Calcul de Primitives execices coorrigées Www.etu-sup.com

8/12/2019 Calcul de Primitives execices coorrigées Www.etu-sup.com

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Calcul de primitives

Fonctions rationnelles

Exercice 1 [ 01232 ] [correction]

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble devalidité :

a) x5

1 + x12 b)

1

x(x2 − 1) c)

x + 1

x2 − x + 1

d) 1

x2 − 2x + 2 e)

x

x2 + 2x + 2 f)

1

x(x2 + 1)

g) 1

x3 + 1 h)

x

x3 − 1 i)

x4 + 1

x4 − 1

j) 1

x4 + x2 + 1 k)

1

(x2 + x + 1)2 l)

1

x4 + 1

Exercice 2 [ 01233 ] [correction]Calculer les intégrales suivantes :

a)

10

dx

x2 + x + 1 b)

10

x

x3 + 1 dx c)

10

arctanx

(x + 1)2 dx

Exercice 3 [ 01234 ] [correction]Soit n ∈N

. On désire déterminer la primitive sur R s’annulant en 0 de la fonction

f n : x → 1(1 + x2)n

a) Justifier l’existence et l’unicité de la fonction cherchée. Celle-ci est désormaisnotée F n.b) Calculer F 1(x).c) En procédant au changement de variable x = tan θ, déterminer F 2(x).d) En s’aidant d’une intégration par parties, former une relation de récurrenceentre F n+1(x) et F n(x).e) Calculer F 3(x).

Fonctions rationnelles en exp

Exercice 4 [ 01235 ] [correction]Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble devalidité :

a) 1

ex + 1

b) 1

e2x + exc)√

ex − 1 c) 1√ 1 + e2x

Exercice 5 [ 01236 ] [correction]Calculer 1

0

dx√ ex + 1

Fonctions rationnelles en sin et cos

Exercice 6 [ 01237 ] [correction]

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble devalidité :

a) cosx

1 + cos2 x b)

sinx

1 + sin2 x

c) 1

cos4 x d)

1

cos3 x

Exercice 7 [ 01238 ] [correction]Déterminer une primitive sur R de la fonction

x → 1

3 + cos x

Exercice 8 [ 01239 ] [correction]Calculer :

a)

π/20

dx

2 + cosx b)

π/40

dx

1 + sin x cosx c)

2π0

dx

1 + cos2 x

Exercice 9 [ 01240 ] [correction]Pour α ∈ ]0, π[, calculer π/2

0

sinα

1 + cosα cosx dx

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Fonction rationnelle en sh et ch

Exercice 10 [ 01241 ] [correction]Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble devalidité :

a)

thx

1 + chx b)

chx

1 + ch2x

c) chx

shx + chx d)

1

ch3x

Exercice 11 [ 01242 ] [correction]Calculer 1

0

dx

chx

Fonction rationnelle en un radical


a) x

1 +√ x + 1

b) 1 −√

x

1 +√ x

c)

x− 1

x− 2


a)

x + 1

√ 2 − x2 b)

x (x− 1)(3 − x) c)

x− x

2

+ 6

d) x + 1√ x2 + 1

e) 1

x +√

1 + x2 f)

√ x2 − 1

x

Exercice 14 [ 01245 ] [correction]Sur ]−1/2,+∞[, déterminer

dx

(2x + 1)√ x2 + x + 1

Exercice 15 [ 01246 ] [correction]Calculer les intégrales suivantes :

a)

31

dx√ x(x + 3)

b)

20

dx√ x + 1(x + 4)

c)

1−1

dx√ 1 + x +

√ 1 − x




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Corrections

Exercice 1 : [énoncé]

a)

x5

1+x12 dx =u=x6

16

du1+u2 = 1

6 arctanx6 + C te sur R.

b)

dxx(x2−1) =

− 1

x + 12

1x−1 + 1

21

x+1 dx = − ln |x| + 12 ln

x2 − 1

+ C te sur

]−∞

,−

1[ , ]−

1,0[ , ]0, 1[ ou ]1,+∞

[.

c)

x+1x2−x+1

dx = (x− 1

2 )+ 3

2

(x− 1

2)2

+ 3

4

dx = 12

ln(x2 − x + 1) + √ 3 arctan 2x−1√ 3

+ C te sur R.

d)

1x2−2x+2 dx =

1

(x−1)2+1 = arctan(x− 1) + C te sur R.

e)

xx2+2x+2 dx = 1

2

(2x+2)−2(x+1)2+1dx = 1

2 ln(x2 + 2x + 2)− arctan(x + 1 ) +C te sur R.

