Maltos a
C12H22011+12~
~
12C~+llH20
13 4
135
1250 48
G ltcercl
~Hs03+3.~
~
3C02+4~O
392 397.8
36 4 7
14
H eseno
2C6HI4+190z
~
12C~+l4H20 106l
98 9 9
8
Cidohesano
2~H12+18~
~
12C0z.+12H2O 1008 937.8
36
A c.. t tatu
C2H.~+2~
~
2C02+2H20
224 208.6
20U 8
UClalQ
2~H50:l+5~
~
6C02+SH2O
8
32 6
286 S
11
Ptrvvato
~H.0:l 2.~
~
3C02+2H2O
28
28 26 5
10
Isopropanol
C3H80+4.~
~
3C02+4H20
S O t
468.9
18
fo nru> ldclU do
CHP+~
~
C~+~O
112
134.1 104.2 4
A<» taldeh ldo
CzH40+2.~
~
2CQ2+2~O
28
278.8 260.5 2
Tanarlco
C4H606+2.~
~
C02+3H2O
28
275.1 260.5 10
M al :j c O
C.H.O.+302
~
4C02+2H2O
33 6
320.1 312.6 12
uctinico
C4H604+3.~
4C02+3H20 392 30 7.1
364 7
14
FumA rico
C41- 404 ~
4C02+2H20
33 6
320 312.6
12
xu
C5HI00s+~
~
SC02+5H20
56
561.5 521 20
Calactosa
C~1206+~
~
6C02~H20
672
67 7
625.2 24
Ram nosa
C6HI20s+6·502
~ 6H20
72 8
718.3 677.3
26
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se obtiene finalmente:
Rendimiento calorico
iX I
liH -
Y k
=
[dx/dtJ/dq/dtl
YpxYxs= Yps
AX S Yxs~ [dx/dtj/[ds/dtj Rendimiento celular
liPlAX ~ Y
= [dp/
dtll
[dx/
dt] Rendimiento de producto
Definiendo los t~rminos:
Dividiendo entre AX:
En un proceso de combusti6n biol6gica de la fuente de carbone, se tiene la
siguiente estequiomebia de reacci6n.
CALOR DECOMSusnON DEcELULAS
P M
EsUquiolmtria thla comltusti n de ilul s
IJ Hc lo.Vg<vI
1 J . 7 [e] [H)I.66 [N)O. 1 J 1.280roh
CO 2 O.looN2 O.83H
z
O
6.37
22.5 [e] [H ll.i8 [NIO .U 1.280[Oh
C O Z O . l 1 J N Z O.89H2O
5.86
23 .7
[e]
[H)I.74 [N)O .22
1.22O [Oh
CO
2
O.110N
Z
O.87H
z
O
5.30
24.0 [e] [H)l.82 [N]0 .19 1.22O [Oh
C O Z
0.095N
2
0.91 H
2
O 5.23
25.6 [e] [H)I.84 [NJO .20 1.l80 [0] z
CO2 O.loo N
0.92H
O -1.75
23.9 [e] [H]1.82 [N )O.19 1.225[Oh
CO2 0.095N2 0.91 H2O
3.28
25.5 [e] [H ]1.84 [N)O .2O 1.183 [Oh
CO2 O.looN2 O.92H
O
4.79
226 [e] [H )l.40 [NJO.20 1.150 [Oh
CO
2
O lo oN Z O.70H2O 5.24
22.3
[e]
[H )l.43 [N)O .14 1.140[Oh
C O z
O.070N2 O.72H2O 5.27
22.8
[e] [H )l.6 0 [N IO .2O 1.2OO[Oh
C O z O 1O O N Z O 8 H Z O
5.42
24.1 [e] [H)l.77 [NIO .11 1.170[O h
CO
2
O 5SN Z O.89H z O
5.00
Notas: Las formulas minima. p r biomosa se tomaron de Atkimon y col. (1 983)
Seconstdera un contenido de cenizas de18.0 ,.
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Finalmente, el rendimiento de 2 Y028puede estimarse estequiometricamente a
partir de la liberacion de 112kcal/mol O
consumido en la combustion, Y
o
dado
que:
2 3Rendimieuto de oxigeno
~
Determinado el rendimiento celular Yxs
conocidos los valores del calor de
combustion de reactantes productos, es posible estimar el valor de Y
x
A partir
de este valor, se puede determinar la velocidad de generaci6n de calor por
fermentaci6n dq/ dt en cualquier estado fisiol6gicocelular.
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24
EsnMAa0N DERENDIM ENTOSTE0RlCOS: CELULAR (Yg) CAL0RlCO Ykg) Y DEOXICENO YO,g)
dHc - 5.7
kcal/ gc
Yk e 3.5
kcal
g02
kcaVg
o
tUi
Organisttlo
Sustrato Rea l
Y-,*
¥
Yo, Yo,
Calc.
Cal c.
real 0
Calc.
real 0
Cal c.
3.48 Bacteria
Acetato
0.36
0.25
0.8 8
3.74
Bacteria Glucosa
0.51
0.6 1 2.15
5.43
Bacteria M,etanol 0.40
0.13 0.44
7.10 Bacteria Etanol
0.68
0.21 0.7 4
8.40 Bacteria lsoprcpanol
0.4 3
0.07 0.25
13.30
Bacteria Metano
0.62 0.06 0.22
3.95 Aatrog tnes Maltosa 0.46
0.40 0.35 1 .50 1.21
3.73 Aatrog tnes
Fructosa
0.4 2 0.39 0.3 1 1 .46 1.10
3.74
Aatrogtnes Glucosa
0.40 0.30
0.27
1.11 0.96
3.74
C .
utilis
Glucosa
0.51 0.35 0.61 1.3 2 2.15
3.74 P.
chrysogenum
Glucosa
0.43 0.36 0.33 1 .3 5 1.1 7
3.74
Ps. f 'ores cm s
Glucosa 0.38 0.23
0.24 0 .85 0.85
3 .74
Rh. spheroides Glucosa
0.45 0.39 0.38 1 .46
1.34
3.74 S.ce reuisiae
Glucosa
0.50
0.2 6 0.56 0 .97 l n
4.32 A.atrogenes Glicerol
0.4 5 0.26 0.26 0 .9 7 0.90
3.66 A.atrogenes Lactate
0.18 0.10 0.07 0 .37 0.2 4
3 .1 8 Aatrogtnes Piruvato 0.20 0.1 3 0.10 0 .48 0.34
3 .48 A
aerogtnes
Acetate
0.18
0.08 0.07 0 .31 0.26
3 .48 C. utilis Acetato
0.36 0.19
0.25
0 .70 0.88
3.48
Ps. J luorescms Acetate
0.28 0.12 0.15 0 .46 0.52
7 .1 0 C . uti lis Etanol 0.68 0.16 0.21 0 .61 0.74
7 .1 0
Ps. Jl uoresct 1lS Etanol
0.4 9 0.11 0.11 0 .4 2 0.40
5.43
Klebsiel la
Metanol
0.38
0.1 5 0.12 0 .56 0.4 1
5.43 Methylomonas Metanol 0.48
0.14
0.18 0 .53 0.6 2
5.43
Pseudomonas Metanol
0.4 1 0.12 0.13 0 .4 4 0.4 6
13.30 Methyloco cc us Metano 1.01 0.08 0.13
0 29
0.4 7
13.30 Pseudomonas Metano 0.80 0.05 0.09
0.20
0.3 2
13.30
Pseudomonas
Metana
0.50 0.05 0.05 0 .1 9 0.17
13.30
Ps. methanic a
Metano 0.56
0.0 5 0.06 0.1 7 0.1 9
0)
leo velcresde ..... co l lD\MS es dt.dos pee N.ga~S. (1979)
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2S
Cuando se busca la acumulaci6n de algUn metabolito, se provoca el desbalanceo
del medio de acuerdo con la estequiometria de la reaccicn: en estos cases, los
medics se formulan con relaciones IC/E) mucho mayores que las mencionadas
anteriormenle.
Elemento
Peso
R.Jad6n
[E J
[MP) Molecular [F IS [MPfLactJ
Wg)
Wg)
C
Lactose
342
0.42
N
(NH4)~4
132 0.21 0.26t 6 [N)Y(5)
p
K2HPO.
174 0.18
0.0466
[P
y [ 1 <
K
K1HPO.
174 0.45 0.0245
Mg
MgS04·7(H2O) 246 0.10 0.0170
5
(NH4)~4
132 0.24 0.0140
[MP/Lact) = [C/Lact}/{[C/Ej[E/MPll
Empleando las materias primas descritas en la tabla siguiente, el medio quedaria
formuJado como se indica en la ultima columna, estimando la relaci6n de cada una
de las materias primas [MP)con respecto a la fuente de carbona como:
Elemento [E) C N
P
K
Mg
S
YoGi
Compcsicion cclular
50
10 1.5 2.0 0.3 0.6 0.1
fN C /P
K
OMg
C I S
C/~
Relad6n [C/E] en all.
5.0
33
25
83 500
Relacion [C/E) en M.e.
7.5
50 38 251
125
750
• Considcrando paTa 1 mcdio de cultivo [M.e). un exceso del 50 en Ia fuenle de carbono para CO2
que es el Unico subproduclo de Ja reacd6n que 10 contiene,
Considerando la produccion de biomasa a partir de un microorganismo con la
siguiente composicion elemental:
E)EMPLO
DE FORMUL CION DE UN MEDIO DE CULllVO
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e define como la rapidez de cambio en la concentraci6n de reactantes de
productos en el transcurso de una reacci6n Las unidades usuales son:
m asa
oolumenrl tiempo Cuando la velocidad es la de formad6n de biomasa de
producto se Ie denomina tambien con el termino de productividad celular
[ x l
de producto [RpJrespectivamente
Velo ddad uolumetrica de reaccion
Con el fin de abordar la cinetica de reacciones bio16gicas es conveniente definir
varios conceptos:
2 2 2Conceptos cineticos fundamentales
En comparaci6n con los sistemas quimicos los sistemas microbianos presentan
una gran complejidad dado que en ellos se lIevan a cabo infinidad de reacciones
bioquimicas catalizadas por centenares de compuestos
y
de enzimas en el interior
de millones de celulas microbianas Una
t re
fundamental es la transformaci6n
de esa realidad compleja en un modele matematico de minima complejidad que
sea
uti
para describirla con un grado aceptable de aproximaci6n
al
comportamiento real del sistema microbiano a aproximaci6n que se emplea con
mas frecuencia en ingenieria es la nproxim on m acrosc pica para la soluci6n de
sistemas complejos En I?rincipio podria modelarse la transformaci6n de rnaterias
primas a productos llevada a cabo por un
b io cam lizador
ell
expansion
planteando
toda una red de reacciones de bioconversi6n Sin embargo esto conduciria a un
modele inoperante que manejarla una gran cantidad de constantes cineticas para
cada una de las reacciones Asumiendo que existe una reaccion enzimatica
limitante en la ruta metabolica es posible manejar modelos simplificados que
consideren la existencia de un compuesto que limite la velocidad global de la
reaccion que en Ultima instancia seria la velocidad de autocatalisis ex pallsion de la
masa celuiar
b ioca tm it ica .
2 2 1Modelamiento matematico de procesos biol6gicos
2 2MODELOSBlooNtncos
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27
Rendim ie n to celu lar:
A estas velocidades especificas se les conoce tambien como lIotas m eta b licas
pardm etros de estado jisio /Ogico .
Por la interrelaci6n de estos parametres se definen
los rendimientos.
[dq/dt][l/x] =
qk
En el caso de la velocidad de generaci6n de calor, las unidades son: energia masa
elul rl H empo-l
-1 h-1
h-1
-1
h
s s
gp ~-1 h-1
C > .
~ h
[dx/dt)[l/x) -j
[ds/dt)[l/x] = qs
[dp/dt][l/x) qp
[dCI/ dtlll/ x)
qC>.
Es la rapidez de
c m ro
en la concentraci6n de productos
reactantes por unidad
de masa celular. Las unidades usuales son: masn/ masn ce lu lar tiempo
Velocidad espedfi ca de reaccion:
dq/dt
En el caso de la velocidad de generaci6n de calor, las unidades son: energia
volrm len-l H em p
dx/dt=
Rx
gc r1h-l
dp/dt= ~
gp r1h-1
ds/dt
r1h-
gs
dCI/dt
rlh-l
g02
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Existe una gama de funcionalidades que correlacionan a la velocidad especifica de
crecimiento tv ] con variables ambientales usualmente v. s , con la concentraci6n
del reactante que limita a la reacci6n
bien con metabolites inhibitorios del
crecimiento
v. s ,i .
Con ellas puede expresarse matematicamente la conexi6n entre
la variaci6n en las condiciones ambientales y la respuesta ftsiologtca ceJular
medida a traves de los para metros de estado fisiol6gico
q f v. v. / x s
f v. v
Yx
qk f v . v Yxk
qp
f v .
Y pxv Yp sqs v Y ps Y xs
A traves de los valores de rendimiento las variaciones de todos los parametres de
estado fisiol6gico pueden expresarse como una funci6n de la velocidad especifica
de crecimiento [v.] .
Asf
gclkcal
Rendimiento calorico:
Rendimien to de ox igeno:
o en relaci6n a la masa celular que interviene en la sintesis del producto
Puede expresarse en relad6n a alguno de los insumos utilizados para producirlo
Rendim ien to d e p roduc to:
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J I
= ~ lm axs/ 8x+s
Contiene el termina Bx equivalente al valor aparente de I<,;. Este valor es
proporcional a la concentraci6n celular x . EImodelo fue elaborado para procesos
por late.
Contois
J I J Im ax/ 1+I<,;s-n
Si n ~ 1 se llega a la ecuaci6n de Monod. Si n 0 el valor de [Il] sera
independiente de [5 . Para cualesquier otro valor que adquiera n, se tendra Ja
expresi6n:
J I J I
m 6x
sn/ I< ;
+511
Equivalente a la ecuad6n r
k1sn/ k2+Sn ,utilizada en cinetica enzimatica y que
describe el control de una reacci6n por adsorci6n simultanea en mas de un sitio
activo de una enzima. Esta expresi6n es util para modeJar la dinamtca de sistemas
rnultienzimaticos.
Mose r m odele de triple consiante
Poco frecuente. Puede se c util para describir reacdones limitadas por
microelementos
por fosfatos.
J lim l-exp -s/I<,; ]
Tessier
Expresi6n muy frecuente que representa el control de la reacci6n par adsorci6n en
el sitio activo de la
enzima
Il Ilmdx
5/ 1<,;+5
MO llod
2 2 3 Depeudencia de [Il]
li
respecto a [s]
2.2.3 Efeeto de factores ambientales sobre
J
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1 5 2 2 5 3.5 • 5
o•
0.5 1 1.5 2 2.5 3.5 •
0
;
7 1 . . :
fY
/
I.
r L L
0
0 2
0 2
0 1
5
J_:
/
/
I
0 3
ompa tcio n de
~del o
0 5
0.
u
o •
0.5 1
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2 2.: ) 3.5 ,
I
•
1
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/
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O•
2
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Tea.le:-
0 5
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3
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•
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•
J .I
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o •
O.S 1 1. 2 2. 5 3 3.S 4
o •
0.5 I :.5 2 2.5 3 3.5 •
o 1
0.'
.,
/
/
)7
I T
I
o
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0.
0.2
0.5
I
0.5
Konod
k jw ftfO
o
d 0
t
lo t prof, ...... pauc m
d t ft
jwron tK itOf
M tN
~ eer.
2.1.
tk Wolftllm kldrclt nc
('Mod.los
de
crvcimiento')
).Im-<l.5;Ks-<l.2;n-l.5;Kd-2Ks'_0.IKs;sf-20 .o j ;
( En.J
modelo
de
De
lA o comtanwo
A
Y8
IOn equi ••
leeteea
K5/J.lmy
K 5 ,,,,,,,Ii.amen )
A-5.5Kt;B -5 .SKo /).Im ; a-A;~ m A); c-) . Im ,
( Dabes )
). 15- .1>- 1> 2-4 c O.5 /2A;
( Monod ) ).II~)1tI\_/ Ks s); 1.......jl2-jlm{l.Exp( .. /Ks);
( Mc.er; n-1.S·) l'l-J.lm/(1.Ks s ·n~ ('Powell ) ).I4--).Im/(Ks.Kd .. j;
gMonod-PIoI(lll.(.,oo ••I}.Ax.. LobcJ.>r :).I'}.P1oILobcJ,>'Monod·.CridU ....>AutomaIk.PJOIRange->((O.sf}.(O.
gTMSier-PIoI(ll2.(uo.aI}.Ax .. Lobcl.>r'·:J.I·}.P1oILabcl·> Teooier'.CridLi.-.>AulomaIk.PlotRanS.>((0 ...1).(0.
gMooer-PIoI(ll3.( • so s l A x LobeJ·>r ... ·I'·).PIoILobol ->·Mooer·.CridLines->AutocnaIk.PlotRange->((O.sf).(O.1'
gPowell-P.lot{ll4.(uo.s ).AxeeLobcl.>r.'. ·).I'}.PloILobeJ->·PowoJJ·CridLi __ >Automatic.PJoIRangc->((O .. f}.(O.
go..bes-PIoI(ll5.(S,50,sf).Ax .. LabeJ·>rs'.',,'}.PloILabeJ.>'DabcS'.CridLineo>->Automatic,PloIRange->((O.$f).(O.).
Mull-5how[gMonod,gT ier.gM,x .gPowell.gDabcS. PJoILabel.>'Comparad6n d. mod.los');
Show[C ,phiaArray[((gMON>d.gMoeer}.(gT ... ier.gPowell}.(gDebcS.MuJI}}}}
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Karg i
y
Shuler
Esta ecuaci6n se reduce a la de Moned para p.
