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目 次
講義について 2
第 1章 ベクトル 3
1.1 ベクトルの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 ベクトルの演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 ベクトルの線型独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 ベクトルの内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 2章 行列 9
2.1 行列の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 行列の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 正則行列と逆行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
第 3章 行列の基本変形と連立方程式 17
3.1 行列の基本変形と一次独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 基本変形による連立方程式の解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 連立方程式が解を持つ条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
第 4章 行列式 28
4.1 行列式の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 余因子展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 余因子行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 クラーメルの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
第 5章 解答 39
5.1 第 1章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 第 2章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 第 3章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 第 4章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
講義について
講義内容：線形代数とは，「現代的な一次方程式の理論」であり，「つるかめ算」で代表される連立一次方程式を一般化したものである．本講義では，ベクトルと行列，そして，連立一次方程式をキーワードに「線形代数」の初歩について学習する．
参考書：「線形代数講義」梶原健著，日本評論社，2500円（税抜）
授業計画：
第 1回 イントロダクション
第 2回 ベクトルと行列
第 3回 行列の演算
第 4回 正則行列と逆行列
第 5回 応用と演習
第 6回 連立一次方程式 I
第 7回 連立一次方程式 II
第 8回 行列の階数と解の自由度
第 9回 応用と演習
第 10回 行列式 I
第 11回 行列式 II
第 12回 余因子行列
第 13回 クラーメルの公式
第 14回 応用と演習
その他 まとめ
試験： 試験期間に行う．
2
第1章 ベクトル
1.1 ベクトルの定義実数を縦にいくつか並べて，カギ括弧でくくったものをベクトルという．特に，n個の数を並べたものを n次元ベクトルという．例えば，
x =
x1
x2
...
xn
である．ただし，各 xiは実数であり，第 i成分という．すべての n次元ベクトルからなる空間を n次元空間といい，Rnと表す．また，ベクトルxの大きさとは，各成分の 2乗の和の平方根であり，|x|で表す．特に，次が成り立つ．
|x| =√
x21 + x2
2 + · · ·+ x2n =
√√√√ n∑i=1
x2i
すべての成分が 0であるベクトルをゼロベクトルといい，0で表す．（このとき，|0| = 0である．）また，大きさが 1のベクトルを単位ベクトルという．
1.2 ベクトルの演算2つのベクトル
a =
a1a2a3
, b =
b1b2b3
を考えよう．ベクトル aと bが等しい，すなわち，a = bであるとは，各 iに対して，ai = biが成り立つことである．また，aと bの和とスカラー倍を次のように定義する．
3
ベクトルの演算� �• aと bの和：
a+ b =
a1a2a3
+
b1b2b3
=
a1 + b1a2 + b2a3 + b3
• aのスカラー倍：kをスカラーとするとき，
ka = k
a1a2a3
=
ka1ka2ka3
� �ベクトル a =
[a1a2
], b =
[b1b2
]は xy平面にそれぞれ，原点Oから点A(a1, a2)まで
引いた矢線−→OAと，原点から点B(b1, b2)まで引いた矢線
−→OBとして自然に表現される．こ
のとき，和 a+ bは，3点O, A, Bを含む平行四辺形の 4番目の点をCとおくと，Oを始点としてCを終点とする矢線
−→OCに対応する．一方，実数 k > 0に対して，aの k倍は，
始点Oを固定して aの大きさを k倍して得られる矢線OA’に対応する．図 1.1参照．このようにベクトルを平面や空間に幾何学的に表現すると，「ベクトルとは，原点を始点とし，大きさと向きを持った矢線である」と解釈できる．このとき，ベクトル aと b
が「同じ向きを持つ」とは，a = kbとなるスカラー k > 0が存在することである．一方，k < 0について a = kbのとき，aと bは逆向きである．
図 1.1: xy平面にベクトル aと bとの和とスカラー倍
4
練習 1.1. ベクトル a =
1
3
−1
, b =
−2
0
2
について，次の問いの答えよ．(1) a+ 2bを求めよ．
(2) aと向きが同じ単位ベクトルを求めよ．
1.3 ベクトルの線型独立性n個のベクトル x1,x2, . . . ,xnと n個のスカラー x1, x2, . . . , xnに対して，ベクトル
v = x1x1 + x2x2 + · · ·xnxn =∑i=1
xixi
を x1,x2, . . . ,xnの線型結合（または一次結合）という．
ベクトルの線型独立性� �n個のベクトルx1,x2, . . . ,xnが線型独立である（または，一次独立）とは，n個のスカラー x1, x2, . . . , xnに対して，
x1x1 + x2x2 + · · ·xnxn = 0
であれば，x1 = x2 = · · · = xn
が成り立つことである．一方，x1,x2, . . . ,xnが線型独立でないとき，それらを線型従属である（または，一次従属）という．� �定理 1 ベクトルx1,x2, . . . ,xnが線型独立であるとする．ベクトル vがx1,x2, . . . ,xnの線型結合で表されるならば，その表現は一意的である．つまり，
v = a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b1x1 + b2x2 + . . .+ bnxn
ならば，a1 = b1, a2 = b2, · · · , an = bnである．■
練習 1.2. (1) ベクトル a =
[1
2
], b =
[3
4
]は線型独立であることを示せ．
(2) ベクトル a =
1
0
2
, b =
1
1
−1
, c =
3
1
3
は線型従属であることを示せ．5
1.4 ベクトルの内積ベクトル a, bの内積 a · bは次のように定義される．
ベクトルの内積� �
ベクトル a =
a1a2...
an
, b =
b1b2...
bn
に対して，内積 a · bは次のように定義される．
a · b = a1b1 + a2b2 + · · · anbn
とくに，a · b = 0であるとき，aと bは直交するという．� �定理 2 ベクトル a, b, cに対して，次が成り立つ．
(i) a · b = b · a
(ii) (a+ b) · c = a · c+ b · c
(iii) 実数 tに対して，(ta) · b = ta · b
(iv) a · a = |a|2
練習 1.3. (1) a =
[2
−1
], b =
[3
1
]の内積 a · bを求めよ．
(2) a =
[k
2
], b =
[k − 1
−3
]が直交するとき，kの値を求めよ．
経済学において，ベクトルの内積は次のような文脈でも登場する．
3つの品物 P1, P2, P3について，1つあたりの価格がそれぞれ a1, a2, a3であるとする．そして，ある年，それらが売れた個数はそれぞれ b1, b2, b3であったとする．このとき，その年の売上総額 Iは，I = a1b1 + a2b2 + a3b3である．
これは，価格ベクトル aと売上ベクトル bを次のようにおくと
a =
a1a2a3
, b =
b1b2b3
aと bの内積 a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = Iである．
6
ベクトルaとベクトル bを xy平面に，原点Oを始点として，それぞれ矢線−→OA,
−→OBと
して配置する．図 1.2左参照．aと bのなす角を θとおくと，次が成り立つ．
ベクトルの内積の幾何学的定義� �a · b = |a||b| cos θ� �
この式から，大きさが 0でない 2つのベクトルaと bが直交するとき（すなわち，a ·b =
0）, a = 0かつ b = 0より，cos θ = 0であることがわかり，θ = π2である．つまり，文字
通り，aと bは直交していることがわかる．
図 1.2: aと bの内積と aの正射影
以下に，内積の公式を示そう．−→AB = b− aであることがわかる．定理 2の内積の計算
により，
|−→AB|2 = |b− a|2
= (b− a) · (b− a)
= b · (b− a)− a · (b− a)
= |a|2 − a · b− a · b+ |b|2
= |a|2 + |b|2 − 2a · b
となる．一方，余弦定理より，
|−→AB|2 = |a|2 + |b|2 − 2|a||b| cos θ
である．この両者を比較することにより，次が得られる：
a · b = |a||b| cos θ
7
点Aから直線OBに引いた垂線の足をHとおく．ベクトル h =−→OHを aの bへの正射
影ベクトルという．図 1.2右参照．このとき，次が成り立つ：
aの bへの正射影ベクトル� �h =
a · b|b|2
b
� �これを証明してみよう．正射影ベクトルhについて，
h =|−→OH||−→OB|
b =|−→OA| cos θ|−→OB|
b =|a| cos θ
|b|b
である．ここで，cos θ = a·b|a||b| より，次が成り立つ：
h =a · b|b|2
b
練習 1.4. 2つのベクトルを a =
[−1√3
], b =
[ √3
3
]とするとき，次の問いに答えよ．
(1) aと bのなす角 θを求めよ．
(2) aの bへの正射影ベクトル hを求めよ．
8
第2章 行列
2.1 行列の定義数を長方形型に並べ，カッコでくくったものを行列という．例えば，次のようなものである． [
−1 2
3 4
],
[−1 0 1
2 3 −1
],
1 2 3
4 5 6
7 8 9
行列Aを次のようにおこう：
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
= [aij]
図 2.1のように，行と列を定義する．上から i番目の行を第 i行，左から j番目の列を第 j
列という．行列の各数を成分といい，第 i行と第 j列に含まれる成分を (i, j)成分という．特に，成分 a11, a22, . . . , annをAの対角成分という．
図 2.1: 行列における行と列，成分，および対角成分
行列Aがm行と n列からなるとき，Aをm× n行列といい，m× nを行列Aの型という．特に，m = nのとき，Aを正方行列という（n行と n列からなる行列を n次正方行列という）．行列A = [aij]とB = [bij]について，A = Bは，AとBの型が等しく，どの i, j
についても aij = bijであることを意味する．
9
上の行列Aを次のように解釈することもある：
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
= [a1,a2, . . . ,an] =
bi1bi2...