f)

dxx(x2+1) =

1x − x

x2+1 dx = ln |x| − 12 ln(x2 + 1) + C te sur ]−∞, 0[ ou ]0,+∞[.

g)

1x3+1 dx = 1

3

1x+1

− x−2x2−x+1 dx =

13 ln |x + 1| − 1

6 ln(x2 − x + 1) + 1√ 3

arctan 2x−1√ 3

+ C te sur ]−∞,−1[ ou ]−1,+∞[.

h) xdxx3−1 = 1

3 ln |x− 1| − 16 ln(x2 + x + 1) + 1√

3 arctan

2x+1√

3

+ C te sur ]−∞, 1[

ou ]1,+∞[.

i) x4+1

x4−1 dx = 1 + 12

1x−1

− 12

1x+1

− 1x2+1 dx = x + 1

2 ln x−1x+1 − arctanx + C te sur

]−∞,−1[, ]−1,1[ ou ]1,+∞[. j)

1x4+x2+1 dx =

12

x+1x2+x+1

− 12

x−1x2−x+1 dx puis

1x4+x2+1 dx = 1

4 ln x2+x+1x2−x+1 + 1

2√ 3

arctan 2x+1√ 3

+ 12√ 3

arctan 2x−1√ 3

+ C te sur R.

k) 1(x2+x+1)2

= −1/3(x−j)2 + −1/3

(x−j2)2 + 2/3x2+x+1

donc 1

(x2+x+1)2 dx = 2x+13(x2+x+1) + 4

3√ 3

arctan 2x+1√ 3

+ C te sur R .

l)

1x4+1 dx = 1

4

−√ 2x+2x2−√ 2x+1

+√ 2x+2

x2+√ 2x+1

dx donc 1x4+1 dx = 1

4√ 2

ln x2+√ 2x+1

x2−√ 2x+1

+ 12√ 2

arctan(√

2x− 1) + 12√ 2

arctan(√

2x + 1) + C te

sur R.


a) 10

dxx2+x+1 =

2√ 3

arctan 2x+1√ 3

1

0= π

3√ 3

.

b) 10

xx3+1 dx =

16 ln x2−x+1

(x+1)2 + 1√ 3

arctan 2x−1√ 3

10

= −13 ln2 + π

3√ 3

.

c) 10

arctanx(x+1)2

dx =−arctanx

x+1

10

+ 10

dx(x+1)(x2+1)

1(x+1)(x2+1) = 1

21

x+1 + 12−x+1x2+1 donc

dx(x+1)(x2+1) = 1

2 ln |x + 1| − 14 ln(x2 + 1) + 1

2 arctanx + C te

puis 10

arctanx(x+1)2 dx = −π

8 + 12 ln 2 − 1

4 ln2 + π8 = ln 2

4 .

Exercice 3 : [énoncé]a) f n est définie et continue sur R donc possède une unique primitive s’annulant :

F n(x) =

x0

f n(t)dt

b) Immédiatement

F 1(x) = x0

dt1 + t2

= arctanx

c) Par le changement de variable

F 2(x) =

x0

dt

(1 + t2)2 =

arctanx0

dθ

1 + tan2 θ =

arctanx0

cos2 θdθ

puis

F 2(x) = 1

4 sin2 arctanx +

1

2 arctanx

et donc

F 2(x) = 1

2

x

1 + x2 +

1

2 arctanx

d) Astucieusement

F n+1(x) =

x0

1 + t2 − t2

(1 + t2)n+1 dt = F n(x) −

x0

t2

(1 + t2)n+1 dt

puis par intégration par parties :

F n+1(x) = F n(x) +

1

2n

t

(1 + t2)n

x0

− 1

2n

x0

dt

(1 + t2)n

et donc

F n+1(x) = 1

2n

x

(1 + x2)n +

2n− 1

2n F n(x)

e) En particulier

F 3(x) = 1

4

x

(1 + x2)2 +

3

8

x

1 + x2 +

3

8 arctanx

Exercice 4 : [énoncé]a) Sur R,

dxex+1

=

1 − ex

ex+1 dx = x − ln(ex + 1) + C te.

b) Sur R, dxe2x+ex

=u=ex

duu2(u+1) = − ln |u| + ln |u + 1| − 1

u + C te = −x + ln(ex + 1) − e−x + C te.





c) Sur [0,+∞[, √ ex − 1dx =

t=√ ex−1

2t2

t2+1dt = 2√

ex − 1 − 2 arctan√

ex − 1 + C te.

d) Sur R, dx√ 1+e2x

=u=

√ 1+e2x

duu2−1 = 1

2 ln√ 1+e2x−1√ 1+e2x+1

+ C te = ln(√

1 + e2x − 1) − x + C te.