2
y a la de Teissier para p
1.
k
1/l ImllxK
Si se introduce el terminc Ilrel· Il/Ilmax la ecuaci6n puede escribirse como;
onak
Algunos modelos describen en forma generalizada a la variaci6n de [Il) con
respecto a [s].
Al expresar la ecuad6n en la forma clasica, I s , se obtiene una cuadratica cuya
solud6n esta dada por:
{ B+s-Allmb)-{[B+s-Allmax)24A I.ImaxsjO.5}/2A
La constante [A] equi,:ale a
K s J m 6 x Y
[B]a Ks.
Dabes F illIl
Wi/ke,
modele
triple
msfmlte
para s 2K s
para s ~ 2K s
B lackman
Il
~lmbs/[ Ks+Kd)+s)
La constante empirica l K d J pretende tomar en cuenta factores difusionales.
Pouel l
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Pm Y Pm representan las concentraciones de etanol en donde cesa el crecimiento
celular
la producci6n del propio metabolito, respectivamente. Las ecuaciones
estan basadas en la de Hinselwood para la inhibici6n por acido lactico.
Donde:
11 Ilo[l-p/Pml Ilmax[s/<Ks+s)] l-p/Pml
qp qpo[l-p/P m l [qpmaxs/ K,; +s)J l-p/Pm l
Ghose
y
Tyagi:
{e tano l]
correlacum lineal
Si
esta representado por la funcionalidad de Monod,
[llmaxs/ K,;+s)J l-kpl
1 5) velocidad de crecimiento en ausencia de producto.
k = constante empirica = l/Pm en el modele de Ghose y Tyagi).
Donde:
11 llo[l-kp
Dagley
y Hinsehoood : {acido ld ctico] c orrelacion
lineal
2.2.3.2 .1 .-lnhib icion de [11] [qp] r producto
3 Modelos que describen la inhibicitni del metabolismo celular
Los valores de las constantes K
YP son:
Modelo
«} }
{p
Monod l/Ks 0
2
issi r
l/Ks
0
Moser
n/[Ks l/n~
l-l/n
l l/n
Contois
l/ BxJ 0
2
Konak
kfl
m x
p
P
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33
Pm es la concentraci6n de etanol en donde cesa el crecimiento
y
(n) es una
constante emptrica que indica la trayectoria que sigue el decaimiento de ~en
fund6n de la concentraci6n del metabolito inhibitorio (p).
Donde:
Leoenspie l: corr elacio n parabolic a
A
(l+p/Kp)
A'= (l+p/Kp')
I Concenlraci6n de [s) a la cual u J.lm ,,/2
1 < , ,
Concentraci6n de [s] a la cual qp
Qpmdx/2
Kp
Concentraci6n de [pI a la cual J.l
J.lm6x12
l<p' Concentracion de [p) a la cual qp qpm~x/2
Donde:
J.l
J.lo[l/ A) .. llo[l/(l
p/l<p»)
J.lm [s/A(I<,,+s»)
qp
qpo[l/ A')
qpo[l/(l+p/l<p'») qpm4x[S/A(l<s'+s»)
Aiba y Shoda : correllldoll h ip erb 6/ica
kl Yk:z,son exponentes ernpfricos.
<s Concentraci6n de Is) a la cual J.l J.lmaxi2
< S Concentraci6n de 5 ala cual qp
qpmax/2
Donde:
J.l J.lo[exp(-ktp)] [J.lnulxs/(I<,,+s)]exp(-klP)
qp
qpo[exp(-k2P»)
[qpmaxs/( <s'+s)]exp(-k2P)
A iba, Shoda y Nagailln i: {elanol} corr ellltiOn expollenda l
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Nuevamente, Pm Y Pm representan los valores de concentraci6n de etanol en
donde cesan, respectivamente, el crecimiento
la producci6n de etano . Las
L
l..Lo[1-(p /Pm
)a]
[l..Lmaxs/ (Ks+s)][l-(p/Pm ) ]
qp
qpo[l-(p I P m')b]
(qpmaxs (K s'+ s) ][ l-(p I P m ') b]
Luong: {e tonol} c o r re la c i6 n pa rabO / ica
En este modelo, a diferencia del de Aiba, cesa eJ crecimiento la producci6n a
concentraciones finitas del metabolito inhibidor.
L
J.lo- [k
p/(k
-p)1
qp
qpo - (k
3
p/<k&-p)]
Bazua y Wilke:
Donde: kl Yk2 son constantes empiricas.
Holzberg:
L
I . .LoKJ{~+[Yps(Srs)])
L [l . .Lmaxs
s
+5)1K if (~+ [Yps (S rs ) 11
Es una pequei\a variante de la descrita por Jerusalimsky y Neronova, y la aplican
para procesos continuos.
Hoppe
Y
Hansford:
Donde: ~
constante de inhibici6n.
L
l . .Lo[KJ(~+p )l
[ l . . L m a x s / < K s+ s » [K J ~ + p l
Jerusal imsky Neronooa:
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35
80 1000
o
-,
--,
r--
1
0.2
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O • •
3
u
p
e o 100 4 6
p
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100
• 6.
0
p
2. <0 60 e o 100
o
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•. 3
0.2
5
.1\.
3
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2
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r
•
u
20 .0 60 eo 1000 .0 60 e o
100
p
0.1
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r-
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0.5
0.
0.3
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S
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pa r prod\ ICID - I . .p) )
jAlI\=O.5:KsoQ.~aoo- , oo/(~~I'm;
CorTeIacI6n linMI:Chooo YTpp ) I m-ll¥ IIO(l.p/ 'Ift);
( Corre1od6n uponendal:
Aibo. ShodaY
N-plani
kl-o.ot;jl2- Exp(.k\ PI;
( CorreIad6n h ipor i>6l ica: AJba
Y
Shoda )
Kp-I'In/l.5;p3-,.o/(l.p/lCp);
( OlneIad<In
par -bOIica: Le....-.piel· ) n-o.65~IOO(1-p/ 'Iftrn;
( Corre1od6n
MI1Ib6I ica:
Luong )
.-o.~lIO(l-{P/ 'Iftr.);
gUn-PIot(l11 .(p .po ,pIj .A x .. . Label·>rp'.·Il·I.l'Iotl..obel->'w-t·.Gric1U.->AulcmAlI<:.l'IotIWIpo>(~.pI).to...
gI xp-PIo I(I 12. lp.po.pf} .A ••
lAbel->rp'.'Il'I.PIoILobeI.>'''''f'Oi''ncW'.
Gridu.-> Automoll<:.~>(O.pI),(O..,m)IJ;
gH ip- P lo tflU .(p .po .plj .A_I . . obe I .> ('p ' .'I ).PIoILobeI->'h1porb01Jca'.
GrldU__ >Automoll<:.PlotRonp->{(O.pI).(O.jAlI\lIJ;
gParLev -I ' IotlI>4.(p .po .pf} ,Ax e oL.abe I->rp',',, ') .PIo tLobe I -> 'l 'aroblI lraLeY .
GridLl.~> AutoO\lluc.PlotRange->((O.pI).(O._III;
gParluong' Plot[l'5.(p.po.pf},A_Lobel·>rp·,',,'I.PIotI..abeI->'P..-.b6lka1.oaona'.
Grldu.->Automoll<:.~>((O.PII.(O IIJ;
Mull- Show(gUn.gExp.gH lp.gPO lLev.gPwL~PIo t I . obe l -> 'CanJW&Cl6l'
do 1 n O d o I o o 1 ;
Show[GraphicoAlTlly(((gUn.gs.,t.(gPwI.ev,pluonll.(lHip.NIIIIIIIl
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Donde
K s
es la constante de saturaci6n y
Kt
es la de inhibici6n. A corresponde en
general al termino l+I/Kt , siendo I la concentraci6n del inhibidor sustrato .
llmaxs/[ I<,.+s A» 1lm.s.xs/[ Ks+s l+s/Kt l
Originalmente se elabor6 el modele para inhibici6n enzimatica no competitiva,
validada posteriormente para inhibici6n del crecimiento y de actividades
metab6licas microbianas.
Haldane:
2 .2 .3.2.2 Inhibici6 ,1 de
Y
qp por susira to:
Dourado oma AlblUjl lerque
y
5eve l y: { e tano l} c o rr e laci611pote ncia l}
l .IuUl.x{s/[l<s+s+s2/Kt]Hp/£Kp+p+p2 /KpJH1-p/P m}R
qp qpmax{s/[l<s +s+s2/Kt Il (p/£Kp +p+p2/I) ,I ]H l-p/P m ,}R
Lee,
POll lard
y
Cowman: e tnnol correlnci6n
parab61icn
1 1 ll o[l-( p/P m>8)[1-(X /Xm lbl
qp I. IYpx
lin , Chiang Wang: e ta ll o l correlnc i6n e xponencial
llo[exp(-k lP -k2s»)
qp qp.mAxexp -k3P-~S [P/ I ,+p ]
5e ve ly : { e tano l} corre lac i6n parabo1ica
1lo£Kp/(P+I),» )[ l-p/Pm ]
qp
al.l +
constantes empfricas a y b, son indicativas del comportamiento que sigue el
decaimiento de
y
qp respectivamente, en funci6n de la concentraci6n del
metabolito inhibitorio p .
K s
Concentraci6n de [s) a la cual u
I.Im /2
K s
Concentraci6n de [s ala cual
qp
qpn,,, ,/2
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En general, la constante B adquiere los valores: B~O.Si B 1, la funcionalidad sera
la de Monod. Si B
1, se tendra un incremento en la velocidad de reacci6n.
Cuando B
0, este modelo se iguala con los de Haldane
y
Andrews.
II [1lm4xs(1
J
3s/K;j/[(K,,+s)(1+s/I<;)
De manera aproximada:
l
Illmaxs(1+Bs/K;j/[K,.+s+(s2/I<;)]
Webb:
Il
[Ilmd)(s/(K,,+s»)exp(-s/K
Edwards: adaplaci n del m odelo de A ilm p ar a in hibicio n p or p ro du cio }
Il·[1lm<1xs/(K,,+s)](l/(l+s/I<;)]
qp
[qpmaxs/(I<,. +s»)[l(l+s/K, »)
Las ecuaciones pueden expresarse aproximadamente a la manera de Haldane:
K Concentracion de (s) en la cualll-llm6x/2
K . • Concentracion de (s) en la cual qp qpmax/2
w - Grado de inhibici6n del crecimiento por sustrato
w Grado de inhibition de la producci6n por sustrato
K w I<,. w·son equivalentes a las constantes de inhibici6n I<; < ;
Donde:
II llmb/[I<s+s+(s2/K w)]
qp
qpmaxs/[K,, +s+(s2/K,, w ) ]
Andrew s: modificaci n del mo lo de H a ld an « para in lz ibiciOtIenzimdtica}
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38
llmax[s/ K,.+s+s2/Ksw)][exp -klP)]
Il llmax s/ AI<,.+s+s2/Ksw)]
qp qpm4x[S/ K,. +s+s2/K,. w )][exp -klP)]
qp - qpm4x[s/ AK,. +s+s2/K,. w )]
Andrews Aiba Shoda N agatani
llmax 1-p/Pm)s/£K,;+s+s2/Ksw]
qp - qpmGx 1-P Pm)s/ [Ks +s+s2/K,. w ]
Andrews Ghose T yagi
Los modelos pueden combinarse para describir efectos inhibitorios mixtos.
Por ejemplo:
Luong :
El modelo se ajusta a gran cantidad de resultados experimentales en donde se
tiene inhibition del crecimiento por sustrato,
1 Ilmlix exp -s/K;) - exp -s/Ks)}
Edwards: Ecuaci6n del t p de Teissier
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39
•
10 15 20 25
o
•
10 l 20 25
o
o
1
o
2
o
r
5
4 f i 5
3
: : : : :
2
o
Co parae 6 n d m odelo uo q
0. 5
• •
3
o
o~ ~ ~ ~ ~ J
10 15 20 2 10 15 20 25
0. 1
0 2
0 3
0. •
O ~Ei:;jd
.3W
0. 21- · - - 1- - - 1- - - - - - - 1- - - - 1
0.11--+--+--+--+---1
<
0
Webb
0. --- --- --- .--..--......
•
15 20 250
10 l 20 25
o
o
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0. 1
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I ...
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Hal dan~
0.
Medelo8que oIe c:r iben
fa
inhlbldin
I
c:redmlento
<:dular, ,...
_alo
,-o.5;K.O().2S_2OfCt; 8O ().1J(a;Kl-l00Ka;t-Kl;
('Modelo de Haldane'lIlt ~
«K.... ) l...
/Kl»;
('ModeIo de Andtewa')Ia. ,
1/(K._A2/Kl~
('ModeIo de Edw..... )II3· I ftI./~»Exp{ ../Kl);
('Modelo de
Wtbb')Bo().25; ,(1+8I/Kl)/~+w 2/Kl);
('ModeIo
de Luong ) Im·~.,,-o.65;~_ o(l-(I/Stn) n)/(K.+o);
gHald.Plot(JJl,[. ',aIj.Ax.. IAboI.>[·.·,·..·},PlotLobel.>·HaIdane·,Cridu.->AuIDmaIi<:.PIotRanp>I[O,ol),[O,
gAnd-Plot(la.[I,80 ..0,A•• Lobel->r.· ,·~·}.PIotL.bel·>·Andrewo',Cridu.-> AulOlNlIi<:.PlotRAonp>I(O,ol),[O.
gEdwa=PIot{»3,{. '.O,A_LAbeI->{'.. ,·I'·I,PlotIAbol->'Bdw.... ,Cridu.->AulDmalic.I'fodtMoeI·I[O,ol),[O,
gWebb·Plot[i>f,la.eo,ol},A_lAbel·>I·.·.·~·,.PIotI..olMl.>·Webb·,CridU.... >AulOlNlIi<:.PlotRao.p- {IO.. ,[O,~
gL ng-Plot(JJ5.(o.eo.oi\.A_IAboI->I '.·I ).f' .otl.-.>·Luong'.Cridu.->A - ~>(O.oi\,[o,1'
Mult-showf&H- d.gAnd,SEdwo,gWebb L-.,.PlotLobel->·Compand6n demo cIeIoe ];
ShowICI'1IphiClAmoy[((stwd.sAn4I,lsBdwo Webbl,(sL-.,.hI.a I I
. M o d e lo o que d.crtben 1 0 1inhI>ici6n
cW lMIIIboI iomo
coIWat
InIu b;OOnde ~
par
_b.., .•
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por analogia:
La cantidad de sustrato consumido para mantenimiento celular qs)m representa
al consumo mlnimo de sustrato cuando 0; puede tambien expresarse como una
fracci6n de la cantidad que se consume cuando j. 1 I Im a x A este valor, se Ie
denomina fraccion de mantenimiento celular [fOIl.
Si se considera que cuaodo ~ I Imax,Yxs ~ YIVse tiene la expresion:
Yxk
I-IYkg/ l-I+mkYkg)
Yxo I-IYog/ J.l+moYog)
Por analogla, se tiene para los valores de rendimienlos cal6rico
de oxlgeno:
Siendo Yxs J.lIq5 se tiene:
En donde Ax representa la cantidad de celulas producidas a expeosas del sustrato
consumido para crecimiento As)g para maotenimiento celular As)m
Expresado de otra manera, la velocidad especifica de consume de sustrato qs
puede dividirse en dos vertientes: consumo para crecimiento celular qs)g
consumo para mantenimiento celular qs)m,denominado usualmente como m).
De aeuerdo a J.S. Pirt 1965), el rendimiento observado [Yxsl esta dado por:
2,2,4 Efeeto del metabolismo endogene sobre la cinetica de reaccion
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Raw ley y P ir # :
qp
qpmax •
Y
pxl- l
Luedeking y P i r e t:
qp X1l+ ~
Coden: [equiua lente a l mode lo combinado de Luedekill g l P ire t]
qp YpX~1
5i Y
pX
es constanle, se tiene el caso -de un modelo en
l
que la producci6n esta
asociada al crecimiento.
Y
px 1 1 - 1
Y
ps xs
5iendo:
Coden: (cor re la cion ge era l)
qp Y pxl- l YpsCis qpmaxs/ Ks+s
En general, son ecuaciones que buscan establecer la correlaci6n entre las
velocidades de formacion de producto y la de crecimiento celular.
5Modelos descriptivos de la cinetica de sintesis de productos
mYg = moYog = DlkYkg
mo Dl Yg/Yoy,)
mk
m Yg/Yks)
Por tanto, es factible estirnar mo ffiksi se conocen los valores de: m, Y
g
Yog Ykg
f
m: mo/ qO:Vm4x mo/[l-Imax/YogJ
fm
mk/ lk>max: mk/[l-Imax/Ykgl
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42
0 250
5
2
Ypx
alfa-l;beta--O.l;
Plot3D[Y Px. I ,O .01 ,0 .25), n,O.5,1},
AxesLabel->( 1 .1 n .: Ypx },
PlotRange-> 0 ,2 .5} ,M es h->False ,PlotPO in ts ->35)
qp=alfa l.1 n+ beta;
Ypx=qp u
Superficie de respuesta de Ypx ; f I . 1 ,
segUnel modele de producci6n de triple constante
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En donde representa la cantidad de producto generado a expensas del sustrato
consumido para crecimiento (~)g para mantenimiento celular (~)m y para la
propia formaci6n de producto (As}p.
