חשמל להנדסת 2 ואינטגרלי דיפרנציאלי חשבוןהרצאות סיכום

יוסף ארתור ד״ר מרצה:

2010 ביוני 17

לא היא (9821־1־201). חשמל להנדסת 2 בחדו״א שיעור במהלך אריאל אמנון ע״י הוקלדה זו מחברתהאישי. לשימושכם as-is מסופקת המחברת טעיות. או אי־דיוקים לכלול ועלולה הסרטוטים, כל את כוללת

לשלוח מוזמנים אתם והערות הארות http://inshort.amnon.org.il ב למצוא תוכלו מעודכנות גרסאות.a AT amnon.org.ilל־

עניינים תוכן

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אמיתיים לא אינטגרלים 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a,∞) ב רציפה פונקציה 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההשואה מבחן 1.1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המנה מבחן 1.1.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abel מבחן 1.1.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההשואה מבחן 1.2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המנה מבחן 1.2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טורים 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טלסקופי טור 2.110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טורים התכנסות 2.211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חיוביים טורים 2.311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הראשון ההשואה מבחן 2.3.112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (גבולי) השני ההשואה מבחן 2.3.212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השלישי השוואה מבחן 2.3.313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המנה) (מבחן דלמבר מבחן 2.3.414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השורש) (מבחן קושי מבחן 2.3.514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . העיבוי מבחן 2.3.615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האינטגרל מבחן 2.3.715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ראבה משפט 2.3.816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללים טורים 2.416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לייבניץ׳ מבחן 2.4.117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיריכלה משפט 2.4.217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אבל משפט 2.4.317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות של סדרות 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שווה במידה התכנסות 3.119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קושי קריטריון 3.1.120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sup קריטריון 3.1.221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולית פונקציה של רציפות 3.1.322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיני משפט 3.1.422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות טורי 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות טורי של שווה במידה התכנסות 4.127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווירשטרס משפט 4.1.128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיריכלה מבחן 4.1.228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Abel) אבל משפט 4.1.328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טורים לרציפות משפט 4.229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . איבר איבר אינטגרציה 4.330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . איבר איבר גזירה 4.432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקות טורי 4.533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שווה במידה התכנסות 4.5.134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טיילור טורי 4.5.236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורים של אלגברה 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סקלרית מכפלה 5.137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סקלרית מכפלה תכונות 5.1.137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית מכפלה 5.239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית מכפלה של תכונות 5.2.139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מעורבת מכפלה 5.340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אוקלידי מרחב 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים רב פונקציות של גבולות 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסנדוויץ׳ משפט 7.143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f : R2 → R עבור קוטביות קורדינטות 7.2

44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t הצבת 7.344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חוזרים גבולות 7.446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולות של תכונות 7.546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רציפות 7.647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נגזרות 847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חלקיות נגזרות 8.149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ורציפות דיפרנציאביליות 8.2.152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שרשרת כלל 8.353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מכוונת נגזרת 8.455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבוה מסדר נגזרת 8.555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיפרנציאל 8.657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טיילור טור 8.758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסתומה הפונקציה 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסתומה הפונקציה משפט 9.161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סתומות פונקציות של מערכות 9.263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לגרנג׳ כפולי 10.375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מימדי רב אינטגרל 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חוזר אינטגרל 11.176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כפול אינטגרל 11.280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . כפול באינטגרל משתנים החלפת 11.2.183 . . . . . . . . . . . . . . . קוטביות קורדינטות ־ משתנים החלפת 11.2.288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משולש אינטגרל 11.388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים החלפת 11.3.189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מיוחדת משתנים החלפת 11.3.289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . גליליות קורדינטות 11.3.2.192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . כדוריות קורדינטות 11.3.2.294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטוריות פונקציות 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית פונקציה של גבול 12.195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית פונקציה של נגזרת 12.297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קשת אורך 12.398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קווי אינטגרל 1398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ראשון מסוג קווי אינטגרל 13.1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שני מסוג קווי אינטגרל 13.2104 . . . . . . . . . . . . . . . האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משמר שדה 13.4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משטחי אינטגרל 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים 2 של ווקטורית פונקציה 14.1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . למשטח נורמל מציאת 14.1.1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משטח של פנים שטח 14.2112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I מסוג משטחי אינטגרל 14.3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II מסוג משטחי אינטגרל 14.4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (גאוס) דיברגנץ משפט 14.5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סטוקס משפט 14.6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R3 ב משמר שדה 14.7

אמיתיים לא אינטגרלים 1yusupoa�yahoo. om דוא״ל:12:00־10:00 ב׳ יוב קבלה: שעות

למתמטיקה בניין ,311 חדרספרים:

קון בן־ציון .1מייזלר .2

אמיתיים לא אינטגרלים 1

אמיתיים לא אינטגרלים של סוגים שני

(a,∞) ב רציפה פונקציה .1

∞

a

f (x) dx

שני מסוג רציפות אי נקודות יש אבל סופי, תחום .2

1ˆ

0

1

xdx

(a,∞) ב רציפה פונקציה 1.1

1.1 הגדרה∞

a

f (x) dx = limb→∞

bˆ

a

f (x) dx

מתבדר. שהאינטגרל נאמר סופי אין הוא השטח אם מתכנס, שהאינטגרל נאמר סופי, ערך מקבל האינטגרלל אם

דוגמא:∞

1

1

1 + x2dx

לגבול נעבור ההגדרה, לפי ערכו? ומהו מתבדר, או מתכנס האינטגרל האם

∞

1

1

1 + x2dx = lim

b→∞

bˆ

1

1

1 + x2dx

= limb→∞

arctanx|b1= lim

b→∞arctan b− arctan 1

=π

2− π

4=

π

4

לאין־סוף הכוונים בשני ששואף אינטגרל ויש במידה

∞

−∞

6= limb→∞

bˆ

−b4

אמיתיים לא אינטגרלים 1 (a,∞) ב רציפה פונקציה 1.1

חלקים: לשני האינטגרל את לחלק זה לעשות שיש מה

∞

−∞

=

aˆ

−∞

+

∞

a

דוגמא:

I =

∞

1

1

xpdx, p ∈ R

אז שלילי p שאם ברור מתברר? או מתכנס האינטגרל האם

limx→∞

1

xp= +∞

מתבדר. I אזאז p = 0 אם

limx→∞

1

1= 1

מתבדר. I אזp > 0 כאשר נבדוק

∞

1

1

xpdx = lim

a→∞

aˆ

1

1

xpdx

p = 1 אם

lima→∞

aˆ

1

1

xpdx = lim

a→∞lnx|a1

= lima→∞

ln a = +∞

p 6= 1 אם

lima→∞

aˆ

1

1

xpdx = lim

a→∞

aˆ

1

x−pdx

= lima→∞

x−p+1

−p+ 1

∣∣∣∣

a

1

= lima→∞

a1−p

1− p− 1

1− p

=

{

+∞ 0 < p < 11

p−1 < ∞ p > 1

התוצאות: את נסכם

a > 0,

∞

a

1

xpdx =

{

mitbader p ≤ 1

mitkanes p > 15

(a,∞) ב רציפה פונקציה אמיתיים1.1 לא אינטגרלים 1

מתכנס.´∞a

|f (x)| dx אם בהחלט מתכנס נקרא´∞a

f (x) dx 1.2 הגדרה

מתכנס.´∞a

f (x) dx אז בהחלט, מתכנס´∞a

f (x) dx אם 1.3 משפט

מתבדר? או מתכנס´∞1

e−x sinxdx האם דוגמא:

בקטע 0 ≤ g (x) ≤ f (x) ש כך [a, b] בקטע אינטגרביליות פונקציות f, g האינטגרל) (מונוטוניות 1.4 משפטאזי x ∈ [a, b]

bˆ

a

g (x) dx ≤bˆ

a

f (x) dx

ההשואה מבחן 1.1.1

([1,∞) בקטע והילך מסויים ממקום x ש גם לומר (ניתן [1,∞) בקטע x לכל 0 ≤ g (x) ≤ f (x) 1.5 משפט

מתבדר. גם´∞1

f (x) dx אזי מתבדר´∞1

g (x) dx .1

מתכנס. גם´∞1

g (x) dx אזי מתכנס´∞1

f (x) dx .2

דוגמא:

.1

∞

3

8x2 + 3x− sinx

x5 + 4x+ 1dx

p > 1 כאשר 1xp ש יודעים אנחנו הקודמת הדוגמא ולפי 8x2

x5 = 8x3 ל דומה שהביטוי לראות יכולים אנחנו

מתכנסת יותר גדולה פונקציה מחפשים אנחנו ולכן מתכנס,

8x2 + 3x− sinx

x5 + 4x+ 1≤ 8x2 + 3x+ x2

x5

=12x2

x5= 12 · 1

x3

ההשואה מבחן לפי לכן p = 3 > 1 כי מתכנס 12´∞3

1x3 dx ש יודעים אנחנו

∞

3

8x2 + 3x− sinx

x5 + 4x+ 1dx

מתכנס

(א)

∞

1

e−x sinxdx

האינטגרל על נסתכל

∞

1

∣∣e−x sinx

∣∣ dx

6

אמיתיים לא אינטגרלים 1 חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.2

ש יודעים אנחנו

∣∣e−x sinx

∣∣ ≤ e−x

≤ 1

x2, ∀x ≥ 3

´∞3 |e−x sinx| dx ההשואה מבחן ⇐לפי מתכנס

´∞3

1x2 dx ש יודעים אנחנו p = 2 > 1 בגללבהחלט. מתכנס

´∞3 e−x sinxdx ⇐ מתכנס

המנה מבחן 1.1.2

ש כך [a,∞) בקטע אינטגרביליות g ו f יהיו המנה) (מבחן 1.6 משפט

limx→∞

f (x)

g (x)= L

יחד. גם מתבדרים או מתכנסים´∞a

g (x) dx ו´∞a

f (x) dx אז 0 < L < ∞ אם .1

מתכנס.´∞a

f (x) dx אז מתכנס´∞a

g (x) dx אם L = 0 .2

מתכנס.´∞a

g (x) dx אז מתכנס´∞a

f (x) dx ו L = ∞ .3Abel מבחן 1.1.3

אז [a,∞) ב חסומה g (x) ו מתכנס´∞a

f (x) dx (∞,a]ו בקטע אינטגרבילית f :Abel מבחן 1.7 משפט∞

a

f (x) g (x) dx

מתכנסת.´∞1 e−x sinxdx גם אבל מבחן לפי ולכן מתכנסת.

´∞1 e−xdx חסומה, sinx פה .

´∞1 e−x sinxdx לדוגמא:

מתכנס.

חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.2

1ˆ

0

1

xdx = lim

a→0+

1ˆ

a

1

xdx

חלקים לשני האינטגרל את נחלק הקטע, באמצע נמצאת הבעייתית והנקודת במידה

1ˆ

−1

1

xdx =

0ˆ

−1

+

1ˆ

0

= limb→0−

bˆ

−1

1

xdx+ lim

a→o+

1ˆ

a

1

xdx7

חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.2 אמיתיים לא אינטגרלים 1

ההשואה מבחן 1.2.1

0 ≤ g (x) ≤ ו (a, b] בקטע רציפות f, b ו limx→a+ f (x) = +∞ ו limx→a+ g (x) = +∞ אם 1.8 משפטו f (x)

מתכנס.´ b

ag (x) dx אזי מתכנס

´ b

af (x) dx .1

מתבדר.´ b

af (x) dx אזי מתבדר

´ b

ag (x) dx .2

המנה מבחן 1.2.2

ש כך [a,∞) בקטע אינטגרביליות g ו f יהיו המנה) (מבחן 1.9 משפט

limx→a+

f (x)

g (x)= L

יחד. גם מתבדרים או מתכנסים´∞a

g (x) dx ו´∞a

f (x) dx אז 0 < L < ∞ אם .1

מתכנס.´∞a

f (x) dx אז מתכנס´∞a

g (x) dx אם L = 0 .2

מתכנס.´∞a

g (x) dx אז מתכנס´∞a

f (x) dx ו L = ∞ .3

דוגמא:

1ˆ

0

1

xp=

{

mitbader p ≥ 1

mitkanes 0 < p < 1

בבית. להוכיח

דוגמאות:

.1

2ˆ

1

dx

x ln x= lim

a→1+

2ˆ

a

dx

x ln x

=

∣∣∣∣

t = lnxdt = 1

xdx

∣∣∣∣

= lima→1+

ln |t||ln 2lna

= lima→1+

ln |ln 2| − ln |ln a| = +∞

מתבדר. ולכן

.2

1ˆ

0

√x(1 + sin2 x

)

xdx

√x(1 + sin2 x

)

x≤ 2

√x

x=

2√x

מתכנס.´ 1

0

√x(1+sin2 x)

xdx ההשואה מבחן ולפי p = 1 < 1 כי מתכנס

´ 1

02√xdx 8אינטגרל

טורים 2

טורים 2

a1, a2, . . . , an, . . . מספרים סדרת תהיה (טור) 2.1 הגדרה

s1 = a1

s2 = a1 + a2

sn = a1 + a2 + · · ·+ an =

n∑

i=1

ai

טור נקרא sn לסכום

sn (טור) לסדרה גבול נגדיר 2.2 הגדרה

limn→∞

sn = s =∞∑

n=1

an

מתבדר. שהטור נאמר אחרת מתכנס שהטור נאמר אז קיים, הגבול אם

דוגמא:

1 + q + q2 + q3 + · · ·+ qn .1

sn =a1 (q

n − 1)

q − 1=

qn − 1

q − 1

limn→∞

sn = limn→∞

qn − 1

q − 1

=

{1

1−q|q| < 1

mitbader |q| ≥ 1

1,−1, 1,−1, . . . .2

1 +−1 + 1 +−1 + . . . =

{

0 n zugi

1 n ei zugi

∄ limn→∞

Sn

טלסקופי טור 2.1∑∞

n=1 (an+1 − an) טלסקופי) (טור 2.3 הגדרה

sn = (�a2 − a1) + (�a3 − �a2) + · · ·+ (an+1 − �an) = an+1 − an

דוגמא:

מתבדר או מתכנס הטור האם∑∞

n=21

n(n−1) .1

1

n (n− 1)=

1

n+ 1− 1

n9

טורים התכנסות טורים2.2 2

כך: הטור על להסתכל יכולים אנחנו לכן

∞∑

n=2

(1

n− 1− 1

n

)

sk =k∑

n=1

1

n− 1− 1

n

=

(1

1−

���1

2

)

+

(

���1

2−

���1

3

)

+ · · ·+(

���1

k − 2−���1

k − 1

)

+

(

���1

k − 1− 1

k

)

= 1− 1

k

k→∞−→= 1

טורים התכנסות 2.2

∀ε > 0, ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ ⇐⇒ מתכנס∑∞

n=1 an טורים) להתכנסות קושי (קריטריון 2.4 משפטN |an + · · ·+ an+p| < ε

קושי קריטריון ע״פ מתכנסת. {Sn} סדרת ז״א , ∃ limn→∞ Sn = S ⇐ מתכנס∑∞

n=1 an (⇐) הוכחה:לסדרות:

∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ N |Sn+p − Sn| < ε

ש נובע מכאן

|an + · · ·+ an+1| < ε

הפוך. בדיוק (⇒)דוגמא:

מתבדר שהטור נוכיח ,∑∞

n=11n.1

|an+1 + · · ·+ an+p|p=n

↓

=

∣∣∣∣

1

n+ 1+ · · ·+ 1

2n

∣∣∣∣

≥ n · 1

2n=

1

2

מתאים. שלא ∃ε כלומר

אז מתכנס∑∞

n=1 an הטור אם טור) להתכנסות הכרחי (תנאי 2.5 משפט

limn→∞

an = 0

מתכנס. בהכרח לא הטור 0 ל שואפת הסדרה אם

מתבדר∑∞

n=1 an אז ∄ limn→∞ an או ∃ limn→∞ an 6= 0 אם 2.6 מסקנה

limn→∞ Sn−1 = ש וידוע , an = Sn−Sn−1 נגדיר . ∃ limn→∞ Sn = S ⇐ מתכנס∑∞

n=1 an נתון הוכחה:ש נובע מכאן .limn→∞ Sn = S

limn→∞

an = limn→∞

Sn − limn→∞

Sn−1 = S − S = 0

10

טורים 2 חיוביים טורים 2.3

ש ידוע .∑∞

n=1

(1 + 1

n

)nדוגמא:

limn→∞

(

1 +1

n

)n

= e 6= 0

מתבדר. הטור לכן

אזי מתכנסים∑∞

n=1 bn ו∑∞

n=1 an אם 2.7 משפט

.1∞∑

n=1

c · bn = c

∞∑

n=1

bn

מתכנס

.2∞∑

n=1

an ± bn

מתכנס

חיוביים טורים 2.3

∀n, an ≥ 0 אם חיובי נקרא∑∞

n=1 an טור 2.8 הגדרה

הראשון ההשואה מבחן 2.3.1

מסויים n מ bn ≤ an ש כך חיוביים טורים∑∞

n=1 bn ו∑∞

n=1 an יהיו הראשון) ההשואה (מבחן 2.9 משפטואילך.

מתכנס∑∞

n=1 bn אז מתכנס∑∞

n=1 an הטור אם .1

מתבדר.∑∞

n=1 an אז מתבדר∑∞

n=1 bn אם .2

Bn =∑n

i=1 bi כן כמו .An =∑n

i=1 ai כאשר limn→∞ An = A אז מתכנס∑∞

n=1 an הטור אם הוכחה:מתכנס.

∑∞n=1 bn לכן מתכנסת Bn לכן An ע״י מלעיל חסומה Bn והסדרה יורדת. לא מונוטונית סדרה

מתבדרים? או מתכנסים הטורים האם דוגמא:∑∞

i=11n2 .1

1

n2≤ 1

n (n− 1)∑∞

n=11n2 הטור גם השוואה מבחן לפי ולכן מתכנס,

∑∞n=1

1n(n−1) הטלסקופי שהטור כבר הראנו

∑∞n=1

n!nn .2

n!

nn=

1 · 2 · . . . · nn · n · . . . · n ≤ 2

n2

מתכנס.∑∞

n=1n!nn ההשואה מבחן ע״פ ולכן מתכנס

∑∞n=1

2n2 הקודם התרגיל סמך על

∑∞n=1

1√n(n+1)

.3

1√

n (n+ 1)≥ 1√

(n+ 1) (n+ 1)=

1

n+ 1

מתבדר.∑∞

n=11√

n(n+1)גם ההשואה מבחן ע״פ ולכן מתבדר

∑∞n=1

1nשהטור היום 11והראנו

חיוביים טורים 2.3 טורים 2

(גבולי) השני ההשואה מבחן 2.3.2

ש כך חיוביים טורים∑∞

n=1 bn ו∑∞

n=1 an יהיו (גבולי)) השני ההשואה (מבחן 2.10 משפט

limn→∞

anbn

= k

מתכנס∑∞

n=1 bn ⇐⇒ מתכנס∑∞

n=1 an ) יחד גם מתבדרים או מתכנסים הטורים שני אז 0 < k < ∞ אם .1(

מתכנס.∑∞

n=1 bn אז מתכנס∑∞

n=1 an אם k = ∞ .2

מתכנס.∑∞

n=1 an אז מתכנס∑∞

n=1 bn אם k = 0 .3∣∣∣an

bn− k∣∣∣ < ε מתקיים n > N לכל ש כך N > 0 קיים ε > 0 לכל לכן limn→∞

an

bn= k ש נתון הוכחה:

−ε < an

bn− k < ε

−εbn < an − kbn < εbn

bn (k − ε) < an < bn (k + ε)

(מתבדר). מתכנס∑∞

n=1 an גם הראשון השוואה מבחן ע״פ אז (מתבדר) מתכנס∑∞

n=1 bn אם .k > ε > 0 נבחר

דוגמאות:∑∞

n=1

∣∣sin

(2n

)∣∣ .1

limn→∞

∣∣sin

(2n

)∣∣

2n

= 1

מתבדר.∑∞

n=1

∣∣sin

(2n

)∣∣ שני, השוואה מבחן ע״פ ולכן מתבדר, הרמוני טור

∑∞n=1

1nהטור

∑∞n=1 1− cos

(1n

).2

cos (2x) = 1− 2 sin2 x

1− cos (2x) = 2 sin2 x

∞∑

n=1

1− cos

(1

n

)

= 2∞∑

n=1

sin2(

1

2n

)

sin2(

12n

)

1n2

=sin(

12n

)· sin

(12n

)

4 · 12n · 1

2n

n→∞−→ 1

4

מתכנס.∑∞

n=1 1− cos(1n

)השני השוואה מבחן לפי אז מתכנס

∑∞n=1

1n2 ש ובגלל

השלישי השוואה מבחן 2.3.3

ש כך חיוביים טורים∑∞

n=1 bn ו∑∞

n=1 an יהיו שלישי) השוואה (מבחן 2.11 משפט

an+1

an≤ bn+1

bn, ∀n

מתכנס∑∞

n=1 an אז מתכנס∑∞

n=1 bn אם .1

מתבדר∑∞

n=1 bn אז מתבדר∑∞

n=1 an אם .212

טורים 2 חיוביים טורים 2.3

ש נתון הוכחה:

a2a1

≤ b2b1

a3a2

≤ b3b2...

an+1

an≤ bn+1

bn

נקבל בסוף בשלישי. ואז ובשני, הראשון האיבר את נכפיל

ana1

≤ bnb1

ולכן מתכנס∑∞

n=1an

a1ראשון השוואה מבחן וע״פ מתכנס

∑∞n=1

bnb1

= 1b1

∑∞n=1 bn אז מתכנס

∑∞n=1 bn אם

מתבדר.∑∞

n=1 an אם דבר אותו מתכנס.∑∞

n=1 an

המנה) (מבחן דלמבר מבחן 2.3.4

(המנה)) דלמבר (מבחן 2.12 משפט

מתכנס∑∞

n=1 an אז והלך מסויים n עבור an+1

an≤ q < 1 אם .1

מתבדר∑∞

n=1 an אז והלך מסויים n עבור an+1

an≥ q ≥ 1 אם .2

חלקים: לשלושה q את נחלק הוכחה:

.1

an+1

an≤ q =

qn+1

qn

מתכנס.∑∞

n=1 an שלישי השוואה מבחן וע״פ 0 < q < 1 כאשר מתכנס∑∞

n=1 qn הטור

מתבדר הטור ולכן ,0 שווה ולא קבוע, an⇐ q = 1 .2

מתכנס. לא הטור כלומר עולה, מונוטונית סדר an כלומר an+1 ≥ an⇐ q > 1 .3

∃ limn→∞an+1

an= L גבול)) עם (גרסה דלמבר (מבחן 2.13 משפט

מתכנס∑∞

n=1 an הטור אז L < 1 אם .1

מתבדר∑∞

n=1 an הטור אז L > 1 אם .2

ראבה) במבחן להיעזר מומלץ אחר, במבחן העזרו ) יודע לא L = 1 אם .3∣∣∣an+1

an− L

∣∣∣ < ε n > N שלכל כך טבעי N קיים ε > 0 לכל הוכחה:

−ε < an+1

an− L < ε

L− ε < an+1

an< L+ ε13

חיוביים טורים טורים2.3 2

L = 1− 2ε εשעבורו > 0 קיים אז 0 < L < 1 .1

an+1

an< 1− 2ε+ ε = 1− ε = q < 1

מתכנס.∑∞

n=1 an שהטור נקבל הקודמת, בגרסא דלמבר מבחן לפי לכן

דלמבר לפי∑∞

n=1n5n דוגמא:

an+1

an=

n+15n+1

n5n

=n+ 1

n· 15

n→∞−→ 1

5< 1

מתכנס.∑∞

n=1n5n לכן

השורש) (מבחן קושי מבחן 2.3.5

∃ limn→∞ n√an = L אם השורש)) (מבחן קושי (מבחן 2.14 משפט

מתכנס הטור n < 1 .1

מתבדר הטור n > 1 .2

ראבה) ממולץ אחר, למקום (ללכת יודע לא n = 1 .3

limn→∞n√nk = 1 שורש: על ידועים דבר

קושי לפי .∑∞

n=1n5n דוגמא:

limn→∞

n√an = lim

n→∞n

√n

5n

= limn→∞

n√n

5=

1

5< 1

העיבוי מבחן 2.3.6

מתכנס.∑∞

n=1 2k · a2k ⇐⇒ מתכנס

∑∞n=1 an העיבוי) (מבחן 2.15 משפט

∑∞n=10

1lnn

דוגמא:

∞∑

k=4

2k

ln (2k)=

∞∑

k=4

2k

k ln 2

=1

ln 2

n∑

k=4

2k

k

limk→∞

k

√

2k

k= lim

k→∞

2k√k= 2 > 1

∑∞n=10

1lnn

העיבוי מבחן ע״פ ולכן מתבדר,∑∞

k=42k

ln(2k) השורש מבחן ע״ע ולכן מתבדר,∑∞

n=12k

kלכן

מתבדר.