Exercice 5 : [énoncé]Par le changement de variable u =

√ ex + 1

10

dx√ ex + 1

=

√ e+1

√ 2

2du

u2 − 1 =

ln u − 1

u + 1

√ e+1

√ 2

= ln (√

e + 1 − 1)(√

2 + 1)

(√

e + 1 + 1)(√

2 − 1)


cosx1+cos2 x dx =

u=sinx

du2−u2 = 1

2√ 2

1u+

√ 2 − 1

u−√ 2 du = 1

2√ 2

ln sin x+√ 2

sinx−√ 2

+ C te.

b) Sur R, sinx1+sin2 x dx =

u=cos x − du2−u2 = 1

2√ 2

ln cos x−√ 2

cos x+√ 2

+ C te.

c) Sur I k =π2 + kπ, π2 + (k + 1)π

, k ∈ Z,

dxcos4 x

=u=tanx

1 + u2du = tan x + 1

3 tan3 x + C te.

d) Sur I k =π2 + kπ, π

2 + (k + 1)π, k ∈ Z

dxcos3 x =

cos(x)dx(1−sin2(x))2

=t=sinx

dt(1−t2)2 = 1

4

11−t + 1

(1−t)2 + 11+t + 1

(1+t)2 dt

donc

dxcos3 x = 1

4 ln 1+sinx1−sinx + 1

2sinxcos2 x + C te

Exercice 7 : [énoncé]Sur I k = ]−π + 2kπ,π + 2kπ[ avec k ∈ Z,

dx

3 + cosx =

t=tanx/2 dt

t2 + 2 =

1√ 2

arctan tan x/2√

2+ C te

La fonction x → 13+cos x est définie et continue sur R, cherchons F primitive de

celle-ci sur R.Pour tout k ∈ Z, F est primitive sur I k, donc il existe C k ∈ R tel que sur I k,

F (x) = 1√

2arctan

tan x/2√ 2

+ C k

Par limite à droite et à gauche en π + 2kπ,

F (π + 2kπ) = π

2√

2+ C k = − π

2√

2+ C k+1

Par suite

∀k ∈ Z,C k = kπ√

2+ C 0

On peut résumer :

∃C 0 ∈

R,

∀x

∈R, F (x) =

1√ 2

arctan tan x/2√ 2

+ kπ√ 2

+ C 0 si x ∈ I k2k+12√ 2 π + C 0 si x = π + 2kπ

Ceci détermine la fonction F à une constante près.Inversement, étant assuré de l’existence de F , on peut affirmer que de tellesfonctions sont bien primitives de x → 1

3+cos x .


a) π/20

dx2+cos x

=t=tan x

2

10

2dt3+t2 = π

3√ 3

.

b) π/40

dx1+sinx cosx

=t=tanx

10

dtt2+t+1 = π

3√ 3

.

c) Par la relation de Chasles

I =

2π0

dx

1 + cos2 x =

π/20

dx

1 + cos2 x+

ππ/2

dx

1 + cos2 x+

3π/2π

dx

1 + cos2 x+

2π3π/2

dx

1 + cos2

Via des changements de variable affines adéquates :

I = 4

π/20

dx

1 + cos2x

Sur ]−π/2, π/2[,

dx

1 + cos

2

x

=t=tanx

dt

t2

+ 2

= 1

√ 2arctan

tan x

√ 2+ C

Soit F une primitive de 11+cos2 x sur [0, π/2].

Il existe C ∈ R tel que F (x) = 1√ 2

arctan tan x√ 2

+ C sur [0, π/2[ et par continuité

F (π/2) = π

2√

2+ C

Finalement π/20

dx1 + cos2x = [F (x)]

π/20 = π

2√ 2

puis I =√

2π.





Exercice 9 : [énoncé]Par le changement de variable t = tan x/2 π/20

sinα

1 + cosα cosx dx =

10

sinα

1 + cosα 1−t2

1+t2

2dt

1 + t2 =

10

2sinα

(1 + cosα) + (1 − cosα)t2 dt

donc π/2

0

sinα

1 + cosα cosx dx =

2sinα

1 − cosα

1 − cosα

1 + cosα

arctan

1 − cosα

1 + cosαt

1

0

= 2sinα√

1 − cos2 αarctan

1 − cosα

1 + cosα

et finalement π/20

sinα

1 + cosα cosx dx = 2 arctan

sin2 α/2

cos2 α/2 = α


thx1+chx dx =

u=chx

duu(1+u) = ln chx− ln(chx + 1) + C te.

b) Sur R, chx1+ch2x dx =

u=shx du2+u2 = 1√

2 arctan shx√

2 + C te.

