Embed Size (px)
Citation preview
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phùng Thị Thúy
BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT
VÀ ỨNG DỤNG
Ngành: Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn:
Hà Nội - 2010
LỜI GIỚI THIỆU
Lý thuyết Nevanlinna là lý thuyết phân bố giá trị toán học, với mục
đích chính là thiết lập định lí cơ bản thứ nhất và định lí cơ bản thứ
hai đối với ánh xạ phân hình. Lý thuyết này đã thu hút được nhiều sự
quan tâm của các nhà Toán học hiện nay. Các kết quả và công cụ của lý
thuyết này được áp dụng rộng rãi vào nhiều ngành của Toán học như:
giải tích phức Hyperbolic, xấp xỉ Diophantine,. . .
Một trong những công cụ chính của lý thuyết Nevanlinna là bổ đề đạo
hàm Logarit. Bổ đề đạo hàm logarit được xây dựng và chứng minh bởi
nhiều nhà toán học như Bloch’s, T.Ochiai, W. Cherry,... Kết quả của
bổ đề này được ứng dụng để mở rộng nhiều phần khác của lý thuyết
này như chứng minh định lý cơ bản thứ hai, một trong hai định lý quan
trọng nhất trong lý thuyết này. Vì vậy, tôi đã chọn đề tài: ”Bổ đề đạo
hàm Logarit và ứng dụng” . Mục đích của luận văn này trình bày
được một số kiến thức cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong đó đặc biệt là
bổ đề đạo hàm logarit và ứng dụng của nó trong việc chứng minh định
lý cơ bản thứ hai. Nội dung của luận văn gồm 2 chương
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản và hai định lý cơ
bản trong lý thuyết Nevanlinna, bổ đề đạo hàm Logarit. Chương này
cung cấp cho ta những cơ sở đầu tiên để mở rộng lý thuyết Nevanlinna
trong chiều cao hơn.
Chương 2. Bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến.
Trong chương này, chúng ta mở rộng bổ đề đạo hàm Logarit cho trường
hợp nhiều biến và trình bày ứng dụng của nó cho việc chứng minh định
lý cơ bản thứ hai. Sau đó, chúng ta chứng minh bổ đề đạo hàm logarit
cho vi phân jet của dạng logarit, được viết dựa theo nội dung của bài
báo "On holomorphic jet bundles" của W. Stoll được đăng tại tạp chí
AG. math (2000).
Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên trong luận văn tôi xin bày
tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Đình Sang
người thầy đã tận tình dạy bảo, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và
làm luận văn. Và tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Ninh
Văn Thu người đã trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận
văn. Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô khoa Toán - Cơ
- Tin học, quý thầy cô phòng Sau đại học – Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành luận
văn này.
Mục lục
Lời giới thiệu 2
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1
1.1. CÁC HÀM CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Hàm đếm N (r, f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Hàm xấp xỉ m(r, f) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Bổ đề Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Định lý Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4. Bất đẳng thức Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Bổ đề Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Bổ đề đạo hàm Logarit . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT CHO TRƯỜNG
HỢP NHIỀU BIẾN 20
2.1. CÔNG THỨC JENSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Một số định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Công thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Bổ đề đạo hàm Logarit . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. PHÂN THỚ JET CHỈNH HÌNH . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1. Một số khái niệm cơ bản về phân thớ jet . . . . . 35
2.4.2. Bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet kì dị . . . 36
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. CÁC HÀM CƠ BẢN
Trong phần này, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản về hàm
đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng. Cho f là hàm phân hình trên hình
tròn tâm O, bán kính R, 0 < R < ∞, r < R, ở đây hàm phân hình
được hiểu là thươngh(z)
g(z), trong đó h(z), g(z) là hai hàm chỉnh hình và
g(z) = 0.
1.1.1. Hàm đếm N (r, f)
Hàm đếm của f được định nghĩa bởi
N (r, f) = n (0, f) log r +
r∫0
[n (t, f)− n (0, f)]dt
t.
Trong đó, n (t, f) là số cực điểm của f kể cả trên bội trên |z| ∈ C :
|z| 6 t. Với mỗi a ∈ C hàm đếm các a– điểm được định nghĩa bởi
Nf (r, a) = N
(r,
1
f − a
).
Nếu a = 0 thì nó đếm các 0-điểm
Nf (r, 0) = ord+0 (f) . log r +∑
z∈D(r),z =0
(ord+z f). log∣∣∣rz
∣∣∣,trong đó ord+z f = max0; ordzf là cấp triệt tiêu của f và là số bội của
0−điểm tại z.
1
1.1.2. Hàm xấp xỉ m(r, f)
Trước hết ta định nghĩa
log+(x) = maxlog x, 0 =
log x nếu x ≥ 1
0 nếu 0 < x < 1.
(1.1)
Khi đó hàm log+, có tính chất sau đây
1. log+(xy) ≤ log+(x) + log+(y),
2. log+(x+ y) ≤ log+(x) + log+(y) + log 2,
3. log(x) = log+(x)− log+(1
x
),
4. | log(x)| = log+(x) + log+(1
x
)Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi
m (r, f) =
2π∫0
log+∣∣f (reiθ)∣∣ dθ
2π.
Giá trị m(r, f) là độ lớn trung bình của log |f(z)| trên |z| = r. Với a ∈ C
bất kì, hàm xấp xỉ tại a-điểm mf(r, a) được xác định bởi
mf(r, a) = m
(r,
1
f − a
)=
2π∫0
log+1
|f(reiθ)− a|dθ
2π.
Chú ý rằng, m(r, f) đặc trưng cho độ tăng của f khi z → ∞.
1.1.3. Hàm đặc trưng
Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi
T (r, f) = m(r, f) +N(r, f).
2
Hàm đặc trưng đóng một vai trò rất quan trọng trọng lý thuyết Nevan-
linna.
Ví dụ
1. Nếu f = const thì T (r, f) = O(1).
2. Nếu f =P (z)
Q(z)thì T (r, f) = O(log r).
3. Nếu f = ez thì T (r, f) = r +O(1).
1.2. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT
Với a ∈ C, r > 0, kí hiệu ∆(a, r) = z ∈ C; |z − a| < r là hình tròn
tâm a bán kính r. Khi a=0 ta viết ∆(r) = ∆(0, r). Giả sử φ(z) = φ(x, y)
là hàm khả vi. Ta nhắc lại một số kí hiệu
∂φ
∂z=
1
2
(∂φ
∂x+
1
i
∂φ
∂y
),
∂φ
∂z=
1
2
(∂φ
∂x− 1
i
∂φ
∂y
),
dz = dx+ idy, dz = dx− idy,
∂φ =∂φ
∂zdz, ∂φ =
∂φ
∂zdz,
dcφ =i
4π
(∂φ− ∂φ
)=
1
4π
(∂φ
∂xdy − ∂φ
∂ydx
),
dφ = ∂φ+ ∂φ, ddcφ =i
2π∂∂φ,
∂∂φ =∂2φ
∂z∂zdz ∧ dz.
Trong hệ tọa độ cực z = reiθ, dc được biểu diễn dưới dạng
dcφ =1
4π
(r∂φ
∂rdθ − 1
r
∂φ
∂θdr
).
3
Giả sử φ(z) là hàm thực xác định trên C, với tập các điểm kì dị của
φ được kí hiệu bởi Z = avv∈I là tập rời rạc. Trong một lân cận U(av)
của av hàm φ có biểu diễn
φ(z) = λv log |z − av|+ ψv(z), trong đóψv ∈ C2(U(av)) vàλv ∈ R.
Trước khi chứng minh định lý cơ bản thứ nhất ta cần phải chứng
minh bổ đề và định lý sau.
1.2.1. Bổ đề Jensen
Bổ đề 1. Giả sử φ(z) xây dựng như trên. Thế thì với 0 ≤ s < r nếu
φ(0) = ±∞ và với 0 < s < r ta có
1
2π
∫|z|=r
φ(z)dθ− 1
2π
∫|z|=s
φ(z)dθ = 2
r∫s
dt
t
∫∆(t)
i
2π∂∂φ+
r∫s
dt
t
∑|av|<t
λv
.
Chứng minh. Trường hợp 1. av = ∅.
Ta có
dc log |z| = 1
4π
(r∂
∂r(log r) dθ − 1
r
∂
∂θ(log r) dr
)=dθ
4π. (1.2)
Đặt
I =1
2π
∫|z|=r
φ(z)dθ − 1
2π
∫|z|=s
φ(z)dθ
= 2
∫|z|=r
φ(z)dc log |z| − 2
∫|z|=s
φ(z)dc log |z|
= 2
∫s<|z|<r
dφ(z)dc (log (|z|)) = 2
∫∆(r)\∆(s)
d (φdc log |z|)
= 2
∫∫∆(r)\∆(s)
dφ ∧ dc log |z|+ φddc log |z| .
