BROJNI SISTEMI

• DECIMALNI

• BINARNI

• OKTALNI

• HEKSADECIMALNI

DECIMALNI BROJNI SISTEM

• Koristi se svakodnevnom životu

• Ima bazu 10 a cifre su 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

62367 = 6*104+ 2*103 + 3*102 + 6*101 + 7*100

= 6*10000+2*1000+3*100+6*10+7*1

BINARNI BROJNI SISTEM

• Ima bazu 2 a cifre su 0,1.

2 1 0

(100)2 = 1*22 + 0*21 + 0*20

= 1*4 + 0*2 + 0*1

= (4)10 2 1 0

(101)2 = 1* 22 + 0* 21 + 1* 20

= 1*4 + 0*2 + 1*1

= 4 + 1

= 5

OKTALNI BROJNI SISTEM

• Ima bazu 8 a cifre su 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

U ovom slučaju je: 2 1 0

(326)8 = 3*82+2*81+6*80

= 3*64 + 2*8+6*1

= 192 + 16+6

= (214)10

HEKSADECIMALNI BROJNI SISTEM

• Ima bazu 16 a sastoji se od brojeva i slova

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

2 1 0

(A3F)16 = A*162+3*161+F*160

= 10*162+3*161+15*160

= 10*256 + 3*16 + 15*1

= 2560+ 48 + 15

= (2623)10

KONVERZIJE BROJNIH SISTEMA

(1101)2 = 1 * 23 + 1 * 22 + 0 *21 + 1 * 20 = (13)10

(301)8 = 3 * 82 + 0 * 81 + 1 * 80 =

= 192 + 0 + 1 =

= (193)10

(F9A)16 = F * 162 + 9 * 161 + A *160 =

= 15 * 162 + 9 *161 + 10 * 160 =

= 3840 + 144 + 10 =

= (3994)10

Konverzija u decimalni b.s.

Zadatak

Konvertujte sljedeće brojeve u dekadni/decimalni brojni sistem:

(11011110)2

(77)8

(FAB3)16

OSTALE KONVERZIJE

KONVERZIJA IZ DECIMALNOG U BINARNI

• Broj (37)10 konvertovati u binarni brojni sistem.

37 : 2 = 18 : 2 = 9 : 2 = 4 : 2 = 2 : 2 = 1

1 0 1 0 0

(37)10=(100101)2

ZADATAK - konvertovati u binarni brojni sistem

• (52)10

• (83)10

• (126)10

• (332)10

KONVERZIJA IZ DECIMALNOG U OKTALNI

• Broj (181)10 = (?)8 konvertovati u oktalni brojni sistem.

181 : 8 = 22 : 8 = 2

5 6

(181)10=(265)8

ZADATAK - konvertovati u oktalni brojni sistem

• (67)10 = (?)8

• (336)10 = (?)8

• (442)10 = (?)8

KONVERZIJA IZ DECIMALNOG U HEKSADECIMALNI

• Broj (181)10 = (?)16 konvertovati u heksadecimalni brojni sistem.

181 : 16 = 11

5

(181)10=(B5)16

ZADATAK - konvertovati u heksadecimalni brojni sistem

• (48)10 = (?)16

• (1336)10 = (?)16

• (332)10 = (?)16

Konverzija iz binarnog u oktalni

• Za kodiranje oktalnih cifara dovoljne su binarne riječi dužine tri (8 = 23).

• Svakoj oktalnoj cifri se dodjeli binarni kod dužine tri što nam omogudava direktno prevođenje.

• Binarne cifre se grupišu u grupe od po 3 cifre, počev od bitova najmanje težine.

• Ako ukupan broj bitova nije dijeljiv sa tri, onda se dopisuje potreban broj vodedih nula.

(11111010001010)2 =

(011 111 010 001 010)2 =

(37212)8

(01 100 111)2 = 1478

ZADATAK

• (11010100100)2 = ( ? )8

• (100111001011)2 = ( ? )8

Konverzija iz binarnog u heksadecimalni

• Za kodiranje heksadecimalnih cifara dovoljne su binarne riječi dužine četiri (16 =24).

• Na ovaj način svakoj heksadecimalnoj cifri je dodijeljen kod dužine četiri u binarnom sistemu što omogudava direktno prevođenje iz binarnog u heksadecimalni sistem

• Binarne cifre se grupišu u grupe od 4 cifre, počev od bitova najmanje težine.

