c 12- Ch ng I Lê Tấn Phong Ch ng 1 KHỐI ĐA DIỆN · PDF file2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường a) Định lí hàm số cosin 22 2 b) Định lí hàm số

Hình học 12- Chương I Lê Tấn Phong

Chương I – Khối đa diện - 1 -

KHÔI ĐA DIÊN1 Chương

ÔN TẬP

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABCD vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

A

C B

R

2sin sin sin

a b cR

A B C= = =

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

b c

a

HÌNH HỌC PHẲNG

A

B C

b c

a

p – nửa chu vi

1 1 1. . .

2 2 2ABC a b cS a h b h c hD = = =

1 1 1sin sin sin

2 2 2ABCS ab C bc A ac BD = = =

( )( )( ) ,2ABC

a b cS p p a p b p c pD

æ ö+ + ÷ç= - - - = ÷ç ÷çè ø

A

B C

b c

a

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

2 cos cos2

2 cos cos2

2 cos cos2

b c aa b c bc A A

bca c b

b a c ac B Bac

a b cc a b ab C C

ab

+ -* = + - =

+ -* = + - =

+ -* = + - =

A

B C H M

( ) 2 2 2BC AB AC Pitago= +

. .AH BC ABAC= 2 2. , .AB BH BC AC CHCB= =

22 2 2

1 1 1, .AH HBHC

AH AB AC= + =

2

BCAM =

Lê Tấn Phong Hình học 12- Chương I

- 2 - Chương I – Khối đa diện

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông.

b/ Diện tích tam giác đều

Diện tích tam giác đều:

( )ñeàu

caïnh .S

D=

23

4

Chiều cao tam giác đều: ñeàu caïnhh = ´3

2

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.

Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 . Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

d/ Diện tích hình thang

Diện tích hình thang:

SHình Thang 1

2= .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tích hai đường chéo. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện

tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác.

A C

B

1.

2ABCS AB ACD =

A

B

C

ah

2 3

4

3

2

ABC

aS

ah

D

ìïï =ïïï íïï =ïïïî

A B

C D

a O

2

2

HVS a

AC BD a

ì =ïïï íï = =ïïî

A

B H C

D

( ).2

AD BC AHS

+ =

A

B

D

C .

1.

2H ThoiS AC BD =



1/ Chứng minh đường thẳng ( )d mp a^

Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong ( )mp a .

Chứng minh: ( ) // '

'

d d

d mp a

ìïïï íï ^ïïî( )d mp a^

Chứng minh: ( )

( ) ( ) //

d mp

mp mp

b

b a

ìï ^ïï íïïïî( )d mp a^

Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc

với mặt phẳng thứ 3:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )P

P d P

d

a

b

a b

ìï ^ïïïï ^ ^íïïï Ç =ïïî

Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến, cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

2/ Chứng minh đường thẳng 'd d^

Chứng minh ( )d a^ và ( ) 'da É .

Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

Chứng tỏ góc giữa d và 'd bằng 090 . Sử dụng hình học phẳng.

3/ Chứng minh ( ) ( )mp mpa b^

Chứng minh( )

( ) ( ) ( )d

mp mpd

aa b

b

ìï Éïï ^íï ^ïïî (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với

mp kia)

Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 090 . 1/ Góc giữa hai đường thẳng Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó:

//

//

'( , ) ( ', ')

'

a aa b a b

b bf

ìïï = =íïïî

2/ Góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng ( )mp a

Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

( ) , ( , ')d d da fé ù = =ê úê úë û

(với 'd là hình chiếu vuông góc của d lên ( )mp a ).

3/ Góc giữa hai mặt phẳng: ( )mp a và ( )mp b

Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u , 2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

a

b

'a

'b

d

'd

a b

u



2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

( )( ) ( ); ( , )a ba b f= =

4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

( ),d M MHD =

5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia. 6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến ( )mp a

chứa 'd và song song với d .

Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( ),a b

lần lượt chứa d và 'd .

M d

'd

M

M

D H

M d

'd



1/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét: Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc

bằng nhau. Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2/ Hai hình chóp đều thường gặp

a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC . Khi đó: ĐáyABC là tam giác đều. Các mặt bên là các tam giác cân tạiS . Chiều cao: SO .

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO SBO SCO= = .

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .

Tính chất: 2 1 3

, ,3 3 2

ABAO AH OH AH AH= = = .

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. + Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều .S ABCD . ĐáyABCD là hình vuông. Các mặt bên là các tam giác cân tạiS . Chiều cao: SO .

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO SBO SCO SDO= = = .

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .

1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp .S ABC có cạnh bên

( )SA ABC^ thì chiều cao làSA .

2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp .S ABCD có mặt bên( )SAB

vuông góc với mặt đáy( )ABCD thì

chiều cao của hình chóp là chiều cao của SABD .

HÌNH CHÓP ĐỀU

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP

A

B C

D

S

O H

S

A

B

C

HO



A

B

3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp .S ABCD có hai mặt bên

( )SAB và( )SAD cùng vuông góc với

mặt đáy( )ABCD thì chiều cao là SA .

4/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy.

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCD thì có đường cao làSO .

1/ Thể tích khối chóp: 1.

3V B h=

:B Diện tích mặt đáy.

:h Chiều cao của khối chóp.

2/ Thể tích khối lăng trụ: .V B h=

:B Diện tích mặt đáy. :h Chiều cao của khối chóp. Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

cạnh bên.

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: . .V ab c=

Thể tích khối lập phương: 3V a=

4/ Tỉ số thể tích: . ' ' '

.

' ' '. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC=

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC

( )' '3

hV B B BB= + +

Với , ',B B h là diện tích hai đáy và chiều cao.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

C

D

S

O

C A

B

B’

A’ C’

A

B

C

A’

B’

C’

a

b

c

a

a a

S

A’ B’

C’

A B

C



4 phương pháp thường dùng tính thể tích

Tính diện tích bằng công thức. + Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,…. + Sử dụng công thức tính thể tích.

Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.

Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.

Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp .S ABC .

* Ta có: ( ) .

1. . 13S ABC ABC

V S SAD=

* Trong đó: ( ) 2SA a=

* Tìm ABC

SD?

Trong ABCD vuông tạiB , ta có:

00

0 0

.sin 30sin 3023cos 30 .cos 302

aBC BC ACACAB a

AB ACAC

ìì ïï ïï = == ïï ïïï ïí íï ïï ï= = =ï ïï ïïî ïî

( ) 21 1 3 3

. . . 32 2 2 2 8ABC

a a aS AB BCD = = =

* Thay( ) ( )2 , 3 vào( )2 3

.

1 3 31 .

3 8 24S ABC

a aV a = ⋅ = (đvtt) ( )4

Tính khoảng cách từAđến ( )mp SBC .

* Ta có: ( ) ( ) ( ) ..

3.1, . , 5

3S ABC

S ABC SBCSBC

VV d A SBC S d A SBC

SDD

é ù é ù= =ê ú ê úë û ë û

* Tìm SBCD ?

Ta có: ( )BC AB

BC mp SAB BC SB SBCBC SA

ìï ^ï ^ ^ Díï ^ïîvuông tạiB .

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT VÀI THÍ DỤ

Thí dụ 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại 0, 30 ,B BAC SA AC a= = = và SAvuông

góc với ( )mp ABC .Tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từA đến ( )mp SBC .

S

A C

B

300 a

Dạng 1. Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công thức

Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích. Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…). Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…

Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết. Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác.



2 2

2 2 2 2 2 21 1 1 3 3. . . . .2 2 2 2 2SBC

a aS BC BS AC AB SA AB a aD

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç = = - + = - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( ) 21 7 7

62 2 2 8

a a a= ⋅ ⋅ = .

* Thế( ) ( )4 , 6 vào( )5 ( )3

2

3 8 21, 3

24 77

a ad A SBC

aé ù = ⋅ ⋅ =ê úë û .

Bài giải tham khảo

Ta có:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

SAB ABCD

SAD ABCD SA ABCD

SAB SAD SA

ìï ^ïïï ^ ^íïï Ç =ïïî

.

Hình chiếu củaSC lên ( )mp ABCD làAC .

( ) 0, 60SC ABCD SCAé ù = =ê úê úë û

.

Mà: ( ) .

1. 1

3S ABCD ACBDV SAS= .

Tìm ?SA Trong SACD vuông tạiA :

tan .tanSA

SCA SA AC SCAAC

= = ( ) 2 2 0 2 2.tan60 (2 ) . 3 15 2AB BC a a a= + = + = .

Ta lại có: ( )2. .2 2 3ABCDS AB BC a a a= = = .

Thay( ) ( )2 , 3 vào( )3

21 2 151 15 2

3 3ABCD

aV a a = ⋅ ⋅ = (đvtt).


a/ CM: ( )SI mp ABC^

Do SABD vuông cân tại cóSI là trung tuyến SI cũng đồng thời là đường cao SI AB ^ .

Ta có: ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

SAB ABC

AB SAB ABC SI mp ABC

AB SI SAB

ìï ^ïïï = Ç ^íïï ^ Ìïïî

(đpcm)

b/ Tính thể tích khối chóp .S ABC GọiK là trung điểm của đoạnAC .

Thí dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật có , 2AB a BC a= = . Hai ( )mp SAB và

( )mp SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnhSC hợp với đáy một góc 060 . Tính thể tích khối

chóp .S ABCD theoa .

S

A D

B C

600

Thí dụ 3. Hình chóp .S ABC có 2BC a= , đáyABC là tam giác vuông tại ,C SAB là tam giác vuông cân

tạiS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. GọiI là trung điểm cạnhAB .

a/ Chứng minh rằng, đường thẳng ( )SI mp ABC^ .

b/ Biết ( )mp SAC hợp với ( )mp ABC một góc 060 . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

S

A B

C

I

K

600

2a



SK vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong SAC SK ACD ^ . Trong ABCD vuông tạiC có KI là đường trung bình.

//KI BCKI AC

BC AC

ìïï ^íï ^ïî.

Mặt khác: ( ) ( ) 0

( ) ( ) { }

( ) ; 60

( )

mp ABC mp SAC AC

KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI

SK AC mp SAC

ìï ^ =ïï é ùï ^ Ì = =í ê úï ê úë ûï ^ Ìïïî

.

Mà: ( ) .

1. 1

3S ABC ABCV S SID=

Tìm ?SI Trong SKID vuông tạiI , ta có:

( )01tan .tan . . tan60 3 2

2

SISKI SI IK SKI BC a

IK= = = = .

TìmABC

SD ?

( )22 2 21 1 1. . . . . . 22 2 2ABC

S BC AC BC AB BC BC SI BCD = = - = -

( ) ( ) ( ) 2 2 21

.2 . 2 3 2 2 2 32a a a a= - = .

Thế( ) ( )2 , 3 vào( )3

2

.

1 2 61 .2 2. 3

3 3S ABC

aV a a = = (đvtt).


Tính thể tích khối chóp .S ABCD

GọiO là tâm của mặt đáy thì ( )SO mp ABCD^

nênSO là đường cao của hình chóp và gọiM là trung điểm đoạnCD .

Ta có: 0

( )

( ) 60

( ) ( )

CD SM SCD

CD OM ABCD SMO

CD SCD ABCD

ìï ^ Ìïïï ^ Ì =íïï = Çïïî

(góc giữa mặt( )SCD và mặt đáy)

Ta có: ( ) .

1. 1

3S ABCD ABCDV S SO=

Tìm ?SO

Trong SMOD vuông tạiO , ta có: tanSO

SMOOM

=

( ) 0. tan .tan60 3 22

BCSO OM SMO a = = = .

Mặt khác: ( ) ( ) 22 22 4 3

ABCDS BC a a= = = .

Thế( ) ( )2 , 3 vào( )3

21 4 31 .4 . 3

3 3ABCD

aV a a = = (đvtt).

.

Thí dụ 4. Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh đáy2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 060 . Tính thể tích của hình chóp .S ABCD .

S

A

B C

D

O

2a

M 600

Thí dụ 5. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh bằnga . Hình chiếu vuông góc của

'A xuống ( )mp ABC là trung điểm củaAB . Mặt bên( )' 'AA C C tạo với đáy một góc bằng 45 .