bin
ただし，aj =
a1ja2j...
amj
をAの列ベクトルという（j = 1, . . . , n）．また，bi = [ai1, ai2, . . . , ain]
をAの行ベクトルという（i = 1, . . . ,m）．
いろいろな行列. すべての成分が 0である行列をゼロ行列といい，Oで表す．また，行列Aにおいて，行と列を入れ替えて得られる行列をAの転置行列といい，tAで表す．例示すると，
A =
[−1 0 1
2 3 −1
]−→ tA =
−1 2
0 3
1 −1
また，次の行列も重要である．
• 対角行列 · · · · · · 対角成分以外のすべての成分が 0である正方行列．
• 単位行列 · · · · · · 対角成分がすべて 1の対角行列．n次単位行列はEnで表す．
例示すると， 1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2
, E4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
その他として，対角成分より下側の成分がすべて 0である上三角行列や，対角成分よりの上の成分がすべて 0である下三角行列などがあげられる．図 2.2参照．
図 2.2: 上三角行列と下三角行列
10
2.2 行列の演算まず，行列の和とスカラー倍を定義しよう．
行列の和とスカラー倍� �• 行列の和：AとBがm× n行列のとき，
A+B = [aij] + [bij] = [aij + bij]
• 行列のスカラー倍（実数倍）： Aを行列，kを実数とするとき，
kA = k[aij] = [kaij]� �例．
•
[1 2 3
4 5 6
]+
[1 0 1
0 −1 2
]=
[2 2 4
4 4 8
]
• 2
[1 2
0 1
]=
[2 4
0 2
]
次に積を定義しよう．最初に，2次正方行列A =
[a b
c d
], B =
[p q
r s
]のとき，積
ABは次のように定義される：
AB =
[a b
c d
][p q
r s
]=
[ap+ br aq + bs
cp+ dr cq + ds
]一般に，行列の積は次のように定義される：
行列の積� �
m× n行列A =
a11 a12 · · · a1n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
と n× l行列B =
b11 · · · b1lb21 · · · b2l...
. . ....
bn1 · · · bnl
に対して，積ABは次のようにして得られるm× l行列である：
a11 a12 · · · a1n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
b11 · · · b1lb21 · · · b2l...
. . ....
bn1 · · · bnl
=
a11b11 + · · ·+ a1nbn1 · · · a11b1l + · · ·+ a1nbnl
a21b11 + · · ·+ a2nbn1 · · · a21b1l + · · ·+ a2nbnl
..
.. . .
..
.am1b11 + · · ·+ amnbn1 · · · am1b1l + · · ·+ amnbnl
� �11
ABの (i, j)成分のみに限定してみると，Aの第 i列ベクトルとBの第 j列ベクトルの内積になっていることに注意しよう．
......
...ai1 ai2 · · · ain...
......
· · · b1j · · ·· · · b2j · · ·
...· · · bnj · · ·
=
...
· · · ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj · · ·...
ここで，行列の積に関して，交換法則が成り立たないことに注意しよう．ただし，結合法則は成り立っている．（練習 2.1の (2),(3)などを参照せよ．）
• Aをm× n行列とするとき，m次単位行列Emと n次単位行列Enに対して，次が成り立つ．
A = EmA = AEn
• 次のように 2× 3行列と 3× 4行列の積は 2× 4行列である．[1 2 1
2 3 −1
] 1 0 1 1
2 1 −1 2
1 2 3 0
=
[6 4 2 5
7 1 −4 8
]
• 次の連立一次方程式は行列の積を用いて表せる：{2x + y = 3
3x − y = 2−→
[2 1
3 −1
][x
y
]=
[3
2
]
練習 2.1
(1) A =
[4 7 −1
2 −2 1
], B =
[3 −1 3
7 5 2
]のとき，A + B, A − Bを求めよ．また，
3A− 2B +X = Oを満たす行列Xを求めよ．
(2) A =
[100 10 1
−100 −10 −1
], B =
1 4
2 5
3 6
とするとき，AB, BA, tAtBを求めよ．
(3) A =
[1 2
0 1
], B =
[1 −1
1 2
]のとき，AB, BAを求めよ．また，C =
[1 2
−1 3
]とするとき，(AB)C = A(BC)を確認せよ．
(4) A =
[7 −8 0
2 1 −2
], B =
9 4 7 5
3 1 6 −5
0 4 9 4
のとき，ABを求めよ．
(5) A =
[1 2
0 1
]のとき，Anを求めよ．
12
2.3 正則行列と逆行列
正則行列と逆行列� �n次正方行列Aに対して，
AX = XA = En
を満たす n次正則行列Xが存在するとき，Aは正則であるという．（ただし，Enは n
次単位行列である．）このときのXをAの逆行列といい，X = A−1と表す．� �Aの逆行列の定義では，AX = XA = I を満たす X としているが，実際はAX = EからXA = Eが導ける．... AX = Eとする．このとき，XA = Eを示そう．AX = Eに右からAをかけると，(AX)A = EA = Aである．結合法則より，(AX)A = A(XA)であるから，A(XA) = Aとなる．ゆえに，XAは単位行列となり，XA = Eである．
また，逆行列について，次の事実が成立する：
• AとBが正則であるとき，ABも正則である．また，(AB)−1 = B−1A−1が成り立つ．（... ABB−1A−1 = Eであるから，(AB)(B−1A−1) = Eである．）
• Aが正則であるとき， A−1も正則である．すなわち，(A−1)−1 = A. （... AA−1 =
A−1A = Eである．これにおいて，A−1からAを眺めよ．）
逆行列の求め方．まず，2次の正方行列A =
[a b
c d
]の逆行列を求めてみよう．この行
列Aと x =
[x
y
], b =
[p
q
]を用いて，次の連立方程式を作る：
Ax = b ⇐⇒
[a b
c d
][x
y
]=
[p
q
]⇐⇒
{ax + by = p
cx + dy = q
Aが正則のとき，方程式Ax = bの両辺に左からA−1をかけると，
x = A−1b
であるから，xを求め，それを 2次正方行列と bとの積で表すことにより，A−1を求めよう．連立方程式を解くと，ad− bc = 0のとき，
x =1
ad− bc(dp− bq), y =
1
ad− bc(−cp+ aq)
である．これを行列に直すと，[x
y
]=
1
ad− bc
[dp− bq
−cp+ aq
]=
1
ad− bc
[d −b
−c a
][p
q
]
13
となるから，次を得る：
A−1 =1
ad− bc
[d −b
−c a
]一方，ad− bc = 0であるとき，Aは正則ではなく，逆行列を持たない．
2次正方行列の逆行列� �2次正方行列A =
[a b
c d
]が正則であるための必要十分条件は，ad− bc = 0が成り
立つことである．また，Aが正則のとき，Aの逆行列A−1は以下のようになる：
A−1 =1
ad− bc
[d −b
−c a
]� �この時点では，正方行列Aの次数が 3以上のときの逆行列の公式を与えにくいが，それらは次のようにして求めることができる．（行列式を習えば逆行列の一般公式も得られる．）
ここでは，A =
[2 1
1 −1
]について，A−1 =
1
−3
[−1 −1
−1 2
]であることを導こう．
連立方程式Ax = bにおいて，x =
[x
y
]について解こう．ただし，b =
[p
q
]である．
また，便宜上，右辺には単位行列Eをかけ，Ax = Ebとしておく．
{2x + 1y = 1p + 0q
1x − 1y = 0p + 1q⇐⇒
[2 1
1 −1
][x
y
]=
[1 0
0 1
][p
q
]
連立方程式を加減法で解くと，右のようになる．左では係数のみを拾うことにする．{2x + 1y = 1p + 0q
1x − 1y = 0p + 1q⇐⇒
[2 1 1 0
1 −1 0 1
]
→
{3x + 0y = 1p + 1q
1x − 1y = 0p + 1q⇐⇒
[3 0 1 1
1 −1 0 1
]
→
{1x + 0y = 1
3p + 1
3q
1x − 1y = 0p + 1q⇐⇒
[1 0 1
313
1 −1 0 1
]
→
{1x + 0y = 1
3p + 1
3q
0x − 1y = −13p + 2
3q
⇐⇒
[1 0 1
313
0 −1 −13
23
]
14
→
{1x + 0y = 1
3p + 1
3q
0x + 1y = 13p − 2
3q
⇐⇒
[1 0 1
313
0 1 13
−23
]
縦線で仕切られた行列の右部分に目標の逆行列が得られている．なぜなら，直前の等式は[x
y
]=
1
−3
[−1 −1
−1 2
][p
q
]
であることを示しており，それを x = A−1bと比較してみると，
A−1 =1
−3
[−1 −1
−1 2
]
であることがわかる．
まとめると，n次正方行列Aの逆行列は以下の手順で求めることができる．行列A =[2 1
1 −1
]を例に説明してみよう．
(1) 行列 [A|En]を考える．例えば，[2 1 1 0
1 −1 0 1
].
