1

BÖLÜM 3

BASINÇ VE AKIŞKAN

STATİĞİ

HAZIRLAYAN

Prof. Dr. Hakan F. ÖZTOP F. Ü. Teknoloji Fakültesi Makine Müh. Bölümü

2014

2

BASINÇ NEDİR?

Bir akışkan tarafından birim alana uygulanan normal kuvvete basınç denir

Basınç birimi N/m2 olup buna pascal (Pa) denir.

1 kPa = 103 Pa 1 MPa = 106 Pa

1 bar = 105 Pa

1 psi = 0.069 bar

Binek otomobil lastiği yaklaşık 30 psi = 2 bar

Etkin, mutlak ve vakum basıncı

3

Bir Noktadaki Basınç

Akışkan içerisinde herhangi bir noktadaki basınç her yönde aynıdır.

Basıncın büyüklüğü var, ancak yönü yoktur. Dolayısıyla skaler bir büyüklüktür.

Basınç derinlikle nasıl değişir?

Basınç, akışkan ağırlığının bir sonucudur ve yerçekimi bulunan bir ortamda sadece düşey yönde değişir. Basıncın derinlikle değişimi için yandaki akışkan kütlesine denge şartı uygulanırsa,

2 1

0

0

z zF ma

P x P x g x z

2 1 sP P P g z z

O halde basınç derinlikle doğrusal olarak artar. Basınç yatay yönde değişmez.

4

Pascal İlkesi

Bir sıvı içerisindeki basınç kabın şeklinden bağımsızdır.

Kapalı bir kaptaki akışkana uygulanan dış basınç, akışkan içerisinden her noktadaki basıncı o oranda artırır.

Pistonları aynı seviyede alırsak: Burada A

2/A

1 oranına ideal mekanik

fayda adı verilir.

1 2 2 21 2

1 2 1 1

F F F AP P

A A F A

5

Manometreler

Çok Tabakalı Akışkanlar

Akışkan içerisinde z kadarlık bir yükseklik farkı P/g büyüklüğüne karşılık gelir.

Bu ilkeye göre tasarlanmış düzenek veya cihazlara manometre denir.

Tipik bir manometre yandaki gibidir. Büyük basınçlar için yükseklikten

tasarruf etmek amacıyla civa gibi yoğun akışkanlar kullanılır.

1 2

2 atm

P P

P P gh

Her bir sütunun basıncı P = gh ifadesinden hesaplanır.

Basınç aşağı inildikçe artar (+), yukarı çıkıldıkça azalır (-).

Aynı akışkanın iki noktası aynı seviyedeyse, bu iki noktanın basınçları aynıdır.

Böylece bir noktadan başlayıp gh

terimini aşağı inildikçe ekleyerek, yukarı çıkıldıkça çıkararak istenen noktanın basıncı hesaplanabilir:

2 1 1 2 2 3 3 1P gh gh gh P

6

Basınç Düşüşünün Hesaplanması

Barometre

Basınç düşüşünün ölçümü en iyi manometre ile yapılır.

1 noktasından başlanarak manometre içinden 2 noktasına gelinir. Bu esnada inerken (+) çıkarken (-) işaret kullanılarak P

1-P

2 hesaplanır.

Borudaki akışkan gaz ise,

2>>

1 ve P

1-P

2= gh olur.

Barometreler açık hava basıncını ölçmede kullanılır.

C atm

atm

P gh P

P gh

Bu yüzden barometre basıncına atmosfer basıncı da denir.

C noktasındaki civa buharının basıncı çok küçüktür ve sıfır alınabilir. Dolayısıyla akışkan sütununun ağırlığı alttan etkiyen atmosferik basınç kuvveti ile dengelenmelidir.

Atmosfer basıncı yükseklere çıkıldıkça düşer ve bunun birçok etkisi olur: pişirme süresi, burun kanaması, motor performansı, uçakların performansı vb..

7

YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER

Atatürk Barajı (Şanlıurfa)

8

DÜZ YÜZEYLER

Düz yüzeye gelen hidrostatik kuvvetler bir paralel kuvvetler sistemi oluşturur.

Amacımız bu tür yüzeylere gelen hidrostatik kuvvetleri ve etki noktalarını (basınç merkezi BM) belirlemektir.

Yüzeyin her iki yanına da etkimesi halinde atmosfer basıncının etkisi dikkate alınmaz. Böylece sadece etkin basınçla çalışmış oluruz.

