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8/3/2019 BlogTEMA1

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CONCEPTOS BSICOS Y FUNDAMENTOS

(The) degree of aggregation in natureis always strongly a function of spatial scale

Hurlbert (1990)

INTRODUCCIN

Aproximacin estocstica a la variacin espacial

Dado que los factores que determinan los valores de las variables

ambientales son numerosos, prcticamente desconocidos e interaccionan de

manera compleja sin que los podamos desentramar, sus resultados se pueden

considerar aleatorios. Adoptando un punto de vista estocstico, en cada punto del

espacio no existe un solo valor para una propiedad dada, sino un conjunto de

valores. El valor observado proviene de una distribucin de probabilidad, por lo cual

cada punto en el espacio presenta una variacin (Webster y Oliver, 2001). As, en

el punto , la propiedad () es tratada como una variable aleatoria con media ,varianza 2, momentos de mayor orden, una funcin de distribucin acumulativa(cdf, ((; )) = [() ]) y una funcin de densidad probabilstica (pdf,() = ((;))/).

El rango de posibles valores constituye un ensamble (ensemble) y un

miembro de ste es la realizacin. El conjunto de variables aleatorias () para lospuntos , constituyen una funcin aleatoria, proceso aleatorio o procesoestocstico. Al conjunto de valores actuales de que conforman la realizacin de lafuncin aleatoria, se le llama variable regionalizada.

1. ACTIVIDADESElaborar un breve resumen sobre los siguientes aspectos:

1. Propiedades elementales de covarianzas espaciales en el caso estacionario.Covarianza espacial

Para definir la variacin necesitamos describir el ensemble de manera sencilla.

Dado que los valores de las variables regionalizadas suelen estar relacionados entre

s en alguna escala, describimos esta relacin utilizando el concepto de covarianza.

La covarianza nos permitir determinar la relacin entre 2 variables () paraobservaciones pareadas (, = 1):() = 1/( )( )

donde , son las medias de cada variable. Podemos extender esta definicinpara relacionar 2 variables aleatorias (() (), conjunto de valores con lamisma propiedad ) en el espacio (puntos ).

(

,

) = E[ (

(

)

(

)) (

(

)

(

)) ]

donde () y () son las medias de en .

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A partir de aqu, dado que tenemos solo una realizacin de en cada punto,para progresar en nuestro anlisis necesitaremos establecer 2 propiedades de la

covarianza espacial:

Estacionalidad. Esto significa que la distribucin del proceso aleatorio tieneciertos atributos que son los mismos en cualquier lugar (esta constancia nos

permite considerar los valores en diferentes puntos como diferentesrealizaciones de la propiedad). En este sentido, la media (entre realizaciones

individuales fluctuantes) y la varianza del proceso (finita), son constantes

para todo . A su vez, la covarianza entre dos puntos depende de suseparacin () y no de sus posiciones absolutas. Esta constancia de losmomentos de primer y segundo orden del ensamble o proceso, constituye la

estacionalidad de segundo orden o estacionalidad dbil. Si los momentos de

mayor orden tambin dependen solamente de la separacin, se dice que se

trata de un proceso estricta o completamente estacionarioi. Obtenemos:

,

= E[ (

(

)

)(

)]

constante para cualquier = . Si reescribimos la ecuacin anterior detal manera que la covarianza sea funcin del lag (), tenemos la funcin deautocovarianza: , = = ()Dado que la autocovarianza depende de la escala en la cual se mida Z,

utilizamos la funcin de autocorrelacin para quitarle esta dimensionalidad:

(

) =

(

)/

(0)

donde(0) es la covarianza a lag 0 (2). Ergodicidad. Un proceso ser ergdico si cuando los momentos de una nica

realizacin observable en el espacio se aproxima a aquella del ensamble

como los lmites regionales expanden hacia el infinito.

2. Propiedades elementales de variogramas espaciales.A partir del siguiente modelo, podemos representar un proceso aleatorio

estacionario:

() = + ()donde () es la componente aleatoria cuya distribucin presenta media cero

y covarianza () = E[()( + )] .Sin embargo, a menudo nos encontramos con el serio problema de que la

media parece variar a lo largo de la regin, la varianza aumenta sin lmite

cuando el rea de inters se incrementa y no se puede definir la covarianza.

