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TEMA 2: MODELOS GEOESTADSTICOS ESPACIO-TEMPORALES

ACTIVIDADES Y ORIENTACIONES SOBRE EL TEMA 2

Resumimos los enfoques ms conocidos sobre construccin de modelos de

covarianzas espacio-temporales.

Bibliografa:

Kolovos, A., Christakos, G., Hristopulos, D.T., Serre, M.L. (2004). Methodsfor generating non-separable spatiotemporal covariance models with

potential environmental applications. Advances in Water Resources 27: 815-

830.

Ma, C. (2008). Recent developments on the construction of spatio-temporalcovariance models. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment

22(Supl. 1): S39-S47.

I . IntroduccinLa variabilidad de los procesos ambientales es capturada mediante la tendencia

media (que modela las variaciones lentas del proceso en espacio y tiempo) y la

funcin covarianza (centrada, que incorpora las variaciones rpidas; Ma, 2004).

La funcin de covarianza es una medida ampliamente utilizada para la

interpretacin espacial y temporal, as como la dependencia. Los usos directos de la

funcin de covarianza en el anlisis de datos, incluye la evaluacin de los

predictores simples kriging (Cressie & Huang, 1999) y el clculo de la funcin de

verosimilitud.

Funcin de covarianza y variograma

Sea el campo aleatorio real-valuado {(,), } ( dominios espacial y temporal , respectivamente), su funcin de covarianza y suvariograma , vienen dados por:(,; ,) = [{(,) [(,)]}{(,) [(,)]}](,; ,) = 12 {(,) (,)}

La teora de campos aleatorios espacio-temporales (S/TRF) distingue entre dos

grupos principales de funciones de covarianza: orinarias y generalizadas.

Las funciones de covarianza ordinaria son generalmente consideradas para la

representacin de S/TRF espacio-homogneo/tiempo-estacionario, en cuyo caso

solo es funcin de de las distancias espaciales y temporales, entre cualquier par depuntos. La funcin de covarianza generalizada se relaciona con el S/TRF

generalizado, el cual se utiliza para representar patrones no-homogneos/no-

estacionarios y procesos multiescala.

Propiedades de los campos aleatorios en trminos de la covarianza y variograma

EstacionaridadUn campo aleatorio es estacionario en espacio (o en tiempo) si su covarianza(,; ,) depende solo de , y (o , y ).Un campo aleatorio es estacionario en espacio y tiempo si su media [(,)] =

y covarianza

(

,

;

,

) dependen solo de

y

:

(

;

)

(funcin de covarianza estacionaria).

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Un variograma es intrnsicamente estacionario si: (,) (depende solo de ,-). SeparabilidadLa funcin de covarianza es separable si puede descomponerse en sus

componentes con dependencia puramente espacial o temporal, y ser no-separable

si tal descomposicin no es posible. La forma general de la funcin de covarianzaordinaria separable es: (,; ,) = (,)(,).

El modelo de covarianza espacio-temporal separable provee una base til para

derivar modelos de covarianza espacio-temporal no-separables a travs de

procedimientos mixtos apropiados.

Los modelos de funcin e covarianza espacio-temporal no-separables son

generalmente ms reales, desde el punto de vista fsico (ej: estocasticidad espacio-

temporal).

PermisibilidadSe trata de condiciones matemticas que la funcin debe satisfacer para ser un

modelo de covarianza permisible.

II . Mtodos de generacin de modelos de covarianza espacio-temporal1. Modelos de covarianza generados mediante la extensin desde dimensiones

bajas a mayores dimensiones

Si tenemos una funcin de covarianza univariada estacionaria (), con perteneciente a , podemos considerar una funcin real () (perteneciente a ),formular su contraparte espacial en en trminos de (), e investigar lapermisibilidad del modelo candidato (()) con perteneciente a .

De manera similar, para la funcin de covarianza (,) en , una extensinposible podra ser((1,2); ) en , donde (1,2) es una funcin real en .Su permisibilidad puede chequearse por su definicin o por otros mtodos.Ejemplo: (,) = exp(||) || |||| + exp (||) || + ||||.

Ver Heine (1955) para obtener una mejor descripcin de este ejemplo.

El operador de transformacin espacial (Christakos, 1986) permite construir

funciones de covarianza en 2 y 3 dimensiones desde un modelo unidimensional.