Düz Yüzeye Gelen Kuvvet

0 0 sinP P gh P gy

0 0( sin ) sinR

A A A

F PdA P gy dA P A g ydA

1c

A

y ydAA

Ağırlık merkezinin tanımından:

Ağırlık merkezinin tanımından:

9

Bileşke Kuvvet

Homojen (sabit yoğunluğa sahip) bir sıvıya tamamen daldırılan düz bir yüzey üzerine etki eden bileşke kuvvet, yüzeyin kütle merkezindeki basınç ile yüzeyin alanının çarpımına eşittir (Şekil 3–27).

0 0 ( sin ) ( ) R c c c ortF P gy A P gh A P A P A

10

BM’nin hesabı

Çeşitli kaynaklarda verilen atalet momentleri alanın kütle merkezinden geçen eksene

göre tanımlıdır (burada ise eksen takımı alanın kütle merkezinden geçmemektedir)

Ancak Paralel Eksen Teoremi ile bu sorun da kolaylıkla aşılabilir:

Bileşke Kuvvetin Yeri

Bileşke kuvvetin etki çizgisi ile yüzeyin kesişme noktasına BM denir.

Yüzeyin kütle merkezi ile BM, alan yatay olmadıkça üst üste çakışmaz.

BM, moment alınarak bulunur: 0

20

( sin )

sin

p R

A A

A A

y F yPdA y P gy dA

P ydA g y dA

0 , sinc xx OP y A g I Alan 2. momenti veya alan atalet momenti

2, , xx O xx c cI I y A

,

0

/( sin )

xx cp c

c

Iy y

y P g A

Böylece BM:

Ancak 0 0P ,

xx c

p cc

Iy y

y A

11

Bazı düz yüzeyler ve özellikleri

Basınç Prizması: Geometrik yol

Düz bir yüzey üzerine etki eden kuvvetler, tabanı (sol yüz) yüzeyin alanı, yüksekliği de basınç olan bir hacim meydana getirir.

Bu prizmanın hacmi, istenen bileşke kuvveti, kütle merkezinin yüzey üzerindeki izdüşümü ise bu kuvvetin etki noktasını verir.

12

KABULLER :

1 Göl tabanı yataydır.

2 Yolcu kabini içeri su sızdırmayacak şekilde iyi yalıtılmıştır.

3 Arabanın kapısı dik bir dikdörtgensel plaka olarak düşünülebilir.

4 İçeri su girmediği için kabin içerisindeki basınç atmosferik olarak kalmakta ve

dolayısıyla içerdeki havanın sıkışması söz konusu değildir. Bu yüzden, kapının her iki

tarafına da etkimesinden ötürü atmosferik basınç hesaplamalarda dikkate alınmaz.

5 Arabanın ağırlığı, üzerine etkiyen kaldırma kuvvetinden daha fazladır.

Bazı Özel Durumlar

Örnek: Batmış Bir Arabanın Kapısına Etkiyen Hidrostatik Kuvvet

Ağır bir araba, kaza sonucu göle uçarak tekerlekleri üzerinde gölün tabanına çökmüştür (Şekil 3–31). Arabanın kapısı 1.2 m yüksekliğinde ve 1 m eninde olup üst kenarı suyun serbest yüzeyinden 8 m aşağıdadır. Kapı üzerindeki hidrostatik kuvveti ve basınç merkezinin konumunu belirleyerek sürücünün kapıyı açıp açamayacağını tartışınız.

13

Çözüm

2 (84.4kN/m )(1m 1.2m) 101.3kNR ortF P A

( / 2)ort c cP P gh g s b

3 2 2

2

1kN(1000kg/m )(9.81m/s )(8 1.2 / 2m) 84.4kN/m

1000kg.m/s

2 21.2 1.2 8 8.61m

2 12( / 2) 2 12(8 1.2 / 2)p

b by s

s b

14

EĞRİSEL YÜZEYLER

Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin yatay bileşeni, yüzeyin düşey izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvete eşittir (hem büyüklük hem de etki çizgisi olarak).

Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni, yüzeyin yatay izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvet ile akışkan bloğunun ağırlığının toplamına (zıt yönde etkiyorsa, farkına) eşittir.

H xF F

V yF F W

Eğrisel yüzey sıvı üzerinde kalıyorsa, sıvı ağırlığı ve hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni zıt yönlerde etkir

Basınç kuvvetlerinin yüzeye dik olması ve hepsinin de merkezden geçmesinden ötürü, dairesel bir yüzey üzerine etki eden hidrostatik kuvvet daima dairenin

merkezinden geçer.