Las hiptesis intrnsecas de Matheron (1965) permitirn proseguir cuando

los supuestos de estacionalidad de segundo orden no se cumplen o son

dudosos: 1) a pesar de que la media pueda no ser constante, lo ser almenos- para pequeos || ( [() ( + )] = 0); 2) reemplaza la covarianza

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por la varianza de las diferencias, como medida de la relacin espacial que

depende del lag (as [() ( + )] = () ( + ) = 2();() sellama semivarianza a lag ). Finalmente, plantea el semivariograma(variograma) como funcin de .

Propiedades del variograma:

Equivalencia con la covarianza: para los procesos estacionarios de segundoorden, () = (0) (). La semivarianza y el coeficiente de autocorrelacin,se relacionan por () = (1 ()). El grfico del variograma es la imagende la covarianza proyectado sobre la lnea o el plano paralelo a la abscisa.

Sin embargo, si el proceso es intrnseco, no existe equivalencia porque la

covarianza no existe.

Cuasi-estacionalidad: el variograma es de inters solo localmente, dondepodemos restringir la media a aquellas en la vecindad V: () = + ().Cuando

permanece dentro de los lmites de V, el variograma no es

afectado.

Caractersticas de la covarianza y el variograma:

Autocovarianza simetrica en el espacio: () = (); y semivarianzasimtrica en el espacio: () = ().

Semidefinidos positivos en la covarianza y semidefinidos negativos en elvariograma.

Continuidad: con lags continuos. Dado que el proceso estocstico quecreemos representar es continuo, la autocovarianza decae desde ( 0) = (positivo) a valores menores segn aumenta . En variogramas muestrales,las discontinuidades de los procesos espaciales se manifiesta, cuando la

distancia tiende a cero ( = 0), a travs de las diferencias entre sus valores(>0) y () = 0. A esta discrepancia se le llama nugget variance (nugget:intercepto positivo en las ordenadas), mientras que un variograma se llama

pure nugget cuando la variacin no est correlacionada (ruido blanco).

Para propiedades que varan de manera continua en el espacio, la varianza

nugget rene errores de medicin y la variacin que ocurre sobre aquellas

distancias menores que el menor intervalo de muestreo.

Monotnicamente creciente con el lag: la varianza aumenta con elincremento de la distancia lag. Tambin la autocorrelacin () aumenta conel acortamiento de la distancia lag, y el proceso se llama autocorrelacionadoo espacialmente dependiente.

Sill y rango: los variogramas de procesos estacionarios de segundo ordenalcanzan el sill (mximo constante o asntota), un lmite superior en el cual

permanecen luego del incremento inicial. Si esto ocurre a distancias lag

finitas, se obtiene un rango (rango de correlacin), que es el rango en el

cual la autocorrelacin es cero. Esta separacin marca el lmite de la

dependencia espacial. (en la prctica el rango efectivo es considerado como

aquel que se alcanza luego de 0.95 veces su still).

Variogramas ilimitados: Cuando el variograma aumenta indefinidamente conla distancia lag (el proceso no es estacionario de segundo orden, debe ser

intrnseco no existe covarianza-).

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Efecto Hole: (hole: fluctuacin peridica), el variograma decrece desde sumximo (equivalente al mnimo en la funcin de covarianza -hole-) a un

mnimo local y luego vuelve a aumentar. Se trata de un proceso con

repeticiones regulares.

Anisotropa: si el proceso es anisotrpico (la variacin espacial no es lamisma en todas las direcciones), tambin lo ser su variograma y sucovarianza (si existe).

Deriva: en algunas ocasiones el variograma se aproxima al origen con ungradiente decreciente (forma cncava), en estos casos el modelo para la

variacin espacial es: () = () + (), donde ()es la deriva. No ocurreni el supuesto de estacionalidad de segundo orden ni la hiptesis intrnseca,

y el trmino de error constituye un proceso aleatorio.

3. Modelos bsicos (definicin, caractersticas principales) de los variogramasespaciales ms utilizados en la prctica: esfrico, gaussiano, exponencial.

