Bundel Soal Elektroteknik - labdasar.ee.itb.ac.idlabdasar.ee.itb.ac.id/lab/EL2142 - Sistem Digital dan Mikroprosesor... · Soal 4 Tinjau empat buah graf G1, G2, G3, dan G4 berikut

Tim Penyusun Bundel Soal Elektroteknik Semester 3

Kementerian Kesejahteraan Anggota

Kementerian Kewirausahaan

Bundel Soal

Elektroteknik

Semester 3 | Tahun 2013/2014

tambahan Matematika Diskrit (ET 2012)

Bundel Soal Elektroteknik >> Semester 3 - 2013/2014Kementerian Kesejahteraan Anggota - Kementerian Kewirausahaan >> Himpunan Mahasiswa Elektroteknik ITB 2

DAFTAR ISI

Daftar Isi ......................................................................................................................................................... 2

Matematika Diskrit ...................................................................................................................................... 245

Soal ..................................................................................................................................................................... 246

UTS - 2012/2013 ............................................................................................................................................. 246

UTS - 2010/2011 ............................................................................................................................................. 248

UAS - 2012/2013 ............................................................................................................................................ 250

UAS - 2011/2012 ............................................................................................................................................ 252

Solusi .................................................................................................................................................................. 254

UTS - 2012/2013 ............................................................................................................................................. 254

UAS - 2012/2013 ............................................................................................................................................ 261

ET2001 MATEMATIKA

DISKRIT

khusus untuk jurusan

Teknik Telekomunikasi


SOAL

UTS - 2012/2013

Soal Nomor 1

a. Periksa apakah implikasi ini tautology :

[( ) ( ) ( )] [ ( )]

b. Nyatakanlah bagian yang diarsir dari diagram Venn berikut dalam bentuk operasi Set!

Soal Nomor 2

a. Berikan estimasi big-O terbaik dari fungsi berikut ini

( )( (√ ) )

b. Untuk ( ) ( ) ⁄ dari R ke R. Apakah ( ) suatu fungsi? Kalau ya, bijektifkah? Apakah ( ) punya

invers? Jika ya, tentukan ( )

Soal Nomor 3

Tentukan suku-suku deret berikut

a.

b.

c.

Soal Nomor 4

Selesaikan:

a. Tentukan:

A B

C

Matematika Diskrit Soal >> UTS - 2012/2013

247

∑∑( )

b. Tentukan:

∑∑( )

c. Tunjukkan apakah kelompok bilangan bulat berikut prima secara relative berpasang (pairwise relatively

prime) : (12, 17, 31, 37), (22, 212, 754)

Soal Nomor 5

a. Melalui metode induksi buktikan,

( ) ( ) ( )

b. Tentukan koefisien suku dalam persamaan ( )

c. Tentukan koefisien suku dalam persamaan ( )

Soal Nomor 6

Dengan menggunakan fungsi deskripsi ( ) ( ) , translasikan EKSUSMIEAPA.

Soal Nomor 7

Suatu dadu octahedral memiliki 8 buah sisi. Setiap sisi diberi nomor dari 1 sampai dengan 8. Diketahui bahwa

dadu ini bersifat bias, dimana nomor mata dadu ganjil pada octahedron memiliki peluang muncul 2 kali

dibandingkan dengan nomor mata datu genap, tentukan:

a. Nilai harap (expectation value) dari nomor dadu yang muncul

b. Variansi dari nomor dadu yang muncul

Soal Nomor 8

a. Diketahui ( )

dan ( ) . Tentukan ( ) ( )

b. Diketahui ( ) dan ( ) . Tentukan ( ) ( )

c. Untuk X bilangan integer dan , tentukan himpunan solusi dari kongruensi

( ) ( )


UTS - 2010/2011

Soal Nomor 1

Diketahui 8,7,1.16.9,5,4,2.8,6,4,2.9,8,7,6,5,4,2,1,0 2 DxZxCBAU

a. Tentukanlah: AB , BA , CCBAB , BA , DC

b. Gambarkanlah masing-masing dari Venn diagramnya

Soal Nomor 2

Tentukan

a. 16108125,2150

b. 888 76:71022

c. 888 77257

Soal Nomor 3

Periksalah apakah implikasi berikut ini adalah tautologi, kontradiksi, atau bukan keduanya:

rprqrqrrqrrqqp

Soal Nomor 4

Tentukan nilai berikut ini:

a. 255.05.05.05.0

b.