(2) この n× 2n行列に対して，縦線で仕切られた左部分が単位行列になるまで，以下の3つの変形を繰り返す：
(a) 1つの行を k倍する．
(b) 1つの行を別の行に加える．
(c) 2つの行を入れ替える．
(3) 行列 [En|B]に変形できたら，Bが求めるべきAの逆行列である．例えば，[1 0 1
313
0 1 13
−23
].
すなわち，次のようになる：
A−1 =
[13
13
13
−23
]=
1
3
[1 1
1 −2
]
左部分が単位行列に変形できなければ，Aは正則ではなく，逆行列を持たない．
15
例. 次の行列の逆行列を求めよ．
(1)
[2 3
4 5
](2)
2 1 3
3 −1 2
1 2 3
(3)
3 −6 10
3 −5 11
2 −4 7
解答.
(1)
[2 3 1 0
4 5 0 1
]→
[2 3 1 0
0 −1 −2 1
]→
[2 0 −5 3
0 1 2 −1
]→
[1 0 −5
232
0 1 2 −1
]
(2)
2 1 3 1 0 0
3 −1 2 0 1 0
1 2 3 0 0 1
→
0 −3 −3 1 0 −2
0 −7 −7 0 1 −3
1 2 3 0 0 1
→
0 1 1 −13
0 23
0 1 1 0 −17
37
1 2 3 0 0 1
→
1 2 3 0 0 1
0 1 1 −13
0 23
0 0 0 13
−17
− 521
→逆行列はない
(3)
3 −6 10 1 0 0
3 −5 11 0 1 0
2 −4 7 0 0 1
→
1 −2 3 1 0 −1
3 −5 11 0 1 0
2 −4 7 0 0 1
→
1 −2 3 1 0 −1
0 1 2 −3 1 3
0 0 1 −2 0 3
→
1 −2 0 7 0 −10
0 1 0 1 1 −3
0 0 1 −2 0 3
→
1 0 0 9 2 −16
0 1 0 1 1 −3
0 0 1 −2 0 3
練習 2.2. 次の行列の逆行列を求めよ．
(1)
[8 5
1 −3
](2)
1 2 0
1 3 0
0 2 1
(3)
1 0 1
0 1 2
−4 3 2
(4)
1 −4 1
0 2 0
1 −4 3
16
第3章 行列の基本変形と連立方程式
3.1 行列の基本変形と一次独立性連立方程式と掃き出し法
行列の基本変形� �m× n行列A = [aij]から新しいm× n行列A′を作る次の 3つの操作を行基本変形という．図 3.1参照．
(1) （スカラー倍）ある 1つの行を k倍する．
(2) （和）第 i行を第 j行に加えて，第 j行を書き替える．
(3) （入れ替え）第 i行と第 j行を交換する．� �
図 3.1: 行基本変形
行基本変形は前章で扱った逆行列の求め方にも登場していた．この章では，行基本変形により，与えられた行列をある基本形に変形することを扱う．
17
2元連立一次方程式の行列を用いた解法を考えよう．{3x − y = 4
x + y = 8⇐⇒
[3 −1 4
1 1 8
]
{4x = 12
x + y = 8⇐⇒
[4 0 12
1 1 8
]{
x = 3
x + y = 8⇐⇒
[1 0 3
1 1 8
]{
x = 3
y = 5⇐⇒
[1 0 3
0 1 5
]
左は連立方程式を加減法で解いており，(x, y) = (3, 5)という解を得ている．一方，右が対応する行列になっており，上から下に進む時，3つの基本変形のいずれかを行なっていることがわかる．そして，単位行列の右の部分に解が現れていることがわかる．
例. 次の 3元連立一次方程式を行列における行基本変形を用いて解いてみよう．x − y + z = 2
x + y + z = 6
−x + y + 2z = 7
解法． 1 −1 1 2
1 1 1 6
−1 1 2 7
−→
1 −1 1 2
0 2 0 4
0 0 3 9
−→
1 −1 1 2
0 1 0 2
0 0 1 3
−→
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
したがって，解 (x, y, z) = (1, 2, 3)を得る．
上記の連立方程式の解法では，3× 4行列に基本変形を適用している．特に，最初の変形では (1, 1)成分の「1」を利用して，(2, 1)成分と (3, 1)成分を 0にしている．この最左の１は要（かなめ）と呼ばれ，以降，重要な役割を果たすことになる．この手順を「(1, 1)
成分を要として掃き出した」といい，このようにある成分を利用して 0を作り出す方法を掃き出し法という．例えば，次の行列に繰り返し，掃き出し法を適用してみよう．
1 −1 1 － 12 −2 1 −2
−2 2 −1 3
−→
1 −1 1 −12 −1 1 −20 0 0 1
−→
1 −1 1 −10 0 −1 00 0 0 1
−→
1 −1 0 00 0 1 00 0 0 1
18
既約行階段形
与えられた行列に行基本変形を繰り返しながら，なるべく単純な形に変形していくことを学習する．そのための基本形を次のように定義する：
既約行階段形� �次の条件を満たす行列を既約行階段形であるという．図 3.2参照．
• 各行はすべて 0であるか，そうでなければ最左の 0でない成分（要）は 1．
• 1行下にずれると，要は１つ以上右にずれる．
• 要を含む列において，要以外の成分はすべて 0である．� �
図 3.2: 既約行階段形（要は丸で囲まれている）
定理 3 掃き出し法を用いることにより，任意の行列は既約行階段形に一意的に変形される．
行列Aの既約行階段形における要の個数をAの階数といい，rank Aと書く．既約行階段形は一意的に定まるので，Aの階数も一意的に定まることに注意しよう．
例. 次の行列の既約行階段形と階数を求めよ．
(1)
1 1 −2 0
−2 −2 3 −3
3 3 −5 4
(2)
3 2 4 2
−7 −4 −10 −5
−3 −3 −3 −2
(3)
−3 −2 −1 −2
2 1 −1 −3
4 2 −1 −3
解 次のようにして求めることができる．以下の計算により，階数はすべて 3である．
(1)
1 1 −2 0−2 −2 3 −33 3 −5 4
−→
1 1 −2 00 0 −1 −30 0 1 4
−→
1 1 −2 00 0 1 30 0 0 1
−→
1 1 0 00 0 1 00 0 0 1
(2)
3 2 4 2−7 −4 −10 −5−3 −3 −3 −2
−→
3 2 4 2−1 0 −2 −10 −1 1 0
−→
1 0 2 13 2 4 20 −1 1 0
−→
1 0 2 10 2 −2 −10 −1 1 0
−→
1 0 2 10 0 0 10 −1 1 0
−→
1 0 2 10 1 −1 00 0 0 1
−→
1 0 2 00 1 −1 00 0 0 1
19
(3)
−3 −2 −1 −22 1 −1 −34 2 −1 −3
−→
1 0 −2 −52 1 −1 −30 0 1 3
−→
1 0 −2 −50 1 3 70 0 1 3
−→
1 0 0 10 1 0 −20 0 1 3
逆行列を持たない正方行列.
前章では，与えられた n次正方行列Aに対して，A−1を求めるための方法を紹介した．その方法では，Aの右に単位行列をおいた n× 2n行列において，Aが単位行列Enになるまで，行基本変形を繰り返すというものであった．そして，Aが Enに変形できる場合，Aは逆行列 A−1をもち，そうでない場合，Aは逆行列A−1を持たないと述べた．この説では，n次正方行列Aが単位行列Enになるためことと，Aの階数が nであることが同値であることを学習した．したがって，これらを組み合わせると，次がわかる：
「n次正方行列Aが逆行列を持つための必要十分条件は，Aの階数が nである」
行列の基本形とベクトルの一次独立性
問． 3つのベクトル x =
120
,y =
−1−11
, c =
01
−1
は一次独立であるか．
この問題を解くには，第 1.3節で学んだように，ax+ by + cz = 0，すなわち，
a
120
+ b
−1−11
+ c
01
−1
=
000
⇐⇒
a − b = 02a − b + c = 0
b − c = 0
という連立方程式を解き，a = b = c = 0という解が得られるかどうかを判定すればよい．一方，直前では，連立方程式を行列の基本変形を用いて解いた．これらを組合せると，問の 3
つのベクトル x,y, z が一次独立となるためには，行列と基本変形により，次のようになればよい． 1 −1 0 02 −1 1 00 1 −1 0
−→ · · · −→
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
上で基本変形を繰り返す過程において，第 4列はいつでもゼロベクトルであるから，第 4列を
除いた 3× 3行列について， 1 −1 02 −1 10 1 −1
−→ · · · −→
1 0 00 1 00 0 1
となればよく，階数が 3になるかを見ればよい．この行列をA = [xyz]とおき，その方針で解いてみよう．
A = [xyz] =
1 −1 02 −1 10 1 −1
−→
1 −1 00 1 10 1 −1
−→
1 −1 00 1 10 0 −2
−→
1 0 00 1 00 0 1
20
上のように， Aの階数は 3であるから，x,y, zは一次独立である．
一般に，以下の定理が成り立つ．
定理 4 n個のm次元ベクトル a1,a2, . . . ,anが一次独立であるための必要十分条件は，m× n行列A = [a1a2 · · ·an]の階数が nであることである．
問. ベクトル x =
1010
,y =
110
−1
, z =
1
−121
は一次独立であるかを判定せよ．解答.