4
Do ∂∂ = 0 nên φddc log |z| = 0. Vì vậy,
I = 2
∫∫∆(r)\∆(s)
dφ ∧ dc log |z|.
Mặt khác, ta lại có
df ∧ dcg =(∂ + ∂
)f ∧ i
4π
(∂ − ∂
)g
=(∂f + ∂f
)∧ i
4π
(∂g − ∂g
)=
i
4π∂f ∧ ∂g − i
4π∂f ∧ ∂g
=i
4π
(∂f ∧ ∂g + ∂g ∧ ∂f
)df ∧ dcg
=i
4π
(∂g ∧ ∂f + ∂f ∧ ∂g
).
Áp dụng công thức Stokes, ta nhận được
I = 2
r∫s
1
t
( ∫|z|=t
dcφ
)dt = 2
r∫s
1
t
∫∫|z|<t
d(dcφ)dt = 2
r∫s
dt
t
∫∆(t)
i
2π∂∂φ.
Trường hợp 2. ar = a , φ = λ log |z − a| với a ∈ ∆(r)\∆(s). Khi
đó, ta có
2
r∫s
dt
t
∫∆t
i
2π∂∂(φ) = 0.
Ta sẽ chứng minh
V T =1
2π
∫|z|=r
log |z − a|dθ − 1
2π
∫|z|=s
λ log |z − a| = λ
r∫s
dt
t.
5
Thật vậy, do log
(r
a− eiθ
)là hàm điều hòa nên
1
2π
∫|z|=r
λ log |z − a|dθ =1
2π
∫|z|=r
λlog|z − a|dθ + 1
2π
2π∫0
λ log |e−iθ|dθ
=1
2π
∫|z|=r
λ log |r − ae−iθ|dθ, z = reiθ
=1
2π
∫|z|=r
λ log(ra− eiθ
)dθ +
1
2π
∫|z|=r
λ log |a|dθ
= λ logr
a+ λ log |a|
= λ log r.
Tương tự, ta cũng có
1
2π
∫|z|=s
λ log |z − a| = λ log s.
Do đó, V T = λ(log r − log s) =r∫s
λdt
t.
Trường hợp 3. φ(z) = λ log |z − a|+ ψ(z) với 0 < s < |a| < r.
Ta có
V T =1
2π
∫|z|=r
φdθ − 1
2π
∫|z|=s
φdθ
=1
2π
∫|z|=r
λ log |z − a|dθ − 1
2π
∫|z|=s
λ log |z − a|dθ
+1
2π
∫|z|=r
ψdθ − 1
2π
∫|z|=s
ψdθ
= λ(log r − log s) + 2
s∫r
dt
t
∫∫∆(t)
i
2π∂∂ψ.
6
Vì ∂∂(λ log |z − a|) = 0 nên ∂∂φ = ∂∂ψ.
Vì vậy, V T = 2r∫s
dt
t
∫∫∆(t)
i
2π∂∂φ+
r∫s
λdt
t= V P.
Trường hợp 4. Trường hợp tổng quát được suy ra từ trường hợp 1,2 và
3.
Định nghĩa 1. Một divisor trên lân cận V ⊂ U ⊂ C là∑∞
v=1 λvzv, trong
đó zv∞v=1 là tập rời rạc của V và hằng số λv ∈ Z , v = 1, 2, · · · .
Giả sử f là hàm phân hình trên U, av là tập các 0-điểm và cực
điểm của f vàλv là bậc của av khi đó trong lân cận của av tồn tại hàm
chỉnh hình g(z) sao cho f(z) = (z − av)λvg(z) với g(av) = 0, λv ∈ Z.
- Divisor 0- điểm của f(z) được định nghĩa bởi
(f)0 =∑λv>0
λvav.
- Divisor cực điểm của f(z) được định nghĩa bởi
(f)∞ =∑λv<0
|λv|av
(f) = (f)0 − (f)∞ =∑v
λvav là divisor của f.
1.2.2. Định lý Jensen
Định lý 1. Giả sử f(z) là hàm phân hình, khi đó
N(r, f) =1
2π
∫|z|=r
log |f |dθ − 1
2π
∫|z|=1
log |f |dθ.
Chứng minh. Áp dụng bổ đề Jensen đối với hàm
φ(z) = λv log |z − av|+ ψ(z), ta có
1
2π
∫|z|=r
φdθ− 1
2π
∫|z|=1
φdθ =
r∫1
dt
t
∫∫∆t
i
2π∂∂φ+
r∫1
(∑|av|<t
λv)dt
t.
7
Đặt φ(z) = log |f |.Do f(z) = z − avλvg(z), g(av) = 0 và av∞v=1 là tập
điểm rời rạc nên log |f(z)| = λv log |z − av|+ log |g(z)|. Đặt log |g(z)| =
ψv. Áp dụng bổ đề Jensen, ta có
1
2π
∫|z|=r
log |f |dθ− 1
2π
∫|z|=1
log |f |dθ =r∫
1
dt
t
∫∫|z|<t
i
2π∂∂ log |f |+
r∫1
∑|av|<t
λv
dt
t.
Do đó, N(r, (f)) =1
2π
∫|z|=r
log |f |dθ − 1
2π
∫|z|=1
log |f |dθ.
Vì vậy, chúng ta có
N(r, (f)0)−N(r, (f)∞) =1
2π
∫|z|=r
log |f |dθ − 1
2π
∫|z|=1
log |f |dθ.
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất
Định lý 2. Giả sử f(z) là hàm phân hình trên C và a ∈ C. Khi đó
T
(r,
1
f − a
)= T (r, f) +O(1).
Chứng minh. Áp dụng định lý Jensen cho hàm φ(z) = log |f(z)− a|, ta
có
N(r, (f − a)0)−N(r, (f − a)∞)
=1
2π
∫|z|=r
log |f(z)− a|dθ − 1
2π
∫|z|=1
log |f(z)− a|dθ.
Vì log |f(z)− a| = log+ |f(z)− a| − log+1
|f(z)− a|và (f − a)∞ = (f)∞
nên N(r, (f − a)0) +1
2π
∫|z|=r
log+1
|f(z)− a|dθ =
8
= N(r, (f)∞) +1
2π
∫|z|=r
log+|f(z)− a|dθ − 1
2π
∫|z|=1
log |f(z)− a|dθ.
Do log+ |f(z)− a| ≤ log+ |f(z)|+ log+ a+ log 2 nên
N(r, (f − a)0) +1
2π
∫|z|=r
log+1
|f(z)− a|dθ
≤ N(r, (f)∞)+1
2π
∫|z|=r
log+ f(z)dθ+log+ a+log 2− 1
2π
∫|z|=1
log |f(z)− a|dθ.
Từ đó, ta có T
(r,
1
f − a
)= T (r, f) +O(1), trong đó
|O(1)| = log+ a+ log 2 +
∣∣∣∣ 12π∫
|z|=r
log |f(z)− a|dθ∣∣∣∣.
1.2.4. Bất đẳng thức Nevanlinna
Định lý 3. Giả sử f(z) là hàm phân hình trên C thì tồn tại hằng số C
sao cho
N(r, (f − a)0) 6 T (r, f) + C, trênC.
Chứng minh. Ta phải chứng minh I(a) =1
2π
∫|z|=1
log |f(z)− a|dθ liên
tục trên C. Thật vậy,
+ Nếu a /∈ f(|z| = 1) thì I(a) liên tục.
+ Nếu a thuộc lân cận U(f(1)) đủ bé của f(1) = ∞, đặt e1 = f(1) −
a, f(z)−f(1) = (z−1)kg(z), g(z) là hàm chỉnh hình thỏa mãn g(1) = 0.
9
Với z = eiθ. Ta có
(z − 1)k =
(cos θ − 1 + i sin θ
)k
=
(−2 sin2
θ
2+ 2i sin
θ
2cos
θ
2
)k
= 2kik sinkθ
2
(cos
θ
2+ i sin
θ
2
)k
= 2kik sinkθ
2
(cos
kθ
2+ i sin
kθ
2
). (1.3)
Với mọi ε > 0, ∃δ > δ′> 0 sao cho nếu |ε1| < δ
′thì∣∣∣∣∣ δ∫
−δ
log∣∣(z − 1)kg(z) + ε1
∣∣dθ∣∣∣∣∣ < ε ⇔
∣∣∣∣∣ δ∫−δ
log∣∣(z − 1)k + ε2
∣∣dθ∣∣∣∣∣ < ε, trong
đó ε2 =ε1g(z)
. Từ (1.4), ta suy ra rằng, tồn tại δ > 0 và ε3 > 0 sao cho
δ∫0
log(θk + ε3)dθ > k
δ∫0
log θdθ = kδ log δ − kδ > −ε.
Vì vậy,
−ε <δ∫
0
log(θk + ε3)dθ < 0.