7

2

4

1

32 523j k

jk

Soal Nomor 5

Tentukan koefisien suku

a. X101 Y99 dalam persamaan 20032 YX

b. X9 dalam persamaan 192 X

Soal Nomor 6

Data yang dienkripsi dengan chirp 26mod37 ppf , dikirimkan berbentuk ELUS WITIKIRP. Tentukan data

yang diterima setelah dideskripsikan.

Matematika Diskrit Soal >> UTS - 2010/2011

249

Soal Nomor 7

Tentukan gcd dan lcm dari pasangan bilangan berikut:

a. (1529 , 14039)

b. (1111 , 111111)

Soal Nomor 8

Untuk deret bilangan berikut, tentukan bentuk formulanya.

a. 1, 5, 5, 9, 9, 13, 13, 17, 17, 21, ....

b. 2, 9, 20, 35, 54, 77, ....

c. 4, 8, 18, 44, 114, 308, ....

Soal Nomor 9

Perhatikan matrik zero-one berikut:

0100

0011

1100

0010

A

0111

1011

1101

1110

4KA .

Tentukan

a. 4KAA

b. 24

3KAA

Soal Nomor 9

Buktikan bahwa untuk n ≥ 1:

a. 1!1!!22!11 nnn

b. 333 21 nnn dapat dibagi dengan 9.


UAS - 2012/2013

Soal Nomor 1 (bobot 3x soal nomor lainnya)

Dari graph berbobot berikut, tentukanlah:

a) Lintasan dan sirkit Hamilton (jika ada)

b) Lintasan dan sirkit Euler (jika ada)

c) Solusi dari ‘traveling salesman problem’

d) Lintasan terpendek dari a ke z

e) Tentukan ‘chromatic number’-nya

f) Apakah graph tersebut ‘planar’

g) Tentukan ‘incidence matrix’-nya

h) Tentukan ‘adjacency matrix’-nya

i) Minimum spanning tree

j) Periksa apakah graph tersebut bipartite

Soal Nomor 2 (bobot 2x soal nomor lainnya)

Diketahui Poset ({2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 15, 18, 24, 36, 45, 60}, |). Tentukan:

a. Diagram Hasse dari Poset tersebut

b. Elemen-elemen maksimal

c. Elemen-elemen minimal

d. Greatest elemen (bila ada)

e. Least elemen (bila ada)

f. Semua upper bounds dari {3, 5}

g. LUB dari {3, 5} (bila ada)

h. Semua lower bounds dari {15, 45}, dan

i. GLB dari {15, 45} (bila ada)

j. Periksa apakah Poset tersebut Lattice

Soal Nomor 3

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} adalah set, dan R relasi pada A yang dinyatakan oleh matriks relasi sbb.

MR = [ ]

Tentukan :

a. Gambarkan representasi R dalam bentuk graph

b. Tentukan transitive closure dari R

1 0 1 1

1 1 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

Matematika Diskrit Soal >> UAS - 2012/2013

251

c. Periksalah apakah relasi tersebut termasuk kelas setara (equivalent class)

Soal Nomor 4

Gunakan metoda Backtracking untuk menyelesaikan masalah n-queen, dengan n = 7

Soal Nomor 5

Suatu system mempunyai sirkit dengan probabilitas keberhasilan dari masing-masing elemennya sebagai berikut

ini:

Tentukan berapa probabilitas bahwa seluruh system akan bekerja dengan baik!

Soal Nomor 6

a) Bentuklah pohon pengkodean Huffman (Huffman Coding Tree) untuk mengkodekan string berikut ini :

mencontekadalahtermasukdalamperbuatankriminal

b) Berapa bit diperlukan untuk merepresentasikan seluruh string tersebut dalam kode dengan panjang

variable (Variable-length Code)? Bandingkan jika dengan menggunakan kode dengan panjang yang tetap

(fixed-length Code)!

Soal Nomor 7

Selidiki dan analisis, apakah pasangan graph berikut ini isomorphic?


