Bäume - Hochschule Furtwangen · 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 4 Baum: Grundbegriffe #2 • Knotensorten Vorgänger = Vater Nachfolger = Sohn = Kind Wurzel

2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1

Bäume


Inhalt

• Grundbegriffe: Baum, Binärbaum

• Binäre Suchbäume (Definition)

• Typische Aufgaben

• Suchaufwand

• Löschen allgemein, Methode „Schlüsseltransfer“

• Programmiertechnik


Baum: Grundbegriffe #1

• Graph: gerichtet, ungerichtet

Komponenten:

Knoten Elemente: Eigenschaften

Kanten Beziehungen zwischen Elementen

• Baum: 1. Spezielfall eines Graphen

2. Verallgemeinerung der Liste

Liste: 1 Element: 1 Nachfolger

Baum: 1 Element: ≥ 1 Nachfolgerd

t-ärer Baum, Baum der Ordnung t

zu jedem Element sind höchstens t Nachfolger festgelegt

t=1 Spezialfall: Liste; t=2 Binärbaum; t=3 Ternärbaum, ...


Baum: Grundbegriffe #2

• Knotensorten Vorgänger = Vater

Nachfolger = Sohn = Kind

Wurzel Knoten ohne Vorgänger

Blatt=äußerer K. Knoten ohne Nachfolger

innerer Knoten Knoten mit Vorgänger und Nachfolger

Randknoten Knoten mit < t Nachfolger

• Pfad Weg von der Wurzel zu jedem Knoten

• Pfadlänge Anzahl von Knoten im Pfad

• Voller Baum alle Blätter haben die gleiche Pfadlänge

• Quasivoller Baum nur die unterste Ebene ist nicht voll besetzt


Varianten von Bäumen

• Zahl der Nachfolger: fest oder beliebig

• Sortierung: Ungeordneter Baum: Nachfolger unsortiert

Geordneter Baum: 1., 2., ...,k-ter Nachfolger;

beim Binärbaum: linker, rechter Nachfolger

W

3.

4. 2.3 1.21.

1. 2.

2.1.

Ebene 1

Ebene 2

Ebene 3

W

R

RL

L

RL

Linker Teilbaum von WBeide Beispielsbäume: Höhe h=3


Einige Beispiele:

• als 2 Felder

• als Struktur (C++:Klasse) mit Zeigern ...

natürlich

Implementierung von Bäumen

v(2) v(3)v(1)

1

32

e(1,1)=0 e(1,2)=1 e(1,3)=1

e(1,1)=0 e(1,2)=0 e(1,3)=0e(2,1)=0 e(2,2)=0 e(2,3)=0

e(3,1)=0 e(3,2)=0 e(3,3)=0

e[i][j]==1 g.d.w. e[j] Nachfolger von e[i]

Knoten: Kanten:

1

32

Knoten-Daten

Knoten-Nr.=1

Knoten-Daten

Knoten-Nr.=2

null null

Knoten-Daten

Knoten-Nr.=3

null null


Zusammenhänge

• Mit der GraphentheorieEin Baum ist ein gerichteter zusammenhängender

kreisfreier Graph mit einer speziellen Eigenschaft:

Jeder Knoten hat bis auf einen (Wurzelknoten)

genau einen Vorgänger.

• Mit der linearen AlgebraBaum ~ Basis

kreisfrei ~ linear unabhängig

zusammenhängend ~ Erzeugendensystem

Kantenzahl ~ Dimension eines Vektorraumes


Bäume und lineare Algebra• Satz: Charakterisierung von Bäumen

Es sei G = (V,E) ein endlicher Graph; V ... Knotenmenge, E ... Kantenmenge.

Folgende Eigenschaften sind äquivalent:

(1) G ist ein Baum

(2) G ist kreisfrei, und das Hinzufügen einer beliebigen Kante zu E erzeugt einen Kreis (G ist

maximal kreisfrei)

(3) Zwischen je zwei Knoten gibt es genau einen einfachen Weg in G

(4) G ist zusammenhängend, und die Wegnahme einer beliebigen Kante aus E zerstört den

Zusammenhang von G (G ist minimal zusammenhängend)