14

טורים חיוביים2 טורים 2.3

האינטגרל מבחן 2.3.7

נגדיר האינטגרל) (מבחן 2.16 משפט

∞∑

n=1

an =

∞∑

n=1

f (n)

∞

1

f (x) dx ⇐⇒ מתכנס∑∞

n=1 an הטור . x ≥ 1 עבור עולה לא ומונוטונית חיובית פונקציה היא f (x)

מתכנס.

האינטגרל: מבחן לפי .x ≥ 10 לכל יורדת מונוטונית f (x) = 1x lnx

הפונקציה .∑∞

n=101

n lnnדוגמא:

∞

10

1

x lnxdx = lim

a→∞

aˆ

10

1

x lnxdx

=

∣∣∣∣

t = lnxdt = 1

xdx

∣∣∣∣

= lima→∞

lnaˆ

ln 10

1

tdt

= lima→∞

ln |t||ln aln 10

= lima→∞

ln |ln a| − ln |ln 10| = +∞

הוכחה: מתבדר∑∞

n=101

n lnnהטור גם האינטגרל מבחן וע״פ מתבדר, האינטגרל כלומר

ak+1 = f (k + 1) ≤k+1ˆ

k

f (x) dx ≤ f (k) = ak

n∑

k=1

ak+1 ≤n∑

k=1

k+1ˆ

k

f (x) dx ≤n∑

k=1

ak

Sn − a1 + an+1 ≤n+1ˆ

1

f (x) dx ≤ Sn (1)מתכנס.

´∞1 f (x) dx ⇐⇒ מתכנס

∑an ש להוכיח רוצים

מתכנס.´∞1

f (x) dx נובע מכאן , ∞→limnקיים Sn כלומר∑

an נתון .(1) ב n → ∞ את נשאיף ⇐מתכנס.

∑an ש נובע מכאן limn→∞ Sn קיים אז a1 ≥ an+1 ו n → ∞ כאשר מתכנס

´∞1 f (x) dx ⇒אם

ראבה משפט 2.3.8

אז: limn→∞ n(

an

an+1−1

)

= L קיים אם חיובי. טור∑

an יהיה ראבה) (משפט 2.17 משפט

מתכנס. טור ־ L > 1 .1

מתבדר. טור ־ L < 1 .2

15

כללים טורים טורים2.4 2

כללים טורים 2.4

מתכנס.∑ |sn| אם בהחלט מתכנס נקרא

∑an הטור כללי. טור

∑an יהיה 2.18 הגדרה

בהחלט. מתכנס∑ (−1)n

n2 ⇐ מתכנס∑∣∣∣(−1)n

n2

∣∣∣ =

∑1n2 .

∑∞n=1

(−1)n

n2 = −1 + 122 − 1

32 + . . . דוגמא:

מתכנס.∑

an אז בהחלט, מתכנס∑

an אם 2.19 משפט

מתכנס.∑ |an| כלומר בהחלט, מתכנס

∑an הוכחה:

∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀0 < p ∈ N ||an|+ · · ·+ |an+p|| = |an|+· · ·+|an+p| < ε קושי קריטריון לפיש להוכיח מסיפק .

∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀0 < p ∈ N |an + · · ·+ an+p| < ε

קושי. קריטריון לפי

|an + · · ·+ an+p| ≤ |an|+ · · ·+ |an+p| < ε

דוגמא:

בהחלט: התכנסות נבדוק מתכנס. או בהחלט מתכנס∑∞

n=10(−1)n

n ln2 nהאם .1

עולה. לא מונוטונית פונקציה f (x) = 1x ln2 x

האינטגרל: מבחן לפי א׳: דרך (א)

∞

10

1

x ln2 xdx = lim

a→∞

aˆ

10

1

x ln2 xdx

=

∣∣∣∣

t = lnxdt = 1

xdx

∣∣∣∣

= lima→∞

ln aˆ

ln 10

1

t2dt

= lima→∞

−1

t

∣∣∣∣

ln a

ln 10

< ∞

בהחלט. מתכנס∑∞

n=10(−1)n

n ln2 n⇐ מתכנס

∑1

n ln2 n⇐ מתכנס כלומר

העיבוי: מבחן ב׳: דרך (ב)

∞∑

k=10

2k

2k · ln2 (2k)=

∞∑

k=10

1

(k ln 2)2

=1

ln2 2·

∞∑

k=10

1

k2< ∞

לייבניץ׳ מבחן 2.4.1∑

an אבל בהחלט) מתכנס לא∑

an (הטור מתבדר∑ |an| אם בתנאי מתכנס נקרא

∑an הטור 2.20 הגדרה

מתכנס.

כלומר מתכנס.∑ (−1)n

nכי בהמשך נראה מתבדר.

∑∣∣∣(−1)n

n

∣∣∣ =

∑1nכי בהחלט מתכנס לא

∑ (−1)n

nדוגמא:

בתנאי. מתכנס∑ (−1)n

n

16

פונקציות של סדרות 3

אם: . an ≥ 0 כאשר∑∞

n=1 (−1)n+1 · an טור יהי לייבניץ׳) (מבחן 2.21 משפט

יורדת מונוטונית סדרה an .1

limn→∞ an = 0 .2

מתכנס.∑

(−1)n+1 · an אז

סדרה S2n ש להגיד ניתן כלומר , S2n = (a1 − a2)↑

>0

+(a3 − a4)↑

>0

+(a5 − a6)↑

>0

+ · · ·+(a2n−1 − a2n)↑

>0

הוכחה:

עולה. מונוטוניתסדרה S2n ולכן S2n ≤ a1 כלומר S2n = a1 − (a2 − a3)

︸ ︷︷ ︸

<0

− (a4 − a4)︸ ︷︷ ︸

<0

− . . .− (a2n−2 − a2n−1)︸ ︷︷ ︸

<0

−a2n

מתכנסת. S2n הסדרה נובע מכאן וחסומה עולה מונוטונית.∃ limn→∞ Sn = S⇐ S2n−1 → S כלומר S2n−1 = S2n

↑

→S

− a2n↑

→0

דיריכלה משפט 2.4.2

אם:∑

anbn טור יהיה דיריכלה) (משפט 2.22 משפט

מונוטונית. an הסדרה .1

limn→∞ an = 0 .2

(Sn = b1 + · · ·+ bn כאשר ∀n ∃M > 0, |Sn| < M (ז״א חסומים∑

bn של החלקיים הסכומים כל .3

מתכנס.∑

anbn הטור אז

אבל משפט 2.4.3

אם:∑

anbn טור יהיה אבל) (משפט 2.23 משפט

וחסומה מונוטונית סדרה an .1

מתכנס∑

bn .2

מתכנס.∑

anbn אז

פונקציות של סדרות 3

איברים שני בין האיברים כל ) וקשירה השפה1) ללא (קבוצה פתוחה קבוצה D אם תחום נקרא D 3.1 הגדרה.( לקבוצה שייכים בקבוצה

פונקציות סדרת תקרא f1 (x) , . . . , fn (x) . . . .x ∈ D לכל מוגדרות fn (x) תחום. D ⊆ R יהי 3.2 הגדרה.D ב

D = [0, 1] דוגמא:

fn (x) = xn n→∞−−−−→

=f(x)︷ ︸︸ ︷{

0 0 ≤ x < 1

1 x = 1

הקבוצה של 1הגבול

17

שווה במידה התכנסות 3.1 פונקציות של סדרות 3

רציפה. לא הגבולית הפונקציה אבל ,n לכל רציפה xn שהפונקציה לב לשים יש 3.3 הערה

limx→x0 fn (x0) = ונסמן מתכנסת { fn (x0) } אומרים אז f (x0) ל מתכנסת {fn (x0)} מספרים סדרת אם 3.4 הגדרהגבולית. פונקציה נקראת f ו f (x0)

דוגמא:

fn (x) =(1 + x

n

)n, x ∈ R .1

fn (x) =(

1 +x

n

)nn→∞−−−−→ ex = f (x)

E = R

הגבולית. הפונקציה היא f (x) = ex הפונקציה

הסדרה של ההתכנסות תחום נקראת limx→x0 fn (x) גבול קיים שעבורן x0 ∈ D הנקודות אוסף 3.5 הגדרה.E ב אתו ונסמן

של הגבול את f ב נסמן .D ב פונקציות סדרת {fn (x)} 3.4)תהי להגדרה: חלופית (הגדרה 3.6 הגדרהבנקודות פונקציות סדרת של (הגבול גבולית פונקציה נקראת f .x0 ∈ E עבור ∃ limn→∞ fn (x) = f (x)

ההתכנסות).

דוגמא:

fn (x) =1

1+nx, 0 ≤ x ≤ 1 .1

fn (x) =1

1 + nx

n→∞−→{

0 0 < x ≤ 1

1 x = 0

D = E = [0, 1] כאן

fn (x) =1

x2+n, x ∈ R .2

fn (x)n→∞−→ 0

מתקיים x ∈ E ולכל n > N שלכל כך N (ε, x) קיים ε > 0 לכל fn (x)n→∞−→ f של ההגדרה ע״פ

.|fn (x) − f (x)| < ε

שווה במידה התכנסות 3.1

אם E ב f ל שווה במידה מתכנסת {fn (x)} .E ב fn (x)n→∞−−−−→ f תהי 3.7 הגדרה

∀ε > 0

only epsilon↓

∃N (ε) > 0, ∀n > N ∀x ∈ E, , |fn (x)− f (x)| < ε

שווה? במידה מתכנסת f (x) האם fn (x) =nx

1+n2x2 ,102 ≤ x ≤ 1 דוגמא:

fn (x)n→∞−→ 018

פונקציות של סדרות 3 שווה במידה התכנסות 3.1

.x ב ולא εב ורק אך תלוי N ש להראות צריל שווה, במידה מתכנסת שהפונקציה להראות כדיε > 0 יהיה

∣∣∣∣

nx

1 + n2x2− 0

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

nx

1 + n2x2

∣∣∣∣

≤ nx

n2x2

=1

nx,

(1

2≤ x ≤ 1

)

≤ 2

n< ε

מתקיים x ∈[12 , 1]ולכל n > N שלכל כך N =

[ε2

]> 0 קיים ε > 0 לכל לכן , n = 2

εואז 2

n= ε לכן

|fn (x) − f (x)| < ε

שווה. במידה מתכנס הוא כלומר0 ≤ x ≤ 1 ל התחום את נשנה

fn (x)n→∞−−−−→ 0

∣∣∣∣

nx

1 + n2x2− 0

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

nx

1 + n2x2

∣∣∣∣

נגדיר

fn =nx

1 + n2x2

f ′n =

n(1 + n2x2

)− nx

(n22x

)

(1 + n2x2)2

n+ n2x2 − 2n3x2 = 0

n− n2x2 = 0

x =

√

1

n2>

1

n

כלומר

∣∣∣∣

nx

1 + n2x2

∣∣∣∣

x= 1n

↓

≥ 1

2> ε

קושי קריטריון 3.1.1

(אם״ם) אם ורק אם E ב שווה במידה מתכנסת fn (x) קושי) (קריטריון 3.8 משפט

∀ε > 0 ∃N, ∀n > N ∀p ∈ N ∀x ∈ E, |fn+p (x) − fn (x)| < ε (2)ש נובע מכאן ,f ל שווה במידה מתכנס fn ש נתון (⇐) הוכחה:

∀ε > 0 ∃n (ε) > 0, ∀n > N ∀x ∈ E, |fn (x)− f (x)| < ε

219

שווה במידה התכנסות פונקציות3.1 של סדרות 3

|fn (x)− f (x)| = |fn+p − f (x) + f (x)− fn|≤ |fn+p − f (x)|+ |f (x) − fn|≤ ε

2+

ε

2= ε

נקבל אז 2 ב p → ∞ (⇒)

∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀x ∈ E, |f (x) − fn (x)| < ε

.f ל שווה במידה מתכנס fn נובע Supמכאן קריטריון 3.1.2

אם״ם f ל E ב שווה במידה מתכנסת fn (x) (Sup (קריטריון 3.9 משפטlimn→∞

supx∈E

|fn (x)− f (x)| = 0

כלומר ,f (x) ל שווה במידה מתכנסת fn (x) ש נתון (⇐) הוכחה:

∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N ∀x ∈ E, |fn (x)− f (x)| < ε (3)n > N שלכל כך N εקיים > 0 שלכל צ״ל

supx∈E

|fn (x)− f (x)| < ε (4).(4) מתקיים אז E ב x כל עבור נכון (3) ש מכוון

n > N שלכל כל N (ε) > 0 קיים ε > 0 לכל נתון (⇒)

supx∈E

|fn (x)− f (x)| < ε

n > N שלכל כל N (ε) > 0 קיים ε > 0 לכל אז .

|fn (x)− f (x)| ≤ supx∈E

|fn (x)− f (x)| < ε

דוגמא:

הגבולית הפונקציה את נחפש שווה? במידה מתכנס fn (x) האם fn (x) =x

1+n2x2 , 0 ≤ x ≤ 1 .1

fn (x) =x

1 + n2x2

n→∞−→ 0

את נמצא

sup0≤x≤1

∣∣∣∣

x

1 + n2x2− 0

∣∣∣∣

הפונקציה על נסתכל

gn (x) =x

1 + n2x2

g′n (x) = 0

⇓x = ± 1

n

20

פונקציות של סדרות שווה3 במידה התכנסות 3.1

ואז המקסימום. נקודת היא x = 1nכלומר

sup0≤x≤1

∣∣∣∣

x

1 + n2x2− 0

∣∣∣∣=

1n

1 + n2 · 1n2

=1

2n

n→0−→ 0

.0 ל שווה במידה מתכנסת fn ש נובע מכאן

שווה? במידה מתכנסת הפונקציה האם fn (x) = xn, 0 ≤ x ≤ 1 .2

xn →{

0 0 ≤ x < 1

1 x = 1

את נמצא

sup0≤x≤1

|xn − f | →{

|1− 1| = 0 x = 1

sup0≤x<1 |xn| = 1 6= 0 0 ≤ x < 1

שווה. במידה מתכנס fnלא כלומר

ב: שווה במידה מתכנס fn האם fn (x) =nx

1+n2x2 .3

[12 , 1](א)

fn (x) → 0 = f

sup12≤x≤1

g(x)↓∣

∣∣∣

nx

1 + n2x2− 0

∣∣∣∣

ו x = 1 נבדוק בתחום, בהכרח לא 1nש בגלל ,x = ± 1

nהן קיצון נקודות gn (x) = nx

1+n2x2 עבורלכן x = 1

2

sup12≤x≤1

∣∣∣∣

nx

1 + n2x2− 0

∣∣∣∣

x= 12

↓

=12n

1 + n2

4

=4n

2 (4 + n2)

=2n

4 + n2→ 0

שווה. במידה 0 ל שואף fn כלומר

[0, 1] (ב)

sup0≤x≤1

∣∣∣∣

nx

1 + n2x2− 0

∣∣∣∣

x= 1n

↓

=1

29 0

שווה. במידה מתכנס לא fn הזה במקרה כלומר

גבולית פונקציה של רציפות 3.1.3

.E ב רציפה f אז E ב f ל שווה במידה מתכנסת fn (x) ו E ב רציפות פונקציות {fn (x)} אם 3.10 משפט

ל שווה במידה מתכנס לא fn (x) אז E ב רציפה לא f אם E ב רציפות פונקציות {fn (x)} יהיה 3.11 מסקנה.f

21

פונקציות טורי 4

נתון: הוכחה:

כלומר x0 ∈ E ב רציפות {fn (x)} .1

∀ε > 0 ∃δ > 0, |x− x0| < δ, |fn (x) − fn (x0)| <ε

3

( x0 ∈ E לכל נכון (הדבר

כלומר: E ב f ל שווה במידה מתכנס fn (x) .2

∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N, ∀x ∈ E, |fn (x)− f (x)| < ε

3

צ״ל:

∀ε > 0 ∃ > 0, |x− x0| < δ, |f (x)− f (x0)| < ε

.x0 ∈ E לכל

|f (x) − f (x0)| = |f (x0)− fn (x) + fn (x)− fn (x0) + fn (x0)− f (x0)|≤ |f (x0)− fn (x0)|+ |fn (x)− fn (x0)|+ |fn (x0)− f (x0)|<

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

דיני משפט 3.1.4

[a, b] ב fn (x) → f יהי 3.12 משפט

[a, b] ב עולה לא fn .1

[a, b] ב רציפות פונקציות fn .2

.(3.10 משפט סמך על רציפה f ו ) [a, b] ב שווה במידה מתכנס fn (x) אז

פונקציות טורי 4

נגדיר ,E ב מוגדרות {fn (x)} יהיו 4.1 הגדרה∞∑

n=1

fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · ·+ fn (x) + . . .

פונקציות. טור לזה נקרא

חלקיים: סכמים נגדיר 4.2 הגדרה

S1 (x) = f1 (x)

S2 (x) = f1 (x) + f2 (x)

S3 (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x)

אז x0 ∈ E עבור מתכנס טור אם

limn→∞

Sn (x) = S (x0)

הטור. של ההתכנסות תחום נקרא מתכנס הטור שבו x0 ∈ E נקודות 22אוסף

פונקציות טורי 4

דוגמא:

הטור? של ההתכנסות תחום מהו .∑∞

n=1 xn .1

בהחלט: התכנסות נבדוק (א)

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

∣∣xn+1

∣∣

|xn| = |x|

מתבדר. הטור אז x > 1 אם מתכנס. הטור אז x < 1 אם

x = 1 .i∑

1n =∑

1

מתבדר הטורx = −1 .ii

∑

(−1)n

(−1)n 9 0 כי מתבדר

נוספת: דרך (ב)

Sn (x) =x (xn − 1)

x− 1

n→∞−→

+∞ x > 1

−∞ x < −1x

1−x−1 < x < 1

? ±1

לסדרה. גבול יש −1 < x < 1 בתחום כלומר

∑∞n=1

xn

1−xn , x 6= ±1 .2

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

xn+1

1− xn+1

∣∣∣∣·∣∣∣∣

1− xn

xn

∣∣∣∣

= |x| ·∣∣∣∣

1− xn

1− xn+1

∣∣∣∣

n→∞−→{

|x| |x| < 1

|x| > 1

כאשר כלומר . ±1 6= 0 ל שואפת הפונקציה אז n → ∞ כאשר כי |x| > 1 בהם הנקודות רלוונטי לאמתבדר. הטור |x| > 1 וכאשר מתכנס. הטור |x| < 1

∑∞n=1 x

n−1 · sin(n2

).3

∣∣∣xn−1 sin

(n

2

)∣∣∣ ≤

∣∣xn−1

∣∣

בהחלט מתכנס∑

xn−1 · sin(n2

)הטור ראשון השוואה מבחן לפי |x|אז < 1 עבור מתכנס

∣∣xn−1

∣∣ הטור

מתבדר. הטור לכן an 9 0 |x|אז > 1 כאשר .|x| < 1 ב

.∑∞

n=101

n ln2(nx).423

פונקציות טורי 4

( וכו׳ יורדת מונוטונית הפונקציה ) האינטגרל מבחן לפי א׳: דרך (א)

∞

10

dt

t ln2 (tx)=

∣∣∣∣

u = ln (tx)du = xdt

tx= dt

t

∣∣∣∣

= lima→∞

ln(ax)ˆ

ln(10x)

du

u2

= lima→∞

− 1

u

∣∣∣∣

ln(ax)

ln(10x)

= lima→∞

− 1

ln (ax)+

1

ln (10x)

=1

ln (10x)

העיבוי. מבחן ב׳: דרך (ב)

(השורש) קושי מבחן לפי בהחלט התכנסות נבדוק .∑∞

n=1xn

n+1 .5

n

√

|x|nn+ 1

=|x|

n√n+ 1

n→∞−−−−→ |x|

בהחלט. מתכנס∑∞

n=1xn

n+1 ⇐ מתכנס∑∞

n=1|x|nn+1 הטור |x| < 1 אם (א)

מתבדר.∑∞

n=1xn

n+1⇐ מתבדר.∑∞

n=1|x|nn+1 הטור |x| > 1 אם (ב)

x = 1 (ג)

∞∑

n=1

=

∞∑

n=1

1

n+ 1

מתבדר הרמוני טור

x = −1 (ד)

∞∑

n=1

(−1)n

n+ 1

בהחלט. מתכנס לא שהטור ברורליבניץ׳: משפט לפי בתנאי, התכנסות נבדוק

an =1

n+ 1

הטור אז an → 0 ו יורדת. מונוטונית סדרה

∑ (−1)n

n+ 1

בתנאי. מתכנס ולכן לייבניץ׳. לפי מתכנס

.−1 ≤ x < 1 הוא ההתכנסות 24תחום

פונקציות טורי פונקציות4 טורי של שווה במידה התכנסות 4.1

שני. השוואה מבחן לפי בהחלט התכנסות נבדוק .∑∞

n=1 xn−1 sin

(x2n

).6

∣∣xn−1 · sin

(x2n

)∣∣

∣∣xn−1 x

2n

∣∣

=

∣∣∣∣∣

xn−1 sin(

x2n

)

xn

2n

∣∣∣∣∣

n→∞−→ 1, (x 6= 0)

השורש מבחן לפי∑

xn

2n הטור התנהגות את נבדוק

n

√

|x|n2n

=|x|2

n→∞−→ |x|2

.(an 9 0 איבר כי בתנאי התכנסות גם תהיה (לא מתבדר טור |x| > 2 בהחלט. מתכנס טור |x| < 2 אם

x = ±2 כאשר

(±2)n

2n9 0

.|x| < 2 הוא∑∞

n=1 xn−1 sin

(x2n

)הטור של ההתכנסות תחום מתבדר. הטור ולכן

פונקציות טורי של שווה במידה התכנסות 4.1

E0 ⊆ E ב (במ״ש) שווה במידה מתכנס∑

fn (x) כי נאמר .E בתחום המתכנס∑

fn (x) יהיה 4.3 הגדרה

.E0 ב שווה במידה מתכנסים

(sn(x)=f1(x)+···+fn(x))↓

{sn (x)} חלקיים סכומים סדרת אם

ב שווה במידה מתכנס∑∞

n=1 fn (x) פונקציות) טורי של שווה במידה להתכנסות קושי (קריטריון 4.4 משפטאם״ם E0

∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N (ε) ∀p ∈ N ∀x ∈ E0,

∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

fk (x)

∣∣∣∣∣< ε

אם״ם E ב שווה במידה מתכנסת Sn (x) הוכחה:

∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N (ε) ∀p ∈ N ∀x ∈ E0, |Sn+p (x)− sn (x)| < ε

ש נובע מכאן∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

fk (x)

∣∣∣∣∣< ε

.E0 ב שווה במידה מתכנס∑

fn (x) אז E0 ב שווה במידה מתכנס∑ |fn (x)| אם 4.5 טענה

הוכחה:

∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N (ε) ∀p ∈ N ∀x ∈ E0

∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

fk (x)

∣∣∣∣∣=

n+p∑

k=n+1

|fk (x)| < ε

25

פונקציות טורי של שווה במידה התכנסות 4.1 פונקציות טורי 4

אם״ם E0 ב שווה במידה מתכנס∑∞

n=1 fn (x) 4.6 מסקנה

supx∈E0

|rn (x)| n→∞−−−−→ 0

הטור). של (השארית rn (x) =∑∞

k=n+1 fn (x) כאשר

נתון בקטע שווה במידה מתכנסים הטורים האם דוגמא:∑∞

n=1(−1)n+1

x+2n , x ≥ 0 .1

x > 0 כל עבור מתבדר∑ 1

x+2n הטור (א)

1

3n≤ 1

x+ 2n

השוואה. מבחן לפי מתבדר∑ 1

x+2n הטור ולכן מתבדר,∑ 1

3n הטור

לייבניץ׳: מבחן לפי (ב)

an (x) =1

x+ 2n

ו x ≥ 0 לכל יורדת מונוטונית סדרה היא

an (x)n→∞−→ 0

בתנאי. מתכנס∑ (−1)n+1

x+2n ש נובע מכאן

.x ≥ 0 עבור מתכנס הטור לכן

אז יורדת מונוטונית וסדרה an → 0 אם (2.21 (משפט לייבניץ׳ ממשפט 4.7 מסקנהמתכנס הטור (א)

.rn =∑∞

k=n+1 (−1)n+1 an כאשר |rn| ≤ an+1 (ב)