Cuando queremos describir la varianza de la regin, nos enfrentamos al

inconveniente de desconocer cunto de las fluctuaciones observadas se debe al

error y cunto es estructural. As, el modelado del variograma implica ajustar

una funcin simple que d cuenta de esta varianza, concentrndose en la

tendencia general y aplicando ciertas limitantes matemticas. Recapitulando las

caractersticas de los variogramas, dicha funcin debe ser capaz de representar

ciertas caractersticas principales:

Incremento monotnico con el aumento de la distancia lag desde laordenada

Mximo constante o asinttico (still) Intercepto positico en las ordenadas (nugget) Fluctuaciones peridicas (hole) AnisotropaExisten 2 familias principales de funciones simples que dan cuenta de estas

caractersticas y son semidefinidas negativas condicionales (CNSD): unas

representan variacin ilimitada y la otra limitada. En esta instancia se

describirn modelos referentes al caso de la variacin limitada (que es el ms

comn), donde la varianza tiene un mximo que es la varianza a priori del

proceso (varianza sill). Los variogramas que describiremos representanprocesos estacionarios de segundo orden.

I . Modelo esfricoSe trata de un modelo tridimensional, que ajusta los resultados

experimentales de los muestreos de suelo mejor que los modelos uni y

bidimensionales. La funcin se curva gradualmente, posiblemente porque

existen fuentes adicionales de variacin en otras escalas diferentes a las que se

pueden representar. Es uno de los modelos ms utilizados, representa las

caractersticas de transicin que tienen una extensin comn y que aparecen

como parches, algunos con mayor tamao y otros menores. El dimetro

promedio de los parches est representado por el rango del modelo.

Sus funciones de autocorrelacin y su variograma, son los siguientes:

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() = 1 32 + 12

0 >

(

) =

3

2

1

2

>

donde c es la varianza sill y a el rango.

Es CNSD en 2 y 1.

II . Modelo exponencialEsla funcin ms utilizada, cuyo variograma es el siguiente:

() = 1 expcon el sill c y el parmetro de distancia r, que define la extensin espacial del

modelo. La funcin se aproxima a su sill de manera asinttica, y cuando lo haceno tiene un rango finito. Sin embargo, para propsitos prcticos, es conveniente

asignarle un rango efectivo que usualmente es la distancia a la cual iguala el95% de la varianza sill (aprox. 3r). En el origen presenta pendiente de /.

La funcin es muy importante, ya que representa la aleatoriedad del

espacio. Se trata del variograma de procesos autorregresivos de primer orden y

procesos de Markov.

Esperamos encontrar variogramas de esta forma donde las diferencias en el

tipo de suelo son las principales contribuciones a la variacin del suelo, y donde

los lmites entre los tipos de suelo ocurren aleatoriamente como un proceso de

Poisson. Es decir, se trata del variograma de los procesos de transicin en los

cuales las estructuras presentan extensiones aleatorias. Aqu, si la intensidaddel proceso es , entonces la distancia media entre lmites es = 1/, y elvariograma.

() = 1 = (1 )III . Modelo gaussiano

Es una funcin con curvatura reversa cercana al origen, la funcin se aproxima

a su sill asintticamente con un rango efectivo aproximadamente de 3, dondealcanza el 95%de su varianza sill. Su variograma est dado por:

() = 1 expdonde c es la varianza sill y r el parmetro de distancia.

Una seria desventaja de este modelo es que se aproxima al origen con

gradiente cero, el lmite para la variacin aleatoria, en el cual la variacin se

vuelve continua y doblemente diferenciable. Esto puede conducir a ecuaciones

kriging inestables y a efectos extraos cuando se utilizan para la estimacin. Por

lo tanto, si el variograma parece ser sigmoide, se recomienda utilizar en su

lugar la funcin Whittle. A su vez, si la curvatura reversa es fuerte, se puede

reemplazar el exponente de la ecuacin por un parmetro adicional () con un

valor menor a 2:

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() = 1 expEstos modelos se llaman modelos estables. Se conocen pocas aplicaciones

de este modelo, y existen otros modelos ms simples.

iSi la distribucin es normal (gaussiana) entonces los momentos de orden 3 y aquellos mayores, son

constantes conocidas. Por ello, si es posible, ser til transformar de datos no-normales a la normalidad.

BIBLIOGRAFA:

Webster, R y Oliver, M.A. (2001) Geostatistic for Environmental Scientists.

Statistics in practice (Chichester, England).

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