Tính thể tích của khối lăng trụ này.



Bài giải tham khảo Gọi , ,H M I lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng , ,AB AC AM .

( ) . ' ' '

. . ' 1ABC A B C ABCV B h S A H

D= =

Do ABCD đều nên: ( )2 2. 3 3

24 4ABC

BC aSD = = .

Tìm 'A H ? DoIH là đường trung bình trong đều AMBD , đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường cao.

Do đó: // IH MB

IH ACMB AC

ìïï ^íï ^ïî và

( )'

' 'AC A H

AC A HI AC A IAC IH

ìï ^ï ^ ^íï ^ïî

Mà: ( ) ( ) 0

( ) ( ' ') { }

( ) ' ' ; ' 60

' ( ' ')

ABC ACC A AC

AC IH ABC ACC A ABC A IH

AC A I ACC A

ìï Ç =ïï é ùï ^ Ì = =í ê úï ê úë ûï ^ Ìïïî

.

Trong 'A HID vuông tạiH , ta có:

( )o0 ' 1 3tan45 ' .tan45 3

2 4

A H aA H IH IH MB

HI= = = = = .

Thay( ) ( )2 , 3 vào( )2 3

. ' ' '

3 3 31 .

4 4 16ABC A B C

a a aV = = .


Do BC AB

BC A BBC AA

ìï ^ï ¢ ^í ¢ï ^ïî.

Và ( )

( ) '

( ) ( ' )

BC AB ABC

BC AB A BC ABA

BC ABC A BC

ìï ^ Ìïïï ¢^ Ì íïï = Çïïî

là góc giữa( )ABC và( )ABC .

Ta có: 22.1 2. 3

. 2 32

A BCA BC

S aS A B BC A B a

BC a¢D

¢D¢ ¢= = = = .

0

0

.cos 2 3.cos 30 3

.sin 2 3.sin 30 3

AB A B ABA a a

AA A B ABA a a

¢ ¢= = =

¢ ¢ ¢= = =

Vậy: 3

. ' ' '

1 1 3 3. . . . . .3 . . 3

2 2 2ABC A B C ABC

aV B h S AA AB BC AA a a a¢ ¢= = = = = (đvtt).

A’ B’

C’

A B

C

M I

H

a

Thí dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tại ,B BC a= , ( )'mp A BC

tạo với đáy một góc 030 và 'A BCD có diện tích bằng 2 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.

B

A’ C’

B’

A C 30o

a




Ta có: ( )AB AC

AB ACC AAB AA

ìï ^ï ¢ ¢ ^í ¢ï ^ïî. Do đóAC ¢ là hình chiếu

vuông góc của BC ¢ lên ( )ACC A¢ ¢ .

Từ đó, góc giữaBC ¢và ( )ACC A¢ ¢ là

030BC A¢ = .

Trong tam giác vuôngABC : 0. tan 60 3AB AC a= = .

Trong tam giác vuông 'ABC : 0.cot30 3. 3 3AC AB a a¢ = = = . Trong tam giác vuông 'ACC :

2 2 2 2' ' (3 ) 2 2CC AC AC a a a= - = - = .

Vậy, thể tích lăng trụ là: 31 1. . . ' . 3. .2 2 6

2 2V B h AB ACCC a a a a= = = = (đvdt).

Bài giải tham khảo Cách giải 1.

Ta có: ( )BC AB

BC SBA BC SBBC SA

ìï ^ï ^ ^íï ^ïî.

( ) ( )( )( )

( ) ( ) 0; 30

SBC ABC BC

BC SB SBC SBC ABC SBA

BC AB ABC

ìï Ç =ïï é ùïï ^ Ì = =í ê úï ê úë ûïï ^ Ìïïî

.

Kẻ // MN BC . Do ( )BC SBA^ nên ( )MN SBA^ và lúc đó,

MN là đường trung bình SBCD ( ) 12 2

BC aMN = =

Lúc đó: ( ) . .

1. . 23S ABM M SAB SAB

V V S MND= = .

Tìm: SAB

SD

?

Trong SABD vuông tạiA , ta có: 0 0 3tan 30 .tan 30

3

SA aSA AB

AB= = = .

( )21 1 3 3

. . . . 32 2 3 6SAB

a aS SAAB aD = = =

Thế( ) ( )1 ; 3 vào( )2 3

. .

1 3 32 . .

3 6 2 36S ABM M SAB

a a aV V = = = (đvtt).

Cách giải 2.

Thí dụ 7. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tại 0, , 60A AC a ACB= = .

Đường chéo 'BC của mặt bên ( )' 'BC C C tạo với mặt phẳng ( )' 'mp AA C C một góc 030 . Tính thể

tích của khối lăng trụ theo a .

B’

A C

B’

A’ C’

a 600

30o

Thí dụ 8.

Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại ( ), ,B AB a SA ABC= ^ , góc giữa

( )mp SBC và ( )mp ABC bằng 030 . GọiM là trung điểm của cạnhSC . Tính thể tích khối chóp

.S ABM theo a .

B

A

S

M

C

30o

N



3

.

1 1 1 3 3. . . . .3 3 2 3 18S ABC ABC

a aV S SA a aD= = = (đvtt).

3

. ..

.

2 3. . 2

2 36S ABC S ABC

S ABMS ABM

V VSA SB SC SM aV

V SA SB SM SM= = = = = (đvtt).


Ta có: ( ) ( ) { }

( ) ( )SBC ABC BC

AB SBCBC AB ABC

ìï ^ =ïï ^íï ^ Ìïïî.

Thể tích khối chóp .S ABC : . .

1. .3S ABC A SBC SBC

V V S ABD= = .

0 21 1. . .sin .4 .2 3.sin 30 2 32 2SBC

S BC BS SBC a a aD = = =

( ) 2 3. .

1.2 3.3 2 3 13S ABC A SBC

V V a a a = = = (đvtt).

Tìm khoảng cách từB đến ( )mp SAC ?

Ta có: ( ). .

1. . ;3S ABC B SAC SAC

V V S d B SACDé ù= = ê úë û

( ) ( ) .3.

; 2S ABC

SAC

Vd B SAC

SD

é ù =ê úë û .

Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 29 12 21AB SBC AB SB SA AB SB a a a^ ^ = + = + = .

Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trong SBCD : 2 2 2 2. . .cosSC BC BS BC BS SBC= + -

2 2 2 2316 12 2.4 .2 3. 4

2SC a a a a a = + - = .

Trong ABCD vuông tạiB : 2 2 2 2 2 29 16 25AC AB BC a a a= + = + = .

Nhận thấy: 2 2 2 2 2 221 4 25SA SC a a a AC SAC+ = + = = D vuông tạiS .

Do đó, diện tích tam giácSAC là: ( ) 21 1. . .2 . 21 21 32 2SAC

S SC SA a a aD = = = .

Thay( ) ( )1 , 3 vào( ) ( )3

2

3.2 3 6 72 ;

721

a ad B SAC

aé ù = =ê úë û .

Thí dụ 9.

Hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tại , 3 , 4B BA a BC a= = ,( ) ( )SBC ABC^ .

Biết 02 3, 30SB a SBC= = . Tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từB đến ( )mp SAC

S

C

B

A

3a 4a

2 3a

030




Gọi ,M N là trung điểm của ,AB AC . Khi đó,G là trọng tâm của ABCD .

Do hình chiếu điểm 'B lên ( )mp ABC làG nên ( )'B G ABC^

( ) 0; ' 60BB ABC B BGé ù = =ê úê úë û

.

Ta có: ( ) '

1 1. . ' . . . ' 13 6A ABC ABC

V S B G AC BC B GD= = .

Tìm 'B G ?

Trong 'B BGD vuông tạiG và có 0' 60B BG = nên nó là nữa tam giác đều cạnh là 'BB a=

( ) 3; ' 22 2

aaBG B G = = .

Tìm ,AB BC ?

Đặt 2AB x= . Trong ABCD vuông tạiC có 060BAC = nên nó cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC .

, 32

ABAC x BC x = = =

DoG là trọng tâm ABCD3 3

2 4

aBN BG = = .

Trong BNCD vuông tạiC : 2 2 2BN NC BC= +

( )2 2 2

2 2

3

9 9 3 2 133 316 4 52 3 32 13

2 13

aAC

a x a ax x x

aBC

ìïï =ïïïï = + = = íïï =ïïïïî

Thế( ) ( )2 , 3 vào( )3

'

1 3 3 3 3 91 . . .

6 2 1082 13 2 13A ABC

a a a aV = = (đvtt)

Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp khó khăn vì

hai lí do: + Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao. + Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.

Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau: + Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ)

mà các khối này dễ tính hơn.

Thí dụ 13.

Cho lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có 'BB a= , góc giữa đường thẳng 'BB và ( )mp ABC bằng

060 , tam giácABC vuông tạiC và góc 060BAC = . Hình chiếu vuông góc của điểm 'B lên

( )mp ABC trùng với trọng tâm của ABCD . Tính thể tích của khối tứ diện 'A ABC theo a .

A’

B’

C’

A

B

C

G

N

M

600

B

A CN

M

G

Dạng 2. Tính thể tích khối đa diện bằng cách lắp ghép khối hoặc so sánh khối (tỉ số)



+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích. Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:

Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó:

. ' ' '

.

' ' '. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC= .


Ta có: ( )DC AD

DC SAD DC SDDC SA

ìï ^ï ^ ^íï ^ïî.

( ) ( )( )( )

( ) ( ) 0, 60

SCD ABCD DC

DC SD SCD SCD ABCD SDA

DC AD ABCD

ìï Ç =ïï é ùïï ^ Ì = =ê úíï ê úë ûïï ^ Ìïïî

Mặt khác: .

1.

3S ADC ADCV S SAD= và

21.

2 2ADC

aS AD DCD = = .

Dạng toán 3. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách

Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng

cách này dựa vào công thức hiển nhiên: 3V

hB

= , ở đây , ,V B h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và

chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc V

hS

= đối với hình lăng trụ).

Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.

Lược đồ thực hành: Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây:

o Nếu ( ) // AB mp P trong đó ( )mp P chứaCD thì ( ) ( ), ,d AB CD d AB Pé ù= ê úë û .

o Nếu ( ) ( ) // mp P mp Q trong đó ( ) ( ),mp P mp Q lần lượt chứaAB vàCD thì:

( ) ( ) ( ), ,d AB CD d mp P mp Qé ù= ê úë û .

o Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp (hoặc một khối lăng trụ) nào đó.

Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnhS của một hình chóp (hoặc một lăng trụ). Ta tìm thể tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh S này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp ấy có đỉnh 'S S¹ . Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnhS . Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từS cần tìm.

Thí dụ 19. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha , ( )SA ABCD^ và mặt bên( )SCD

hợp với mặt phẳng đáyABCDmột góc 060 . Tính khoảng cách từ điểmA đến ( )mp SCD .

S

A D

B C

600



0 0tan60 .tan60 3SA

SA AD aAD

= = =3

.

3

6S ADC

aV = .

Vì vậy ( ) ( ) .. .

31. , ,

3S ADC

S ADC A SDC SDCSDC

VV V S d A SDC d A SDC

SDD

é ù é ù= = =ê ú ê úë û ë û .

( ) . .

2 2

6 6 3,

. 2.

S ADC S ADCV V a

d A SDCDC SD DC SA AD

é ù = = =ê úë û +.


Ta có: 2 2 2 2 2 23 4 5AB AC BC ABC+ = + = = D vuông tạiA .

( )21 1. .3.4 6

2 2ABCS AB AC cmD = = = .

( )31 1. .6.4 8

3 3ABCD ABCV S DA cmD = = = .

Mặt khác: ( )2 2 2 23 4 5BD AB AD cm= + = + =

( )2 2 2 24 4 4 2DC AC AD cm= + = + =

Nên ( )( )( )DBCS p p BC p DC p BDD = - - -

Với 5 5 4 2

5 2 22 2

BC DC DBp

+ + + += = = + nửa chu vi DBCD

( )( )( )( ) ( )25 2 2 5 2 2 5 5 2 2 4 2 5 2 2 5 2 34DBC

S cmD = + + - + - + - = .