UAS - 2011/2012

Soal Nomor 1 bobotnya 3 kali soal nomor yang lainnya

Soal 1

Dari graph berbobot berikut, tentukanlah:

a. Lintasan dan sirkit Hamilton (jika ada)

b. Lintasan dan sirkit Euler (jika ada)

c. Solusi dari “traveling salesman problem”

d. Lintasan terpendek dari a ke z

e. Tentukan “chromatic number”-nya

f. Apakah graph tersebut “planar”?

g. Representasi dalam “incidence matrix”-nya

h. Representasi dalam “incidence matrix”-nya

i. Minimum spanning tree dengan algoritma Prim

j. Minimum spanning tree dengan algoritma Kruskal

Soal 2

Hitunglah berapa banyak bit string sepanjang 9 dijit yang berawal dengan 10 atau berakhir dengan 01 tapi tidak

keduanya (tidak berawal dengan 10 dan berakhir 01 sekaligus), dan digit tengah-tengahnya (digit ke-5) bernilai 1?

Soal 3

Tentukan solusi dari relasi rekursif berikut ini: 234 21 naaa nnn , dengan a0 = 1 dan a1 = 2

Soal 4

Tinjau empat buah graf G1, G2, G3, dan G4 berikut ini. Apakah ada pasangan-pasangan graf yang isomorfis?

Tunjukkan/buktikan isomorfisme pasangan graf berikut jika ada.

u1

v1 w1

x1 y1

z1

u2

v2 w2

x2 y2

z2

u3

v3 w3

x3 y3 z3

u4

v4 w4

x4 y4

z4

b

f

4

6

4

c

g

8

9

6

z

h

5

8

7

m

e 4

j 6

1 k 7

5 l 7

5 i 7

n 5

3 o 2

7 d 8

9 a 6

Matematika Diskrit Soal >> UAS - 2011/2012

253

Soal 5

Dengan pohon pengkode Huffman prefix-code, tentukan hasil pengkodean dari pesan berikut:

prikitiewsusiekatasuledalamovj

Hitung jumlah bit minimum untuk menyatakan pesan berikut, sebelum dan sesudah dikodekan.

Soal 6

Buat dan gambarkanlah sebuah Poset (dalam Hasse diagram dengan 7 buah node) yang memiliki:

a. Sebuah elemen minimal tetapi tidak memiliki elemen maksimal

b. Sebuah elemen maksimal tetapi tidak memiliki elemen minimal

c. Sebuah elemen minimal dan sebuah elemen maksimal

d. Tidak memiliki elemen minimal maupun maksimal

e. Struktur lattice

Soal 7

Buatlah suatu relasi R pada set {1,2,3,4} yang:

a. Reflektif, simetrik, tetapi tidak transitif

b. Irreflektif, antisimetrik, dan transitif

Tentukan ‘transitive closure’ dari masing-masing R tersebut.

Soal 8

a. Carilah formula untuk 1

1

43

1

32

1

21

1

nn

b. Tentukan fungsi rekursif dari formula tersebut.


SOLUSI

UTS - 2012/2013

Soal Nomor 1

a. Periksa apakah implikasi ini tautology :

[( ) ( ) ( )] [ ( )]

Jawab :

Bila suatu implikasi tautology, hasil implikasi tersebut pada tabel kebenaran selalu bernilai 1 (benar).

Sebut [( ) ( ) ( )] sebagai “A” dan [ ( )] sebagai “B”

Tabel kebenaran :

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0

Karena hasil implikasi tidak selalu bernilai “1”, maka pernyataan implikasi tersebut bukan tautology.

b. Nyatakanlah bagian yang diarsir dari diagram Venn berikut dalam bentuk operasi Set!

Jawab :

A B

C

Matematika Diskrit Solusi >> UTS - 2012/2013

255

[ ( ) ] [ ]

Soal Nomor 2

a. Berikan estimasi big-O terbaik dari fungsi berikut ini

( )( (√ ) )

Jawab :

( ) : suku dengan pertumbuhan tercepat adalah

( (√ ) ) : suku dengan pertumbuhan tercepat adalah

Jadi estimasi big-O nya adalah :

Keterangan :

Urutan fungsi-fungsi umum dari yang tercepat pertumbuhannya :

b. Untuk ( ) ( ) ⁄ dari R ke R. Apakah ( ) suatu fungsi? Kalau ya, bijektifkah? Apakah ( ) punya

invers? Jika ya, tentukan ( )

Jawab :

( ) suatu fungsi, karena setiap anggota dipasangkan dengan tepat satu anggota ( )

( ) adalah fungsi bijektif, karena memenuhi 2 syarat fungsi bijektif yaitu bersifat injective/satu ke satu

dan surjective/onto

Injective/satu ke satu : setiap anggota ( ) dipasangkan dengan tidak lebih dari satu anggota (tidak

ada anggota kodomain yang punya pasangan double, triple, dst.)