[xyz] =
1 1 10 1 −11 0 20 −1 1
−→
1 1 10 1 −10 −1 10 0 0
−→
1 0 20 1 −10 0 00 0 0
階数は 2であるから，x,y, zは一次独立ではない．
練習 3.1 次の連立一次方程式を行列と行基本形を用いて解け．
(1)
x + 2y + 3z = 42x + 5y + 3z = 13x + 8z = −5
(2)
x − 2y + 2z = 1
−2x + 2y + z = −22x + y − 2z = 2
練習 3.2 次の行列の既約行階段形と階数を求めよ．
(1)
1 2 2 0 31 2 3 1 22 4 6 2 7
(2)
1 −1 2 0 13 1 2 0 5
−2 −12 10 −7 55 21 −16 1 16
練習 3.3 次のベクトルは一次独立であるかを，行列と行基本変形を用いて判定せよ．
(1) x =
12
−3
,y =
3−12
, z =
1−58
(2) x =
3−20
,y =
−102
, z =
2−11
練習 3.4 行列A =
x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x
の階数を求めよ．ただし，xは実数である．
21
3.2 基本変形による連立方程式の解法次の連立方程式 (X)を解いてみよう．
(X)
x + y = 3 · · · · · · 1⃝
−x + z = −1 · · · · · · 2⃝−2x − y + 2z = −4 · · · · · · 3⃝
1⃝が x, y の関係式だから， 2⃝と 3⃝から z を消去して，それぞれ xと y の 2つの関係式 1⃝と 4⃝を得る． {
x + y = 3 · · · · · · 1⃝−y = −2 · · · · · · 4⃝
1⃝と 4⃝より，y = 2, x = 1であり，これを 2⃝に代入すると，z = 0を得る．したがって，連立方程式 (X)の解 (x, y, z) = (1, 2, 0)を得る.
一方，同じ連立方程式 (X)を行列の基本変形により解こう．特に，連立方程式
(X)
x + y = 3
−x + z = −1−2x − y + 2z = −4
において，次の 2つの行列は，左が連立方程式 (X)の左辺の文字の係数のみを拾って作った行列であり，右はそれに右辺の値も追加して得られたものである： 1 1 0
−1 0 1−2 −1 2
1 1 0 3−1 0 1 −1−2 −1 2 −4
前者を係数行列といい，後者を拡大係数行列と呼ぶ．
連立方程式は拡大係数行列に基本変形を適用することで解くことができる．この解法のメリットとして，方程式 (X)の 1⃝, 2⃝, 3⃝から「同じ文字を消去して」同一の 2変数の連立方程式を得るという煩わしさから解放されるということがある．
行列の基本変形による解き方� � 1 1 0 3
−1 0 1 −1−2 −1 2 −4
−→
1 1 0 30 1 1 20 1 2 2
−→
1 1 0 30 1 1 20 0 1 0
−→
1 0 0 10 1 0 20 0 1 0
ゆえに，解
xyz
=
120
を得る．� �この方法では，前節で学習した「既約行階段形」が解を示すことに注意しよう．この節では，連
立方程式を行列を用いて解く方法にさらに学ぶことにする．
問. 次の連立方程式を解いてみよう．そして，冒頭の問題とは違う状況が起こることを確認しよう．x − y − 3z = 1
2x + y = 2x − z = 1
22
これを連立方程式を用いて解くと， 1 −1 −3 12 1 0 21 0 −1 1
−→
1 −1 −3 10 3 6 00 1 2 0
−→
1 −1 −3 10 1 2 00 0 0 0
−→
1 0 −1 10 1 2 00 0 0 0
既約行階段形を作ってみたが，階段形がうまく作れないことに注意しよう．この形から直接的に解を作ることができないが，無理に解を作ると以下のようになる．行列の基本変形の最終形は{
x − z = 1y + 2z = 0
を表しているので，z = tとおくと，{
x = t+ 1y = −2t
である．すなわち，tを任意の実数として，
次を得る： xyz
=
t+ 1−2tt
=
1−21
t+
100
以下に，階段形がうまく作れない場合，既約行階段形から解を作る方法を紹介する．
解の作り方� �本来 1が残って欲しい場所に -1 を置く．そして， -1 を含む列を実数倍すると，解を作ることができる． 1 0 −1 1
0 1 2 00 0 0 0
=⇒
1 0 −1 10 1 2 0
0 0 -1 0
=⇒
xyz
=
−12
−1
t+
100
� �理由を説明すると，以下のようになる．（行列に -1 を置くことは，最終行に z − z = 0を置くこ
とに対応している．そして，2つめの zを tと置くと目標の解を得る．）{x − z = 1
y + 2z = 0=⇒
x − z = 1
y + 2z = 0z − z = 0
=⇒
xyz
+ z
−12
−1
=
100
問. 次の連立方程式を解け． {
x + 2y + 3w = 4z + 5w = 6
解答. この方程式から拡大係数行列を作ると，以下のものが得られ，すでに既約行階段形であることがわかる．したがって，ここから上で述べた手順で解を作ると，次のようになる．
[1 2 0 3 40 0 1 5 6
]=⇒
1 2 0 3 4
0 -1 0 0 00 0 1 5 6
0 0 0 -1 0
=⇒
xyzw
= s
2
−100
+ t
305
−1
+
4060
ただし，s, tは任意の実数である．
23
練習 3.5 次の連立方程式を解け．
(1)
x + y + z = 42x − y = 1
y + 2z = 5
(2)
x + 2y − z = 1
y + 2z = 2x + 3y + z = 3
(3)
x − y + z + w = −12x + y − z + 3w = 8−x − y + 2z − w = −63x − y + z + w = 1
(4)
x + 3y + z − 10w = 6
3x + 6y + z − 17w = 132x + 4y + z − 12w = 8
(5)
x + 2y + z − 3w + 2v = 1
3x + 6y + 4z + 2w − v = 22x + 4y + 3z + 5w − 3v = 14x + 8y + 5z − w + v = 3
3.3 連立方程式が解を持つ条件
例 1. 連立方程式
2x + y − z = 1x − y + z = 2
−x − y + 2z = 2を行列で解くと，以下のようになる．
2 1 −1 11 −1 1 2
−1 −1 2 2
−→
1 −1 1 22 1 −1 1
−1 −1 2 2
−→
1 −1 1 20 3 −3 −30 −2 3 4
−→
1 −1 1 20 1 0 10 0 3 6
−→
1 −1 1 20 1 0 10 0 1 2
−→
1 −1 0 00 1 0 10 0 1 2
−→
1 0 0 10 1 0 10 0 1 2
ゆえに， x
yz
=
112
また，次の連立方程式も解いてみよう．
24
例 2.
3x − y + z = 12x + y − 2z = −2x − 2y + 3z = 3
3 −1 1 12 1 −2 −21 −2 3 3
−→
1 −2 3 33 −1 1 12 1 −2 −2
−→
1 −2 3 30 5 −8 −80 5 −8 −8
−→
1 −2 3 30 1 − 8
5− 8
50 0 0 0
−→
1 0 − 15
− 15
0 1 − 85
− 85
0 0 0 0
=⇒
1 0 − 15
− 15
0 1 − 85
− 85
-1
ゆえに，tを任意の実数とするとき， x
yz
= t
−15
−85
−1
+
−15
−850
解が存在するための条件．
例 2を少々変形した問題を考えよう．
3x − y + z = 12x + y − 2z = −1x − 2y + 3z = 3
行列の基本変形を用いて解くと，以下のようになる． 3 −1 1 12 1 −2 −11 −2 3 3
−→
1 −2 3 33 −1 1 12 1 −2 −1
−→
1 −2 3 30 5 −8 −80 0 0 1
−→
1 −2 3 30 1 − 8
5− 8
50 0 0 1
最後の行列の第 3行は 0 = 1を意味しており，連立方程式が解を持たないことを意味している．
これは，次に見るように，例 2の連立方程式の係数行列と拡大係数行列の階数が異なることによることがわかる． 3 −1 1
2 1 −21 −2 3
−→
1⃝ −2 30 1⃝ − 8
50 0 0
3 −1 1 12 1 −2 −21 −2 3 3
−→
1⃝ −2 3 30 1⃝ − 8
5− 8
50 0 0 1⃝
一般に，次の事実が成り立つ．
解の存在条件� �定理 5 連立一次方程式が解を持つための必要十分条件は，その係数行列と拡大係数行列が等しい階数を持つことである．� �また，連立方程式において，
変数の個数 = 係数行列の階数 = 拡大係数行列の階数
が成り立つとき，連立方程式はただ 1つの解を持つことがわかるだろう．次のような形の連立方程式
x − 2y + 3z = 0x + y − 2z = 0
−x − 3y − z = 0
25
すなわち，すべての等式の定数部分が 0となっている連立一次方程式
Ax = 0
を同次連立一次方程式（または斉次連立一次方程式）という．同次連立方程式は，必ず，自明な解 x = 0を持つことがわかる．また，同次連立方程式におい
ては，係数行列と拡大係数行列の階数は常に等しくなり，定理 5より，必ず解を持つことわかる．さらに，同次連立一次方程式において，変数の個数と係数行列の階数が一致すれば，その解は自明な解のみになる．
基本解と一般解.