Do đó, ( ) ( ) ( ).

31 6 34. , ,

3 17ABCD

ABCD A BCD DBCDBC

VV V S d A DBC d A DBC cm

SDD

é ù é ù= = = =ê ú ê úë û ë û .


GọiM là trung điểm của cạnhBC . Ta có ABCD vuông cân tạiA nên:

( )

BC AM

BC SM do SAB SAC SBC cân

ìï ^ïïíï ^ D = D Dïïî

Ta có:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )SAB SAC SA

SAB ABC SA ABC

SAC ABC

ìï Ç =ïïïï ^ ^íïïï ^ïïî

.

Thí dụ 20.

Cho tứ diệnABCD có cạnhAD vuông góc với ( )mp ABC , ( ) ( )4 , 3AC AD cm AB cm= = = ,

( )5BC cm= . Tính khoảng cách từA đến ( )mp BCD .

Thí dụ 21. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiA . Hai mặt phẳng( )SAB và( )SAC

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy( )ABC , cho 2BC a= , mặt bên( )SBC tạo với đáy( )ABC một

góc 060 . Tính khoảng cách từ điểmA đến mặt phẳng( )SBC .

D

A

C B

S

A

C B M

(doAM vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong ABCD cân)



Và

( ) ( )( )( )

( ) ( ) 0, 60

SBC ABC BC

BC AM ABC SBC ABC SMA

BC SM SBC

ìï Ç =ïïïï ^ Ì = =íïïï ^ Ìïïî

Ta có: 0 0 2 6. tan60 .tan60 . 3

2 2 2

BC a aSA AM= = = = .

Và: 2 21 1

. . .2 2 2 2ABC

BC aS AM BCD = = = ( )

2 3

.

1 1 6 6. . . .3 3 2 2 12S ABC ABC

a a aV S SA ÐvttD = = = .

Mặt khác: ( ) ( ) .. .

31. . , ,3

S ABCS ABC A SBC SBC

SBC

VV V S d A SBC d A SBC

SDD

é ù é ù= = =ê ú ê úë û ë û .

Mà: 2

2 2 2 21 1 1. . . .2 2 2 2SBC

BCS SM BC SA AM BC SA BC aD

æ ö÷ç ÷= = + = + =ç ÷ç ÷çè ø( ) 6,

4

ad A SBCé ù =ê úë û .

Hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy

Bài 1. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tại ( ),B SA mp ABC^ . Biết rằng:

,AB a= 2AC a= , góc giữa hai mặt phẳng( )SBC và( )ABC bằng 060 . Tính thể tích khối

chóp .S ABC theoa .

ĐS: 3

2aV = .

Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại ( ),B SA ABC^ . Cho 2AC a= ,

3SB a= . Tính thể tích của khối chóp .S ABC .

ĐS: 3 23

aV = .

Bài 3. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tại ( ),B SA ABC^ .

ChoAB a= , 3BC a= . CạnhSC tạo với ( )mp ABC một góc 060 . Tính thể tích của khối chóp

.S ABC . ĐS: 3V a= .

Bài 4. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác cân tại ( ),A SA ABC^ . Cho

2 , 3BC a SB a= = . Mặt phẳng( )SBC tạo với mặt phẳng( )ABC một góc 030 . Tính thể tích của

khối chóp .S ABC .

ĐS: 3 36

aV = .

Bài 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông, cạnh , ( )a SA ABCD^ , góc giữa SD và

( )mp SAB bằng 030 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách từ điểmC đến ( )mp SBD .

Bài 6. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh ( ),a SA ABCD^ , SC tạo

với ( )mp ABCD một góc 060 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách từ

điểmD đến ( )mp SBC .

THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP



ĐS: 3 42

7aV = .

Bài 7. ( ). 2010TNTHPT -

Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh , ( )a SA ABCD^ , góc giữa

( )mp SBD và ( )mp ABCD bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD theo a .

ĐS: 3

6aV = .

Bài 8. ( ). 2011TNTHPT - Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thang vuông

tạiAvàD với , 3AD CD a AB a= = = . Cạnh bên ( )SA mp ABCD^ và cạnh bênSC tạo với mặt

phẳng đáy một góc 045 . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD theo a .

ĐS: 32 69

aV = .

(TN-2013) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( )SAB một góc 030 . Tính thể tích của khối chóp

S ABCD. theo a . (TN-2012) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C¢ ¢ ¢. có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA BC a= = . Góc

giữa đường thẳng A B¢ với mặt phẳng ( )ABC bằng 060 . Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C¢ ¢ ¢. theo a .

Bài 9. ( ). 2009TNTHPT -

Cho hình chóp .S ABC có mặt bênSBC là tam giác đều cạnh ( ),a SA ABC^ . Biết 120oBAC = .

Tính thể tích khối chóp .S ABC theo a .

ĐS: 3 236

aV = .

Bài 10. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiB với ( ),AC a SA ABC= ^ vàSB hợp

với mặt phẳng chứa đáyABC một góc 060 . Tính thể tích của khối chóp.

ĐS: 3 6

24

aV = .

Bài 11. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha , ( )SA ABCD^ và mặt

bên( )SCD hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc 060 .

a/ Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

b/ Tính khoảng cách từ điểmAđến ( )mp SCD .

ĐS: ( )/ ; / 3 3 3

,3 2

a aa V b d A mp SCDé ù= =ê úë û .

Bài 12. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiB với ( ),BA BC a SA ABC= = ^

vàSB hợp với ( )mp SAB một góc 030 .

ĐS: 3 2

6

aV = .

Bài 13. Cho hình chóp .S ABC có ( ),SA ABC SA h^ = . Biết rằng ABCD đều và ( )mp SBC hợp với

mặt phẳng chứa đáyABC một góc 030 . Tính thể tích của khối chóp.



ĐS: 3 3

3

hV = .

Bài 14. Cho hình chóp .S ABC có đáy là ABCD vuông tạiAvà ( )SB ABC^ . BiếtSB a= ,SC hợp với

( )mp SAB một góc 030 và ( )mp SAC hợp với ( )mp SAB một góc 060 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2SC SB AB AC= + + . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

ĐS: 3 3

27

aV = .

Bài 15. Cho tứ diệnABCD có ( ) ( ) ( ) ( ), 4 , 3 , 5AD ABC AC AD cm AB cm BC cm^ = = = = . Tính

thể tích khối tứ diệnABCD và khoảng cách từ điểmAđến ( )mp BCD .

ĐS: ( ) ( ) ( )/ / 3 6 348 ; ,

17a V cm b d A mp BCD cmé ù= =ê úë û .

Bài 16. Cho hình chóp .S ABC có đáy là ABCD cân tại ( )0, 2 , 120 ,A BC a BAC SA ABC= = ^ . Biết

( )mp SBC hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 045 . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

ĐS: 3

9

aV = .

Bài 17. Cho khối chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông. Biết

rằng ( ),SA ABCD SC a^ = vàSC hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 060 . Tính thể tích của

khối chóp .S ABCD .

ĐS: 3 3

48

aV = .

Bài 18. Cho khối chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật. Biết rằng ( ),SA ABCD SC^ hợp với

mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc 045 và 3 , 4AB a BC a= = . Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

ĐS: 320V a= .

Bài 19. Cho khối chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thoi cạnha và góc nhọn A 060= . Biết rằng:

( )SA ABCD^ và khoảng cách từ điểmAđến cạnhSC bằnga . Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

ĐS: 3 2

4

aV = .

Bài 20. Cho khối chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thang vuông tạiAvàB . Biết rằng:

( ), 2 ,AB BC a AD a SA ABCD= = = ^ và ( )mp SCD hợp với ( )mp ABCD một góc 060 . Tính

thể tích của khối chóp .S ABCD .

ĐS: 3 6

2

aV = .

Bài 21. Cho khối chóp .S ABCD có đáyABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường

kính 2AB R= . Biết rằng ( )mp SBC hợp với ( )mp ABCD một góc 045 . Tính thể tích của khối

chóp đã cho.

ĐS: 33

4

RV = .



Bài 22. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thang, 90oBAD ABC= = ,AB BC a= = ,

AD a= , ( ), 2SA ABCD SA a^ = . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,SA SD . Chứng minh

rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp .S BCNM theo a .

ĐS: 3

3

aV = .

Bài 23. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABCD là tam giác vuông tạiB và ( )SA ABC^ với 060ACB = ,

, 3BC a SA a= = . GọiM là trung điểm của cạnhSB .

a/ Chứng minh rằng: ( ) ( )mp SAB mp SBC^ .

b/ Tính thể tích khối tứ diệnMABC .

ĐS: 3

4

aV = .

Bài 30. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha , cạnh bênSA a= , hình chiếu vuông

góc của đỉnhS lên ( )mp ABCD là điểmH thuộc đoạn ,4

ACAC AH = . GọiCM là đường cao của tam

giác SAC . Chứng minhM là trung điểm củaSAvà tính thể tích khối tứ diệnSMBC theoa .

ĐS: 3 14

48aV = .

Bài 33. Cho hình chóp tam giác .S ABC có đáyABC là tam giác đều

cạnh , 2a SA a= và ( )SA mp ABC^ . Gọi M vàN lần lượt là hình chiếu vuông góc củaA trên các

đường thẳngSB vàSC . Tính thể tích của khối chóp .ABCNM .

ĐS: 33 3

50

aV =

Bài 35. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha , ( )SA mp ABCD^ , góc tạo bởi

( )mp SCD và ( )mp SBC bằng 0120 . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai

đường thẳngSC vàAD .

Bài 36. Cho hình chữ nhậtABCD có 6 3 3AD AB= = . Lấy điểmM trên cạnhAB sao cho 2MB MA= và N là trung điểm củaAD . Trên đường thẳng vuông góc

với ( )mp ABCD tạiM lấy điểmS sao cho 2 6SM = . Chứng minh: ( ) ( )SBN SMC^ và tính góc

giữa đường thẳngSN và ( )mp SMC .

Hình chóp có một mặt vuông góc với đáy

Bài 37. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiA , cho , 3AB a AC a= = , mặt bênSBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp .S ABC .

Bài 38. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha . Mặt bên SAB là tam giác đều nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy( )ABCD .

a/ Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp đã cho trùng với trung điểm của cạnhBC . b/ Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

ĐS: 3 3

6

aV = .



Bài 39. Cho tứ diệnABCD có ABCD là tam giác đều, BCDD là tam giác vuông cân tạiD . Mặt

phẳng( )ABC vuông góc với mặt phẳng ( )mp BCD vàAD hợp với ( )mp BCD một góc 060 . Tính

thể tích của khối tứ diện ABCD biếtAD a= .

ĐS: 3 3

9

aV = .

Bài 40. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiB , cóBC a= . Mặt bên( )SAC vuông

góc với mặt phẳng đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 045 . Tính thể tích khối chóp đã cho.

ĐS: 3

12

aV = .

Bài 41. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác đều cạnha , SBCD cân tạiS và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với ( )mp ABC . Tính thể tích của khối chóp .S ABC .

ĐS: 3 3

24

aV = .

Bài 42. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiAvớiAB AC a= = . Biết rằng:

SABD cân tại đỉnhS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( )mp ABC và ( )mp SAC hợp

với ( )mp ABC một góc 045 . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

ĐS: 3

12

aV = .

Bài 43. Cho hình chóp .S ABC có 0 090 , 30 ,BAC ABC SBC= = D là tam giác đều cạnha và

( ) ( )mp SAB mp ABC^ . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

ĐS: 2 2

24

aV = .

Bài 44. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác đều, SBCD có đường caoSH h= và ( )mp SBC

vuông góc với ( )mp ABC . Biết rằngSB hợp với ( )mp ABC một góc 030 .

Tính thể tích của khối chóp .S ABC

ĐS: 34 3

9

hV = .

Bài 45. Cho tứ diệnABCD có ABCD và BCDD là những tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. ChoAD a= , tính thể tích của khối tứ diện này.

ĐS: 3 6

36

aV = .

