Bölüm 3

Tek Serbestlik Dereceli Sistemlerin

Zorlanmamış Titreşimi

Tek serbestlik dereceli örnek sistem: Kütle-Yay (Yatay konum)

Bir önceki bölümde anlatılan yöntemlerden herhangi biri ile sistemin hareket denklemi elde edilmişti. Sistem basit olduğu için Newton’un 2. hareket kanunun direk uygulaması ile:

Sönümsüz Titreşim:

Kütle-Yay (Dikey durum):

Bu durumda cismin ağırlığı ile yay bir miktar uzar ve Statik denge konumuna gelir.

Titreşim hareketi incelenirken statik denge konumuEtrafında yapılan hareket incelenir.

Görüldüğü üzere yatay durum ve dikey durum için elde edilen dinamik denklemler aynıdır. Yerçekiminin etkisi yoktur.

Elde edilen hareket denkleminin çözümü:

Elde edilen denklem 2. Mertebeden, Lineer ve Homojen adi türevli bir diferansiyel denklemdir.

Çözüm için aşağıdaki kabul yapılırsa; (Laplace Transformu yöntemi de kullanılabilir)

Burada C ve s sabit sayılardır ve denklemin çözümünden elde edilecektir.

s değerleri denklemin özdeğerleridir. Ayrıca Sönümsüz Doğal Frekans olarak adlandırılır.

Elde edilen öz değerler çözümde yerine konursa;

ve eşitliğinden faydalanılırsa

Olarak elde edilir.

Başlangıç koşulları kullanılarak

Çözüm elde edilir:

Çözüm x- eksenine göre simetriktir ve aslında Harmonik bir harekettir. Genliğin maksimum olduğu noktalarda hız sıfır ve ivmeMaksimumdur. Bu çözümü farklı bir şekilde ifade etmek için

A ve Phi yeni değişkenler olup

Çözüm yeni formda:

Veya farklı bir ifade ile:

Çözüm yeni formda:

Yukarıda verilen tüm çözüm ifadeleri aynı hareketin farklı fonksiyonlarla ifadesidir.

Özel notlar:

• Dikey konumdaki kütle yay sisteminde doğal frekans statik deplasman ölçülerek bulunabilir.

• Hız, konumun pi/2 rad önünde ve ivme ise pi rad önünde hareket eder.

Dönel Sistemlerin Burulma Titreşimleri:

Periyod ve frekansı:

Hareket denklemi

Burada Jo şaftın kesitinin kütlesel atalet momenti (kg.m^2)

Örnek: Bir sarkacın doğal frekansını bulunuz. Not: ipin kütlesi ihmal ve sürtünme yok kabul edilecek.

n

g

l

Örnek: Homojen olmayan bir sarkacın doğal frekansı

Hareket denklemi elde edilirse

Küçük salınımlar için

Doğal frekans

Doğal Frekansın Rayleigh Enerji Yöntemi ile bulunması

Sönümsüz sistemler için enerjinin korunumundan

Eğer sistem harmonik hareket yapıyorsa, X maximum hareket genliği olmak üzere

Burada Tmax: Maximum kinetik enerji yani potansiyel enerjinin sıfır olduğu durumUmax: Maximum potansiyel enerjidir. Yani kinetik enerjinin sıfır olduğu durum.

Buradan

( ) sin( )n

x t X t

( ) cos( )n n

x t X t

2 2 2 21 1cos ( )

2 2n n

T mx mX t

2 2 21 1sin ( )

2 2n

U kx kX t

2 2

max

1

2n

T mX

2

max

1

2U kX

Örnek: Rayleigh enerji yöntemini kullanarak tek serbestlik dereceli şekildeki sistemin doğal frekansını bulunuz.

max maxT U

1

2𝑚𝑋2𝜔𝑛

2 =1

2𝑘𝑋2

n

k

m

Sönümlü Serbest Titreşim:

Örnek sistemin hareket denklemi:

Denklemin çözümü:

Karakteristik denklemin kökleri,

Buradan çözüm,

C1 ve C2 başlangıç koşullarından elde edilecek sabitlerdir.

Kritik Sönüm ve Sönüm Oranı:

Kritik sönüm karekök içini sıfır yapan, yani sistemin salınım yapmadan denge konumuna eksponansiyel olarak gittiği ilk sönüm değeridir.

Sönüm oranı ise sönüm sabitinin kritik sönüm sabitine oranıdır.

Sönüm oranı ve doğal frekans cinsinden:

Sönüm oranının değerine göre 3 farklı durum gözlenir:

A) Az sönümlü sistem:

Sönümlü hareketin frekansıSönümlü hareketin frekansı sönümsüz doğal frekanstan daima küçüktür

B) Kritik sönümlü sistem:

C) Aşırı sönümlü sistem:

Logaritmik Azalma ile Sönüm Oranının Belirlenmesi:

Logaritmik azalma sönümlü titreşimin genliğinin hangi oranda azaldığının bir ölçüsüdür.

Düşük sönüm oranları için

Alınan örnekleme ardışık değilse:

Örnek: Bir motosiklet için az sönümlü bir darbe sönümleyici damper tasarlanacaktır. Motosikletin kütlesi 200 kg dır. Damper yoldaki bir tümsekten dolayı bir başlangıç hızına sahip olacaktır. Motosikletin dikey konum –zaman grafiği şekildeki gibi elde edilmiştir. Sönümlü titreşim periyodunun 2 sn olması ve genlik x1 in bir periyodun yarısı kadar zamanda dörtte birine düşmesi için (yani x1.5 = x1 / 4) gerekli rijitliği ve sönüm katsayısını bulunuz.