Expresado de otra manera, la velocidad especifica de consume de sustrato qs
puede dividirse en
tres
vertientes: consumo para crecimiento celular qJg
consumo para mantenimiento celuJar ( }m y consumo para la formad6n de
2.2.6Efecto de Ia formacion de subproductos sobre la emetic a de reaccicn
EI rendimiento observado de producto, Ypspuede expresarse como:
qp
=
1 ,11 -1
+
1 ,2 1-1.1
Siendo: 1 ,1 y ~2 ~
1 .1
Kono
y
sni
Donde K,..,pes una constante de represi6n de la slntesis de producto.
Bnjpni
y
Reuss
qp
=
qpmax /fKp+s(l+s/K,..,p)}
(E) es una constante empirica que representa una relaci6n entre las supuestas
constantes de saturaci6n Kl y K, de dos pasos enzimaticos que respectivamente
canalizan la conversion de sustrato a producto
biomasa.
Por su definici6n, E 5610puede tomar valores mayores a cero.
(~Irell
=
I-Ihlm
6x
E
=
K
1
/K
1 .
Donde:
R yu
y
Humphrey
qp
=
qpmaxEIlreV II + E -I llrel}
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44
Dado que qp 1 1 1 , basta con sustituir la funcionalidadrespectiva, Por ejemplo:
para un meta bolito parcialmente asociado a crecirniento, qp
ct . l +
Por tanto:
Siendo Yps
qp/ Is Y
Xs
~qs se tiene que:
En donde el valor de Yp representa Ja maxima eficiencia de conversi6n de sustrato
a producto, en caso de que el sustrato no fuese utilizado para crecimiento para
mantenimiento celular.
prod ucto Is)p
qs
qs)m
qs)g
qs)p
m)
Il/Yg)
qp/Yp)
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[
dxl dt)ac
0 - 0 dxl dt), ,,
dx/dt dc
dxfdt}crec
J lX
ACllm lllacioll entrada - salida + gellera cw llllela
iom nsn
Balallce gloOOIde materin les ell
sistema cerrado CO li lIolllmen co nstante
Estrictamente hablando, un sistema fermentativo totalmente cerrado no existe en
la practice ya que minimamente debe mantenerse un control de temperatura, 10
que implica que el sistema no puede estar aislado
i ll le rcambio de ellerg {a .
5i el
proeeso es aerobio requiere, ademas, un suministro continuo de oxigeno. Sin
embargo, balance de algunos de los materiales corresponde a este lipo de
sistema.
2.3.1Sistemas cerrados
Para prop6sitos de analisis del comportamiento de un proceso fermentativo, se
puede definir como sistema fe rm entnttoo al volumen de reacci6n Iimitado por un
contenedor flsico biorreactor en donde se Ileva a cabo la bioconversi6n de
reactantes a productos. Definidos los Ilmites del sistema, se denomina sistema
cerrado
a aquel en el que
110
flny
in terauno io de m nter ia le s IIi de energ in
CO li
e exterior.
Un sistem a a bie rto se define como aquel en donde se Ileva a cabo tal intercambio y
finalmcnte, uno
s em ic er ra do
puede ser uno en el que no haya salida de materiales
perc sl entrada.
Un ejemplo de sistema cerrado seria el ult oo por
lo te
en el que el bioeatalizador
biomasa) y los reactantes principales se coloean en un reactor para que proeeda la
fermentaci6n, y se cosecha hasta el memento en que esta ha finalizado. Un sistema
abierto es un procesocon t in uo en cualquiera de sus variantes, en el que pueden
existir flujos de suministro de reactantes y de recirculaci6n de material celular,
ademas del efluente. Los sistemas p or lo te nl imentados Fedbatch} son un ejemplo de
proceso semicerrado en donde se suministran nutrientes al sistema de reaccidn, sin
que haya salida de productos hasta que la fermentaci6n concluye.
2.3 SISTEMAS FERMENTATIVOS
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46
t ...,
Dependiendo de la complejidad de los modelos de crecimiento , de consume de su str a to
y de f ormacion de produc to , podra obtenerse una soluci6n analitica e xacta al
conjunto de ecuaciones 0 bien, la soluci6n debera ser numerica
a proxil l lada .
Idealmente, para un caso particular de produccion de biomasa en el que no se
presente inhibici6n del crecimiento por sustrato
ni
por producto, podra resolverse
analiticamente el conjunto si la velocidad especifica de crecirniento responde a un
modelo simple, como el de Blackman. La soluci6n analitica sera valida
exclusivamente para el intervalo en que s
: 1 :
2K,.,donde 11 5)
J..Imax.
Empleando el modelo de Blackman, se resuelven las ecuaciones entre los limites:
J . . L
f s ,p
[3 ]
V dpj dt)ac
0 - 0
V dp/ dt)sinl
dp/ dt)ac
dp/ dt)sint
qpx
,londe qp
f J . .L
E:
conjunto de ecuaciones diferenciales [1], [2JY [3Jrepresenta el modele general
de un sistema fermentativo por lote. Un modele espedfico del sistema que lleve a
una soluci6n que describa la variaci6n de [xJ, [sJ
y
~pJen funci6n de la variable
independiente t) , se obtiene al sustituir los terminos 11,qs Yqp en el conjunto por
sus respectiV05modelos caracteristicos. Como se vio anteriormente, estos terminos
estan interrelacionados y cada uno de ellos puede representarse como una funci6n
de variables ambientales tales como la concentraci6n del sustrato limitante
5
y la
de algun producto metab6lico inhibitorio
p .
ACilmulaci6 entrada salida
siniesis neta
Producio
[2 ]
V dsjdt) c
0 - 0 -V ds/dt)cons
dsjdt)ac dsjdt)cons - - qsx
-l1xjYxs
donde Y
X5 f J . . L
Acumulac ion
e ntra da - sa lid a - COIISUlUO
Susirato
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Las ecuaciones diCerencialesparticulares para este caso seran:
~L=fis,p)
[J.lmbs/<l<s+s)][l-p/P , ][I-s/5m
En el caso siguiente, se emplea como ejemplo un modelo combinado que considera
los efectos de inhibici6n del crecimiento por sustrato por producto.
Las ecuaciones (4J, [5] [6] son soluciones utiles s610 en casos excepcionales.
Usualmente debe recurrirse a modelos que consideren los efectos inhibitorios que
frecuentemente se presentan en cultivos microbianos. Cuando se emplean modelos
menos simples que el de Blackman, ocurre que el conjunto de ecuaciones (lJ, [2J
[3]s tornan anallticamente inmanejables, su soluci6n debera ser numerica.
Resolviendo entre los HmitesPo P correspondientes al intervalo de tiempo t o
5 J
En el supuesto de que el modelo de producci6n estuviese representado, por
ejemplo, por el model~ general qp
aJ.l +~
Resolviendo entre los Iimites So.... correspondientes al intervalo de tiempo t o
<Is=m+J.I/Yg
qp/Yp
(ds/ dt)ac = - <Isx <Isxoel mht
Si J.I(s)es constante e igual a J lm a x los ~rminos <Is(J.I) qp(J.I)seran tambien
constantes
(4J
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48
EIcalculo de cada una de las 16 constantes 1 < L
y
M)para cada tiempo t; li.1+h,
se hace eonforme a las siguientes formulas particulares. En esle ejemplo se parte
de los valores iniciales
XO'SO'Ypo'
para cada i=0,1,
N-l
para cada i=O,'I, , N-l
para eada i=0,1, ......, N-l
i+l= xj+[1/6J[Kl+2K2+2K3+K.. 1
Sj+l= sj+[1/6114+2L2+2L3+~)
Pt+t = pj+[1/6)[M,+2M2+2M3+M4)
Lasoluci6n para este sistema de ecuaciones en particular es:
El termino (h) representa al intervalo de tiempo 61 fammio de
p I lSO ,
empleado para
calcular de forma ilerativa el valor que temporalmente adquiere Wi que en el caso
especifico del sistema de ecuaciones [7 a 9) corresponde a las variables [X I Sj, pjl.
K,=hftt;,Wj)
K2=hftt;+h/2,wj+k,/2)
K3=hftt;+h/2,wj+k2f2)
K =h ftt 1,wj+k3)
EIsistema de ecuaciones diferenciales [7],[8] [91se resuelve para las condiciones
iniciales lu' x ,
o
Po' Los metodos para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales de primer orden son generalizaciones de los metodos para una sola
ecuaci6n. Por ejempJo: el metodo clasico de Runge-Kutta de orden cuatro, esta
dado por.
Wj+l= wj+(1/611K,+2K2+~+Ktl para cada i=0,1, ......, N-l
donde
9 ]
8
[7 ]
dx/dt)ac = I1X= {[lLmoixs/(K,.+s)J[l-p/PmJ[l-s/Smllx
(ds/dl)ac = -<Jsx= -(nl+~l/Y&+ [CLJ.ln+P]/Yp}X
(ds/ dt)ac = -{m+{[l1mnxs/(Ks+s)][l-p/PmJ[l-s/Smll/Yl\ +
{CL{[lLmaxS/K ,.+s)][l-p/P m][l-s/Sm n+p}/Y p }
(dp/ dt)ac= qpx = X[CLJ.ln+p]
(dp/ dl)ac= X{CL{(ILm4xS/(K,.+s)][l-p/P,][l-s/Sm
n+p}
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~=h { ([llm ilx (So+ LJ)/ x +(50+ LJ»)(l-(Pa +M 3)/ Pm l [1 -(5 +L3)/SmJ) (xo +K3)}
L4=h{ -{m+H~lm 'x(So+LJ)/(Ks+(S.,+~))) [l- (p,,+M l)/P m l(1-(so+~)/Sm ll /Y II +
(IX (( llmdx(S o L3)/ (K s+(s o + LJ» )[ l-( po +M3)/P m )[ 1-( so+~)/SoJln+I3}/Y p}(Xo+ K3) }
M 4=h {(xo+K3){Ct{[~lm'x(SoL 3)/ K +(50+L3»1 [l -( po + M 3)/P m )[1-( so +Ll) /Sm lln+I3}}
K3=h{{[~L1l1ax(SoL2/2)/(I<s+(su +L2/2 »)[ l-(p o +M 2/2)/P m )[ l
(so +L2I2)/Sm])(Xo +K2/2)}
~-h{ -{m+{[llmax(so+ ~/2)/ (Ks+(So+L2I2») [1-(po+M 2/2)/P m l[1 -
(S o+L2/2)/Sm ll /Y s +
(CI.{[IlUl~X(so~/2)/ (K s+(5 + L2f2»] [I-(Pa + M2/2)/P m )[l
(50+L2I2)/SmlJ +I3 }/Y p}(Xo
K2I2 }
M 3=h {(Xa+K1/2){CI. ([lln ,a x(S +Lz/2)/ K +(50+L2/2»1[1-(p o + M 2/2 )/P 0\1[1-
(50+ L2/2)/Sm lln+l3}}
K2=h{{(llma,, (so+L ,/2)/(K s +(50+1.,/2»] [1-(po+M 1/2)/P oJ[l
(s o+L ,/2)/Sm])(xo+K1/2)}
L2=h{ -{m+([~L l)lax(So+ ,/2)/(K s+(so +L1/2»1 [l-(po +M1/2)/P oJ[l
(s a+L,/2)/Smll/Ys +
(CI. lllm;lx(5oL l/2)/ (Ks+(sa +L1/2»][1-(Pa +M l/2)/P m )(l
(SO+L,/2)/Smlln+ 3}/Yp } > O +K1/2) }
M2=h{(xo + K l/2){CI.{[lln~~x(soLl/2 )/ (Ks+(so +1. ,/2))] [I- (po +M 1/2)/P m l [1 -
(5 +L,/2)/Sm lf+ 3}}
K1-h {{[~Lmax50/(Ks+so)) [1 -p o/P m Il1-5o/SoJJ xo}
Ll=h{ -{m+{[llmaxSo/ (I<s+50
[l-po/P m )[1-so/Sm ll /Yg +
{IX {[llmbSo/ (K s+50
[l-PO /P m ][I-So/Sm]} +I3 }/Y p}XO}
M l=h{xo {CI.{[llmaxSo/I<s+S o» )[l -p o/P m )[l-So/Sm )) +I3}}
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5
Estos valores Xl S, y PI corresponden a una nueva condici6n inicial que sirve
para comenzar otro ciclo de calculo. El procedimiento se repite i veces hasta
obtener las trayectorias x,s,p =fit , correspondientes a la soluci6n del conjunto de
ecuaciones diferenciales.
Xl
xo+[l/6][1<1+2K2+21<3+~1
51
= so+[1/6][Lt+2~+2L3+L41
PI Po+[l/6] Ml+ M2+ M3+MJ
Una vez va]oradas estas constantes al tiempo tl a partir de los valores o SoYPo se
calcula:
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x gil) s Ig l
I iomasd SU tr to
12
7
1
6
6
5
2
t
Ih
t
(hJ
2
6
2
6
8
Q/1
x,s.p gil
Pcoduct o
Il~
s . p
6
12
s o
100
8
3
6
2
1
20
t
Ih)
t
Ihl
2
6
rex-Plot[Evaluatelxlt)1 .soll,(t,O,tf},AxesLabel->f t (hr, x (g/I) },PlotLabel-> Si omasa l;
res= Plot(Evaluate(s(t)1 .soil ,{t,O,tf},AxesLabel->\t (h) , s l1) };PlotLabel-> Sustrato ];
rep= Plot] Evalu ate[p[t)1 .sol),(t,O,tf},AxesLabel->{ t [h] ,
p
(g/I) },PlotLabel-> Producto );
mult=Show[rex,res,rep,AxesLabel->{ t (h) , x,s,p (g/l) },PlotLabel-> (xJ,(s),[PJ J;
ShowIGraphicsArray(((rex.resj.{rep,multlJll
sol=NDSolve[ [tJ·=(~m s[tJ/(Ks+s[t[))(I-p[tJ/Pm) x[tJ,
s lt) == -(m+(~m s[t)/ (Ks+sIt
Dl
l-p[t)1 Pm)
IY
g+(alfa (~m
s[ t
[Ks+
s[~D
-p[t)/ Pm))/\ n
beta) iYp)
p [ t)==(alfa (lUll s[tJ/(Ks+s[t))(l-p[tJ/Pm))An+beta) x[t),
x[OI--xo,sjO)--so,p(OI--po),(x,s,p},{t,O,tf}
,AccuracyGoal-> 12,PrecisionGoal-> 12,WorkingPrecision->20,MaxSteps-> 1000);
Solucionde un sistema de ecuaciones diferenciales=]
( x [t)= ~(x); s [t)= -qslx]; p [t)=qp(x)*)
(*qS m +~/Yg+qp/Yp; ~=(I1m s/(Ks+s))(I-p/Pm); qp=alfa(~)l\n+beta·)
( Valores de constantes empleando un modelo lineal de inhibicioo*)
xo=2.S;so= 13S;~m=O.3;Yg=O.S6;Ks=O.2;m=O.O I;
tf-IO;n-O.7;po-1 ;alfa-S;bela·O.I;Yp·O.SI;Pm-65;
o
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V dx/ dt ac
0 - Fx V dx/ dt crec
Acumulacion
ll trada salida crecim iento neto
B lom asa
Ecunciones de balance g lobal de mate r iales en
t
reactor
li
oolumen constante.
Para obtener las ecuaciones descriptivas de un sistema continuo es necesario hacer
varias precisiones:
Se considera que el reactor es homogeneo. Esto i.mplica que cualquier
elemento de fluido del reactor tiene iguales propiedades.
No ex i s ie n
gra dien te s de co ncentrn cio n tem pe ra tura dens idad viscosid lld
pH
ll
el rene/or .
Los componentes de los flujos de entrada at reactor se mezclan
instantAneamente en el interior del mismo.
Aunque las celulas son particulas discretas, debido a su gran cantidad ya su
pequeno tamafio, se considera que la suspension se comporta como una
soluci6n; esto es, l a concentraci6n celular x sera una variable continua.
2.3.2.1 Cultivo continuo
de
simple etapa CCSE
En un cultivo por lote, la composici6n. del medio en el que se cultiva al
microorganismo esta variando a 10 largo del tiempo. Estas variaciones son la causa
de que la poblacion microbiana presente gran varied ad de estados fisiol6gicos en
el transcurso de
fermentaci6n. A rnenudo, el microorganismo presenta un
estado fisiol6gico de maxima productividad s610 de manera transitoria. En un
sistema continuo pueden obtenerse estados estables, en los que se mantenga a la
poblaci6n en un estado de maxima productividad. En principio, ~sto hace
econ6micamente atractivos a los procesos continuos.
En un sistema abierto hay intercambio de material con el exterior. Esto es, hay
entrada y salida de reactantes y productos en el sistema: Una caracteristica de los
sistemas abiertos es que pueden operar en regimen continuo en estado de
equilibrio dinamico.
2.3.2 Sistemas fermentativos abiertos
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Considerando el efecto de la energta de mantenimiento sobre [ J:
[14)
[1 5)
[16]
s
OK,J Ilm~x-O
x [YxsllSr- sJ
Yxs} Sr- [O Ksf llm ax-O)]J
p = qpx/O = [x][aDn+~J/O
Por tanto:
[ ]
Si se emplea el modele de Monad para describir la funcionalidad 11 / 5 y el
modele de triple constante para describir el compartamiento de qp = Q[Il s}], se
obtienen las siguientes ecuaciones descriptivas de este sistema:
j x,s,p
p 4l x,s,p}
En estado de equilibrio dinamico, los valores de cada una de las velocidades de
acumulaci6n se haceri cera
y
las funcionalidades x.s.p =/ O que se obtengan
dependeran de los modelos utilizados para describir a:
[1 1]
[1 2]
ds/ dt}.c O Sr-s) - qsx O Sr- s - Ilx/Yxs
dp/dt}ac qpx - Op
limitante 5 del producto p)
Se procede de manera similar para obtener las ecuaciones de balance de sustrato
[1 0]
dx/
dt ac
x j.l-O
Oividiendo entre V, definiendo al tecmino F/V como
l
velocidad especifica de
diluci6n 0 y dado que dx/ dt c:n:.-c ~IX se obtiene
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5
x l e n su t c toli it 02
Valores de r constantes')
jIIIIo().S;Ks-O.2;alfao().1:betO().05;n·);mo().l;Ygo().56;YCf2g-1.35;cs-o.OO6;a:riI-O.OOl;kla-600;Yp-o.6.