סופרנום נבדוק

supx>0

∣∣∣∣∣

∞∑

k=n+1

(−1)k+1

x+ 2k

∣∣∣∣∣

≤ supx≥0

1

x+ 2 (n+ 1)

≤ 1

2n+ 2

n→∞−→ 0

.x > 0 עבור שווה במידה מתכנס הטור 4.6 מסקנה לפי∑

3n sin(

14nx

), x > 0 .2

בהחלט התכנסות נבדוק (א)∣∣3n sin 1

4nx

∣∣

∣∣3n · 1

4nx

∣∣

n→∞−→ 1

הטור∞∑

n=1

(3

4

)n1

x=

1

x

∞∑

n=1

(3

4

)n

בהחלט מתכנס∑

3n sin 14nx הטור ולכן מתכנס

∑(34

)n 1xהטור לכן מתכנס,

∑(34

)nוהטור

שני. השוואה מבחן לפי x > 0 26עבור

פונקציות טורי פונקציות4 טורי של שווה במידה התכנסות 4.1

.x > 0 כאשר שווה במידה יתכנס לא שהטור נראה (ב)קושי קריטריון לפי

∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

3k sin1

4nx

∣∣∣∣∣

x= 14n

↓

=

∣∣∣∣3n+1 sin

4n

4n+1+ 3n+2 sin

4n

4n+2+ · · ·+ 3n+p sin

4n

4n+p

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣3n+1 sin

1

4+ 3n+2 sin

(1

42

)

+ · · ·+ 3n+p sin1

4p

∣∣∣∣

≥ p · 3n+1 sin1

4> ε

שווה. במידה מתכנס לא הטור כלומר

ווירשטרס משפט 4.1.1

מתכנס∑∞

n=1 an ו (∀x ∈ E0 ⊆ E) n לכל fn (x) ≤ an אם .E ב מתכנס∑∞

n=1 fn (x) טור יהי 4.8 משפט(E0 (ב שווה במידה מתכנס

∑∞n=1 fn (x) הטור אז

צ״ל הוכחה:

∀ε > 0, ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ E0,

∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

fk (x)

∣∣∣∣∣< ǫ

שווה. במידה פונקציות טורי להתכנסות קושי קריטריון לפי∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

fk (x)

∣∣∣∣∣

≤n+p∑

k=n+1

|fk (x)|

|fk(x)|<ak↓

≤n+p∑

k=n+1

ak < ǫ

חיוביים. טורים להתכנסות קושי קריטריון ע״פ

דוגמא:∑∞

n=1sin(nx)

n3 .1

|sin (nx)|n3

≤ 1

n3

.∀x שווה במידה מתכנס ∑∞n=1

sin(nx)n3 הטור ווירשטרס מבחן לפי ⇐ מתכנס

∑ 1n3

לכן ln (1 + x) ≤ x ש יודע .|x| < a עבור∑∞

n=2 ln(

1 + x4

n ln2 n

)

.2

ln

(

1 +x4

n ln2 n

)

≤ x4

n ln2 n

≤ a4

n ln2 n

שווה במידה מתכנס∑

ln(

1 + x4

n ln2 n

)

הטור ווירשטרס מבחן לפי ⇐ מתכנס2 a4∑ 1

n ln2 nש ידוע

.|x| < a בקטע

האינטגרל מבחן או העיבוי מבחן לפי להוכיח 2ניתן

27

טורים לרציפות משפט 4.2 פונקציות טורי 4

דיריכלה מבחן 4.1.2

Bn (x) כאשר ) x ∈ E0 ⊆ E1 לכל |Bn (x)| < M אם .E1 ב מתכנס∑∞

n=1 an (x) bn (x) יהי 4.9 משפטשווה במידה ומתכנסת מונוטונית {an (x)} וסדרה ( Bn (x) =

∑nk=1 bk (x) ־ bn (x) של חלקיים סכומים זה

.E0 ב שווה במידה מתכנס∑∞

n=1 an (x) bn (x) הטור אז .E0 ב 0 ל

(Abel) אבל משפט 4.1.3

an (x) ו E0 ⊆ E1 ב שווה במידה מתכנס∑

bn (x) אם .E1 ב מתכנס∑∞

n=1 an (x) bn (x) יהי 4.10 משפטב שווה במידה מתכנס

∑an (x) bn (x) ש נובע מכאן (∀x ∈ E0 ,|an (x)| ≤ M ) במשותף וחסומה מונוטונית

.E0

דוגמא:

נבחר .∑∞

n=1(−1)n

(2n−1)nx , x > 0 .1

an (x) =1

nx

bn (x) =(−1)

n

2n− 1

x ב תלויה (לא קבועה bn (x) פונקציה שסדרת מכוון לייבניץ). מבחן (לפי בתנאי מתכנס bn (x) הטורחסומה an (x) יורדת מונוטוית סדרה היא an (x) .x > 0 עבור שווה במידה מתכנס bn (x) הטור אז (

.x > 0 כאשר שווה במידה מתכנס∑∞

n=1(−1)n

(2n−1)nx הטור אבל מבחן לפי ולכן M = 1 על־ידי

טורים לרציפות משפט 4.2∑∞

n=1 fn (x) והטור E ב רציפה {fn (x)} פונקציות סדרת אם .S (x) =∑∞

n=1 fn (x) יהי 4.11 משפט.E ב רציפה S (x) אז E ב S (x) ל שווה במידה מתכנס

אז |x− x0| < δ, x, x0 ∈ E שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 שלכל להוכיח מספיק הוכחה:

|S (x)− S (x0)| < ε

לכל ש נובע מכאן .∀n ,x ∈ E לכל רציפה פונקציה Sn (x) = f1 (x) + · · ·+ fn (x) ⇐ רציפות {fn} נתון:|Sn (x)− Sn (x0)| < 3ε אז |x− x0| < δ, x, x0 ∈ E שאם כך δ > 0 קיים ε > 0

.|rn (x)| < ε3 ש כך x ∈ E0 קיים n > N שלכל כך N קיים ε > 0 לכל ⇐ במ״ש מתכנס

∑fn (x)ש ברור

S (x) = Sn (x) +Rn (x)

n > N ויהי ε > 0 יהיה∣∣S (x)− S

(x)

)∣∣ = |Sn (x) +Rn (x) − (Sn (x0) +Rn (x0)|

≤ |Sn (x)− Sn (x0)|+ |rn (x)|+ |rn (x0)|≤ ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

E ב רציפה לא S (x) ו E ב רציפה {fn (x)} פונקציות סדרת אם .S (x) =∑∞

n=1 fn (x) יהי 4.12 מסקנהשווה. במידה מתכנס לא

∑fn (x) הטור אז

28דוגמא:

פונקציות טורי 4 איבר איבר אינטגרציה 4.3

.x לכל רציפה S (x) צ״ל . S (x) =∑∞

n=1n2x

1+n7x2 .1

.x לכל רציפות fn (x) =n2x

1+n7x2

f ′n (x) =

n2(1 + n7x2

)− n2x

(2xn7

)

(1 + n7x2)2 = 0

n2 + n9x2 − 2x2n9 = 0

n2 = x2n9

x2 = n−7

x = ± 1√n7

xmax =1√n7

∣∣∣∣

n2x

1 + n7x2

∣∣∣∣

x= 1√n7

↓

≤ 1

2n√n

מתכנס∑

n2x1+n7x2 הטור ווירשטרס משפט ע״פ לכן p = 1.5 > 1 כי מתכנס

∑1

n√n=∑

1n1.5 הטור

הטור ולכן x לכל שווה במידה

S (x) =∑ n2x

1 + n7x2

.x לכל רציף

איבר איבר אינטגרציה 4.3

S (x) ל שווה במידה מתכנס S (x) =∑∞

n=1 fn (x) ו [a, b] ב רציפות פונקציות {fn (x)} יהי 4.13 משפטאז [a, b] בקטע

bˆ

a

S (x) dx =

bˆ

a

∞∑

n=1

fn (x) dx =

∞∑

n=1

bˆ

a

fn (x) dx

n > N2 שלכל כך N2 קיים ε > 0 שלכל להוכיח מספיק הוכחה:∣∣∣∣∣∣

bˆ

a

S (x) dx−n∑

k=1

bˆ

a

fk (x) dx

∣∣∣∣∣∣

< ε

.[a, b] ב רציפה פונקציה S (x)x ∈ [a, b] ולכל n > N1 שלכל כך N1 > 0 קיים ε > 0 לכל ⇐ שווה במידה מתכנס S (x)

|rn (x)| < ε

b− a

ש נובע מכאן .S (x) = Sn (x) + rn (x) ו n > N1 יהי

bˆ

a

S (x) dx =

bˆ

a

Sn (x) dx+

bˆ

a

rn (x) dx29

איבר איבר גזירה 4.4 פונקציות טורי 4

n אותו ועבור∣∣∣∣∣∣

bˆ

a

S (x) dx−n∑

k=1

fk (x) dx

∣∣∣∣∣∣

≤

∣∣∣∣∣∣

bˆ

a

rn (x) dx

∣∣∣∣∣∣

≤bˆ

a

|rn (x)| dx

<

aˆ

a

ε

b− adx = ε

דוגמא:

−1 ≤ x ≤ 1 עבור איבר איבר אינטגרציה לעשות ניתן∑

xn

n2 − xn+1

(n+1)2שלטור נוכיח .1

עבור (כנ״ל שווה. במידה מתכנס∑

xn

n2 ווירשטרס משפט לפי . |x| ≤ 1 עבור∣∣x

n

n2

∣∣ < 1

n2 (א)(∑

xn+1

(n+1)2

x לכל רציפה fn (x) =xn

n2 − xn+1

(n+1)2(ב)

. איבר איבר אינטגרציה לעשות שניתן נובע מכאן

איבר איבר גזירה 4.4

יהיה: 4.14 משפט

[a, b] בקטע רציפות נגזרות ובעל גזירות פונקציות {fn (x)} •

[a, b] ב מתכנס S (x) =∑∞

n=1 fn (x) •

[a, b] ב שווה במידה מתכנסת∑∞

n=1 f′n (x) •

אז

( ∞∑

n=1

fn (x)

)′

=

∞∑

n=1

f ′n (x)

. [a, b] ב רציפות פונקציות {f ′n (x)} . שווה במידה מתכנס S =

∑∞n=1 f

′n (x) הוכחה:

g′ = S ⇐ g (x) =´ x

aS (x) dx⇐ רציף S

נסמן

S′ =

( ∞∑

n=1

fn (x)

)′

כי להוכיח מספיק

S = S′30

פונקציות טורי 4 איבר איבר גזירה 4.4

g (x) =

xˆ

a

S (x) dx

=

xˆ

a

∞∑

n=1

f ′n (x) dx

איבר איבר אינטגרציה ע״פ

xˆ

a

∞∑

n=1

f ′n (x) dx =

∞∑

n=1

xˆ

a

f ′n (x) dx

=

∞∑

n=1

fn (x)− fn (x)

=

∞∑

n=1

fn (x)−∞∑

n=1

fn (a)

= S (x)− S (a)

g′ = S′ (x)

S′ (x) = S

דוגמא:

.x לכל איבר איבר גזירה משפט הטור על להפעיל ניתן∑

arctan(

xn2

).1

ו x לכל גזירות פונקציות fn (x) = arctan(

xn2

)(א)

f ′ (x) =1n2

1 +(

xn2

)2 =n2

n4 + x2

x לכל רציפה פונקציה

כי x לכל מתכנס∑

arctan(

xn2

)(ב)

arctan(

xn2

)

xn2

n→∞−→ 1

שני. השוואה מבחן ע״פ x לכל מתכנס∑ |x|

n2 ו

שווה. במידה מתכנס (∑

f ′n =

∑n2

n4+x2 ) הנגזרות שטור נראה (ג)

∣∣∣∣

n2

n4 + x2

∣∣∣∣≤ n2

n4=

1

n2

.x לכל שווה במידה מתכנס∑

n2

n4+x4 הטור ווירשטרס מבחן לפי ⇐ מתכנס∑ 1

n2 הטור

איבר. איבר גזירה לעשות ניתן 31לכן

חזקות טורי 4.5 פונקציות טורי 4

חזקות טורי 4.5

מהצורה טור חזקות) (טור 4.15 הגדרה

f (x) =

∞∑

n=0

anxn

מהצורה או

f (x) =

∞∑

n=0

an (x− x0)

חזקות. טורי נקראים קבוע x0 עבור

|x| < α עבור בהחלט מתכנס∑

anxn הטור אז x = α 6= 0 עבור מתכנס

∑anx

n חזקות טור אם 4.16 משפט

M ע״י מסויים n מ חסומה {anαn} הסדרה limn→∞ anαn = 0 ⇐ מתכנס

∑anα

n שהטור נתון הוכחה:הכללי האיבר עבור .(|anαn| ≤ M (ז״א

|anxn| = |anαn| ·∣∣∣∣

xn

αn

∣∣∣∣

≤ M ·∣∣∣x

α

∣∣∣

n

.|x| < α עבור בהחלט מתכנס∑

anxn השוואה מבחן לפי ⇐ q =

∣∣ xα

∣∣ < 1 כי מתכנס

∑∣∣ xα

∣∣nהטור

הטור של ההתכנסות) (רדיוס 4.17 טענה

R =1

limn→∞ n√

|an|

או

R = limn→∞

∣∣∣∣

anan+1

∣∣∣∣

מתכנס. הטור שעבורו המקסימלי האיבר זה R כאשר

?(R ב אותו (נסמן מתכנס הטור שעבורו ביותר הגדול α הערך מהו .∑∞

n=0 anxn הטור יהי הוכחה:

limn→∞

n√

|anxn| = |x| · limn→∞

n√

|an| < 1

כאשר α של הקצה את נבדוק

|x| limn→∞

n√

|an| = 1

|x| =1

limn→∞ n√

|an|

אם 4.18 מסקנה

מתבדר טור |x| > R .1

מתבדר |x|טור < R .232

פונקציות טורי 4 חזקות טורי 4.5

לבדוק. צריך ידוע, לא x = ±R .3

דוגמא:

הטור. של ההתכנסות תחום + ההתכנסות רדיוס מהו∑∞

n=1xn

4n2+1 .1

an =1

4n2 + 1

R =1

limn→∞

n

√

1

4n2 + 1

= limn→∞

n√

4n2 + 1 = 1

הקצוות את נבדוק בהחלט. מתכנס הטור |x| < 1 כאשר לכן

x = 1 (א)

∑ 1

4n2 + 1

ההשואה מבחן לפי מתכנס הטור

1

4n2 + 1≤ 1

4n2

x = −1 (ב)

∑ (−1)n

4n2 + 1

.( x = 1 (כמו בהחלט מתכנס∑ 1

4n2+1 בהחלט: התכנסות נבדוק

הטור). של ההתכנסות (תחום −1 ≤ x ≤ 1 כאשר מתכנס הטור לכן

חזרה נחזור ,−1 ≤ t ≤ 1 כאשר מתכנס הטור קודם תרגיל לפי ולכן ,t = x− 3 נציב ,∑ (x−3)n

4n2+1 עבור .2t = x− 3 ל

2 ≤ x ≤ 4

שווה במידה התכנסות 4.5.1

במידה מתכנס∑

anxn הטור 0 < r < R לכל .R התכנסות רדיוס בעל

∑anx

n חזקות טור יהי 4.19 משפט[−r, r] ב שווה

הוכחה:

|anxn| ≤ |an| rn, x ∈ [−r, r]

שווה. במידה מתכנס הטור ווירשטרס מבחן ולפי ( 0 < r < R ש (מפני מתכנס חיובי טור∑ |an| rn הטור

שווה. במידה יתכנס הטור [α, β] ⊆ (−R,R) שעבורן α, β לכל 4.20 מסקנה

שווה. במידה התכנסות יש הזה בתחום 4.19 משפט ולפי ,r = max [|α| , |β|] נקח 33הוכחה:

חזקות טורי 4.5 פונקציות טורי 4

טיילור טורי 4.5.2

f (x) =

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n + . . .

איבר איבר גזירה לפי .0 ב פעמים ∞ גזירה f ש נניח .an =? למצוא ורוצים f נתונה

f ′ = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + . . .

f ′ (0) = a1

הפונקציה את שוב נגזור

f ′′ = 2!a2 + 3!a3x+ 4 · 3a4x2

f ′′ (0) = 2!a2

f ′′′ = 3!a3 + 4!a4x+ . . .

f ′′′ (0) = 3!a3

כלומר

an =f (n) (0)

n!

(x0 = 0 סביב טיילור (טור f של מקלורן טור 4.21 הגדרה

f (x) =∞∑

n=0

fn (0)

n!xn

x0 סביב f של טיילור טור

f (x) =

∞∑

n=0

fn (x0)

n!(x− x0)

n

הטור. של ההתכנסות בתחום רק מתקיים שהשוויון לב לשים יש

דוגמא:

.f (x) = ex של (x0 = 0 סביב טיילור (טור מקלורן טור מצאו .1

f (n) = ex

f (n) (0) = e0=1

הטור לכן

ex =

∞∑

n=0

1

n!xn =

∞∑

n=0

xn

n!

הטור של ההתכנסות תחום את נבדוק

R =1

limn→∞ n

√1n!

= limn→∞

n√n! = ∞

.x לכל מתאים הטור 34לכן

פונקציות טורי 4 חזקות טורי 4.5

מוכרות פונקציות עבור מקלורן) (טור x0 = 0 סביב טיילור טורי

•

ex =

∞∑

n=0

xn

n!, |x| < ∞

•

sinx =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!, |x| < ∞

•

cosx =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!, |x| < ∞

•

1

1− x=

∞∑

n=0

xn, |x| < 1

דוגמה:

של מקלורן טור מצא .1

f (x) = ln (1 + x) (א)

f (x) = ln (1 + x)

=

xˆ

0

1

1 + tdt

11−x

של בפיתוח נשתמש

xˆ

0

1

1 + tdt

|x|<1↓

=

xˆ

0

( ∞∑

n=0

(−t)n)

dt

איבר איבר אינטגרציה לפי ולכן שווה במידה מתכנס הטור הזה בתחום

xˆ

0

( ∞∑

n=0

(−t)n)

dt =∞∑

n=0

(−1)nxˆ

0

tndt

=

∞∑

n=0

(−1)n tn+1

n+ 1

∣∣∣∣

x

0

=∞∑

n=0

(−1)n xn+1

n+ 135

ווקטורים של אלגברה 5

g (x) = arctanx (ב)

g (x) = arctanx

=

xˆ

0

1

1 + t2dt

|x|<1↓

=

xˆ

0

∞∑

n=0

(−t2

)ndt

קודם. תרגיל וכמוh (x) = 1

(1−x)2(ג)

h (x) =1

(1− x)2

=

(1

1− x

)′

=

( ∞∑

n=0

xn

)′

ולכן איבר, איבר בגזירה להשתמש ניתן חזקות, טור שזה מפני( ∞∑

n=0

xn

)′

=

∞∑

n=0

(xn)′

=

∞∑

n=1

nxn−1

´ x

0e−t2dt .2

xˆ

0

e−t2dt =

xˆ

0

∞∑

n=0

(−t2

)n

n!dt

ולכן איבר, איבר באינטגרציה להשתמש ניתן x לכל הוא הטור של ההתכנסות שתחום בגללxˆ

0

∞∑

n=0

(−t2

)n

n!dt =

∞∑

n=0

(−1)n

n!

xˆ

0

t2ndt

=

∞∑

n=0

(−1)n

n!· t2n+1

2n+ 1

∣∣∣∣

x

0

=

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

n! (2n+ 1)

ווקטורים של אלגברה 5

סקלרית מכפלה 5.1

מוגדרת: ~v ,u~ו ווקטור בין סקלרית מכפלה 5.1 הגדרה

~v · ~u = |~v| · |~u| cosα36

ווקטורים של אלגברה ווקטורית5 מכפלה 5.2

הקוסינוסים: משפט לפי

~u = (u1, u2, u3)

~v = (v1, v2, v3)

~v · ~u = u1v1 + u2v2 + u3v3

נסמן מאונכים, ~u,~v ⇐⇒ ~v · ~u = 0 5.2 מסקנה

~v ⊥ ~u

סקלרית מכפלה תכונות 5.1.1

~u · ~v = ~v · ~u .1

λ~u · ~v = ~u · λ~v .2

~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w .3

|v~|לדוגמא: =√~v · ~v .4

~v = (v1, v2, v3)

|~v| =√

v21 + v22 + v23

ווקטורית מכפלה 5.2

מוגדרת: ~v = (v1, v2, v3) ו u = (u1, u2, u3) ווקטור בין ווקטורית מכפלה 5.3 הגדרה

~v × ~u =

∣∣∣∣∣∣

ı kv1 v2 v3u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣

= ı (v2u3 − u2v3) + (v1u3 − u1v3) + k (v1u2 − u1v2)

= (v2u3 − u2v3, v1u3 − u1v3, v1u2 − u1v2)

כאשר:

ı = (1, 0, 0)

= (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

37

ווקטורית מכפלה ווקטורים5.2 של אלגברה 5

ווקטורית מכפלה של כיוונים :1 איור

ימין: יד כלל ע״י נקבע כוונו כאשר הווקטורים, לשני המאונך ווקטור יוצרת ווקטורית מכפלה 5.4 הערה

ימין יש כלל :2 איור

5.5 משפט

|~v × ~u| = |~v| · |~u| sin θ

הווקטורים. שני בין מקבילית ע״י שנוצר השטח לגדול שווה ווקטורית, מכפלה ע״י המתקבל הווקטור אורך כלומר

38

ווקטורים של אלגברה 5 מעורבת מכפלה 5.3

ווקטורית מכפלה ע״י ניתן מקבילית שטח :3 איור

ווקטורית מכפלה של תכונות 5.2.1

~v × ~w = −~w × ~v .1

~v × (~w × ~u) 6= (~v × ~w)× ~u .2

λ~v × ~w = ~v × λ~w .3

מעורבת מכפלה 5.3

5.6 טענה

~v · (~w × ~u) =

∣∣∣∣∣∣

v1 v2 v3w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣

הוכחה:

v ·

∣∣∣∣∣∣

i j kw1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣

= (v1, v2, v3) (u3w2 − u2w3, u1w3 − w1u3, w1u2 − u1w2)

= v1 (u3w2 − u2w3) + v2 (u1w3 − w1u3) + v3 (w1u2 − u1w2)

=

∣∣∣∣∣∣

v1 v2 v3w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣

5.7 טענה

~v · (~w × ~u) = (~v × ~w) · ~u

מתבטל המינוס ולכן שורה, פעמים מחליפים בדטרמיננטה, 39הוכחה:

אוקלידי מרחב 6

ל: שווה ווקטורים שלושה ע״י שנוצר מקבילון של נפח 5.8 טענה

|~v · (~w × ~u)|

3

הגובה. כפול הבסיס לשטח שווה מקבילון של נפח הוכחה:‖~u× ~w‖ ל שווה הבסיס שטח‖~v‖ cosα ל שווה הבסיס גובה

ל שווה הנפח כלומר

V = ‖~u× ~w‖ · ‖~v‖ cosα

שני: מצד

|~v · (~w × ~u)| = |‖~u× ~w‖ · ‖~v‖ cosα|

המוחלט. הערך את להוריד וניתן חיובי הוא cosα חדה, זווית היא α ש ומפני

אוקלידי מרחב 6

Rn = { (x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R }

בין הנורמה אם אוקלידי מרחב נקרא V = Rn 6.1 הגדרה

‖~v‖ = (v1, . . . , vn)

‖~w‖ = (w1, . . . , wn)

‖~v − ~w‖ =

√

(v1 − w1)2 + · · ·+ (vn − wn)

2

.~w ו ~v הווקטורים שני בין המרחק

: R2 ב כדור להגדיר כדי

Br (x0) ={~x ∈ R2

∣∣ ‖x− x0‖ < r

}

מימדים n בעל כדור לעשות נרצה אם

Br (x0) = { ~x ∈ Rn | ‖x− x0‖ < r }ווקטורית מכפלה על מערך האנגלית, מוויקיפדיה 3נלקח

40

משתנים רב פונקציות של גבולות 7

בכדור): כלולה השפה (שגם סגור כדור נרצה אם

Brc (x0) = { ~x ∈ Rn | ‖x− x0‖ ≤ r }

ש כך נקודות אוסף היא Rn ב תיבה:

a1 ≤ x1 ≤ b1

a2 ≤ x2 ≤ b2...an ≤ xn ≤ bn

ש כך r > 0 קיים x0 ∈ A לכל אם פתוחה קבוצה נקראת A ⊆ Rn קבווצה פתוחה) (קבוצה 6.2 הגדרה