Bài 46. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông. Mặt bênSAB là tam giác đều có đường cao

SH h= và đường cao này nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( )mp ABCD . Tính thể tích khối

chóp.

ĐS: 34

9

hV = .

Bài 47. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật. Mặt bênSAB là tam giác đều cạnh

làa và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( )mp ABCD . Biết ( )mp SAC hợp với ( )mp ABCD một

góc bằng 030 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD đã cho.

ĐS: 3 3

4

aV = .



Bài 48. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật

với ( ) ( )2 , 4 ,AB a BC a SAB ABCD= = ^ . Hai ( )mp SBC và ( )mp SAD cùng hợp

với ( )mp ABCD một góc bằng 030 . Tính thể tích khối chóp.

ĐS: 38 3

9

aV = .

Bài 49. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thoi với 2 2AC BD a= = và SADD vuông cân tại

đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( )mp ABCD . Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

ĐS: 3 15

12

aV = .

Bài 50. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thang vuông tạiAvà , , 2D AB CD a AB a= = = .

Biết rằng SABD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( )mp ABCD . Tính thể tích khối

chóp .S ABCD .

ĐS: 3 3

2

aV = .

Bài 51. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha , ( ) ( )mp SAB mp ABCD^ ,

SA SB= , góc giữa đường thẳngSC và mặt phẳng đáy bằng 045 . Tính theoa thể tích của khối chóp .S ABCD .

ĐS: 3 5

6

aV = .

Bài 52. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh 2 , , 3a SA a SB a= = và

( ) ( )mp SAB mp ABCD^ . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,AB BC . Tính theoa thể

tích của khối chóp .S BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng ,SM DN .

ĐS: 3 3 5, cos

3 5

aV j= = .

Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy Bài 53. Cho hình chóp .S ABC cóSB SC BC CA a= = = = . Hai ( )mp ABC và ( )mp SAC cùng vuông

góc với ( )mp SBC . Tính thể tích của hình chóp .S ABC . ĐS: 3 3

12

aV =

Bài 54. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiA . Hai mặt

phẳng( )SAB và( )SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy( )ABC , cho 2BC a= , mặt

bên( )SBC tạo với đáy( )ABC một góc 060 . Tính thể tích của khối chóp .S ABC .

Bài 55. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha , hai mặt bên( )SAB và( )SAD cùng

vuông góc với( )ABCD . Cho 3SB a= . GọiM là trung điểm củaCD . Tính thể tích của khối chóp

.S ABCM .

Bài 56. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật, các mặt bên( )SAB và( )SAD cùng vuông

góc với mặt đáy( )ABCD , cho , 2 ,AB a AD a SC= = tạo với mặt đáy( )ABCD một góc 045 . Tính

thể tích của khối chóp .S ABCD theo a .

Bài 57. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a , các mặt( )SAC và( )SBD cùng

vuông góc với mặt đáy( )ABCD , mặt bên( )SCD tạo với đáy một góc 060 . Tính thể tích của khối

chóp .S ABCD .



Bài 58. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiA . Hai mặt

phẳng( )SAB và( )SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy( )ABC , cho 2BC a= , mặt

bên( )SBC tại với đáy( )ABC một góc 060 . Tính thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng cách từ

điểmAđến mặt phẳng( )SBC .

Bài 59. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thang vuông

tạiAvàD , , 2AD DC a AB a= = = . Biết rằng hai mặt phẳng( )SAB và( )SAD cùng vuông góc

với mặt đáy( ),ABCD SC tạo với mặt phẳng đáy ( )ABCD một góc 060 . GọiI là trung điểm

củaSB . a/ Tính thể tích của khối chóp .S ABCD theo a . b/ Chứng minh tam giácSBC vuông và tính độ dài đoạn thẳngCI . c/ GọiM là điểm thuộc cạnhSB sao cho 3SB SM= . Tính thể tích khối chóp .M ABCD .

Bài 60. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thoi, hai đường chéo 2 3 , 2AC a BD a= = cắt

nhau tại O , hai mặt phẳng( )SAC và( )SBD cùng vuông góc với ( )mp ABCD . Biết khoảng từ

O đến ( )mp SAB bằng 3

4

a. Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a .

Bài 61. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thang vuông tạiAvà , 2 ,D AB AD a CD a= = = ,

góc giữa hai ( )mp SBC và ( )mp ABCD bằng 060 . GọiI là trung điểm của cạnhAD . Biết

hai ( )mp SBI và ( )SCI cùng vuông góc với( )ABCD . Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a .

ĐS: 33 15

5

aV = .

Hình chóp đều Bài 63. Tính thể tích của khối chóp tam giác đều .S ABC biết:

a/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . ĐS: 3 11

2

aV = .

b/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 060 . ĐS: 33

16

aV = .

c/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 045 . ĐS: 3

6

aV = .

d/ Cạnh đáy bằng a , mặt bên hợp với đáy một góc 060 . ĐS: 3 3

24

aV = .

Bài 64. Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều .S ABCD , biết:

a/ Có tất cả các cạnh có độ dàia . ĐS: 3 2

6

aV = .

b/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a .

c/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 060 . ĐS: 3 3

12

aV = .

d/ Cạnh đáy bằng 2a , mặt bên hợp với đáy một góc 045 . Bài 65. Cho khối tứ diện đềuABCD cạnh bằnga . GọiM là trung điểm của cạnhDC .



a/ Tính thể tích khối tứ diện đềuABCD . ĐS: 3 2

12ABCD

aV = .

b/ Tính khoảng cách từM đến ( )mp ABC . Suy ra thể tích hình chóp .M ABC . ĐS:

3

.

2

24M ABC

aV =

Bài 66. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh bên bằng 5

2

a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

060 . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD theo a và khoảng cách từ điểmAđến ( )mp SBC .

Bài 67. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằnga và 060BSA = .

a/ Tính tổng diện tích tổng mặt bên của hình chóp đều này. ĐS: 2 3

3

aS = .

b/ Tính thể tích của khối chóp .S ABCD . ĐS: 3 2

6

aV = .

Bài 68. Cho hình chóp đều .S ABC có cạnh đáy bằng a , 060BSA = , I BCÎ và 2IB IC= . Tính thể tích khối chóp .S ABC và thể tích khối chóp .S ABI .

Bài 69. Cho hình chóp đều .S ABC có chiều cao h , góc ở đỉnh của mặt bên bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp.

ĐS: 32

3

hV = .

Bài 70. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a .

a/ Tính thể tích của khối chóp .S ABCD . Tính khoảng cách từAđến ( )mp SBC .

b/ Gọi là góc tạo bởi cạnh bênSAvà ( )mp SBC . Tìm sina ?

Bài 71. ( ). 2008TNTHPT -

Cho hình chóp đều .S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . GọiI là trung điểm của cạnhBC . a/ Chứng minh: SA BC^ . b/ Tính thể tích khối chóp .S ABI theo a .

Bài 72. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD , có mặt bên hợp với mặt đáy một góc 045 và khoảng cách từ chân đường cao của khối chóp đến mặt bên bằnga . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

ĐS: 38 3

3

aV = .

Bài 78. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằnga , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

bằng ( )0 0, 0 90j j< < . Tính tang góc giữa hai ( )mp SAB và ( )mp ABCD theoj . Tính thể tích

khối chóp theoa vàj .

ĐS: 3 2. tan

tan ;6

aV

jj = .



Lăng trụ đứng khi biết chiều cao hoặc cạnh đáy Bài 99. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông cân tạiA có

cạnh 2BC a= và biết ' 3A B a= . Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS: 3 2V a= . Bài 100. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều . ' ' ' 'ABCDA B C D có cạnh bên bằng4a và đường chéo

bằng5a . Tính thể tích khối lăng trụ này. ĐS: 39V a= .

Bài 101. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tạiA , góc 030 ,ACB = ' 3AA a= , 2AC a= . a/ Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

b/ Mặt phẳng( )'A BC chia khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C thành hai khối đa diện. Tính thể tích của

mỗi khối đa diện.

Bài 102. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh bằng ( )4 cm và biết

diện tích của tam giác 'A BC bằng ( )8 cm . Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS: ( )38 3 cm .

Bài 104. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnha và có góc nhọn bằng 060 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích của khối hộp.

ĐS: 3 6

2

aV = .

Bài 105. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằnga . Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.

ĐS: 3

23; 3

4

aV S a= = .

Bài 106. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáy là tứ giác đều cạnha và biết rằng ' 6BD a= . Tính thể tích của lăng trụ.

ĐS: 32V a= .

Bài 109. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông cân tạiA . Biết rằng chiều cao của lăng trụ là3a và mặt bên ' 'AA B B có đường chéo là5a . Tính thể tích lăng trụ.

ĐS: 324V a= . Bài 111. Cho khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D cóAB a= , diện tích củaABCD và ' 'ABC D lần

lượt là 22a và 2 5a . Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Bài 114. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều, ' , 'AA a A B BC= ^ . Tính

thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: ( )36V m= .

Bài 117. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông, AB BC a= = , cạnh bên

' 2AA a= . GọiM là trung điểm cạnhBC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng , 'AM B C .

THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ



ĐS: ( ) 3 7, , '2 7

a aV d AM B C= = .

Bài 118. Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có cạnh đáy bằnga . Biết khoảng cách giữa hai

đường thẳng AB và 'A C bằng15

5

a. Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 33

4

aV = .

Bài 120. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh a . Tính thể tích

khối lăng trụ và khoảng cách từ 'A đến ( )' 'mp AB C theo a , biết rằng:

2 3' ' '

3AA A B A C a= = = .

Bài 121. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có 04 , 120AB AC a BAC= = = , hình chiếu vuông góc

của 'A lên ( )mp ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD . Góc giữa cạnh bên với đáy là 030 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách giữa 'AA và BC .

Bài 122. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáyABC là tam giác vuông tại

,A AB a= , 3AC a= và hình chiếu vuông góc của đỉnh 'A trên ( )mp ABC là trung điểm của

cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối chóp 'A ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng 'AA và ' 'B C .

ĐS: 3 1, cos2 4

aV j= = .

Lăng trụ đứng khi biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 123. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tạiB vớiBA BC a= = .

Biết rằng 'A B hợp với đáyABC một góc 060 . Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS: 3 3

2

aV = .

Bài 124. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông

tạiAvới 0, 60AC a ACB= = . Biết 'BC hợp với ( )' 'mp AA C C một góc 030 . Tính 'AC và thể

tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 3 6V a= . Bài 125. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáyABCD là hình vuông cạnha và đường

chéo 'BD của lăng trụ hợp với đáyABCDmột góc 030 . Tính thể tích và tổng diện tích mặt bên của hình lăng trụ.

ĐS: 3 26 4 6;

3 3

a aV S= = .

Bài 126. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB , 2 , 'AC a A B= tạo

với đáy ABC một góc 030 . a/ Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . b/ Vẽ đường caoAH của 'A ABD . Chứng minh: 'AH A C^ .



Bài 127. Cho hình hộp đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáyABCD là hình thoi cạnh 0; 60a BAD = . Biết

đường thẳng 'AB hợp với mặt phẳng đáy( )ABCD một góc 030 . Tính thể tích khối

hộp . ' ' ' 'ABCDA B C D .

ĐS: 33

2

aV = .

Bài 128. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB . Biết

rằng 'A C a= và 'A C hợp với mặt bên( )' 'AA B B một góc 030 . Tính thể tích khối lăng

trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 3 2

16

a.

Bài 129. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tạiB . Biết

rằng 'BB AB a= = và đường thẳng 'B C hợp với ( )mp ABC một góc 030 . Tính thể tích khối lăng


ĐS: 3 3

2

aV = .

Bài 130. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnha . Biết rằng 'AB hợp với

mặt bên ( )' 'BCC B một góc 030 . Tính độ dài đoạn thẳng 'AB và thể tích khối lăng


ĐS: 3 3

' 3;2

aAB a V= = .

Bài 131. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tạiA . Biết 0; 60AB a ACB= = và đường thẳng 'BC hợp với mặt bên( )' 'AA C C một góc 030 . Thể tích khối

lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và diện tích tam giác 'ABC .