(·Ecuado....
del.i.temaCcrmunlalivo·)
.-~ Ks/~m·~);qp-alr. ~An+betqo-m+~/Yg.qp/YP;Y ,,-p/qs;x-Yxs(Sr.s);
Rx-I CDlCf2-m Yg/YCf2g;qCf2-mCf2.~/YCf2g;.lim-kJa(C HlCriI)/q02;
gl-P ol3D(x1im.( ,O.oIIlffi.O.95jm>I.(Sr.l0.7S}.M h·>False,PlotRanSe->(O,40}.
A... Label.>('~·:S :. '),PlotLabel.>·x
limit 02 ]:
g2-Plot30[ ..
{JI.O.01~m.O.95jlm}. Sr.10.75).P1otPoints->18.PlotRange.>(OAO}.
A_Label·>r~'.'Sr :. ·}.P otLabel.>'x Urn 05I
to1;
Show[CraphlaoAmoY[[Sl.g2111
g3oShow(g1.g2. Vi.wPoint.>(1.5~.1).PlotLabeJ->·lnle..ecd6n'l
('Compottarniento
de
I. concentnlCiOn eelul .. permtsfble en un eeluvc
continuo d. limple
etapa
en condiciones de limilaci6n de oxigeno de sustrato
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55
[ 8]
por 10tanto:
De las ecuaciones [ 5] y [ 6] tenemos que:
[ 7]
l
D Ilmllxs/[A Ks+s ] IlmbS/[ l+p/Kr I<s+s ]
Tendremos que en estado de equilibrio la ecuaci6n [ ] sera ahora:
[A]
[l+p/K
Donde:
Si se considera otro tipo de modelo para describir la funcionalidad l f x,s,p , la
obtenci6n de las ecuaciones descriptivas del sistema continuo puede hacerse mas
compleja. Por ejemplo: considerando que exista irihibici6n de la velocidad de
crecimiento por a~ulaci6n de producto Inhibicion no competitiva • modele
hiperb6Licode Aiba et al
Para este caso se tendril que:
Si ademas de [m] se considera el conSUD\Odebido ala formaci6n de producto:
Por 10 tanto:
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56
52 + sIPm/Y ps - IlPm/ 1l00~XYps _ SrI - ~lnl XP m
K s/
~max Yps = 0
Una vez hecha la correspondiente sustituci6n de Yps ~
D ,
se obtiene la solucion
para s= f Il).
y se procede como en el anterior ejemplo, se obtiene la ecuaci6n cuadratica:
Si el modelo u=fts.p empleado en combinacion con las ecuaciones de balance del
cultivocontinuo es el de inhibicion lineal del crecimiento,
NOTA : J I OU ;CION <£IIL DE lsiSE OIll1FNI;CON '-' ECUAClON11 91.
Conocida (5 ] , pueden determinarse las trayectorias de [x] y [pI en funci6n de la
velocidad de diluci6n [D).
9]
[2 0]
[s], ~ {-b
[b
2
-4ac]O.5}/2a
[sh
=
{-b- [b2-4ac]o.S}/2a
Las soluciones para s) seran:
Esta igualdad se sustituye en la ecuaci6n cuadratica para calcular la variaci6n de
s] en funci6n de la velocidad de dilucion [D].
Si se utiliza el modelo potencial de triple constante para describir a la
funcionalidad qp = 1 1l ,
se tendra que el rendimiento [YpsI variara en funci6n de
la velocidad de diluci6n [D],de acuerdo a la ecuaci6n:
Si el valor de [YpsI es constante y se sustituye la ecuaci6n [18] en [17), despues de
desarrollar esta igualdad se obtendra la ecuaci6n cuadratica:
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57
x
CondJdones inidAie.
y
valores de las coJUtanlc.
1 m-O.4S;Ks-o.2: Pm-14O; m-O.l; Vg-O.56;Vp-.51; a1fa-3.5; bet--O.2; Vp-O,51;
( feuadones del sistema )
qp-alfa II+OOt;qa-m+II/Vg+qp/Vp; Vpo-qp/qs; VPX-qp/II; VX'-II/q.;
1;
b-(Pm/Vps)- IIPm/(lim Vps)-Sr; c--II Pm KS/(lim Vps);
.- -b+ b 24
c) 1/2»j2;
pVl<S(Sr-s); p-Vps(Sr-.); Rp-II p; Rx-II >
gl-Plot30[s.III.O.075.0.95l1m).ISr,so.250).AxesLabel->I DiJ': Sr· .'s
Il;
g2-Plot30[ (I\.O.075,O.95 IIm).{Sr,so.250).AxesLabel->( Oil ,' Sr','x
Il;
g3-Plot30[p'(1I.0.075.o.95l1m).{Sr.50.250J,AxC1IlAbel->( DiI ,' Sr ,'p Il;
1r4-PIot3D[Rp.III-O.075.0.9SIIm),(Sr,so,2S0),Axeslabel->{'DiJ ,' Sr . Rp Il
Sitow[GraphicsArTay[((g1,g2J,(g3,g4»1l
(OCultivocontinuo de simple etap •.
Efecto de (Sr) en I. inhibici6n de
la
veloddad de cn dmiento (II). por un producto metab6Uco
Repercu.si6n en
variables I.. s. p
Y
Rp) - f(lI)
M<'KIelode inhibid6n lineal 11-[11ms/(K.9+s))[l-p/Pm)
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58
u...
de . OI.ciont. m:/< de IA «uncidn tIl b lOl / I f fo m il de CUTV<I pan (s} . mosIrndastn II I
n
Se
uIiIizA
1 mD
pardmtlro
1 o r
de
Sr.
que .
I T « wr r
c k s < k 120.200
g il •• ntm
l It 10g f
9/1)
Sustrltu re dual
solbat=PlotfEvaluatc[Table[s/ ~1,(Sr.120.200,10}]1{dil.O.01.0.18}.
PlotRange->{{O.Ol,O.18}.{O,lSO}I,GridLines->Automatic,
AxesJ,.abel->(·,,( 1/h) ,
o W
1)·}.PlotLabel-> Suslrato resid ual l
Modele y valor de las constantes )
I m=O.28;Pm 7;5m-367;Yg-0.56;Yp ().51;Ks=O.2;m=O.1;Yps=O.8( i p);
b-Pm/Yps-Sm-Sr;
c-dil Pm Sm/(jlm Yps)+Sm S,- PmSm/Yps;
d-dil Pm Sm K./(j.m Yps);
sol=NSolve{{s 3+b s 2 + C 5 + d= ()} {sll;
La soluti6n de las ecuaciones de balance del
cess
dan como resultado una ccuaci6n cubic. )
( Comportamiento de [s) en Cund6n de (It)
y [5,) en un sistema continuo simple
Se emplea un modelo combinado de inhibition PO producto
sustrato
cuando Yps
es
constante
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59
En la ecuacion 22) se observa que ~2 D2 a menos que x O.5i este fuese el caso,
el reactor continuo opera ria como simple etapa.
[21]
[22]
X2
D2[x ]/[D2-~2]
~2
2[x2-x ]/[x2]
En estado de equilibrio dinarnico:
v
2 dx2/ dt) ., F2[x ]- F2[x2]
+
V2 dx2/ dt)cre c
dx2/dt)ac
D2[x ]- D2[x2]+ ~2x2)
ala nce de biomasa en el reactor [ ]
x xl[F /F2]
p Pl[F
/F
2]
s,
F
o[Sr]
+F l [sl11 /
F2
Par 1 tanto:
F2
Fl + Fo
F
2
[x ]
Fl[xd
Fo[O ]
F2
[Sr ]
Ft[S t]
+ Fo[S r]
F
2[p ]
Fl[pt]
+
F
0 0)
En el esquema del proceso se muestra que en el punto donde confluyen las dos
corrientes de entrada al reactor [FI xI,51,PI procedente del reactor 1 y [F {Srll
procedente del tanque de
alimentacion
se obtiene un flujo de entrada
[F2
x ,Sr ,p ll:
Ecuaciones ba lance
3 Cultiuo continuo multiple etapa
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Sistema fermentativo continuo de doble etapa con doble alimentaci6n
F
s .x .p 1
F SMI
Fo S
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6
5i en la ecuacion [27) se sustituye Y , 2- f ~12 s2 - t ~2 y se despeja [~2) p uede
ya evaluarse todo
10
que dependa de csta variable. Si se considera que el
rendirnlento celular esta afectado por la energfa de mantenimiento, pero que no
hay una acumulaci6n importantc de otros productos a expensas del sustrato y
ademas, se utiliza el modelo de Monod para describir a la funcionalidad ~12
t 52)
se obticne ecuaci6n cuadrauca:
[27J
En estas condiciones no es posible evaluar [s2] [x2J, ni [~); sin embargo, si se
tgualan las ecuaciones [21) y [24] se obtiene:
[26J
5i en [24) se substituye el valor de [~2J descrito por la ecuacion [22], se obtiene:
[24J
[~5
X2
=
2
~2)[Y <52][ 5r -s2)
~12 [D 21 x2 [Yxs2][ 5r -s2
En estado de equilibrio dinamico:
V ds dt).c = F2[Sr ) - F2[52) - V ds dt)CQ s
(d~/dt)ac - 02[5;-52)- ~ :zX2 / Yxs21
Balano: de sustrato
ell
el renctor [2J
[23
En estado de equilibrio dinamico:
V2(dP2/dt)ac = F2[p )- F
2
[P2) V2(dP2/dt)prod
dp
1
dt)ac
=0 2 [P - 0 2 [P21
(~2x2)[Y
PX 2
Bnln nce de producto ell e l reactor [2 J
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62
i
el rendimiento celular [YxsJ esta afectado, tanto por 1 1 como por el consumo de
sustrato para acumulaci6n de otro producto de reacci6n, ademas de la biomasa
por otra parte, se considera que el rendimiento
[Y pxl
permanece constante, se
obtiene otra
cu dr tic
en donde los valores de [a), [b),
y e
son:
[28
[29]
[ {-b [b
2
-4ac)o.S}/2a
[ l2h (-b - [b2-4ac]O.S} 2a
Las soIuciones para [Il ] seran:
a
(Y g [5
r + K ,;) + x }
b
(x [m
Y g -
m .,, ] -
Y g[ ilm ,, 5
r +
02(5
r + K ,; » ))
c
(IlmaxYg[Oi)r - mx ))
Oonde:
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6
5
Rx2
5
O
o
Q
5
z~o
O
o
gl =Plo I3D[Il2,IFo.F1/ 100 .5 Fl}.(5r.sl ,SO },AxosLaool.>{ 'Fo ;
5r ;1l2 . ;
g2=Plot3D[ .2. {Fo.Fl/1OO,5 Fl j.tsr.sl.5 0j, AxesLabel .>( Fo . Sr ,. . .2 Il;
g3=Plot3D [x2.(Fo,F l/l00 .5 Fl ).(Sr,,;l.50). AxwLabcl· >{ Fo . 5r ;,,2 lJ
g4=Plot3D{Rx2.{Fo.F l/l0 0.5 F lI,IS r,, ;l.50). AxesLabel· >{'Fo· . 5r ;Rx2
lJ
Sh ow[Craphk sArr.y[l (g J.g21.(g3.g411lJ
ondiciones
uuciales
valorcs de las constantes
xl-10; FJ=SO ;V2=230; 51=0.01 ; YS~O.56;Ks=O .2;m=O.1; ~m=O .45;
Ecuecicnes
del
sistema
x'=x '1 I '1/F2;S r'=(FoSr Fl sl)/F2; F2=Fo+I'1; D2=F2/V2;
'=YS(S~+Ks)+ l( ';b= x'(m YS'~lm )-Ys{j.lmS r'+D2(Sr'+Ks»/a ;
c=nm Yg(D2 Sr rn x ')/. ; ,12=(· 1>-(1>'2-4)'(1 /2» 2;
52=~ KS/(J1 m 'J1 2);Yxs2=~ (1l 2/Y g+m ); x2=l('+Yxs2 (S r'.s2);Rx2=D2
x2;
Cultivo continuo de dcble etapa CCMC
Efecto
Sr en las variables (l '2 .
S
x2
y
Rx2) = ((Fo)
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[32
Substituyendo este valor en la ecuaci6n
131 ]
asl como el valor del flujo [F] dado
por la ecuaci6n [30 J se obtiene:
Por tanto:
EI valor de la relaci6n [xd/x] depende del valor de la eficiencia del separador:
131 1
Dividiendo entre x :
F+wF x Fd xd + Fc xJ + wF xJ
F+wF x Fd xd + x, Fc+wF
Se
considera que en el separador el tiempo de pennanencia de los componentes es
muy reducido, por que no se altera la concentraci6n de reactantes productos
en las corrientes Fd YFC
lm zce d e iolllll fl ell e l sep r dor
[301
Por tanto:
F + wF
Fd Fe + wF
r llljo
Ecuac iones
de
balance oer esquema
2.3.2.3Cultivo continuo
COli
retroalimentacum extema
de
biomasa CeRE
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6
Ejemplo de un sistema fermentativo continuo con retroalimentaci n externa de
biomasa CeRE . Tratamiento biologico de efluentes empleando el proceso de lodos
activados
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66
EI comportamiento especifico de las variables [x.s
y
p] dependera del modelo que
rija a las velocidades especificas de crecimiento celular [I-I s,p)], de producci6n de
metabolitos [qp Il)]
[35]
En estado de equilibrio dinamico:
V{dp/dtlac: wFp - F l+w)p + qpxV
alance producio ell el reac to r
3 4
En equilibrio dinamico:
V{ds/dtlac: wFs + FS r - F l+w)s -l-IxVY xs
alano susir a to en el reactor
Oonde: 0 S B 1
3 3
1-1 - O l+w-w[l+EFd/ Fc+wF»
0 1- [wEFd/ Fc+wF)]}
D C
Substituyendo la ecuad6n 32 :
1 -1 : O l+w) - wD[xcfx) O{l+w-w[xc/x))
En equilibrio dinamico:
Vldx/dt}ac: wF[xd - F l+w)[x] + l-I[x]V
nlnlla biomasa en el rencto r
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Igualando las ecuaciones [35)
y
[36),
y
despejando
[
se obtiene la ecuacion
cuadratica:
[36)
Despejando el valor de [p) a partir del modele de crecimiento I1 S,P):
odelo de produccion
qp = a BD n +
Rendimienio ce lular
A
=
l+p/Kp
Donde:
p s,p)
=
~lmtixs/{A[K,;+s)}
aso ell e l que se prese n ta inh ib ic io ll por producto de acuerdo al modelo de crecim ienio
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68
P1oI3D[.,{F,FI.20FiLlw,wmin .wllm1Axe sLabel ->{ F· . w . s
I I
PIoI3D[x.{F.Fi.20Fi) ,{w ,wmin,w lim},AxesLabel->{ F , w , x J ]
xcx -(l +w-FdF l-Ef)/ 1+w-Fd F);B-1+w(l-xcx);D iI-F / V;Oc- =B;
,, -00 (8 );. - J< . /C m-,,);qs-m+,,/Yg;YXS-II/qs;x -Yxs(Sr-s);
CONtante8 del sistema
del modelo de crecimiento
Ef-O.9; FdF-O.9;Sr-4;I<5-O.2S;m-O.l;Yg-O.5;
1 -O.1;V-1000;Fi-lO;wmin-O.19;wlim-O.5;
Cultlvo continuo con reclrculacl6n extema de blomasa CCRE)
EfedD del F1ujoF y de ]a fracci6n de recirculaci6n de biomaliA w)
en lot valores de S\lStratoresidual 8)
de concentrad6n celularfx)
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Haciendo balances similares para
sustrato
y para
producto
se obtiene:
[38]
dx/dt ac
X Il-F/V aX Il-D
Sustituyendo estas ecuaciones en
3 7 ,
se obtiene
1 0 1
ecuaci6n
vo lu metr ia l
de balance
de biomasa:
dV / dt F - J t
Lavariaci6n en el volumen
esta
dada por:
d Vx /dtlac - x dV/dt + V dx/dt
Laderivada del producto de las variables Vx es:
3 7d Vx / dt}ec
{d Vx /dt}crec
j.1VX j . 1 ; Donde
=
Vx
iolll s
Ecuac io n es g ertemks de ba lance de mRter la le s err un s is tema s em ic er ra do
EI suministro gradual de nubientes a un cultivo por lote, es una practice que
empiricamente se ha utilizado para el cultivo de microorganismos a largo del
siglo. Es hasta la decada de los setenta que se describen matematicamente distintas
variantes de esta clase de fermentad6n a la que genertcamente se denomina
Fedbatch.
En
este
sistema hay entrada, pero no salida de materiales al reactor, por que
tambien se le denomina cultivo de volumen variable. Por la forma de suministro de
nubientes al reactor, los sistemas fermentativos semicerrados pueden elasificarse en
cultivos con alimentaci6n consta nte
uariable. EI conjunto de ecuaciones diferenciales
del sistema, que describen a las velocidades globales
volumetricas de acumulaci6n
de materiales en el reactor, son las mismas para cualquiera de los casas ecu c iones
genera le s de bala llce diversificandose las soluciones a estas ecuaciones generales en
cuanto se considera la fundonalidad que tiene la velocidad de suministro del
sustrato limitante
FSr
con respecto al tiempo.