(5) G ist kreisfrei und seine Kantenzahl ist |E| = |V| - 1

(6) G ist zusammenhängend und |E| = |V| - 1

• analoge Eigenschaften in Vektorräumen(2) Eine Basis ist eine maximal linear unabhängige Menge, d.h. bei Hinzufügen eines Vektors wird

die Unabhängigkeit zerstört

(4) Eine Basis ist eine minimale Erzeugendenmenge, d.h. bei Wegnahme eines Vektors hat man

kein Erzeugendensystem mehr

(5),(6) In Vektorräumen haben alle Basen eines (endlichdimensionalen) Vektorraumes die gleiche

Größe, nämlich die Dimension des Vektorraumes


Binärbaum: Grundbegriffe• linker, rechter Nachfolger

• linker, rechter Teilbaum (Unterbaum) eines Knotens

• Ebenen

• Höhe des Baums: Anzahl der Ebenen; im Bild: h = 3

Ebene 1

Ebene 2

Ebene 3

W

R

RL

L

RL

Linker Teilbaum von W


Abbildung• Datenstruktur, wobei jedes Datum = Wertepaar:

Schlüssel: nach dem Schlüssel wird gesucht

Wert: ZielinformationBeispiel: Telefonbuch: Namen = Schlüssel, Telefonnummer = Werte

• Zusammenhang mit der Mathematik:A: S → W,

A...partielle Abbildung , S...Schlüsselmenge, W...WertemengePartiell: i.d.R nur ein (geringer) Teil der Schlüssel hat einen zugeordneten Wert

• Sonderform WörterbuchAbbildung, bei der das gesamte zu speichernde Datum ein Schlüssel ist


Binäre Suchbäume• Besonders geeignet für Speicherung von Daten, nach denen

später gesucht werden soll: Sie sind speziell auf Suchoperationen hin optimiert.

• Definition:Ein binärer Suchbaum ist ein binärer Baum mit folgenden Eigenschaften:(1) Jedem Knoten ist ein Schlüssel key zugeordnet(2) Sei x ein beliebiger Knoten und y ein Knoten i seinem

linken Unterbaum, so gilt key(y) < key(x)(3) Sei x ein beliebiger Knoten und y ein Knoten in seinem

rechten Unterbaum, so gilt key(y) > key(x)

• Wertepaare Schlüssel-Wert

• Englisch: Binary Search Tree, BST


Typische AufgabenTypische Operationen mit den Wertepaaren

Schlüssel-Wert sind

• SuchenFeststellen, ob ein angegebener Schlüssel im Baum enthalten ist,bzw. den zugehörigen Wert liefern.

• EinfügenEin Paar Schlüssel-Wert als einen neuen Knoten an geeignete Stelle im binären Suchbaum einfügen

• EntfernenEinen Knoten entfernen, wobei der Baum muss auch nach dem Löschen die Eigenschaft beibehalten, binärer Suchbaum zu sein.


Annahme: alle Schlüssel haben die gleiche Wahrscheinlichkeit,

dass sie gesucht werden.

Dann: Der Suchaufwand ist minimal, wenn alle Knoten Pfade

möglichst gleicher Länge haben (Vollbaum, quasivoller Baum)

Beispiel 1:

Mit einem vorhandenen (Schlüssel-)

Datenbestand ist ein binärer Suchbaum

ausgehend vom leeren Baum

aufzubauen.

Zuerst wird folgende Schlüsselreihenfolge gewählt:

57,23,37,15,30,27,79,33,45

Suchaufwand #1

57

23 79

15 37

30 45

27 33Ergebnis: Pfadlängen-Differenz = 3


Beispiel 2:

Eine andere Reihenfolge ergibt eine andere

Suchbaum-Struktur:

33,23,45,15,27,30,37,57,79

Suchaufwand #2

33

23 45

15 27

30

57

79

37

Die Baumstruktur ist von der Schlüsselreihenfolge abhängig.

Ergebnis: Pfadlängen-Differenz = 1


Für Knoten mit 0-1 Nachfolger ist das Löschen einfach:

BST programmieren:Löschen

45

25

31

27

57

79

3715

23

33

27

45

30

15

23

27

30

57

79

37

45

Funktioniert, aber...

457

25

31

27

39

Bei anderen Knoten ist es schwieriger. Z.B.


57

79

3715

23

33

27

45

30

oder

BST programmieren:Löschen• Bessere Lösch-Methode: „Schlüsseltransfer“

57

79

3715

23

33

27

45

30

57

79

3715

23

30

27

45

57

79

15

23

37

27

45

30


25

573715

23

33

27

45

25

Beispiel: Einfügen

Neuer Knoten:

Programmiertechnik

1

2

3

Einf

Ein_r(nS, nW, root)

Einf_r

RET

RET

nS<dK.S?

dK ex?

nS>dK.S?

