PHẦN I: HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570ES

1. Bật, tắt máy ON: Mở máy. Shift + OFF: Tắt máy. AC: Xoá mang hình, thực hiện phép tính mới.

2. Mầu phím: Phím Trắng, Phím Xanh: Bấm trực tiếp. Phím vàng: Bấm sau phím Shift. Phím mầu đỏ: Bấm sau phím ALPHA

3. Phím chức năng: DEL: Xoá số vừa đánh. INS: Chèn. RCL: Gọi số ghi trong ô nhớ. STO: Gán vào ô nhớ. DRG: Chuyển Độ - Radial – Grad RND: Làm tròn.

ENG: Chuyển dạng a.10^n với n giảm. ENG: Chuyển dạng a.10^n với n tăng. A, B, C, D, E, F, X, Y, M: Các ô nhớ.

M+: Cộng thêm vào ô nhớ M. M-: Trừ bớt ô nhớ M. EXP: Luỹ thừa 10. nCr: Tính tổ hợp chập r của n nPr: Tính Chỉnh hợp chập r của n 0,,,: Nhập đọc Độ, Phút, Giây. 0,,,: Đọc Độ, Phút, Giây.

4. Hàm, tính toán, và chuyển đổi: SIN(, COS(, TAN(: hàm Sin, Cosin, tan

Sin-1(, COS-1(, TAN-1(: Hàm ngược Sin, Cosin, Tan.

Log(, Ln(: Logarit cơ số 10, cơ số e.

ex, 10x: Hàm mũ cơ số e, cơ số 10.

x2, x3: Bình phương, lập phương.

x-1: Hàm nghịch đảo. x!: Giai thừa. %: Phần trăm.

ab/c: Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, số phập phân và ngược lại

d/c: Đổi hỗn số ra phân số. POL( : Chuyển toạ độ đề các sang tạo độ thực. Rec( : Chuyển toạ độ cực sang toạ độ đề các. RAN#: Hiện số ngẫu nhiên COSNT: Gọi hằng số. MATRIX, VECTOR: Ma trận, véc tơ. SOLVE: Giải phương trình. d/dx: Đạo hàm. : Tích phân

CALC: Tính toán giá trị biểu thức

: Căn bậc 2, bậc 3, bậc x. ANS: Gọi kết quả. Abs: Giá trị tuyệt đối. (-): Dấu âm. +, -, *, / , ^: Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Mũ. <-, ->, á, â: Di chuyển tới dữ liệu. ( : Mở ngoặc đơn. ) : Đóng ngoặc đơn. п : Số PI.

5. Sử dụng MODE: MODE 1 COMP: Trạng thái tính toán

cơ bản. MODE 2 CMPLX: Trạng thái tính toán

với số phức MODE 3 START: Trạng thái giải bài

toán thống kê . MODE 4 BASE-N: Chọn và làm việc với

các hệ đếm MODE 5 EQN: Giải phương trình, hệ

phương trình. Chọn 1: Giải hệ phương trình bậc

nhất 2 ẩn Chọn 2: Giải hệ phương trình bậc

nhất 3 ẩn Chọn 3: Giải phương trình bậc 2. Chọn 4: Giải phương trình bậc 3.

MODE 6 MATRIX: Ma trận. MODE 7 TABLE Lập bảng giá trị của

một hàm MODE 8 VECTOR: Thực hiện các phép

tính về Véctơ. 6. Cài đặt cho máyẤn SHIFT SETUP để hiện menu cài đặt cho tính toán và hiển thị. Màn hình gồm hai trang, chuyển qua nhau bằng

1 : MthIO 2 : LineIO3 : Deg 4 : Rad5 : Gra 6 : Fix7 : Sci 8 : Norm

1 : ab/c 2 : d/c3 : CMPLX 4 : STAT5 : Disp 6 : < CONT >

MÀN HÌNH 1:Xác định dạng nhập / xuất Ấn SHIFT SETUP 1 (MthIO) Ấn SHIFT SETUP 2 (LineIO)– Ở dạng Math, phân số, số vô tỉ và các biểu thức được ghi giống sách giáo khoa.– Ở dạng Line, phân số và các biểu thức được ghi chung một dòng..

