Upload
nguyenthuan
View
237
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
ĐAO HAM, VI PHÂN
Ứng dung cua đao ham
Lecture 5
Nguyen Van Thuy
Review-Đao ham
Đinh nghia. Đao ham cua ham số 𝑓 tai 𝑎
Phương trinh tiếp tuyến tai điểm
𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎))
𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
0
( ) ( )'( ) lim
h
f a h f af a
h
11/21/2010 4-2 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Review-Vi phân của ham số
Tai x=a
𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦′ 𝑎 𝑑𝑥
Tai x
𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3
Review-Quy tăc L’Hospital
Đinh ly. Nếu 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) co dang
0
0,∞
∞ khi 𝑥𝑎 va
tồn tai lim𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)= 𝐴 thi
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)= 𝐴
Chú ý: 𝐴 có thể hữu han hoặc vô han
11/21/2010 4-4 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Ưng dung khao sat ham số
Tim tiêm cân
Tim khoang tăng, giam
Tim cưc tri
Tinh lồi lom, điểm uốn
Viết phương trinh tiếp tuyến va phap
tuyến
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-5
Ưng dung khao sat ham số
Câu 206. Cho hàm số 𝑦 =ln 𝑥+1 +𝑥2
𝑥−𝑥2. Đồ
thị hàm số này
a) Có tiệm cận đứng 𝑥 = 0
b) Có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥
c) Có tiệm cận ngang 𝑦 = −1
d) Không có tiệm cận
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-6
2
Ưng dung khao sat ham số
Câu 178. Cho hàm số 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥.
Khẳng định nào sau đây đúng
a) 𝑦 tăng trên ℝ
b) 𝑦 giam trên ℝ
c) 𝑦 tăng trên (1, +∞), giam trên 0,1
d) 𝑦 tăng trên (0, +∞)
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-7
Ưng dung khao sat ham số
Câu 183. Cho hàm số 𝑦 = 2ln (1 + 4𝑥2) −
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2𝑥. Khẳng định nào sau đây đúng
a) y đat cực đai tai 𝑥 =1
8
b) y đat cực tiểu tai 𝑥 =1
8
c) y đat cực đai tai 𝑥 =1
16
d) y đat cực tiểu tai 𝑥 =1
16
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-8
Đa thức Maclaurin
Bai toan. Tim đa thưc 𝑃(𝑥) bâc ≤ 𝑛 sao
cho
𝑓’(0) = 𝑃’(0)
𝑓’’(0) = 𝑃’’(0)
…
𝑓 𝑛 (0) = 𝑃 𝑛 (0)
Đa thức Maclaurin cấp n của hàm 𝑓
𝑃 𝑥 = 𝑓 0 +𝑓′(0)
1!𝑥 +𝑓′′(0)
2!𝑥2 +⋯+
𝑓 𝑛 (0)
𝑛!𝑥𝑛
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-9
Đa thức Maclaurin
Ví du. Tim đa thưc Maclaurin cua ham
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 đên 𝑥, 𝑥2, 𝑥3
Kêt qua
𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥
𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!
𝑝 𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!−𝑥3
3!
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-10
Đa thức Maclaurin
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-11
Đa thức Maclaurin
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-12
Xung quanh
tiếp điểm
3
Khai triển Maclaurin
Khai triển Maclaurin của hàm 𝑓(𝑥)
𝑃 𝑥 = 𝑓 0 +𝑓′(0)
1!𝑥 +𝑓′′(0)
2!𝑥2 +⋯+
𝑓 𝑛 0
𝑛!𝑥𝑛
+ 𝑂(𝑥𝑛)
𝑂 𝑥𝑛 : vô cùng bé cấp cao hơn 𝑥𝑛
Với 𝑥 rất gần 0 thì
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 0 +𝑓′(0)
1!𝑥 +𝑓′′(0)
2!𝑥2 +⋯+
𝑓 𝑛 0
𝑛!𝑥𝑛
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-13
Cac khai triển Maclaurin cơ ban
𝑒𝑥 = 1 +𝑥
1!+𝑥2
2!+ 𝑂(𝑥2)
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥3
3!+ 𝑂 𝑥4
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 −𝑥2
2!+𝑥4
4!+ 𝑂 𝑥5
𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 +𝑥3
3+ 𝑂 𝑥4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥3
3+ 𝑂(𝑥4)
ln 1 + 𝑥 = 𝑥 −𝑥2
2+
𝑥3
3−𝑥4
4+ 𝑂(𝑥4)
1
1+𝑥= 1 − 𝑥 + 𝑥2 +
𝑂(𝑥2)
1
1−𝑥= 1 + 𝑥 + 𝑥2 +
𝑂(𝑥2)
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-14
Khai triển Maclaurin
Câu 238. Viết khai triển Maclaurin của
hàm 𝑦 = 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 đến số hang 𝑥3
a) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2+ 𝑂 𝑥3
b) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2+𝑥3
6+ 𝑂 𝑥3
c) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2−𝑥3
6+ 𝑂 𝑥3
d) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2+𝑥3
3+ 𝑂 𝑥3
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-15
Khai triển Maclaurin
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-16
Maple
taylor(exp(sin(x)),x=0,3)
GeoGebra
KhaitrienTaylor(exp(sin(x)),0,3)
Khai triển Maclaurin
Câu 249. Khi 𝑥 → 0, VCB 𝑒𝑥 − 1 − 𝑥 −𝑥2
2
tương đương với
𝑎) −𝑥3
3 𝑏) 𝑥3
3 𝑐) −
𝑥3
6 𝑑) 𝑥3
6
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-17
Đa thức Taylor
Bai toan. Tim đa thưc 𝑃(𝑥) bâc ≤ 𝑛 sao cho
𝑓’(𝑎) = 𝑃’(𝑎) 𝑓’’(𝑎) = 𝑃’’(𝑎)
…
𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑃 𝑛 (𝑎)
Đa thức Taylor cấp n của 𝑓(𝑥) tai 𝑥 = 𝑎
𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑎 +𝑓′ 𝑎
1!(𝑥 − 𝑎) + ⋯+
𝑓 𝑛 (𝑎)
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-18
4
Khai triển Taylor
Khai triển Taylor của hàm 𝑓(𝑥) tai 𝑥 = 𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑘 𝑎
𝑘!
𝑛
0
(𝑥 − 𝑎)𝑘+𝑅𝑛(𝑥)
Phần dư
𝐷ạ𝑛𝑔 𝑃𝑒𝑎𝑛𝑜: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑂 𝑥 − 𝑎𝑛
𝐷ạ𝑛𝑔 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝑅𝑛 𝑥 =𝑓 𝑛+1 𝑐
𝑛+1 !(𝑥 − 𝑎)𝑛+1
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-19
Ap dung khai triển cơ ban
Vi du. Viết khai triển Maclaurin cua ham
số sau đến cấp 3
𝑓 𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥
1 − 𝑥
Vi du. Viết đa thưc sau dươi dang đa
thưc theo 𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2 + 7
Bai tâp: 238 257
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-20