Surjective / onto : setiap anggota ( ) memiliki pasangan anggota (kodomain=range, tidak ada

anggota kodomain yang tidak berpasangan)

Sifat dari fungsi bijektif adalah fungsi bijektif memiliki invers

Menentukan invers :

( )

( )

( )

Maka,

( ) ( )


Soal Nomor 3

Jawab :

d.

e.

f.

Soal Nomor 4

a. ∑ ∑ ( )

∑{( ) ( ) ( ) ( )}

∑{ ( )

} ∑( )

∑( )

{( ) ( ) ( ) ( )}

{ ( ) } { }

∑∑( )

b. ∑ ∑ ( )

∑{( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

∑{ ( )

} ∑( )

∑( )

{( ) ( ) ( ) ( )}

{ ( ) } { }

∑∑( )

c. Tunjukkan apakah kelompok bilangan bulat berikut prima secara relative berpasang (pairwise relatively

prime) : (12, 17, 31, 37), (22, 212, 754)

Jawab :

Kelompok bilangan dikatakan pairwise relatively prime jika dan hanya jika nilai GCD nya sama dengan 1

Untuk kelompok bilangan (12, 17, 31, 37)

Lakukan faktorisasi prima


257

GCD (greatest common divider) atau KPK dari keempat bilangan tersebut adalah 1, maka kelompok bilangan bulat

tersebut pairwise relatively prime

Untuk kelompok bilangan (22, 212, 754)

Lakukan faktorisasi prima

GCD (greatest common divider) atau KPK dari ketiga bilangan tersebut adalah 2, maka kelompok bilangan bulat

tersebut tidak pairwise relatively prime

Soal Nomor 5

a. Misalkan ( ) merupakan proposisi yang menyatakan bahwa

( ) ( ) ( ) ⁄

Basis Step:

( ) terbukti benar karena ( ) ( )

Inductive Step:

Asumsikan ( ) benar, dalam inductive step ini harus dibuktikan bahwa ( ) benar. Karena ( )

diasumsikan benar maka dengan kata lain

( ) ( ) ( )

( ) menyatakan bahwa

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ){( ) }

Sesuai dengan asumsi sebelumnya ( ) ( ) ( ) , sehingga

persamaan ( ) diatas dapat diubah menjadi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ){( ) }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan dapat disimpulkan bahwa ( ) benar

Dan karena ( ) memenuhi 2 syarat diatas, maka melalui metode induksi terbukti bahwa

( ) ( ) ( )


b. Bila dijabarkan persamaan ( ) menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

Sehingga suku dalam persamaan ( ) akan berupa

( ) ( ) ( )

Jadi koefisien suku dalam persamaan ( ) sama dengan ( )

c. Bila dijabarkan persamaan ( ) menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Sehingga suku dalam persamaan ( ) akan berupa

( ) ( )

Jadi koefisien suku dalam persamaan ( ) sama dengan ( )

Soal Nomor 6

Dengan menggunakan fungsi deskripsi ( ) ( ) dapat ditentukan tabel translasi seperti dibawah

Huruf Pesan Huruf

Translasi Huruf Pesan

Huruf Translasi

A 0 25 Z N 13 25 Z

B 1 1 A O 14 1 A

C 2 3 C P 15 3 C

D 3 5 F Q 16 5 F

E 4 7 H R 17 7 H

F 5 9 J S 18 9 J

G 6 11 L T 19 11 L

H 7 13 N U 20 13 N

I 8 15 P V 21 15 P

J 9 17 R W 22 17 R

K 10 19 T X 23 19 T

L 11 21 V Y 24 21 V

M 12 23 X Z 25 23 X

Dengan menggunakan tabel diatas dapat ditranslasikan pesan EKSUSMIEAPA menjadi HTJNJXPHZCZ