1

Xác định đơn vị đo gócẤn SHIFT SETUP 3 chọn đơn vị đo góc là Độ (Deg)Ấn SHIFT SETUP 4 chọn đơn vị đo góc là Radian (Rad)Ấn SHIFT SETUP 5 chọn đơn vị đo góc là Grad (Gra)Xác định dạng số hiển thịẤn SHIFT SETUP 6 (Fix) Dạng số hiển thị có ấn định số chữ thập phân có từ 0 – 9 số lẻ Ấn SHIFT SETUP 7 (Sci) Dạng số hiển thị Có ấn định số chữ số hiển thị có từ 0 – 9 chữ số Ấn SHIFT SETUP 8 (Norm) Coù hai daïng (Norm1, Norm 2) ghi soá × ôû daïng thöôøngtrong giôùi haïn aán ñònh, ngoaøi giôùi haïn thì ghi thaønh a ×10nNorm 1 : 10−2 ≤ x < 1010

Norm 2 : 10−9 ≤ x < 1010

Ví duï : 1 ÷ 200 = 5 ×10−3 (Norm1) 1 ÷ 200 = 0.005 (Norm 2)MÀN HÌNH 2:Xác định hiển thị phân số và hỗn sốẤn SHIFT SETUP 1 hiển thị số Dạng hỗn số (ab/c)Ấn SHIFT SETUP 2 hiển thị số Dạng phân số (d/c)Xác định dạng hiển thị số phứcẤn SHIFT SETUP 3 1 hiển thị số phức dưới dạng đại số (a+bi)

Ấn SHIFT SETUP 3 2 hiển thị số phức dưới dạng toạ độ cực Xác định dạng hiển thị bảng thống kêẤn SHIFT SETUP 4 1 (ON) Hiện cột tần số Ấn SHIFT SETUP 4 2 (OFF) Ẩn cột tần số Xác định dạng hiển thị dấu cách phần lẻ số thập phânDạng hiển thị ẤnẤn SHIFT SETUP 5 1 (Dot) ấn định dấu ngăn cách phần thập phân là dấu chấm Ấn SHIFT SETUP 4 2 (Comma)ấn định dấu ngăn cách phần thập phân là dấu phẩy.Sự xác định này chỉ có tác dụng ở dòng kết quả. Khi nhập vẫn phải dùng dấu chấm (.) để ngăn cách phần nguyên và phần thập phân. Cài đặt ban đầuThực hiện thao tác sau để lập cài đặt ban đầu(CLR) (SETUP) (Yes)Chi tiết cài đặt Trạng thái ban đầuMode COMPDạng xuất/nhập MathIOĐơn vị góc ĐộHiển thị số Norm 1Hiển thị phân số d/cDạng số phức a+biHiển thị thống kê OFFDấu cách phần lẻ thập phân Dot (.)• Muốn bỏ qua cài đặt, ấn (Cancel).

7. GHI CHÚ QUAN TRỌNG KHI NHẬP DỮ LIỆU: a. Bỏ qua dấu nhânTa có thể bỏ qua (khỏi ấn) dấu nhân (×) trong các trường hợp sau• Trước dấu mở ngoặc : 2×(5+4) chỉ ghi 2(5+4) …• Trước hàm có mở ngoặc : 2×sin(30) chỉ ghi 2sin(30)…• Trước kí hiệu mở đầu (gồm cả dấu số âm) : 2×h123 chỉ ghi 2h123• Trước tên biến, hằng hay số ngẫu nhiên : 2×A, 2× … chỉ ghi 2A, 2 …Máy ES không dành ưu tiên cho phép nhân tắt nên nếu ghi 3÷2A thì máy hiểu là 3÷2×A và thực hiện từ trái sang phải (khác với một số họ máy khác)Ví dụ : Ghi 3÷2 thì máy ES hiểu: 3 : 2 x = 4.71238898 b.Dấu đóng ngoặc cuối cùng của biểu thứcMột hay nhiều dấu đóng ngoặc cuối cùng có thể bỏ qua (khỏi ấn). c.Thêm kí hiệu vào biểu thức Trong dạng Math, có thể đưa một biểu thức đã nhập (kí hiệu, biểu thức có dấu ngoặc,hàm v. v..) vào trong biểu thức.Ví dụ : Đưa (2 + 3) của biểu thức 1 + (2 + 3) + 4 vào trong căn bậc 2Di chuyển con trỏ đến đây 1 + │(2 + 3) + 4