Do đó, I(a) bị chặn. Vậy, nó liên tục với |a| 6 1.
Theo định lý cơ bản thứ nhất tồn tại hằng số C > 0 sao cho
T
(r,
1
f − a
)= T (r, f) +O(1).
Do đó N
(r, (f − a)0
)+m
(r,
1
f − a
)= T (r, f) +O(1). (1.4)
Vì vậy, N(r, (f − a)0) 6 T (r, f) + C với |a| 6 1, r > 1. Khi đó, ta có
trường hợp sau
- Với |a| > 1, do (f −a)0 =
(1
f− 1
a
)0
và
∣∣∣∣1a∣∣∣∣< 1 theo (1.5) tồn tại hằng
10
số C′> 0 thỏa mãn
N(r, (f − a)0) = N
(r,
(1
f− 1
a
)0
)6 T
(r,1
f
)+C
′.
- Với a = 0 theo định lý cơ bản thứ nhất ta có T
(r,1
f
)6 T (r, f) + C
′′
⇒ N
(r, (f − a)0
)6 T (r, f) + C1.
1.3. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT
Để có thể đánh giá m
(r,f
′
f
)ta cần đến bổ đề sau.
1.3.1. Bổ đề Borel
Bổ đề 2. Giả sử ϕ(r) > 0, (r > r0 > 0) là một hàm đơn điệu tăng với
bất kỳ δ > 0 thì ta có
d
drϕ(r) 6 ϕ(r)1+δ∥E(δ).
′′∥′′E nghĩa là bất đẳng thức đúng với mọi r nằm ngoài tập E ⊂ [r0,∞)
với độ đo Lebesgue hữu hạn.
Chứng minh. Do ϕ(r) là đơn điệu tăng nênd
drϕ(r) tồn tại h.k.n. Giả sử
ϕ(r) = 0, lấy r1 > r0 sao cho ϕ(r1) > 0.
Đặt E(δ) = r > r1 :d
drϕ(r) > ϕ(r)1+δ.
Ta códϕ(r)
ϕ(r)1+δ> dr trên E(δ). Điều này suy ra rằng
∫E(δ)
dr 6∫
E(δ)
dϕ(r)
ϕ(r)1+δ6
+∞∫r1
dϕ(r)
ϕ(r)1+δ6 1
δϕ(r1)δ.
11
Định nghĩa 2. Giả sử f là hàm phân hình. Phần tử diện tích
Ω = ddc log(1 + |ω|2) = 1
(1 + |ω|2)21
2πdω ∧ dω
được gọi là dạng metric Fubini-Study trên diện Riemann và
Tf(r,Ω) =r∫1
dt
t
∫∆(t)
f ∗Ω.
1.3.2. Bổ đề đạo hàm Logarit
Bổ đề 3. Giả sử f(z) là hàm phân hình, và δ > 0. Khi đó
m
(r,f
′
f
)6(1 +
(1 + δ)2
2
)log+ T (r, f) +
δ
2log r +O(1)∥E(δ).
Chứng minh. Ta định nghĩa phần tử diện tích bởi công thức
Φ =1
[1 + (log |ω|)2]|ω|2i
4π2dω ∧ dω.
Vì ω = r(cos θ + i sin θ) và ω = r(cos θ − i sin θ) nên dωdω = 2irdrdθ.
Từ đó, ∫C
Φ =
∫C
1
[1 + (log r)2]r2r
2π2drdθ
=1
2π2
∫ 2π
0
dθ
∫ +∞
1
d log r(1 + (log r)2
) = 1.
Đặt
M(r) =
r∫1
dt
t
∫∆(t)
f ∗Φ,
12
trong đó ∆(t) = z ∈ C : |z| < t. Bằng tính toán cụ thể ta nhận được
M(r) =
r∫1
dt
t
∫∆(t)
|f ′|2
[1 + (log |f |)2]|f 2|i
4π2dz ∧ dz
=
r∫1
dt
t
∫ω∈C
dt
tn(t, (f − ω)0)Φ(ω)
=
∫ω∈C
N(r, (f − ω)0)Φ(ω).
Theo bất đẳng thức Nevanlinna, ta có
N(r, (f − ω)0) 6 T (r, f) + C. Do đó, M(r) 6 T (r, f) + C.
Theo bổ đề Borel và tính lồi của log ta có đánh giá sau đây
m
(r,f
′
f
)=
1
2π
∫|z|=r
log+|f ′||f |
dθ 6 1
4π
∫|z|=r
log+|f ′|2
(1 + (log |f |)2
)[1 + (log |f |)2]|f |2
dθ
6 1
4π
∫|z|=r
log+|f ′|2(
1 + (log |f |)2)|f |2
dθ+
+1
4π
∫|z|=r
log+
(1 +
(log+ |f |+ log+
∣∣∣∣1f∣∣∣∣)2)dθ
6 1
4π
∫|z|=r
log
(1 +
|f ′|2(1 + (log |f |)2
)|f |2
)dθ
+1
2π
∫|z|=r
log+
(log+ |f |+ log+
∣∣∣∣1f∣∣∣∣)dθ +
1
2log 2
13
6 1
2log
(1 +
1
2π
∫|z|=r
|f ′|2(1 + (log |f |)2
∣∣∣∣f |2dθ)
+1
2π
∫|z|=r
log
(1 + log+ |f |+ log+
1
|f |
)dθ +
1
2log 2
6 1
2log
(1 +
1
r
d
dr
∫∆(r)
|f ′|2
[1 + (log |f |)2]|f |21
2πrdrdθ
)+
+ log
[1 +
1
2π
∫|z|=r
log+|f |dθ + 1
2π
∫|z|=r
log+1
|f |dθ
]+1
2log 2.
6 1
2log
(1 +
π
r
d
dr
∫∆(r)
f ∗Φ
)+ log
(1 +m(r, f) +m(r,
1
f)
)+1
2log 2
6 1
2log
(1 +
π
r
( ∫∆(r)
f ∗Φ
)1+δ)+ log+ T (r, f) +O(1)∥E1(δ)
6 1
2log
(1 + πrδ
(d
dr
r∫1
dt
t
∫∆(t)
f ∗Φ
)1+δ)+ log+ T (r, f)+O(1)∥E1(δ)
6 1
2log
(1 + πrδM(r)(1+δ)2
)+ log+ T (r, f) +O(1)∥E2(δ)
6 (1 + δ)2
2log+M(r) +
δ
2log+ r + log+ T (r, f) +O(1)∥E2(δ)
6(1 +
(1 + δ)2
2
)log+ T (r, f) +
δ
2log+ r +O(1)∥E2(δ).
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Theo bổ đề trên ta kí hiệu
S(r, f) = O(log T (r, f)) + δ log r∥E(δ). (1.5)
Ta sẽ sử dụng kết quả của bổ đề 3 chứng minh định lý cơ bản thứ hai
14
1.3.3. Định lý cơ bản thứ hai
Định lý 4. Giả sử f(z) là hàm phân hình và a1, ..., aq ∈ C ∪ ∞ là
các điểm phân biệt. Khi đó
(q − 2)T (r, f) 6q∑
i=1
N1(r, (f − ai)0) + S(r, f).
Chứng minh. Theo định lý cơ bản thứ nhất, không mất tổng quát ta có
thể giả sử a1, ...aq−1 ∈ C , aq = ∞.
Với ω ∈ C, và a ∈ C, ta đặt
∥ω − a∥ =
|ω − a|√
1 + |ω|2√
1 + |a|2nếu a ∈ C
1√1 + |ω|2
nếu a = ∞.
Khi đó, ||ω − a|| được gọi là hàm khoảng cách trên mặt cầu Riemann.
Đặt ψ(ω) =∑
16i16..6iq−26q
q−2∏j=1
∥ω − aij∥.
Với ψ(ω) xác định dương và liên tục, tồn tại hằng số C > 0 sao cho
1
C6 ψ(ω) 6 C. (1.6)
Ta có
ψ(f(z)) =
q∏i=1
∥f(z)− ai∥.∑
16i16i26q
1
∥f(z)− ai1∥∥f(z)− ai2∥
15
=1(√
1 + |f(z)|2)q−2
1
|f ′(z)|
q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
×
∑
16i16i26q−1
√(1 + |ai1|2
)(1 + |ai2|2
)|ai1 − ai2|
∣∣∣∣∣(f(z)− ai1)′
(f(z)− ai1)− (f(z)− ai2)
′
(f(z)− ai2)
∣∣∣∣∣+
+
q−1∑i=1
√1 + |ai|2
∣∣∣∣∣(f(z)− ai)′
f(z)− ai
∣∣∣∣∣. (1.7)
Từ (1.6), ta nhận được(√1 + |f(z)|2
)q−2
6 C
|f ′(z)|
q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
q−1∏i−1
√1 + |ai|2
∣∣∣∣∣(f(z)− ai)′
f(z)− ai
∣∣∣∣∣+
∑16i16i26q−1
√(1 + |ai1|2)(1 + |ai2|2)
|ai1 − ai2|
∣∣∣∣(f(z)− ai1)′
f(z)− ai1− (f(z)− ai2)
′
f(z)− ai2
∣∣∣∣.