2.3.3 Sislemils fermentativos semicerrados
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70
Edwards y col. 1970) presentaron un tratamiento matematico para un caso
particular del
cult iuo por
lo te COl ia lilllelllacion
exponencial
de nutrientes FBcx),al que
denominaron
cult ioo extendid o
en el que la concentracion de sustrato Iimitante se
Las ecuaciones de balance volumetnco de materiales, obtenidas para el sistema
semicerrado [38 a 42], son identicas a las de un sistema abierto de simple etapa, 10
que significa que en ciertas condiciones es factible operar el cultivo
Fedbatclr
en
condiciones de equilibrio dinarnico.
Para un
culiiuo por late
CO li S lIlI Iill istro
consta nts
de nutrientas FBlin), Pirt 1975)
plante6 la existencia de un virtual estado de equilibrio dinarnico qss por las siglas de
quasi steady
slllt e , cuando la demand a microbiana por el sustrato que Iimita al
crecimiento qsxV) alcanza a la velocidad de suministro FSr). En tal estado, la
concentracion celular no varia en el cultivo por 10 que la biomasa total Vx) se
incrementa en forma lineal.
[42]dp/dt)ac
I-IxYpx- F/V)p
I-IxYpxD p
Igualando esta ultima ecuacion con la 3) despejando, se obtiene:
d Vp)/ dt}ac
p dV/ dt)+V dp/dt)ac
Dado que
4 1
d Vp)/ dt}ac
d Vp)/ dt}prod
I-IVxYpx
roducto
[4
ds/ dt)ac
F/V) Sr-s)-l-Ix/Yxs
D Sr-s)-l-Ix/Yxs
Por 10tanto:
[39
d Vs)/dt}ac
FSr-{d Vs)/dt}cons
FSr-qsVx
FSr-I X/Yxs
d Vs)/ dt}ac
s dV/ dt)+V ds/ dt)
Sus trato
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71
Para ejemplificar, se emplean los modelos de Monod j.l
j.ll ,bs/ Ks+s , de sfntesis
de metabolitos qp
O:j.ln+1l se define aJ consumo de sustrato como qs m + j l Y g
qp/Yp
~
t
4> s,p .
Donde:
[43
44
V =v; Ft
dx/dt ac X j.l-
F /V
X[j.l-
F I C Y o F t»
Integrando entre los limites
C Y
- V Y 1 - I se obtiene:
dV dt = F = fit = Constante
Id V
-IFdt
Dado que:
2 3 3 Pedlmtcn
COil
suministro constante denutrientes
mantiene constante cuando la velocidad de suministro varta de acuerdo aJ cambio en
Ja demanda de sustrato. EI culiioo extendi do FB e puede
m ntenerse
en condiciones
en que dsl dt ac
0, aunque transitori ...nente dxl dt ac .. 0 y j.l .. D. Eslo marea la
di erencia con cu lt ioo expon encialm en te al imentado en complete esla do de equilibria
FB
L ,.
en el que j.l 0 y no se tiene acumulaci6n volumetrica de ninguno de los
materiales. Este ejemplo es un caso particular deillamado cultivo exlendido.
En los ultimos casos mencionados, su aspeclo matematico se tratara mas adelante en
forma individual , la variaci6n en la velocidad de suministro de nutrlentes FSr se
consigue variando eJ flujo F mientras Sr se mantiene constanle. Sin embargo, es
posible obtener una cedula de alimentaci6n diferente si la variaci6n en el sumirustro
se consigue provocando un cambio en el valor de Sr= fit , por medio de un
dispositivo que genere un gradiente de concentrad6n en el tanque de suministro de
nutrientes al reactor. En este ultimo caso, se tendra un
cultioo am
alimen tacio n
ell
IOYl In
de
gr iellle
de concentraci6n FB
g .
Este Ultimo tipo de sistema simplifica
operativamente los cultivos por lote con alimentad6n variable.
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72
~=h{D(Sr-So) - xo{m+ (Ilmax/Yg)so/(I<,.+so)+ (I/Yp)[a(llmaxso/ (Ks+so»n+ 3])}
K2=h(xo+Kl/2){llmax(so+~/2)/[Ks+(so+~/2)]-D}
~=h(D(Sr-(so+~/2» - (xo+Kl/2)(m + (llmaxlYg)(so+~/2)/(I<,.+(so+~/2» +
(l/Yp) [a(llmax(so+~/2)/ (Ks+(so+~/2»)n+ 3])}
La variable [D]se evalua a tl h
s
constantes
[K ]
y
[L]
evaluadas al tiempo tl
h son:
[5 ]
[5 1]
[5 2 ]
(x) (x)n.l+(1/6)(Kl+2K2+2I<3+~
(s)n (s)n_l+(1/6)(~+2~+2L3+L4)
(P)n= (P)n_l+(1/6)(M1+2M2+2M3+M4)
Las funciones [x.s.p] ~
f t
que describen el comportamiento del sistema, se obtienen
resolviendo
conjunto de ecuaciones diferenciales [45,47,49], mediante la
utilizaci6n de algan metodo numerico, Dado que anahticamente son irresolubles, el
mas usual es el de Runge-Kutta de cuarto orden. La soluci6n para este sistema de
ecuaciones en particular es:
[49]
dp/ dt)ac qpx-Dp = f ll x-Dp = f x,s,p
(ds/dt)ac
D(Sr-S)-IlX/Yxs= D(Sr-s)- (x)(m+llI'Y
g
+(all + 3)/Yp)
(ds/dt)ac D(Sr-s)-x{m+(llmaxlYg)S/(I<s+s)+[alllmaxs/(I<s+s)] + 31/Yp)=(x,s) [47]
(dp/dt)ac = ~xYpx-(F/V)p - ~xYpx-[Fp/(Vo+Ft)] [4 8]
[45]
[4 6]
(dx/dt)ac - x(~-D) x[llmaxs/(I<s+s)- D] = /(x,s)
(ds/dt)ac = (F/V)(Sr-S)-~x/Yxs
[F/(Vo+Ft)](S.-s)-~/Yxs
Estas ecuaciones se sustituyen en las ecuaciones de balance:'
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Calculados los valores de (xI) Yde (sl) al tiempo t1 t o +h, pueden estimarse los
valores de (qph {a(1l1) + f3) y de (J.ll) [llmax)(sl)/[Ks+(sl)] para calcular los de
M l
a
M,I.
Cuando (dx/dt)aC' (ds/dt)
y
(dp/dt) = l(x,s,p), tal como ocurre cuando se presentan
fen6men.os de inhibicion por producto que afectan tanto al valor de [u] como al de
(qp], no es valida- esta ultima consideraci6n y habra que estimar la serie de
constantes
MJ
de la misma forma que se hace para
K]
y [L).
M1 ' h{(xo)(qph - (D,)(p,,))
M2' h{(xo+Kl/2)(qph (D )(Po+M1/2)}
M3' h{(xo+K2/2)(qp)1 - D1)(Po+M2/2»)
M4' h{(x(l+K3)(qp), - (D,)(Po+M3)}
Dado que (dp/ dt)ac ' f(x,s,p) ' qpx - Dp Y siendo qp ' f [ l l s ] , es posible evaluar
qp) a t n t n - 1 + h utilizando el valor de Il n determinado para (s)n' mediante las
ecuaciones [50 y [5 1], ya que tanto (dx/dt)ac como (ds/dt)ac no dependen de [pI
sino que son funci6n de (x,s). En este caso, los valores de las constantes
[M]
para la
ecuaci6n [10] seran:
K4 'h(xo+K3)(~lmax(So+~)/
[ K s
+(so+~)]-D)
L4 'h{D(Sr-(so+4» - (Xo+K3)(m+ (llmax/Yg)(so+L3)/(Ks+(so+~» +
(l/Y p)[a(llmax(So+
4 / K s
+(so+4»t+f3)}}
K3 'h(xo+K
2
/2)(llmax(So +L2I2)/
[K
+(so+L2I2)]-D)
L3 'h{D(Sr-(so+L: /2» - (xo+K2I2){m + (IlmaJY
g
)(so+L2/2)/(Ks+(so+L2I2 +
l/Y
p [a(llmax(So+~/2)/ (Ks+(so+L2I2)))n+f3)}}
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t = = r : : : : : : = = ; : = 3 : = = ; : : = ~
< h
15
2
25
•• {1/h
3
{h
3
2 5
1 5
1
5
u r r
t
o
<9
. . .
x .tP 0/11
•
6
5 5
5
•
•
3 5
b om
. q/l
rev-Plot[EvaJuate[(vo-+F1)/.aoll.(t.O.tf).AxeaLabel->rt(h) . v(l) ).PlotLabel-> volumen J;
red-PIot[EvaJuate[F l(vo+F t)/. IOI).(t.O,tf),AxeaLabel->rth) , O.1/hl l,PlotLabel-> Diluci6n
re,,-Plot[EvaJuate[((I-p[t)/Pm) m .[t)/[Ks+s[tDl/ .sol],
(t,O.tf).AxeaLabel->rt(hr.- (l/h) l,PlotLabel-> II );
rex-Plot[EvaJuate[xltJ/.aol),{t.O,tf),AxeaLabeI->rth) .·x[&/1)1,PlotLabel->·biomss );
rep-Plol[EvaJuate(p[t)/ .aol).(t.O,tf),AxeaLabeI->rt(h) , p[&/ll1.PlotLabel-> producto J;
re.. Plot[EvaJuate[a[t)/.aol).(t,O,tl),AxeaLabeI->rt(h)..... [&/1)1,PlotLabel-> sustrato );
mud-Sh_[ujI,red,AxeaLabel->rt (h) ,·11,[I /hl1,PlotLabel-> II.O_alit) };
mull-Sh_[rex,re.,rep,AxuLabeI->rt (h) x,a.p (g/ll1,PlotLabel-> x.s.P
=f[t] ];
Show{OraphicaArraY({(rex.rea},{mult,mudllJ]
aol-NDSolve[tv'[t)--F, x'[t)--«I-p[t)/Pm) m a[t)/(Ka+s~';1Il[t)-Fx[t)/(vo+F tl,
.'[tl-- F(Sr-a[ID/v[t)-(m+«l-p[tJ/ Pml m s[t)/ (K8+a[tDl/Y+(alfa« l-p[tJ/ Pmjum
a[1J/(K.+a[tDlJln+beta)/Yp)x[tJ.
p'[t)--(alfa «l-p[t)/PmI m a[t)/(K8+a[tDl n+beta)x[t)-F p[tJ/(vo+F t).
v[O)--vo,x[O)--xo.a[O)--ao.p[O)--po).Iv.x,a.p},(t.O.tI).
Aec:uracyGoaJ->12.PrecioionGoaJ->12.WorlcingPrecision->22.MaxSteps->1000J;.
( VaJoru de con.antea empleando un modelo lineal de inhibici6n de po)
,..,..3;ao-I.5;IIm-0.3;YrO.56;Ka-0.25;m-0.075;Sr -60;
tf-4.5;n-I;po-O;aJra-1.0;beta-0.1O;Yp-0.51 ;Pm
z
75;F-0.2;vo=2.0;
( F~dbatch con auministro constante de auatrato )
( x'[t)- jI(x)-(F V x; a'[t)-F(Sr-aI/V -qa(x);p'[tl-qp(x)-(FIv)p*)
( qrm+jl/Y,+qp/Yp; -(,,m a/(K8+a))(I-p/Pm); qp-aJfajll) n+betao)
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75
[5 5]
Inlegrando entre limites:
dV/ dt = F =
f t
= Afe ~t }
JdV=JFdt= fAhlIJe ~t udt
Dado que:
Donde:
[54]
Resolviendo la ecuaci6n [40] para F:
F= ~lXoe ~t [y
X S S T - S ]
= Ae ~t
Dado que
l ]
es constante, el valor de s ll) sera tam bien constante, por tanto:
ds/ dt).c
=
0
[53]
Resolviendo la ecuaci6n [37] para [I ll constante:
En un cultivo extendido, se busca que el suministro de nutrientes se modifique de
acuerdo a la variad6n en la demanda. Si el suministro y la demanda varian
paralelarnente en el tiempo, la velocidad volumetrica de acumulaci6n de sustrato
sera cero. Por tanto [5] y las variables dependientes de [s]seran constantes, a menos
que
l]
este sujeta a inhibici6n por producto; de no ser este el caso, se tendra que los
terminos Il s), q qP YXS Y Yps son constantes. En estas condic iones las ecuaciones
generales de balance tienen soluci6n analitica.
23.3.2 Fedbatclz exponencial culiiuo extendido .
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EI perfil que adquiera D, dependera de las caracteristicas del microorganismo, de las
condiciones iniciales del cultivo
y,
de manera primordial, del valor de Ia
concentraci6n de sustrato limitante en el medio de suministro (Sr)' En el esquema se
muestra que un cuJtivo extendido slempre tiende a alcanzar el estado de equiJibrio
dinamico cuando D~(J.l) y que para cada conjunto de condiciones e cultivo, existe
un valor de Sr con el que es posible operar en estado de equilibrio durante todo el
cultivo. En la figura se representan diversas trayectorias e la concentraci6n celular
(x)dependiendo del valor de S,que se emplee. EIvalor constante de x corresponde
[59J
Las ecuaciones [56,57
y
58) describen el comportamiento de [x.s.p] ..
/ t
en el
j edbafc
exponencial. Estas se utilizan conjuntamente con la que describe la variaci6n
temporal del volumen [55].
Del balance de materiales en un
llifivo exten i o
se obtiene la ecuaci6n
5 9
que
describe la variacion temporal en el valor de la velocidad de diluci6n (D).
5 8J
[Y px l
/(11)~ Cte,
dP-I1Y pxXo J{e{l1t)dt}
P- P Y x V (e( l) - 1
o px
p poY
0
Y
pxxo
Y
o[e(lll) -
1 l V
Donde:
[57
~ ~ I < s }
{l1max- Constante
(dP dt).c
I1[Ypx [ oVo){e(Ill»
EI valor de [s) sera constante
y
estii dado por la ecuaci6n [57], si se utiliza la
funcionalidad de Monod.
[56]
A partir de la ecuaci6n [53] se obtiene eI valor de x(t) que estara dado por:
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77
lempo hi
10
0
lIh
o.
o.
o.
o .
? ett pO
h)
4
8
10
x
1/h
Ecuacioncs del sistema fermentativo
II -11m s/(Ks+ s);
qp • •
f ll\n b ;
qs-m+II /Yg+qP/Yp;
YU-II /q ;
Plol[Evaluote[Table
[II xo VO(Exp[1It»/(yu(Sr-s»/(Vo+xo Vo (E xp[1I t]-l)/(yxs(Sr-s»),
(S r,14})),(~O .()},10LFrilme->FaIse,AxesLabel ->( Tiempo(h) , O (l /h) 11
PloI{l v.luate[Table
[)(OVo Exp [I II] / (Vo+l I ) (0 Vo (Exp[1I
tJ-1)/ (Yxs(Sr- ))),
{Sr,14 1l 1{t,O.OI,O},Frame->F.l .. ,AxesLabel->{ Tiempo h) ,
x g
1) 11
Condidone5 inldalcs
valor de las conslante.
)(~; Vo-2;Ks-O.2 ;lUIllb, -OS;m-O.l;
Yg-O.59;Yp-O .5 1; a-O .O ;b-O.O ;n-l ;s-O.5;
Efecto de Sr en el c:omportamHmlo de 10diludon (D)
y la acumuladOn volLlm~tricade biomasa en un cultivo
Fedbalch con .limenlad6n exponendal
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78
is
o
Diluc i n
p
Prccuct c
IS
IS
x
iom s
EnulI :io nut d(l l thtCtna (c. rmc ntativ o
<jp:-a uAn+b;qs.-m+u/Yg+qp/u; Ypx:-qp/u;yxs
=u
/qs;
, -um
/ Ks+);
V :-V<>,,(.o Vo (E xPlu
) -I))/(y (5-s
.: -(xo Vo ExPlu ll/V ; p: po Vo+Ypx xo Vo (Exp[u .)- Ill/V ;
F: u Vo Exp[u D /(yxs(S )l; OiI F/V:
gl - P Io I3D [x ,
(I)),
15 L ( 0,0. 5, 1 O J,
A xesLabeJ-> rt , )( 0 · , . 1( · ) ,Plo ILabel· > B iomasa t
g2-
PIoI3D (p,(ofi, 15j ,(xo ,0. 5, 10) ,
A x e sLabeJ-> r , ,;o · , · p
·lJP~Label.>·Pn>d\lclo·l;
g3 -PI o I3 DIF ,(.,O ,15),(xo .( l.5, lO j,
A e .s Label -> rt· , · x o , F · 1 ,Pk>tLabel. > adula de alime :ntac i6 n· ) ;
g4-PIoI3D (ou. [,,0 ,15),(xo .( l.5 ,IO },
Co ndici one s in ic ial e s y
valcres
de las
constantes
um-O.45,Ks-D.25;a-2.6;b-D.2;n-I.25;Yp-O.51;
Yg-0.56;m-D.15;o:-I s Ks;Vo-2 -IOO;po-l;
f e c t del valor inic:ial de in6cuJo xo en cl
componacuento
de un culUvo .allinenJado
exponendalmeue
o
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li F II/hI
ol\ul~n F lu o
18
16
3
14
12
Z
10
8
t Ihl t Ihl
8 Z 6 B
t p 9/1
lJ O It/h
X.p - tCtl
u · fet
3
0 •
Z Q,3
0.3
to
O Z
5 0,15
Ihl
Ihl
6 B
2
6
8
rev- PlotlEvNuatelvlt · soll.{t.O.tl},AxeaLabeI'>f'1 (h) .
y
{1J1.PlotLabel- > volumen °1;
rex-PlollEvaluatelxltll ,soll,(t,O.tl}.AxeaLabel·>it (h) . x III/I) }.PlotLabel-> biomua l;
rep= Plet]Evaluate (Pltll ,soll,{t.O.tl}.AxesLabel·>it (h) . p 1A/1) ),PlotLabel->'producto l;
ref- Plot(Evalu atelv'lt
,sol1.lt.0.tl},AxeaLabel· >it (h) .·F
h)I.Plot Label- >°f1ujo°1;
red= Plot(Evalu atelv'ltl/v(ll/.soll.ft,O,tl}.AxesLabel->il (h) .' {l/hn, PlotLabel·> 0iI 1;
, rc,,-Plot(Evaluatel (l'p(t)/Pm) m ac/(Ks+sc)/,soll,
II,O,tf),AxesLabel->Ft (h)', (l/hn,PlotLabel'>'~ - fll) l;
mult-Show(re ,rep,AxesUi.be ->il (h) , ,p (Af1J1,PlotLabel->' ,p - Ilt) );
mud-Show(red.re .AxesLabel.>( 1 (h) . I',D Il/hJ1,PlotLabel->·~.D - 1l1) 1;
Show(GraphicsArray({{rev.ref),{mull,mud)}))
sol-NDSolyel{y'(I)-=F=-(m+(l/Yg)(l·plt)1 Pm) I'm
ec/ K.+ec +
(alfa (llm(l·pIIJlPm) sc/(Ka+lIC» n+bela)/Yp) II) vlll/(Sr-..,).
x'llj-- ltl (l'pll)/Pm)l'm ec/(Ks+sc) - ItI F/yll).
p·ltl-·x(t)(alfa ( m(l-pltI/Pm) ac/(Ks+ec»)~n+bela) • p(11F/vltl.
vIOI--vo.>«OI--xo.pIOI-- po}.f\Ix,p),(1,O.tl}I;
('VNores de constanles empl.eando un modelo lineal de inhibici6n de .)