c) Sur R,

chxdxshx+chx =

u=thx

− du(u−1)(u+1)2 = 1

4 ln thx+1

thx−1

− 12

11+thx + C te

ou encore

chxdxshx+chx =

ex+e−x

2ex dx =

12 + 1

2e2x dx = x2 + 1

4e2x + C te.

d) Sur R,

dxch3x =

chx(1+sh2x)2

dt =t=shx

dt(1+t2)2 = 1

2 arctan shx + 1

2shx

ch2x + C te

Exercice 11 : [énoncé]Par changement de variable 1

0

dx

ch x =t=ex

e

1

2dt

t2 + 1 = 2 arctan e − π

2

Exercice 12 :

[énoncé]a) Sur [−1,+∞[, xdx1+

√ x+1

=u=

√ x+1

2u(u2−1)1+u du =

2u(u− 1)du = 2

3

√ x + 1

3 − x + C te.

b) Sur [0,+∞[, 1−√ x1+

√ x

dx =u=

√ x

2u1−u

1+u du = 2 −u + 2 − 2

1+u du = −x+4√ x−4 ln(1+

√ x)+C te.

c) Sur ]−∞, 1] ou ]2,+∞[, x−1x−2

dx = −2y2 dy

(y−1)2(y+1)2 = 1

21

y−1 + 1

21

y+1 − 1

2 ln y−1y+1

+ C te

donc

x−1x−2 dx =

(x− 1)(x− 2) − 1

2 ln

√ |x−1|−

√ |x−2|√

|x−1|+√ |x−2| + C te.

Exercice 13 : [énoncé]a) Sur

−√ 2,√ 2,

x+1√ 2−x2

dx =x=

√ 2sin t

√ 2sin t + 1 dt = −√ 2cos t + t + C te =

−√ 2 − x2 + arcsin x√ 2

+ C te.

b) Sur ]1, 3[,

xdx√ (x−1)(3−x)

=x=2+sin t

2 + sin tdt = 2 arcsin(x− 2) −

(x− 1)(3 − x) + C te.

c) x − x2

+ 6 = −(x− 3)(x + 2), x = 1

2 + 5

2 sin t. Sur [−2,3], √ x− x2 + 6 dx = 254

cos2 tdt = 258

cos2t + 1 dt =

2x−14

√ x− x2 + 6 + 2 5

8 arcsin 2x−15 + C te

d) Sur R,

x+1√ x2+1

dx =x=sht

sh t + 1dt =

√ 1 + x2 + ln(x +

√ x2 + 1) + C te.

e) Sur R,

dxx+

√ 1+x2

=x=sht

chtdtsh t+ch t =

12

+ 12

e−2t dt =

12

ln(x +√ x2 + 1) − 1

41

(x+√ x2+1)2

+ C te.

f) Sur [1,+∞[ (et de même sur ]−∞,−1]) √ x2−1x dx =

x=cht

sh2t

cht dt =u=sht

u2

1+u2 du =√ x2 − 1 − arctan

√ x2 − 1 + C te.

Exercice 14 : [énoncé]On écrit le trinôme sous forme canonique

x2 + x + 1 =

x +

1

2

2

+ 3

4

ce qui invite au changement de variable

x + 1

2 =

√

3

2 sht, dx =

√ 3

2 chtdt

qui donne

dx

(2x + 1)√ x2 + x + 1= dt

√ 3sht=

1

√ 3 shtdt

ch2t − 1

=u=cht

1

√ 3 du

u2 − 1

et enfin dx

(2x + 1)√ x2 + x + 1

= 1

2√

3ln

2√ x2 + x + 1 −√

3

2√ x2 + x + 1 +

√ 3

+ C te


a) 31

dx√ x(x+3)

=t=

√ x

√ 31

2dtt2+3 = 2√

3

arctan t√

3

31

= π6√ 3

.





b) 20

dx√ x+1(x+4)

=t=

√ x+1

√ 31

2dtt2+3 = 2√

3

arctan t√

3

√ 31

= π6√ 3

.

c) 1−1

dx√ 1+x+

√ 1−x

=u=

√ 1+x

√ 20

2u duu+

√ 2−u2

=u=

√ 2sin θ

2√

2 π/20

sin θ cos θsin θ+cos θ dθ. 1

−1dx√

1+x+√ 1−x

= 2√

2 10

4t(1−t2) dt(−t2+2t+1)(1+t2)2 =

2√

2 1

0 − 1

1+t2 + 2 1+t(1+t2)2 + 1

t2−2t−1dt

Au final 1−1

dx√ 1+x+

√ 1−x = 2√ 2 − 2ln(√ 2 + 1).


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