Lấy log hai vế và tính trung bình đường tròn ta được
log
(√1 + |f(z)|2
)q−2
6 logC
|f ′(z)|
q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
.
q−1∑i=1
√1 + |ai|2
∣∣∣∣∣(f(z)− ai)′
f(z)− ai
∣∣∣∣∣+
+∑
16i16i26q−1
√(1 + |ai1|
2)(
1 + |ai2|2)
|ai1 − ai2|
∣∣∣∣∣(f(z)− ai1)′
f(z)− ai1− (f(z)− ai2)
′
f(z)− ai2
∣∣∣∣∣ .
(1.8)
16
Áp dụng định lý Jensen cho hàm φ(z) = log(√
1 + |f(z)|2)q−2
ta có∫|z|=r
log
(√1 + |f(z)|2
)q−2dθ
2π−∫
|z|=1
log
(√1 + |f(z)|2
)q−2dθ
2π
= (q − 2)
r∫1
dt
t
∫∆(t)
ddc log(1 + |f(z)|2
)+ (q − 2)
r∫1
dt
t.n (t, (f)∞)
= (q − 2)
r∫1
dt
t
∫∆(t)
ddc log(1 + |f(z)|2
)− (q − 2)N (r, (f)∞) . (1.9)
Tiếp theo, ta đánh giáC
|f ′(z)|q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
.
Đặt f(b) = ∞ (= aq) , ai(1 6 i 6 q − 1). Giả sử b là cực điểm cấp m của
f . Khi đó, tồn tại hàm chỉnh hình g(z) = 0 trong lân cận U(b) của b sao
choC
|f ′(z)|
q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
= |z − b|1−(q−2)m.|g(z)|.
Nếu f(b) = ai, (1 6 i 6 q − 1) và g(b) = 0, ta suy ra
C
|f ′(z)|
q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
= |z − b||g(z)|.
Ta có∫|z|=r
log
∣∣∣∣∣ C
|f ′(z)|
q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
∣∣∣∣∣ dθ2π −∫
|z|=1
log
∣∣∣∣∣ C
|f ′(z)|
q−1∏i=1
|f(z)− ai|√1 + |ai|2
∣∣∣∣∣ dθ2π6
q∑i=1
N1 (r, (f − ai)0)− (q − 2)N (r, (f)∞) .
17
Áp dụng tính chất của log+ vào vế phải của (1.8) ta nhận được
∫|z|=r
log
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑
16i16i26q−1
√(1 + |ai1|
2)(
1 + |ai2|2)
|ai1 − ai2|
∣∣∣∣∣(f(z)− ai1)′
(f(z)− ai1)− (f(z)− ai2)
′
(f(z)− ai2)
∣∣∣∣∣+
q∑i=1
√1 + |ai|2
∣∣∣∣∣(f(z)− ai)′
f(z)− ai
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= O
(m
(r,f
′
f
))+
q−1∑i=1
m
(r,(f − ai)
′
f − ai
)+O(1). (1.10)
Hơn nữa, từ (1.9) suy ra
T (r, f) = Tf(r,Ω) +O(1)
=
r∫1
dt
t
∫∆(t)
|f ′(z)|2
(1 + |f(z)|2)2i
2πdz ∧ dz +O(1)
=
r∫1
dt
t
∫∆(t)
ddc log(1 + |f(z)|2) +O(1). (1.11)
Từ đó,
Tf(r,Ω) = N(r, (f)∞)+1
2π
∫|z|=r
log√1 + |f(z)|2dθ− 1
2π
∫|z|=1
log√
1 + |f(z)|2dθ.
Do đó,
m(r, f) 6 1
2π
∫|z|=r
log√
1 + |f(z)|2dθ 6 m(r, f) +1
2log 2.
Từ (1.7)(1.9) và (1.10), suy ra
18
(q − 2)T (r, f)− (q − 2)N(r, (f)∞) 6
6q∑
i=1
N1(r, (f − ai)0)− (q − 2)N(r, (f)∞)
+O
[m
(r,f ′
f
)+
q−1∑i=1
m
(r,(f − ai)
′
f − ai
)]+O (1) .
Theo bổ đề đạo hàm Logarit, ta có
(q − 2)T (r, f) 6q∑
i=1
N1(r, (f − ai)0) + S(r, f).
19
Chương 2
BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT
CHO TRƯỜNG HỢP NHIỀU
BIẾN
Trong chương 1, chúng ta đã trình bày được bổ đề đạo hàm Logarit
và định lý cơ bản thứ hai cho hàm phân hình. Trong chương này, chúng
ta sẽ mở rộng chứng minh bổ đề đạo hàm Logarit và định lý cơ bản thứ
hai trong trường hợp nhiều biến dựa trên ý tưởng đã có chương 1.
2.1. CÔNG THỨC JENSEN
Cho U ⊂ Cm là tập mở và z = (z1, .., zm) là hệ tọa độ chuẩn của Cm.
Ta đặt ∥z∥ =
√m∑j=1
|zj|2,
d(z, ∂U) = inf∥z − ω∥, ω ∈ ∂U, z ∈ U,
Uε = z ∈ U, d(z, ∂U) > ε, ε > 0.
Ta viết zj = xj + iyj, (1 6 j 6 m). Giả sử φ là hàm khả vi. Ta nhắc lại
một số kí hiệu cơ bản
∂φ
∂zj=
1
2
(∂φ
∂xj+
1
i
∂φ
∂yj
),∂φ
∂zj=
1
2
(∂φ
∂xj− 1
i
∂φ
∂yj
),
dzj = dxj + idyj, dzj = dxj − idyj,
20
∂φ =m∑j=1
∂φ
∂zjdzj, ∂φ =
m∑j=1
∂φ
∂zjdzj,
dcφ =i
4π(∂φ− ∂φ) =
1
4π
m∑j=1
(∂φ
∂xjdyj −
∂φ
∂yjdxj
).
Ta kí hiệu dφ = ∂φ+ ∂φ,
ddcφ =i
2π∂∂φ, ∂∂φ =
m∑j,k=1
∂2φ
∂zj∂zkdzj ∧ dzk.
B(a, r) = z ∈ Cm; ∥z − a∥ < r, a ∈ Cm, r > 0 là mặt cầu tâm a bán
kính r. Khi a = 0 ta đặt B(r) = B(0, r).
Ta đặt α = ddc∥z∥2, β = ddc log ∥z∥2 và γ = dc log ∥z∥2 ∧ βm−2.
2.1.1. Một số định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 3. Hàm φ : U → [−∞,∞) được gọi là hàm đa điều hòa
nếu thỏa mãn hai điều kiện sau
a. φ là nửa liên tục dưới.
b. Với mọi điểm z ∈ U và với mọi vectơ v ∈ Cm, v = 0,
hàm ξ ∈ C 7→ φ(z + ξv) ∈ [−∞,∞) là điều hòa dưới.
Hàm trơn φε của φ được xác định bởi
φε(z) = φ∗χε(z) =
∫Cm
φ(ω)χε(ω − z)αm(ω)
=
∫Cm
φ(z + ω)χε(ω)αm(ω), z ∈ Uε.
Khi đó φε(z) ∈ C∞(Uε) và φε là hàm đa điều hòa dưới, trong đó χε(z) =
χ(ε−1z)ε−2m, ε > 0.
Định nghĩa 4. Một tập con A ⊂ U được gọi là giải tích nếu với a ∈ A
bất kì tồn tại một lân cận W ⊂ U của a và hàm chỉnh hình g1, g2, ..., gl
21
trên W thỏa mãn
A ∩W = g1 = g2 = ... = gl = 0 .
Nếu W được chọn là đủ bé, và các hàm gj, 0 ≤ j ≤ l có các vi phân tại
a ∈ A và dg1 (a) , ..., dgl (a) là độc lập tuyến tính thì a được gọi là điểm
không kì dị, ngược lại ta nói a là điểm kì dị.
Nếu một hàm chỉnh hình ϕ = 0 trong lân cận W của điểm a ∈ A bất kì
thỏa mãn A ∩W = ϕ = 0 . Khi đó A được gọi là siêu mặt.
Định nghĩa 5. Giả sử M,N là hai đa tạp phức. Ánh xạ
f : M 7→ N
x 7→ f (x)
gọi là phân hình nếu đồ thị Γ (f) = (x, f (x)) ⊂M ×N lập thành một
tập con giải tích bất khả quy và thỏa mãn những tính chất sau
1. Phép chiếu p : Γ (f) 7→ M là riêng, tức là nghịch ảnh của tập
compact là tập compact.