0-5;,,m-0.5;Yg-0,56;Ks=0, l2;m-0, I;Sr -120;ec-0,5;
tr S;n-l;po 1 ;alfa-l ,S;beta-0,06;Yp-0,5l;Pm-75;vo-5;
(. Fedbatch con suminiatro ex.ponencial de auatratol l
(·Siatema de ecuacionea diferencialea considerando el efecto inhibitorio de (PM
('x'II) ~(x).(F
IV ><
a'(tl-F(Sr·a) -qs(x)-O; p'(tl-qp(x)-(F lV)p;v'III-F-qS(x)/(Sr-ec) l
(·qs-m+~/Yg+qp/Yp; ~-(~m s/(K.+s)J(I,p/Pm); qp-aIfa{~)~n+bela·)
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8
Un cultivo por lote con
fl u jo de IIIimerl tllci6n consllln ie
es mas facil de lIevar a la
practice que un cultivo con
f ll jo
variab le de nutrientes. En el segundo case, es
necesario el empleo de equipo mas complejo, por ejemplo: si se trata de un sistema
automatizado se requieren sensores especificos para detectar el nivel de sustrato
limitante, asi como servomecanismos de control para la dosificaci6n de nutrientes.
Auque se lIegase a prescindir de instrumentation complicada para el proceso, serfa
necesaria, al menos, una bomba de alimentaci6n regulada por un programa
previamente establecido. Un sistema fermentativo semicerrado que conjunta la
ventaja de la facilidad operativa del lin con la mayor productividad que presenta
el cultivo FB~ es el sistema FBg en el que el f1ujopermanece constante y la
varia
en un dispositivo que genera un gradiente de concentracion y que se presenta en el
esquema de la pagina siguiente.
EI gradiente se obtiene al transferir gradualmente el medio concentrado
(St)
del
tanque R a un medio diluido (5 )en el tanque G. La variacion de la concentracion
de sustrato en el f1ujode alimentacion (Fg dependeni de los valores relativos de
los diametros Dr YOg de los tanques del sistema generador de gradiente. 5i ambos
diametros son iguales, 5g variara linealmente. 5i Dr > Og la curva sera concava
hacia arriba. 5i Dr < 0g se obtendra un perfil
invertido
23 3 3 Fedbatcll Ol
liment citm
en
form
degradiente
la condici6n en donde J y 0 son iguales y Sr - So+x/Yxs
En 1977, Lim y col. hicieron un analisis matematico de los cultivos,
extel/d ido
y
fedba td l exponencial describiendo las condiciones particulares en donde puede
mantenerse un estado de equilibrio dinamico, analogo
al
obtenido en un sistema
continuo en el que se mmpleque (ds/dt)ac = (dx/dt)ac = y
J
= D.
Cuando se trabaja con
cultivos
en los que no se presenta el fen6meno de inhibicion
por producto, se puede pensar que es suficiente cumplir con la primera condicicn
(ds/ dt 0) ;>araque el estado fislolegico celular se mantenga constante, ya que J I
j{s Ytodos los demas parametres de estado fisiol6gico depend en a su vez de (u). En
estas condiciones, teoricamente no debieran presentarse diferencias en el
comportamiento celular de un cultioo extendido y de un cuJtivo fedbn1ch
en
esmdo
de
equ il ibrio
dintimico
Sin embargo, normaimente hay variacion en los niveles de sintesis
de algunos componentes celulares (enzimas)
que puede ser indicative de
diferencias en la fistologta celular.
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81
Cultivo alimentado con una velecidad de flu;o constante
.uministro variable de
sustrato Sg , mediante un dispositivo fcrmador de un gradiente de concentr.ci6n.
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82
Eftcto
de ,. . .lA d 6 r o
o./D g .n tl l fiI
tit
cid n
tit
n nlnldln
de ••• _
e n tI
io t
sum inistro.1
c l or
S1g g/Kg
( Ecu.ciones genet.les del generador )
Rhogo-Rhow+kSgo; Rhor=Rbow+k Sr; ( g/cm3°)
Vor-l000hro(3.1416 DrA2/4);
Vog-l000hgo (3.1416 OgA2)/4;(*Vohlmenes n
Iitros )
Mro-Rhor Vor; (OMasaen Kg )
Rr-Mro/ (Mro+Mgo);
Rg-I-Rr;hgo-hro Rhor/Rhogo;
Mgo-Rhogo Vog;f-l.5;
Mr- Mro-F Rhor Rr tSigr-Sr/Rhor;SigoaSgo/Rhogo;
Sigmag-Sigr-(Sigr-Sigo)«(Mro-F Rhor Rr 1)/Mro)A(DrA2/(O.033330g) 2) ;
Sg-Sigrnag Rhow/(l-k Sigmag);
PIoIIEvalwolcrr.ble(Sigr-(Sigr-Sigo){(Mro-F or Rr I)/MI Q)
- A(Dr 2/ (0 .0 33330g) 2»,{Og.12}111~0.551,
Frame->Falile,A •.,LAbel->{Oliempa (h) , Sig (g/Kg) ))
Condiciones inic.laJesy valores de
lAs
constantes )
S....324;Sgo-15;k-O.000378;Rhow.l;Vo-5;Dr-O.lS;Og=O.;hro-O.5;
(0Alturas y diAmetros en
1I I;
Concentraciones en giL
vol.
en litros .)
( Sis tema generadoc de grediente de concentraoon
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83
62)
por tanto:
dado que Vr
Mr/Pr
Combinando estas ecuaciones se tiene que:
[60]
61)
EI volumen en cad a tanque es:
Dado que los tanques estan interconectados, en ambos habra la misma presi6n
hidrostatica y se tendra la relacion de alturas:
R =0 2/ 0 2+0 2
g
or 10 tanto:
A Ecuaciones desc rtp tiuos de lallllriacWlI ell collcelliracion de sustr ato Sg ell el m io de
sum inistro al mnque de ermelliacion
La masa total del sistema es la sum a de la masa liquida en el tanque R, Mr=prVr Y
en el tanque G, M g=PgV g) Rr es la fraccion masa delliquido en el tanque R )YRg es
la fracci6n existente en el tanque G .
lllilisis teorico
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84
EI valor de la concentracion volumetrica de sustrato en el tanque generador de
68
a soluci6n para Oges:
Substituyendo los valores de Mg 62)YM, 63)se plantea fa diferencial como:
[67]
Despejando dOg/dt de fa ecuaci6n 66):
66
Combinando las ecuaciones 64)Y 65):
6 5
ustr io en el t nque gr dient dor G): Considerando los valores de concentraci6n
masica en
l
tanque de suministro Og
Sg/PgYen el tanque formador de gradiente
Og
Sg/Pg expresado en gramos de sustratoj kg de soluci6n:
64]
l nce en el i nque G)
[63]
por integraci6n se obtiene:
l nce en e l tunque R
l nce m ter i les c o ns id er ndo lo s flu jo s mds icos
Fp, Y
g
Fp
g
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[7 1]
Si en este caso se considera que el consumo de sustrato por el microorganismo esta
representado por: qs = m + j.I/Y se obtiene:
ds/dt)ac
[F/ Vo+Ft»)[Sg-S]-x m+J.l/Yg)
[d Vs)/ dt]ac V ds/ dt) + s dV/ dt) = FSg- qsxV
Balance global de sust ra io
[7 ]
Si 1a velocidad especifica de crecimiento depende s610 de 1a concentraci6n de
sustrato limitante s) y 1afuncionalidad j.I= s) se expresa mediante la ecuaci6n de
Monod:
j.I
[I.lmaxs/
K
+s)], entonces 1aacumulaci6n volumetrica de biomasa estara
dada por:
La variaci6n en el volumen V del reactor esta dada por el flujo F, que es constante,
por 10que el volumen variara linealmente: V = V
+ t
[d Vx)/dt]ac = V dx/dt) + x dV/dt) = J,iXV
Balance global biom asa x
Se obtuvieron a partir de las ecuaciones generales de balance en un sistema
semicerrado.
B Ecuaciones descr ip iiuas
la oariacum en
X ,S
y P en
u n c ultillO
Fedbatch FBg
6 9]
gradiente es: Sg = OgPg. EI valor de la densidad Pg varia con la concentraci6n de
sustrato Sg. La funcionalidad experimental empleada para un medio de cultivo
semisintetico, con glucosa como sustrato limitante es: Pg = Pw+k Sg) donde k =
: 378
y
Pw es la densidad del agua a temperatura ambiente.
Por 10tanto:
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Las ecuaciones 70, 71 Y72 se resuelven numericarnente por el metoda de Runge-
Kutta de cuarto orden, induyendo en [71]la soluci6n para f / t obtenida de las
ecuaciones 68 y 69 .
[72]
La funcionalidad que adquiera qp / Il , dependera del metabolito del modelo de
producci6n que describa su sintesis
[d Vp /dtJac V dp/dt p dV/dt qpxV
l nce glob l de pro ducto
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-_
9 9/11
SIC /l.
S9 t enque C
n el
ceictor
8
1
6
8 •
2
t h
hi
2
•
6 8
x...
9 u,OIl/hi
••• ftl
..0 t: t
o . ,
0
2
0.1.
t th
t t
2
•
6
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•
6 8
('Sol
dOnde
un
sisl.mu ck
cuatro tlCU lIC io....
diferendu.l..
cmpleondo
eI
modeio
de Monod')
F
00.4 11
h
');dr-O.I01('
m );d
g9l.1997(·
m·);luo-l.l dr{ m );
vro -hto(3141 .6dr 2/4)( · I');
5r-35O('
g/l');go -25(' gI
Kg );
vu- 2. 0('1'):'0 5. 75 ( gI1');$000.05 ( gs/l ~m 00 .04 (' gs
I gc,
h );Y&=0.56( gs
11l t );
rhoH20-0.997( Kgll');ko().000378;rhor=rhoH20+k5r('KgJI·~Rr' <lr 2/(dg 2'dr 2);
Mto-vro rhor('K,f);lOoO:lf0().8Mro/(Frhor Rr)( h');
~moO.41 ('1 /h· );KaoO .05( gs/I ); r(S ga (g (tJ r hoH20/(1 -k g[l ]) ) el<J'fE do
en
gi l')
so l-NDSo lve[(g'[I] -· F rhor Rr(Sr/rho rrg [I]) /«Mro -F tho r Rr l) (dg
A
2/dt 2) ),
v' (I)--F ,x' (I] -- x(l]
(11m .[I / KIl+.[I] -F l vo+F I»•
• I]- F/ vo+F I)X g[tJ
hoH20/(I-k
g ~ » -[I )-xll ](m+(f1m alt]/(KI +sll]) )/Y g) .
8[O)-go ,v(O ]~ vo .x[O ]--XO (O ]-· IIOJ,Ig ,V ,J ( .. ), (~to ,tI},
Ac:curacyCoal->12. PnxisionCoel· > 12.W kingPrecision..> 20,MwStep o.> 1 50 0);
reg-Plo l[Evalualc[g[I] rhoH20
(1 -k g ll J)/.80 I] ,(~ lo ,tI ),
A. .. I..abC I->I'I(h)' . Sg( gll)· ),PIoILabcl.> Sgen ta nq ue ;
('SoluciOnanalitica a
Sg •
fll) ) gg-5r I rhor -
(Sr/
rhor -
go )« (Mro-F
rhor Rr 1)1Mro ) (dr 21 dg
A2);
'g- rhoH20/(1·k
gg );.
rev= Pio l
[C
valua te] vII)1. 1 1 (~to,11 ,Ax.. L ebe l->['I(h) ,
V(I
> 1 1 ;
re x - PlOI[E va lua t e[x [I)1 . 1 0 1 1 (~ to .tI ),Ax.. Label.>( · I(h )' ,• x(g/ I)'ll;
.... - P1o l(Evalu..tc[.[II /. II ,(~to ,lf ). Ax.. Label-> [' I(h ) 'o(gJl)'), Plo IL abe l· > '[a) on c t reec tor ]:
red~Plo tlE va l ua tc[F
I
vl
III
.sol],(~to.lf), Axe sl.abel->
( t(h). ,•
0( 11 h) '), Plo tRange .> IO,l1mll;
'11=
Pio l IE
val
ua te{(I1m 1 1 1 1
(Ks
+s ]
t
)))/.001).
~
o .II) .AxosLabel->
r
t{ h) :110
h) l, P1o<RM ge->[O ,~m
ll;
m I I
-Show
(re x,re s, A . LAbel· > rl(h )', •
x.s[ 1
ij ) ,Plo tLab< I· >·x,s - 1( 1)
1;
m d= Showlrod ,'.~Ax es l..abe l.>{ I(h )· :I1 ,D[l/h]· I, Plo ILabC I·> · I1 ,D- 1(1)') ;
Sho wIO,.phlco Arroy[[(t.g. , ) ,{mul~mud)1Jl
('F ed balch ron 8um ini.tro variable d. uo lr.t o FB C ')
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Para ellogro de estos prop6sitos, existen diversas c1asesde reactores homogeneos.
Los de-usc mas generalizado en el campo de las fermentaciones son las
to rr es
con ta cto y los r eac tores ag im dos mea in icam en te , En el primer caso la agitaci6n esta
dada por las burbujas de gas que se inyectan a traves de un difusor, y en el
segundo por turbinas que tienen la doble funci6n de mezclado y dispersi6n del
gas en el medio llquido.
d ispersiOn
g a s en / quid o pa ra a um en ta r el a rea d e c an t ac to g a sfl qu id o
y
consecuen tem ente velo c id a d d e tr ans feren c ia d e oxtg en o en el re a c to r
la forma c io n d e co rr ie n te s d e liq uid o que tra n sfi er a n su c a n ti d a d d e m ovim ien to a elem en to s
d e jlufd o esta ti c os, proooen n do el m ezclad o y c re a n d o con d ic ion es d e hom ogeneid a d en el
re a c to r. Esto euit a diferen c ia s zo na les en la velocid a d reacc i6n d ebid o a la form a c i6n d e
g ra d ie n te s con c en tr a c i6 n , p or ejem p lo, cua n d o a d ic ionan n utr ien ies a l reac tor.
la tr an s ferenc ia
en lor por convecc i6n
En el capitulo anterior se abord6 la metodologia para predecir el comportamiento
de un proceso fermentativo en diversas condiciones de operacion del sistem a d e
reaccum.
A partir del conocimiento biocinenco y estequiometrico del proceso,
pueden valorarse las velocidades de consumo de oxigeno dqjdt =qo2X Y de
generaci6n de calor dqjdt = CJkx de un cultivo. Esto permite establecer las
condiciones de operacion del i o r r e c to r para transferir el oxigeno necesario que
demande el cultivo eliminar el calor de reaccion. Para que los procesos de
transferencia de masa energia se Ueven a cabo de manera efectiva es necesario
que en el reactor se tenga una agitacion eficiente con objeto de favorecer:
2.4 TRANSFERENCIA DE OxiGENO EN REACTORES BIOLOGICOS
HOMOGENEOS
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Existen diversas teorias que describen la transferencia de masa gas-liquido.