例 3. 連立方程式 (X)
{x − 3y + 3w = 1
z + 2w = 3を行列を用いて表現すると，その拡大
係数行列はすでに既約行階段形だから，(X)の解は，s, tを任意の実数として，次のように書ける．
[1 −3 0 3 10 0 1 2 3
]=⇒
1 −3 0 3 1
0 -1 0 0 0
0 0 1 2 3
0 0 0 -1 0
=⇒
xyzw
= s
3
−100
+ t
302
−1
+
1030
このとき，得られた解
xyzw
= s
3
−100
+ t
302
−1
+
1030
は (X)の一般解という．また，
3
−100
と
302
−1
を (X)の基本解といい，
1030
を特殊解という．ここで注意すべきは，特殊解は必ずその連立方程式の解になるが，基本解は一般には解ではないことである．一方，同次連立一次方程式では各基本解もその方程式の解になっている．
したがって，連立一次方程式が解（一般解）を持つとき，
連立方程式の一般解 = 基本解の一次結合 + 特殊解
であることがわかる．そして，同次連立一次方程式においては，特殊解は必ず零ベクトルである．また，このとき，例 1と例 2での考察から，次のことがわかる．
基本解の個数と係数行列の階数の関係� �連立方程式の変数の個数 = 係数行列の階数 + 基本解の個数� �
一般解における基本解の個数をその解の自由度という．解のなす空間を解空間といい，解空間の次元とは解の自由度である．解の自由度と解空間について，以下のようにまとめられる：
解の自由度 解 解空間0 ⇐⇒ x = a0 （ただ 1つの解） ⇐⇒ 点1 ⇐⇒ x = a0 + a1a1 ⇐⇒ 直線2 ⇐⇒ x = a0 + a1a1 + a2a2 ⇐⇒ 平面3 ⇐⇒ x = a0 + a1a1 + a2a2 + a3a3 ⇐⇒ 空間
26
問. 次の連立方程式の解空間が直線になるように定数 a, bの値を定め，そのときの解を求めよ．−x − y = −5
−3y + 3z = −6−x + (a+ 1)y + az = b
解答. 行列の基本変形を用いると，以下のようになる： −1 −1 0 −50 −3 3 −6
−1 a+ 1 a b
−→
−1 −1 0 −50 −3 3 −60 a+ 2 a b+ 5
−→
1 1 0 50 1 −1 20 a+ 2 a b+ 5
−→
1 1 0 50 1 −1 20 0 2a+ 2 b− 2a+ 1
−→
1 0 1 30 1 −1 20 0 2a+ 2 b− 2a+ 1
=⇒
1 0 1 30 1 −1 2
0 0 -1 0
方程式が解を持つためには係数行列と拡大係数行列の階数が一致しなければならない．また，解
空間が直線になる（解の自由度が 1）には，それら両者の階数は 2にならなければならない．したがって，2a+ 2 = 0かつ b− 2a+ 1 = 0を得る．これを解くと，a = −1, b = −3である．また，そのときの解は，tを任意の実数とするとき， x
yz
= t
1−1−1
+
320
.
練習 3.6 次の同次連立一次方程式を解け．
(1)
x + 2y − z = 0
−x − 3y + 2z = 02x + 5y − z = 0
(2)
x + y + z = 0
3x − y + 2z = 02x − 2y + z = 0
練習 3.7 次の連立一次方程式は解を持つか．x − y + z = 22x + y − 2z = 3x + 5y − 7z = 1
練習 3.8. 次の連立方程式が解を持つように定数 a, bの値を定め，そのときの解を求めよ．x + 2z − w = ax + y + 5z − w = −22x − y + z − 2w = 23x − y + 3z − 3w = b
27
第4章 行列式
4.1 行列式の定義この説では，正方行列から定まる行列式と呼ばれる値を扱い，その有用性を述べたい．まずは，
その定義を与える．
1, 2, . . . , nを並べたもの π : i1i2 . . . inを順列という．πにおいて，iaと ibが，a < bかつ ia > ibを満たすとき，これらを転倒という．πにおける転倒の数が偶数のとき，πを偶順列といい，奇数のとき，奇順列という．例えば，{1, 2, 3}の順列 π = 312において，転倒は 3, 1と 3, 2の 2つであるから，順列 πは偶順列である．一方，π = 132は 3, 2のみが転倒であり，奇順列である．さらに，転倒数の偶奇性は次のように考えてもよい．「与えられた順列は，隣り合う数の入れ替えを何回やれば元に戻るか」例えば，π = 312 → 132 → 123であるから，πは偶順列である．
{1, 2, . . . , n}の順列 π = i1i2 . . . inの符号とは sgn(π)と表し，次のように定義される：
sgn(π) = sgn(i1i2 . . . in) =
{1 (π : 偶順列)
−1 (π : 奇順列)
行列式の定義� �n次正方行列A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
an1 an2 . . . ann
の行列式とは，|A|または detAと表し，次のよう
に定義される．|A| = detA =
∑π=i1i2···in
sgn(π) a1i1a2i2 · · · anin
� �注意. 順列 πについて，π(k) = ikとなるとするとき，この置換の逆写像 π−1も 1, . . . , nの順列になっている．そのことから，上の行列式の定義は，
|A| = detA =∑
π−1=j1j2···jn
sgn(π−1) aj11aj22 · · · ajnn
と一致する．すなわち，Aの転置行列 tAについて，|A| = |tA|が成り立つ．
例. n = 1, 2のとき，行列式の公式を作ってみよう．
(1) 2次の正方行列 A =
[a11 a12a21 a22
]の行列式を求めてみよう．{1, 2}の順列は π = 12, 21で
あり，順に，偶順列と奇順列だから，
|A| = a11a22 − a12a21
28
(2) 3次の正方行列 A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
の行列式を求めてみよう．{1, 2, 3}の順列は π =
123, 132, 213, 231, 312, 321であり，順に，偶，奇，奇，偶，偶，奇であるから，順に足すことにより，
|A| = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
また，n = 2, 3のときには行列式の公式が図 4.1にように表現できる．これをサラスの方法という．しかしながら，n ≥ 4の場合，行列式の公式にこのような表現はない．
図 4.1: サラスの方法
例. 次の行列式の値を求めよ．
(1)
∣∣∣∣ 7 4−3 2
∣∣∣∣ = 14 + 12 = 26
(2)
∣∣∣∣∣∣3 4 −3
−1 2 15 −2 6
∣∣∣∣∣∣ = 36− 20− 630 + 24 + 6 = 110
(3)
∣∣∣∣∣∣1 a b0 2 c0 0 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 2 · 3 = 6
行列式の幾何学的意味. ベクトル x =
[ab
], y =
[cd
]のなす角を θとおき，xと yを 2辺とす
る平行四辺形の面積 Sを求めてみよう．（図 4.2左参照．）内積の定義から，x · y = ac+ bdであり，|x| =
√a2 + b2, |y| =
√c2 + d2であるから，
cos θ =x · y|x||y|
=ac+ bd√
a2 + b2√c2 + d2
.
ゆえに，0 ≤ 0 ≤ πだから，
sin θ =
√1− (ac+ bd)2
(a2 + b2)(c2 + d2).