2. Tồn tại tập con S ⊂M không có điểm trong và hạn chế
p|Γ(f)\p−1S : Γ (f) \ p−1S 7→M \ S là song chỉnh hình.
Do đó, ta gọi hạn chế f |M\S :M \ S 7→ N là ánh xạ chỉnh hình.
Định nghĩa 6. Giả sử M, N là hai đa tạp phức. Ánh xạ phân hình
f :M → N được gọi là suy biến giải tích nếu ảnh f(M) được chứa trong
một tập con thực sự của N. Ngược lại, f được gọi là không suy biến giải
tích.
22
Định nghĩa 7. Cho V là đa tạp xạ ảnh phức n-chiều, f : Cm 7→ V là
ánh xạ phân hình, I(f) là tập các điểm bất thường của f. Hàm f được gọi
là không suy biến vi phân nếu tại z ∈ Cm\I(f), vi phân df có hạng lớn
nhất bằng m.
Định nghĩa 8. Giả sử Aλ là họ hữu hạn địa phương của siêu mặt M.
Khi đó, tổng hình thức∑
λ kλAλ, kλ ∈ Z được gọi là một divisor.
Nếu D =∑
λ kλAλ với kλ ≥ 0 thì D được gọi là divisor không âm, kí
hiệu D ≥ 0. Cho divisor D trên M có các siêu mặt bất khả quy phân
biệt Dλ của M sao cho D =∑kλDλ. Mỗi Dλ là thành phần bất khả
quy của D. Nếu D =∑kλDλ, với kλ = 1 thì D được gọi là divisor rút
gọn. Nếu f là hàm phân hình trên M thì ta gọi
(f)0 =∑
mλ>0mλDλ là divisor 0- điểm của f .
(f)∞ =∑
mλ<0 |mλ|Dλ là divisor cực điểm của f .
Định nghĩa 9. Giả sử L, N là hai đa tạp phức và ánh xạ π : L→ N là
toàn ánh chỉnh hình. Ta gọi L là phân thớ đường thẳng chỉnh hình trên
N nếu thỏa mãn các điều kiện sau
1. Tồn tại một phủ mở Vλ của N sao cho L|Vλ= π−1(Vλ) thỏa mãn
ánh xạ song chỉnh hình
ϕλ : L|Vλ→ Vλ × C.
2. Tồn tại các hàm chỉnh hình ϕλµ = 0 trên Vλ ∩ Vµ = ∅ sao cho
ϕλ ϕ−1µ |(Vλ∩Vµ)×C : (Vλ ∩ Vµ)× C 7→ (Vλ ∩ Vµ)× C
(x, ξµ) 7→ (x, ϕλµ(x)ξµ), ϕλλ = 1.
23
Trong trường hợp này, ta gọi Vλ là một phủ tầm thường địa
phương của L và ϕλµ là hệ hàm chuyển.
3. Ánh xạ σ : W → L, W ⊂ N thỏa mãn π σ = id|W được gọi là lát
cắt của L trên W .
Khi W là tập mở thì tập tất cả các lát cắt chỉnh hình của L trên W được
kí hiệu là H0(W, L).
Định nghĩa 10. Divisor D trên đa tạp N xác định phân thớ đường
thẳng L(D). Nếu L(D) là xác định dương thì D được gọi là rộng. Nếu
lát cắt chỉnh hình L(D) trên N xác định một phép nhúng vào không gian
xạ ảnh thì D được gọi là rất rộng.
Định nghĩa 11. Giả sử L là phân thớ đường thẳng trên đa tạp phức N
và ta lấy một phủ tầm thường địa phương của L là N =∪λ
Vλ, L|Vλ
∼=
Vλ × C. Giả sử trên Vλ có hàm ρλ(x) > 0 thỏa mãn ρλ = |ϕλµ|2ρµ trên
Vλ∩Vµ = ∅. Cho v = (x, ξλ) ∈ Vλ × C ⊂ L, ta đặt ||v||2 = |ξλ|2
ρλ(x)không
phụ thuộc vào cách chọn λ. Khi đó định nghĩa, hàm ||v|| hay họ ρλ
là metric hermit trong L. Phân thớ đường thẳng cùng với một metric
hermit được gọi là phân thớ đường thẳng hermit, kí hiệu L.
Định nghĩa 12. Chúng ta kí hiệu H 7→ P n(C) là phân thớ đường thẳng
được xác định bởi hệ hàm chuyển
φjk =
ωk
ωj
cùng với phủ mở affine
P n(C) =∪n
j=1 Uj, Uj = ωj = 0. Nếu ta gọi H là phân thớ siêu phẳng
trên P n(C) thì hàm ρj = 1 +∑
i=j
|ωi|2
|ωj|2trên Ui xác định một metric
hermit trên H với độ cong dương. Metric Kahler ωH được gọi là metric
Fubini - Study, dạng liên hợp Kahler ωH được gọi là metric Fubini -
Study trên P n(C).
24
Định nghĩa 13. Giả sử N là đa tạp phức, lấy một không gian con
E ⊂ H0(N,L) sao cho dimE = l + 1 > 2. Cho divisor (σ),
nếu σ ∈ E\ 0 và c ∈ C∗ thì (cσ) = (σ). Ngược lại, nếu σ, τ ∈ E\0
thỏa mãn (σ) = (τ) thì σ = cτ với mọi c ∈ C∗. Do đó ta có đẳng cấu
(σ) ;σ ∈ E \ 0 ∼= (E \ 0) /C∗ = P (E) = P l (C). Khi đó, không
gian P (E) được gọi là hệ tuyến tính của D và E = H0(N,L) được gọi
là hệ tuyến tính đầy đủ của L, kí hiệu |L|.
Định nghĩa 14. Giả sử N là đa tạp phức n chiều và hệ tọa độ chỉnh
hình địa phương của N là x = (x1, . . . , xn).
Ta viết Ω(x) = A(x)∧n
j=1i2πdxj ∧ dxj là 2n-dạng. Khi đó, dạng Ricci
được xác định như sau
RicΩ = ddc logA(x) =i
2π∂∂ logA(x).
Chú ý rằng, nếu ω0 là metric Fubini - Study thì
Ric ωn0 = −(n+ 1)ω0.
Định nghĩa 15. Cho divisor rút gọn D =q∑
j=1
Dj trên đa tạp phức V .
D được gọi là giao chuẩn tắc nếu tại bất kì a ∈ V tồn tại một hệ tọa độ
địa phương chỉnh hình U(x1, .., xn) và tồn tại k ∈ [0, n] sao cho
U ∩D = x1...xk = 0.
Nếu k = 0 thì U ∩ D = ∅ . Hơn nữa, nếu các Dj là không kì dị thì D
được gọi là giao chuẩn tắc đơn. Kí hiệu KV là phân phân thớ chuẩn tắc
trên V.
25
2.1.2. Công thức Jensen
Bổ đề 4. Giả sử φ = −∞ là hàm đa điều hòa trên Cm. Thế thì bất kỳ
0 < s < r
∫∥z∥=r
φγ −∫
∥z∥=s
φγ = 2
r∫s
dt
t2m−1
∫B(t)
ddc[φ] ∧ αm−1.
Chứng minh. Lấy hàm trơn φε của φ, vì dγ = 0 và áp dụng định lý
Stokes ta có∫∥z∥=r
φεγ −∫
∥z∥=s
φεγ =
∫s<∥z∥<r
dφε ∧ γ
=
∫s<∥z∥<r
d log ∥z∥2 ∧ dcφε ∧ (ddc log ∥z∥2)m−1
= 2
r∫s
dt
t
∫∥z∥=t
dcφε ∧ (ddc log ∥z∥2)m−1
= 2
r∫s
dt
t
∫∥z∥=t
dcφε ∧αm−1
t2(m−1)
= 2
r∫s
dt
t2m−1
∫∥z∥=t
dcφε ∧ αm−1
= 2
r∫s
dt
t2m−1
∫B(t)
ddcφε ∧ αm−1.
Cho ε→ 0, φε → φ, theo định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có∫∥z∥=r
φεγ −∫
∥z∥=s
φεγ →∫
∥z∥=r
φγ −∫
∥z∥=s
φγ.
26
Theo công thức tích phân độ đo Lebesgue ta nhận được∫B(t)
ddcφε ∧ αm−1 →∫
B(t)
ddcφ ∧ αm−1, ε→ 0.
Do đó, với 0 < ε < 1, t 6 r, ta có
0 6∫
B(t)
ddcφε ∧ αm−1 6∫
B(r)
ddc[φ] ∧ αm−1 <∞.
Từ đó, ta suy ra
2
r∫s
dt
t2m−1
∫B(t)
ddcφε ∧ αm−1 ε→0−−→ 2
r∫s
dt
t2m−1
∫B(t)
ddc[φ] ∧ αm−1.
Điều phải chứng minh.