Conforme a la teorfa de Whitman (1923), la resistencia a la transferencia en cada
una de las fases esta localizada en las peliculas liquida y gaseosa pr6ximas a la
interfase. Se supone que la transferencia de masa a traves de la pelicula inm6vil
odelo de tm nsferenci de
IIIlISa
c
glue
c·H:p (1-0.00125 , donde s es la concentraci6n de glucosa expresada en g/I
Existen algunas relaciones que describen el efeclo algunos componentes en la
solubilidad del oxigeno. Por ejernplo, una ecuaci6n empirica para soluciones de
glucosa es:
La
ecuaci6n describe la solubilidad de O
2
en agua, empleando aire a una
atm6sfera presi6n (
P
2 0.209 atm), c se expresa en mg/I y (T) n ·C.
c
14 .1 6 - O .3 943 T o.oom 4 T 2 - O .O OO 0646 T l
Existen algunos factores que influyen en la solubilidad del oxfgeno, la temperatura
la presencia de solutos son dos de 5 que se han descrito en erminos de
funcionalidades empfricas. Por ejemplo, c·
- A T
la represent6 Tuesdale en 1955
por el polinomio:
Para que un microorganismo aerobic pueda consumir oxtgeno, se requiere que
este se encuentre disuelto en la fase acuosa, donde las celulas se encuenlran
suspendidas. Debido a su baja solubilidad y a su elevada demanda por una
poblaci6n celular en expansi6n, es necesario que sea alta su velocidad de
transferenda. La solubilidad maxima del ~ en agua, es proporcional su presi6n
parcial en el ire que contiene P o : z l y que usualmente se emplea para teniilar el
medio; esto es, para transferir oxigeno y eliminar el C02 acumulado por el
metabolismo microbiano. La solubilidad maxima esta dada por: c - HPOT donde
C O es la concentraci6n del gas hasta saturaci6n y H es el coeficiente de Henry para
oxfgeno a una temperatura dada. Las unidades de (c ) son mmol v 1 mg/L
[p~] se expresa en atm6sferas
pascales (Pa) y el coeficiente de Henry en
unidades consecuentes. Por ejemplo, H
1.4mmol
OU I
Pa.
2.4.1Generalidades sobre transferencia de oxigeno
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En donde (a) representa el a r e a oolumetr ic a de transferencia de oxigeno (cm
cm3
cm-l). Este :ermino es un indicador del tamano
y
del numero de burbujas
presentes en un elemento de fluido. La ecuaci6n indica que la velocidad de
transferencia de oxigeno se favorece cuando se incrementa el area de contacto
gas/liquido (a), el coeficiente global (KI) 0 la diferencia de concentraciones c· -< :I),
que representa a la fuerza motriz para la transferencia.
La
oelocidad oolumetrica de transf eren cia de ox igen o
(dcll dt) es el producto del f li
j02
multiplicado por el area
volllllletrica.
de transferencia de oxigen o Dado que las
concentraciones interfaciaJes estan en equilibrio, las igualdades anteriores pueden
expresarse en terminos del gradiente global de concentraci6n con 10 que
finalmente se llega a la expresi6n
Durante la aireaci6n de un cultivo, la velocidad de transferencia de oxigeno de la
fase gaseosa a la fase Ifquida esta Iimitada por la barrera que forma la pelicula
liquida que rodea a la burbuja, ya que en ella la difusividad de las moleculas de
oxigeno es mucho menor (en varios 6rdenes de magnitud
.,10 )
que la que se tiene
en la pelfcula gaseosa te6rica en 1 1interior de la burbuja. En estas condiciones, el
coeficiente de pelicula
K
que es 1 1inverso de la resistencia de la pelicula Iiquida,
rige la velocidad de transferencia. Por esto, a
K
se Ie denomina coeficienie global de
transfe ren cia de oxig eno » pesar de que solamente es un coeficiente de pelicula
Esta ecuacion puede expresarse para cada una de las peliculas como:
Donde
t V
es la difusividad molecular del oxigeno en LapeJicula (Jiquida gaseosa)
y a la relaci6n
< D I
h se Ie conoce como el coeficiente de transferencia de masa
K .
j 0 ] _
<D16x 6c
ocurre s610 por difusi6n molecular y que existe un gradiente lineal de
concentraci6n en ella. En este caso, el flujo masa de la especie molecular que
difunde
j 0 ] _
depende del gradiente de concentraci6n (Ac) en la pelicula y del
espesor de la rnisma, de acuerdo a la prirnera ley de Fick:
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91
La uelocid d glob l de tr nsfe renci de ox g ello OTR), se expresa como el producto
dcJl dt) Vup)
donde la presion total medida en el difusor es PI
Ph + Patm +P n
Como ya se mencion6, el valor de C O depende de la temperatura y de la presi6n
parcial de oxigeno en el gas que se inyecta al reactor. su vez, p~ depende de la
fracci6n de oxlgeno en el gas < > 2 y de la presi6n total P
t
a la que este sometido ell
el reactor.
El
re
de
tmnsjereno
a) varia con el diametro de burbuja, que a su vez depende
de las caracterlsticas fisicoqutmicas del medio, del tipo de difusor y del gasto de
aire en el reactor. Esta ultima variable de proceso incide directamente en el
numero de burbujas y en el denominado coeficiente de retenci6n del gas Eg) que
tarnbien infIuyen en el valor de a).
EI valor de K ,) depende de diversas caracteristicas del medic, tales como
viscosidad 11),densidad p), tensi6n superficial 0 y difusividad del gas en el
Hquido ID),por que la presencia de agentes tensoactivos, y de solutos material
particulado que alteren la viscosidad afectan directamente el valor de KI
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92
A una baja velocidad superficial del gas wsg
Qg/area
5 COlis), el diametro de
burbuja [db] es relativamente
homogeneo
y la velocidad de ascenso de las burbujas
Vb) es uniforme y practicamente no hay coalescencia. A este regimen se Ie
denomina
p seudohomogeneo .
A valores mayores de wSe el regimen es heterogeneo
por 10 que db) y Vb)pierden su uniformidad. formaci6n de burbujas de gran
tamano provoca una mayor circulaci6n de llquido en el interior de la columna.
Debido a esto, a este regimen tambien se Ie denomina recirculanie . La transici6n de
un regimen a otro se reconoce por el rapido incremento en la velocidad de ascenso
de las burbujas:
Los difusores con los <Jueoperan las torres de contacto pueden ser esttitico s tubo
simple
perforado y
placa
perforada
porosa)
dilltilllicos eyector
inyector). En
este alomo caso, el gas se distribuye por la energfa cinetica del je t llquido,
obteniendose
un
tamano
de burbuja
uniforme,
Reactores L o o p cern reci rculacion LR
Co lumna burbujeadora co n mezcladorese s tatico s BCRSM
Reactore s Airlift de tubes concen tr ico s (A LR)
Para mantener la homogeneidad en un reactor biol6gico es necesario crear una alta
velocidad de recirculaci6n de fluido y una elevada transferencia de masa. La
economfa del proceso mejora en tanto menor es el consumo de energia para
·mantener la homogeneidad del cultivo. Una altemativa mas econ6mica que los
reactores agitados mecanicamente la constituyen las torres de contacto gas-llquido.
De elias hay varias clases, fundamental mente:
Co lumn a b u rb u je a d or a s im p l e SCR)
Co lumn a b u rb u ie a d or a mu l tie ta p a (BCRM)
24 2 Columnas buri ujUldoms
24.2 Torres de contacto gas-liquido
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93
Principaies configuraciones de reactores
Airlift.
ALTC
Airlift
de
tubes concentricos ALL Airlift loop SCAL Split cylinder loop
SeAL
ALL
TC
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Presion en la superficie delliquido [atrn]
Coordenada axial [adim]
Altura delliquido [m]
P lO P Palm P n
z x/HI
HI
Donde:
Relaci6n entre la cabeza hidrostatica maxima y la
presi6n en la parte superior del reactor PLOP [adim
P z Plop [l+o: l-z ]
[PlgHI 1-Eg ]/Ptop
La determinaci6n de la presion hidrostatica a 10 largo de la columna puede
utilizarse para la estimaci6n del valor de g, de acuerdo a las ecuaciones:
La caida de presi6n en columnas burbujeadoras esbi compuesta por L\ps caida de
presi6n en el difusor y por api presi6n hidrostatica del Iiquido .
id d e p re s ion
Siendo Hila altura del liquido en el reactor.
Donde Dt es
diarnetro del tanque Y sg es la velocidad superficial del gas
Indicadores Importantes del grado de turbulencia que se genera en una BCR, son
la velocidad de circulaci6ri de Hquido vic y el tiempo de circulacion 1 ; . Pueden
estimarse empiricamente mediante las ecuaciones:
En estas condiciones, la mayor parte del gas es transportado en la columna por
esas grandes burbujas, abatiendose la velocidad de transferencia de masa. Esto
provoca una disminucion relativa en la cantidad de oxlgeno transferido con
respecto a la potencia de compresion utilizada, termino conocido como
econom ic de
ir e cio n
Ea OTR/ P
g
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95
Diametro de la garganta del difusor [m
. Flujo de ltquido en el difusor [m3/s
Donde:
En el caso de difusores dinamicos, fambien debe considerarse el consumo de
energia proporcionado por el je t lfquido:
Gasto volumetrico de
ir
[m3/s]
Densidad del gas [Kg/m3]
Constante general de los gases Pm ir 29 Da
Temperatura absoluta [OK
Velocidad del gas en los orificios del difusor [m/s]
R
8314 [Joule/KmoIOK]
T
Donde:
COll5 l ll d e energ i
EI consume de palencia en una columna burbujeadora se emplea para correlacionar
el coef icien te de t r ns ferenc i de
a a
con v r i b le s h i d r od i n d m i c s Cuando se emplean
difusores estaticos, la energia transferida al reactor e s la energfa cinetica del flujo
de gas y la energia de compresion necesaria para veneer la caida de presion, y
puede caJcularse con la expresi6n siguiente:
Constante gravitatoria [m/s2]
Densidad delliquido [kg/ mj]
Fracci6n de gas retenido en Ia mez.cla [adim]
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A partir de los datos presentados por estos autores, pueden obtenerse las
siguientes ecuaciones emphicas para calcular el tamano de burbuja, Cada una de
las correlaciones corresponde a un tipo de difusor, para Wsg ::;5 cm/ s. EI diametro
de 'burbuja que utiliza Sehiigerl es uno, determinado a una gran distancia del
aspersor [dirimetro
mr lm ja e n e qu ilib ria (de»).
Donde n; es el numero de burbujas con diametro
db
En los casas anteriores, el
diametro
de.
burbuja
(db) se
estima
estadisticamente
como d itirnetro Sa ute r m ed io (ds)
Su intervale de validez es:
SehUgerl y col. (1977) proponen la siguiente relaci6n empirica para columnas de
configuraci6n extn madamente alta (Ht/Dt 28
Bousinesq
a lderbankj
KI 0.42 Se-O.S(g~JO.33
KI 1 .13 a>V
b 0.5
Calderbankj
b<2·5mm
(Akita y Yoshida)2
(Akita
Yoshida)}
ia= { O .6_a>/Ot l Se0 .SBoO.62GaO .31}Eg 1 .1
KI
=
O.Sa>/db) Se°.
S
0 .2 5 G aO .3 75
KJ 0.31 Se-O .66 gv c O .3 3
o rr ela ci on es p a ra tr an sfo re nc ia
de
m asa en co lumnas
Existe un buen namero de correlaciones para la estimacion de KI de Kia en
columnas burbujeadoras, que ocupan diversas variables de .diseilo
y
opecaci6n.
Algunas de las mas conocidas fueron obtenidas por Calderbank, Schuger],
y
por
Akita y Yoshida. A continuaci6n se citan algunas.
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97
Los numeros adimensionales de Bond (Bo) y Galileo (Ga), varian con la expresi6n
en que se utilice. En la ecuacion de (Akita y Yoshidajj, se emplean:
Bo=gpID// t
PI
Sc
g
Difusividad (cm2/ s)
Diametro
del reactor
em)
Constante gravitacional (cm/52)
Viscosidad dinamica (g cm s)
Viscosidad cinernatica
WP (c~2/s)
Densidad del liquido g/cm3
Numero de Schmidt
v
q
(adimensional]
Tensi6n superficial (g/5
2)
Ocasionalrnente pueden utilizarse -otras correlaciones directamente obtenidas del
ajuste de datos experimenfales a alguna ecuaci6n empirica. Por ejemplo, para un
regimen de burbujeo heterogeneo puede emplearse l~ relaci6n: Eg 7
O 35w
sg
O 6
En eJ conjunto de ecuaciones empleadas para el· calculo de coeficientes de
transferencia de masa, aparecen los erminos siguientes:
Finalmente, para calcular Ell pueden ser titiles las correlaciones dadas por
Schugerl
y
col., para columrias burbujeadoras,
Para calcular el valor de Kja, empleando las correlaciones existentes para Kit es
necesario conocer el valor del area volumetrica de contacto gas-lfquido (a). Una
correlaci6n que se emplea con frecuencia es:
Placa perforada
Placa porosa
Difusor dinamico
de O 25wsgO ..
22
de O 7w s gO 34
de
=
O 6w sgO 75
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Ar
Ad son las areas seccionales del riser y dowllcolller, respectivamente y los
terminos
j y
v son constantes.
Vir
wSIl en m/ s
vir Wsg
en
m/s)
v
0.74;
v =
0.78;
=
1.55;
j 0.66;
irlift Loop
irlift de IIiOOsco ll een rices
irlif t Bello y col., 1984).
vir
=
j Ad/Ar)VWsg
3
VeIocidad de circulacion ell el ducto aireado vir)
Algunas correlaciones utiles para el calculo de la velocidad de circulacion
y
del
coeficiente de transferencia de
masa
en reactores
irlif l
son las siguientes:
En esta clase de reactores, la circulaci6n de liquido se debe a la diferencia en las
densidades de dos regiones separadas fisicamente.
a
primera, con una menor
densidad de Ja mezcla gas-liquido, corresponde a la columna aireada riser y la
segunda, de densidad mas proxima a la del llquido, es la correspondiente al ducto
de retorno del fluido
dowllcolller .
Cuanto mayor sea la diferencia en densidad
0
en el contenido de gas) de las fases y mayor la altura de la columna, mayor sera la
velocidad de circulaci6n vic AI favorecerse esta, mejora el tiempo de mezciado. AI
aumentar la turbulencia aumenta el coeficiente de transferencia de calor, aunque
no necesanamente la velocidad de transferencia de masa. Esta clase de reactores
generalmente operan a valores de Wsg superiores a los normales para eJ trabajo en
una columna burbuje dor
4 Beactores Airlift
Bo = gPJdb2/t
Ga=gdb3/vc2
En tanto que en ia ecuaci6n de Akita y Yoshida)2, se emplea db) como diametro
caracteristico de estos mismos numeros.
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KIaen 5.1; Wsg en m/s
KIaen
s· S/V
en watts/m3
Kia ;O.76 1 A 1Arf2wsr,°.8
KIa =0.00055 1 Adl Arfl.2 p g/V)°·8
Hay infinidad de correlaciones en la literatura para la estimaci6n de coeficientes
de transferencia de
masa
en
reactores Airlift.
Chisti
1989)
hace un
analisis
exhaustive
de elias. Entre las mas difundidas
estan
las de Bello
col.
1985 ).
EI tiempo necesarlo para Iograr un grado de homogeneidad aceptabJe > 95 ) es
del orden de 3 a 5 veces el tiempo de circulaci6n.
Una medida de los tiempos de circulaci6n en cada regi6n del reactor se obtlene
con las relaciones:
La velocidad de circulaci6n en el ducto de retorno vld) puede estimarse como:
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1
2
1t1
2
v
O
i r n ir if t nt ~no
wl-O.66;vt-O.18;
vlrl_1 Adr)~vl w 8~ 1/3);
1da-O.76 1+Adr)~ -2) wsg O.8;
gt-PloI3D vlrl.{weg.O.o.o.2).{Adr,o.l.o.75).
AxHlAbel->{-w.g . Ad . vIr ,.P1otlAbel-> Vlr en AirUft intemo );
g2-P1o13D Ida.{wsg.O.O.0.2).{Adr.o.l,o.75),
AxesLabel->{ wsg . Adr . kIar ,.PIoILebel-> kIar·};
EJeclo de
relaciOn Ad/ Ar en I. velocidad de drculad6n delilquido VIr -m/s)
en el valor de Jc.le l/ sj en reaclores AltUft de tubes conc~ntricClll.8<lgunlas
correlAciones emplricas de Bello
col. 1984)
o
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101
Calderbank Moo YOllllg
Metzller
tto
Las principales ecuaciones para calcular el valor del [ReIson:
.Donde [plY [llapJ representan los. valores de la densidad y de la viscosidad
aparente del fluido, respectivamente.
Para f1uidos no newtonianos, caracterizados reol6gicamente de acuerdo a la ley de
potencia [K dv/ dx) ], mediante los indices de consistencia [ ] y de
comportamiento del f1uido [nJ,el valor del [ReIse estima:
Donde:
Np = p/ pN3DiS)
Numero de potencia
Re= NDi2p/~ Numero de Reynold
Fr= DiN2/g
Numero de Froude
Np = f[ R,, , Fr 1 Factores de conftguracion geometnca.
En reactores agitados mecanicamente, la agitacton la proporcionan turbinas de
muy diferentes clases y la patencia suministrada por el agitador depende de las
dimensiones relativas de la turbina y del reactor. El consumo de potencia en
reactores no aireados, tradicionalmente se expresa mediante relaciones
adimensionales:
4 3Reactores agitados mecanicamente
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2
~
lap
etzner
y
tto
jl8p1 K/ (8(N)A(1-n)( (6n+2))An);
p2 -K/«B N)A(1-n)(4n/(3n+l»An);
gl-Plot..>D[Ilapt,IN,O.Ot,1},In.O.25,}.75},
PlotRange->IO,1.85},AxesLabel->I N :n , jl8p I
PlotLabel-> Melzncr
Otlo ,Mcsh->True,PlotPoinls->28};
g2=Pk>l>D[Ilap2,IN,Om, 1},In.O.25.1.75).
PlotRange->IO,l.85},AxesLabel->I N , ·n· ...
uap
J .
