BM20A1501 Numeeriset menetelm t 1 - AIMO · Numeerinen integrointi Differentiaaliyhtäl ön numeerinen ratkaiseminen Interpolointi BM20A1501Numeerisetmenetelmät1-AIMO Miika Tolonen

JohdantoEpalineaarisen yhtalon ratkaiseminen

Yhtaloryhman ratkaiseminenNumeerinen integrointi

Differentiaaliyhtalon numeerinen ratkaiseminenInterpolointi

BM20A1501 Numeeriset menetelmat 1 - AIMO

Miika Tolonen

6. marraskuuta 2014

Miika Tolonen BM20A1501 Numeeriset menetelmat 1 - AIMO




Opetusjarjestelyt

Luennot + Harjoitukset

pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337pe 21.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337la 22.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337

Harjoitustyo

Tentti





Kurssin sisalto I

Johdanto

Virheet ja virhetyypitLukujen esitys tietokoneellaVirhetyypit ja niiden kasaantuminenStabiilisuus

Epalineaarisen yhtalon ratkaiseminen

PuolitusmenetelmaNewtonin menetelmaNumeerinen derivointi

Yhtaloryhman ratkaiseminen

Newtonin menetelma epalineaarisille yhtaloryhmilleNewtonin optimointimenetelma

Numeerinen integrointi





Kurssin sisalto II

KeskipistesaantoPuolisuunnikassaantoSimpsonin menetelma

Differentiaaliyhtalon numeerinen ratkaiseminen

Eulerin menetelman. kertaluvun DY:n muuttaminen DY-ryhmaksi

Interpolointi

Lagrangen muotoKayran sovitusKuutiosplini





Sisalto

1 Johdanto

2 Epalineaarisen yhtalon ratkaiseminen

3 Yhtaloryhman ratkaiseminen

4 Numeerinen integrointi

5 Differentiaaliyhtalon numeerinen ratkaiseminen

6 Interpolointi





Sisalto

1 Johdanto





6 Interpolointi





Yleista

Kasitys menetelman matemaattisista perusteista

Ymmartamys siita miten menetelma etenee sen toimiessa

Tietoisuus niista tilanteista joissa menetelma saattaaepaonnistua

Kyky tunnistaa menetelman epaonnistunut toiminta

Kyky arvioida saatujen tulosten jarkevyys alkuperaisentehtavan kannalta





Absoluuttinen ja suhteellinen virhe

Absoluuttinen virheǫx = ||x − x ||

Suhteellinen virhe

ρx =||x − x ||||x ||





Absoluuttinen ja suhteellinen virhetesti

Tutkittavan suuren virheen maaran testaamiseen voidaan kayttaajoko absoluuttista virhetestia:

Jos |x − x | < 1210

−d , niin x approksimoi x :aa d :lla desimaalilla

tai suhteellista virhetestia:

Jos |x − x | < 1210

−s |x |, niin x approksimoi x :aa s:llamerkitsevalla numerolla





Virheiden kasaantuminen peruslaskutoimituksissa 1/2

Aproksimaatioihin liittyvien virheiden ylarajat:ǫx = |x − x | = |∆x | = δxǫy = |y − y | = |∆y | = δy

yhteenlaskussa

δx+y = ||(x + y)− (x + y)|| = ||(x − x) + (y − y)||≤ |(x − x)|+ |(y − y)| = δx + δy

vahennyslaskussa

δx−y = ||(x − y)− (x − y)|| = ||(x − x)− (y − y)||≤ |(x − x)|+ |(y − y)| = δx + δy





Virheiden kasaantuminen peruslaskutoimituksissa 2/2

kertolaskussa

δx ·y = ||(x · y)− (x · y)||= ||(x ± |∆x |)(y ± |∆y |)− x y)||= ||(x y ± x |∆y | ± y |∆x | ± |∆x ||∆y | − x y ||≤ ||x ||δy + ||y ||δx + δxδy

Jos oletetaan etta |x | >> δx ja |y | >> δy :lle, niin viimeinen termivoidaan jattaa pois ja δx ·y ≈ ||x ||δy + ||y ||δx

jakolaskussa

δ xy≤ ||x ||δy + ||y ||δx

||y ||2





Lausekkeet operaatioiden suhteelliselle virheelle 1/2

yhteenlasku

δx+y

|x + y | ≤δx + δy|x + y |

vahennyslasku

δx−y

|x − y | ≤δx + δy|x + y |

kertolasku

δx ·y|x · y | ≤

|y |δx + |x |δy|x ||y | =

δx|x | +

δy|y |





Lausekkeet operaatioiden suhteelliselle virheelle 2/2

jakolasku

δx y|x/y | ≤

δx|x | +

δy|y |

Esimerkki Olkoon tehtavana laskea suure z, missa

z =7.32

4.31− 1.17





Lukujen esitys tietokoneella

B-kantainen lukujarjestelman yleinen luku on:

(anan−1 . . . a1a0.b1b2)B =

n∑

k=0

akBk +

n∑

k=1

bkB−k

10-jarjestelman normalisoitu liukuluku on muotoa:

x = ±0.d1d2 . . . · 10n, d1 6= 0, n ∈ Z, di ∈ {0, . . . , 9}

Talletus tietokoneelle muodossa

x = s · f · Be





Liukulukuaritmetiikka ja virheiden kasaantuminen

Karkea saanto N kappaletta aritmeettisia operaatioitaaiheuttaa virheen

√Nǫm, kun pyoristys satunnaista

Pyoristettaessa samaan suuntaan Nǫm





Tehtavan ja ratkaisumenetelman stabiilisuus 1/2

Matemaattisenmallinmuodostamisessa ongelmia voivattuottaa:

Mallissa kaytetyt vakiot/lahtodataTehdaan liian suuria yksinkertaistuksiaOngelma on huonosti asetettu

Numeerisen mallin muodostamisessa ja ratkaisussa virheellisiatuloksia voivat tuottaa:

Epastabiili numeerinen menetelmaPyoristysvirheetKatkaisuvirheVaaramenetelma





Tehtavan ja ratkaisumenetelman stabiilisuus 2/2

Numeerisen probleeman stabiilisuus

Tehtava F (x , y) = 0 on stabiili, jos ratkaisu x riippuujatkuvasti lahtotiedosta y, ts. jos {y} lahestyy arvoa y niinvastaava jono ratkaisuja {x} lahestyy arvoa x

Numeerisen algoritmin stabiilisuus

Numeerinen algoritmi on stabiilii, jos lasketun numeriisenratkaisun riippuvuus lahtotiedon hairiosta ei ole suurempi kuinalkuperaisessa matemaattisessa probleemassa





Sisalto

1 Johdanto





6 Interpolointi





Yleista

Tarkastellaan yhtalon f (x) = 0 missa f : R → R ratkaisemistanumeerisesti

f :n ollessa epalineaarinen, niin yleensa ei tiedossa analyyttistaratkaisua

Iteratiiviset menetelmat

Geometrinen hahmotus

AlkuarvausMonikertaiset juuret





Puolitusmenetelma 1/2

Olkoon annettu valilla [a, b] jatkuva funktio f (x), joka toteuttaaehdon

f (a)f (b) < 0

Valiarvolause takaa, etta f (x):lla on ainakin yksi juuri valilla [a, b].Yleensa vali [a, b] valitaan siten, etta vain yksi juuri α ∈ [a, b].Seuraava algoritmi suppenee aina kohti jotakin juurta α ∈ [a, b]

1 Aseta c = (a + b)/2

2 Jos b − c ≤ eps, root = c ja lopeta

3 Jos f (b) · f (c) ≤ 0, niin aseta a = c , muuten b = c

4 Palaa askeleeseen 1





Puolitusmenetelma 2/2

Siis algoritmin kullakin kierroksella vali [a, b] puolittuu. Talloinmenetelman virhe on

|α− cn| ≤(

1

2

)n

(b − a)

Konvergenssi hidasta

Iteraatiokierroksille ylaraja





Newtonin menetelma 1/2

Olkoon annettu alkuarvaus x0 ’riittavan’ lahella juurta α. Parempiapproksimaatio saadaan korvaamalla kayra y = f (x) pisteeseen(x0, f (x0)) asetetulla tangentilla. Yksinkertaisella laskullaanalyyttisesta geometriasta saadaan tangentin ja x-akselinleikkauspiste

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn), n ≥ 0

Tunnetuin menetelma

Newton-Raphson-menetelma epalineaarisille yhtaloryhmille





Newtonin menetelma 2/2

Menetelma saattaa divergoida huonoilla alkuarvauksilla

Laskennassa f (xn)f ′(xn)

voi aiheuttaa hankaluuksia, koska nimittajavoi menna pieneksi

Iteraation lopetuskriteerin on vaikea valita, koska juurta ei olesuljettu etukateen millekkaan tietylle valille





Numeerinen derivointi

Derivaatta on funktion muutosnopeus.