SHIFT (INS) √ .Xem hình dạng con trỏ thay đổi ở đây : 1 + + 4

(nhóm (2+3) được đưa vào dấu căn). Nếu con trỏ đang ở bên trái của một giá trị thì giá trị đó được đưa vào căn8. SỬ DỤNG CHỨC NĂNG CALCChức năng CALC cho phép ta nhập biểu thức với biến, sau đó nhập giá trị biến để tính.Chức năng CALC sử dụng được trong mode COMP (MODE 1) và mode CMPLX (MODE 2)

2

9. CHỨC NĂNG SOLVE (COMP)Chức năng SOLVE dùng phương pháp Newton để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Chức năng SOLVE chỉ dùng ở mode COMP ( )• Chức năng SLOVE không dùng được với các phương trình chứa tích phân, đạo hàm, chức năng Σ (, Pol(, Rec( hay tính liên tiếp.• Có thông báo khi phương trình không có biến.Cách thực hiện: Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc không cần thì máy sẽ tự hiểu là bằng 0 Ví dụ1: Giải phương trình: 2X-3=0 Ta nhập: 2X-3=0 hoặc nhập: 2X-3 đều được rồi ấn SHIFT SOLVE , máy sẽ hỏi giá trị đầu cần nhập là bao nhiêu, sau khi nhập vào giá trị đầu, ta ấn = thì máy sẽ tìm nghiệm dựa vào số đầu đó.

Ví dụ 2: Giải phương trình: a)

10. TÍNH TỔNG

Với , ta có thể tính tổng của biểu thức f(x) khi xác định phạm vi của x chạy từ a đến b

= f(a) + f(a + 1) +…+ f(b) , f(x) : hàm số biến x (nếu không chứa x thì là hằng số)

• a : giá trị bắt đầu, b : giá trị cuối• a, b phải là số nguyên thoả: −1 × 1010 < a ≤ b < 1× 1010• Bước nhảy của phép tính được xác định là 111. SỬ DỤNG CÁC Ô NHỚa. Bộ nhớ Ans (Lưu lại kết quả phép tính cuối cùng)• Nội dung bộ nhớ Ans được cập nhật bất cứ khi nào làm một phép tính sử dụng một trong các phím sau : =, SHIFT =, M+, SHIFT M- , RCL, SHIFT STO. Bộ nhớ có thể giữ tới 15 chữ số.• Nội dung bộ nhớ Ans không thay đổi nếu có lỗi trong việc vừa thực hiện phép tính.• Nội dung bộ nhớ Ans vẫn còn ngay cả khi ấn phím , thay đổi mode phép tính, hoặc tắt máy. b. Bộ nhớ độc lập (M)

Có thể làm phép tính cộng thêm hoặc trừ đi kết quả trong bộ nhớ độc lập. Chữ “M” hiển thị khi bộ nhớ độc lập có lưu một giá trị.

M+: Cộng thêm vào ô nhớ M. M-: Trừ bớt ô nhớ M.

c. Các biến nhớ: Có 6 biến nhớ A, B, C, D, X và Y có thể dùng để lưu các giá riêng.Nhập giá trị vào ô nhớ: nhấn < Giá trị > Shift Sto <tên ô nhớ>Xoá nội dung của ô nhớ:-Xóa nội dung của bộ nhớ Ans, bộ nhớ độc lập và tất cả các biến nhớ.Ấn phím 9 (CLR) 2 (Memory) (Yes). Để huỷ hoạt động xóa ấn (Cancel).-Xóa nội dung của một ô nhớ nhấn: 0 Shift Sto <tên ô nhớ>

PHẦN II: SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Thuật toán để tính dãy số:1. Tính số hạng thứ n của dãy số:Bài 1: Cho dãy số được xác định bởi:

Tìm ?