• Ako ukupan broj bitova nije djeljiv sa četiri, onda se dopisuje potreban broj nula.

(1111011100001101010000)2 =

( 0011 1101 1100 0011 0101 0000)2 =

(3DC350)16

(0110 0111)2 = (67)16

ZADATAK

• (11010100100)2 = ( ? )16

• (11100101001)2 = ( ? )16

• (111011001011001)2 = ( ? )16

Heksadecimalni u oktalni

• Preko binarnog brojnog sistema.

A316 = 1010 00112 = 10 100 0112 = 2438

10 :2= 5 :2= 2 :2= 1

0 1 0

(A)16 = (1010 )2

3 :2= 1

1

(3)16 = (11 )2

Heksadecimalni u oktalni

• (F5A)16 = ( ? )8

• (7D4)16= ( ? )8

• (6CE)16= ( ? )8

BINARNA ARITMETIKA

U binarnom brojnom sistemu su definisane osnovne operacije i to:

• SABIRANJE

• ODUZIMANJE

• MNOŽENJE

• DIJELJENJE

BINARNO SABIRANJE

X Y X+Y prenos

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Primjer I:

1 1 1 1 prenos

1 1 0 1 1 0

+ 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1

Primjer II:

1 1 1 1 1 1 1 prenos

1 1 0 1 0 1 1 1

+ 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 0

Primjer III:

1 1 1

1 1 1 1 1 1 prenos

1 0 1 0 1

1 1 1 0 0

+ 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 0

ZADATAK-Saberi brojeve

• 111011 + 10111

• 11110001+1101101

• 110111+101010+10011

• 1001011+1001110+10011

BINARNO ODUZIMANJE

X Y X-Y prenos

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 0

Primjer I:

1 0 1 1 0 1

- 1 1 0 1 0

1 1 prenos

0 1 0 0 1 1

Primjer II:

1 1 0 1 0 1 1 1

- 1 0 1 1 0 1 1

1 1 1 1 prenos

0 1 1 1 1 1 0 0

Provjera :

1 0 1 1 0 1 1

= 1+2+8+16+64 = 91

128 64 32 16 8 4 2 1

1 1 0 1 0 1 1 1

= 1+2+4+16+64+128 = 215

0 1 1 1 1 1 0 0

= 4+8+16+32+64 = 124

Primjer III:

1 0 0 0 1

- 1 1 1

1 1 1 prenos

0 1 0 1 0

(10001)2 = (17)10 ; (111)2 =(7)10; (1010)2 =(10)10

Provjera

ZADATAK-Oduzmi brojeve

• 110110 - 11101

• 11110001-1101101

• 110111-101010

• 1001110-1001011

BINARNO MNOŽENJE

X Y X*Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Primjer I:

1 0 1 1 0 * 1 0 1

1 1 0 1 1 0

+ 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 1 1 1 0

Primjer II:

1 0 1 0 * 1 0 1 0

0 0 0 0

+ 1 1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 1 * 1 1 0 1

ZADATAK

Zadaci:

• Saberi:

– 10001 + 10011

– 10101 + 1010

– 11001 + 1010 + 1001

• Oduzmi:

– 111101 – 1010

– 10000 – 1111

• Pomnoži:

– 111 * 11

– 101 * 110

• Dat je izraz u decimalnom brojnom sistemu [3*(15-6)2+5].

Prevesti ovaj izraz u binarni brojni sistem i izračunati njegovu binarnu vrijednost.

• Izračunati vrijednost izraza:

(101 + 1 110) * (1 111 - 101). Provjeriti u decimalnom brojnom sistemu.

• Dat je izraz u heksadecimalnom brojnom sistemu (3A5)16 + (FE)16

Prevesti ovaj izraz u binarni brojni sistem i izračunati njegovu binarnu vrijednost.

BINARNO DJELJENJE

X Y X/Y

0 0 NEDJELJIVO

0 1 0

1 0 BESKONAČNO

1 1 1

DJELJENJE

• Dijeljenje binarnih brojeva obavlja se na isti način kao i dekadnih.

• Praktično se dijeljenje svodi na množenje i oduzimanje.

DIJELJENJE

11011 : 11 = 1001 - 11 00011 - 11 00

Provjera: 27 : 3 = 9

1111 : 101 = 11 - 101 0101 -101 000

Provjera: 15 : 5=3