Br (x0) ⊆ A

.A ב שנמצא כלשהו חיובי רדיוס בעל כדור קיים בקבוצה, נקודה בכל כלומר

פתוחה. 4Ac אם סגורה קבוצה נקראת A ⊆ Rn קבוצה סגורה) (קבוצה 6.3 הגדרה

בקבוצה. שכלול מסלול יש בקבוצה x, y ∈ A לכל אם קשירה נקראת A קשירה) (קבוצה 6.4 הגדרה

שעבורו סופי r בעל Br (x0) כדור קיים אם חסומה נקראת A 6.5 הגדרה

A ⊆ Br (x0)

( A את מכיל אשר סופי רדיוס בעל כדור קיים אם חסומה נקראת A (קבוצה

וקשירה. פתוחה A אם תחום נקראת A ⊆ Rn (תחום) 6.6 הגדרה

דוגמא:

סופי), אין (הקו חסומה קבוצה לא גם הוא סגורה. קבוצה תמיד הוא פתוחה, קבוצה להיות יכול לא ־ קו .1קשירה. קבוצה והוא

תחום. היא כלומר וקשירה, פתוחה קבוצה ־ רצועה .2

משתנים רב פונקציות של גבולות 7

אם x → x0 כאשר f פונקציה של הגבול נקרא L ∈ Rm פונקציה. f : Rn → Rm יהיה 7.1 הגדרה

∀ε > 0, ∃δ > 0, ‖~x− x0‖ < δ ‖f (x)− L‖ < ε

ונסמן

lim~x→ ~x0

f (~x) = L

A כ גם לפעמים מסומנת למרחב, משלימה 4קבוצה

41

משתנים רב פונקציות של גבולות 7

גבול קיום אי גבול קיום

שונים גבולות יש שעברם שונים מסלולים ( 43 בעמוד 7.1 סעיף ) סנדוויץt הצבת

או אחד למשתנה פונקציה (הבאת t הצבת( ידוע במשפט שימוש( 44 בעמוד 7.3 סעיף )

(R2 ב (רק קוטביות ( 43 בעמוד 7.2 סעיף ) (R2 ב (רק קוטביות( 44 בעמוד 7.4 סעיף ) חוזרים גבולות

גבול של קיום ואי לקיום שיטות סיכום :1 טבלה

דוגמה:

f (x, y) = x2+yx+y+1 .1

lim(x,y)→(1,2)

x2 + y

x+ y + 1

אז שונים גבולות יש שעבורם x0ל ששואפים שונים מסלולים שני קיימים אם 7.2 מסקנה

∄ lim~x→ ~x0

f (~x)

דוגמא:

.1

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

2x2 − y2

0 ל x את ונשאיף ,x = y מסלול על נסתכל

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

2x2 − y2= lim

x→0

x2 + x2

2x2 − x2= 2

y = 0 מסלול נבחר

limx→0

x2

2x2=

1

2

קיים. לא הגבול כלומר שונים, גבולות יש שעבורם שונים מסלולים שני יש

∄ lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

2x2 − y2

ואז ,y = kx נגדיר .(0, 0) הנקודה5 דרך העוברים הישרים הקווים כל את נבדוק לבדוק, נוספת דרך

limx→0

x2 + k2x2

2x2 − k2x2=

1 + k2

2− k2

קיים. לא הגבול כלומר שונים, גבולות יש שעבורם שונים מסלולים יש כלומר k ב תלוי הגבול

גבול קיום להפריך דרך רק וזו הקיימים, המסלולים כל לא שזה לב לשים 542יש

משתנים רב פונקציות של גבולות 7 הסנדוויץ׳ משפט 7.1

0 xל את ונשאיף y = kx הישרים הקווים כל את נבדוק .lim(x,y)→(0,0)xy2

x2+y4 .2

limx→0

xk2x2

x2 + k4x4= lim

x→0

xk2

1 + k4x2= 0

נבדוק אחר. גבול נקבל שבו מסלול נחפש גבול. שקיים אומר לא זה אבל ,k ב תלוי לא שהגבול קיבלנו0 ל y את ונשאיף x = y2 במסלול קורה מה

limy→0

y4

2y4=

1

2

קיים. לא הגבול ולכן שונים, גבולות יש שעבורם מסלולים שני יש כלומר

אזי: ∃ lim~x→ ~x0g (~x) = L2 ו ∃ lim~x→ ~x0

f (~x) = L1 יהיה 7.3 משפט

∃ lim~x→ ~x0f ± g = L1 ± L2 .1

∃ lim~x→ ~x0f · g = L1 · L2 .2

∃ lim~x→ ~x0

fg= L1

L2, L2 6= 0 .3

הסנדוויץ׳ משפט 7.1

הסנדוויץ׳) (משפט 7.4 משפט

0 ≤ ‖f (~x)− L‖ ~x→ ~x0−−−−→ 0 ⇐⇒ ∃ lim~x→ ~x0

f (~x) = L

דוגמא:

lim(x,y)→(0,0)x2y

x2+y2 .1

0 ≤∥∥∥∥

x2y

x2 + y2− 0

∥∥∥∥

=

∥∥∥∥

x2y

x2 + y2

∥∥∥∥

≤∣∣x2y

∣∣

|x2|= |y| (x,y)→(0,0)−−−−−−−→ 0

f : R2 → R עבור קוטביות קורדינטות 7.2

x = a+ r cos θ

y = b+ r cos θ

.(a, b) הנקודה את נקבל r → 0 נשאיף אםדוגמה:

.1

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

2x2 − y2

x=r cos θ,y=sin θ↓

= limr→0

r2 cos2 θ + r2 sin2 θ

2r2 cos2 θ − sin2 θ

=1

2 cos2 θ − sin2 θ

גבול. קיים לא ולכן θ ב תלוי הגבול 43כלומר

t הצבת 7.3 משתנים רב פונקציות של גבולות 7

.2

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= lim

r→0

r2 cos2 θr sin θ

r2 cos2 θ + r2 sin2 θ

= limr→0

r cos2 θ · sin θ = 0

גבול. קיים ולכן חסום, הביטוי ושאר ,0 ל rשואף

t הצבת 7.32010־4־15

נגדיר .lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2

)· sin

(

1√x2+y2

)

.1

t = x2 + y2

ונציב t → 0+ אז (x, y) → (0, 0) כאשר

limt→0+

→0↓

t ·

|f(x)|<M↓

sin

(1√t

)

= 0

גבול. יש אז אחד, גבול קיבלנו

lim(x,y)→(0,π2 )(1− cos (x+ y))

tan(x,y) .2

lim(x,y)→(0,π2 )

(1− cos (x+ y))tan(x,y)

= lim(x,y)→(0,π2 )

[

(1− cos (x+ y))1

cos(x+y)

]sin(x+y)↑

→1

t → 0 לכן t = cos (x+ y) נסמן

limt→0

(1− t)1t = e−1

גבול יש כלומר

חוזרים גבולות 7.4

למצוא מטרה

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y)

הם: חוזרים גבולות 7.5 הגדרה

limx→x0 (limy→y0 f (x, y))limy→y0 (limx→x0 f (x, y))

אז ∃ limx→x0 f (x, y) = ϕ (y) (x0, y0) הנקודה בסביבת y ולכל ∃ limx,y→(x0,y0) f (x) = L יהי 7.6 משפטהגבול קיים

∃ limy→y0

limx→x0

f (x, y)

.L ל שווה 44והוא

משתנים רב פונקציות של גבולות 7 חוזרים גבולות 7.4

אז ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל הוכחה:

|f (x, y)− L| < ε

אז |y − y0| < δ ו |x− x0| < δ שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל ז״א

|f (x, y)− L| < ε

x → x0 קבוע, y עבור

|ϕ (y)− L| < ε

ש נובע מכאן

limy→y0

ϕ (y) = L

ש נובע ומכאן

limy→y0

limx→x0

f (x, y) = L

קיים. אינו הכפול הגבול אז ושונים קיימים חוזרים גבולות אם 7.7 מסקנה

דוגמה:

חזרים: גבולות על נסתכל .lim(x,y)→(0,1) x sin(

1y−1

)

.1

∄ limx→0

∄↓

limy→1

x sin

(1

y − 1

)

limy→1

→0↓

limx→0

x sin

(1

y − 1

)

= 0

קיים: הכפול הגבול אבל

lim(x,y)→(0,1)

x↑

→0

|f(x)|<M↓

sin

(1

y − 1

)

= 0

lim(x,y)→(0,0)x2

x2+y2 .2

limx→0

limy→0

x2

x2 + y2= lim

x→0

x2

x2

= 1

limy→0

limx→0

x2

x2 + y2= lim

y→00

= 0

קיים אינו הכפול הגבול ולכן שונים, אבל קיימים, הגבולות שני

∄ lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y245

גבולות של תכונות 7.5 משתנים רב פונקציות של גבולות 7

גבולות של תכונות 7.5

∃ lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = L

∃ lim(x,y)→(x0,y0)

g (x, y) = M

הגבול קיום על שומרים במספר הכפלה הרכבה, חילוק, כפל, חיסור, סכום, 7.8 משפט

lim(x,y)→(x0,y0)

f ± g = L±M

lim(x,y)→(x0,y0)

f · g = L ·M

רציפות 7.6

אם ~x0 ∈ Rn בנקודה רציפה f : Rn → Rn 7.9 הגדרה

∃ lim~x→~x0

f (~x) = f (~x0)

דוגמה:

?(0, 0) בנקודה רציפה f האם .1

f (x) =

{x2y

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

(0, 0) בנקודה גבול קיים אם נבדוק

0 <

∣∣∣∣

x2y

x2 + y2

∣∣∣∣≤∣∣∣∣

x2y

x2

∣∣∣∣= y → 0

כלומר

∃ lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0

רציפה. f הפונקציה לכן

R2 ב רציפה f תהיה שעבורו a קיים האם .2

f (x, y) =

{x2+x3+y3

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

a (x, y) = (0, 0)

y = kx, x → 0 קיים: הגבול אם ונבדוק ישרים, מסלולים נקח

limx→0

x2 + x3 + k3x3

x2 + k2x2=

1

1 + k

נקודה קיימת לא ולכן שונה גבול שנותנים מסלולים שני יש כי קיים לא הגבול כלומר ,k ב תלוי הגבולרציפה. תהיה f שעבורה a46

נגזרות 8

?(1,−1, 1) ב רציפה f האם .3

f (u, v, t) =

t2 sin

(

(u−1)2v2+u2(v+1)2

t2

)

(u−1)2v2+u2(v+1)2(u, v, t) 6= (1,−1, 1)

1 (u, v, t) = (1,−1, 1)

נגדיר

x (u, v, t) =(u− 1)

2v2

t2(1,−1,1)

= 0

y (u, v, t) =y2 (v + 1)2

t2(1,−1,1)

= 0

(0, 0) בנקודה רציפה f האם

f (x, y) =

{sin(x+y)

x+y(x, y) 6= 0

1 (x, y) = 0

w = x+ y נגדיר

lim(x,y)→(0,0)

sin (x+ y)

x+ y= lim

w→0

sinw

w= 1

שני של כהרכבה בנקודה רציפה f (u, v, t) אז רציפות y (u, v, t) ו x (u, v, t) ו רציפה, f (x, y) ש מכווןרציפות. פונקציות

נגזרות 8

חלקיות נגזרות 8.1

אם פונקציה, f : Rn → R תהי 8.1 הגדרה

∃ limt→0

f (x1, . . . , xj + t, . . . , xn)− f (x1, . . . , xn)

t

f ′xjאו

∂f

∂xj

הגבול את ונסמן xj לפי חלקית גזירה f ש נאמר אז

:n = 2 פרטי: מקרה:x לפי חלקית נגזרת

∃ limt→0

f (x0 + t, y0)− f (x0, y0)

t= f ′

x (x0, y0) =∂f

∂x(x0, y0) = fx (x0, y0)

:y לפי חלקית נגזרת זו

∃ limt→0

f (x0, y0 + t)− f (x0, y0)

t= f ′

y (x0, y0) =∂f

∂y(x0, y0) = fy (x0, y0)

דוגמה:

f (x, y) = x2y + ex2

ln y .1

f ′x = 2xy + ex

2 · 2x ln y

f ′y = x2 + ex

2 1

y47

חלקיות נגזרות 8.1 נגזרות 8

f (x, y, z) = z cos (xy) .2

f ′x = −z sin (xy) · yf ′y = −z sin (xy) · xf ′z = cos (x, y)

.f של חלקיות נגזרות מצא ,f (x, y) =

{x3

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).3

חלקית גזירות אשר אלמנטריות פונקציות של חלוקה היא כי חלקית גזירה f (x, y) 6= (0, 0) כאשר (א)

f ′x =

3x2(x2 + y2

)− x3 · 2x

(x2 + y2)2

f ′y = − x3 (2y)

(x2 + y2)2

החלקית הנגזרת הגדרת לפי לגזור חייבים (0, 0) בנקודה (ב)

f ′x = lim

t→0

f (0 + t, 0)− f (0, 0)

t

= limt→0

t3

t2+02 − 0

t= 1

f ′y = lim

t→0

f (0, 0 + t)− f (0, 0)

t

= limt→0

03

02+t2− 0

t= 0

קיימות: חלקיות נגזרות אבל רציפה, לא f בה דוגמה (ג)

f (x, y) =

{xy

x2y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

y = kx כי (0, 0) ב רציפה לא f

∄ limx→0

xkx

x2 + k2x2=

k

1 + k2

רציפה. לא היא ולכן ,k ב תלוי הגבול

אבל

f ′x (0, 0) = lim

t→0

f (t, 0)− f (0, 0)

t

= limt→0

t·0t2+0 − 0

t= 0

.f ′y לגבי 48כנ״ל

נגזרות כללית)8 (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2

כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2

:B ו A קיימים אם (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית פונקציה נקראת f (x, y) 8.2 הגדרה

A = f ′x (x0, y0)

B = f ′y (x0, y0)

ש כך

f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0) = A∆x+B∆y + ε · ρ

כאשר

limρ→0

ε = 0

ρ =√

∆x2 +∆y2 ו

אז (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f 8.3 משפט

∃f ′x (x0, y0)

∃f ′y (x0, y0)

.ρ = |t| ש לראות אפשר ,∆x = t → 0 ו ∆y = 0 הוכחה:

f (x0 + t, y0)− f (x0, y0) = At+ εt

f (x0 + t, y0)− f (x0, y0)

t=

A�t+ ε�t

�t

.x לפי החלקית הנגזרת את קיבלנו ולמעשה t → 0 ⇒ ε → 0 את נשאיף

f ′x (x0, y0) = A

(x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית פונקציה f (8.2 להגדרה שקולה (הגדרה 8.4 הגדרה∃ lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0)− f ′x (x0, y0)∆x− f ′

y (x0, y0)∆y√

∆x2 +∆y2= 0

ורציפות דיפרנציאביליות 8.2.12010־4־22

(x0, y0) בנקודה רציפה f אז (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f אם 8.5 משפט

דיפרנציאבילית פונקציה של ההגדרה ע״פ הוכחה:

lim(∆x,∆y)→(0,0)

f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0) = lim(∆x,∆y)→(0,0)

f ′x (x0, y0)∆x+f ′

y (x0, y0)∆y+ερ = 0

כלומר

lim(∆x,∆y)→(0,0)

f (x0 +∆x, y0 +∆y) = f (x0, y0)

(x0, y0) בנקודה רציפה f ש נובע מכאן

49

כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2 נגזרות 8

דיפרנציאבילית לא f אז בנקודה, רציפה לא f אם 8.6 מסקנה

דוגמא:

קיים לא ז״א ,kב תלוי הגבול (כי (0, 0) בנקודה רציפה לא f , f (x, y) =

{xy

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).1

.(0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית לא f ש נובע מכאן גבול)

לא f ש נראה ־ (0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית f האם f (x, y) =

{x3+y3

2x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).2

רציפה. כן אבל (0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית

בנקודה: חלקית נגזרות נמצא

f ′x (0, 0) = lim

t→0

f (t, 0)− f (0, 0)

t

= limt→0

t3

2t2 − 0

t

=1

2

f ′y (0, 0) = lim

t→0

f (0, t)− f (0, 0)

t

= limt→0

t3

t2− 0

t= 1

הגדרה לפי דיפרנציאביליות נבדוק עכשיו

lim(∆x,∆y)→(0,0)

f(∆x,∆y)−���f(0,0)−f′x(0,0)∆x−f′

y(0,0)∆y√∆x2+∆y2

= lim(∆x,∆y)→(0,0)

∆x3+∆y3

2∆x2+∆y2 − 12∆x−∆y

√

∆x2 +∆y2

= lim(∆x,∆y)→(0,0)

− ∆x∆y2 + 4∆x2∆y

2 (2∆x2 +∆y2)√

∆x2 +∆y2

∆x = ∆y → 0 ב נבחר

lim(∆x,∆y)→(0,0)

− ∆x∆y2 + 4∆x2∆y

2 (2∆x2 +∆y2)√

∆x2 +∆y2= lim

∆x→0− ∆x3 + 4∆x3

2 · 3∆x2√2∆x

= −1 + 4

6√2

= − 5

6√26= 0

.(0, 0) בנקודה דיפרנציבילית לא f ש נובע מכאן

־ ?(0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית f האם f (x, y) =

(x2 + y2

)sin

(

1√x2+y2

)

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).3

fדיפרנציאבילית ש 50נראה

נגזרות 8 כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2

חלקיות: נגזרות נבדוק

f ′x (0, 0) = lim

t→0

f (t, 0)− f (0, 0)

t

= limt→0

t2 sin(

1|t|

)

− 0

t= 0

f ′y (0, 0) = lim

t→0

f (0, t)− f (0, 0)

t

= limt→0

t2 sin(

1|t|

)

− 0

t= 0

הגדרה לפי דיפקנציאביליות נבדוק

lim(∆x,∆y)→(0,0)

f(∆x,∆y)−���f(0,0)−f ′x(0,0)∆x−f ′

y(0,0)∆y√∆x2+∆y2

= lim(∆x,∆y)→(0,0)

(∆x2+∆y2) sin

(

1√∆x2+∆y2

)

−0−0−0

√∆x2+∆y2

= lim(∆x,∆y)→(0,0)

√

∆x2 +∆y2 sin

(

1√∆x2+∆y2

)

= 0

דיפרנציאבילית הפונקציה לכן

(x0, y0) בנקודה ורציפות קיימות(f ′x, f

′y

)חלקיות ונגזרות (x0, y0) הנקודה בסביבת מוגדרת f תהי 8.7 משפט

.(x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f אז

הוכחה:

f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0) = f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0 +∆y)+f (x0, y0 +∆y)−f (x0, y0)(*)קבוע y0 +∆y כאשר לגרנג׳6 משפט ע״פ f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0 +∆y) האיבר על נסתכל

f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0 +∆y) = ∆x · f ′x (x0 + θ1∆x, y0 +∆y)

x0 כאשר לגרנג׳, משפט לפי ,f (x0, y0 +∆y) − f (x0, y0) האיבר על נסתכל עכשיו .0 < θ1 < 1 כאשרקבוע

f (x0, y0 +∆y)− f (x0, y0) = ∆yf ′y (x0 + y0 + θ2∆y)

.0 < θ2 < 1 כאשר⇐ (x0, y0) בנקודה רציפות f ′

x, f′y

f ′x (x0 + θ1∆x, y0 +∆y) = f ′

x (x0, y0) + α

f ′y (x0, y0 + θ2∆y) = f ′

y (x0, y0) + β

כאשר

lim(∆x,∆y)→(0,0)

α = 0

lim(∆x,∆y)→(0,0)

β = 0

ונציב ,(*) ל נחזור

∆x (f ′x (x0, y0) + α) + ∆y

(f ′y (x0, y0) + β

)= ∆xf ′

x (x0, y0) + f ′y (x0, y0)∆y +∆xα+∆yβ

f(x0+∆x)−f(x0)∆x

= f ′ (c)651

שרשרת כלל 8.3 נגזרות 8

הגדרה. לפי (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f הפונקציה לכן

דוגמה:

ורציפות קיימות f ′x, f

′y החלקיות הנגזרות כי (2, 7) בנדוקה דיפרנציאבילית f ־ f (x, y) = x2+y2

2x2−y2 .1(2, 7) בנקודה

f ′x = 2xy

f ′y = x2

.(x0, y0) ∈ A בנקודה ורציפות קיימות חלקיות נגזרות ־ f ∈ c1 (A) סימון:

שרשרת כלל 8.3

ומתקיים dudtקיים אז (u ∈ c1) וריצפות קיימות חלקיות נגזרות בעלת u = f (x, y, z) תהי 8.8 משפט

du

dt= f ′

x

dx

dt+ f ′

y

dy

dt+ f ′

z

dz

dt

דוגמה:

כאשר f (x, y, z) = x2y + sinxz .1

x (t) = t2

y (t) = et + 1

z (t) = t

לכן

df

dt=

∂f

∂x· dxdt

+∂f

∂y· dydt

+∂f

∂z

= (2xy + cos (xz) · z) 2t+ x2et + cos (xz) · x · 1

נסמן הוכחה:

∆u = u (x0 +∆x, y0 +∆y, z0 +∆z)− u (x0, y0, z0)

לכן דיפרנציאבילית, u

∆u = f ′x (x0, y0, z0) ·∆x+ f ′

y (x0, y0, z0)∆z + f ′z (x0, y0, z0)∆z + ε

√

∆x2 +∆y2 +∆z2

∆t ב הביטוי כל את נלק ,lim(∆x,∆y,∆z)→(0,0,0) ε = 0 כאשר

∆u

∆t= f ′

x (x0, y0, z0) ·∆x

∆t+ f ′

y (x0, y0, z0)∆z

∆t+ f ′

z (x0, y0, z0)∆z

∆t+ ε

√

∆x2 +∆y2 +∆z2

∆t

= f ′x · ∆x

∆t+ f ′

y ·∆y

∆t+ f ′

z ·∆z

∆t+ ε

√(∆x

∆t

)2

+

(∆y

∆t

)2

+

(∆z

∆t

)2

ונקבל (ε → 0 (x,∆y,∆z∆)(כלומר → (0, 0, 0) ואת ∆t → 0 את נשאיף

∆u

∆t= f ′

x · ∆x

∆t+ f ′

y ·∆y

∆t+ f ′

z ·∆z

∆t52

נגזרות 8 מכוונת נגזרת 8.4

דיפרנציאביליות x (u, v) , y (u, v) , z (u, v) ו ורציפות) קיימות החלקיות הנגזרות (כלומר f (x, y, z) ∈ c1 8.9 משפטע״י מוגדרות חלקיות ונגזרות דיפרנציאבילית f (u, v) המורכבת הפוקציה אז

∂f

∂u=

∂f

∂x· ∂x∂u

+∂f

∂y· ∂y∂u

+∂f

∂z· ∂z∂u

∂f

∂v=

∂f

∂x· ∂x∂v

+∂f

∂y· ∂y∂v

+∂f

∂z· ∂z∂v

דוגמה:

כאשר f (x, y, z) = x2y + sin (xz) .1

x (u, v) = u2 − v

y (u, v) = cos (u) + u2v

z (u, v) = u

ורציפות) קיימות הם החלקיות שהנגזרות לבדוק (יש .∂f∂u

, ∂f∂vמצא

∂f

∂u= (2xy + cos (xz) z) · 2u+ x2 ·

(− sin (u) + u2v

)+ cos (xz) · x · 1

∂f

∂v= (2xy + cos (xz) z) (−1) + x2u2 + cos (xz)x · 0

מכוונת נגזרת 8.42010־04־26

~u ∈ Rn בכוון f פונקציה של מכוונת נגזרת .x ∈ Rn ב המוגדרת פונקציה f : Rn → R תהי 8.10 הגדרה

הבא: באופן המוגדרת f ′~u

(

~X0

)

ב תסומן ~x0 בנקודה

f ′~u (~x0) = lim

t→0

f (~x0 + t~u)− f (~x0)

t, ‖~u‖ = 1

דוגמא:

~x0 = (1, 3) ו f = x2y כאשר ~u =(

1√5, 2√

5

)

ו f : R2 → R פונקציה .1

f ′~u (1, 3) = lim

t→0

f(

(1, 3) + t(

1√5, 2√

5

))

− f (1, 3)

t

אז ~u = (1, 0) את נבחר אם

f ′~u = f ′

x

.x ציר לפי חלקית נגזרת כלומר

f של הכוונית נגזרת .~x0 = (x1, . . . , xn) ∈ Rn בנקודה דיפרנציאבילית f : Rn → R פונקציה 8.11 משפט~u = (u1, . . . , un) ∈ Rn ובכוון ~x0 בנקודה

f ′~u = f ′

x1(~x0) · u1 + f ′

x2(~x0) · u2 + · · ·+ f ′

xn(~x0) · un, ‖~u‖ = 153

מכוונת נגזרת 8.4 נגזרות 8

דוגמה:

חלקיות נגזרות נחשב .~u =(

1√5, 2√

5

)

ו ~x0 = (1, 3) ו f = x2y הקודמת לדוגמה נחזור .1

f ′x = 2xy = 6

f ′y = x2 = 1

ולכן דיפרנציאבילית. f הפונקציה אז חלקיות, הנגזרות שתי

f ′~u (1, 3) = f ′

x (1, 3) ·1√5+ f ′

y (1, 3) ·2√5

= 6 · 1√5+ 1 · 2√

5

=8√5

מקסימלי). שינוי (קצב מקסימלית תהיה הכוונית הנגזרת ~u =(f ′x, f

′y

)הכוון עבור 8.12 הערה

f של גרדיאנט נגדיר המשתנים. כל לפי חלקית גזירה f : Rn → R פונקציה 8.13 הגדרה

∇f =(f ′x1, f ′

x2, . . . , f ′

xn

)

דוגמא:

f = x2y .1

∇f =(2xy, x2

)

∇f (1, 3) = (6, 1) 8.11 למשפט שונה ניסוח 8.14 משפטf ′~u (~x0) = ∇f ( ~x0) · ~u

.(1, 2, 12

)בנקודה xyz = 1 למשטח משיק מישור מצאו תרגיל:

פתרון:

f (x, y, z) = xyz − 1(1, 2, 12

)בנקודה דיפרנציאבילית

f

(

1, 2,1

2

)

= 0

המשטח. על נמצאת הנקודה כלומר

~N = ∇f

(

1, 2,1

2

)

= (yz, xz, xy)(1,2, 12 )

=

(

1,1

2, 2

)

הוא המישור לכן

π : 1 (x− 1) +1

2(y − 2) + 2

(

z − 1

2

)

= 054

נגזרות 8 גבוה מסדר נגזרת 8.5

גבוה מסדר נגזרת 8.5

f = x3y5 + x

x לפי נגזור∂f

∂xf ′x = 3x2y5 + 1

y לפי לגזור ניתן עכשיו

∂2f

∂y∂x= f ′′

xy = 15x2y4

.(∂x∂y ולא ∂y∂x) בסדר הפוך הוא שהסימון לב לשים יש

y לפי שניה נגזרת 8.15 הגדרה

f ′′xy = lim

t→0

f ′x (x0, y0 + t)− f ′

x (x0y0)

t

דיפרנציאל 8.6

.~x0 בנקודה דיפרנציאלית f : Rn → R תהי 8.16 הגדרהלהיות: מוגדר f של דיפרנציאל

df (~x0) = f ′x1

(~x0) ·∆x1 + · · ·+ f ′xn

(~x0) ·∆xn

R2 בdf

︷ ︸︸ ︷

f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0) ≈ f ′x (x0, y0)∆x+ f ′

y (x0, y0)∆y

לדוגמה: לינארי. קירוב למצוא ניתן זו הגדרה באמצעות

arctan

(1.01

0.98

)

= ?

f (x, y) = arctan

(x

y

)

נגדיר לכן ,(x0, y0) = (1, 1) הנקודה סביב קירוס נחפש

∆x = 0.01

∆y = −0.02

נציב .∆y → 0 ו ∆x → 0 כאשר יהיה מדוייק הכי הקירוב

f ′x =

1

1 +(

xy

)2 · 1y=

1

2

f ′y =

1

1 +(

xy

)2 ·(

− x

y2

)

= −1

2

f (x0 +∆x, y0 +∆y) ≈ π

4+

1

2· 0.01− 1

2· (−0.02)

= 0.80039855

דיפרנציאל 8.6 נגזרות 8

כך: דיפרנציאל נגדיר f : R2 → R כאשר

df = f ′x∆x+ f ′

y∆y

d2f = f ′′xx∆x2 + 2f ′′

xy∆x∆y + f ′′yy∆y2

גבוהה: מסדר נגזרת

dnf =

(∂

∂x∆x+

∂

∂y∆y

)n

f של שני מסדר חלקיות נגזרות אם תחום). D (עבור ~x0 ∈ D ב מוגדרת f : Rn → R תהי 8.17 משפטאז ~x0 ב רציפות

f ′′xixj

= f ′′xjxi

, ∀i 6= j

אז (x0, y0) ∈ D בנקודה ורציפות קיימות f ′′xx, f

′′yy, f

′′xy, f

′′yx . D ב מוגדרת f : R2 → R פרטי) (מקרה

f ′′xy (x0, y0) = f ′′

yx (x0, y0)

על נסתכל הוכחה:

w =f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)− f (x0, y0 + k) + f (x0, y0)

hk

חדשה פונקציה נגדיר

g (x) =f (x, y0 + k)− f (x, y0)

k

g את נגזור

g′ (x) =f ′x (x, y0 + k)− f ′

x (x, y0)

k

ש עכשיו נראה

w =g (x0 + h)− g (x0)

h

=1

h(g (x0 + h)− g (x0))

=1

h

(f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)

k− f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)

k

)

=1

h

(f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)− f (x0, y0 + k) + f (x0, y0)

k

)

=f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)− f (x0, y0 + k) + f (x0, y0)

hk

y לפי נגזרת היא g ,k → 0 כאשר עכשיו

g (x) =f (x, y0 + k)− f (x, y0)

k

k→0−→ f ′y (x, y0)

w על נסתכל עכשיו

w =g (x0 + h)− g (x0)

h

h→0−→ f ′′yx (x0, y0)56

נגזרות 8 טיילור טור 8.7

,x של כנגזרת h את להגדיר אופן באותו ניתן עכשיו

h (y) =f (x0 + h, y)− f (x0.y)

h

h→0−→

ש שוב נראה

w =h (y0 + k)− h (y0)

k

k→0−→ f ′′xy

טיילור טור 8.7

ורציפות קיימות צ n + 1 מסדר f של חלקיות נגזרות ) f ∈ cn+1 (~x0) תהי (f : Rn → R) 8.18 הגדרה(~x0 הנקודה בסביבת

f (~x) =

∞∑

n=0

dn (f~x0)

n!= f (~x0) +

1

1!df (~x0) +

1

2!d2f (~x0) + . . .

.d0f (~x0) = f (~x0) כאשר

דוגמא:

.f (x, y) = x2 ln y ל (2, 1) הנקודה סביב טיילור טור מצא f : R2 → R .1

ש מפני

df (x0, y0) = f ′x∆x+ f ′

y∆y

נגדיר:

∆x = x− 2

∆y = y − 1

ואז

f (x, y) = f (2, 1) +(f ′x (2, 1)∆x+ f ′

y (2, 1)∆y)+

+1

2!

(f ′′xx (2, 1)∆x2 + f ′′

xy∆x∆y + f ′′yy∆y2

)+

+1

3!

(f ′′′xxx (2, 1)∆x3 + 3f ′′′

xxy (2, 1)∆x2∆y + 3f ′′′xyy (2, 1)∆x∆y2 + f ′′′

yyy (2, 1)∆y2)+ . . .

(2, 1) בנקודה נגזור

f ′x = 2x ln y = 0

f ′′xx = 2 ln y = 0

f ′′′xxx = 0

f ′y =

x2

y= 4

f ′′yx =

2x

y= 4

f ′′yy = −x2

y2= −4

f ′′′xxy =

2

y= 2

f ′′′xyy = −2x

y2= −4

f ′′′yyy =

2x2

y3= 857

הסתומה הפונקציה 9

נציב עכשיו

f (x, y) = x2 ln y

≈ 0 + (0 + 4 (y − 1)) +1

2!

(

0 + 8 (x− 2) (y − 2) +−4 (y − 1)2)

+1

3!

(

0 + 6 (x− 2)2(y − 1)− 12 (x− 2) (y − 1)

2+ 8 (y − 1)

3)

R3 → R מ לעשות ונרצה במידה .R2 → R של בדיפרנציאל השתמשנו כאן 8.19 הערה

df = f ′x∆x+ f ′

y∆y + f ′z∆z

d2 =

(∂

∂x∆x+

∂

∂y∆y +

∂

∂z∆z

)2...הסתומה הפונקציה 9

2010־04־29הסתומה הפונקציה משפט 9.1

את להגדיר ניתן לא y = ±1 ובנקודות .x של כפונקציה y את להגדיר ניתן לא x = ±1 בנקודות ־ x2 + y2

.y של xכפונקציה

R של פנימית נקודה M0 (x01, x02, . . . , xn0, y0) ותהי R ב המוגדרת F (x1, x2, . . . , xn, y0) תהי 9.1 משפטשבה:

F (M0) = 0 .1

F ∈ C−1 (M0) .2

F ′y (M0) 6= 0 .3

F (x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)) = ש כך y = f (x1, . . . , xn) יחידה הפונקציה מוגדרת M0שבה של סביבה קיימת אזהבאות: התכונות ובעלת 0

y0 = f (x0) .1

ע״י נתונה והנגזרת x1, . . . , xn ב גזירה f ו x1, . . . , xn ב רציפה f (x1, . . . , xn) .2

y′xj (x0) = −F ′xj

(M0)

F ′y (M0)

.F ′y (x0, y0) 6= 0 ש ידוע אחד). (משתנה y משתנה של כפונקציה F (x0, y) על נסתכל הוכחה:

.(x0, y0) הנקודה סביב עולה מונוטונית פונקציה F ⇐ F ′y (x0, y0) > 0 הכלליות הגבלת בלי נניח

אז F (x0, y0) = 0 ש ומכוון עולה, F (x0, y) שבה [y0 − β, y0 + β] סביבה קיימת לכן

F (x0, y0 + β) > 0

F (x0, y0 − β) < 058

הסתומה הפונקציה 9 הסתומה הפונקציה משפט 9.1

F שבה (x0 − δ1, x0 + δ1) x0 של סביבה קיימת ⇐ הנקודה) של מהתכונות (אחת רציפה F (x0, y0 + β)חיובית.

F שבה (x0 − δ2, x0 + δ2) x0 של סביבה קיימת ⇐ הנקודה) של מהתכונות (אחת רציפה F (x0, y0 − β)שלילית.

x ∈ (x0 − α, x0 +mga) לכל . α = min [δ1, δ2] נגדיר

F (x, y0 − β) < 0 , F (x, y0 + β) > 0

נסמן

∆1 = (x0 − α, x0 + α)

∆2 = (y0 − β, y0 + β)

∆ = ∆1 ×∆2

ש כך קטנים מספיק α, β נבחר

∆ ⊂+R

y את להגדיר ניתן ⇐ F (x′, y′) = 0 ש כך יחידה y′ ∈ ∆2 קיימת x′ ∈ ∆1⇐ ומונוטונית רציפות בגללש נובע מכאן .( (x0, y0) הנקודה בסיבית y = f (x) (ז״א (x0, y0) הנקודה בסביבת x של כפונקציה

:M0 ב דיפרנציאבילית F ( F ∈ C1 (M0)) שני תנאי לפי נקודה. באותה רציפה f ו ,f (x0) = y0

0↓

F (x0 +∆x, y0 +∆y)−0↓

F (x0, y0) = F ′x (x0, y0)∆x+ F ′

y (x0, y0)∆y

+α (∆x,∆y)∆x + β (∆x,∆y)∆y

כאשר

lim(∆x,∆y)→(0,0)

α (∆x,∆y) = 0

lim(∆x,∆y)→(0,0)

β (∆x,∆y) = 0

(0 מ שונה שהיא (שידוע F ′y (x0, y0) ב המשוואה את נחלק

∆x

∆y= −F ′

x (x0, y0)

F ′y (x0, y0)

+α (∆x,∆y)

F ′y (x0, y0)

+∆y

∆x

β (∆x,∆y)

F ′y (x0, y0)

(∆x,∆y) → (0, 0) נשאיף

f ′ =∆x

∆y= −F ′

x (x0, y0)

F ′y (x0, y0)

דוגמה:

3x2y − yz2 − 4xz = 7 משוואה נתונה .1

M0 (−1, 1, 2) הנקודה בסביבת y = f (x, z) סתומה פונק׳ מוגדרת הנתונה שהמשוואה הוכח (א)נגדיר

F = 3x2y − yz2 − 4xz − 7

התנאים: שלושת את נבדוק

F (−1, 1, 2) = 0 .i59

הסתומה הפונקציה משפט 9.1 הסתומה הפונקציה 9

.iif ′x = 6xy − 4z

f ′y = 3x2 − z2

f ′z = −2yz − 4x

F ∈ c1 (M0) ,⇐ M0 בנקודה ורציפות קיימות הנגזרות כל

.iiiF ′y (M0) = F ′

y (−1, 1, 2)

= 3 (−1)2 − 22

= −1 6= 0

x, z של כפונקציה y את להגדיר ניתן הסתומה, הפונקציה משפט לפי

y = f (x, z)

מצאו (ב)

y′x (−1, 2) = ?

y′y (−1, 2) = ?

y′x (−1, 2) =−F ′

x (−1, 1, 2)

F ′y (−1, 1, 2)

= −6 (−1) · 1− 4 · 2−1

= −14

y′z (−1, 2) = −F ′z (−1, 1, 2)

F ′y (−1, 1, 2)

= −−2 · 1 · 2− 4 · −1

−1= 0

ln(xy2z

)+ z2ey = 4e .2

חלקיות. נגזרות מצאו כן, אם ,M0

(12 , 1, 2

)בנקודה (x, y) של כפונקציה z את להגדיר ניתן האם (א)

פונקציה נגדיר

F = ln(xy2z

)+ z2ey − 4r

התנאים שלושת את נבדוק

F (M0) = 0 .i60

הסתומה הפונקציה 9 סתומות פונקציות של מערכות 9.2

.iiF ′x =

y2z

xy2z

=1

x

F ′y =

2yxz

xy2z+ z2ey

=2

y+ z2ey

F ′z =

xy2

xy2z+ 2zey

=1

z+ 2zey

F ′z (M0) =

12 + 4e 6= 0 .iii

.(x, y) של כפונקציה z את להגדיר ניתן הסתומה, הפונקציה משפט לפי לכן

חלקיות נגזרות מצאו כן, אם ,M0

(12 , 1, 2

)בנקודה (x, z) של כפונקציה y את להגדיר ניתן האם (ב)

z′x

(1

2, 1

)

= −F ′x

(12 , 1, 2

)

Fz

(12 , 1, 2

)

= − 212 + 4e

z′y

(1

2, 1

)

= −F ′y

(12 , 1, 2

)

Fz

(12 , 1, 2

)

= −21 + 22e1

12 + 4e

סתומות פונקציות של מערכות 9.2

תהי 9.2 משפט

F (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, y3) = 0G (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, y3) = 0H (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, y3) = 0

בנקודה

M0 (x01, x02, . . . , x0n, y01, y02, y03)

הבאים: התנאים מתקיימים כאשר

F,G,H ∈ C1 (M0) .1

.2

F (M0) = 0

G (M0) = 0

H (M0) = 061

סתומות פונקציות של מערכות 9.2 הסתומה הפונקציה 9

:M0 בנקודה לנגזרות שרשרת, כלל לפי .3

∂F

∂xj

+∂F

∂y1· ∂y1∂xj

+∂F

∂y2· ∂y2∂xj

+∂F

∂y3· ∂y2∂xj

= 0

∂G

∂xj

+∂G

∂y1· ∂y1∂xj

+∂G

∂y2· ∂y2∂xj

+∂G

∂y3· ∂y2∂xj

= 0

∂H

∂xj

+∂H

∂y1· ∂y1∂xj

+∂H

∂y2· ∂y2∂xj

+∂H

∂y3· ∂y2∂xj

= 0

למערכת יחיד פתרון קיים , ∂y1

∂xj, ∂y2

∂xj, ∂y3

∂xjהם הנעלמים כאשר

J =D (F,G,H)

D (y1, y2, y3)=

∣∣∣∣∣∣∣

∂F∂y1

∂F∂y2

∂F∂y3

∂G∂y1

∂G∂y2

∂G∂y3

∂H∂y1

∂H∂y2

∂H∂y3

∣∣∣∣∣∣∣

6= 0

יעקוביאן. קוראים J ל 9.3 הגדרה

(x1, . . . , xn) של כפונקציה y1, y2, y3 להגדיר שניתן נובע מכאן

∂yi∂xj

(x01, . . . , x0n) = −JiJ

לדוגמא: ,

∂F∂xj

∂G∂xj

∂H∂xj

בעמודה

∂F∂yi∂G∂yi∂H∂yi

העמודה את נחליף שבו יעקוביאן זה Ji כאשר

J1 =D (F,G,H)

D (xj , y2, y3)=

∣∣∣∣∣∣∣

∂F∂xj

∂F∂y2

∂F∂y3

∂G∂xj

∂G∂y2

∂G∂y3

∂H∂xj

∂H∂y2

∂H∂y3

∣∣∣∣∣∣∣

דוגמה:

שהמערכת הוכח .1{

xeu+veuv = 1yeu−v + u

1+v= 2x

x0 = 1 ו y0 = 2 ,u0 = v0 = 0 הנקודה בסביבות v = v (x, y) ו u = u (x, y) גזירות פונקציה מגדירה.(1, 2) בנקודה v′x, v

′y, u

′x, u

′y הנגזרות את וחשבו

סתומות פונקציות מערכת למשפט תנאים נבדוק

(א){

F (x, y, u, v) = xeu+v + 2uv − 1G (x, y, u, v) = yeu−v + u

1+v− 2x

⇒{

F (1, 2, 0, 0) = 1e0 − 2 · 0− 1 = 0G (1, 2, 0, 0) = 2e0 + 0− 2 = 0

M0 (1, 2, 0, 0) בנקודה (F,G ∈ c1) ורציפות קיימות החלקיות הנגדרות כל 62(ב)

משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10

(ג)

J =D (F,G)

D (u, v)

=

∣∣∣∣

F ′u F ′

v

G′u G′

v

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

xeu+v + 2v xeu+v + 2uyeu−v + 1

v+1 −yeu−v + u(1+v)2

∣∣∣∣

M0 הנקודה את נציב∣∣∣∣

xeu+v + 2v xeu+v + 2uyeu−v + 1

v+1 −yeu−v + u(1+v)2

∣∣∣∣(1,2,0,0)

=

∣∣∣∣

1 13 −2

∣∣∣∣

= −5 6= 0

.0 מ שונה היעקוביאן כלומר

x, y של כפונקציה u, v את להגדיר ניתן הסתומה הפונקציה משפט לפי כעט

u′x (1, 2) = −

D(F,G)D(x,v)

J

=

∣∣∣∣

eu+v xeu+v + 2u−2 −yeu−v + u

(1+v)2

∣∣∣∣

−5

=

∣∣∣∣

1 1−2 −2

∣∣∣∣

−5= 0

v′x (1, 2) = −D(F,G)D(u,x)

J

הנגזרות לשאר האלה וכן

משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10־ 2010־5־3ע״י הוחלףאלכסנדר ד״ר

אוחלוב

משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1

של סביבה קיימת אם (x0, y0) בנקודה מקומי ( מינימום ) מקסימום יש z = f (x, y) לפונקציה 10.1 הגדרהמהסביבה (x, y) שלכל כך (x0, y0)

f (x, y) ≤ f (x0, y0)

(f (x, y) ≥ f (x0, y0))

דוגמא:

אליפטי פרבלואיד .1

z = x2 + y2

(0, 0) ב מינימום נקודת יש

63

משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10

-10-5

05

10

-10

-5

05

10

0

50

100

150

200

אליפטי פרבולואיד :4 איור

חרוט .2

z = −√

x2 + y2

(0, 0) ב מקסימום נקודת יש

-10-5

05

10

-10-5

05

10

-10

-5

0

חרוט :5 איור

חלקית הנגזרת אז (x0, y0) בנקודה קיצון יש z = f (x, y) לפונקציה אם קיצון) של הכרחי (תנאי 10.2 משפטזאת בנקודה

∂f

∂x(x0, y0) = 0

∂f

∂y(x0, y0) = 0

קיצון. נקודת היא x0 שבה z (x) = f (x, y0) אחד משתנה של פונקציה נגדיר .(x0, y0) , z = f (x, y) הוכחה:לכן

z′ (x0) = 0

כלומר

∂f

∂x(x0, y0) = 064

משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1

z (y) = f (x0, y) ,y ב דבר אותו נגדיר

z′ (y0) = 0

לכן

∂f

∂y(x0, y0) = 0

דוגמא:

אליפטי פרבלואיד של הקודמת בדוגמא .1

z′x = 2x = 0

z′y = 2y = 0

קיצון. נקודת יש (0, 0) בנקודה לכן

נקודות יש (x0, y0) בנקודה מרכז עם פתוח כדור לכל אם אוכף נקודת היא (x0, y0) נקודה 10.3 הגדרהש כך (x′, y′)

f (x′, y′) < f (x0, y0)

ש כך (x′′, y′′) נקודות ויש

f (x′′, y′′) > f (x0, y0)

דוגמא:

(0, 0) ב אוכף נקודת יש ־ z = −x2 + y2 .1

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

-100

-50

0

50

100

היפרבולי פרבולואיד :6 65איור

משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות משתנים10.1 מספר של פונקציה של אקסטרמום 10

שהפונקציה נניח מספיק) (תנאי 10.4 משפט

z = f (x, y)

ו (x0, y0) נקודה של בסביבה רציפות שני סדר עד חלקיות נגזרות וגם רציפה

f ′x (x0, y0) = f ′

y (x0, y0) = 0

אם .1

∆(x0, y0) = f ′′xx (x0, y0) · f ′′

yy (x0, y0)−(f ′′xy (x0, y0)

)> 0

=

∣∣∣∣

f ′′xx (x0, y0) f ′′

xy (x0, y0)f ′′xy (x0, y0) f ′′

yy (x0, y0)

∣∣∣∣

מקומי קיצון נקודת היא

מקסימום נקודת ־ f ′′xx (x0, y0) < 0 (א)

מינימום נקודת ־ f ′′yy (x0, y0) > 0 (ב)

אם .2

f ′′xx (x0, y0) · f ′′

yy (x0, y0)−(f ′′xy (x0, y0)

)< 0

אוכף נקודת

מוגדר. לא ־ f ′′xx (x0, y0) · f ′′

yy (x0, y0)−(f ′′xy (x0, y0)

)= 0 אם .3

הוכחה:

f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0) =

=0↓

∂f

∂x(x0, y0)∆x+

=0↓

∂f

∂y(x0, y0)∆y +

+1

2

[

A↓

∂2f

∂x2(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) (∆x)

2+

+

B↓

2∂2f

∂x∂y(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)∆x∆y

C↓

+∂2f

∂y2(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) (∆y)

2]

A =∂2f

∂x2(x0, y0)

B =∂2f

∂x∂y(x0, y0)

C =∂2f

∂y2(x0, y0)

כלומר

f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0) ≈ 1

2

[

A (∆x)2+ 2B∆x∆y + C (∆y)

2]

=1

2A

≥0↓

(A∆x+B∆y)2 +(AC −B2

)(∆y)2

66

משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1

נקודת יש אז AC −B2 < 0 אם .max נוקדת יש A < 0 אם ,min נקודת יש אז A > 0 ו AC −B2 > 0 אםאוכף

דוגמא:

z = x2 + xy + y2 − 2x− 3y .1

(א)

z′x = 2x+ y − 2

z′y = x+ 2y − 3

מערכת קיבלנו{

2x+ y − 2 = 0x+ 2y − 3 = 0

לכן

x =1

3

y =4

3

שניה נגזרת נגזור (ב)

z′′xx = 2

z′′yy = 2

z′′xy = 1

∆ נמצא

∆ =

∣∣∣∣

2 11 2

∣∣∣∣= 4− 1 = 3 > 0

מינימום. נקודת זו z′′xx > 0 ש מפני קיצון. נקודת יש לכן

z = x2 − y2 .2{

z′x = 2x = 02′y = 2y = 0

שניה נגזרת נעשה .(0, 0) נקודת קיבלנו

z′′xx = 2

z′′yy = −2

zxy′′ = 0

∆ נבדוק

∆ =

∣∣∣∣

2 00 −2

∣∣∣∣= −4 < 0

אוכף נקודת זו 67לכן

משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות משתנים10.1 מספר של פונקציה של אקסטרמום 10

לקיצון הכרחי תנאי נבדוק .z = x4 + y4 .3

z′x = 4x3 = 0

z′y = 4y3 = 0

מספיק תנאי נבדוק .(0, 0) ב קיצון נקודת יש

z′′xx = 12x2

z′′yy = 12y2

z′′xy = 0

הדטרמיננטה לכן

∆(0, 0) =

∣∣∣∣

0 00 0

∣∣∣∣= 0

הגדרה לפי נבדוק מוגדר. לא לכן

z (0, 0) = 0

z (x, y) = x4 + y4 > 0

z (x, y) ≥ z (0, 0)