f ′(a) =f (a + h)− f (a)

h, eteenpain laskettu differenssi

h on pieni luku, esim√eps, 3

√eps

f ′(a) =f (a)− f (a − h)

h, taaksepain laskettu differenssi

f ′(a) =f (a + h)− f (a − h)

h, keskeisdifferenssi

Usean muuttujan tapauksella derivaatalla on aina myoskin suunta.

f ′(a) =f (a + h · v)− f (a)

h





Sisalto

1 Johdanto





6 Interpolointi





Newtonin menetelma epalineaarisille yhtaloryhmille

Olkoon ratkaistavana epalineaarinen yhtalo f (x) = 0, missa f

on jatkuvasti derivoituva funktio f : Rn → Rn. Voimme

arvioida funktiota pisteessa x + s Taylorin sarjalla:

f (x + s) ≈ f (x) + J(x)s

Tassa vektorin s kertoimena on Jacobin matriisi Jij =δfiδxj

.

Asettamalla f (x + s) = 0 saamme ratkaistavaksi yhtaloryhman

J(x)s = −f (x).

Askel s on siis ratkaistavissa lineaarisesta yhtaloryhmasta.Olemme siis johtaneet Newtonin menetelman.

xk+1 = xk + sk





Newtonin optimointimenetelma

Newtonin menetelmaa usean muuttujan tapauksessa voi kayttaamyos aariarvojen etsimiseenOlkoon f = f (x , y), f :n aariarvot loytyvat osittaisderivaattojennollakohdista, eli kun

{

fx = 0fy = 0

Yhtaloparin voi ratkaista Newtonilla, tarvitaan toiset derivaatat

H =

[

fxx fxyfyx fyy

]

Toinen tapa, ns modifioitu Newton etsitaan vektorin s

suuntaamalta suoralta minimi ja kaytetaan sita seuraavanaapproksimaationa





Sisalto

1 Johdanto





6 Interpolointi





Yleista

Tarkastellaan yksiulotteisen Riemannin integraalin

∫ b

a

f (x)dx

laskemista.

Analyysin peruslause:

∫ b

a

f (x)dx = F (b)− F (a)

Yleisessa tapauksessa ei valttamatta loydeta F :aa suljetussamuodossa.

f :n arvo iteratiivisen prosessin tulos





Keskipistesaanto

Olkoon f jatkuva valilla [a, b]

h =b − a

n, [mk = a + (k − 1

2)h, k = 1, . . . , n

∫ b

a

f (x)dx ≈ h(

f (m1) + . . .+ f (mn))

= h

n∑

k=1

f (mk)





Puolisuunnikassaanto

Olkoon f jatkuva valilla [a, b]

h =b − a

n, xk = a + kh, k = 0, 1, . . . , n

∫ b

af (x)dx ≈ h

2

(

f (x0) + 2f (x1) + . . .+ 2f (xn−1) + f (xn))

=h

2

(

f (x0) + 2

n−1∑

k=1

f (xk) + f (xn))

.





Simpsonin saanto 1/2

Olkoon f jatkuva valilla [a, b]. Jaetaan vali [a, b] nyhtasuureen jakovaliin (n on parillinen).Jos perakkaisten jakovaliparien paatepisteita vastaavien f

kuvaajan pisteiden kautta asetetaan paraabelin kaari, jalasketaan vastaavat paraabelin kaarien integraalit, niinkyseessa on Simpsonin saanto.





Simpsonin saanto 2/2

h =b − a

n, n on parillinen, xk = a+ kh, k = 0, . . . , n

∫ b

a

f (x)dx ≈ h

3

(

y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + · · ·+ 2yn−2 + 4yn−1 + yn)

=h

3

(

ypaatepisteet + 4ypariton + 2yparillinen)





Sisalto

1 Johdanto





6 Interpolointi





Yleista

Fysikaaliset, kemialliset ja biologiset mallit kuvaavat useinsuureiden muutoksia.

Mallintaminen differentiaaliyhtaloilla

Yksinkertaisimmat yhtalot ratkevat analyyttisesti, muttakayttannon ongelmat useasti vain numeerisesti

Numeeriseen ratkaisuun on kehitetty suuri joukko menetelmia





Eulerin menetelma

Leonhard Eulerin mukaan nimetty menetelmadifferentiaaliyhtaloiden alkuarvo-ongelmien ratkaisuun

Se on yksinkertaisin numeerisista integrointimenetelmista,mutta siita huolimatta menetelma on tarkea.

Sen kautta on johdettu monet paremmista menetelmista jasen ymmartaminen on pohjana naille.