PlotLa~I.> C ~ldllrbank
Muo-Young .M esh->True.PlotPoints->28};
Show[Gr phicsArray[lgl,g2}JJ
K O 5;
8
para
turbinas;
Efecto
de I~velocldad d.
rotacl6n
N del indice d. consistencia n
sob , la viscosidad aparente (jlap)
de
flufdcs no
newtonianos
en reactores agitados mecanicamente
omparaci n de
dos correlaciones :
Metz~r/Otto
y
Calderbank/Moo-Young
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3
En este caso: Np
R,,
Cuando se trabaja en regimen lurbulento R .,
4), el valor de [Np] tiende a un
Cuando no hay formaci6n de vortex en el reactor debido a la presencia de bafles,
se tiene un caso particular en donde las fuerzas inerciales y gravitatorias se
igualan, por 10que el valor del F, 1).
N
Co 8F b
P
r
Esta correlaci6n se expresa a menudo como t p
Np/Frb
f R,,)
y se describe
graficamente mediante las denominadas curvas de potencia. De estas curvas se
tiene una gran variedad
y
son independientes de escala aunque dependen del tipo
de turbina,
Cuando se tiene una configuraci6n estandarizada, los factores de geometria no
influyen en la correlaci6n y se puede expresar como:
Calculada [Ilap] con la correlaci6n de Metzner se obtienen valores superiores a los
obtenidos con la correlaci6n de Calder bank y Moo-Young, cuando se manejan
f1uidos pseudoplasticos 0.2 S n S 1 . Estos valores del indice de comportamiento
son norm ales en fluidos biol6gicos .
Ilap
K
En esta situacion:
Cuando n 1) se tiene el caso particular de un fluido newtoniano.
Metzner y Otto)
[Calderbank y Moo-Young]
Ilap K/{[8N 1-n)J[n/ 6n+2»)n}
Ilup K/{ BN) 1-n)][4n/ 3n+l)]n)
[Ilap] queda definida como:
nJ es el indice de comportamiento del fluido [adim].
KJes el indice de consistencia del fluido [g/ em s 2-n»).
B) 1 1.0 para turbinas,
Donde:
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4
p-=
N·
1
En caso de ·tener mas de un impulsor en el reactor, la potencia se corrige
nuevamente, multiplicando por el nurnero de irnpulsores [Nil:
De esta forma se obtiene el valor de la po.tenciacorregida por {adores geometric os:
En caso de que el reactor tenga una configuraci6n diferente a la estandar se hacen
las correcciones pertinentes mediante el factor:
Definido el [Np] para determinada turbina, se calcula la potencia directamente de
la relaci6n:
HiIDi
1
WjIDi
5
LjIDj
1 4
DtIDj
3
Re la c io n e s g eo ll litrica s para un reac to r e su indar
po
jmpulsor
Npl
WjIDj
R
e
>104
Rushton turbin. de 6 paletes recta. estandar)
6 0
5
Bates turbina angosta de 6 paletas rectas) 5 1
8
Propela de 6 paletas rectes
4 1l 5
Propela angoste de 6 paletas mew 2.6
8
Propel. angosta de 6 palctas curves 2.8 8
Propela engoste de 4 paletas eectas 2.0 1 8
Propels marina
0.4
Los valores de [Np] para las turbinas mas conocidas son los siguientes:
valor constante caracterfstico para cada tipo de turbina.
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105
Existe una correlacion muy completa dada por Shinji Nagata, solo que se obtienen
valores relativamente bajos en comparaci6n con las correlaciones de Ohyama las
de Michell Miller, por 10que no es muy recomendable su uso.
[C] es una constante, cuyo valor depende del comportamiento reologtco del
cultivo y de las unidades de las variable [PI, [N], [Dj] [Q]. 5i se trabaja con las
siguientes unidades: [Pgl
[P]:[HP], [N]:[min-
]
[Oil:[em]
y
[QI:[1/min], la
constante liene un valor de 239
Oonde:
La correlaci6n es:
En
1 2,
Michell y Miller presentaron una correlaci6n emptrica para [Pg] .en
funci6n de [Q], valida para fluidos newtonianos y no newtonianos cuando se
. opera en rogimen turbulento.
A partir de este concepto, Ohyama y Endo generaron una serie de curvas de
P
g/P
en funcion de [Nal para distintos tipos de impulsores. Los valores de
Pg/P) pueden obtenerse directamente por interpolacion en la curva, aunque se
tiene que recurir a la ~ni~a de ensayo y error ya que el valor de la velocidad de
agitacion afecta tanto a [PI como a [Na].Por otra parte, estas curvas tienen un valor
limite de [Na] por 10que no se puede interpolar cuando Na
0.012.
Y la expresion final es:
[Na]
=
velocidad superficial del gasl velocidad tangencial del impulsor.
Existan diferentes correlaciones que describen la variaci6n del consumo de
potencia [P l en funcion del gasto volumetrico de gas [Q].
Esta disminucion en leirelacion
Pg/P
depende tanto del tipo de impulsor como
del valor del gasto de aire.·Ohyama y Endo
1955)
la estiman introduciendo un
nUmero adimensional que denominan como numerc de aireacicn [NJ:
24 3 1 £ ecto de aireacion ell el
O SUl O
de potencia
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107
em/min
mmol 02/1 h atm
HP/m3
[KI HJ
= [K vl:
Pr,/V :
[V . :
Donde:
Reactor con
tubo
central Drafl que incrementa la velocidad de circulaci6n de la
mezcla gas-Iiquido. La correlacien se obtuvo para reactores con V op ~ 20 m3 ,
operando con f1uidos newtonianos cultivos de Sacc1U1Toll lYceserevisiae). .
H ospodkn , Cns lavsky, Bern y Str oss,
{1964} .
TllTbin a de disco esu indar:
Esta correlacicn indica que la transferencia de ~ se dificulta al trabajar con
fluidos
muy viscosos,
sean
no newtonianos.
mmol O2/1 h aim
HP m3
em/min
[K laH = [K v :
Pg/V :
[V sJ:
Donde:
K H = K 8 0 p /V,O.l3y 0..56
la
V
g
s
Evaluada en reaetores con Vop s50 m
3:
Obtenida para f1uidos no newtonianos [pseudoplasticos, especificamente eultivos
de £1I iom yce5
sp .
con indice de comportamiento
1.0 ~
n ~
0.4 Y
valores de indice
de consistencia
K
s
dinas em-
2
s-n.
Taguchi
y
M iyamo to , {1966}. Turb ina de disco esta dnr:
mmol Oj /Ihatm
HP m
3
em/min
[K laH = [Kv} :
PIl/V :
[VS :
Donde:
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1 0 8 .
\ lkU S a
aguchl
kh
oop r
ospod~
kl. kh
c . r m . a o n e . . , . . d
oOculode
id A
dom
.gi l od ot . .. .
c d U o r , .
~ .. . I.J102-O .20 ;T -28;H -(l 4. I~ .394ST+{ ).007TfA2 {) .IXJOO64~A3V(32p02J;
8 i
64 100;
U
1-(1.111)1.88 (2 0 2.BNiXP gv ) O .7
S 2/3);
F. ... d o
1(U 2-II/H) Pgv (lI3 )
..., O.56;Top l
K la J-( lDOqIH)O .OJ18PS. O .33
lm O.67;Coopr,
KIa4- J1 l.IPgp O. 72 B O-1l ;Ho podh
gl-P IoIJD [l(Ul,(Pgv,O .a;,3I,~50,20 0~Au.Lobd-> (' Pg/ V
S . 1 1 . 0
'~PlotlAlJd.> ' Fdu do '
12- ploIJD(
1(Ia2,(Pgv,O.05 ,3/,( 8.so ,
2OOJ,At. .u.bd·>(' Pg/V
S
H. •
-
PlDtlA 'I·> '
T
'8 <hI'/;
g3- PIoIJD (K W ,(p gv,O .a; ,3,,~,200}.Atm.bd.> (' Pg/V
S idA
'/,P lo tLobtl-> '
Cooper'I;
g4 -PIoIJD(KIa4 .(Pgv ,O .05,3L( 8.50 ,200}.AxrJLcbd .> ('
g/ V ..., , klo
'/,PlDtlAbtI·> 'H..
p o d I c A ;
Shor;{G~((gLg2L(g3,S4//J}
o
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9
Donde el rendimiento calorico esta dado por:
[75
dQ/ dt}ag=Calor producido por agitaci6n
=
Pg)
7 4
dQ/ dt}f= Calor genera do por fermentaci6n = ux Yx.tJVop
U =Coeficiente global de transferencia de.calor
En reactores agitados, la velocidad total de generaci6n de calor {dQ/ dtlgelVes
fundamentalmente la suma del calor generado por fermentaci6n y por agitacion
del reactor:
t.T)ln =Diferencia de temperatura media logaritmica entre el Hquido de proceso y
el de enfriamiento = [ Top·Tn)- Top·T ut»)/ln[ T p.Tin)/ Top·TouvJ.
A
=
Area de transferencia de calor.
Donde:
7 3
dQ/dtlgen
{dQ/dt} um
UA t.T)bl
La ecuaci6n fundamental de transferencia de calor en estado de equilibrio
relaciona la velocidad total de generaci6n con la velocidad de eliminaci6n de calor
a traves de una superficie de transferencia:
Para la esteri liza cion del medic de cultivo circulaci6n de vapor en la chaqueta
°
en el
serpentin,
in yec cion de vapor vivo al se no del liq uido .
Si la energia libe,a da por la co nversion del su strato es in su ficien te pora el m antenim iento de
la temperatura, se requiere a dicio nar calor generalmente circ ula nd o a gu a p or e l sistema de
enfriam ien to c1 la queta
serp ent n». Este es el caso de lo s dig esto res anaerobios, en donde
generalmente se requieren a ltas tempera tures pora el p roces o SS.6 fC .
D eb id o a
co nver si on d el su stra to , se L ib eraun exceso de energia que requiere e lim i naTse
median te la circula cion de agua por el sis tem a d e e nfriamiento. Est e es el caso m as general
e n proce so s
erob ios
A un reactor biologico, se Ie proporciona
se Ie elimina calor por las siguientes
r zones
2 5 TRANSFER EN CIA DE CALOR EN BIORREACTORES~
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111
h = Coeficiente de pelicula caracterfstico [calls cm2oC]
k Conduetividad termica del fluido
[calls
em °C]
Cp Capacidad calorifica del fluido [callg DC
Nu hDtlk
Re
ND?P I b
r
=
Cp~ h/k
Siendo
Donde:
[8 2]
Corre lacion gen er a e n r en e o re s a gitad os ye llfr in do s C O lichaque a :
E I anal isis dimensional ha sido la base para el establecimiento de correlaciones
utiles para la estimaci6n de coeficientes de transferencia de calor en funci6n de
variables de operaci6n.
2 5 Correlaciones pam transferencia calor
En caso positive, estara resuelto el calculo del sistema de enfriamiento. De 10
contra rio, se deberan probar nuevas temperaturas
aumentar en un margen
suficiente el gasto de agua, par encima del minima calculado, hasta que se cumpla
con
la
condici6n
[81]
[81]
Este valor
inicial
de [wI sirve para la estimaci6n del coeficiente
t o
dellado del
agua de enfriamiento, el cual conjuntado con el
hJ
permite estimar un valor
inicial de
[U]
Lo que
precede
ahora es
evaluar SI
se cumple con la condici6n:
Por
10
que:
[8 0 ]
dQ/ dtlgen dQ/ dtlenf UA .6.T)ln wS, Tout-T n
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2
En las diferenteS correlactones, a menudo se utiliza como diametro caraeterlstico eJ
diametro del tubo del serpentin do];como es el caso de las ecuaciones 83]
y
[86],
86]
Dunlap
y
Rushton Turbina estdndur:
Corre lacion para rec .c lo res gir os y enfriado« COli serpen tin oerti ca l.
85]
Cumming s y W est. Tllrbina c jpa le t a s i n cli nada s:
[84]
Cummings y
West . . l 02
turbinas
c jpa le tas
curuas:
[83]
Oldshue G relton. Turbina estt ill dar:
Corre lac io ne s p ara r ea cio re s a gita dos yen friados con serpen iin heli co ida l.
lltV~stigador
Tipo de rmpulsor fK fal i fel
Cununings/West 2Turbinas c/p/curvQs 0.60 2/3
1/3
-0.14
U hI
Turbina c/paletas/incJ. 0.53 2/3
1/3
-0.24
Brooks/Su
Turbma estandar
0.54
2 3 3
-0.14
lnfluencia del tipo de impulsor en el va lo r de K de lo s coefic ie n ie s de f ecua cio n ge lle ra l
a ,b,c :
Dt Diametro del tanque [em]
D,
Diametro del impulsor [em
p
Densidad del fluido [g/ cm3
N Velocidad de agitaci6n [1/5]
Ilb viscosidad del fluido en el seno delliquido [g/ em s]
w
viscosictad del fluido en la pared [g/ em s
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~
Oi/I) )·
f2
0.2Nj O;/O ).
f
n S / N H n N O ·37
pc pl
f4
= HI/O )
np = Numero de paletas en la turbina 4,6,8)
EIte-rminoSc se defin~como:
Oonde:
[8
Shillji Nagata:
Correla cion para reactor agitndo CO li tu rbina I l~la 1t1larNJ variable . Enfr iamiento COIl
chaqueia
Existen una infinidad de correlacionesmas para otros tipos de impulsores. Entre
las mas utilizadas se encuentran las de Shinji Nagata, ya que consideran fadores
geornetricosno contemplados en otras.
Las anteriores correlacionesson exclusivamentepara la estimaci6n del coeficiente
de pelicuJa en el lfquido de proceso [hJ, cuando el reactor esta agitado por
turblnas.
Estas dos correlacionesconsideran algunas variaciones geometricas y se introduce
en ambas el termino O;/O ). En la ecuaci6n [83) se aiiade tarnbien el terrnino
dolO ) Yen la [86)se considera el efecto del numero de bafles [nbl serpentines
verticalesque curnplen conesa funci6n).
aunque usualmente se considera [Ot]en el Nusselt.
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114
90 )
Citada
r
H am mer 1985 :
h;do/k = 0 .OO2Ndo.33PrO .3 3 l- l b /I-lw)-O · 14 Dtldo)O .3 3
=
constante gravitatoria.
\ 1 \
Eg
=
a,
=
Fracci6n de gas retenida, expresada dimensionalmente [cm3aire].;. ~ l~f. )
\)\.. ~ \) 0 \
k \
t~.I .
\ l G ,
\ l L .r I \ L :> _ f t I J L {
\ ..) ' -f~ ...
\ 6- C s t=~
Correlacum para co lumnas
burbu jeadoras ellfriadas COliserpentin .. -;:
Donde:
[89 ]
Citada r H am mer 1985 :
hjDt/k =
0 .14Ndo.33PrO .33 l-lb /l -lwrO .14
Correlacion para COlll1l111115 l lTblijeadO TIl5nfr ia das COli chaqueta .
q
f = Di/Dt)
f3 =Sc/ N;Hl) = N
j
·O.37
f2 = 0.2 Nj. D;/Dt)
f4 = Hi/Dt )
Dc=Diametro del serpentln
=
0~1.9.t)
Donde:
S il in j i Nagata:
Correlac ion para reac to r a gita do COIl turbine es idndar [N;] variab le. Enfr iamien to COil
serpentin
[88]
· D
/k
=
2 6811 O .5 p0.3 3f g f
hf
it
i n m
c 'c r
2 3 4··
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RE ACTORES
AG ITADOS.
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C: Q qNt.tG
En la ecuaci6n general que se presenta abajo, se inciuyen la mayor parte de los
terminos considerados en las diversas ecuaciones presentadas previamente.
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d el p lo mo en el fe
to dura nte la g estaci6n y en el nino re eien nac ido .
1-12 A VILAUR IBE,M . er al ln vestigaci6 n e tn ob io l6g ic a s ob re alim ento s t ra di ciona
le s en una comunidad rural de la HuastCC3POIOSina .
FLoRES
MAJ tTfNEZ ,
A.
el al Evaluaci6 n eco l6 gic a de la s comunidades veget al es
d el estad o de O ax aca .
M ONCA Y OL6 PEZ , M .E . el aJ.: lntroducci6n y aspectos bUicos para el cuJtivo Iki
Colo ss oma ma cr opomum en M ex ico .
V A LENZUEl.A, M .T. eI aJ.: ••Lep ra e xpe rimema i, estu dio his topa tOI6giG oen rsto
ne s i oocul ados co n My co ba cterium l ep ra emu rium .
ZARATEENCIS O ,S. el aJ.: Determinaci6n de hidroca rburos po licf cliGosarom't i
cos en produ cto s c an ucos ahumados .
ZARATEENCISO,S.
.1.: Desarrol lo de una bebida en polv o h id ratab le a s e
de suero l : c te o rnod if ic ado ob Ieni do med ia nt e ultraflltr aci6n .
ZARATEENCISO ,S. eIaJ.: EIaboraci6 n de cereaJes
para
desayuno medianIe el -
t odo
de ex trusiOn .
8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
http://slidepdf.com/reader/full/bioingenieria-fundamentos-biocineticos 132/133
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8/18/2019 Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)
http://slidepdf.com/reader/full/bioingenieria-fundamentos-biocineticos 133/133
AyUdaa selecciouar los microorganismos idbneos definir las
condiciones ambientales adecuadasy aestablecer lascondiciones de
operacion que senin base para el posterior disefio escala del
equipo involucrado.
La sunulacion de bioprocesos. basada en modelos matematicos
reduce marcadamente la duracion y el costa de cualquier investiga-
cion sobrcel desarrolio deunprocesobiologicode tipo fermentative.
EI texto de esta publicacion pretendc introducir lector en una
esttatcgia dedi~o
y
eva]uaci6nde p~oS fennentativos aprove-
chando programas computacionalesespecificos.