29
図 4.2: 平行四辺形と平行六面体
したがって，ベクトル x,yで張る三角形の面積 S′は次のようになる：
S′ =1
2|x||y| sin θ
=1
2
√a2 + b2
√c2 + d2
√1− (ac+ bd)2
(a2 + b2)(c2 + d2)
=1
2
√(a2 + b2)(c2 + d2)− (ac+ bd)2
=1
2|ad− bc|
ゆえに，S = 2S′より，A =
[a cb d
]の行列式 |A| = ad− bcの絶対値は，ベクトル x =
[ab
],
y =
[cd
]の張る平行四辺形の面積に等しい．また，|A| = |tA| より，ベクトル x =
[ac
],
y =
[bd
]の張る平行四辺形の面積にも等しい．
行列式の幾何学的意味� �• A =
[a11 a12a21 a22
]に対して，|A|の絶対値はベクトル x =
[a11a21
], y =
[a12a22
]の張
る平行四辺形の面積に等しい．（図 4.2左参照．）
• A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
に対して，|A|の絶対値はベクトルx =
a11a21a31
, y =
a12a22a32
,y =
a13a23a33
の張る平行六面体の体積に等しい．（図 4.2右参照．）
� �練習 4.1
(1) ベクトル[12
], y =
[3
−2
]の張る平行四辺形の面積を求めよ．
30
(2) ベクトル
10
−2
, y =
213
, y =
0−1−2
が張る平行六面体の体積を求めよ．
(3) ベクトル
−4−32
, y =
01t
, y =
1t2
が同一平面上にあるとき，実数 tの値を求めよ．
行列式の基本的性質. ここでは，行列式の基本的性質を整理しよう．
正方行列Aについて，Aの転置行列 tAについて，|A| = |tA|である．以下は，行列の式に性質について，行に関する操作についての観察のみを記述しているが，列についても同様の事実が成り立つことに注意しよう．
行列式の基本的性質� �(1) （零ベクトル）ある行が零ベクトルならば，行列式の値は 0である．∣∣∣∣∣∣ 0 0 · · · 0
∣∣∣∣∣∣ = 0
(2) （行の k倍）ある行ベクトルを k倍すれば，行列式は k倍される．∣∣∣∣∣∣ ka1 ka2 · · · kan
∣∣∣∣∣∣ = k
∣∣∣∣∣∣ a1 a2 · · · an
∣∣∣∣∣∣(3) （行の入れ替え）ある 2つの行を入れ替えると，行列式は−1倍される．
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 · · · an
b1 b2 · · · bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1 b2 · · · bn
a1 a2 · · · an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(4) （同一の行）2つの行に同一のベクトルが入れば，行列式は 0である．
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 · · · an
a1 a2 · · · an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
(5) （分配法則）ある行が 2つのベクトルの和であるとき，行列式の和に分配できる．∣∣∣∣∣∣ a1 + b1 a2 + b2 · · · an + bn
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ a1 a2 · · · an
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ b1 b2 · · · bn
∣∣∣∣∣∣� �次のようにして，上の (5), (2), (3)を順に適用することにより，「ある行に別の行の k倍を加え
ても行列式が変わらない」ことがわかる．
31
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 · · · an
b1 + ka1 b2 + ka2 · · · bn + kan
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 · · · an
b1 b2 · · · bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 · · · an
a1 a2 · · · an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 · · · an
b1 b2 · · · bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
練習 4.2. 次の行列Aの行列式 |A|を求めよう．
(1)
∣∣∣∣∣∣a 1 2b2 b c2
b 1 c
∣∣∣∣∣∣ (2)
∣∣∣∣∣∣a+ b+ 2c a b
c b+ c+ 2a bc a c+ a+ 2b
∣∣∣∣∣∣ (3)
∣∣∣∣∣∣1 1 1a b ca2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣注意. 行列の既約行階段形や階数を求めるための 3種類の行基本変形
1. ある行の k倍, 2. i行を j行に加える, 3. 2つの行の入れ替え
は，正方行列の行列式の値を変えてしまうことに注意しよう．（1.は行列式の値を k倍し，3.は−1倍する．2.は行列式を変えない．）しかしながら，この 2つの変形は「行列式の値がゼロがどうか」という性質は保存している．この事実から，次の命題が成り立つ．
正方行列の階数と行列式� �n次正方行列Aについて，
(a) rank A = n ⇐⇒ (b) Aが正則 ⇐⇒ (c) |A| = 0� �4.2 余因子展開前節では，n次正方行列について，「行列式」を定義し，そして基本的な性質を学習した．n ≤ 3
であれば，サラスの方法により，行列式の計算は容易にできるが，≥ 4については，定義に基づいて計算しなければならないのか．ここでは，n ≥ 4の正方行列についても行列式を簡単に計算するための方法を学び，さらにその有用性に触れる．
n次正方行列
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
= [aij ]
について，第 i行と第 j 列を取り除いて得られる n − 1次正方行列の行列式を Aij と表す．また，Aの余因子を次のように定義する：
Aij = (−1)i+jAij
32
例. A =
1 2 34 5 67 8 9
のとき，以下のようになる：A12 =
∣∣∣∣ 4 67 9
∣∣∣∣ = 36− 42 = −6
A23 = (−1)2+3
∣∣∣∣ 1 27 8
∣∣∣∣ = −(8− 14) = 6
以下のように，行列式は余因子を用いて展開される：
余因子展開 1⃝� �n次正方行列A = [aij ]について，第 i行において展開すると
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · ainAin
が得られる．また，第 j列で展開すると以下のようになる：
|A| = a1jA1j + a2jA2j + · · · anjAnj� �例えば，A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
について，a11, a12, a13でまとめると，
|A| = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a21 + a13a21a32 − a13a22a31
= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)
= a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣であり，第 1行での展開になっている．
一般に，n次正方行列 A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
= [aij ]の第 k行の余因子展開について考
えてみよう．定義に基づいた |A|の展開において，ak1を含む各項は
a1 i1a2 i2 · · · ak−1 ik−1ak 1 ak+1 ik+1
· · · an in
であり，{2, . . . , n}の順列 π′をすべて動かして得られるもの全体となっている．ここで，π′に対応する {1, . . . , n}の順列 πは，π′の k番目に “1”を挿入して得られるので，sgn(π) = (−1)1+ksgn(π′)である．したがって，ak1を含む各項の和は
(−1)1+kak1∑π′
sgn(π′)a1 i1a2 i2 · · · ak−1 ik−1ak+1 ik+1
· · · an in = (−1)1+kak1Ak1 = ak1Ak1
同様に考えると，|A| = ak1Ak1 + ak2Ak2 + · · ·+ aknAkn
であり，第 1行での |A|の余因子展開が得られる．
33
ここで，n次正方行列A = [aij ]について，次の式を考えてみよう．
(∗) = a11A21 + a12A22 + · · ·+ a1nA2n
つまり，aij に関して第 1列から選ばれているのに対して，Aij に関しては第 2列から選ばれている．(∗)は |A|の展開において，a2j に a1j を代入したものに他ならないので，次を得る：
(∗) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na11 a12 · · · a1n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
一般に，次が成り立つ：
余因子展開 2⃝� �n次正方行列A = [aij ]について，
ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · ainAjn =
{|A| (i = j)0 (i = j)
a1iA1j + a2iA2j + · · · aniAnj =
{|A| (i = j)0 (i = j)� �
例. 次の行列式の値を計算してみよう．
(1)
∣∣∣∣∣∣1 2 21 1 30 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 1 3−1 −1
∣∣∣∣+ (−1)
∣∣∣∣ 2 2−1 −1
∣∣∣∣ = 2− 0 = 2
行列式を不変とする基本変形を用いて 0を増やした後に余因子展開してもよい．∣∣∣∣∣∣1 2 21 1 30 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 20 −1 10 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ −1 1−1 −1
∣∣∣∣ = 1− (−1) = 2
(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 64 1 2 92 4 1 62 4 2 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 64 1 2 92 4 1 60 0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 54 1 2 72 4 1 50 0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)3+4
∣∣∣∣∣∣1 1 54 1 72 4 5
∣∣∣∣∣∣= −(5 + 14 + 80− 10− 20− 28) = −41
(3)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 5 8 120 2 9 110 0 3 120 0 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1
∣∣∣∣∣∣2 9 110 3 120 0 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 2∣∣∣∣ 3 120 4
∣∣∣∣ = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
34
(4)
∣∣∣∣∣∣∣∣−3 2 4 54 −3 2 −33 3 −6 1
−2 1 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣0 5 −2 60 −1 8 53 3 −6 1
−2 1 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣
0 5 −2 60 −1 8 51 4 −3 5
−2 1 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 5 −2 60 −1 8 51 4 −3 50 9 −3 14
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣5 −2 6
−1 8 59 −3 14
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣
0 38 31−1 8 50 69 59
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 38 3169 59
∣∣∣∣ = 103
(5)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 5 2 31 3 −1 1 22 0 −2 3 10 0 0 4 30 0 0 10 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 5 2 30 −1 −6 −1 10 −8 −12 −1 −50 0 0 4 30 0 0 10 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 5 2 30 −1 −6 −1 10 0 36 7 −130 0 0 4 30 0 0 0 −25
2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 36 · 4 · 25
2 = 1800
4.3 余因子行列
n次正方行列A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
に対して，次の n次正方行列
A =
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2...
.... . .
...
A1n A2n · · · Ann
をAの余因子行列という．余因子展開 2⃝を用いると，
AA =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2...
.... . .
...
A1n A2n · · · Ann
=
|A| O
|A|. . .