מינימום. נקודת זו לכן

z = x3 + y3 − 3xy .4

z′x = 3x2 − 3y

z′y = 3y2 − 3x

0 ל נשווה

x2 − y = 0

y2 − x = 0

לכן

x4 − x = 0

x = 1 ⇒ y = 1

x = 0 ⇒ y = 0

אלה נקודות איזה לבדוק כדי שניה נגזרת נגזור קיצון. כנקודות חשודות נקודות שתי קיבלנו

z′′xx = 6x

z′′yy = 6y

z′′xy = −3

(0, 0) בנקודה לכן

∆(0, 0) =

∣∣∣∣

0 −3−3 0

∣∣∣∣= −9 < 0

(1, 1) בנקודה אוכף. נקודת זו לכן

∆(1, 1) =

∣∣∣∣

6 −3−3 6

∣∣∣∣= 36− 9 = 27 > 0

68

משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1

מינימום נקודת זו z′′xx > 0 ש בגלל קיצון, נקודות זו לכן

Ax2 + 2Bxy + Cy2 ∼ ax2 + bx2

ש להגיד ניתן לכן(a 00 b

)

= P−1

(A BB C

)

P

⇐⇒ ax2 + bx2 > ש0 ש נניח

a > 0, b > 0

m

a > 0, ab > 0

m

a > 0,

∣∣∣∣

a 00 b

∣∣∣∣> 0

⇐⇒ ax2 + bx2 < 0 ואם

a < 0, b < 0

m

a < 0, ab > 0

m

a < 0,

∣∣∣∣

a 00 b

∣∣∣∣> 0

A את רק בודקים אנו לכן

z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 .5

z′x = 4x3 − 2x− 2y

z′y = 4y3 − 2x− 2y

נגזור .(0, 0) , (−1,−1) , (1, 1) החשודות הנקודות את ונמצא 0 ל נשווה

z′′xx = 12x2 − 2

z′′yy = 12y2 − 2

z′′xy = −2

נקודה לכל ∆ נמצא

∆(0, 0) =

∣∣∣∣

−2 −2−2 −2

∣∣∣∣= 069

משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10

כך. אחר אותה נבדוק מוגדרת, לא (0, 0) לכן

∆(1, 1) =

∣∣∣∣

10 −2−2 10

∣∣∣∣= 96 > 0

∆ (−1,−1) =

∣∣∣∣

10 −2−2 10

∣∣∣∣= 96 > 0

מינימום. נקודות אלו z′′xx > 0 ש מפני קיצון. נקודות הן (1, 1) ו (−1, 1) הנקודות ולכן

נבדוק ואם z (x, y) > 0 אז y = −x כאשר הנקודה של בסיבה נסתכל אם .(0, 0) הנקודה את נבדוקאוכף. נקודת היא (0, 0) הנקודה ולכן |x| < 1 כאשר 0 מ שקטן z (x) == x4 − x2 אז y = 0 כאשר

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

0

5

10

15

20

z = xy + 50x+ 20

y, x, y > 0 .6

z′x = y − 50

x2

z′y = x− 20

y2

0 ל נשווה

y =50

x2

x =20

y2

y

x=

5

2· y

2

x2

1 =5

2

y

x

x =5

2y70

משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.2

חזרה נציב

5

2y =

20

y2

5y3 = 40

y3 = 8

y = 2

x = 5

מספיק תנאי נבדוק

z′′xx =100

x3

z′′yy =40

y3

z′′xy = 1

∆ נבדוק

∆(5, 2) =

∣∣∣∣

45 11 5

∣∣∣∣= 4− 1 = 3 > 0

קיצון. יש

z′′xx =4

5> 0

מינימום. נקודת זו לכן

משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.2

w = f (x, y, z)

קיצון לנקודות הכרחי תנאי 10.5 משפט

∂f∂x

= 0∂f∂y

= 0∂f∂z

= 0

מספיק תנאי 10.6 משפט

∆ =

f ′′xx f ′′

xy f ′′xz

f ′′xy f ′′

yy f ′′yz

f ′′xz f ′′

yz f ′′zz

מינורים 3 לבדוק רוצים אנחנו

ראשון מינור .1

|f ′′xx| (*)71

משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.2 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10

שני מינור .2∣∣∣∣

f ′′xx f ′′

xy

f ′′xy f ′′

yy

∣∣∣∣

(**)עצמה) (המטריצה שלישי מינור .3

∣∣∣∣∣∣

f ′′xx f ′′

xy f ′′xz

f ′′xy f ′′

yy f ′′yz

f ′′xz f ′′

yz f ′′zz

∣∣∣∣∣∣

(***)המינורים שלושת של הסימנים את נבדוק

מינימום נקודת יש ־ ∆ > 0 ־ חיוביים (***) ו (**) , (*) אם .1

מקסימום נקודת יש ־ ∆ < 0 ־ חיובי (**) ו שליליים (***) ו (*) אם .2

אוכף. יש ־ (0 (כולל המקרים שאר כל .3

דוגמא:

w = x2 + y2 + z2 + 2x+ 4y − 6z .1

w′x = 2x+ 2

w′y = 2y + 4

w′z = 2z − 6

מספיק תנאי נבדוק חשודה. כנקודה (−1,−2,−3) נקודה ונקבל , 0 ל נשווה

w′′xx = 2

w′′xy = 0

w′′xz = 0

w′′yy = 2

w′′yz = 0

w′′zz = 2

לכן

∆ =

2 0 00 2 00 0 2

לכן חיובי גם

2 0 00 2 00 0 2

השלישי המינור חיובי. גם(2 00 2

)

השני המינור חיובי. (2) הראשון המינור

מינימום. נקודת זו

w = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z .2

w′x = 3x2 + 12y

w′y = 2y + 12x

w′z = 2z + 2

קיצון. כנקודות חשודות כנקודות (24, 144,−1) ו (0, 0,−1) הנקודות את ונקבל 0 ל 72נשווה

משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 לגרנג׳ כפולי 10.3

מספיק תנאי נבדוק

W ′′xx = 6x w′′

xy = 12 w′′xz = 0

w′′yy = 2 w′′

yz = 0w′′

zz = 2

הבאה המטריצה את נקבל לכן

6x 12 012 2 00 0 2

.(24,−144,−1) נקודה נבדוק

|144| > 0∣∣∣∣

144 1212 2

∣∣∣∣

> 0

∣∣∣∣∣∣

144 12 012 2 00 0 2

∣∣∣∣∣∣

> 0

(0, 0,−1) הנקודה את נבדוק מינימום. נקודת זוהי לכן

0 12 012 2 00 0 2

הגדרה לפי הנקודה עם מה נבדוק לכן מוגדר, לא וזה |0| הוא הראשון המינור

∆w = w (x0 +∆x, y0 +∆y, z0 +∆z)− w (x0, y0, z0)

∆z = ∆y = 0 כאשר נבדוק

w (∆x, 0,−1)− w (0, 0,−1) =(∆x3

)+ 1− 2− (1− 2)

= (∆x)3

לכן

∆w (0, 0,−1) = (∆x)3

קיצון. לא זה ולכן שלילי או חיובי, להיות יכול ∆x

לגרנג׳ כפולי 10.32010־05־10

המשוואה את שמקיימות הקיצון נקודות מהם לדעת ונרצה f (x, y) = x2y הבאה במשוואה נתבונן

g (x, y)− x2 + y2 = 1

האילוץ. פונקציית היא g (x, y) כאשר .1 רדיוס בעל מעגל שפת על כלומרשל פונקציה נקבל כך הפונקציה. במשוואת והצבתם y או x של בידוד ע״י היא הבעיה את לפתור א׳ דרך

הרגילה. בדרך קיצון נקודות למצוא ונוכל אחד, משתנה

x2 + y2 = 1

x2 = 1− y273

לגרנג׳ כפולי 10.3 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10

המקורית במשוואה נציב

f (y) =(1− y2

)y

= y − y3

לגרנג׳ כפולי בשיטת שימוש ־ ב׳ דרך

לגרנג׳) (פונקציית 10.7 הגדרה

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ (g (x, y))

לנו. שיש אילוץ פונקציית לכל λ קיים כאשר

שלנו בפוקנציה קיצון למצוא כדי בפונקציה נשתמש

L (x, y, λ) = x2y + λ(x2 + y2 − 1

)

x, y, λ לפי נגזור

L′x = 2xy + 2λx

L′y = x2 + 2λy

L′λ =

g(x)↓

x2 + y2 − 1

:0 ל נמגזרות את נשוןה

2xy + 2λx = 0

x2 + 2λy = 0

x2 + y2 − 1 = 0

נקודות שש נקבל האלה המשוואות שלושת את נפתור אם

M1 (0, 1) , M2 (0,−1) , M3

(√

2

3,1

3

)

, M4

(√

2

3,−1

3

)

, M5

(

−√

2

3,1

3

)

, M6

(

−√

2

3,−1

3

)

נציב מוחלטים. ומקסימום מינימום יש ווירשטרס משפט לפי סגור, בתחום רציפה פונקציה היא f (x, y) ש מפניבמשוואה: הנקודות את

f (M1) = f (M2) = 0

f (M3) =2

3√3

f (M4) = − 2

3√3

f (M5) = f (M6) =2

3√3

מוחלט. מינימום נקודה היא M4 והנקודה מוחלט, מקסימום נקודות הן M3,M5,M6 נקודות ולכן

נקודות אז Rm → R ב ורציפות) קיימות חלקיות (נגזרות gn, . . . , g2, g1, f ∈ c1 פונקציות יהיו 10.8 משפטלגרנג׳ פונקציית של האקסטרמום נקודות הן g1 = 0, . . . , gn = 0 האילוצים תחת f של הקיצון

L (x1, x2, . . . , xm, λ1, . . . , λn) = f (x1, . . . , xm) +

n∑

i=1

λigi74

מימדי רב אינטגרל 11

דוגמה:

לגרנג׳ במשוואת נציב .x2 − y = 4 ו x+ y = 2 האילוצים תחת f (x, y) = x2 + y .1

L (x, y, λ, µ) = x2 + y + λ (x+ y − 2) + µ(x2 − y − 4

)

המשתנים ארבעת לפי נגזור

L′x = 2x+ λ+ 2xµ

L′y = 1 + λ− µ

L′λ = x+ y − 2

L′µ = x2 − y − 4

נקבל השלישית מפונקציה

y = 2− x

הרביעית במשוואה ונציב

x2 + x− 6 = 0

נקודות שתי ונקבל

(−3, 5) , (2, 0)

הראשונות. המשוואות בשתי גם האלה הנקודות שתי של קיום לבדוק יש

לגרנג׳ במשפט 10.9 הערה

λi 6= 0

.f של האילוץ תחת קיצון נקודות לא הן ולכן λ = 0 M2 ו M1 בנקודות שמצאנו, הראשון בתרגיל

מימדי רב אינטגרל 11

חוזר אינטגרל 11.1

I (y) =

bˆ

a

f (x, y) dx

.11ˆ

0

x2ydx =x3

3· y∣∣∣∣

1

0

=1

3x

האינטגרל חוזר) (אינטגרל 11.1 הגדרהdˆ

c

I (y)dy =

dˆ

c

bˆ

a

f (x, y) dx

dy

כך: אותו ונסמן חוזר, אינטגרל נקרא

dˆ

c

dy

bˆ

a

f (x, y) dx75

כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11

.2

1ˆ

0

dy

3ˆ

2

xydx =

1ˆ

0

dy

[

x2y

2

∣∣∣∣

3

2

]

=

1ˆ

0

9

2y − 2ydy

כפול אינטגרל 11.2

R = [a, b]× [c, d] ב המוגדרת פונקציה f (x, y) פונקיה תהיקטעים n ל [a, b] את נחלק

a ≤ x0 ≤ x1 ≤ x2 · · · ≤ xn ≤ b

ונסמן

∆xi = xi − xi−1

קטעים m ל [c, d] את נחלק דומה באופן

c ≤ y0 ≤ y1 ≤ y2 · · · ≤ yn ≤ d

ונסמן

∆yi = yi − yi−1

מלבן נסמן

Rij = ∆xi ×∆yj

(ui, vj) שרירותית נקודה נבחר Ri,j מלבן בכל מלבנים. m× n סה״כאינטגרבילי כסכום S נסמן

S =

m∑

j=0

n∑

i=0

f (ui, vj) ·∆xi ·∆yj

הפונקציה). (ערך בנקודה הגובה זהו f (ui, vi) ו המלבן, שטח זהו ∆xi ·∆yi כאשר

המבלן אלכסון ־ dij =√

∆x2i +∆y2j •

המלבנים. בכל ביותר הארוך האלכסון ־ ∆ = maxdij •

הסכום של סופי גבול קיים אם R מלבן על רימן) (לפי אינטגרבילית f (x, y) שפונקציה אומרים 11.2 הגדרהבחלוקה תלוי שאינו (m,n → ∞ ש כלומר ,∆ → 0) ל־0 שואפל ∆ המקסימלי האלכסון כאשר האינטגרבילי

(ui, vj) בבחירת תלוי ואינו R שלכך: אותו נסמן

I =

¨

R

f (x, y) dxdy76

מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2

כפול. אינטגרל I ל ונקרא

mij = minRij

f (x, y)

Mij = maxRij

f (x, y)

דרבו: סכום

S =m∑

j=0

n∑

i=0

Mij∆xi∆yj

S =

m∑

j=0

n∑

i=0

mij∆xi∆yj

S ≤ S ≤ S

וקיים R = [a, b]× [c, d] במלבן המוגדרת f (x, y) פונקציה תהי פוביני) משפט של פרטי (מקרה 11.3 משפט´ b

aI (x) dx קיים אז I =

´ d

cf (x, y) dy קיים [a, b] ב x ולכל

˜

Rf (x, y) dxdy

¨

R

f (x, y) dxdy =

bˆ

a

dx

dˆ

c

f (x, y) dy

mij ≤ f (x, y) ≤ Mij (x, y) ∈ Rij לכל הוכחה:∆yij בקטע y לפי אינטגרציה נבצע .mij ≤ f (ti, y) ≤ Mij מתקיים ti ∈ ∆xi לכל

mij∆yj ≤yjˆ

yj−1

f (ti, y) dy ≤ Mij∆yj

∑mj=0 נסכום כעט

m∑

j=0

mij∆yj ≤dˆ

c

f (ti, y) dy ≤m∑

j=0

Mij∆yj

∑ni=0 סכום ונבצע ∆xi ב נכפול

S ≤n∑

i=0

dˆ

c

f (ti, y)∆xi ≤ S

∆ → 0 נשאיף וכאשר

S = S =

bˆ

a

I (x) dx

77

כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11

אם .x לכל y1 (x) ≤ y2 (x) ו וסגור חסום D בתחום מוגדרת f תהי פוביני) (משפט 11.4 משפטהכפול האינטגל אז קיים I (x) =

´ y2(x)

y1(x)f (x, y) dxdy קבוע x ולכל קיים

˜

Df (x, y) dxdy

¨

D

f (x, y) dxdy =

bˆ

a

dx

y2(x)ˆ

y1(x)

f (x, y) dy

קיים.

ואז ,R לשטח שמתאימה פונקציה ונגדיר ,D תחום את שיתחום מלבן לבחור נוכל הוכחה:

F (x, y) =

{

0 (x, y) ∈ R \Df (x, y) (x, y) ∈ D

ואז ,D התחום בתוך הפונקציה של והערך D לתחום שמחוץ במלבן הנקודות בכל 0 כלומר¨

R

F (x, y) dxdt =

¨

D

f (x, y) dxdy

=

bˆ

a

dx

dˆ

c

F (x, y) dy

dˆ

c

F (x, y) dy =

=0︷ ︸︸ ︷

����y1

ˆ

c

Fdy+

y2ˆ

y1

Fdy +

=0︷ ︸︸ ︷

�����d

ˆ

y2

Fdy =

y2ˆ

y1

f (x, y)

חזרה נציב

¨

D

fdxdy =

¨

R

Fdxdy =

bˆ

a

dx

y2(x)ˆ

y1(x)

f (x, y) dy

חוזר. אינטגרל לפי אותו לחשב נוכל המפשט ע״פ נפח, מחשב כפול 2010־05־13אינטגרלדוגמה:

חשבו .1¨

D

x2ydxdy

.y2 = x , x = 2 ,yx = 1 ע״י חסום D כאשר

D

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

78

מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2

1x< y <

√y ו x = 1 היא y = 1

xו y =

√x של החיתוך נקודת א׳: דרך (א)

¨

D

x2ydxdy =

2ˆ

1

dx

√xˆ

1x

x2ydy

=

2ˆ

1

dx

(

x2y2

2

∣∣∣∣

√x

1x

)

=

2ˆ

1

x2 (√x)

2

2− x2 ·

(1x

)2

2dx

לשניים D התחום את נחלק ב׳: דרך (ב)

D = D1 ∪D2

D1 =

{

1 ≤ y ≤√2

y2 ≤ x ≤ 2

D2 =

{12 ≤ y ≤ 11y≤ x ≤ 2

יהיה: האינטגרל ואז¨

D

=

¨

D1

+

¨

D2

=

√2ˆ

1

dy

2ˆ

y

x2ydx+

1ˆ

12

dy

2ˆ

1y

x2ydx

את מצא .2¨

D

sin (xy) dxdy

x = 0 ו y =√x ו y = 1 ע״י חסום D כאשר

D

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

79

כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11

√x ≤ y ≤ 1 ו 0 ≤ x ≤ 1 ע״י חסום א׳: דרך (א)

¨

S

sin (xy) dxdy =

1ˆ

0

dx

1ˆ

√x

sin (xy) sy

יהיה האינטגרל ואז ,0 ≤ x ≤ y2 נחום x את ואז 0 ≤ u ≤ 1 ע״י y את נחסום ב׳: דרך (ב)

¨

S

sin (xy) dxdy =

1ˆ

0

dy

y2ˆ

0

sin (xy) dx

חשב .3

1ˆ

0

dx

1ˆ

√x

exy dy

ידעים אנחנו באינטגרל. הסדר של החלפה לעשות צריך לכן exy ל y לפי אינטגרל לעשות ניתן לא

ע״י חסום שהאינטגרל{

0 ≤ x ≤ 1√x ≤ y ≤ 1

הוא ההפוך שהחסם ונראה נצייר

{

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ y2

הוא האינטגרל לכן

1ˆ

0

dy

y2ˆ

0

exy dx =

1ˆ

0

dy

e

xy

1y

∣∣∣∣∣

y2

0

=

1ˆ

0

y (ey − 1) dy

בחלקים. אינטגרציה לפי לפתור ניתן כבר וכאן

כפול באינטגרל משתנים החלפת 11.2.1

ערכית ∆חד־חד לתחום D תחום המעתיקות c1 ל השייכות פונקציות x (u, v) , y (u, v) יהיו 11.5 משפט

D (x, y)

D (u, v)= J 6= 0

אז ,0 מ שונה היעקוביאן7 כלומר

62 בעמוד 9.3 הגדרה 780ראה

מימדי רב אינטגרל 11 כפול אינטגרל 11.2

D של השטח .1

S (D) =

¨

∆

|J | dudv

דטרמיננטה. על מוחלט ערך זה |J | ש לב לשים ישמסקנה: .2

¨

D

f (x, y) dxdy =

¨

∆

f (x (u, v) , y (u, v)) |J | dudv

דוגמא:

ע״י חסום A כאשר˜

A(x+ y)10 (x− y)12 dxdy .1

y = x− 2

y = x+ 4

y = −x+ 3

y = −x+ 4

כך: גם התחום את לראות ניתן

y − x = −2

y − x = +4

y + x = 3

y + x = 4

משתנים החלפת נעשה

u = x+ y

v = y − x

יהיה החדש התחום ולכן

A =

v = −2

v = 4

u = 3

v = 4

y xו את נמצא היעקוביאן, את למצוא כדי

y =u+ v

2

x =u− v

2

הוא היעקוביאן לכן

J =D (x, y)

D (u, v)

=

∣∣∣∣

x′u x′

v

y′u y′v

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

12 − 1

212

12

∣∣∣∣

=1

2 81

כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11

ולכן

¨

A

(x+ y)10

(x− y)12

dxdy =

¨

A

u10 (−v)12 ·∣∣∣∣

1

2

∣∣∣∣dudv

=1

2

4ˆ

−2

v12dv

4ˆ

3

u10du

2010־05־17

האינטגרל את פתור .2¨

D

x+ 3y

x4e

y

x3 dxdy

ע״י חסום D כאשר

y = 4x3

y = 16x3

y + x = 4

y + x = 1

משתנים החלפת לעשות מומלץ

u = y + x

v =y

x3

J−1 את נמצא ולכן ,y xו את לבודד שקשה מפני רגיל, יעקוביען למצוא קשה

J =

(D (u, v)

D (x, y)

)−1

=

∣∣∣∣

u′x u′

y

v′x v′y

∣∣∣∣

−1

=

∣∣∣∣

1 1−3x2y

x61x3

∣∣∣∣

−1

=

∣∣∣∣

1 1−3yx4

1x3

∣∣∣∣

−1

=

(1

x3+

3y

x4

)−1

=

(x+ 3y

x4

)−1

=x4

x+ 3y

באינטגרל לנו שיש מה כמו ממש שזה בגלל פה אבל ,v ו u של לפונקציה היעבוקיאן את להעביר יש בד״כהוא החדש הטווח צורך. אין הפוך רק

1 ≤ u ≤ 4

4 ≤ v ≤ 1682

מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2

הוא האינטגרל ולכן

¨

Dx,y

x+ 3y

x4e

y

x3 dxdy =

¨

Du,v

����x+ 3y

x4ev

|J|↓

����x4

x+ 3ydudv

=

4ˆ

1

du

16ˆ

4

evdv

שלה. השטח את לדעת רוצים שאנו אליפסה זוהי ־¨

x2

a2 + y2

b2≤R2

dxdy .3

נגדיר

u =x

a

v =y

b

y ו x את למצוא כל כאן .u, v במישור למעגל x, y במישור האליפסה את הופכים בעצם אנחנו כך

x = au

y = bv

יעקוביאן נמצא

J =

∣∣∣∣

a 00 b

∣∣∣∣

= ab

לכן

I =

¨

u2+v2≤R2

|ab| dudv

= |ab|¨

u2+v2≤R2

ולכן מעגל, של שטח זהו˜

u2+v2≤R2 כאשר

¨

u2+v2≤R2

= |ab|πR2

קוטביות קורדינטות ־ משתנים החלפת 11.2.2

נגדיר קוטביות, לקורדינטות לעבור נרצה אם

x = r cos θ

y = r sin θ

83

כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11

ש ונראה

J =

∣∣∣∣

x′r x′

θ

y′r y′θ

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣

= r

דוגמה:

πR2 ל שווה R רדיוס בעל מעגל של ששטח הוכח .1¨

x2+y2≤R2

dxdy

קוטביות קורדינטיות לפי

x = r cos θ

y = r sin θ

אז R ל 0 בין הוא במעגל נקודה כל של שהרדיוס מפני

0 ≤ r ≤ R

הוא θ ו

0 ≤ θ ≤ 2π

לכן ,J = r ש יודעים אנחנו

¨

x2+y2≤R2

dxdy =

2πˆ

0

dθ

R

0

rdr

=

2πˆ

0

dθ

(

r2

2

∣∣∣∣

R

0

)

=R2

2

2πˆ

0

dθ

= 2π · R2

2

= πR2

חשבו .2¨

D

√

1− x2 + y2dxdy

כאשר

D ={(x, y)

∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

}84

מימדי רב אינטגרל 11 כפול אינטגרל 11.2

פולריות לקורדינטות נעבור .(2 ל 0 בין עיגולים) (שני טבעת רבע זוהי

1 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π

2

יהיה האינטגרל ואז

¨

1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π

2

√

1− r2 · rdrdθ =

π2ˆ

0

dθ

2ˆ

1

√

1− r2 · rdr

חשבו .3¨

D

√

1− x2 + y2dxdy

כאשר

D ={

(x, y)∣∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≤ y ≤

√3x, x ≥ 0, x ≥ 0

}

לקורדינטות נעבור .(y = x, y =√3x) ישרים 2)ושני ל 0 בין עיגולים) (שני טבעת טבעת רבע זוהי

פולריות

1 ≤ r ≤ 2

π

4≤ θ ≤ π

3

יהיה האינטגרל ואז

¨

1 ≤ r ≤ 2π4 ≤ θ ≤ π

3

arctan

(

�r sin θ

�r sin θ

)