1. kertaluvun yhtalo: y ′ = f (x , y), y(x0) = y0

yn+1 = yn + h · f (xn, yn)





n. kertaluvun DY:n muuttaminen DY-ryhmaksi

Muoto y (n) = f (t, y , y ′, . . . , y (n−1))

Merkitaan y1 = y , y2 = y ′, . . . , yn = y (n−1), jokaderivoidaan ⇒

y ′1 = y2y ′2 = y3

...y ′n−1 = yny ′n = f (t, y1, y2, . . . , yn)

Yhtaloryhma on lineaarinen DY-ryhma





Sisalto

1 Johdanto





6 Interpolointi





Yleista

Useinkaan ei tiedeta funktion f : R → R analyyttista lauseketta,tiedetaan vaan funktion datapisteitaInterpoloinnissa halutaan approksimoivan funktion p kuvaajankulkevan datapisteiden (xk , yk) kautta, ts.

p(xk) = yk , k = 0, . . . , n

Interpolointi

Ekstrapolointi





Kayran sovitus

Kun datapisteet ovat (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xN , yN) ja sovitef (x , c) = c1f1(x) + . . . + cnfn(x), niin funktion

S(a) =N∑

i=1

(f (xi , c)− yi)2

minimointi johtaa lineaarisessa tapauksessa normaaliyhtaloonATAc = AT y , missa matriisin A alkiot ovatAi ,j = fj(xi ), i = 1, ...,N, j = 1, ..., n.





Splinit 1/5

Jono interpolaatiopolynomeja ei valttamatta lahestyinterpoloitavaa sileaa funktiota kun interpolointi pisteitalisataan.

Jaetaan havaintovali osavaleihin havaintopisteiden avulla jakaytetaan osavaleilla paloittaisia, matala-asteisia polynomeja.Edelleen vaaditaan, etta osavaleilta yhdistetty funktio on silea.

Olkoon vali I = [a, b] jaettu n:aan osavaliin pisteillaa = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b. Funktio s : I → R onk-asteinen splini, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

1 Jokaisella osavalilla Ii = [ti−1; ti ], i = 1 . . . n, funktio s onkorkeintaan k-asteinen polynomi.

2 F unktiolla s on valilla I jatkuvat derivaatat kertalukuunk − 1asti.





Splinit 2/5

Pisteita ti sanotaan splinin solmuiksi.

Yksinkertaisin, ensimmaisen asteen splini on paloittainlineaarinen funktio.

Toisen asteen splini on paloittain kvadraattinen funktio; lisaksisen derivaatta on jatkuva koko valilla I .

Yleisimmin kaytetty splini on kolmannen asteen splini elikuutiosplini, koska se on kaytannossa riittavan silea, muttasamalla helpohkosti konstruoitava.

Matala-asteiset splinit sopivat erinomaisesti interpolointitehtaviin, koska niilla ei ole taipumusta oskillointiin.





Splinit 3/5

Lahtokohtana on pistejoukko (xi , ui )

n. asteen kuutiosplini s(x) koostuu joukosta kolmannen asteenpolynomien paloja si(x), jolle on voimassa jatkuvuusehdot

si(x) = si+1(x)s ′i (xi−) = s ′i+1(xi+)s ′′i (xi−) = s ′′i+1(xi+)

kaikissa interpolaatiopisteissa xi . Kun merkitaan s ′′(xi ) = mi ,kuutiosplini-interpolantti saadaan muodostettua ratkaisemallatridiagonaalinen yhtaloryhma

Km = d





Splinit 4/5

Km = d

missa matriisin K lavistajaalkiot ovat kaikki kakkosia jaalasivulavistan alkiot µi ja ylasivulavistajan alkiot λi saadaanlaskettua kaavoista, kun i = 1, . . . n − 1:

hi = xi+1 − xi

σi = ui+1−ui

hi

λi = hihi+hi−1

µi = 1− λi

di = 6σi−σi−1

hi+hi−1





Splinit 5/5

Kun kuutiosplinit lasketaan luonnollisin reunaehdoin niinvaaditaan etta interpolantin toinen derivaatta haviaa valinpaatepisteissa.Kun splini kirjoitetaan osavalilla Ii muotoon

si (x) = si ,0 + si ,1(x − xi ) + si ,2(x − xi )2 + si ,3(x − xi)

3

niin kertoimet si ,k saadaan laskettua kaavoista

si ,0 = u(xi)si ,1 = σi − hi

(mi+1

6 + mi

3

)

si ,2 = mi

2

si ,3 = mi+1−mi

6hi


Documents

BM20A1501 Numeeriset menetelm t 1 - AIMO · Numeerinen integrointi Differentiaaliyhtäl ön numeerinen ratkaiseminen Interpolointi BM20A1501Numeerisetmenetelmät1-AIMO Miika Tolonen