Bölüm 2

Isı İletimi Denklemi

Copyright © 2011 The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.

Türkçe sunumu hazırlayan Yrd.Doç.Dr. Nezaket Parlak

Heat and Mass Transfer: Fundamentals & ApplicationsFourth Edition

Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar

McGraw-Hill, 2011

2

Bu bölümün amacı

• Isı transferinin çok boyutluluğunu, zamana bağımlılığını ve bir ısı

transfer problemine hangi şartlar altında tek boyutlu olarak

yaklaşılabildiğini anlamış olmak,

• Çeşitli koordinat sistemlerinde ısı iletimi diferansiyel denlmei

türetilebilmeli ve denklem sürekli tek boyutlu duruma

sadeleştirilebilmeli,

• Yüzeylerde ısıl şartlar belirlenebilmeli ve bunlar matematik sınır ve

başlangıç şartları olarak ifade edilebilmeli,

• Tek boyutlu ısı iletim problemleri çözülebilmeli ve bir ortamda sıcaklık

dağılımı ile ısı akısı elde edilebilmeli,

• Isı üretimi içeren katılarda tek boyutlu ısı iletimi çözümlenebilmeli,

• Katılarda ısıl iletkenliğinin sıcaklığa bağı olması durumunda ısı iletimi

hesaplanabilmelidir.

3

Giriş• Isı iletimi, ısıl enerjinin bir ortamdaki yüksek enerjili parçacıklardan

bitişiklerindeki daha az enerjili parçacıklara geçişidir.

• Isı geçişi ve sıcaklık ilişkili kavramlar olmasına rağmen nitelikleri farklıdır.

• Sıcaklık skaler bir büyüklüktür.

• Isı geçişi hem büyüklüğe hem de bir yöne sahiptir. Vektörel bir büyüklüktür.

• Eğer bir yüzeydeki ısı geçişi, iç tarafa doğru ise ısı kazancı, dışa doğru ise ısı

kaybı olarak adlandırılır.

Esas kural, ısı geçişi

koordinat düzleminin

pozitif yönüne doğru

ise pozitif, negatif

koordinat yönüne

doğru ise negatif

kabul edilir.

4

• Isı geçişinin herhangi bir türü için itici güç sıcaklık farkıdır.

• Sıcaklık farkı ne kadar büyük olursa ısı geçişi de o kadar büyük olur.

• Isı transfer problemlerinde bazı kritik bölgelerde yerel ısı geçiş hızının

hesabı için bir ortam boyunca sıcaklık dağılımının belirlenmesi gerekir.

• Bir ortamdaki bir noktadaki sıcaklığın tanımlanabilmesi için öncelikle bu

noktanın yeri tanımlanmalıdır.

• Üç temel koordinat sistemi mevcuttur.

Kartezyen T(x, y, z, t)

Silindirik T(r, , z, t)

Küresel T(r, , , t).

5

• Sürekli (a) ortam içinde

herhangi bir noktada

zamanla değişimin

olmadığını gösterir.

• Zamana bağlı (geçici) (b)

zamanla değişimi , zamana

bağlılığı ifade eder.

• Bazı durumlarda zamana

göre değişimin olduğu,

fakat konuma göre

değişimin olmadığı ortamın

sıcaklığı üniform olarak

değişir. Bu sistemlere yığık

sistemler denilir. Örneğin;

bir ısıl çift (termokupl)

ölçme ucu.

Sürekli ve Zamana Bağlı Isı Geçişi

6

Çok Boyutlu Isı Geçişi

• Isı geçişi problemlerinin sınıflandırılması

Tek boyutlu

İki boyutlu

Üç boyutlu

• Bir ortamdaki ısı geçişi üç boyutludur, yani sıcaklık üç ana

doğrultuda değişir. Fakat, bazı problemler iki yada bir boyuta

indirgenebilir.

Tek boyutlu ısı geçişi; eğer sıcaklık

yalnız bir doğrultuda değişiyor,

dolayısıyla ısı bir doğrultuda

geçiyorsa, diğer doğrultulardaki

sıcaklık değişimleri ve ısı geçişi

ihmal edilebilir. Bu durumda ısı

transfer problemi tek boyutlu olarak

adlandırılır.