Thuật toán: Cách 1: Hơi dở vì sử dụng nhiều biến, xử lý vấn đề chậm nhưng ngắn gọn về thuật toán:

3

Nhập thuật toán: E=E+1:A=2B+C-D: D=C:C=B:B=A CALC E? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= D? ấn 1= = = = ... Cách 2: Hay hơn cách 1 vì sử dụng ít biến, xử lý vấn đề nhanh nhưng thuật toán dài dòng: Nhập thuật toán: D=D+1:A=2B+C-3A: D=D+1:C=2A+B-3C: D=D+1:B=2C+A-3B CALC D? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= A? ấn 1=

Bài 2: Cho dãy số (n 1)

a) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1

b) Tính x100

Thuật toán:a) Ấn 0,25 =

ấn tiếp: = =…

b)Nhấn 99 lần dấu = được x100

2. Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy sốVí dụ: Cho dãy số Un xác định bởi:

Tính U20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên.Thuật toán:Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES):X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+ABấm CALC máy hỏi:X? Bấm 1=A? Bấm 1=C? Bấm 1==== ........Trong đó X là số hạng thứ X; A, B là các giá trị của ; C là tổng của X số hạng đầu tiên - của dãy.2. Tính tích của n số hạng đầu tiên của dãy sốVí dụ: Cho dãy số xác định bởi:

Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy.Thuật toán:

Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):

X=X+1:C=B+2A: D=DC:X=X+1:A=C+2B: D=DA:X=X+1:B=A+2C: D=DB

Bấm CALC máy hỏi:

4

X? Bấm 2=B? Bấm 1=A? Bấm 1=D? Bấm 1==== ........

Trong đó X là số hạng thứ X; A, B, C là các giá trị của ; D là tích của X số hạng đầu tiên - của dãy.

Chú ý: Trên đây ta chỉ xét các ví dụ minh họa đơn giản! (^_^)

3. Một số dạng bài tập liên quan đến dãy sốBài 1:

Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = .

a) Lập quy trình bấm phím tính an + 1 b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10Bài 2:

Cho dãy số x1 = ; .

a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1

b) Tính x30 ; x31 ; x32

Bài 3 : Cho dãy số (n 1)

a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.

Bài 4: Cho dãy số được xác định bởi:

Tính ?

Bài 5: Cho dãy số được xác định bởi:

Tính và tính tổng của 16 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 6: Cho dãy số được xác định như sau:

Tính ; tính tích của 16 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 8: Cho dãy số được xác định như sau:

5

Tính , tổng 26 số hạng đầu tiên và tích 24 số hạng đầu tiên của dãy số.

4. Một số bài toán liên quan đến tính tổng

Ví dụ: Cho

Tính ?

Thuật toán:

Cách 1: Dùng chức năng có sẵn ,bấm quy trình sau (fx 570ES):

|shift| |log_□| |ALPHA| |X^| |Replay| |→| |1| |Replay| |→| |30| |=|

Đọc kết quả

Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):

X=X+1:A=A+X^3

Bấm CALC máy hỏi:

X? Bấm 0=A? Bấm 0====……

Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị của tổng thứ X.

5. Một số dạng toán tính tích

Ví dụ: Cho (n là số lẻ).

Tính ?

Thuật toán:

Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):

X=X+1:A=AX^2

Bấm CALC máy hỏi

X? Bấm 0=A? Bấm 1==== ……..

6

Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị của tích thứ X.

6. Tìm điều kiện của x để tổng tích thỏa mãn điều kiện đề cho

Ví dụ: Tìm giá trị gần đúng của x để:

Thuật toán:

Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES):

Bấm CALC máy hỏi:

X? Bấm 0=

Bấm = = = … nhiều lần đến khi nào kết quả gần là thì dừng.

Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):

X=X+1:B=B+

Bấm CALC máy hỏi

X? Bấm 0=

B? Bấm 0=

Bấm = = = … nhiều lần cho đến khi nào kết quả gần là thì dừng.

7. Một số bài toán liên quan đến tổng và tích

Bài 1: Cho

Tính ?

Bài 2: Cho

Tính ?

Bài 3: Cho

Tính ?

Bài 4: Cho

7

Tính ?

Bài 5: Tìm giá trị gần đúng của x thỏa:

a)

b)

c)

Vấn đề 2: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊNCách 1: Bấm . . .Cách 2: Giả sử A = B.q + r

Bấm: Cách 3:

a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)Suy ra r = a – b . qVí dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 1) 9124565217 cho 1234562) 987896854 cho 698521b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp

như vậy.Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.Kết quả số dư cuối cùng là 26.Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:a) 983637955 cho 9604325b) 903566896235 cho 37869.c) 1234567890987654321 : 123456c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.* Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu + Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

8

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19Giải:

Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975Giải:Biết 376 = 62 . 6 + 4Ta có:

Vậy

Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246Bài tập thực hành:Tìm số dư của phép chia :a) 138 cho 27b) 2514 cho 65c) 197838 cho 3878.d) 20059 cho 2007e) 715 cho 2001

Vấn đề 3: TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM...CỦA MỘT LUỸ THỪA:

Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n Tuy nhiên . Nếu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa mà ta làm như sau : a) Tìm 1 chữ số tận cùng của : Ta có nhận xét sau :

* Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 .

* Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 :

2^4k đồng dư 6 ( mod 10 )

3^4k đồng dư 1 ( mod 10 )

7^4k đồng dư 1 ( mod 10 )

Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r

với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 }

Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 )

Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )

b) Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n

9

Ta có nhận xét sau :

2^20 đồng dư 76 ( mod 100 )

3^20 đồng dư 1 ( mod 100 )

6^5 đồng dư 76 ( mod 100 )

7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )

Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1

và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2

Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 :

a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )

Vậy tóm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20

c) Tìm 3 chữ số tận cùng của a^n Ta có :

a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )

Tóm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ .

Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa:

1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số

tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến).

2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ

số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).

3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có

chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).

4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có

chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).

Áp dụngBài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002

Giải:

10

Vậy . Chữ số tận cùng của 172002 là 9Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.Giải+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005

Do đó:

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)

Vấn đề 4: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 01.Ph ươ ng pháp lặp: Giả sử phương trình có duy nhất nghiệm trong (a;b).Giải phương trình f(x)=0 bằng phương pháp lặp

bao gồm các bước sau:a/ Đưa phương trình f(x) = 0 về phương trình tương đương x = g(x)b/ Chọn x0 thuộc (a ; b) làm nghiệm gần đúng ban đầu

c/ Thay x = x0 vào vế phải của phương trình x = g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ nhất x1 = g(x0).

Thay x1 = g(x0) vào vế của phương trình x = g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2 = g(x1). Lặp quá trình

trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng

x1 = g(x0) ; x2 = g(x1) ; . . . xn = g(xn-1) . . .

Nếu dãy các nghiệm gần đúng hội tụ , nghĩa là khi đó là

nghiệm gần đúng của phương trình.

Chú ý 1: Phải chọn hàm số g(x) sao cho dãy xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và

hội tụ nhanh tới nghiệm.

11

Chú ý 2: Nếu và f(a).f(b) < 0 phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a

; b)

Chú ý 3: Chọn g(x) sao cho Khi đó g(x) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất

từ một điểm bất kỳ trong khoảng (a ; b).

VD1: Giải phương trình: x3 - x2 – 1 = 0 (1)

Phương trình này có nghiệm trong (1 ; 1,5 )

(1)

Khai báo hàm : :

Bấm máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0 = 1 bấm Sau đó thực hiện dãy lặp :

ta đi đến: x = 1,465571232 là nghiệm gần đúng.

Cách 2:

Khai báo: x0 = 1: bấm 1 bấm 1 bấm tiếp , , … đi đến nghiệm trên.

( Có thể giải bằng phương trình sẵn có của máy)

Bài tập đề nghị:

Giải các phương trình sau bằng phương pháp lặp: (t×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph¬ng tr×nh):

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9)

10) ; 11) ; 12)

13) 14) 15)

2.PH ƯƠ NG PHÁP DÙNG CHỨC NĂNG SOLVE:

Bước 1: Dùng phím , , . . . viết phương trình vào máy.

Giả sử phương trình : f(x) = 0 (dấu đươc viết bằng phím )

Bước 2: Bấm SHIFT màn hình hiện: X?

Nhập x = a ( bất kỳø gần bằng với nghiệm)

Bước 3: nhấn “=” được nghiệm thứ nhất

Bước 4: Lập lại bước 2 và 3 với x = b a ta được nghiệm thứ 2

Nếu với x = a ; b ; . . . mà máy hiện: Can’t SOLVE phương trình không có nghiệm thực gần

với các số a ; b ; . . . hãy thử số khác ( lấy các hệ số của x).