Este operador de transformacin espacial u operador de cambio de bandas (turning

bands) sirve para simulaciones numricas. El operador relaciona el modelo de

covarianza en con el modelo de covarianza en (n=2,3) segn larelacin integral: (,) = (1 ) (,) (ec 1), donde = 2() /([( 1)/ 2]) (: funcin gamma y =|r| es el escalar que hace referencia a lamagnitud del vector de retrasos ). La transformacin espacial implica que si existeun modelo de covarianza permisible en , se pueden derivar nuevos modelos en segn la ecuacin 1.2. Modelos de covarianza generados mediante ecuaciones diferenciales fsicas. Un

modelo dinmico o estocstico puede describirse formalmente segn una

ecuacin diferencial (parcial) fsica (pde), cuyo modelo de covarianza se deriva

como solucin de dicha ecuacin y expresan correlaciones basadas en la fsicaentre los pares de puntos espacio-temporales.

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Modelos de covarianzas no-separables, asociadas con la pde:

a. Pde estocstico general (o pde de difusin, con coeficiente de difusin): utiliza un [()], operador diferencial espacial lineal en .(familia de covarianzas no-centradas)

(,; ,) =

()()()(), (,) (,)()()

, ()() ()()

,

Generalmente son modelos no-homogneos/no-estacionarios. La funcin e

covarianza depende de las coordenadas espacio/tiempo de los pares de

puntos considerados, pero no de las distancias entre ellos. (ver apndice)

b. Pde parablico(,) = .5[exp() .5 + exp () + .5]El modelo representa un campo espacialmente-homogneo/temporalmente

estacionario en . Los valores de los coeficientes y afectan el rango yforma de los modelos de covarianza.

c. Pde fsicos. Permiten derivar nuevos modelos de covarianza espacio-temporales, utilizando los ya existentes y la densidad espectral. Ejemplo:

asumiendo isotropa, la siguiente ecuacin (izquierda) produce el modelo

de covarianza espacio-temporal no-separable en (derecha).

d. Pde ruido de Burgers. Permite construir un modelo de covarianza no-separable para grandes valores de y en :

. La forma y rangos de correlacin del

modelo, dependen de los parmetros y . Siendo que la magnitud de lapendiente aumenta con la proporcin

/

.

Otros modelos generados a partir de ecuaciones diferenciales parcialesestocsticas son los derivadas por Jones & Zhang (1997), Christakos & Hristopulos

(1998) y Kolovo et al. (2004).

3. Modelos de covarianza generados mediante densidades espectrales. Seconstruye primero una funcin apta en el dominio de frecuencia wave (ej:

densidad espectral) y luego se deriva el modelo de covarianza en el dominio

espacio-temporal real, aplicando la transformacin inversa (Fourier o Hankel;

Christakos 1984). Cabe mencionar que la funcin de densidad espectral y la

funcin de covarianza estn relacionadas mediante el par de transformaciones

de Fourier.

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a. Se derivan modelos de covarianza homognea/estacionarias mediante ladensidad espectral , obtenindose en :

.

El modelo vara su comportamiento segn los parmetros y . Lacovarianza disminuye ms rpidamente a lo largo de la direccintemporal que en la direccin espacial.

b. Asumiendo la covarianza dada por la ecuacin anterior, para n=1 ytransformndola en una mayor dimensin segn la ecuacin (1),

obtenemos el modelo de covarianza:

c. Se puede construir modelos de covarianza no-separables en mediante la tcnica delta. Asumiendo la densidad espectral

, podemos generar modelos de covarianza

espacio-temporales como:

d. El resultado uni-dimensional del modelo anterior, se reduce a, generndose a partir del modelo de covarianza

puramente espacial:

Estos modelos pueden ser tiles en varias aplicaciones fsicas.

e. Otro ejemplo en el dominio que se utiliza en varias aplicaciones es:

Este modelo representa un campo aleatorio homogneo/estacionario, y

su comportamiento vara segn .f. Utilizando las trasnformaciones espaciales (ec 1) se obtienen modelos en:

4. Modelos de covarianza generados mediante reglas dinmicas. Se generanmediante procesos de crecimiento y formacin de patrones en los cuales existe

un elemento aleatorio (y su evolucin espacio-temporal es gobernada por un

conjunto de reglas dinmicas en lugar de ecuaciones diferenciales.