ĐS: 2

3 3 36;

2

aV a S= = .

Bài 132. Cho lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có khoảng cách từ điểmAđến ( )'mp A BC bằnga và

đường thẳng 'AA hợp với ( )'mp A BC một góc 030 . Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 332

9

aV = .

Bài 133. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có đường chéo 'A C a= . Biết rằng 'A C hợp với

( )mp ABCD một góc 030 và hợp với ( )' 'mp ABB A một góc 045 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

ĐS: 3 2

8

aV = .

Bài 134. Cho hình hộp đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáyABCD là hình vuông. GọiO là tâm củaABCD và 'OA a= . Tính thể tích của khối hộp khi:

a/ . ' ' ' 'ABCDA B C D là khối lập phương.

b/ Đường thẳng 'OA hợp với ( )mp ABCD một góc 060 .

c/ Đường thẳng 'A B hợp với ( )' 'mp AA CC một góc 030 .

ĐS: / / /3 3 32 6 3 4 3; ;

9 4 9

a a aa V b V c V= = = .

Bài 135. Cho lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáyABCD là hình vuông và 'BD a= . Tính thể tích khối lăng trụ trong các trường hợp sau:



a/ Đường thẳng 'BD hợp với ( )mp ABCD một góc 060 .

b/ Đường thẳng 'BD hợp với ( )' 'mp AA D D một góc 030 .

ĐS: / /3 33 2;

16 8

a aa V b V= = .

Lăng trụ đứng khi biết góc giữa 2 mặt phẳng Bài 139. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông cân

tạiB vớiBA BC a= = . Biết rằng ( )'mp A BC hớp với ( )mp ABC một góc 060 . Tính thể tích

khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 3 3

2

aV = .

Bài 140. Đáy của lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C là tam giác đều. Mặt( )'A BC tạo với đáy một góc 030 và

diện tích tam giác 'A BC bằng ( )8 cm . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: ( )38 3V cm= .

Bài 141. Cho lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáy là hình vuông cạnha và ( )'mp BDC hợp

với ( )mp ABCD một góc 060 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D .

ĐS: 3 6

2

aV = .

Bài 142. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có ' 2AA a= ; ( )'mp A BC hợp với ( )mp ABCD một

góc 060 và 'A C hợp với ( )mp ABCD một góc 030 . Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.

ĐS: 316 2

3

aV = .

Bài 143. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có 'AA a= , biết đường chéo 'A C hợp với mặt phẳng

đáy ( )ABCD một góc 030 và ( )'mp A BC hợp với ( )mp ABCD một góc 060 . Tính thể tích của khối

hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D .

ĐS: 32 2

3

aV = .

Bài 144. Cho lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáyABCD là hình vuông và cạnh bên bằnga . Biết

rằng: ( )' 'mp ABC D hợp với mặt phẳng đáy một góc 030 . Tính thể tích khối lăng

trụ . ' ' ' 'ABCDA B C D . ĐS: 33V a= .

Bài 145. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB ; 2AC a= . Biết

rằng ( )'mp A BC hợp với ( )mp ABC một góc 045 . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 3 2V a= . Bài 146. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông cân

tạiAvớiAB AC a= = và 0120BAC = . Biết rằng ( )'mp A BC hợp với ( )mp ABC một góc 045 .

Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS: 3 3

8

aV = .



Bài 148. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tạiB và 'BB AB h= = .

Biết rằng ( )'mp B AC hợp với mặt phẳng chứa đáyABC một góc 060 . Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS: 3 2

4

hV = .

Bài 149. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều. Biết cạnh bên 'AA a= . Tính thể tich khối lăng trụ trong các trường hợp sau:

a/ ( )'mp A BC hợp với đáy mặt phẳng chứa đáyABC một góc 060 .

b/ Đường thẳng 'A B hợp với ( )mp ABC một góc 045 .

c/ Chiều cao kẻ từ 'A của 'A BCD bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.

ĐS: / / /3

3 333; ; 3

4

aa V a b V c V a= = = .

Bài 150. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều . ' ' ' 'ABCDA B C D có cạnh bên ' 2AA a= . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

a/ ( )'Mp ACD hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc 045 .

b/ Đường thẳng 'BD hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc 060 .

c/ Khoảng cách từ điểmD đến ( )'mp ACD bằnga .

ĐS: / / /3

3 3 1616 ; 12 ;

3

aa V a b V a c V= = = .

Khối lăng trụ xiên

Bài 154. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh 'A cách

đều các đỉnh , ,A B C . Cạnh bên 'AA tạo với đáy một góc 060 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Bài 155. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnha . Biết cạnh bên

bằng 3a và nó hợp với mặt phẳng chứa đáyABC một góc 060 . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C đã cho.

ĐS: 33 3

8

aV = .

Bài 156. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của

điểm 'A xuống ( )mp ABC trùng với tâmO của đường tròn ngoại tiếp ABCD và biết rằng đường

thẳng 'AA tạo với mặt phẳng chưa đáyABC một góc 060 . a/ Chứng minh rằng: ' 'BB C C là hình chữ nhật. b/ Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C đã cho.

ĐS: 3 3

4

aV = .

Bài 157. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáy là hình chữ nhật với ( ) ( )3 , 7AB cm AD cm= = .

Hai mặt bên ( )' 'ABB A và( )' 'ADD A lần lượt tạo với mặt phẳng chứa đáyABCD những

góc 045 và 060 . Tính thể tích của khối hộp . ' ' ' 'ABCDA B C D nếu biết cạnh bên bằng ( )1 cm .

ĐS: ( )33V cm= .

Bài 158. Cho hình lăng trụ . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáyABCD là hình vuông cạnha và biết cạnh bên

bằng8cm , hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc 030 . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' 'ABCDA B C D .



ĐS: ( )3336V cm= .

Bài 159. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCDA B C D có 0, , ' , 30AB a AD b AA c BAD= = = = và cạnh bên hợp

với đáy ABCDmột góc 060 . Tính thể tích khối hộp . ' ' ' 'ABCDA B C D . Bài 160. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh 'A cách

đều các đỉnh , ,A B C . Biết rằng2 3

'3

aAA = . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 3 3

4

aV = .

Bài 161. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh 'A có hình

chiếu trên ( )mp ABC nằm trên đường caoAH của ABCD . Biết mặt bên( )' 'BB C C hợp với mặt

phẳng chứa đáyABC một góc 060 . a/ Chứng minh rằng: ' 'BB C C là hình chữ nhật. b/ Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: 33 3

8

aV = .

Bài 162. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều với tâmO . Canh bên 'CC a= và hợp với mặt phẳng chứa đáyABC một góc 060 . Hình chiếu của

điểm 'C lên ( )mp ABC trùng vớiO .

a/ Chứng minh rằng: ' 'AA B B là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật này. b/ Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C này.

ĐS: 2 33 3 3;

2 8

a aS V= = .

Bài 163. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh a và chân đường

vuông góc hạ từ đỉnh 'A lên ( )mp ABC trùng với trung điểmBC của ABCD và biết 'AA a= .

a/ Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy của lăng trụ. b/ Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

ĐS: / /3

0 330 ;

8

aa b V = .

Bài 164. Cho lăng trụ xiên . ' ' 'ABC A B C có đáyABC là tam giác đều. Hình chiếu của điểm 'C trên

( )mp ABC trùng với tâmO của ABCD . Biết rằng khoảng cách từ điểmO đền đường

thẳng 'CC bằnga . Hai mặt bên( )' 'AA C C và( )' 'BB C C hợp với nhau một góc 090 . Tính thể tích

khối trụ . ' ' 'ABC A B C đã cho.

ĐS: 327

4 2

aV = .

Bài 167. Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có AB a= , góc giữa 2

( )'mp A BC và( )ABC bằng 060 . GọiG là trọng tâm 'A BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và

tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnGABC theo a .

ĐS: 33 3 7,

8 12

a aV R= = .

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Bài 168. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh2a , ( )SA mp ABCD^ . Góc

giữaSC và mặt phẳng chứa đáy bằng 060 vàM là trung điểm của cạnhSB .



a/ Tính thể tích khối chóp .S ABCD . b/ Tính thể tích khối chóp .M BCD .

ĐS: / / 3 3

. . .

8 6 1 2 6;

3 4 3S ABCD M BCD S ABCD

a aa V b V V= = = .

Bài 169. Cho hình chóp tam giác .S ABC có 5 , 6 , 7AB a BC a CA a= = = . Các mặt

bên( ) ( ),SAB SBC và ( )SCA tạo với ( )mp ABC một góc 060 . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

ĐS: 3.

8 3S ABCV a= .

Bài 170. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có 3, , ' ,AB a AD a AA a O= = = là giao điểm của AC vàBD . a/ Tính thể tích của khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D và khối chóp ' ' ' 'OA B C D . b/ Tính thể tích khối ' 'OBB C . c/ Tính độ dài đường cao đỉnh 'C của tứ diện ' 'OBB C .

ĐS: / / / 3 3

3

' ' ' ' . ' '

1 3 33, ; ; ' 2 3

3 3 12OA B C D O BB C

a aa V a V V b V c C H a= = = = = .

Bài 171. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D có cạnh bằnga . Tính thể tích khối tứ diện ' 'ACB D .

ĐS: 31

3V a= .

Bài 172. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằnga . GọiE là trung điểm cạnhAC , mặt phẳng

( )' 'A B E cắt BC tạiF . Tính thể tích khối tứ diện ' 'A B BC và khối ' 'CA B FE .

ĐS: 3 3

' ' ' '

3 3;

12 16A B BC CA B FE

a aV V= = .

Bài 174. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh2 , , 3a SA a SB a= = và

( )mp SAB vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,AB BC .Tính

theoa thể tích khối chóp .S BMDN .

ĐS: 3 3

3

aV = .

Bài 175. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,SB BC CD .Chứng minhAM vuông góc vớiBP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP .

ĐS: 3 3

96

aV = .

Bài 176. Chho hình chóp .S ABC có đáy là ABCD vuông tạiB , cạnh bên ( )SA mp ABC^ . Biết rằng:

SA AB BC a= = = . a/ Tính thể tích khối chóp .S ABC .

b/ Tính khoảng cách từ điểmAđến ( )mp SBC .

Bài 177. Cho hình chóp .S ABC có đáy là ABCD vuông tạiAvà , 3AB a AC SA a= = = . Hai mặt bên

( )SAB và( )SAC cùng vuông góc với ( )mp ABC .

a/ Tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ điểmAđến ( )mp SBC .

b/ Tìm góc hợp bởi hai ( )mp SBC , ( )mp ABC và góc giữa đường thẳngSB , ( )mp SAC .

c/ GọiM là trung điểm của cạnhSC . Tính thể tích hình chóp .S ABM .



Bài 178. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông tâmO . Hai mặt bên( ) ( ),SAD SCD cùng

vuông góc với ( )mp ABCD vàSA tạo với mặt phẳng đáy một góc 045 .

a/ Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

b/ Tính thể tích khối .SOAB và khoảng cách từO đến ( )mp SAB .

Bài 179. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông tâmO . Hai mặt bên( ) ( ),SAD SCD cùng

vuông góc với ( )mp ABCD và 2SD a= . Mặt bên ( )SAB tạo với ( )mp ABCD một góc 045 .

a/ Tính thể tích hình chóp .S ABCD . b/ Tính thể tích hình chóp .SOCD .

c/ Tính góc hợp bởiSC và ( )SBD .

d/ Tính khoảng cách từ O đến ( )mp SAD .

e/ GọiG là trọng tâm SABD . Mặt phẳng( )a quaOG và song song với AB cắt ,SA SB tại ,H K .

Tính thể tích khối chóp .SOHK .

CÁC BÀI TOÁN THỂ TÍCH QUA CÁC KỲ THI Bài 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a2 , SAB là tam giác đều và

( )SAB vuông góc ( )ABC .

a) Tính thể tích khối chóp .S ABC .

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,AB SC .

c) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC

Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SBC hợp với mặt đáy 1

góc bằng 060 , ( )SA ABC^ . Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh bên

,SB SC .

a) TÍnh thể tích khối chóp .S ABC theo a .

b) Xác định tâm I và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

c) Tính thể tích khối chóp .ABCNM theo a .