Çözüm: Bize verilen genlik bilgisinden

Böylece logaritmik azalma

Buradan sönüm oranı Olarak bulunur. Sönümlü titreşimin periyodu 2 sn olması istendiğinden

Kritik sönüm sabiti

Böylece sönüm sabiti ve rijitlik

Örnek: Bir roket atar mekanizması şekilde görülmektedir. Roket ateşlendiğinde roket namlusu (gun barrel) roketin (Projectile) yüksek ivmelenmesinden dolayı geri tepmektedir. Namuluyu durağan hale en kısa sürede getirilmesi önem taşımaktadır. Bunun için yay ve damperden oluşan bir geri tepme (recoil) mekanizması kullanılmaktadır. Örnek sistem için namlu ve geri tepme mekanizmasının kütlesi 500 kg’dır. Geri tepme mekanizmasının yay sabiti 10000 N/m olarak seçilmiştir. Roketatar sistemi ateşlemeden sonra 0.4 m geri tepmektedir. A) Damperin kritik sönüm sabitini bulunuz. B) Roketatar sisteminin başlangıç geri tepme hızını bulunuz. C) Sistemin başlangıç konumundan 0.1 m uzağa dönmesi için geçen zamanı bulunuz.

Çözüm: Sistemin sönümsüz doğal frekansı

Kritik sönüm sabiti

Kritik sönümlü sistemin zaman cevabı: Burada sabitler

X(t) nin en yüksek değerini alacağı zaman t1 konumun türevinin yani hızın sıfır olduğu durumdur.

Yerine konulursa

Bu örnek için x(0) = 0 yani C1= 0 ‘dır. X(t) nin maximum değeri yani geri tepme mesafesi 0.4 m olması istendiğinden

Buradan

Eğer t2 silahın başlangıçtan 0.1 m mesafeye döndüğü süre olarak kabul edilirse

Buradan

Viskoz Sönümde Kaybolan Enerji Miktarı

Viskoz sönümlü bir sistemde enerjinin zamanla değişimi

Basit harmonik hareket düşünüldüğünde

Bir tam turda harcanan enerji:

Yay kullanılması durumunda da sonuç değişmez. Harcanan enerji aynıdır.

Bir tam turda harcanan enerjinin sistemin toplam enerjisine oranı kullanılarak Specific damping capacity, malzemelerin

sönüm kapasitelerinin ayır edilmesi için kullanılır

Toplam enerji ister potansiye isterse kinetik enerji cinsinden yazılabilir.

Maksimum kinetik enerji

Maksimum potansiyel enerji

Coulomb Sürtünmeli Sönümlü Serbest Titreşim:

Durum 1. x pozitif ve dx/dt de pozitif veya x negatif ve dx/dt pozitif

Kütlenin soldan sağa doğru ilerlediği yarım turdur. Newton’nun ikinci yasası kullanılarak hareket denklemi:

A1 ve A2 bu yarım turdaki başlangıç koşulları kullanılarak bulunur.

Coulomb Sürtünmeli Sönümlü Serbest Titreşim:

Durum 2. x pozitif ve dx/dt negatif veya x negatif ve dx/dt de negatif

Kütlenin sağdan sola doğru ilerlediği yarım turdur. Newton’nun ikinci yasası kullanılarak hareket denklemi:

A3 ve A4 bu yarım turdaki başlangıç koşulları kullanılarak bulunur.

Buradan tam tur için çözüm

Katsayılar A1, A2, A3 ve A4 için başlangıç koşulları x0 ile v0= 0 ve yarım tur sonundaki koşullar kullanılırsa:

olduğunda

Bir yarım turdaki konum azalması Olur.

İkinci yarım turda, kütle soldan sağa giderse:

Bu koşullar ise üçüncü yarım tur için başlangıç

koşulunu oluşturur ve işlem hareket bitinceye kadar

devam ettirilir. Hareket ise

Olduğunda sonlanır.

• Coulomb sönümünde hareket denklemi nonlineerdir.

Vizkoz sönümde ise lineer.

• Coulomb sönümünde doğal frekans değişmez, fakat

Vizkoz sönümde azalır.

• Coulomb sönümünde hareket periyodiktir fakat Vizkoz

sönümde aperiyodik olabilir (Aşırı sönüm durumu)

• Coulomb sönümde genlik lineer azalır fakat Vizkoz

sönümde ise eksponansiyel azalır.

Coulomb sönümde birbirini takip eden iki turda genlik azalması.

Histerik Sönümlü Serbest Titreşim:

Histerik sönüm malzemenin iç yapısından kaynaklanan sönümdür. Analizinde viskoz sönüm yaklaşımı yapılır:

h histeresis sönüm sabitidir. Viskoz sönümde kaybedilen enerji:

Viskoz sönüm ile histerik sönüm arasında frekans ilişkisi kurulursa:

Histerik sönümde kaybedilen enerji benzeşimi ise:

Histerik sönüm oranı (Birimsiz)

Logaritmik azalma:

Örnek: Deneysel veriden Histerik sönüm oranının tahmini