7

İki boyutlu ısı geçişi; eğer bir ortamdaki

sıcaklık iki esas doğrultuda değişebilir ve

üçüncü boyuttaki ısı geçişi ihmal edilebilir.

Bu durumda ısı geçişi problemi iki

boyutludur.

8

• Bir ortamda belirli bir doğrultuda (mesela x-doğrultusunda) iletimle

olan ısı transfer hızı, ortam içindeki sıcaklık farkı ve ısı geçişine dik

alan ile doğru orantılı , o doğrultudaki mesafe ile ters orantılıdır. Bu

durum; Fourier’in ısı iletimi denklemi ile aşağıdaki gibi ifade edilir.

Burada k, ısıl iletkenlik ve dT/dx , T-x

diyagramındaki sıcaklık eğrisinin

eğimi olan sıcaklık gradyenidir.

Malzemelerin ısıl iletkenlikleri

sıcaklığa göre değişir, fakat

hesaplamalarda ortalama sıcaklığa

göre alınarak hassas sonuçlar elde

edilebilir.

Denklemdeki negatif işaret, pozitif x

yönündeki ısı geçişinin pozitif bir

nicelik olmasını sağlar.

9

• Isı iletim denkleminin genel hali için

üç boyutlu bir problem ele alalım

(Şekil 2-8). Ortamın sabit sıcaklıklı

bir yüzeyinde P noktası olsun.

Yüzeyin normali n olmak üzere, ısı

geçişi yüzeyin normali yönünde

Fourier kanunu;

Kartezyen koordinatlarda, ısı iletimi

vektör bileşenleri cinsinden;

x,y ve z yönlerindeki ısı geçiş hızları;

10

• Örnekler:

Elektrik enerjisinin, I2R oranında ısı enerjisine dönüşmesi

Nükleer reaktörlerin yakıt elemanlarında fisyon ile ısı açığa çıkması,

Ekzotermik kimyasal reaksiyon ortamında ısı açığa çıkması.

• Isı üretimi hacimsel bir olaydır.

• Birimi W/m3 yada Btu/h·ft3.

• Bir ortamdaki ısı üretim hızı hem zamanla hem de konumla değişebilir.

Isı Üretimi

Örnek; Isı Üretimi

11

12

TEK BOYUTLU ISI İLETİM DENKLEMİ

Tek camlı bir pencere, bir presli ütünün altındaki metal plaka, dökme demir

bir buhar borusu, silindirik bir nükleer yakıt elemanı, bir elektrik direnç teli,

temperlenen küresel bir tankın duvarı, bir evin düzlem duvarda ısı iletimi

göz önüne alınsın.

Bu örnekler gibi birçok geometrideki ısı iletimi tek boyutlu olarak ele

alınabilir. Çünkü ısı iletimi tek yönde daha etkin olup diğer yönlerdeki ısı

iletimleri ihmal edilebilir.

Kartezyen, silindirik, ve küresel koordinatlarda tek boyutlu ısı iletimi

denklemleri türetilecektir.

13

Geniş Bir Düzlem

Duvarda Isı İletimi

Denklemi

(Volume element= hacim elemanı)

(Generation= Üretim)

Geniş bir düzlem duvardaki bir

hacim elemanından tek

boyutlu ısı iletimi

14

Isı üretimi olmayan, sürekli ısı iletimi ve sabit

iletkenlik durumlarında düzlem bir duvarda tek

boyutlu ısı iletim denkleminin basitleştirilmesi

15

Uzun Bir

Silindirde Isı

İletim

Denklemi

16

İçerisinde ısı üretimi olmayan bir silindirde tek

boyutlu sürekli ısı iletimi için diferansiyel

denklemin iki eşdeğer durumu

17

Bir Kürede Isı İletim

Denklemi

18

Birleşik Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi

Düzlem duvar, silindir ve küre için, tek boyutlu, zamana bağlı ısı

iletim denkleminin her üç koordinat için genel hali;

n = 0 düzlem duvar için

n = 1 silindir için,

n = 2 küre için,

Düzlem duvar durumunda r değişkeni yerine alışılmış şekliyle x

alınır.

Bu denklem benzer şekilde, sürekli veya ısı üretimi olmayan

durumlar içinde basitleştirilebilir.

Örnek:

19

20

GENEL ISI İLETİMİ DENKLEMİ

Isı geçişi uygulamalarında çoğunlukla ısı iletimi tek boyutlu olarak

alınmakta, diğer boyutlardaki ısı iletimleri ihmal edilmektedir.