O |A|
= |A|En
ただし，Enは n次単位行列である．これにより，|A| = 0のとき，
A−1 =1
|A|A
35
が得られ，新たな逆行列の公式を得る．
逆行列の公式� �n次正方行列Aについて，AをAの余因子行列とする．このとき，Aの逆行列A−1は次のように表すことができる（ただし，Enは n次単位行列である）．
A−1 =1
|A|A
� �例. 次の正方行列の余因子行列と逆行列を求めよ．
(1)
[1 −11 2
](2)
1 2 1−1 1 −12 1 3
解答. (1) 各余因子は，A11 = 2, A12 = −(−1), A21 = −1となる．また，A22 = 1より,
A =
[A11 A21
A12 A22
]=
[2 −11 1
]である．一方，|A| = 2− (−1) = 3より，
A−1 =1
|A|A =
1
3
[2 −11 1
]
(2) 各余因子は次のようになり，
A11 =
∣∣∣∣ 1 −11 3
∣∣∣∣ = 4 A21 = −∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −5 A31 =
∣∣∣∣ 2 11 −1
∣∣∣∣ = −3
A12 = −∣∣∣∣ −1 −1
2 3
∣∣∣∣ = 1 A22 =
∣∣∣∣ 1 12 3
∣∣∣∣ = 1 A32 = −∣∣∣∣ 1 1−1 −1
∣∣∣∣ = 0
A13 =
∣∣∣∣ −1 12 1
∣∣∣∣ = −3 A23 = −∣∣∣∣ 1 22 1
∣∣∣∣ = 3 A33 =
∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ = 3
ゆえに，余因子行列 Aを得る：
A =
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
=
4 −5 −31 1 0−3 3 3
一方，|A| = 3− 4− 1− 2 + 6 + 1 = 3より，
A−1 =1
|A|A =
1
3
4 −5 −31 1 0−3 3 3
練習 4.3 次の行列の余因子行列と逆行列を求めよ．
(1)
[1 3−2 1
](2)
1 1 0−1 1 00 −2 1
(3)
2 1 −34 2 −11 −2 −1
36
4.4 クラーメルの公式ここでは，前節で学習した逆行列の公式を用いて，行列式のみで連立方程式を解く方法を学ぶ．
次の連立方程式を解こう： {a11x + a12y = pa21x + a22y = q
これを係数行列Aを用いて表すと次のようになる：[a11 a12a21 a22
] [xy
]=
[pq
]=⇒
[xy
]=
[a11 a12a21 a22
]−1 [pq
]ゆえに，逆行列の公式を用いると，次を得る：[
xy
]=
1
|A|
[A11 A21
A12 A22
] [pq
]=
1
|A|
[pA11 + qA21
pA12 + qA22
]
=1
|A|
∣∣∣∣ p a12q a22
∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 pa21 q
∣∣∣∣
上記の公式をまとめると，以下のクラーメルの公式が得られる．また，3変数で 3つの等式からなる連立方程式についても，同様の公式を導くことができる．
クラーメルの公式� �•{
a11x + a12y = pa21x + a22y = q
=⇒[xy
]=
1
|A|
∣∣∣∣ p a12q a22
∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 pa21 q
∣∣∣∣
•
a11x + a12y + a13z = pa21x + a22y + a23z = qa31x + a32y + a33z = r
=⇒
xyz
=1
|A|
∣∣∣∣∣∣p a12 a13q a22 a23r a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 p a13a21 q a23a31 r a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 pa21 a22 qa31 a32 r
∣∣∣∣∣∣
ただし，Aは与えられた連立方程式の係数行列である．� �
37
問. クラーメルの公式を利用して，連立方程式を解け．
(1)
{2x + 3y = −1x − y = 2
(2)
x − y + z = 2
y + z = 2x + z = 3
解答. (1) 係数行列をA =
[2 31 −1
]とおくと，|A| = −5．ゆえに，
[xy
]=
1
−5
∣∣∣∣ −1 3
2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 −11 2
∣∣∣∣ =
1
−5
[−55
]=
[1−1
]
(2) 係数行列をA =
1 −1 10 1 11 0 1
とおくと，|A| = 1− 1− 1 = −1．ゆえに，
xyz
=1
|A|
∣∣∣∣∣∣2 −1 12 1 13 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 10 2 11 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 20 1 21 0 3
∣∣∣∣∣∣
=
1
−1
2− 3− 3 + 22 + 2− 2− 33− 2− 2
=
211
練習 4.4 次の連立方程式を解け．
(1)
{x − 2y = 3
2x − y = 9(2)
x + y + 2z = 73x − y + z = 8−x + 3y − z = 2
38
第5章 解答
5.1 第1章練習 1.1. (1)
a+ 2b =
13
−1
+ 2
−202
=
−333
(2) |a| =
√12 + 32 + (−1)2 =
√11である．求めるベクトルを a′とおくと，
a′ =1
|a|a =
1√11
13
−1
練習 1.2. (1) スカラー a, bに対して，aa+ bb = 0とおき，a = b = 0を示そう．aa+ bb = 0より，
a
[12
]+ b
[34
]=
[00
]ゆえに，次の連立一次方程式 {
a + 3b = 02a + 4b = 0
を解き，a = b = 0を得る．
(2) スカラー a, b, cに対して，aa+ bb+ cc = 0とおき，a, b, cのうち少なくとも 1つが 0でないことを示す．aa+ bb+ cc = 0より，
a
102
+ b
11
−1
+ c
313
=
000
ゆえに，次の連立一次方程式
a + b + 3c = 0b + c = 0
2a − b + 3c = 0
を解けばよい．例えば，a = −2, b = −1, c = 1が解となり，a, b, cは線型従属である．
練習 1.3. (1) a · b = 2 · 3 + (−1) · 1 = 5
(2) a ·b = k(k−1)+2 · (−3) = k2−k−6 = (k−3)(k+2)である．条件a ·b = 0より，k = 3,−2.
39
練習 1.4. (1) 内積の公式より，
cos θ =a · b|a||b|
=2√3
2× 2√3=
1
2
. ゆえに，θ = π3 .
(2) 正射影の公式より，
h =a · b|b|2
b =2√3
12b =
√3
6
[ √33
]
5.2 第2章
練習2.1 (1) A+B =
[7 6 29 3 3
], A−B =
[1 8 −4
−5 −7 −1
], X = 2B−3A =
[−6 −23 98 16 1
]
(2) AB =
[123 456
−123 −456
], BA =
−300 −30 −3−300 −30 −3−300 −30 −3
, tAtB =
−300 −300 −300−30 −30 −30−3 −3 −3
(3) AB =
[3 31 2
], BA =
[1 11 4
], (AB)C = A(BC) =
[0 15
−1 8
](4) AB =
[39 20 1 7521 1 2 −3
](5) An =
[1 2n0 1
]（方針：A2, A3を求め，Anを予想し，数学的帰納法で証明する．）
練習 2.2
(1)1
29
[3 51 −8
](2)
3 −2 0−1 1 02 −2 1
(3) 逆行列なし． (4)1
2
3 4 −10 1 0
−1 0 1
5.3 第3章練習 3.1(1) (x, y, z) = (3, 2,−1), (2) (x, y, z) = (1, 0, 0)
練習 3.2
(1)
1 2 2 0 31 2 3 1 22 4 6 2 7
−→
1 2 2 0 30 0 1 1 −10 0 2 2 1
−→
1 2 0 −2 50 0 1 1 −10 0 0 0 3
−→
1 2 0 −2 00 0 1 1 00 0 0 0 1
(2)
1 −1 2 0 13 1 2 0 5
−2 −12 10 −7 55 21 −16 1 16
−→
1 −1 2 0 10 4 −4 0 20 −14 14 −7 70 26 −26 1 11
−→
1 −1 2 0 10 1 −1 0 1
20 −2 2 −1 10 0 0 1 −2
−→
1 −1 2 0 10 1 −1 0 1
20 0 0 −1 20 0 0 0 0
−→
1 0 1 0 3
20 1 −1 0 1
20 0 0 1 −20 0 0 0 0
40
練習 3.3
(1) [xyz] =
1 3 12 −1 −5
−3 2 8
−→
1 3 10 −7 −70 11 11
−→
1 3 10 1 10 0 0
−→
1 0 −20 1 10 0 0
よって，階数が 2であるので一次従属である．
(2) [xyz] =
3 −1 2−2 0 −10 2 1
−→
1 −1 1−2 0 −10 2 1
−→
1 −1 10 −2 10 2 1
−→
1 1 10 −2 10 0 1
−→
1 0 00 1 00 0 1
よって，階数が 3であるので一次独立である．
練習 3.4x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x
−→
0 1− x2 1− x 1− x1 x 1 10 1− x x− 1 00 1− x 1 x− 1
−→
1 x 1 10 1− x x− 1 00 0 1− x x− 10 1− x2 1− x 1− x
−→
1 x 1 10 1− x x− 1 00 0 1− x x− 10 0 −x2 − x+ 2 1− x
−→
1 x 1 10 1− x x− 1 00 0 1− x x− 10 0 0 −(x+ 3)(x− 1)
したがって，x = −3のとき階数は 3．x = 1のとき階数は 1. それ以外のとき階数は 4.