a. Modelo de covarianza no-separable originado mediante simulaciones deinvasiones de percolacin, que satisface el escalamiento dinmico:

. Ej: en n=2 tenemos

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b. Modelos fractales. Exhiben una poderosa ley de decaimiento asintticode la correlacin, con exponente no-entero. Pueden ser fractales en el

espacio ( ) o tiempo ( ). Ej: en n=n

5. Modelos de covarianza generados a partir de la teora de campos aleatoriosgeneralizados. Las covarianzas espacio-temporales generalizadas se definen

segn sta teora de rdenes de continuidad en espacio y en tiempo,asocindose con datos no-homogneos/no-estacionarios.

a. Pueden derivarse de pde fsicos, cuya solucin es:.

b. Otro ejemplo lo constituye:

El mismo es til para procesos naturales que presentan residuos de ruido

blanco, y para aplicaciones estocsticas y geoestadstica espacio-

temporal moderna.

c. Tambin se pueden derivar modelos de covarianza ordinarios no-homogneos/no-estacionarios, segn:

6. Modelos de covarianza construidos mediante superposicin lneal. Lascombinaciones lineales de modelos de covarianza simples son tambin modelos

de covarianza vlidos:

El modelo resultante puede ser no-separable incluso si sus componentes lo

son. Podemos combinar los modelos de los apartados anteriores para producir

nuevos modelos de covarianza espacio-temporales. Dependiendo del peso sepuede reducir o aumentar el efecto del modelo-componente en el modelo decovarianza final.

Un caso particular es la combinacin lineal de dos covarianzas espacio-

temporales separables. Ver Ma (2005b) para obtener ejemplos.(1,2; 1,2) = (1,2; 1,2) + (1 )(1,2; 1,2).Se deber buscar la condicin de la constante que permita obtener una

funcin de covarianza vlida, a partir de una combinacin lineal de las dos

covarianzas dadas. Se investigar el rango del parmetro tal que estacovarianza sea permisible.

7. Mtodos de mezcla. Formas de combinar un campo aleatorio puramenteespacial y un proceso puramente temporal, y obtener su funcin de covarianza:

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a. (,) = ()() donde (,) es un vector aleatorio bivariado, confuncin de distribucin conjunta (,) e independiente de cada procesopuro. Su funcin de covarianza es:(,; ,) = (,)(,)(,).

b. (,) = ( + )( + ), con el vector aleatorio en S y la variablealeatoria escalar en T, independientes entre s, con covarianza:(,; ,) = ( + , + )( + , + )(,)

c. (,) = {() + sin ()}(), una mezcla de campos aleatoriosseparables, donde es un vector aleatorio con funcin de distribucin() y para un dado, () es un proceso estacionario de media cero ycovarianza (,) (no-correlacionada con las variables aleatorias y). Entonces (,) es estacionario con covarianza:(,) = cos() (,)() (,) (que es la transformada cosinede la familia de covarianzas puramente temporales (,) respecto a lafuncin mezcla ()). (o si intercambiramos el rol de s y t: (,) =

cos(

)

(

,

)

(

)(

,

)

)

d. (,) = exp ()() donde = 1 (transformacin de Fourier -inversa)8. Derivadas e integrales

Se pueden obtener nuevos modelos de covarianza espacio-temporal a partir

de funciones de covarianza espacio-temporales dadas y tomando derivadas

parciales (siempre que existan). Sea (1,2; ) una funcin de covarianza en estacionaria en el tiempo, si tiene derivadas parciales de segundo ordencontinuas respecto a , entonces /(1,2; ) es una funcin de covarianzaen estacionaria en el tiempo.

Cabe destacar que las evoluciones dinmicas de los procesos, son

usualmente gobernadas por un conjunto de pde o por reglas de evolucin dinmica

que no permiten una descripcin pde.

A su vez, la funcin de densidad espectral y la funcin de covarianza estn

ntimamente relacionadas segn el par de transformaciones de Fourier. La

utilizacin de la aproximacin por densidades espectrales parece estar limitada si

no existe una expresin explcita para la funcin de covarianza, que es un pre-

requisito esencial para la estimacin por mxima verosimilitud y para la prediccin

ptima o kriging.