New Kn(nS,nW,NULL,NULL)

Ein_r(nS, nW, RN)

Ein_r(nS, nW, LN)

N

N

N

J

J

J

dK ...ist dieser Knoten

bereits drin?

nS ... neuer Schlüssel

nW... neuer Wert

LN ... linker Nachfolger

RN ... rechter Nachfolger

dK.S ... S.v. diesem Knoten

dK = 33

dK ex? J

25 < 33? J

Ein_r(..., LN)

1

2

1

23

dK = 23

dK ex? J

25 < 23? N

25 > 23? J

Ein_r(..., RN)

1

2

dK = 27

dK ex? J

25 < 27? J

Ein_r(...,LN)

1dK = NULL

dK ex? N

New Kn (nS,nW,

NULL,NULL)


BST: andere Aufgaben #1Bisher: Suchen, Einfügen, Löschen. Was gibt es noch?

• Durchlauf durch einen Binärbaum- In-Ordnungen

LWR-Ordnung: aufgesucht wird:

1. linker Unterbaum, 2. Wurzel, 3. rechter Unterbaum

RWL-Ordnung: aufgesucht wird:

1. rechter Unterbaum, 2. Wurzel, 3. linker Unterbaum

- Prä-Ordnung: WLR, WRL

- Post-Ordnung: LRW, RLW

Aufgaben z.B.:

- Bestimmen aller Blätter, der Anzahl aller Blätter, aller Knoten

- Bestimmen der rechtesten Ecke im linken Unterbaum

- Kopieren, Löschen des Baums


BST: andere Aufgaben #2

• FädelungBeim Durchlauf eines Baums sind stets Rückläufe

notwendig. Der Durchlauf kann beschleunigt werden,

indem die Leerzeiger in den Blättern mit

entsprechenden „Zieladressen“ belegt werden.

• Bsp: Fädelung bei LWR

57

79

3715

23

33

27

45

30


1 2

3

4

5

6

Alternative graphische Darstellung von Bäumen1

2 3

4 5 6 7 8

5

4 6

2

7 8

3

1

(1 (2 (4, 5 (9,10), 6), 3 (7, 8)))

1 2 9, 10 , 6 , 3 7, 8

9

10

4, 5

7

8

9 10

9 10


Ausgeglichenheit der Bäume

Definition 1 (Classic):

Binäre Baume sind vollständig ausgeglichen,

wenn sich für jeden Knoten die ZAHLder Knoten in seinem

linken und rechten Teilbaum um höchstens eins unterscheiden.

Definition 2 (AVL-Bäume):

Ein Baum ist genau dann ausgeglichen,

wenn sich für jeden Knoten die HÖHEder Teibäume um höchstens eins unterscheiden


AVL-BäumeAdelson-Velski, Landis:

Neudefinition der Ausgeglichenheit

Länge des Suchpfades: O(log2 n)


Einfügen in AVL-Bäume

h h h h

h h

l l

l

r

r

r=

>=>

Einfügen

< h hl r<

=>

Einfügen

h hl r>

Einfügen

h hl r>>

ausgeglichen

ausgeglichen

ausgeglichenun

Bsp: Einfügen im linken Teilbaum 3 Fälle:

1. H(lTb) = H(rTb) ⇒ H(lTb) > H(rTb),

Baum bleibt ausgeglichen

2. H(lTb) < H(rTb) ⇒ H(lTb) = H(rTb)

Baum bleibt ausgeglichen

3. H(lTb) > H(rTb) ⇒

die Ausgeglichenheit wird zerstört,

der Baum muß neu strukturiert werden


Rotation bei AVL-BäumenWiederherstellung der Ausgeglichenheit

LR(b,a) RR(b,a)

Ziel: Ebene(b)-- //höher

Ebene(a)++ //tiefer

Dabei:

(1) Falls Vater(a) vorhanden:

Vater(a) abhängen, er wird zum Vater(b)

(2) Falls LSohn(b) vorhanden: Falls RSohn(b) vorhanden:

LSohn(b) abhängen und RSsohn(b) abhängen und

als RSohn(a) anhängen als LSohn(a) anhängen

DR=LR+RR

a

bn

n+1


Rotationsbeispiele#1


Rotationsbeispiele#2n+1


Rotationsbeispiele#34

5

+ 7 = 4

5

7

LR =>5

4 7+ 2 =

5

4

27 + 1 =

5

4

2

1

7 RR =>

5

2

1 4

7 + 3 =

<

>

<

>

5

2

1 4

3

7

LR

RR DR =>

4

2

1 3

5

7

+ 6 =

4

2

1 3

5

76

LR

LR =>

4

2

1 3 5

7

6

4

2

1 3 5 7

6

LR

RR

DR =>

LR

RR

ana a

ana a

na ana

naa

mit: a=ausgeglichen, na=nicht ausgeglichen


Vielweg-BäumeAnzahl Nachfolger eines Knotens: >2

Nachfolger4

Abb. 29a

Anwendung: Verwaltung großer Datenmengen

Zeiger auf Knoten: Plattenadressen statt Speicheradressen

Zugriffszeiten: Platte: ca. 10 ms

Speicher: 10 ns

(Faktor 106)


Aufteilung eines Baumes in Seiten

Seite = Teibaum

entspricht:

Abb. 30


Bayer-Bäume (B-Bäume)

Eingeführt 1970 von Bayer und McCreight

Eigenschaften von Bayer-Bäumen der Ordnung n:• Jeder Knoten (Seite) bis auf den Wurzelknoten enthält

m Einträge (Schlüssel), mit n<=m<=2*n• Die Wurzel enthält 1<=m<=2*n Einträge• Jeder Knoten (Seite) hat 0 oder m+1 Nachfolger, d.h.

Anzahl der Nachfolger = Anzahl der Einträge + 1• Alle Blätter (Blattseiten) haben die gleiche Höhe h.


Beispiel für einen B-Baum

10 20

2 5 7 8 13 14 15 18 22 2410 20 26 27 2825 30 32 35 38 40 41 42 45

25

30 40

Wurzel

m=2

Ordnung n=2

Seite

m+1=3

Blattseiten 2n=4 n=2

Abb.31

n <= m <= 2n


Suchen in einem B-Baum1. Man lese eine Seite in den Hauptspeicher ein (falls existiert).

Hat die angegebene Referenz (Zeiger) den Wert Null, dann

existiert der Schlüssel S nicht.

2. Man prüfe, ob der gesuchte Schlüssel S vorhanden ist.

Diese Suchzeit ist im allgemeinen kleiner als die Zeit zum

Einlesen der Seite vom Hintergrundspeicher.

3. Hat die Suche keinen Erfolg, so liegen folgende Situationen vor:

3.1. Ki < S < Ki+1, für 0 <= i < m-1 mit Ki Schlüssel an der

Stelle i.

Dann setzen wir die Suche auf der Seite Pi fort.

3.2. Km-1 < S . Die Suche wird auf der Seite Pm fortgesetzt.

3.3. S < K1 . Die Suche wird auf der Seite P0 fortgesetzt.

D1

P0 K1

D2

P1 K2 Pm-1Pm-2….x

Dm-1

Km-1P2


Löschen aus dem B-Baum#1

Situation 1: Suchargument ist im Blatt:1.1 Blatt hat mehr als n Elemente (normal):

lösche Element20 30

7 10 15 18 22 26 35 40 41

20 30

22 26 35 40 417 15 18

n=2

Abb. 33a

zu löschen: 10


Löschen aus dem B-Baum#21.2 Blatt hat genau n Elemente (Unterlauf):

betrachte linken (rechten) Bruder

1.2.1 linker (rechter) Bruder hat mehr als n Elemente:

dann ‘verschiebe’ Wurzel ins Blatt und Blatt in die Wurzel

22 26 35 40 417 15 18

n=2

7 15 18

20 35

26 30

20 30

löschen

40 41

Abb. 33b

zu löschen: 22

Unterlauf droht:

Ein Knoten muss min.

2 Elemente haben


Löschen aus dem B-Baum#31.2.2 linker und rechter Bruder hat genau n Elemente:

dann ‘verkette’n=2

20 35

26 30 40 41

20

30 35 40 41

7 15

7 15

Abb. 33c

zu löschen: 26


Löschen aus dem B-Baum#4Situation 2: Suchargument ist nicht im Blatt:

rechtes Element im linken Teilbaum ‘hochziehen’

22 26 35 40 417 15 18

n=2

7 15 18

20 30 löschen

20 26

dann Unterlauf , weiter wie unter 2

18 26

7 15

35 40 4122

20 22 35 40 41

Abb. 33d

zu löschen: 30

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