Ancak her zaman durum böyle değildir, diğer doğrultulardaki ısı

geçişinin de göz önüne alınması gerekmektedir.

Bu durumda ısı geçişi çok boyutlu olarak adlandırılmaktadır.

Tek boyutlu ısı geçişi denklemi kartezyen, silindirik ve küresel

koordinatlar için geliştirilmişti.

Bu bölümde her üç koordinat için çok boyutlu ana diferansiyel

denklemler türetilecektir.

21

Kartezyen koordinatlar

22

Değişken

iletkenlik

Sabit

iletkenlik

23

Sıcaklık yalnız bir

doğrultuda değiştiği

zaman, üç boyutlu ısı

iletim denklemi tek

boyutlu ısı iletim

denklemine indirgenir.

24

Silindirik Koordinatlar

Kartezyen ve silindirik koordinat sistemleri arasında aşağıdaki

ilişkiler kullanılarak dönüşüm yapılır;

25

Küresel Koordinatlar

Kartezyen ve küresel koordinat sistemleri arasında aşağıdaki

ilişkiler kullanılarak dönüşüm yapılır;

26

Ana Denklemlerdeki Isı Akıları

𝑸 = 𝑨 𝒒′′

𝑸𝒓 = 𝑨𝒓 𝒒𝒓′′ = 𝟐𝝅𝒓𝑳𝒒𝒓

′′

𝑸𝒓 = 𝑨𝒓 𝒒𝒓′′ = 𝟒𝝅𝒓𝟐𝒒𝒓

′′

27

BAŞLANGIÇ VE SINIR ŞARTLARIBir ortamdaki ısı akısının ve sıcaklık dağılımının ortamı sınırlayan yüzeylerdeki şartlara

bağlıdır ve ısı geçişinin belirlenebilmesi için yüzeydeki ısıl şartlar tam olarak tarif edilmelidir.

Sınır Şartları: sınırlardaki ısıl şartların matematiksel ifadelerine denir.

Bir düzlem duvarda

herhangi bir noktada ve

andaki sıcaklık ısı

iletiminin başlangıcındaki

duvar şartına bağlıdır.

Genellikle t = 0 anında

tanımlı şart ortamın

başlangıçtaki sıcaklık

dağılımının

matematiksel ifadesidir

ve başlangıç şartı

olarak adlandırılır.

Burada f fonksiyonu t=0

anında ortam boyunca

sıcaklık dağılımını

gösterir.

Bir ısı geçişi problemini

tanımlanması için, her bir ısı

geçişi doğrultusu için iki sınır

şartı verilmelidir.Tipik bir diferansiyel denklemin

genel çözümü gelişigüzel

sabitler ve dolayısıyla sonsuz

sayıda çözüm içerir.

28

• Tanımlı sıcaklık

• Tanımlı ısı akısı

• Taşınım

• Işınım sınır şartlarıdır.

Uygulamada En Çok Karşılaşılan

Sınır Şartları

29

1 Tanımlı sıcaklık sınır şartı

The temperature of an exposed surface

can usually be measured directly and

easily.

Therefore, one of the easiest ways to

specify the thermal conditions on a surface

is to specify the temperature.

For one-dimensional heat transfer through

a plane wall of thickness L, for example,

the specified temperature boundary

conditions can be expressed as

where T1 and T2 are the specified

temperatures at surfaces at x = 0 and

x = L, respectively.

The specified temperatures can be

constant, which is the case for steady

heat conduction, or may vary with time.

30

2 Tanımlı ısı akısı sınır şartı

For a plate of thickness L subjected to heat

flux of 50 W/m2 into the medium from both

sides, for example, the specified heat flux

boundary conditions can be expressed as

The heat flux in the positive x-direction anywhere in the

medium, including the boundaries, can be expressed by

31

Özel durum: Yalıtımlı Sınır

A well-insulated surface can be modeled

as a surface with a specified heat flux of

zero. Then the boundary condition on a

perfectly insulated surface (at x = 0, for

example) can be expressed as

On an insulated surface, the first

derivative of temperature with respect

to the space variable (the temperature

gradient) in the direction normal to the

insulated surface is zero.