Soal Nomor 7

Suatu dadu octahedral memiliki 8 buah sisi. Setiap sisi diberi nomor dari 1 sampai dengan 8. Diketahui bahwa

dadu ini bersifat bias, dimana nomor mata dadu ganjil pada octahedron memiliki peluang muncul 2 kali

dibandingkan dengan nomor mata datu genap, tentukan:


259

a. Nilai harap (expectation value) dari nomor dadu yang muncul

Jawab :

P(odd) = 2. P(even)

Karena dadu memiliki 4 nomor ganjil dan 4 nomor genap dan jumlah peluang semuanya adalah 1, maka :

4. P(odd) + 4. P(even) = 1

4. [2. P(even)] + 4. P(even) = 12. P(even) = 1

Maka P(even) =

dan P(odd) =

Nilai harap adalah total penjumlahan dari tiap nilai yang dikali dengan peluang munculnya nilai tersebut

( ) ∑ ( ) ( )

( )

( )

Berarti jika kita melempar dadu tersebut berkali-kali lalu bilangan yang muncul dijumlahkan dan hasil keseluruhan

dibagi dengan banyaknya percobaan, kita bisa berharap memperoleh angka

.

b. Variansi dari nomor dadu yang muncul

( ) ∑[ ( ) ( )] ( )

Kita masukkan nilai harap yang telah didapat sebelumnya

( ) [(

)

] [(

)

] [(

)

] [(

)

]

[(

)

] [(

)

] [(

)

] [(

)

]

( )

Soal Nomor 8

a) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )

( )

Untuk menentukan ( ) ( ), kita misalkan ( )( )

( ) ( )

( )

( )

Sehingga

( ) ( ) ( )

( )


b) ( )( ) ( ( )) ( )

Untuk menentukan ( ) ( ), kita misalkan ( )( )

Sehingga

( ) ( )

c) Untuk X bilangan integer dan 0<X<25, tentukan himpunan solusi dari kongruensi 2(X+3) = 1 (mod 7).

Jawab :

2 (x+3) = 1

2x + 6 = 1

x = -2,5 (tidak integer)

2 (x+3) = 1+7

2x + 6 = 8

x = 1 (integer, memenuhi)

2 (x+3) = 1+2.7

2x + 6 = 15

x = 4,5 (tidak integer)

2 (x+3) = 1+3.7

2x + 6 = 22


2(x+3) = 1+4.7

2x+6=29


2 (x+3) = 1+5.7

2x + 6 = 36


2 (x+3) = 1+6.7

2x+6 = 43


2 (x+3) = 1+7.7

2x+6 = 50


Himpunan solusi : x = { 1, 8, 15, 22 }

Matematika Diskrit Solusi >> UAS - 2012/2013

261

UAS - 2012/2013

Soal Nomor 1

a. Lintasan dan sirkuit Hamilton : melewati semua vertex (titik) tepat sekali. Dari definisi tersebut, ada banyak

jawaban yang benar dari soal ini. Salah satunya adalah sebagai berikut.

b. Lintasan dan sirkuit Euler : melewati semua edge (garis) tepat sekali

Graph ini tidak memiliki sirkuit Euler

c. Solusi dari ‘travelling salesman problem’

Ada 2 kemungkinan sirkuit Hamilton, yaitu sirkuit Hamilton A dan sirkuit Hamilton B (gambar lihat diatas).

Sirkuit Hamilton A mempunyai panjang lintasan sepanjang 4+6+6+8+5+4+5+6+7+3+12=66, sedangkan sirkuit

Hamilton B mempunyai panjang lintasan sepanjang 3+12+4+8+5+6+2+6+5=60. Sehingga solusi dari travelling

salesman problem merupakan sirkuit Hamilton B

d. Lintasan terpendek dari a ke z

a n h d

p k

j

e f g z

Lintasan Hamilton

a n h d

p k

j

e f g z

Sirkuit Hamilton

a n h d

p k

j

e f g z

Sirkuit Hamilton B

4 8 5

4

5

6

2

2

6

5

3

12

Sirkuit Hamilton A

a n h d

p k

j

e f g z 4

6 8

6

5

4

5

6 7 3

12


Panjang lintasan= 3+5+6+5+4=23

e. Chromatic number : jumlah warna minimal sehingga tidak ada vertex bertetangga yang berwarna sama