Ví dụ: Giải phuơng trình Để giải phương trình này bằng giấy nhám và tính nhẩm bạn sẽ mất khá nhiều thời gian cho nó, bạn phải phân tích ra, chuyển vế đổi dấu, đưa X về một bên, số về một bên rồi ra nghiệm, nhưng đối với máy tính bạn

12

chỉ việc nhập y chang biểu thức ấy vào và sử dụng lệnh SOLVE thì chỉ vài giây máy sẽ cho ra kết quả. Đối với phương trình trên khi giải xong máy sẽ cho ra kết quả là

Tuy nhiên đối với phương trình bậc nhất máy MS có thể đổi ra nghiệm phân số, hãy ấn SHIFT , máy sẽ

đổi ra dạng phân số là , rất tiện lợi.

Ví dụ: Giải phương trình Nếu để nguyên phương trình như vậy nhập vào máy thì máy sẽ giải khó và lâu, đôi khi không ra nghiệm (Can't Solve), vì vậy trong khi nhập hãy ngầm chuyển mẫu thức sang một vế, nhập như sau:

Rồi mới SOLVE thì máy sẽ giải dễ dàng ra kết quả 47/37 Ví dụ: giải phương trình: Dùng máy tính ta nhập vào phương trình, sau đó dùng SOLVE để giải, điều quan trọn của phương pháp này là ta phải biết đổi số đầu cho phù hợp để tìm ra càng nhiều ngiệm càng tốt. Như phương trình trên, ta ấn CALC rồi nhập các số đầu sau đây để xem sự biến thiên của hàm số ra sao sau đó mới dùng lệnh SOLVE: giả sử ban đầu nhập 0, kết quả 10 tiếp theo nhập 1, kết quả -6. Như vậy có một nghiệm nằm trong (0;1) ta chia đôi và thử với 0,5, kết quả 5,75>0 vậy nghiệm nằm trong (0,5;1) tiếp tục chia đôi, ta nhập 0,75, kết quả 0,7421875 khi kết quả đã xuất hiện số 0 ngay phần nguyên thì chứng tỏ số đầu của ta khá gần nghiệm, và đến lúc này có thể cho máy tự giải. Dùng số đầu đó ta sử dụng SOLVE để giải. kết quả tìm được một nghiệm 0,780776406 Nhập số đó vào A để sử dụng sau và tiếp tục tiềm nghiệm khác. Sử dụng cách tương tự trên ta tiếp tục tiềm ra 3 nghiệm khác nhập vào các biến B,C,D. giả sử

Sau đó ta tính tổng và tích từng đôi một thì thấy:

, ,

Như vậy ta có:

từ đây ta có thể giải phương trình ra dạng căn thức dễ dàng.

Ví dụ: Giải phương trình: a) 3x = x + 4sin x. b) = 3. c) 3x + 2x = 5x

Vấn đề 5: TÌM BCNN, UCLN

Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản

Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau: + UCLN (A; B) = A : a + BCNN (A; B) = A . b = B.a=A.B/ UCLN(A;B),Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531

HD: Ghi vào màn hình : và ấn =, màn hình hiện

UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717

13

Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438Giải: Ấn 9474372 40096920 = ta được : 6987 29570.UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c)Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438).Thực hiện như trên ta tìm được: UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678

DÙNG THUẬT TOÁN EUCLIDE:

Bổ đề : Nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r)

Từ bổ đề trên, ta có thuật toán Euclide như sau (với hai số nguyên dương a, b):

- Chia a cho b, ta được thương q1 và dư r1: a = bq1 + r1

- Chia b cho r1, ta được thương q2 và dư r2: b = r1q2 + r2

- Chia r1 cho r2, ta được thương q3 và dư r3: r1 = r2q3 + r3

.... rn = rn-1qn-1 + 0

Tiếp tục quá trình trên, ta được một dãy giảm: b, r1, r2, r3... dãy này dần đến 0, và đó là các số tự nhiên

nên ta sẽ thực hiện không quá b phép chia. Thuật toán kết thúc sau một số hữu hạn bước và bổ đề trên cho

ta:

(a, b) = (b, r1) = ... =(rn-1 ;0)= rn-1

T×m UCLN cña hai sè:

a = 24614205, b = 10719433

Gi¶i:

* Thùc hiÖn trªn m¸y thuËt to¸n t×m sè d trong phÐp chia sè a cho sè b, ta ®îc:

- Chia a cho b ®îc: 24614205 = 10719433 x 2 + 3175339

- Chia 10719433 cho 3175339 ®îc: 10719433 = 3175339 x 3 + 1193416

- Chia 3175339 cho 1193416 ®îc: 3175339 = 1193416 x 2 + 788507

- Chia 1193416 cho 788507 ®îc: 1193416 = 788507 x 1 + 404909

- Chia 788507 cho 404909 ®îc: 788507 = 404909 x 1 + 383598

- Chia 404909 cho 383598 ®îc: 404909 = 383598 x 1 + 21311

- Chia 383598 cho 21311 ®îc: 383598 = 21311 x 18 + 0

UCLN(a, b) = 21311

Bài tập:Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2.