32

Özel durum: Isıl Simetri

Some heat transfer problems possess thermal

symmetry as a result of the symmetry in imposed

thermal conditions.

For example, the two surfaces of a large hot plate

of thickness L suspended vertically in air is

subjected to the same thermal conditions, and thus

the temperature distribution in one half of the plate

is the same as that in the other half.

That is, the heat transfer problem in this plate

possesses thermal symmetry about the center

plane at x = L/2.

Therefore, the center plane can be viewed as an

insulated surface, and the thermal condition at this

plane of symmetry can be expressed as

which resembles the insulation or zero heat

flux boundary condition.

33

3 Taşınım sınır şartı

For one-dimensional heat transfer in the x-direction

in a plate of thickness L, the convection boundary

conditions on both surfaces:

34

4 Işınım sınır şartı

For one-dimensional heat transfer in the

x-direction in a plate of thickness L, the

radiation boundary conditions on both

surfaces can be expressed as

Radiation boundary condition on a surface:

35

5 Arayüzey sınır şartı

The boundary conditions at an interface

are based on the requirements that

(1) two bodies in contact must have the

same temperature at the area of contact

and

(2) an interface (which is a surface)

cannot store any energy, and thus the

heat flux on the two sides of an interface

must be the same.

The boundary conditions at the interface

of two bodies A and B in perfect contact at

x = x0 can be expressed as

36

6 Genelleşmiş sınır şartı

In general, however, a surface may involve convection,

radiation, and specified heat flux simultaneously.

The boundary condition in such cases is again obtained

from a surface energy balance, expressed as

37

SÜREKLİ TEK BOYUTLU ISI İLETİM

PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ

In this section we will solve a wide range of heat

conduction problems in rectangular, cylindrical,

and spherical geometries.

We will limit our attention to problems that result

in ordinary differential equations such as the

steady one-dimensional heat conduction

problems. We will also assume constant thermal

conductivity.

The solution procedure for solving heat

conduction problems can be summarized as

(1) formulate the problem by obtaining the

applicable differential equation in its simplest

form and specifying the boundary conditions,

(2) Obtain the general solution of the differential

equation, and

(3) apply the boundary conditions and determine

the arbitrary constants in the general solution.

38

39

40

41

42

43

44

45

46

KATILARDA ISI ÜRETİMİ

Many practical heat transfer applications

involve the conversion of some form of energy

into thermal energy in the medium.

Such mediums are said to involve internal heat

generation, which manifests itself as a rise in

temperature throughout the medium.

Some examples of heat generation are

- resistance heating in wires,

- exothermic chemical reactions in a solid, and

- nuclear reactions in nuclear fuel rods

where electrical, chemical, and nuclear

energies are converted to heat, respectively.

Heat generation in an electrical wire of outer

radius ro and length L can be expressed as

47

The quantities of major interest in a medium with

heat generation are the surface temperature Ts

and the maximum temperature Tmax that occurs

in the medium in steady operation.

48

49

DEĞİŞKEN ISIL İLETKENLİK, k(T)

When the variation of thermal conductivity with

temperature in a specified temperature interval is

large, it may be necessary to account for this

variation to minimize the error.

When the variation of thermal conductivity with

temperature k(T) is known, the average value of

the thermal conductivity in the temperature range

between T1 and T2 can be determined from

50

temperature coefficient

of thermal conductivity.

The average value of thermal conductivity

in the temperature range T1 to T2 in this

case can be determined from

The average thermal conductivity in this

case is equal to the thermal conductivity

value at the average temperature.

The variation in thermal conductivity of a material with

temperature in the temperature range of interest can often be

approximated as a linear function and expressed as

51

ÖZET• Giriş

Sürekli ve geçici rejimde ısı geçişi

Çok Boyutlu Isı Geçişi

Isı Üretimi

• Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi

Geniş Bir Düzlemde Isı İletim Denklemi

Uzun Bir Silindirde Isı İletim Denklemi

Bir Kürede Isı İletim Denklemi

Birleşik Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi

• Genel Isı İletim Denklemi

Kartezyen Koordinatlar

Silindirik Koordinatlar

Küresel Koordinatlar

• Başlangıç ve Sınır Şartları

• Tek Boyutlu Isı İletim Problemlerinin Çözümü

• Katılarda Isı Üretimi

• Değişken Isıl İletkenlik k (T )