Chromatic number dari graph ini = 3. Berikut penjabarannya.

f. Graph ini planar karena bisa digambar pada bidang datar

g. Incidence matrix dengan urutan baris e, f, g, z, j, k, p, a, n, h, d dan urutan kolom 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

12, 13, 14, 15 adalah :

[ ]

Penjelasan (lihat gambar dibawah): Nomer yang dilingkari merupakan nomer lintasan pada matriks insiden

a 3 n

5

j k p

z

6 5

4

2 3 1 3

1 2

1

1 2 1 2

3 1 2 1

2 1

2

2 1 2 1


263

h. Adjacency matrix dengan urutan baris dan kolom e, f, g, z, j, k, p, a, n, h, d adalah :

[ ]

i. Minimum spanning tree : tree yang menghubungkan semua vertex dengan total edge minimum

j. Bila sebuah graph bipartite, vertex-vertexnya bisa dibagi menjadi 2 himpunan dimana ada hubungan antar

vertex pada himpunan berbeda tapi tidak ada hubungan antar vertex pada himpunan yang sama

Graph ini tidak bipartite

a n h d

p k

j

e f g z 4 8 5

12

6 8 4

6 5

5 2 5

3 7 6

1 2 3

4

5 6 7

8 9

10 11 12

13 14 15

a n h d

p k

j

e f g z


Soal Nomor 2

a. Poset {{2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 15, 18, 24, 36, 45, 60}, |}

Diagram Hasse :

b. Elemen maksimal : 24, 36, 45, 60

c. Elemen minimal : 2, 3, 5

d. Greatest element : tidak ada

e. Least element : tidak ada

f. Upper bounds dari {3, 5} : 15, 45, 60

g. LUB {3, 5} : 15

h. Lower bounds dari {15, 45} : 3, 5, 15

i. GLB {15, 45} : 15

j. Poset Lattice : poset dimana setiap pasang elemen punya LUB dan GLB

Poset ini tidak Lattice, karena ada pasangan elemen tidak punya LUB dan GLB. Contohnya saja {2, 3} tidak

memiliki upper bound

2

4

8

24

3

9

18

36

5

10

15

45

60


265

Soal Nomor 3

Bagian a :

Dari matriks relasi :

ke

[1] [2] [3] [4]

d

a

r

i

[1] 1 0 1 1

[2] 1 1 1 0

[3] 0 0 0 1

[4] 0 1 0 0

Maka representasi R dalam bentuk graph adalah :

Bagian b :

[

]

[ ] [

] [

] [

].

[ ] [

] [

] [

]

[ ] [

] [

] [

]

Transitive closure dari R adalah [ ]

[ ]

Karena [ ] semuanya sudah bernilai 1, maka matriks gabungannya juga semuanya bernilai 1

1 2

3 4


Jadi transitive closure dari R adalah : {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2, 1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1),

(4,2), (4,3), (4,4)}

Bagian c :

Syarat suatu relasi termasuk kelas setara adalah relasi tersebut simetrik, transitif, dan reflektif

Relasi R tidak simetrik, misalnya saja ada pasangan (1, 3) tapi tidak ada pasangan (3, 1)

Relasi R tidak reflektif, tidak ada pasangan (3, 3) dan (4, 4)

Relasi R tidak transitif, ada pasangan (2, 1) dan (1, 4) tetapi tidak ada pasangan (2, 4)

Jadi relasi R tidak termasuk kelas setara

Soal Nomor 4

Gunakan metode Backtracking untuk menyelesaikan masalah n-queen dengan n = 7

Jawab :

Tempatkan queen dengan nomor urut seperti pada gambar :

1

Lanjutkan untuk nomor 2, 3, 4, dan 5

1

2

3

4

5


267

Ternyata gagal, maka kembali ke langkah 3, letakkan nomor 4 di tempat yang berbeda, dan lakukan lagi langkah-

langkah di atas

1

2

3

4

5

6

7

Tidak ada queen yang bisa saling memakan pada ketujuh posisi, maka gambar di atas adalah jawabannya

Soal Nomor 5

Bila elemen A seri dengan elemen B, probabilitas total keberhasilan sirkuit adalah : P(A). P(B)