Vấn đề 6: Các bài toán về phương trình, đa thức:

a/ Dạng 1: Tìm d ư của phép chia đa thức f(x) cho ax – b? * đa thức q(x) sao cho: f(x) = (ax – b) . q (x) + r (r là dư; Î r ¡ )

14

Vì vậy r = f( )

* Cách khác: dùng sơ đồ Hoocner

Chia f(x) cho (x – ) tìm được r

b/ D ạ ng 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)

Cách giải:

- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1

- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x)

cho (x + ) sau đó nhân vào thương đó với ta được đa thức thương cần tìm.

Ví dụ: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)

c/ Dạng 3: Tính f(a)?Ngoài cách tính thông thường ta có thể dùng Hoocner để tìm dư của phép chia f(x) cho (x–a)

Khi đó: f(a) = rd/ Dạng 4: Tìm phần dư khi chia đa thức f(x) cho x2 – a2

*Vì đa thức chia có bậc 2 nên dư của phép chia trên là đa thức bậc nhất có dạng: Ax + B. Ta phải tìm A và B

Ta có: f(x) = ( x2 – a2) . q(x) + Ax + BVậy: f(a) = A.a + B; f(– a ) = A.( – a ) + B

Từ đó tìm được A và Be/ Dạng 5: Cho đa thức f(x) có bậc n; có n nghiệm: x1, x2, x3, . . . xnkí hiệu P(x) = x2 – a2. hãy tìm tích P = P(x1).P(x2).P(x3) . . . P(xn).

Ta có: f(x) = k . (x – x1).(x – x2).(x – x3) . . . (x – xn) (k là hệ số của xn)P(x1) = x1

2 – a2 = (x1 – a).(x1 + a).Vậy: P = (x1 – a).(x1 + a).(x2 – a).(x2 + a).(x3 – a).(x3 + a) . . . (xn – a).(xn + a).

Ta thấy: (x1 – a).(x2 – a).(x3 – a) . . . (xn – a) =

(x1 + a).(x2 + a).(x3 + a) . . . (xn + a) =

P = . = (tính được).

f/ Dạng 6: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + evà P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51

Tính: P(6), P(7), P(8), . . . ?Đặt: Q(x) = 2x2 + 1

(P(1), P(2), . . . P(5) có dạng: Q(x) = 2x2 + 1 (với ))Ta thấy: x = 1, 2, 3, 4, 5 là 5 nghiệm của đa thức P(x) – Q(x)

( P(x) – Q(x) = 0 khi x = 1, 2, 3, 4, 5 )Đặt R(x) = P(x) – Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)

(vì R(x) có bậc 5 và hệ số của x5 là 1) P(x) = R(x) + Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 2x2 + 1

Từ đó tính được P(6), P(7), P(8), . . . Chú ý:

15

–Từ giả thiết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51, để tìm P(x), ta có thể giải hệ 5 phương trình bậc nhất 5 ẩn: a, b, c, d, e.

–Với cách đầu, ta phải tìm được đa thức Q(x).g/ Dạng 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:

f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?

H.Dẫn:

- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 a, b, c là nghiệm

của hệ phương trình:

bằng MTBT ta giải được:

g(x) = f(x) - x2 - 2

- Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)

(x - 3)(x - 5)(x - x0) f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.

Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) =

h/ Dạng 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.Tìm f(10) = ?

H.Dẫn: Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên

lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên

MTBT cho ta kết quả:

9/ Dạng 9: Cho hàm số . Hãy tính các tổng sau:

H.Dẫn: * Với hàm số f(x) đã cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1

* áp dụng bổ đề trên, ta có:

a)

b) Ta có . Do đó:

16

…

17