2.2. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT
Cho z = (z1, .., zm) là hệ tọa độ chuẩn trên Cm và g là hàm phân
hình trên Cm. Ta lấy đạo hàm riêng∂g
∂zj, 1 ≤ j ≤ m và ta có tập
||dg| | =
(m∑j=1
∣∣∣∣ ∂g∂zj∣∣∣∣2)1
2
.
Theo công thức hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng chương 1 ta đặt
m(r, g) =
∫||z||=r
log+ |g(z)|γ,
T (r, g) = m(r, g) +N
(r, (f)∞
).
Khi đó, ta có phát biểu của bổ đề đạo hàm Logarit như sau
2.2.1. Bổ đề đạo hàm Logarit
Bổ đề 5. Giả sử g là hàm phân hình, g = 0 trên đường cong Cm, khi đó
m
(r,
∂g∂zj
g
)6 m
(r,||dg| ||g|
)= S(r, g), j = 1,m.
27
Chứng minh. Lấy metric kì dị trên P 1(C)
Φ =1
|ω|2(1 + (log |ω|)2)i
4π2dω ∧ dω.
Ta có:
∫P 1(C)
Φ =
∫P 1(C)
1
|ω|2(1 + (log |ω|)2)i
4π2dω ∧ dω.
Tính toán tương tự như bổ đề đạo hàm Logarit ở chương 1, ta cũng
nhận được∫
P 1(C)Φ = 1.
Ta có
g∗Φ ∧ αm−1 =1
|g|2(1 + (log |g|)2
) i
4π2dz ∧ dz ∧ (ddc∥z∥2)m−1
=1
|g|2(1 + (log |g|)2
) i
4π22π
i∥dg∥2ddc∥z∥2 ∧ (ddc∥z∥2)m−1
=∥dg∥2
|g|2(1 + (log |g|)2
) 1
2π
(ddc∥z∥2
)m=
1
2π
∥dg∥2
|g|2(1 + (log |g|)2
)αm.
Đặt
M(r) =
r∫1
dt
t2m−1
∫∥z∥<t
g∗Φ ∧ αm−1. (2.1)
28
Theo định lý Fubini ta có
M(r) =
∫P 1(C)
r∫1
dt
t2m−1
∫∥z∥<t∩(g−ω)0
αm−1Φ(ω)
=
∫P 1(C)
r∫1
1
t
∫∥z∥<t∩(g−ω)0
(ddc log ∥z∥2)m−1Φ(ω)
=
∫P 1(C)
N(r, (g − ω)0)Φ(ω). (2.2)
Vì hàm g là phân hình trên Cm nên g =g2g1
trong đó g1, g2 là hai hàm
nguyên. Ta có ánh xạ phân hình
f : Cm 7→ P 1(C)
g 7→ [g1(z), g2(z)]
Đặt a = [a2,−a1] ∈ P 1(C) ∼= C ∪ ∞ và giả sử |a1|2 + |a2|2 = 1.
Ta có (g − a)0 = (a1g1 + a2g2)0 = g∗a
mg(r, a) =
∫∥z∥=r
log
√|g1(z)|2 + |g2(z)|2
|a1g1(z) + a2g2(z)|γ(z) > 0.
Giả sử ω là dạng Fubini - Study metric trên P 1(C). Ta có
mg(1, a) =
∫||z||=r
log
√|g1(z)|2 + |g2(z)|2
a1g1(z) + a2g2(z)
=
∫∥z∥=1
log√|g1(z)|2 + |g2(z)|2 −
∫∥z∥=1
log |a1g1(z) + a2g2(z)|γ(z).
Vậy, tồn tại C sao cho mg(1, a) < C với mọi a ∈ P 1(C).
29
Mặt khác ta lại có Tg(r, ω) = T (r, g) +O(1). Thật vậy
T (r, g) =1
2
∫∥z∥=r
log
(1 +
∣∣∣∣g2(z)g1(z)
∣∣∣∣2)γ(z) +
1
2
∫∥z∥=r
log |g1|2 γ +O(1)
=1
2
∫∥z∥=r
log(|g0|2 + |g1|2
)γ +O(1).
Theo định lý Jensen, ta nhận được
T (r, g) =
r∫1
dt
t2m−1
∫B(t)
g∗ω ∧ αm−1 +O(1)
= Tg(r, ω) +O(1).
Vì vậy, N (r, (g − a)0) < T (r, g) + C, r > 1.
Từ (2.2) ta suy ra M(r) 6∫
P 1(C)(T (r, g) + C)Φ(ω) = T (r, g) + C.
Áp dụng bổ đề đạo hàm logarit chương 1, tính lồi của log+ và (2.1) ta
có
m
(r,∥dg∥g
)=
1
2
∫∥z∥=r
log+
∥dg∥2(1 + (log |g|)2
)|g|2
(1 + (log |g|)2
)γ
6 1
2
∫∥z∥=r
log+∥dg∥2(
1 + (log |g|)2)|g|2
γ
+1
2
∫∥z∥=r
log+
(1 +
(log+ |g|+ log+
1
|g|
)2)γ
6 1
2
∫∥z∥=r
log
1 +∥dg∥2(
1 + (log |g|)2)|g|2
γ
+
∫∥z∥=r
log+(log+ |g|+ log+
1
|g|
)γ +
1
2log 2
30
6 1
2log
1 +
∫∥z∥=r
∥dg∥2(1 + (log |g|)2
)|g|2
γ
+
∫∥z∥=r
log
(1 + log+ |g|+ log+
1
|g|
)γ +
1
2log 2
6 1
2log
1 +1
2mr2m−1
d
dr
∫B(r)
∥dg∥2(1 + (log |g|)2
)|g|2
αm
+ log
(1 +m(r, g) +m
(r,1
g
))+
1
2log 2
6 1
2log
(1 + π
r2m−1
d
dr
∫B(r)
g∗Φ ∧ αm−1
)+ log+ T (r, g) +O(1)
6 1
2log
1 + πr2m−1
( ∫B(r)
g∗Φ ∧ αm−1
)1+δ+log+ T (r, g)+O(1)∥E1(δ).
6 1
2log
1 + πrδ(2m−1)
(d
dr
r∫1
dt
t2m−1
∫B(t)
g∗Φ ∧ αm−1
)1+δ+log+ T (r, g)+
O(1)∥E1(δ).
6 1
2log(1 + πrδ(2m−1)M(r)(1+δ)
2)+ log+ T (r, g) +O(1)∥E1(δ).
6(1 +
(1 + δ)2
2
)log+M(r) +
δ(2m− 1)
2log+ r +O(1)∥E1(δ).
= S(r, g).
2.3. ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI
Định lý 5. Giả sử L 7→ V là phân thớ đường thẳng và f : Cm 7→ V
là ánh xạ phân hình không suy biến vi phân, với m > n. Giả sử D =q∑
j=1
Dj ∈ |L| có giao chuẩn tắc đơn. Khi đó, cố định metric hermit ω
31
trên V ta có
Tf(r, L) + Tf(r,Kv) 6q∑
j=1
N1(r, f∗Dj) + Sf(r, ω).
Chứng minh. Lấy lát cắt σj ∈ H0(V, L(Dj)), với (σj) = Dj, |σj| < 1 của
mỗi L(Dj) thỏa mãn L = L(D1)⊗L(D2)⊗...⊗L(Dq) và ωL =q∑
j=1
ωL(Dj),
j = 1, 2, ..., q.
Ta xác định dạng thể tích kì dị Φ trên V
Φ =1
q∏j=1
∥σj∥2ωn.
Theo định nghĩa của giao chuẩn tắc đơn của D ta có
Uλ ∩D = xλ1...xλkλ = 0, ∃kλ 6 n,
dxλ1∧ ... ∧ dxλn
= 0,∀a ∈ Uλ,
trong đó Uλ là phủ mở affine của V và các hàm hữu tỉ chỉnh hình
xλ1, ..., xλkλ trên Uλ.
Hơn nữa, ta giả sử
L(Dj)|Uλ∼= Uλ × C, 1 6 j 6 q.
Trên Uλ lấy
Φ|Uλ=
ϕλ|xλ1|2...|xλkλ|2
n∧k=1
i
2πdxλk ∧ dxλk,
ở đây ϕλ > 0 và khả vi vô hạn.
Lấy Cλ là phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ mở Uλ, ta đặt
Φλ = CλϕλkλΛk=1
(i
2π
dxλk ∧ dxλk|xλk|2
)∧
n
Λk=kλ+1
i
2πdxλk ∧ dxλk,
32
và Φ =∑λ
CλΦ|Uλ=∑λ
Φλ , Φλ được thác triển trên V khi 0 /∈ Uλ.
Nếu ta viết xλk f(z) = fλk(z), thì
f ∗Φλ = Cλ f.ϕλ f.kλΛk=1
(i
2π
dfλk ∧ dfλk|fλk|2
)∧
n
Λk=kλ+1
i
2πdfλk ∧ dfλk.