Bila eleman A paralel dengan elemen B, probabilitas total keberhasilan sirkuit adalah : 1- [P(A’).P(B’)]

Ada 4 kemungkinan jalur :

- 0,7. 0,7 = 0,49

- 0,7. 0,5. 0,8 = 0,28

- 0,8. 0,8. 0,5. 0,7 = 0,224

- 0,8. 0,8. 0,8 = 0,512

Keempat jalur ini paralel satu dengan yang lainnya. Maka probabilitas keberhasilan sistem adalah :

1 - [(1-0,49). (1-0,28). (1-0,224). (1-0,512)] = 1 – [0,51. 0,72. 0,776. 0,448] = 0,87

Soal Nomor 6

Bagian a :

Dari string “mencontekadalahtermasukdalamperbuatankriminal” pertama daftar huruf apa saja yang ada dan

berapa jumlahnya

a : 9 h : 1 m : 4 r : 3

b : 1 i : 2 n : 4 s : 1

c : 1 k : 3 o : 1 t : 3

d : 2 l : 3 p : 1 u : 2

e : 4

Setelah itu, urutkan dari frekuensi terjarang hingga frekuensi tersering. Dimulai dari frekuensi terjarang, pasang-

pasangkan dan gabungkan menjadi ‘binary tree’ dan usahakan agar kaki kiri dan kanan dari semua binary tree

tersebut memiliki jumlah yang relatif seimbang.


Beri kode ‘0’ pada setiap kaki kiri dan kode ‘1’ pada setiap kaki kanan. Karena binary tree pada solusi ini dibuat

dari atas ke bawah, maka kode ‘0’ pada kaki atas dan kode ‘1’ pada kaki bawah.

Bagian b :

Ada 17 jenis huruf pada string ini, sehingga dengan fixed-length code dibutuhkan minimal 5 bit untuk

merepresentasikan setiap hurufnya (5 bit -> 25 : cukup untuk menampung hingga 32 karakter)

Maka jumlah total bit yang dibutuhkan untuk fixed-length code adalah : 5 bit/huruf x 45 huruf = 225 bit

Untuk variable-length code, ini adalah representasi bit tiap karakter dengan panjang bit bervariasi

a : 11 [2] h : 000010 [6] m : 100 [3] r : 0001 [4]

b : 000000 [6] i : 01000 [5] n : 101 [3] s : 001001 [6]

c : 000001 [6] k : 0101 [4] o : 000011 [6] t : 0110 [4]

d : 00101 [5] l : 0011 [4] p : 001000 [6] u : 01001 [5]

e : 0111 [4]

Maka jumlah total bit yang dibutuhkan untuk variable-length code adalah :

∑

= 2.9+6.1+6.1+5.2+4.4+6.1+5.2+4.3+4.3+3.4+3.4+6.1+6.1+4.3+6.1+4.3+5.2 = 172

bit

Kesimpulan : pada soal ini, bit yang dibutuhkan untuk merepresentasikan string dengan variable-length code lebih

sedikit dibandingkan dengan bit yang dibutuhkan untuk merepresentasikan string dengan fixed-length code.

45

28

14

7 4

2 1 [b]

1 [c]

2 1 [h]

1 [o] 3 [r]

7 4

2 1 [p]

1 [s] 2 [d]

3 [l]

14

7 4

2 [i]

2 [u] 3 [k]

7 3 [t]

4 [e]

17 8

4 [m]

4 [n] 9 [a]


269

Soal Nomor 7

Jawab :

Ya, kedua graph isomorphic. Bila kita petakan :

- 1 ke a

- 2 ke c

- 3 ke e

- 4 ke b

- 5 ke d

Tetangga 1 adalah 2 dan 5. Demikian juga dengan pasangannya, tetangga a (pasangan 1) adalah c (pasangan 2)

dan d (pasangan 5). Hal ini berlaku untuk kelima node pada pasangan graph. Dengan demikian, dapat disimpulkan

bahwa kedua graph isomorfis.

Documents

Bundel Soal Elektroteknik - labdasar.ee.itb.ac.idlabdasar.ee.itb.ac.id/lab/EL2142 - Sistem Digital dan Mikroprosesor... · Soal 4 Tinjau empat buah graf G1, G2, G3, dan G4 berikut