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt bên và

đáy bằng 060 . a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a .

b) Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB SD . tính thể tích khối chóp CDNM .

Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , tam giác SAB vuông cân tại S .

a) Tính thể tích khối chóp .S ABC theo a .

b) Từ B kẽ đường cao BH của tam giác ABC . Tính theo a thể tích khối tứ diện .H SBC từ đó

suy ra khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( )SBC .

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , đường cao SH và mặt bên tạo với

đáy một góc 060 . Gọi M là trung điểm của SB . a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a .

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .



c) Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD , tính tỉ số thể tích hai khối chóp

. , .M ABH S AMO

Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên SA và đáy bằng 060

a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a .

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

Bài 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , ( ) ( ),SAB SAD vuông góc

với đáy, góc giữa SC với ( )SAB là a với p

a0 < <4

a) Chứng minh rằng CSB a=

b) Tính theo a, a thể tích khối chóp .S ABCD .

Bài 8. Cho khối lăng trụ đứng .ABC A B C¢ ¢ ¢ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA AA a¢= =

1) Tính thể tích khối lăng trụ .ABC A B C¢ ¢ ¢ 2) Chứng minh rằng các điểm , , , , ,A B C A B C¢ ¢ ¢ cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính

mặt cầu đó. 3) Gọi ,M N lần lượt là trung điểm ,BB CC¢ ¢ ’. Tính tỉ số thể tích của khối đa diện ’AMNBCA và

khối lăng trụ .ABC A B C¢ ¢ ¢ . Bài 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ;

AD AB BC a= 2 = 2 = 2 ; ( )SA ABCD^ ; SC a= 4 , M là trung điểm của AD

a) Tính thể tích khối chóp .S CMD b) Xác định tâm I , bán kính và tính diện tích xung quanh của hình cầu ngoại tiếp hình chóp

.S ABCM

Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên hợp với đáy

một góc bằng 060 . a) Tính thể tích khối chóp .S ABC b) Xác định tâm I , bán kính và tính diện tích xung quanh của hình cầu ngoại tiếp hình chóp

.S ABC

Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy

bằng 060 . a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD .

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón ngoại tiếp tình chóp .S ABCD

Bài 12. Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABC , góc giữa đường thẳng SC

và ( )ABC bằng 060 . Biết đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA BC a= = . Tính thể tích

khối chóp .S ABC theo a



Bài 13. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng

( )ABCD , cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 060 . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm

của ,SB SD .

a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a .

b) Tính thể tích khối chóp .S AMN .

c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( )AMN .

Bài 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ . b) Tính thể tích khối chóp MAB’C. c) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh bằng a, gọi H là trung điểm của cạnh AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60o.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC

Bài 16. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều

và vuông góc với đáy. a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a . b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

Bài 17. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên a2 . a) Tính thể tích khối chóp b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD c) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 2 3, 3 ,SB a BA a AC = 5a , SC = 2a và ( )AB SBC . Tính:

a) Góc tạo bởi hai đường thẳng SB và BC.

b) Thể tích của khối chóp S.ABC.

c) Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Bài 19. Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = BD = a. Mặt phẳng (ABC) vuông góc mặt phẳng

(DBC), góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 30o, tam giác BCD vuông tại D. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (ABD). c) Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

BCDE. Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABC), SA = SB = a, góc ASB

= 120o, mặt đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC = a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC) c) Gọi C' là trung điểm của cạnh SC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

C'.ABC

Lê Tấn Phong Bài tập Hình học 12

- 34 - Chương II. Mặt nón – Mặt trụ – Mặt cầu

Chương

1/ Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng( )P , cho 2 đường thẳng d ,D cắt nhau tạiO và chúng tạo thành gócb với 0 00 90b< < . Khi quay ( )mp P xung quanh trụcDvới gócb không thay đổi được gọi là mặt nón tròn

xoay đỉnhO (hình 1). Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳngDgọi là trục, đường thẳngd được gọi là đường sinh và góc2b gọi là góc ở đỉnh.

2/ Hình nón tròn xoay

Cho OIMD vuông tạiI quay quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2). Đường thẳngOI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao vàOM gọi là đường sinh của hình

nón. Hình tròn tâmI , bán kínhr IM= là đáy của hình nón.

3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáyr và đường sinh là l thì có:

Diện tích xung quanh: . .xqS r lp=

Diện tích đáy (hình tròn): 2.ðS rp=

Thể tích khối nón: 21 1. . .

3 3non ðV S h r hp= = .

4/ Tính chất:

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinhThiết diện là tam giác cân. + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là

mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

Hình 1 Hình 2

Diện tích toàn phần hình nón: tp xq ðS S S= + .

MẶT NÓN

MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU 2

Bài tập Hình học 12 Lê Tấn Phong

Chương II. Mặt nón – Mặt trụ – Mặt cầu - 35 -

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nóngiao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nóngiao tuyến là 2 nhánh của 1

hypebol. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nóngiao tuyến là 1 đường parabol.

5/ Một số thí dụ


GọiS là đỉnh của hình nón. Mặt phẳng( )P đi qua đỉnhS cắt khối nón theo

hai đường sinh bằng nhauSA SB l= = nên ta có thiết diện là tam giác cânSAB . GọiI là trung điểm của đoạnAB OI AB ^ . Từ tâmO , ta kẻOH SI^ tạiH .

Ta có: ( ) ( ) ( ), 12OH mp SAB OH d O SAB cmé ù^ = =ê úë û .

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.

* Ta có: ( )2 2 2 220 25 5 41SA AO SO cm= + = + =

(Pitago trong tam giác vuông SAO) * Diện tích xung quanh của hình nón:

( )2. . . . .25.5 41 125 41xqS r l OASA cmp p p p= = = = .

b/ Thể tích của khối nón: ( )2 2 31 1 12500. . .25 .20

3 3 3nonV r h cm

pp p= = = .

c/ Tính diện tích của thiết diện SAB

SD

* Diện tích thiết diện: ( ) 1 1

. .2 . . 12 2SAB

S AB SI IASI IASID = = = .

* Xét tam giác vuôngSOI , ta có: ( )2 2 2

1 1 115OI cm

OH OI OS= + = .

* Mặt khác, xét tam giác vuôngSOI thì: ( ) ( ). 20.15. . 25 2

12

OSOIOI OS SI OH SI cm

OH= = = = .

* Trong tam giác vuông ( ) ( ) 2 2 2 2: 25 15 20 3AIO IA OA OI cm= - = - = .

* Thay( ) ( )2 , 3 vào( ) ( )21 20.25 500SAB

S cmD = = .


* Khối nón có chiều cao bằnga và bán kính đáy2

ar = .

* Diện tích xung quanh khối nón:

( )2 2

2 5. .

2 4xq

a aS rl a a Ðvdt

pp p

æ ö÷ç ÷= = + =ç ÷ç ÷çè ø.

* Thể tích của khối nón:

Thí dụ 1. Một hình nón tròn xoay có đường cao 20h cm= , bán kính đáy 25r cm= . a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho. b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó.

c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là ( )12 cm .

Tính diện tích thiết diện đó.

S

A

B O

I

H

h

r

l

Thí dụ 2. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D có cạnh làa . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâmO của hình vuôngABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ' ' ' 'A B C D .



( )2

2 31 1 1 1

3 3 2 2 12

aV Bh r h a a Ðvttp p p

æ ö÷ç ÷= = = =ç ÷ç ÷çè ø.


Do thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân ( SABD vuông

cân tại đỉnhS ) có cạnh huyền bằng 2a nên SABD là nửa hình

vuông với đường chéo hình vuông là 2AB a= . đường sinh hình nón: l SA SB a= = = , đường cao hình nón

là2

2 2

AB ah SO= = = và bán kính đáy:

2

2

ar h SO= = = .

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón.

( )22 2

. .2 2xq

a aS rl a Ðvdt

pp p= = =

Diện tích toàn phần:

( )22 2 2

21 22 2

2 2 2 2tp xq ð

aa a aS S S r

pp p pp

+= + = + = + = Thể tích khối nón tương ứng:

( )3

21 1 2.

3 3 12

aV B h r h Ðvtt

pp= = =

b/ Tính diện tích thiết diện( )SBCS

D

GọiI là trung điểm củaBC và kẻOH SI^ tạiH . Đặt mặt phẳng chứa đáy hình nón là ( )mp a

Ta có:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) 0; 60

mp SBC mp BC

BC OI mp mp SBC mp SIO

BC SI mp SBC

a

a a

Ç =é ù^ Ì = =ê úê úë û

^ Ì

.

Trong tam giác vuôngSIO (vuông tại O), ta có: 0

262sin3sin 60 3

2

aSO SO a

SIO SISI

= = = = .

A’

A B

D C

O

B’

D’ C’

a

a

a

Thí dụ 3. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng 2a . a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh làS . b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.

c/ Cho dây cungBC của đường tròn đáy hình nón, sao cho ( )mp SBC tạo với mặt phẳng chứa đáy

hình nón một góc 060 . Tính diện tích tam giácSBC .

S

A B O

C

I



Trong tam giác vuôngSIB (vuông tại I), ta có: 2

2 2 2 2 2 32 2. 2

3 3

a aBC IB SB SI a= = - = - = .

Do đó, diện tích thiết diện cần tìm là: ( )21 1 6 2 3 2

. . .2 2 3 3 3SBC

a a aS SI BC ÐvdtD = = = .


a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón: ( ). . 1xqS rl AO SAp p= =

* DoAO là hình chiếu củaSA lên mặt phẳng đáy, nên góc giữa

đường sinh SAvà mặt phẳng đáy là 060SAO = . * Trong tam giác vuôngSAO :

( ) 0

0

22cos60 22.cos60

2

SA aSA aAOaSA AO SA AO

ìï =ì ïï = ïïï ï= í íï ï=ï ï =ïî ïïî

* Thay( )2 vào( )1 ( )22. 2.

2xq

aS a a Ðvdtp p = = .

Diện tích toàn phần của hình nón:

( )2 2

2 2 2 3

2 2tp xq ð

a aS S S a r a Ðvdt

p pp p p= + = + = + = .

Thể tích của khối nón tròn xoay:

( )

23

2 2 0 21 1 1 2 1 3 6. . . .sin 60 . 2.

3 3 3 2 6 2 12

a aV r h AO SO SA a a Ðvtt

pp p p p

æ ö÷ç ÷ç= = = = =÷ç ÷ç ÷çè ø.

b/ Tính diện tích của thiết diện

Thiết diện quaI và vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính làIB như hình vẽ. Gọi diện tích của hình tròn này là

tdS .

Do

1 2 2. .

3 2 6

SI IB SI a aSIB SOA IB OA

SO OA SOD D = = = = ( )

22.

18td

aS IB Ðvdt

pp = = .

6/ Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho khối nón tròn xoay có đường caoh a= và bán kính đáy là 54ar = . Một mặt phẳng( )P đi

qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâmO của đáy bằng35a .

a/ Hãy xác định thiết diện của ( )mp P đối với khối nón. Tính diện tích khối thiết diện đó.

b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón. c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó.

Thí dụ 4. Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS ,O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng 2a và góc giữa đường

sinh và mặt phẳng đáy bằng 060 . a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.

b/ GọiI là một điểm trên đường caoSO của hình nón sao cho tỉ số1

3

SI

SO= . Tính diện tích của thiết

diện quaI và vuông góc với trục của hình nón.

B

r

l

S

A

O

I

600

B

h



Bài 2. Trong không gian cho OIMD vuông tạiI có 030IOM = và cạnhIM a= . Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên.

Bài 3. Một hình nón tròn xoay có chiều cao 30h cm= và bán kính đáy bằng20cm . a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao. Tính diện tích của thiết diện. b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều. Tính diện

tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.

Bài 4. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằnga . a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng. c/ Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 060 . Tính diện tích của thiết diện

được tạo nên. Bài 5. Hình nón có bán kính đáy bằng2a , thiết diện qua trục là một tam giác đều.

a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón. b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông. Tính diện

tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện.