Nên ta có
T (r, fλk) = O(Tf(r, ω)) +O(1). (2.3)
Vì f là không suy biến vi phân và f ∗Φ ∧ αm−n = 0, ta đặt
f ∗Φ∧αm−n = ξαm, f ∗Φλ ∧αm−n = ξλαm, với ξ =
∑λ
ξλ và phương trình
ddc [log ξ] = ddc
[log
(∑λ
ξλ
)]> f ∗RicΦ− supp f ∗D
= f ∗ωL + f ∗Ric ωn − supp f ∗D.
Do đó,
Tf (r, ωL) + Tf (r, Ric ωn)
6 N1 (r, f∗D) +
∫∥z∥=r
log
(∑λ
ξλ
)γ −
∫∥z∥=1
log
(∑λ
ξλ
)γ. (2.4)
Đặt f ∗ω∧αm−1 = ξαm. Do ξλ bị chặn trên đa thức Pλ (ξ, |∂fλk/∂zj/fλk|)
trong ξ và |∂fλk/∂zj/fλk| nên ta có ξλ 6 Pλ (ξ, |∂fλk/∂zj/fλk|) , j =
1,m, k = 1, n. Vì vậy, log+ ξλ 6 O
(log+ ξ +
∑k
log+∥dfλk∥fλk
)+ O(1).
Do đó,∫∥z∥=r
log
(∑λ
ξλ
)γ 6
∑λ
∫∥z∥=r
log+ξλγ+O(1)
6 O
∑λ,k
∫∥z∥=r
log+∥dfλk∥fλk
γ
+O
∫∥z∥=r
log+ξλγ
+O(1).
33
Áp dụng bổ đề đạo hàm logarit và (2.3) suy ra∫∥z∥=r
(∑λ
log+ξλγ
)γ 6 S (f, ω) +O
∫∥z∥=r
log+ξγ
.
Ta áp dụng tương tự như bổ đề đạo hàm logarit, với 0 < δ < 1 và bổ đề
Borel trong chương 1 ta có∫∥z∥=r
log+ξγ 6∫
∥z∥=r
log (1 + ξ) γ 6 log
1 +
∫∥z∥=r
ξγ
6 log
1 +1
2mr2m−1
d
dr
∫B(r)
ξαm
6 log
1 +1
2mr2m−1
∫B(r)
f ∗ω ∧ αm−1
1+δ ∥E1(δ)
6 log
1 +r(2m−1)δ
2m
d
dr
r∫1
dt
t2m−1
∫B(t)
f ∗ω ∧ αm−1
1+δ ∥E1(δ)
6 log
1 +r(2m−1)δ
2m
r∫1
dt
t2m−1
∫B(t)
f ∗ω ∧ αm−1
(1+δ)
2 ∥E2(δ)
= Sf(r, ω).
Vì vậy,∫
∥z∥=r
log+ξγ = Sf(r, ω). Từ đó ta kết hợp (2.4), ta nhận được
Tf(r, ωL) + Tf(r, Ricc ωn) ≤ N1(r, f
∗D) + Sf(r, ω). (2.5)
Lấy tổng thứ j hai vế của (2.5) ta suy ra điều phải chứng minh.
2.4. PHÂN THỚ JET CHỈNH HÌNH
Ta sẽ mở rộng khái niệm phân thớ jet của đa tạp phức.
34
2.4.1. Một số khái niệm cơ bản về phân thớ jet
Cho đa tạp phức X bó mầm của trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của
X được kí hiệu T 1X. Một phần tử của T 1X tác động lên bó mầm của
hàm chỉnh hình được định nghĩa bởi (D, f) ∈ T 1X ×Ox 7→ Df ∈ Ox là
tuyến tính trên trường C, tức là D ∈ HomC(Ox,Ox).
Ta mở rộng định nghĩa này như sau
Định nghĩa 16. Cho X là một đa tạp phức n chiều bó mầm chỉnh hình
k-jet, kí hiệu T kX là bó con của HomC(Ox,Ox) gồm các phần tử dạng
k∑j=1
∑ij∈N
Di1 ... Dij , Dij ∈ T 1X.
Một tọa độ chỉnh hình z1, ..., zn là một phần tử thuộc T kX được biểu diễn
k∑j=1
∑16i16...6ij6n
ai1...ij∂j
∂zi1...∂zij,
các chỉ số ai1...ij là các hàm chỉnh hình.
Định nghĩa 17. Kí hiệu Hx, x ∈ X là bó mầm của đường cong chỉnh
hình f : ∆(r) 7→ X, f(0) = x. Với k ∈ N , ta xác định quan hệ tương
đương sau. Cho z1, ..., zn là tọa độ gần x và f ∈ Hx với fi = zif. Khi đó,
ta nói f, g ∈ Hx là k - tương đương, kí hiệu f ∼k g nếu f(p)j (0) = g
(p)j (0),
∀1 6 p 6 k. Bó của k-jet hạn chế là JkX = Ux∈λHx\ ∼k . Với mỗi phần
tử của JkX được kí hiệu jkf(0) = (f(0), f′(0), ..., f (k)(0)). Trường hợp
k = 1, ta viết J1X = T 1X = TX gọi là phân thớ tiếp xúc.
Chú ý rằng, với cách định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn
tọa độ gần x. Vì nếu (zj f)(p)(0) = (zj g)(p)(0), ∀0 6 p 6 k thì
35
(ωj f)(p)(0) = (ωj g)(p)(0) với tọa độ ω1, ..., ωn khác z1, ..., zn. Nếu ta
thay z1, ..., zn bằng ω1, ..., ωn thì (ωj f)′=
n∑i=1
∂ωj
∂zi(f)(zi f)
′,
(ωj f)′′=
n∑i=1
∂ωj
∂zi(f)(zi f)
′′+
n∑i,k=1
∂2ωj
∂zi∂zk(f)(zi f)
′(zk f)
′.
Và ta lấy đạo hàm k lần được
(ωj f)(k) =n∑
i=1
∂ωj
∂zi(f)(zi f)(k) + P
(∂lωj
∂zi...∂zil(f)(ωi f)(l)
), trong đó
P là đa thức với hệ số nguyên∂lωj
∂zi...∂zil(ωi f)(l), j = 1, n, l = 1, k.
Định nghĩa 18. Một C∗ tác động lên JkX được xác định qua tham
số. Với λ ∈ C∗ và ánh xạ f ∈ Hx ánh xạ fλ ∈ Hx được xác định bởi
fλ(t) = f(λt) thì
jkfλ(0) = (fλ(0), f′
λ(0), ..., f(k)λ (0)) = (f(0), λf
′(0), ..., λkf (k)(0)).
Khi đó, ta gọi C∗ -tác động được định nghĩa bởi
λjkf(0) = (f(0), λf′(0), ..., λkf (k)(0)).
Định nghĩa 19. Đối ngẫu của JkX tức là mầm của ω : JkX|U → C
sao cho ω(λjkf) = λmω(jkf) với m nguyên,dương được gọi là vi phân
bó mầm của k-jet trọng số m. Bó của vi phân k-jet trọng số m, được kí
hiệu JkX. Một vi phân jet ω thỏa mãn ω(λjkf) = λmω(jkf) với m là số
nguyên, dương được gọi là vi phân k-jet trọng số m, kí hiệu Jmk X.
Dưới đây ta mở rộng bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet của dạng
logarit và cụ thể vi phân jet kì dị
2.4.2. Bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet kì dị
Bổ đề 6. Cho X là đa tạp xạ ảnh và giả sử
36
1. D là divisor không âm với giao chuẩn tắc đơn.
Hoặc
2. D là divisor tầm thường trong X (suppD = ∅).
Giả sử f : C 7→ X là ánh xạ chỉnh hình và ω ∈ H0(X, Jmk X(logD))
(tương ứng H0(X, Jmk X) trong trường hợp hai) là một vi phân jet sao
cho ω jkf = 0, thì
Tωjkf(r) =
2π∫0
log+ |ω(jkf(re√−1θ))|dθ
2π6 O(log Tf(ωX , r)) +O(log r),
trong đó ωX có thể bằng c1(L) trên X.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh. Tồn tại hữu hạn các hàm hữu
tỉ t1, t2, ..., tq trên X sao cho(d(j)titi
)mj
: 1 6 i 6 q, 1 6 j 6 k
. (2.6)
bao các sợi phân thớ của Jmk X(logD) trên mọi điểm của X. Không mất
tổng quát, ta giả sử D là rộng và ta có thể thay D bằng D + D′′ sao
cho D + D′′ là rộng. Nếu s là hàm chỉnh hình trên lân cận U sao cho
[s = 0] = D ∩ U thì [sτ = 0] = τD ∩ U , trong đó τ là số hữu tỉ. Vì vậy,
d(j)(log sτ) = τd(j)(log s) cũng là vi phân jet với logarit kì dị theo D∩U .