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Descargar el programa RandomFields, desarrollado en R por Martin

Schlather (2001), para simulacin de campos aleatorios. Puede encontrarse en el

sitio http://cran.r-project.org/. Entrar en Packages y elegir, en la lista alfabtica, el

paquete Random Fieds; dentro del paquete, usar la funcin GaussR.

Experimentar realizando simulaciones de algunos campos aleatorios espaciales y

espaciotemporales.Comprobar los cambios que se producen en las caractersticas de las

realizaciones al variar los valores de parmetros que intervienen en los modelos.

Presentar algunos resultados significativos de esta prctica.

Las funciones de covarianza derivadas desde los mtodos mencionados

anteriormente estn disponibles para campos aleatorios espacio-temporales

gaussianos, pero pueden no ser aptos para otros tipos de campos aleatorios

(binarios, log-gaussianos, etc; Matheron, 1989) los cuales requieren mayor

investigacin.

Metodologa

Utilizamos el ejemplo sencillo de covarianza separable propuesto por el modelo

gaussiano: (,) = exp (|| )Este modelo es un caso especial del modelo estable con =2: () = exp (), y

donde el parmetro pertenece al intervalo (0,2]. La funcin de covarianza establepresenta una pendiente infinita en el origen, lo cual explica la textura granulosa de

sus realizaciones (Lantujoul, 2002).

Simulamos un proceso bi-dimensional y la funcin de covarianza

correspondiente a partir de la construccin de un variograma emprico. El siguiente

cdigo detalla la simulacin realizada:

dx

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Sea cov el modelo en notacin estndar, el modelo de covarianza se aplica segn la

varianza, el efecto nugget y la escala utilizada, como: nugget + variance * cov( (.)/scale). Por

tanto, observamos que al aumentar la varianza del sistema el grfico de covarianza presenta

movimiento vertical hacia arriba (figura 1.B, varianza=3.01) decayendo a la misma distancia

que en el modelo de partida. Como era de esperar, si el modelo presenta varianza=0, la

funcin de covarianza es constante en 0 y no se identifican claramente los patrones de la

figura (figura 1.C, varianza=0).

Asimismo, al aumentar el parmetro nugget obtenemos el consiguiente aumento de

punto en x=0 de la funcin de covarianza (figra 1.D, nugget=3.05). Al eliminar el efecto nugget

obtenemos una funcin de covarianza sin salto en el primer punto y un grfico que seala ms

claramente los patrones presentes. Cabe recordar que para propiedades que varan de

manera continua en el espacio, la varianza nugget rene errores de medicin y la

variacin que ocurre sobre aquellas distancias menores que el menor intervalo de

muestreo.

Al variar la escala del proceso, vara su media y aumenta el punto donde la funcin de

covarianza se aproxima asintticamente a cero (figura 1.E). Finalmente, al aumentar la media

del modelo, observamos que sta es ignorada en la evaluacin de la funcin e covarianza o

variograma (figura 1.F) y por consiguiente en la imagen del proceso.

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A

CB

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Figura 1. Grficos comparativos del modelo de covarianza gaussiana en para pares devalores espacio-temporales, y segn los parmetros utilizados en el mismo.

D E

F G

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APNDICE

A continuacin describiremos ms ejemplos de la generacin de modelos de

covarianzas espacio-temporales mediante ecuaciones diferenciales (parciales)

estocsticas (Kolovos et al. 2004).

Aplicando las transformaciones espaciales al modelo mencionado en elapartado correspondiente, obtenemos un modelo en : (,), dondevariando los coeficientes r y tau se evidencia la dependencia espacio-

temporal.

Aplicando las ecuaciones de difusin obtenemos un modelo en :

(

,

). La forma de la covarianza cambia segn los valores n y alfa.

Utilizando este modelo y la ec 1, se pueden obtener otros modelos decovarianza para : (,). (ec 7 n=n, ec 8 n=2, ec 8b en n=3)

Se puede modificar la ec 6, en el caso espacial, agregndole constantesluego del tiempo de retraso: ec 9. Utilizada en estudios de la mecnica

de fluidos.

Utilizando la ec 9 y las transformaciones espaciales de la ec1,obtenemos nuevos modelos de covarianza: ec 9.b y 9.c.

Se puede derivar modelos de covarianza espacio-temporales no-separables de la ec.6: ec 10.a y 10.b, en n=2. Si los graficamos

podemos identificar el efecto hole a los largo de la direccin espacial.

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