Bài 6. Một hình nón có bán kính đáy bằng2cm , góc ở đỉnh bằng 060 . a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.

Bài 7. Một hình nón có đỉnhS , bán kính đáy 10r cm= .

a/ Tính diện tích thiết diện do ( )mp P cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.

b/ GọiG là trọng tâm của thiết diện và mặt phẳng( )a quaG , đồng thời vuông góc với trục của

hình nón. Tính diện tích của thiết diện do mặt phẳng( )a cắt hình nón.

Bài 8. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích

bằng 212a . a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.

c/ Mặt phẳng( )P đi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài

bằng2 3a . Tính góc tạo bởi mặt phẳng( )P và mặt phẳng đáy.

Bài 9. Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS ,O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng 2a và góc giữa

đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 060 . a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.

b/ GọiI là một điểm trên đường caoSO của hình nón sao cho tỉ số 2SI

SO= . Tính diện tích của

thiết diện quaI và vuông góc với trục của hình nón. Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằnga , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy

bằng 030 . Hình nón đỉnhS có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đềuABC (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp). a/ Tính thể tích của hình chóp .S ABC . b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.

Bài 11. Cho hình chóp đều .S ABCD có chiều cao ( )0 0, , 45 90SO h SAB a a= = < < . Hãy tính diện tích

xung quanh của hình nón có đỉnh làS và có đường tròn đáy ngoại tiếp đáyABCD của hình chóp. Bài 12. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng2a .

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.



∆

A

D

B

C

lr

r

b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là2a . Tính diện

tích của thiết diện tạo thành đó. Bài 13. Đường sinh của hình nón bằng13a , chiều cao là12a . Một đường thẳngd song song với đáy của

hình nón và cắt hình nón. Khoảng cách từ đường thẳngd ấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là 6a và2a . Tính độ dài đoạn thẳngd nằm trong phần hình nón.

Bài 14. Cho hình nón đỉnhS và đáy là hình tròn tâmO . Mặt phẳng( )a đi qua đỉnh, cắt đáy theo một dây

cung AB , sao cho 060AOB = và ( )mp a hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 030 .

a/ Tính góc ASB . b/ Cho diện tích của tam giácSAB bằngb . Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Bài 15. Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón làV . Bài 16. Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia). Sao cho hai

đỉnh cách nhau một đoạn là a . Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là 2a và của hình nón nhỏ là 2b .Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn.

Bài 17. Cho hình nón có đường caoSO h= và bán kính đáy R . GọiM là điểm trên đoạnOS , đặt

OM x= ( )0 x h< < .

a/ Tính diện tích thiết diện( )G vuông góc với trục tạiM . b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhO và đáy( )G theo , ,R h x . Xác địnhx sao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất. Bài 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnhS . Trong đáy của hình nón đó có hình vuôngABCD nội tiếp, cạnh

bằng a . Biết rằng: ( )0 02 , 0 45ASB a a= < < . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể

tích khối nón. 1/ Mặt trụ tròn xoay

Trong ( )mp P cho hai đường thẳngDvàl song song nhau, cách nhau

một khoảngr . Khi quay ( )mp P quanh trục cố địnhD thì đường

thẳngl sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng Dđược gọi là trục. Đường thẳngl được gọi là đường sinh. Khoảng cáchr được gọi là bán kính của mặt trụ.

2/ Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhậtABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhAB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. Đường thẳngAB được gọi là trục. Đoạn thẳngCD được gọi là đường sinh. Độ dài đoạn thẳngAB CD h= = được gọi là chiều cao của hình trụ. Hình tròn tâmA , bán kínhr AD= và hình tròn tâmB , bán kínhr BC= được gọi là 2 đáy của

hình trụ. Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả

hình trụ. 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ

MẶT TRỤ

h



Cho hình trụ có chiều cao làh và bán kính đáy bằngr , khi đó:

Diện tích xung quanh của hình trụ: 2xqS rhp=

Diện tích toàn phần của hình trụ: 22. 2 2tp xq ÐayS S S rh rp p= + = +

Thể tích khối trụ: 2.V B h r hp= = 4/ Tính chất:

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr ) bởi một ( )mp a vuông góc với trụcD thì ta được

đường tròn có tâm trênDvà có bán kính bằngr vớir cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr ) bởi một ( )mp a không vuông góc với trụcDnhưng cắt

tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng2r và trục lớn

bằng2

sin

r

j, trong đó j là góc giữa trụcDvà ( )mp a với 0 00 90j< < .

Cho ( )mp a song song với trụcD của mặt trụ tròn xoay và cáchDmột khoảngk .

+ Nếuk r< thì ( )mp a cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật.

+ Nếuk r= thì ( )mp a tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

+ Nếuk r> thì ( )mp a không cắt mặt trụ.

5/ Một số thí dụ

Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích của thiết diện.

Từ một đáy của khối trụ, ta vẽ hai bán kính ,OAOB sao cho 030AOB = . Gọi ', ', 'A O B lần lượt là hình chiếu vuông góc của , ,AO B trên mặt đáy còn lại. Ta có: OAvà ' 'O B tạo với nhau một

góc 030 . Thiết diện là hình chữ nhật ' 'ABB A có:

( )2 2 2 02. . .cos 30 100 2 3AB OA OB OAOB= + - = -

( )10 2 3AB cm = - .

Mặt khác, ta có: ( )' ' ' 20AA BB OO cm= = = .

( )2' '. ' 10 2 3.20 200 2 3

ABB AS AB BB cm = = - = - .

b/ Diện tích xung quanh của hình trụ.

( )22 2 . . ' 2 .10.20 400xqS rh OAOO cmp p p p= = = =

Diện tích toàn phần hình trụ:

( )2 2 22. 2 2 400 2 10 600tp xq ÐayS S S rh r cmp p p p p= + = + = + = .

Thí dụ 7. Một khối trụ có chiều cao bằng ( )20 cm và có bán kính đáy bằng ( )10 cm . Người ta kẻ hai bán kính đáy

OA và ' 'O B lần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng 030 . Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng 'AB và song song với trục của khối trụ đó. a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên. b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

A O

O'

B

B'

A'

030



D

B’

A

O

C

A’

C’

B

D’

Thể tích khối trụ: ( )2 2 3. .10 .20 2000V B h r h cmp p p= = = = .


a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ.

Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên 2l h r= = .

Do đó, diện tích xung quanh của khối trụ đó là: 22 4xqS rl rp p= = .

b/ Tính thể tích của hình lăng trụ

Gọi . ' ' ' 'ABCDA B C D là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ. Ta có, hình vuôngABCD nội tiếp trong đường tròn đáy.

Do đó, 2AB r= và thể tích khối lăng trụ là:

( ) ( )2

3. ' 2 .2 4ABCD

V S AA r r r Ðvtt= = = .

c/ Tìm tỉ số: 3 3

2

4 4 2

' .2

V r r

V Bh r r pp= = = .

Bài giải tham khảo * Gọi ,M N theo thứ tự là trung điểm củaAB vàCD . Khi đó: OM AB^ và 'O N DC^ . Giả sửI là giao điểm củaMN và 'OO .

* Đặt , 'R OA h OO= = .

* Trong IOMD vuông cân tạiI nên: 2

2OM OI IM= = .

2 2.

2 2 2 2

h ah a = = .

* Ta có: 2 2 2 2R OA AM MO= + + 22 2 2 22 3

2 4 4 8 8

a a a a aæ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç÷= + = + =ç ÷ç÷ ÷ç ÷ç ç ÷è ø çè ø.

2 32

2

3 2 3 2.

8 2 163 2 3

2 2 .2 22 2

xq

a a aV R h

a a aS Rh

p p

pp p

ìïïï = = =ïï íïï = = =ïïïî

Thí dụ 8. Một khối trụ có bán kính đáy bằngr và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó. b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho.

c/ GọiV là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và 'V là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số'

V

V.

Thí dụ 9. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngABCD cạnha có hai đỉnh liên tiếp ,A B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng

( )ABCD tạo với đáy hình trụ góc 045 . Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ.

D

450

A

O

C

N O’

B

M

I

Thí dụ 10. Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằngS , khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?




* Kí hiệuR là bán kính đáy,h là độ dài đường cao của khối trụ.

* Ta có: 22 2S R Rhp p= + . Ta cần tìmR vàh để 2V R hp= có giá trị lớn nhất.

* Theo trên, ta có: 22 2S R Rhp p= + 2

2 2 32

3.2 2 2 4

CôsiS V V V VR R

R R Rp p p p p= + = + + ³

32 3

227

2 544

V S SV

p pp

æ ö÷ç ÷ £ £ç ÷ç ÷çè ø.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi2

2

2 2 2

V R h RhR

R R

pp p

= = = hay 2h R= .

Khi đó nên 266

SS R Rp

p= = .

* Vậy khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có 6

SR

p= và 2.

6

Sh

p= .


* Ta có: ( )'OO OAB^ . GọiH là trung điểm củaAB thì , 'OH AB O H AB^ ^ 0' 60OHO = .

* Giả sử OH x= . Khi đó:

0 x R< < và 0' tan60 3OO x x= = .

* Xét OAHD , ta có: 2 2 2AH R x= - .

* Vì 'O ABD đều nên: ( )2 2' 2 2 1O A AB AH R x= = = - .

* Mặt khác, 'AOOD vuông tạiO nên:

( ) 2 2 2 2 2' ' 3 2AO OO R x R= + = + .

* Từ( ) ( )1 , 2 ( )2

2 2 2 2 2 34 3

7

RR x x R x - = + = .

3 7' 3

7

Rh OO x = = = .

* Vậy, nếu kí hiệuS là diện tích xung quanh vàV là thể tích của

hình trụ thì, ta có:

2

32

6 72

73 7

7

RS Rh

RV R h

pp

pp

ìïïï = =ïïíïïï = =ïïî

6/ Bài tập rèn luyện Bài 19. Trong không gian cho hình vuôngABCD cạnha . Gọi ,I H lần lượt là trung điểm của các

cạnhAB và CD . Khi quay hình vuông đó xung quanh trụcIH , ta được một hình trụ tròn xoay. a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên.

Thí dụ 11. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn( ),O R và( )',O R . Biết rằng tồn tại dây cungAB của

đường tròn( )O sao cho 'O ABD đều và ( )'mp O AB hợp với mặt phẳng chứa đường tròn( )O một góc

060 . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.

A

O

O’

B

H



Bài 20. Một khối trụ có bán kính đáy bằngR và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ. b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình

vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ).

Bài 21. Một hình trụ có bán kính đáy là ( )20 cm , chiều cao là ( )30 cm .

a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng. c/ Cho hai điểmAvàB lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường

thẳngAB và trục của hình trụ bằng 060 . Tính khoảng cách giữa đường thẳngAB và trục của hình trụ.

Bài 22. Một khối trụ có bán kính đáy bằng ( )10 cm và chiều cao bằng ( )10 3 cm . Gọi ,A B lần lượt là hai

điểm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳngAB và trục của khối trụ bằng 030 . a/ Tính diện tích của thiết diện quaAB và song song với trục của khối trụ. b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy quaAvà quaB . c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung củaAB và trục của khối trụ.

Bài 23. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmO và 'O , có bán kínhr và có đường cao 2h r= . GọiA là một điểm trên đường tròn tâmO vàB là một điểm trên đường tròn tâm 'O sao choOAvuông góc với 'O B . a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện 'OABO là những tam giác vuông. Tính thể tích tứ

diện này.

b/ Gọi ( )mp a đi quaAB và song song với 'OO . Tính khoảng cách giữa trục 'OO và ( )mp a .

c/ Chứng minh rằng ( )mp a tiếp xúc với mặt trụ trục 'OO có bán kính bằng2

2

rdọc theo 1 đường

sinh.

Bài 24. Một hình trụ có bán kính đáy bằng ( )30 cm và có chiều cao ( )30h cm= .

a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b/ Một đoạn thẳng có chiều dài ( )60 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính

khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. Bài 25. Hình chóp tam giác đều .S ABC cóSA SB SC a= = = và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy

bằngb . a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy

của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp. b/ Các mặt bên , ,SAB SBC SCA cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?