練習 3.5
(1)
1 1 1 42 −1 0 10 1 2 5
−→
1 1 1 40 － 3 −2 −70 1 2 5
−→
1 1 1 40 0 4 80 1 2 5
−→
1 1 1 40 1 2 50 0 1 2
−→
1 1 0 20 1 0 10 0 1 2
−→
1 0 0 10 1 0 10 0 1 2
ゆえに，
xyz
=
112
.(2)
1 2 −1 10 1 2 21 3 1 3
−→
1 2 −1 10 1 2 20 1 2 2
−→
1 2 −1 10 1 2 20 0 0 0
−→
1 0 −5 −30 1 2 20 0 0 0
=⇒
1 0 −5 −30 1 2 2
0 0 -1 0
ゆえに，tを任意の実数とするとき，
xyz
= t
−52
−1
+
−320
.(3)
1 −1 1 1 −12 1 −1 3 8
−1 −1 2 −1 −63 −1 1 1 1
−→
1 −1 1 1 −10 3 −3 1 100 −2 3 0 −70 2 −2 −2 4
−→
1 −1 1 1 −10 1 −1 −1 20 0 1 −2 −30 0 0 1 1
−→
1 −1 1 0 −20 1 −1 0 30 0 1 0 −10 0 0 1 1
−→
1 −1 0 0 −10 1 0 0 20 0 1 0 −10 0 0 1 1
−→
1 0 0 0 10 1 0 0 20 0 1 0 −10 0 0 1 1
ゆえに，
xyzw
=
12
−11
.41
(4)
1 3 1 −10 63 6 1 −17 132 4 1 −12 8
−→
1 3 1 −10 60 −3 −2 13 −50 −2 −1 8 −4
−→
1 3 1 −10 60 −1 −1 5 −10 −2 −1 8 −4
−→
1 3 1 −10 60 1 1 −5 10 0 1 −2 −2
−→
1 3 0 −8 80 1 0 −3 30 0 1 −2 −2
−→
1 0 0 1 −10 1 0 −3 30 0 1 −2 −2
−→
1 0 0 1 −10 1 0 −3 30 0 1 −2 −2
-1
ゆえに，tを任意の実数とするとき，
xyzw
= t
1
−3−2−1
+ t
−13
−20
(5)
1 2 1 −3 2 13 6 4 2 −1 22 4 3 5 −3 14 8 5 −1 1 3
−→
1 2 1 −3 2 10 0 1 11 −7 −10 0 1 11 −7 −10 0 1 11 −7 −1
−→
1 2 0 −14 9 20 0 1 11 −7 −10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
=⇒
1 2 0 −14 9 2
-1
0 0 1 11 −7 −1
-1
-1
ゆえに，a, b, cを任意の実数とするとき，
xyzwv
= a
2
−1000
+ b
−14
011−10
+ c
90
−70
−1
+
20
−100
.
練習 3.6
(1)
1 2 −1−3 −3 22 5 −1
−→
1 2 −10 3 −10 1 1
−→
1 2 −10 1 10 0 1
−→
1 0 00 1 00 0 1
ゆえに，
xyz
=
000
(2)
1 1 13 −1 22 −2 1
−→
1 1 10 −4 −10 −4 −1
−→
1 1 10 1 1
40 0 0
−→
1 0 34
0 1 14
0 0 0
=⇒
1 0 34
0 1 14
-1
ゆえに，tを任意の実数とするとき，
xyz
= t
3414
−1
= t
31
−4
.練習 3.7
42
1 −1 1 22 1 −2 31 5 −7 1
−→
1 −1 1 20 3 −4 −10 6 −8 −1
−→
1 −1 1 20 1 − 4
3− 1
30 0 0 1
したがって，係数行列と拡大係数行列の階数が異なり，解なしである．
練習 3.8 連立方程式を行列の基本変形で解く．そして，それが解を持つためには，係数行列と拡大係数行列の階数が一致する．
1 0 2 −1 a1 1 5 −1 −22 −1 1 −2 23 −1 3 −3 b
−→
1 0 2 −1 a0 1 3 0 −2− a0 −1 −1 0 2− 2a0 −1 −3 0 b− 3a
−→
1 0 2 −1 a0 1 3 0 −2− a0 0 0 0 −3a0 0 0 0 b− 4a− 2
係数行列の階数は 2であるから，−3a = 0かつ b−4a−2 = 0である．これを解くと，a = 0, b = 2
である．これを代入すると，1 0 2 −1 00 1 3 0 −20 0 0 0 00 0 0 0 0
=⇒
1 0 2 −1 00 1 3 0 −2
0 0 -1 0 0
0 0 0 -1 0
であり，s, tを任意の実数として，次を得る：
xyzw
= s
23
−10
+ t
−100
−1
+
0
−200
5.4 第4章練習 4.1
(1)
∣∣∣∣∣ 1 3
2 −2
∣∣∣∣∣ = −2− 6 = −8. したがって，求める面積は 8.
(2)
∣∣∣∣∣∣∣1 2 0
0 1 −1
−2 3 −2
∣∣∣∣∣∣∣ = 5 したがって，求める面積は 5.
(3) 3つのベクトルの張る平行六面体の体積が 0となればよいので，
∣∣∣∣∣∣∣−4 0 1
−3 1 t
2 t 2
∣∣∣∣∣∣∣ = −4t2+
3t+ 10 = 0 を解けばよい．4t2 − 3t− 10 = (t− 2)(4t+ 5)より，t = 2,−54.
練習 4.2 (1)
|A| = abc+ c2b+ 2b2 − 2b2 − b2c− c2a = abc+ bc(c− b)− c2(b− c)
= ac(b− c)− bc(b− c) = c(a− b)(b− c)
43
(2)
|A| =
∣∣∣∣∣∣a+ b+ c a b
0 b+ c+ 2a b0 a c+ a+ 2b
∣∣∣∣∣∣+ c
∣∣∣∣∣∣1 a b1 b+ c+ 2a b1 a c+ a+ 2b
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣a+ b+ c 0 b
0 b+ c+ a b0 0 c+ a+ 2b
∣∣∣∣∣∣+ a
∣∣∣∣∣∣a+ b+ c 1 b
0 1 b0 1 c+ a+ 2b
∣∣∣∣∣∣+ ca
∣∣∣∣∣∣1 1 b1 1 b1 1 c+ a+ 2b
∣∣∣∣∣∣+ c
∣∣∣∣∣∣1 0 b1 b+ c+ 2 b1 0 c+ a+ 2b
∣∣∣∣∣∣= (a+ b+ c)3 + b
∣∣∣∣∣∣a+ b+ c 0 1
0 a+ b+ c 10 0 1
∣∣∣∣∣∣+ a
∣∣∣∣∣∣a+ b+ c 1 0
0 1 00 1 a+ b+ c
∣∣∣∣∣∣+ c
∣∣∣∣∣∣1 0 01 a+ b+ c 01 0 a+ b+ c
∣∣∣∣∣∣= (a+ b+ c)3 + b(a+ b+ c)2 + a(a+ b+ c)2 + c(a+ b+ c)2 = 2(a+ b+ c)3
(3)
|A| = bc2 + a2c+ ab2 − a2bac2 − b2c = a2(c− b) + a(b2 − c2)− bc(c− b)
= (c− b){a2 − a(b+ c) + bc} = (c− b)(a− b)(a− c)
練習 4.3 (1) 余因子を求めると，A11 = 1, A12 = −(−2) = 2, A21 = −3, A22 = 1であるか
ら，余因子行列 A =
[1 −3
2 1
]を得る．|A| = 1
6だから，A−1 =
1
6
[1 −3
2 1
](2) 余因子を求めると，
A11 =
[1 0
−2 1
]= 3 A12 = −
[−1 0
0 1
]= 1 A13 =
[−1 1
0 −2
]= 2
A21 = −
[1 0
−2 1
]= −1 A22 =
[1 0
0 1
]= 1 A23 = −
[1 1
0 −2
]= 2
A31 =
[1 0
1 0
]= 0 A32 = −
[1 0
−1 0
]= 0 A33 =
[1 1
−1 1
]= 2
ゆえに，A =
3 −1 0
1 1 0
2 2 2
である．|A| = 1− 1− (−1) = 1より，A−1 =
3 −1 0
1 1 0
2 2 2
.(3) 余因子を求めると，
A11 =
[2 −1
−2 −1
]= −4 A12 = −
[4 −1
1 −1
]= 3 A13 =
[4 2
1 −2
]= −8
A21 = −
[1 −3
−2 −1
]= 7 A22 =
[2 −3
1 −1
]= 2 A23 = −
[2 1
1 −2
]= 5
A31 =
[1 −3
2 −1
]= −5 A32 = −
[2 −3
4 −1
]= −10 A33 =
[2 1
4 2
]= 0
44
ゆえに，A =
−4 7 −5
3 2 −10
−8 5 0
である．|A| = −2 − 1 + 24 + 6 + 4 − 4 = 27より，
A−1 =1
27
−4 7 −5
3 2 −10
−8 5 0
.
練習 4.4 (1) 係数行列をA =
[1 −2
2 −1
]とおくと，|A| = 3．ゆえに，
[x
y
]=
1
3
∣∣∣∣∣ 3 −2
9 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3
2 9
∣∣∣∣∣
=1
3
[15
3
]=
[5
1
]
(2) 係数行列をA =
1 1 2
3 −1 1
−1 3 −1
とおくと，|A| = 1 − 1 + 18− 2 + 3− 3 = 16．ゆ
えに，
x
y
z
=1
16
∣∣∣∣∣∣∣7 1 2
8 −1 1
2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 7 2
3 8 1
−1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 7
3 −1 8
−1 3 2
∣∣∣∣∣∣∣
=
1
16
7 + 2 + 48 + 4− 21 + 8
−8− 7 + 12 + 16 + 21− 2
−2− 8 + 63− 7− 6− 24
=1
16
48
32
16
=
3
2
1
45