H xF F

V yF F W

15

Çok tabakalı akışkanların düz yüzey üzerine etkisi

Çok tabakalı bir akışkan içerisinde dalmış bir yüzey üzerindeki hidrostatik

kuvvet, farklı akışkanlar içerisinde kalan yüzeyleri ayrı ayrı göz önüne almak

suretiyle belirlenebilir.

Örnek :

A noktasından mafsallı 0.8 m yarıçapında uzun bir silindir, Şekil 3–36’da görüldüğü

gibi otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su seviyesi 5 m’ye ulaştığında kapak A

noktasındaki mafsal etrafında açılmaktadır. (a) Kapak açıldığında silindir üzerindeki

hidrostatik kuvveti ve etki çizgisini ve (b) silindirin 1 metre uzunluğunun ağırlığını

belirleyiniz.

, ,R R i c i iF F P A

16

Çözüm :

Yatay kuvvet:

( / 2)H x ort cF F P A gh A g s R A

3 2

2

1kN(1000kg/m )(9.81m/s )(4.2 0.8 / 2m)(0.8m 1m) 36.1 kN

1000kg.m/s

Düşey kuvvet:

y ave c tabanF P A gh A gh A

3 2

2

1kN(1000kg/m )(9.81m/s )(5m)(0.8m 1m) 39.2 kN

1000kg.m/s

Akışkan bloğunun 1 m uzunluğunun ağırlığı (aşağı yönlü):

2 2 ( ) ( - / 4)(1m) 1.3 kNW mg g hacim g R R

Düşey yöndeki net kuvvet:

39.2 1.3 37.9kNV yF F W

2 2 2 2 36.1 37.9 52.3kNR H VF F F

Bileşke kuvvet:

Kapak açılmak üzereyken tabanda tepki kuvveti yoktur. Mafsala göre moment alınarak;

sin - 0R silindirF R W R

0 sin (52.3kN)sin 46.4 37.9kNsilindir RW F

17

Kaldırma Kuvveti

Örnek : HİDROMETRE

(a) Bir sıvının bağıl yoğunluğunu, saf suya karşılık gelen işaretten itibaren ∆z

mesafesinin fonksiyonu olarak veren bir bağıntı elde ediniz. (b) 1 cm çapında ve 20 cm

boyunda olan bir hidrometrenin saf su içerisinde yarısı batmış olarak yüzmesi için (10

cm çizgisinde) içerisine konulması gereken kurşun kütlesini belirleyiniz.

ARCHIMEDES İLKESİ

Bir akışkan içerisinde daldırılan cisim üzerine etki eden kaldırma kuvveti, cisim

tarafından yeri değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer

değiştiren hacmin kütle merkezi boyunca etkir.

- ( ) - ( )K alt üst a a a aF F F g s h A gsA ghA g Hacim

Yüzen Cisimler:

KF W

18

ÇÖZÜM :

Önce suda sonra da sudan daha hafif bir sıvıda yüzme şartı yazılır

ve birbirine eşitlenirse:

RİJİT CİSİM HAREKETİ

, 0 ( ) hidro K su su bat suW F g hacim gAz

, 0 ( ) ( )hidro K a su bat suW F g hacim gA z z

0,

0

akışkan

b asu

z

z z

Bu tür bir harekette kayma gerilmesi oluşmaz. Dolayıyla

akışkana etkiyen yalnızca kütle ve basınç kuvvetleridir.

Sadece z yönü için bu kuvvetlerin gösterildiği diferansiyel

hacim elemanı alalım ve Newton’un 2. Yasasını

uygulayalım:

( )F m a dxdy dz a

, 2 2

s z

P dz P dz PF P dxdy P dxdy dxdydz

z z z

,s x

PF dxdydz

x

,s y

PF dxdydz

y

19

ÖZEL DURUMLAR :

, , , s s x s y s zF F i F j F k

P P Pi j k dxdydz P dxdydz

x y z

,B zF g m k g dxdydz k

Toplam yüzey (basınç) kuvveti:

Kütle kuvveti:

( )S BF F F P g k dxdydz

P g k a

TEMEL DENKLEM

Denklemin açık hali:

0y

Pa

y

( )x y z

P P Pi j k g k a i a j a k

x y z

Özel Durum 1: Statik haldeki akışkanlar

0x

Pa

x

Pg

z

Özel Durum 2: Serbest düşme

za g 0P P P

x y z

20

Doğrusal Yörünge Üzerinde Sabit İvmeli Hareket

Doğrusal bir yörünge üzerindeki hareketi xz-düzleminde inceleyeceğiz P=P(x, z)=?:

Doğrusal Hareket:

x

Pa

x

( )z

Pg a

z

( , ) P P

dP x z dx dzx z

( )x zdP a dx g a dz

( )x zP a x g a z

Sonlu büyüklükler cinsinden iki nokta arasındaki basınç farkı:

Veya; 2 1 2 1 2 1( ) ( )( )x zP P a x x g a z z

Orijin (z= 0 ve x = 0) noktasındaki basınç alınırsa, herhangi bir noktadaki basınç;

0 ( )x zP P a x g a z

Orijin (z= 0 ve x = 0) noktasındaki basınç Po alınırsa, herhangi bir noktadaki basınç;

21

Yüzeyin eğiminin belirlenmesi

1 ve 2 noktalarının her ikisi de serbest yüzeyde seçilirse dP = 0 olacaktır.

Bu tür hareketlerde de sıvı kütlesinin korunduğu unutulmamalıdır.

ÖRNEK :

80 cm yüksekliğinde ve 2 m 0.6 m kesit alanında kısmen suyla doldurulmuş bulunan bir

balık tankı bir kamyonun arkasında taşınacaktır (Şekil 3–52). Tank 0 km/h’den 90 km/h hıza

10 saniyede ivmelenmektedir. Bu ivmelenme sırasında tanktan su boşalması istenmemesi

halinde, tanktaki başlangıç su yüksekliğini belirleyiniz. Tankın uzun veya kısa kenarının

hangisinin hareket doğrultusuyla paralel olarak hizalanmasını önerirsiniz?

( ) 0x zdP a dx g a dz

tan sabitizobar x

z

dz a

dx g a

Bu tür hareketlerde de sıvı kütlesinin korunduğu unutulmamalıdır.

22

Çözüm :

Tanker sadece x-yönünde ivmelenmektedir.

2(90 0) km/h 1m/s = 2.5m/s

10s 3.6km/hx

Va

t

2.5tan 0 0.255

9.81

x

z

a

g a

Durum 1: Uzun kenar hareket doğrultusunda:

1 1 ( / 2) tan = (2m) / 2 0.255 0.255msz b

Durum 2: Kısa kenar hareket doğrultusunda:

2 2 ( / 2) tan = (0.6m)/2 0.255 0.076msz b

23

Silindirik Kapta Dönme

2 , 0 ( , )r za r a a P P r z

( , ) P P

dP r z dr dzr z

r

Pa

r

( )z

Pg a g

z

2( , ) dP r z r dr gdz

Serbest yüzeyde dP = 0 alınırsa:

2( , ) 0dP r z r dr gdz

2 2 2izobar

1 2

dz r rz C

dr g g

Serbest yüzey paraboliktir !.. Şekilde r = 0 için z = h = C olduğundan,

22

2s cz r h

g

24

Oluşan hacim ve özellikleri:

Taşma olmaması halinde (son hacim) = (ilk hacim) olacağından;

Basınç Dağılımı :

2 2 22 2

0 0

2 2 2 4

R R

s c c

r r

Rz rdr r h rdr R h

g g

2 2

0 4

c

Rh h

g

Böylece en düşük derinlik:

22 2

0 ( 2 ) 4

sz h R rg

Yüzeyin denklemi:

Maksimum yükseklik farkı:

22

,maks ( ) (0) 2

s s sz z R z Rg

2 2

1 1

22

1

( , )

r z

r z

dP r z r dr gdz

22 2

2 1 2 1 2 1( ) ( )2

P P r r g z z

Eğer (r, z) = (0, 0) noktasındaki basınç P alınır ve 2 noktası herhangi bir nokta olarak düşünülürse;

22

0 2

P P r gz

25

ÖRNEK :

Şekil 355’te gösterilen 20 cm çapında, 60 cm yüksekliğindeki düşey silindir,

yoğunluğu 850 kg/m3 olan bir sıvıyla 50 cm yüksekliğine kadar kısmen

doldurulmuştur. Silindir sabit bir hızla döndürülmektedir. Sıvının kap kenarlarından

taşmaya başlayacağı dönme hızını belirleyiniz.

ÇÖZÜM : Dönen düşey silindir tabanının merkezini orijin (r = 0, z = 0) alındığında

sıvı serbest yüzeyinin denklemi;

22 2

0 ( 2 )4

sz h R rg

Buna göre kap çeperindeki su yükselmesi r = R alınarak,

2 2

0 4

s

Rz h

g

Su dökülme seviyesine ulaştığında z = 60 cm = 0.60 m olacağından;

2 20.10.60 0.50 19.8 rad/s = 189 devir/dakika

4 9.81

26

KAYNAK:

Yunus Çengel, Cimbala, Akışkanlar Mekaniği.