Bài 26. Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng4p . a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.

b/ Một ( )mp a song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện1 1

ABAB . Biết một

cạnh của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 0120 . Tính diện tích của thiết diện này.

Bài 27. Cho hình lăng trụ lục giác đều . ' ' ' ' ' 'ABCDEF A B C D E F có cạnh đáy bằnga , chiều caoh . a/ Tính diện tích xung quanh và thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ. b/ Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ.

Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có đáyABCD là hình thang cân với đáy nhỏAB a= ,

đáy lớn 4CD a= , cạnh bên bằng5

2

avà chiều cao hình lăng trụ làh .

a/ Chứng minh rằng có một hình trụ nội tiếp được trong hình lăng trụ đã cho. b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đó.



Bài 29. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmO và 'O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằnga .Trên đường tròn đáy tâmO lấy điểmA , trên đường tròn đáy tâm 'O lấy điểmB sao cho 2AB a= .Tính thể khối tứ diện 'OO AB .

Bài 30. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuôngABCD cạnha nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp ,A B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2

của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 045 .Tính diện tích và thể tích của hình trụ đó.

I. Mặt cầu

1/ Định nghĩa

Tập hợp các điểmM trong không gian cách điểmO cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâmO , bán kính R , kí hiệu là: ( )R;S O hay R{ / }M OM = .

2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Cho mặt cầu ( )R;S O và một điểmAbất kì, khi đó:

Nếu ( )R R;OA A S O= Î . Khi đóOAgọi là bán kính mặt cầu.

NếuOAvàOB là hai bán kính sao choOA OB= -

thì đoạn thẳngAB gọi là 1 đường kính của mặt cầu.

Nếu ROA A< nằm trong mặt cầu. Nếu ROA A> nằm ngoài mặt cầu.

Khối cầu ( )R;S O là tập hợp tất cả các điểmM sao cho ROM £ .

3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu ( )R;S O và một ( )mp P . Gọi d là khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến ( )mp P vàH là

hình chiếu củaO trên ( )mp P d OH = .

Nếu d R< ( )mp P cắt mặt cầu ( )R;S O theo giao tuyến là đường tròn nằm trên ( )mp P có tâm

là H và bán kính 2 2 2 2r HM R d R OH= = - = - (hình a).

Nếu ( )d R mp P> không cắt mặt cầu ( )R;S O (hình b)

Nếu ( )d R mp P= có một điểm chung duy nhất. Lúc này, ta gọi mặt cầu ( )R;S O tiếp

xúc ( )mp P . Do đó, điều kiện cần và đủ để ( )mp P tiếp xúc với mặt

cầu ( )R;S O là ( )( ),d O mp P R= (hình c).

MẶT CẦU – MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

A

A A

B

O



Hình a Hình b Hình c

4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu ( )R;S O và một đường thẳngD . GọiH là hình chiếu củaO trên đường

thẳngDvàd OH= là khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến đường thẳngD . Khi đó:

Nếu d R> Dkhông cắt mặt cầu ( )R;S O .

Nếu d R< D cắt mặt cầu ( )R;S O tại hai điểm phân biệt.

Nếu d R= D và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ

để đường thẳngD tiếp xúc với mặt cầu là ( ),d d O R= D = .

Định lí: Nếu điểmAnằm ngoài mặt cầu ( )R;S O thì:

QuaA có vô số tiếp tuyến với mặt cầu ( )R;S O .

Độ dài đoạn thẳng nốiAvới các tiếp điểm đều bằng nhau.

Tập hợpc các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu ( )R;S O .

II. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

1/ Các khái niệm cơ bản Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông

góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác,

nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

dd =



3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản

a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

Tâm làI , là trung điểm của 'AC . Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp

chữ nhật (hình lập phương).

Bán kính: '

2

ACR = .

b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Xét hình lăng trụ đứng ' ' ' '1 2 3 1 2 3

... . ...n n

AAA A AAA A , trong đó có 2 đáy

1 2 3...

nAAA A và ' ' ' '

1 2 3...

nAAA A nội tiếp đường tròn( )O và( )'O . Lúc đó,

mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: I vớiI là trung điểm của 'OO .

Bán kính: '

1 2...

nR IA IA IA= = = = .

c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

Hình chóp .S ABC có 090SAC SBC= = . + Tâm: I là trung điểm củaSC .

+ Bán kính: 2

SCR IA IB IC= = = = .

Hình chóp .S ABCD có 090SAC SBC SDC= = = . + Tâm: I là trung điểm củaSC .

+ Bán kính: 2

SCR IA IB IC ID= = = = = .

d/ Hình chóp đều.

Cho hình chóp đều . ...S ABC Gọi O là tâm của đáy SO là trục của đáy. Trong mặt phẳng xác định bởiSO và một cạnh bên,

chẳng hạn như ( )mp SAO , ta vẽ đường trung trực của cạnhSA

là DcắtSA tại M và cắtSO tạiI I là tâm của mặt cầu. Bán kính:

Ta có: SM SI

SMI SOASO SA

D D = Bán kính là:

2....

2

SM SA SAR IS IA IB IC

SO SO= = = = = = =

e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

C’

A B

D

D’

B’

I A’

C

A

C’

I

O

O’

I

A1

A2 A3

An

A’1

A’2 A’3

A’n

S

A

I

C

B

S

A

B C

D

I

S

A

B

C

D O

I

∆

M



Cho hình chóp . ...S ABC có cạnh bênSA ^ đáy( )...ABC và đáy ...ABC nội tiếp được trong đường

tròn tâmO . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . ...S ABC được xác định như sau:

Từ tâmO ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳngd vuông góc với ( )...mp ABC tạiO .

Trong ( ),mp d SA , ta dựng đường trung trực Dcủa cạnhSA , cắtSA tạiM , cắt d tại I .

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính ...R IA IB IC IS= = = = =

Tìm bán kính: Ta có: MIOB là hình chữ nhật. Xét MAID vuông tạiM có:

2

2 2 2

2

SAR AI MI MA AO

æ ö÷ç ÷= = + = +ç ÷ç ÷çè ø.

f/ Hình chóp khác.

Dựng trụcDcủa đáy.

Dựng mặt phẳng trung trực( )a của một cạnh bên bất kì.

( ) I Ia ÇD = là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: khoảng cách từI đến các đỉnh của hình chóp.

g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

4/ Diện tích và thể tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu: 24CS Rp= .

A

S

M ∆I

O

B

C

d

∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền.

O

Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo.

O

Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo.

O O

∆ đều: O là giao điểm của 2 đường trung tuyến (trọng tâm).

∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆.

O



Thể tích mặt cầu: 34

3CV Rp= .

Bài 31. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh ( ),a SA ABCD^ . Cạnh bênSB tạo

với mặt phẳng đáy một góc 030 . Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Bài 32. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằnga , cạnh bên bằng2a . Xác định tâm và bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Bài 33. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằnga , cạnh bên bằng3a . Hãy tìm tâm và bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

Bài 34. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tại ( ),C SA ABC^ . Biết rằng:

3,AB a= ,BC a SB= tạo với ( )mp ABC một góc 060 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Bài 35. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh đều bằnga . Hãy xác định tâm và bán kính

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của khối cầu đó.

Bài 36. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật và ( ), , 2SA ABCD SA a AC a^ = = .

Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu đó.

Bài 37. Cho hình chóp .S ABCD cóABCD là nửa lục giác đều và ( )SA ABCD^ .

a/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b/ Gọi , ,H K L là chân đường cao vẽ từA tỏng các tam giác: , ,SAB SAC SADD D D . Chứng

minh rằng các điểm , , , , , ,A B C D H K L nằm trên một mặt cầu.

Bài 38. Cho hình chóp .S ABC có ( )0, 120 , , 2AB AC a BAC SA ABC SA a= = = ^ = . Định tâm và

bán kính mặt cầu đi qua các điểm , , ,S A B C . Tìm diện tích và thể tích khối cầu đó.

Bài 39. Cho hình chóp .S ABC có ( ) ( )mp SBC mp ABC^ và ,SC b SA SB AB AC a= = = = = . Xác

định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện tích và thể tích của nó. Bài 40. Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh đáy bằng2a và O là tâm của mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt

bên và mặt phẳng đáy bằng 060 . Gọi M là trung điểm của cạnhCD vàH là hình chiếu củaO trênSM .

a/ Tính khoảng cách từAđến ( )mp SCD . Tính thể tích hình chóp .S ABCD .

b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó.

Bài 41. Cho hình chóp .S ABCD cóABCD là hình vuông cạnha và SABD là tam giác đều. Mặt phẳng

( ) ( )SAB ABCD^ .

a/ Tính thể tích của hình chóp .S ABCD .

b/ Tìm góc giữa hai ( ) ( ),mp SAB mp SCD .

c/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện tích và thể tích khối cầu đó.

Bài 42. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C đáy là tam giác vuông tại , ,A AC a ACB a= = và 'BC hợp với

mặt phẳng( )' 'ACC A một gócb .

a/ Tính thể tích lăng trụ đã cho. b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Bài 43. Cho lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có cạnh đáy bằnga , bán kính đường tròn ngoại tiếp một

mặt bên là a .

TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU



a/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho. b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Tính diện tích và thể tích khối cầu

đó.

Bài 44. Cho hình chóp đều .S ABC có cạnh đáy bằng ( )10 cm và mỗi cạnh bên đều bằng ( )15 cm . Xác định

tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó.

Bài 47. Cho tứ diệnSABC có ( ), , ,SA mp ABC SA a AB b AC c^ = = = . Xác định tâm, bán kính, diện

tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a/ 090BAC = .

b/ 060 ,BAC b c= = .

c/ 0120 ,BAC b c= = .

Bài 48. Cho hình chóp .S ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằnga và cạnh bên bằng 2a . Một mặt cầu qua đỉnhAvà tiếp xúc với hai cạnh ,SB SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

a/ Chứng minh mặt cầu đó đi qua trung điểm của ,AB AC . b/ Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳngSA làD . Tính độ dài đoạn thẳng ,AC SD . Bài 50. Hình chóp .S ABCD cóSA a= là chiều cao của hình chóp và đáyABCD là hình thang vuông

tại ,A B có , 2AB BC a AD a= = = . Gọi E là trung điểm củaAD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópSCDE . Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó.

Bài 51. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D có cạnh là a . a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông

ABCD và ' ' ' 'A B C D . b/ Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương. c/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng 'AC làm trục và đường

sinhAB . Bài 52. Cho tam giác vuông cânABC có cạnh huyền 2AB a= . Trên đường thẳngd đi quaAvà vuông

góc với mặt phẳng( )ABC lấy một điểmS khácA ta được tứ diệnSABC .

a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABC .

b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABC trong trường hợp ( )mp SBC tạo

với ( )mp ABC một góc 030 .

Bài 54. Cho hình chóp .S ABC có ABCD đều cạnha và ( ) ( )mp SBC mp ABC^ , 2SC SB a= =

a/ Tính góc giữa ( ) ( ),mp SAB mp SAC và khoảng cách từB đến ( )mp SAC .

b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đã cho. c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Tính diện tích và thể tích khối cầu

này. Bài 55. Cho hình chóp .S ABCD cóABCD là hình chữ nhật, , 2AB a AD a= = . Hai mặt

bên( ) ( ),SAD SAB cùng vuông góc với ( ),mp ABCD SA a= . GọiO là tâm của hình chữ nhật.

a/ Tính thể tích hình chóp .OSCD . b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Tính diện tích và thể tích khối

cầu đó. Bài 56. Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thang vuông, đáy lớn 2AD a= , đường cao

,AB a BC a= = , ( ),SA ABCD SA a^ = .

a/ Tính thể diện tích toàn phần và thể tích hình chóp. b/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .S ABD . c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .SCDM vớiM là trung điểmAD . d/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .S BCD .

Documents

c 12- Ch ng I Lê Tấn Phong Ch ng 1 KHỐI ĐA DIỆN · PDF file2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường a) Định lí hàm số cosin 22 2 b) Định lí hàm số