Tức là, không mất tổng quát ta giả sử D là rất rộng, bằng cách thay D
bằng τD, với τ bất kì để τD là rất rộng.
Cho u ∈ H0(X, [D]) là một lát cắt sao cho D = [u = 0]. Tại x ∈ D
chọn v1 ∈ H0(X, [D]) sao cho E1 = [v1 = 0] là trơn, D + E1 với giao
chuẩn tắc và v1(x) = 0 (vì [D] là rất rộng). Ta có, hàm hữu tỉ t1 =u1v1
là
kì dị trên tập mở affine lân cận của X\E1 của X và (X\E1)∩ [t1 = 0] =
37
(X\E1)∩D. Ta chọn các hàm t2 =u2v2, ..., tn =
unvn
, ở đây ui, vi là các lát
cắt của phân thớ rất rộng L sao cho t2, ..., tn là kì dị tại x. Và divisor
Di = [ui = 0], Ei = [vi = 0] là trơn, D1+D2+ ...+Dn+E1+E2+ ...+En
với giao chuẩn tắc. Hơn nữa, các phân thớ là các lát cắt rất rộng nên ta
có thể chọn sao cho dt1∧ ...∧dtn không triệt tiêu tại x, từ hệ đầy đủ của
các lát cắt cho ta một phép nhúng. Vì vậy, tại mỗi điểm có (n + 1) lát
cắt với tính chất thương của n chia n+1 lát cắt lập thành một hệ tọa độ
địa phương trên một cơ sở lân cận mở Ux của x. Vậy (2.6) đúng. Vì D
là compact và D bị phủ bởi một số hữu hạn các lân cận mở U1, U2, ..., Up
và một số hữu hạn các hàm hữu tỉ (được xác định như trên) trên X sao
cho (2.6) thỏa mãn∪
16i6p Ui. Mặt khác, tồn tại các tập con mở compact
tương đối U′
i của Ui, (1 6 i 6 p) sao cho∪
16i6p U′
i phủ D.
Tiếp theo ta xét điểm x ∈ X\∩
16i6p U′
i compact. Lặp lại quá trình như
trên ta tìm được hàm hữu tỉ s1 =a1b1, ..., sn =
anbn, trong đó ai, bi là cũng
là các lát cắt của phân thớ rất rộng L sao cho s1, s2, ..., sn từ hệ tọa
độ địa phương chỉnh hình lên một vài lân cận mở Vx của x. Vậy (2.6)
thỏa mãn trên Vx với các hàm s1, s2, ..., sn. Ở đây ta chọn các lát cắt
sao cho H = [s1...sn = 0] cùng với các divisor được xác định ở trên và
nó cũng là divisor với giao chuẩn tắc đơn(vì L là phân thớ rất rộng).
Vì X\∩
16i6p U′
i là compắc nên bị phủ bởi hữu hạn các lân cận tọa độ
như vậy. Các tọa độ là các hàm hữu tỉ và hữu hạn và rõ ràng điều kiện
(2.6) thỏa mãn trên X\∩
16i6p U′
i . Vì∪
16i6p Ui cùng với X\∩
16i6p U′
i
phủ X, vậy điều kiện (2.6) đúng.
Nếu D là divisor tầm thường ta cũng sử dụng cách xây dựng như
trên, trái lại (2.6) cũng đúng với Jmk X(logD) = Jm
k X.
38
Tiếp theo để hoàn thành định lí ta xét hàm sau
ρ : JkX(− logD) 7→ [0,∞)
được xác định bởi
ρ(ξ) =
q∑i=1
k∑j=1
∣∣∣∣∣(d(j)titi
)mj
(ξ)
∣∣∣∣∣2
, ξ ∈ JkX (− logD)
với ti là họ các hàm hữu tỉ thỏa mãn điều kiện (2.6) liên tục trong
chiều lớn hơn. Trên sợi của mỗi điểm x ∈ X − E, |(d(j)titi)mj (ξ)|2 là hữu
hạn với ξ ∈ JkX(− logD)x. Do đó ρ = ∞.
Hơn nữa,
(d(j)titi
)mj
: 1 6 i 6 q, 1 6 j 6 k
bao sợi của JkX(− logD)
trên mỗi điểm của X, ρ > 0 ngoài ra lát cắt 0− điểm của JkX(− logD).
Ta có thương |w|2ρ : JkX(− logD) 7→ [0,∞) không nhận giá trị vô cùng
khi hạn chế JkX(− logD)|lát cắt 0-điểm. Vì vậy,
|w|2
ρ: JkX(− logD)|lát cắt 0-điểm 7→ [0,∞) là hàm liên tục không âm.
Hơn nữa, vì
|w(λξ)|2 = |λ|2m|w(ξ)|2, ρ(λξ) = |λ|2mρ(ξ),∀λ ∈ C∗,
và ξ ∈ JkX(− logD). Ta thấy|ω|2
ρgiảm tới hàm được xác định tốt trên
(JkX(− logD))\lát cắt 0-điểm/C∗
tức là|ω|2
ρ: (JkX(− logD))\lát cắt 0-điểm/C∗ 7→ [0,∞) là hàm liên
tục được xác định tốt. Do tính compact nên tồn tại hằng số c sao cho
|ω|2 6 cρ. Từ đó suy ra
Tωjkf(r) =
2π∫0
log+∣∣∣w (jkf (re√−1θ
))∣∣∣dθ2π
62π∫0
log+∣∣∣ρ(jkf (re√−1θ
))∣∣∣dθ2π
+O(1). (2.7)
39
Vì ti là hàm hữu tỉ trên X nên(d(j)titi
)mj
(jkf) =
((ti f)(j)
ti f
)mj
là hàm phân hình trên C , vì vậy theo định nghĩa của ρ ta có
log+ |ρ(jkf)| 6 O
(max
16i6q,16j6klog+
∣∣∣∣∣(ti f)(j)ti f
∣∣∣∣∣)
+O(1)
Theo bổ đề đạo hàm logarit cho hàm phân hình ta có
2π∫0
log+
∣∣∣∣∣(ti f)(j)ti f
∣∣∣∣∣dθ2π 6 O(log rTtif(r)).
Vì ti là hàm hữu tỉ, log Ttif(r) 6 O(log Tf(ωx, r)) +O(1). Vậy
2π∫0
log+∣∣ω(jkf(reiθ))∣∣dθ
2π6 O(log Tf(r)) +O(log r). (2.8)
Từ (2.6)(2.7) suy ra
Tωjkf(r) 6 O(log Tf(r)) +O(log r).
Vì vậy, đây là điều phải chứng minh.
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna
- Các khái niệm về ba hàm cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna.
- Chứng minh định lý cơ bản thứ nhất, cơ bản thứ hai và bổ đề đạo hàm
Logarit.
- Chứng minh bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến và ứng
dụng của nó trong chứng minh định lý cơ bản thứ hai.
- Một số khái niệm cơ bản về phân thớ jet và chứng minh bổ đề đạo
hàm Logarit cho vi phân jet của dạng Logarit, cụ thể là vi phân kỳ dị.
40
Tài liệu tham khảo
[1] Noguchi, Nevanlinna theory in several Complex Variables and Dio-
phantine Approximation, (2004), 1-86.
[2] Min ru, Nevanlinna theory and its relation to Diophantine Approx-
imation, World Scientific, (2001), 1-57.
[3] Nguyễn Văn Khuê– Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, ĐHQG Hà Nội,
(2009).
[4] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, ĐHQG Hà
Nội.
[5] Pei – Chu Hu and Chung – Chun Yang, The second main theo-
rem of holomophic curves into project spaces, Mathematics and its
application, (2000).
[6] Pit – Mann Wong and Wilhelm Stoll, On holomorphic jet bundles,
AG. Math, (2002), 1-18, 1-64.
[7] Paul Vojta, Jets via Hasse - Schmidth derativations, University of
California, Berkerley, (2007).
[8] Duke M., The lemma of the logarithmic derative in serveral complex
variables, (1977), 89-104.
[9] Shirosaki, On the theory of meromorphic function, Japan. J. Math,
119-171.
41
[10] Kodaira, Meromophic mappings onto compact complex spaces of
general type, I. Math, (1975), 7-16.
[11] Wong, P.M., On the second main theorem of Nevanlinna theory,
Ame. J. of Math, (1989), 549-583.
[12] Lu, S. On meromorphic maps into variables of log-general type, Proc.
Symp. Amer. Math. Soc, (1991), 305-333.
[13] Iitaka, S., Logarithmic forms of algebraic varieties, J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo, IA. Math, (1976), 525-545.
[14] Beltrametti, Introduction to the theory of weighted projective spaces,
Expositiones Mat.
[15] Miyaoka, On the Chern numbers of surfaces of general type, Invent.
Math, (1997), 225-237.
42