· rdrdθ =

π2ˆ

π4

θdθ

2ˆ

1

rdr

חשבו .4

I =

¨

D

dxdy√

x2 + y2

האינטגרל את נפתור ,(x ה וציר x = 1 ,y = x) (1, 1) ו (1, 0) (0, 0) הנקודות בין משולש הוא D כאשרנגדיר מעגל. כמו קצת שנראת מערכת יש שבאינטגרל בגלל קוטבית מערכת לפי

x = r cos θ

y = r sin θ

יהיה הרדיוס θ מסויימת בזווית הרדיוס, היא פה הבעיה .0 ≤ θ ≤ π4 תהיה הזווית

1

r= cos θ85

כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11

r את נתחום לכן

0 ≤ r ≤ 1

cos θ

משולש. רוצים ואנחנו מעיגול, חלק נקבל שאז מפני ,√2 הוא המקסימלי שהרדיוס פה להגיד נכון לא

I =

¨

D

dxdy√

x2 + y2

=

π4ˆ

0

dθ

1cos θˆ

0

�r

�rdr

.5¨

D

xdxdy

כאשר

D ={(x, y)

∣∣ x2 + y2 ≤ x

}

מוזז עיגול הוא התחום

x2 + y2 = 2x

x2 − 2x+ y2 = 0

(x− 1)2 + y2 = 1

א׳ דרך (א)

x− 1 = r cos θ

y = r sin θ

J = 1

ואז הצירים, לראשית המעגל את הזזנו בעצם כאן

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2π

יהיה האינטגרל ואז

I =

2πˆ

0

dθ

1ˆ

0

x︷ ︸︸ ︷

(r cos θ + 1)J↓

rdr

הצירים את להזיז לא ב׳, דרך (ב)

x = r cos θ

y = r sin θ

נע הזווית

−π

2≤ θ ≤ π

286

מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2

הוא θ בזווית r הרדיוס

0 ≤ r ≤ 2 cos θ

יהיה האינטגרל אז ,2 הוא והקוטר מעלות, 90 היא הקוטר על שיושבת היקפית זווית r ש מפני

I =

π2ˆ

−π2

dθ

2 cos θˆ

0

r cos θrdr

I =´∞0

e−x2

dx .6

11.6 משפט

bˆ

a

f (x) dx ·dˆ

c

g (y) dy =

¨

a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d

f (x) g (y) dxdy

ש להגיד ניתן

I =

∞

0

e−y2

dy

ש להגיד ניתן ולכן

I2 =

∞

0

e−x2

dx

∞

0

e−y2

dy

=

¨

x>0,y>0

e−x2−y2

dydx

פולריות לקורדינטות נעבור

0 ≤ θ ≤ π

20 ≤ r ≤ ∞

יהיה האינטגרל ולכןπ2ˆ

0

dθ

∞

0

e−r2rdr =π

2

∞

0

e−r2rdr

=

∣∣∣∣∣∣

t = r2

dt = 2rdt2 = rdr

∣∣∣∣∣∣

=π

2

1

2

∞

0

e−tdt

=π

4· e

−t

−1

∣∣∣∣

∞

0

=π

4

I =

√π

2

87

משולש אינטגרל 11.3 מימדי רב אינטגרל 11

משולש אינטגרל 11.3

אז f : R3 → R פונקציה תהי 11.7 משפט

V =

˚

v

f (x, y, z)

dv︷ ︸︸ ︷

dxdydz = lim∆→0

∑

i

∑

j

∑

k

f (ui, uj, kk)∆xi∆yj∆zk

∆ = maxi,j,k

√

∆x2 +∆y2 +∆z2 כאשר

(פוביני) 11.8 משפט

˚

a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ de ≤ z ≤ k

f (x, y, z) dxdydz =

bˆ

a

dx

dˆ

c

dy

kˆ

e

f (x, y, z)dz

האינטגרציה. סדר להחלפת משמעות אין תיבה. מייצגים x, y, z כאשר

האינטגרל 11.9 הערה˚

v

f (x, y, z)dxdydz

.f וגובהו V שנפחו בסיס בעל מימדים ב4 גוף של נפח מתאר

משתנים החלפת 11.3.1

11.10 משפט

˚

Vx,y,z

f (x, y, z)dxdydz =

∣∣∣∣∣∣

x = x (u, v, w)y = y (u, v, w)z = z (u, v, w)

∣∣∣∣∣∣

=

˚

Vu,v,w

f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) |J | dudvdz

כאשר

J =

∣∣∣∣∣∣

x′u x′

v x′u

y′u y′v y′uz′u z′v z′u

∣∣∣∣∣∣

דוגמה:

חשב .1

I =

˚

x2

a2 + y2

b2+ z2

c2≤1

dv88

מימדי רב אינטגרל משולש11 אינטגרל 11.3

נגדיר

u =x

a⇒ x = au

v =y

b⇒ y = bv

w =z

c⇒ z = wc

היעקוביאן לכן

J =

∣∣∣∣∣∣

a 0 00 b 00 0 c

∣∣∣∣∣∣

= abc

לכן

I = |abc|˚

u2+v2+w2≤1

dudvdw

לכן ,( 4π3

3 (שהוא 1 רדיוס בעל כדור של נפח הוא הזה האינטגרל

I = |abc| · 4π3

מיוחדת משתנים החלפת 11.3.2

גליל :7 איור

נגדיר גליליות קורדינטות 11.3.2.1

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

הזה במקרה גם

J = r

J =

∣∣∣∣∣∣

x′r x′

θ x′z

y′r y′θ y′zz′r z′θ z′z

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣

= r

89

משולש אינטגרל 11.3 מימדי רב אינטגרל 11

דוגמא:

ש להראות רוצים אנחנו . 3πR3

4 ל שווה R רדיוס העל כדור של שנםח הוכח .1˚

x2+y2+z2≤R2

1dv =3πR3

4

ולהכפיל. אחת כיפה רק לחשב תחתונה) וכיפה עליונה, (כיפה כדור חצאי לשני הכדור את לחלק ניתן

גליליות קורדינטות לפי להגדיר ניתן וקטן. הולך שהרדיוס רק לגליל, דומה אחת כיפה של נפח

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

ו

J = r

לכן ,rו θ את נתחום

0 ≤ r ≤ R

0 ≤ θ ≤ 2π

כך z את נגדיר כאשר

z =√

R2 − x2 − y2 =√

R2 − r2

כך z את להגביל ניתן לכן

0 ≤ z ≤√

R2 − r2

יהיה האינטגרל ולכן

2

2πˆ

0

dθ

R

0

dr

√R2−rˆ

0

rdz =4πR3

3

V ={

(x, y, z)∣∣∣ x2 + y2 ≤ 2x, 0 ≤ z ≤

√

x2 + y2}

כאשר˚

V

z√

x2 + y2dxdydz .2

גלילות קורדינטות נגדיר

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

J = r

ש יודעים אנחנו

0 ≤ z ≤√

x2 + y2 + 1 = r + 1

וש

x2 + y2 ≤ 2x

r �2 ≤ 2�r cos θ90

מימדי רב אינטגרל 11 משולש אינטגרל 11.3

ולכן

0 ≤ r ≤ 2 cos θ

ולכן 0 < cos θ ש יודעים אנחנו ,θ של הגבולות את למצוא נשאר

−π

2≤ θ ≤ π

2

כך יראה האינטגרל ולכן

π2ˆ

−π2

dθ

2 cos θˆ

0

dr

r+1ˆ

0

z ·

√x2+y2

↓√r2rdz

כאשר˝

V2y2+x2

xydv .3

V ={(x, y, z)

∣∣ y ≤ x2 ≤ 2y, 1− x2 ≤ y2 ≤ 2− x2, 4− z ≤ x+ y ≤ 6− z, x > 0, y > 0

}

כך: התחום את קצת לשנות ניתן

V =

1 ≤ x2

y≤ 2

1 ≤ x2 + y2 ≤ 14 ≤ x+ y + z ≤ 6

ש להגיד נוכל

u =x2

y

v = x2 + y2

w = x+ y + z

יעקוביאן נמצא

J =

(D (u, v, w)

D (x, y, z)

)−1

=

∣∣∣∣∣∣

u′x u′

y u′z

v′x v′y v′zw′

x w′y w′

z

∣∣∣∣∣∣

−1

=

∣∣∣∣∣∣

2xy

−x2

y2 0

2x 2y 01 1 1

∣∣∣∣∣∣

−1

=

(2x

y2y +

2x3

y2

)−1

=

(

4x+2x3

y2

)−1

=

(3xy2 + 2x3

y2

)−1

=y2

4xy2 + 2x3

=y2

2x (2y2 + x2)91

משולש אינטגרל 11.3 מימדי רב אינטגרל 11

האינטגרל את נעשה

˚

1 ≤ u ≤ 21 ≤ v ≤ 24 ≤ w ≤ 6

����2y2 + x2

x�y· y �2

2x�����(2y2 + x2

)dudvdw =

˚

1 ≤ u ≤ 21 ≤ v ≤ 24 ≤ w ≤ 6

y

x2dudvdw

=

˚

1 ≤ u ≤ 21 ≤ v ≤ 24 ≤ w ≤ 6

1

2ududvdw

=1

2

2ˆ

1

du

2ˆ

1

dv

6ˆ

4

1

udw

נגדיר כדוריות קורדינטות 11.3.2.2

x = r cos θ · sinαy = r sin θ · sinαz = r cosα

J = −r2 sinα

בכדור

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ α ≤ π

גדוריות קואורדינטות של תיאור :8 איורθ זה ϕ ו α זה θ בציור 92כאשר

מימדי רב אינטגרל 11 משולש אינטגרל 11.3

היעקוביאן את נחשב

J =

∣∣∣∣∣∣

x′r xθ′ x′

α

y′r yθ′ y′αz′r zθ′ z′α

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

cos θ sinα −r cos θ sinα r cos θ sinαsin θ sinα r cos θ sinα r sin θ cosαcosα 0 −r sinα

∣∣∣∣∣∣

= r cos θ sinmga

∣∣∣∣

cos θ sinα r cos θ sinαcosα −r sinα

∣∣∣∣+ r sin θ sinα

∣∣∣∣

sin θ sinα r sin θ cosαcosα −r sinα

∣∣∣∣

= −r2 sinα

|J | = r2 sinα

דוגמה:

43πR

3 ל שווה שהוא והוכח R רדיוס בעל כדור נפח חשב .1

˚

x2+y2+z2≤R2

dydzdx =

2π︷ ︸︸ ︷

2πˆ

0

dθ

π

0

dα

R

0

r2 sinαdr

= 2π · (− cosα)|π0r3

3

∣∣∣∣

R

0

= 2π2R3

3

.2

˚

x2+y2+z2≤16

√

9− x2 − y2 − z2dxdydz =

2πˆ

0

dθ

2πˆ

0

dα

4ˆ

0

√

9− r2r2 sinαdr

V ={

3√x2 + 3

√

y2 +3√z2 ≤ 1

}

כאשר˝

V1

3√

(xyz)2dxdydz .3

(3√x)2

+ ( 3√y)

2+(

3√z)2 ≤ 1

u = 3√x → x = u3

v = 3√y → x = v3

w = 3√z → z = w3

J =

∣∣∣∣∣∣

3u2 0 00 3v2 00 0 3w2

∣∣∣∣∣∣

= 27u2v2w293

ווקטוריות פונקציות 12

˚

V

1

3

√

(xyz)2dxdydz =

˚

u2+v2+w2≤1

1

����(uvw)2 · 27����

u2v2w2dudvdw

=

˚

u2+v2+w2≤1

27dudvdw

= 27 · 43· πR3

ווקטוריות פונקציות 122009־05־20

פונקציות x (t) , y (t) , z (t) כאשר ווקטורית פונקציה נקרא ~v (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) ווקטור 12.1 הגדרהα ≤ t ≤ β עבור סקלירות

דוגמה:

−1 ≤ t ≤ 2 עבור ווקטורית פונקציה ~v (t) =(t, t2

)= t ·~i+ t2 · ~t2 .1

x (t) = t

y (t) = t2

זה: במקרה והגרף

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

ווקטורית פונקציה של גבול 12.1

הוא t → t0 עבור ~v (x) = (x (t) , y (t) , z (t)) הווקטורית הפונקציה של הגבול 12.2 הגדרה

~L = (L1, L2, L3)

אז |t− t0| ≤ δ שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל הבא: באופן ומוגדר∣∣∣~v (t)− ~L

∣∣∣ < ε

ונסמן

limt→t0

~v (t) = ~L

94

ווקטוריות פונקציות ווקטורית12 פונקציה של נגזרת 12.2

דוגמה:

v (t) =(t, t2

), 1 ≤ t ≤ 6 .1

limt→3

~v (t) = limt→3

(t, t3

)= (3, 9) = ~L

אז ∃ limt→t0~W (t) = ~M ו ∃ limt→t0

~V (t) = ~L אם 12.3 טענה

∃ limt→t0

~W (t)± ~V (t) = M ± L

∃ limt→t0

~W (t) · ~V (t) = ~M · ~L

limt→t0

λ · ~V (t) = λ~L

limt→t0

~W (t)× ~V (t) = ~M × ~L

ווקטורית פונקציה של נגזרת 12.2

12.4 הגדרה

~V ′ (t) = lim∆t→0

~V (t+∆t)− ~V (t)

∆t

12.5 טענה

~V (t) = x (t)~i+ y (t)~j + z (t)~k

אז גזירות x (t) , y (t) , z (t) כאשר

~V ′ (t) = x′ (t)~i + y′ (x)~j + z′ (x)~k

ז״א

~V (t) = (x (t) , y (t) , z (t))

~V ′ (t) = (x′ (t) , y′ (t) z′ (t))

דוגמה:~V (t) =

(t, t2

), −1 ≤ t ≤ 2 .1

~V ′ (t) = (1, 2t)

הוכחה:

~V ′ (t) = lim∆t→0

~V (t+∆t)− ~V (t)

∆t

= lim∆t→0

x (t+∆t)~i+ y (t+∆t)~j + z (t+∆t)~k − x (t)~i− y (t)~j − z (t)~k

∆t

= lim∆t→0

(x (t+∆t)− x (t)

∆t

)

~i+

(y (t+∆t)− x (t)

∆t

)

~j +

(z (t+∆t)− x (t)

∆t

)

~k

= lim∆t→0

(x (t+∆t)− x (t)

∆t

)

~i+ lim∆t→0

(y (t+∆t)− x (t)

∆t

)

~j + lim∆t→0

(z (t+∆t)− x (t)

∆t

)

~k

= x′ (t)~i+ y′ (t)~j + z′ (t)~k

95

ווקטורית פונקציה של נגזרת 12.2 ווקטוריות פונקציות 12

~C (t) = (c1, c2, c3) 12.6 טענה

~C′ (t) = ~0

(

~V (t)± ~W (t))′

= ~V ′ (t)± ~W ′ (t) 12.7 משפט

(יש(

f (t) · ~V (t))′

= f ′ (t) · ~V (t) + f (t) · ~V ′ (t) אז רגילה) (פונקציה f (t) : R → R תהי 12.8 משפט

רגילה) מכפלה שזה לב לשים

סקלרית) מכפלה שזה לב לשים (יש(

~V (t) · ~W (t))′

= ~V ′ (t) · ~W (t) + ~V (t) · ~W ′ (t) 12.9 משפט

(

~V (t) · ~V (t))′

= 2~V ′ (t) 12.10 מסקנה

(

~V (t)× ~W (t))′

= ~V ′ (t)× ~W (t) + ~V (t)× ~W ′ (t) 12.11 משפט

~U (t) = ~V (t)× ~W (t) הוכחה:

~U ′ (t) = lim∆t→0

~U (t+∆t)− ~U (t)

∆t

= lim∆t→0

~V (t+∆t)× ~W (t+∆t)− ~V (t)× ~W (t)

∆t

= lim∆t→0

~V (t+∆t)× ~W (t+∆t)− ~V (t)× ~W (t+∆t) + ~V (t)× ~W (t+∆t)− ~V (t)× ~W (t)

∆t

= lim∆t→0

(~V (t+∆t)− ~V (t)

∆t

)

× ~W (t+∆t) + ~V (t)× lim∆t→0

(~W (t+∆t)− ~W (t)

∆t

)

= ~V ′ (t)× ~W (t) + ~V (t)× ~W ′ (t)

x (t) , y (t) , z (t) כאשר v (t) = (x (t) , y (t) , x (t)) , α ≤ t ≤ β פונקציה תהי לגרנג׳) (משפט 12.12 משפטש כך α ≤ t0 ≤ β קיים אז .t ב ברציפות גזירות פונקציות

~V (t+∆t)− ~V (t)

∆t= ~V ′ (t0)

כך: גם המשפט את לרשום ניתן

~V (t+∆t)− ~V (t) = ~V ′ (t0)∆t+ ~ε (t,∆t)∆t

כאשר

lim∆t→0

~ε (t,∆t) = 096

ווקטוריות פונקציות 12 קשת אורך 12.3

קשת אורך 12.3

לקטעים [α, β] את נחלק .~V (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β נתונה

α ≤ t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ β

ti+1 ו ti הנקודות בין הקו כאורך ∆Li ונגדיר

∆L1 =∣∣∣~V (ti+1)− ~V (ti)

∣∣∣

L ב הקשת אורך את נסמן 12.13 הגדרה

L = limn→∞

n∑

i=0

∆Li

[α, β] של בחלוקה תלות ללא קיים L הערך אם (∆ = maxi∆Li כאשר L = lim∆→0

∑ni=0 ∆Li (או

גזירה ~V ′ (t) ו קיים L 12.14 משפט

L =

β

α

∥∥∥~V ′ (t)

∥∥∥ dt

הוכחה:

L = limn→∞

n∑

i=0

∆Li

= limn→∞

n∑

i=0

∥∥∥~V (ti+1)− ~V (ti)

∥∥∥

.∆t באורך שווים לחלקים חלוקה הייתה [α, β] של שהחלוקה נניח

ti ≤ ti+1

ti+1 = ti +∆t

לגרנג׳ משפט ע״פ אז

limn→∞

n∑

i=0

∥∥∥~V (ti+1)− ~V (ti)

∥∥∥ = lim

∆t→0

n∑

i=0

∥∥∥~V ′ (ti0

)∆t+ ε

(ti0, t

)∥∥∥

ולכן ,ti ≤ ti0 ≤ ti+1 כאשר

lim∆t→0

n∑

i=0

∥∥∥~V ′ (ti0

)∆t+ ε

(ti0, t

)∥∥∥ =

β

α

∥∥∥~V ′ (t)

∥∥∥ dt

אז ~V = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β נתון אם 12.15 מסקנה

L =

β

α

√

x′ (t)2 + y′ (t)2 + z′ (t)2dt97

קווי אינטגרל 13

אז ~V (t) = (t, f (t)) מהצורה נתון (Γ) ~V (t) של גרף אם 12.16 מסקנה

L =

β

α

√

1 + f ′ (t)2dt

דוגמה:

~V (t) = (cos t, sin t, t) , 0 ≤ t ≤ π של הקשת אורך את מצאו .1

L =

π

0

∣∣∣~V ′ (t)

∣∣∣ dt

=

π

)

‖(− sin t, cos t, 1)‖ dt

=

π

0

√

sin2 t+ cos2 +1dt

=√2

π

0

dt

= π√2

.r (t) או γ (t) כ אותו ונסמן .(γ של פרמטרית (הצגה γ הקו של פרמטריזציה ־ ~V (t) סימון:

קווי אינטגרל 132010־05־24

סוגים לשני מתחלקים קוים אינטגרלים

הקו. מסת של חישוב ־ ראשון סוג .1

מסויים. כח עם עקומה על שנעשית עבודה ־ שני סוג .2

ראשון מסוג קווי אינטגרל 13.1

Γ קן של (פרמטריזציה) פרמטטרית הצגה תהי

~r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β

שווים) שיהיו צורך (אין קטעים n ל הקו את נחלק

α ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ β

הווקטור ע״י כאלה נקודות שתי כל בין הווקטור את ונייצג

~r (ti+1)− ~r (ti)

הוא: כזה קטע כל של והאורך

∆Li = |~r (ti+1)− ~r (ti)|98

קווי אינטגרל ראשון13 מסוג קווי אינטגרל 13.1

נגדיר

∆ti = ti+1 − t1

∆ = maxi

∆ti

האינטגרל את נגדיר ואז

lim∆→0

∑

i

∆Li =

β

α

∣∣∣~r′ (t)

∣∣∣ dt

(ti ≤ t∗i ≤ ti+1) t∗i נקודה נבחר ∆ti קטע בכל .f (x, y, z) הפונקציה ע״י Γ הקו מסת (צפיפות) פונקציה נתונהשל אינטגרל להגדיר נוכל ולכן M∗

i = (x (t∗i ) , y (t∗i ) , z (t

∗i )) נקודה של מסה f (x (t∗i ) , y (t

∗i ) , z (t

∗i )) כאשר

העקום מסת

lim∆→0

∑

i

f (M∗i )∆Li =

β

α

f (x (t) , y (t) , z (t)) |~r′ (t)| dt

כך אותו ונסמןˆ

Γ

f (x, y, z) dL

.f מסה ופונקצית Γ עקומה של העקום מסת את מתאר וזהדוגמה:

הבאה פרמטריזציה ע״י נתונה Γ כאשר´

Γ (x+ y) dL חשב .1

~r (t) = (t− sin t, 1− cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π

ש רואים אנחנו

x (t) = t− sin t

y (t) = 1− cos t

כך נראה האינטגרל ולכן

ˆ

Γ

(x+ y)dL =

2πˆ

0

((t− sin t) + (1− cos t)) ‖(1− cos t, sin t)‖ dt

=

2πˆ

0

(t− sin t+ 1− cos t)

√

(1− cos t)2 + sin2 tdt

= 8π

שאנו מפני פרמטרית. הצגה חסרת כאן .{(x, y)

∣∣ x2 + y2 = 4, y ≥ 0

}הוא γ כאשר

´

γx2ydl .2

הצגה ע״י הפרמטרית ההצגה את לייצג קל הכי ולכן החיובי, מעגל חצי זהו y ≥ 0 על רק מסתכליםכוון עם נלך שאם נגדיר אנחנו .0 ≤ θ ≤ π הוא שלנו הטווח כאשר ~γ = (2 cos θ, 2 sin θ) ואז קוטבית

חיובי. זה השעון כוון נגד ואם שלילי, זה השעון

ˆ

γ

x2ydl =

π

0

(2 cos θ)2(2 sin θ) ·

‖~r′(θ)‖=√

(2 sin θ)2+(2 cos θ)2

↓

2dθ

99

שני מסוג קווי אינטגרל 13.2 קווי אינטגרל 13

שני מסוג קווי אינטגרל 13.2

יש נקודה בכל בו בשדה הנמצאת .~r (t) = (x (t) , y (t)) , α ≤ t ≤ β פרמטריזציה ע״י הנתונה Γ עקומה יהי. Q (x, y) ע״י המוסמן y בציר וכח P (x, y) ע״י המוסומן x ציר בכוון כח

[α, β] את נחלק

α ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ β

∆ti = ti+1 − ti

∆xi = x (ti+1)− x (ti)

∆yi = y (yi+1)− y (ti)

t∗i נקודה ∆ti בקטע נבחר

M∗i = (x (t∗i ) , y (t

∗i ))

היא x בכוון העבודה ולכן , P (x (t∗i ) , y (t∗i )) הוא M∗

i בנקודה xבכוון הכח

Wx =∑

i

P (M∗i )∆xi

y בציר זהה באופן

Wy =∑

i

Q (M∗i )∆yi

ואז ∆ = maxi∆ti נסמן

W = lim∆→0

∑

i

P (M∗i )∆xi +Q (M∗

i )∆yi =

ˆ

Γ

Pdx+Qdy

כח שקיים להגיד ניתן דומה באופן

~F = (P (x, y) , Q (x, y))

d~r = (dx, dy)

W =

ˆ

Γ

Pdx+Qdy =

ˆ

Γ

~F · d~r

גזירות. אי נקודות של סופי מספר בעלת פונקציה היא למקוטעין גזירה פונקציה 13.1 הגדרה

גזירות אי נקודות של סופי מספר בעלת פונקציה :9 100איור

קווי אינטגרל 13 שני מסוג קווי אינטגרל 13.2

נגדיר גזירות). אי נק׳ של סופי למספר (פרט למקוטעין גזיר Γ שקו נניח 13.2 משפט

dx = x′ (t) dt

dy = y′ (t) dt

ואז

W =

ˆ

Γ

pdx+Qdy

=

β

α

[P (x (t) , y (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)] dt

13.3 משפטˆ

⋃

ni=1 Γi

~Fd~r =

n∑

i=1

ˆ

Γi

~F · d~r

דוגמה:

בעל עיגול רבע Γ2 ו [2, 0] ל עד [0, 0] מ ישר קו Γ1 חלקים, משני בנו Γ כאשר´

Γ x2ydx+ (x− y) dy .1

.[0, 2] נקודה עד [2, 0] מנקודה שתים רדיוס

פרמטריזציה נעשה Γ1 בקו (א)

x (t) = t

y (t) = 0

כאשר

0 ≤ t ≤ 2

ולכןˆ

Γ1

(x2y)dx+ (x− y) dy =

ˆ 2

0

[(t2 · 0

)· 1 + (t− 0) · 0

]dt = 0

פרמטרית הצגה נעשה ,Γ2 בקו (ב)

x (t) = 2 cos t

y (t) = 2 sin t

כאשר

0 ≤ t ≤ π

2

ואז

ˆ

Γ2

(x2y)dx+ (x− y) dy =

π2ˆ

0

[

(2 cos t)2(2 sin t) · (−2 sin t) + (2 cos t− 2 sin t) 2 cos t

]

dt101

שני מסוג קווי אינטגרל 13.2 קווי אינטגרל 13

משתנים: 3 על אינטגרלים לעשות נרצה אםˆ

Γ

~Fd~r =

ˆ

Γ

Pdx+Qdy +Rdz

=

β

α

[P (x (t) , y (t) z, (t)x′ (t) + · · ·+R (x (t) , y (t) , z (t)) z′ (t)] dt

קווי: אינטגרל של תכונותˆ

Γ

~Fd~r = −ˆ

−Γ

~Fd~r

ההפוך. בכוון רק קו, אותו על ללכת כלומר

~r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β בעקומה אם סגורה עקומה נקראת Γ סגורה) (עקומה 13.4 הגדרה

~r (α) = ~r (β)

חורים אין בתחום אם קשר פשוט תחום נקרא D תחום קשר) פשוט (תחום 13.5 הגדרה

קשר פשוט לא תחום :10 איור

שדה יהי חיובי. בכוון Γ שפה בעל קשר) (פשוט תחום D יהי סגורות)) (עקומות גרין (משפט 13.6 משפטאז ( D = D ∪ Γ כלומר השפה, כולל D התחום ) D ב C1 ∋ ~F = (P (x, y) , Q (x, y))

ˆ

Γ

Pdx+Qdy =

¨

D

(Q′

x − P ′y

)dxdy

דוגמה:

על והקוטר 2 רדיוס בעל x ציר מעל מעגל חצי הוא Γ כאשר´

Γy3dx −

(

x3 + arctan(y2)ey

3)

dy .1.x ציר

ˆ

Γ

y3dx −(

x3 + arctan(y2)ey

3)

dy =

¨

D

(−3x2 − 3y2

)dxdy102

קווי אינטגרל 13 שני מסוג קווי אינטגרל 13.2

קוטבית במערת נשתמש

x = r cos θ

y = r sin θ

ואז

−3

¨

0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π

r2 · rdrdθ = −3

2ˆ

0

dr

π

0

r3dθ

גרין) (משפט הוכחה: 2010־05־27D ו C ,B , למטה) (שמאל A) קודקודים 4 לו יש כאשר D קשר פשוט תחום על נסתכל ראשון: בשלב

((y ליציר (מקבילים ישרים קווים הם BC ו AD ו השעון, כוון נגד

y1 ≤ y ≤ y2

a ≤ x ≤ b

ולכן

¨

D

p′ydxdy =

bˆ

a

dx

y2(x)ˆ

y1(x)

p′ydy

=

bˆ

a

P (x, y)|y2(x)y1(x)

=

´

DC=y2(x)Pdx

︷ ︸︸ ︷

bˆ

a

P (x, y2 (x)) dx−

´

AB=y1(x)Pdx

︷ ︸︸ ︷

bˆ

a

P (x, y1 (x))

= −ˆ

CD

Pdx−ˆ

AB

Pdx

= −ˆ

ABCDA

Pdx

ובאותו ,(x ליציר (מקבילים ישרים הם DC ו AB הקווים שהפעם רק דומה, תחום על נסתכל שני: בשלבאופן

¨

D

Q′xdxdy =

ˆ

ABCD

Qdy

ישרים קוים אין בו תחום על נסתכל שלישי: שלב¨

D

P ′ (x)−Q′ (y) dxdy =

ˆ

ABCDA

Pdx+Qdy103

האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3 קווי אינטגרל 13

על ואז חורים, ללא חלקים k ל התחום את נחלק חורים n בעל קשר פשוט לא תחום על נסתכל ד׳: שלבלכל ג׳, שלב לפי קשר). פשוט בתחום (כמו בנפרד אינטגרל נעשה חלק כל

¨

Dk

(Q′

x − P ′y

)dxdy =

¨

Γk

Pdx+Qdy

¨

D

(Q′

x − P ′y

)dxdy =

¨

∪Dk

(Q′

x − P ′y

)dxdy

=∑

k

¨

Dk

(Q′

x − P ′y

)dxdy

=∑

k

ˆ

Γk

Pdx+Qdy

=∑

Γ

Pdx+Qdy

דוגמה:

משני הבנויה סגורה עקומה היא γ כאשר I =´

γ

(y3 + x7 sin

(x2))

dx+(

x+ arctan(

ey2

+ y))

dy .2~F = (P,Q) ∈ c1

(¯)

D ו y =√x ו y = x2 קווים

I =

¨

D

(1− 3y2

)dxdy

=

1ˆ

0

dx

√xˆ

x2

(1− 3y2

)dy

האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3

דוגמה:ˆ

Γ

x2ydx+

(1

3x3 + y

)

dy

שתי בין נבחר מסלול איזה משנה לא .B (5, 7) ל A (−1,−2) הנקודה בין ישר) בהכרח (לא קו הוא Γ כאשרדבר. אותו יהי האינטגרל הנקודות,

שקולות: הבאות הטענות שלושת אז .D תחום מעל המוגדר רציף ווקטורי שדה ~F = (P,Q) יהיה 13.7 משפט

D ב Γ סגורה עקומה לכל .1ˆ

Γ

~Fd~r = 0

האינטגרל .2ˆ

AB

~Fd~r

(D ב נמצא שכולו (בתנאי B ו A הנקדות את המחבר במסלול תלוי 104אינו

קווי אינטגרל 13 האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3

ש כך פוטנציאל) םונקציית נקראת U ) U (x, y) רציפה פונקציה קיימת .3

∇U = F

(

⇒ U ′x = P

U ′y = Q

)

וˆ

AB

Pdx+Qdy = U (x, y)|BA = U (B)− U (A)

.(1)⇐ (3) ⇐ (2) ⇐ (1) נוכח הוכחה:לכן .(Γ2 ו Γ1) B ל A מ שונים מסלולים שני נבחר סגורה. בעקומה

´

Γ~Fd~r = 0 ש נתון :(2) ⇐ (1)

ˆ

Γ1−Γ2

~Fd~r

(1)↓

= 0

אבלˆ

Γ1−Γ2

~Fd~r =

ˆ

Γ1

~Fd~r +

ˆ

−Γ2

~Fd~r

=

ˆ

Γ1

~Fd~r −ˆ

Γ2

~Fd~r

ולכןˆ

Γ1

~Fd~r =

ˆ

Γ2

~Fd~r

נגדיר .M = (x, y) ∈ D ו קבוע M0 ∈ D יהיה :(3) ⇐ (2)

U (x, y) =

ˆ

M0M

~Fd~r

:x לפי גזירה U ש נוכיח פונקציה. היא U (x, y) (2) לפי

U ′x (x, y) = lim

∆x→0

U (x+∆x, y)− U (x, y)

∆x

= lim∆x→0

´

M0M(x,y)~Fd~r −

´

M0N(x+∆x,y)~Fd~r

∆x

= lim∆x→0

´

MN~Fd~r

∆x

= lim∆x→0

´

MNPdx+

=0↓

�����´

MNQdy

∆x

= lim∆x→0

´∆x

xPdx

∆x= P

.U ′y = Q זהה 105באופן

האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3 קווי אינטגרל 13

B ל A מ העקומה של פרמטריזציה α ≤ t ≤ β ~r (t) = (x (t) , y (t)) יהי

ˆ

AB

Pdx+Qdy =

β

α

(P (x (t) , y (t)) x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)) dt

∇U = ~F ו השרשת, כלל ע״פ

β

α

(P (x (t) , y (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)) dt =

β

α

u′tdt

= U (x (t) , y (t))|βα= U (B)− U (A)

Γ סגורה עקומה לכל כי להוכיח צריך (1) ⇐ (3)ˆ

Γ

~Fd~r = 0

ואז A = B אז סגורה Γ אםˆ

Γ

~Fd~r = U (B)− U (A) = U (A)− U (A) = 0

לתנאי: גם שקולים 13.7 משפט של התנאים אז קשר פשוט תחום הוא D ו ~F ∈ C1(D)אם 13.8 משפט

P ′y = Q′

x

ש נתון זה. במשפט התנאי את גורר 13.7 במשפט 3 תנאי כי נוכיח הוכחה:U ′x = P

U ′y = Q

ו P,Q ∈ c1

P ′y = U ′′

xy

Q′x = U ′′

yx

ש נובע מכאן

U ′′xy = U ′′

yx ⇒ P ′y = Q′

x

D ב סגורה עקומה Γ 13.7:יהיה במשפט 1 תנאי את גורר במשפט התנאי כי נוכיחˆ

Γ

Pdx+Qdy =

¨

D

(Q′

x − P ′y

)dxdy = 0

106דוגמה:

קווי אינטגרל 13 משמר שדה 13.4

הוא התחום ,B (5, 7) ו A (−1,−2) הנקודות שתי בין קו הוא Γ כאשר´

Γx2ydx +

(13x

3 + y)dy .1

P,Q ∈ c1 (D) ש גם נתון .Γ הקו כל את שמקיף D תחום או D ∈ R2

B Aל מ ישר קו נעביר א׳: דרך (א)

m =9

6=

3

2

y + 2 =3

2(x+ 1)

y = 1.5x− 0.5

פרמטריזציה נעשה

x (t) = t

y (t) = 1.5t− 0.5

האינטגרל את ונפתור

ˆ

Γ

=

5ˆ

−1

(

t2 (1.5t− 0.5) · t+(1

3t3 + (1.5t− 0.5)

)

· 1.5)

dt

:U פוטנציאל פונקציית מציאת ב: דרך (ב)

∇U = ~F

U ′x = P = x2y

U ′y = Q =

1

3x3 + y

כלשהו אינטגרל נעשה

U =

ˆ

u′xdx

=

ˆ

x2ydx

=x3

3y + c (y)

השניה בנגזרת ונציב y לפי נגזור

U ′y =

x3

3+ c′ (y) =

1

3x3 + y

c′ (y) = y

c (y) =

ˆ

ydy =y2

2+ c

ולכן

U =x3

3y +

y2

2+ c

ואזˆ

Γ

= U |(5,7)(−1,−2)

= U (5, 7)− U (−1,−2)107

משמר שדה קווי13.4 אינטגרל 13

משמר שדה 13.42010־05־31

כך U (x, y) פונקציה קיימת אם משמר שדה נקרא ~F = (P (x, y) , Q (x, y)) שדה משמר) (שדה 13.9 הגדרהש

~∇u = F

כלומר

du = Pdx+Qdy

∆u = P∆x+Q∆y

u′x = P

u′y = Q

אזי ורציפות) גזירות (פונקציות ~F ∈ c1(D)ו קשר פשוט תחום D אם 13.10 טענה

P ′y = Q′

x ⇐⇒ משמר שדה ~F

תלוי לא האינטגרל ערך ⇐⇒´

Γ~Fd~r = 0 D ב המוכלת Γ סגורה עקומה לכל ⇐⇒ משמר שדה ~F

.D ב המוכלת עקומה עבור והסוף ההתחלה בנקודת רק אלא העקומה, בבחירת

דוגמה:

D = x2 + y2 ≤ 100 הוא והתחום Q = xx2+y2 , P = −y

x2+y2 .1

משמר. שדה לא הוא ~F אבל P ′y = Q′

x ש נראה

P ′y = −

(x2 + y2

)− y (2y)

(x2 + y2)2

=−x2 + y2

(x2 + y2)2

Q′x =

(x2 + y2

)− x (2x)

(x2 + y2)

=−x2 + y2

(x2 + y2)2

לא F כי ~F /∈ c1(D)ש מפני אבל ,

´

Γ~Fd~r = 0 סגורה עקומה לכל אז משמר, שדה הוא והשדה במידה

החיובי הכוון עם x2 + y2 = 10 :Γ יהי :0 שווה לא האינטגרל בה עקומה שיש נראה (0, 0) ב מוגדר

ˆ

Γ

Pdx+Qdy =

∣∣∣∣∣∣

x =√10 cos θ

y =√10 sin θ

0 ≤ θ ≤ 2π

∣∣∣∣∣∣

=

2πˆ

0

(

−√10 sin θ

10·(

−√10 sin θ

)

+

√10 cos θ

10·√10 cos θ

)

dθ

= 2π 6= 0

משמר. שדה לא הוא השדה כלומר

108

משטחי אינטגרל 14

משטחי אינטגרל 14

משתנים 2 של ווקטורית פונקציה 14.1

ווקטורית פונקציה נקראת (u, v) ∈ ∆ כאשר ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) הפונקציה 14.1 הגדרהמשתנים. 2 של

ווקטורית כפונקציה לתאר ניתן משטח כל ההפך, (או משטח מתארת משתנים 2 של ווקטורית פונקציה כלמשתנים). 2 של

למשטח נורמל מציאת 14.1.1

u0 נקבע , M0 = (u0, v0) בנקודה נתבונן S = r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) משטח נקח

~r (u0, v) = (x (u0, v) , y (u0, v) , z (u0, v))

,u בכוון דבר אותו נעשה .v בכוון M0 = (u0, v0) בנקודה המשיק שיפוע זהו ~r′v (u0, v0) : v לפי ~r את נגזורהפונקציה את ונקבל v0 נקבע

~r (u, v0) = (x (u, v0) , y (u, v0) , z (u, v0))

.u בכוון M0 בנקודה המשיק של השיפוע שזה r′u(u0, v)

)ונקבל u0 את ונציב u לפי נגזור

ע״י נקבל M0 לנקודה הנורמל את

N = r′u (M0)× r′v (M0)

נוכל כללית, יותר בצורה נורמל לקבל נרצה אם

~N = r′u × r′v =

∣∣∣∣∣∣

i j kx′u y′u z′u

x′v y′v z′v

∣∣∣∣∣∣

ע״י ~N של יחידה ווקטור נסמן 14.2 הגדרה

e ~N= ~n =

r′u × r′v|r′u × r′v|

אז F (x, y, z) = 0 ע״י נתון S משטח אם 14.3 הערה

~N = ~∇F

אז z = f (x, y) ע״י נתון S משטח אם

~N =(−f ′

x, f′y, 1), (F = z − f (x, y))

. (u, v) ∈ ∆ , ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ע״י שניתן מרחבי) (משטח משטח S יהי 14.4 הגדרהחלק. נקרא המשטח אז r ∈ c1 (∆) אם

ההפוך, בכוון M0 לנקודה חוזר הנורמל המשטח פני על Γ הסגור הקו לאורך התנועה במשך אם 14.5 הגדרהחד־צדדי. משטח נקרא המשטח

109

משטח של פנים שטח משטחי14.2 אינטגרל 14

צדדי חד למשטח דוגמה :11 איור

דו־צדדי. משטח נקרא הנורמל של כיוון להכדיר שניתן שלם ומשטח

לצורה) (מחוץ ~N = r′u × v′u הוא S משטח של חיובי כיוון 14.6 הגדרה

משטח של פנים שטח 14.2

(u, v) = ∆ , ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ע״י הנתון משטח S יהי.Si ב Mi נקודה נבחר ,Si אלמנטרים משטחים S המשטח פני על ונקבל קווים ע״י S את נחלק

אלמנטרים למשטחים משטח של חלוקה :12 איור

המשיק. המישור על Si את ונטיל משיק, מישור נעביר Mi דרך

xy מישור על אלמנטרי משטח של הטלה :13 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Surfaאיורe_integral1.svg110

משטחי אינטגרל 14 משטח של פנים שטח 14.2

.Si ההטל של השטח את σit, ב נסמן

ע״י מוגדר A של הקוטר קשירה. A ∈ Rn קבוצה יהי 14.7 diamהגדרה (A) = supx,y∈A

∥∥x− y

∥∥

נגדיר

d = maxi

{diam (Si)}

ההטילים שטחי של סכום ־∑

i σi

גבול קיים אם 14.8 הגדרה

limd→0

∑

i

σi

.S של פנים שטח נקרא הגבול אז המשטח בחלוקת תלוי שאינו

ל שווה S משטח של פנים שטח 14.9 טענה

limd→0

∑

i

σi =

¨

∆

‖r′u × r′v‖ dudv

ש לראות קל הוכחה:

σi = ‖∆u (~r)×∆v (~r)‖

כאשר

∆u (~r) = ~r (u+∆u, v)− ~r (u, v)

∆u (~r) = ~r (u, v +∆v)− ~r (u, v)

אז t בנקודה רציפה והנגזרת t הנקודה בסביבות רציפה v (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β תזכורת:ש כך α ≤ t∗ ≤ β קיימת

~v (t+∆t)− ~v (t) = v′ (t∗)∆t+ ~ε (t,∆t)∆t

.lim∆t→0 ε = 0 כאשר

ש כך u∗ ו v∗ קיימות לכן

∆u (~r) = r′u (u∗, v)∆u+ ε1∆u

∆v (~r) = r′v (u, v∗)∆u+ ε2∆v

.lim ε1 = lim ε2 = 0 ו v < v∗ < v +∆v ו u < u∗ < u+∆u כאשר

u∗ = u+ θ1∆u

v∗ = v + θ2∆v

ואז ,0 ≤ θ1, θ2 < 1 כאשר

∆u (~r) = r′u (u+ θ1∆u, v)∆u + ε1∆u

∆v (~r) = r′v (u, v +mgv2∆v)∆v + ε2∆v111

I מסוג משטחי אינטגרל 14.3 משטחי אינטגרל 14

ב נציב

σi = ‖∆u (~r)×∆v (~r)‖= ‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆v

כאשר

lim∆u,∆v→0

ε = 0

ואז

S = limd→0

∑

i

σi = limd→0

∑

‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆vi

ל שווה זה האינטגרל הגדרת פי ועל¨

∆

‖r′u × r′v‖ dudv

אז (x, y) ∈ D עבור z = f (x, y) מפורשת בצורה מוגדר S משטח אם 14.10 הערה

~N =∥∥r′x × r′y

∥∥ =

√

1 + (f ′x)

2+(f ′y

)2

ל שוה S משטח של הפנים שטח ולכן

¨

D

√

1 + (f ′x)

2+(f ′y

)2

I מסוג משטחי אינטגרל 14.3

על הנקודות כל של (מסה) צפיפות פונקציית Φ (x, y, z) כאשר המשטח. מסת את (למצוא) לחשב מטרה:המשטח.

הגבול קיים אם 14.11 הגדרה

limd→0

∑

i

Φ (Mi)σi =

¨

S

Φ (x, y, z)ds

.S המשטח מסת נקרא הגבול אז המשטח בחלוקת תלוי שאינו

ל שווה המשטח מסת 14.12 טענה

¨

S

Φ (x, y, z) ds

~r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))↓

=

¨

∆

Φ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ‖r′u × r′v‖ dudv112

משטחי אינטגרל 14 I מסוג משטחי אינטגרל 14.3

ש הראנו הוכחה:

σi = ‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆v

lim∆u,∆v→0 ε = 0 כאשר

limd→0

∑

i

Φ (Mi)σi = limd→0

∑

i

Φ (u, v) · (‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆v)

=

¨

∆

Φ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ‖r′u × r′v‖ dudv

דוגמה:

חשב .1

¨

S

Φ(x,y,z)↓

(x2 + y2 + z2

)ds

.x2 + y2 = 2x לעיגול מעל z =√

x2 + y2 חרוט של חלק הוא S כאשר

המשטח של הוקטורית ההצגה את קודם נמצא

~r (x, y) =(

x, y,√

x2 + y2)

, (x, y) ∈ ∆

ש יודעים אנחנו מפורשת, בצורה כתוב שזה בגלל ,∥∥r′x × r′y

∥∥ נמצא

∥∥r′x × r′y

∥∥ =

√

1 + (z′x)2+(z′y)2

=

√√√√1 +

(

x√

x2 + y2

)2

+

(

y√

x2 + y2

)2

=√2

באינטגרל חזרה נציב¨

S

(x2 + y2 + z2

)ds =

¨

∆=x2+y2=2x

(

x2 + y2 +(√

x2 + y2)2)√

2dxdy

= 2√2

¨

x2+y2≤2x

(x2 + y2

)dxdy

= 2√2

π2ˆ

−π2

dθ

2cos αˆ

0

r2|J|↓

rdr

= 3√2π

2010־06־03

S ={(x, y, z)

∣∣ x2 + y2 + z2 = R2

}כאשר

˜

S

(x2 + y2

)ds .2

כדוריות8 קאורדינטות לפי ~r (θ, α) ע״י אותו להציג ניתן ולכן כדור הוא S משטח

x = R cos θ sinα

y = R sin θ sinα

z = R cosα

92 בעמוד הסבר 8113ראה

II מסוג משטחי אינטגרל 14.4 משטחי אינטגרל 14

∆ =

{0 ≤ θ ≤ 2π−π

2 ≤ α ≤ π2

כאשר

~r (θ, α) = (R cos θ sinα,R sin θ sinα,R cosα)

r′θ × r′α נחשב

r′θ × r′α =

∣∣∣∣∣∣

i j kx′θ y′θ z′θ

x′α y′α z′α

∣∣∣∣∣∣

=(R2 cos θ cos2 α,R2 sin θ cos2 α,R2 sinα cosα

)

‖r′θ × r′α‖ = R2 cosα

משטחי אינטגרל של הנוסחה ע״פ ולכן¨

S

(x2 + y2

)ds =

¨

∆

(

(R cos θ sinα)2 + (R sin θ sinα)2)

R2 cosαdθdα

=

2πˆ

0

dθ

π2ˆ

−π2

(

(R cos θ sinα)2+ (R sin θ sinα)

2)

R2 cosαdαII מסוג משטחי אינטגרל 14.4

ההיטל את Dxyi ב נסמן .∆ = maxi [di] ו di = diam [Si] כאשר ∆si משטחי ונקבל לרשת S משטח נחלק

חיובי, ההיטל אז z ציר של החיובי בכוון הוא למשטח הנורמל שאם לב לשים יש .xy המישור על ∆si שלשיש נניח .∆si על (xi, yi, zi) שהיא Mi נקודה נבחר שלילי. ההיטל אז z ציר של השלילי בכוון הנורמל ואם

.S משטח על המוגדרת R (x, y, z) פונקציה

σ =∑

i

R (xi, yi, zi)Dxyi

אינטגרל הזה לגבול נקרא אז S משטח Miובחלוקת הנקודה בבחירת תלוי שאינו lim∆→0 σ סופי גבול קיים אםאותו ונסמן II מסוג משטחי

¨

S

R (x, y, z) dxdy

ונקבל xz למישור המשטח את נטיל דומה, באופן¨

S

Q (x, y, z)dxdz

ונקבל yz למישור המשטח את ונטיל¨

S

P (x, y, z)dydz

היטל כל על השני מסוג האינטגרל של הסכום יהיה כללי II מסוג משטחי אינטגרל 14.13 הגדרהI =

¨

S

R (x, y, z)dxdy +Q (x, y, z)dxdz + P (x, y, z)dydz114

משטחי אינטגרל 14 II מסוג משטחי אינטגרל 14.4

הבאה בצורה למשטח הנורמל על נסתכל שונה. בצורה האינטגרל את להציג נוכל

~ni = (cosαi, cosβi, cos γi)

נקבל קודם, σ לבניית דומה באופן ואז ,Dxyi = ∆s cos γi את לייצג נוכל ואז

σ =∑

i

P (Mi) cosαi

lim∆→0

σ =

¨

S

R (x, y, z)dxdy =

¨

S

R (x, y, z) cosαds

כללי ובאופן

I =

¨

S

(P cosα+Q cosβ +R cos γ)

אז ~F = (P,Q,R) עם ולכן

I =

¨

S

~F · ~nds

ואז ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) פרמטרית בצורה S נתון אם :I את נחשב

¨

S

~F · ~nds =

¨

∆

~F (u, v) ·

~n︷ ︸︸ ︷

(r′u × r′v)

�����‖r′u × r′v‖·�����‖r′u × r′v‖dudv

ואז ראשון. מסוג משטחי אינטגרל ע״פ

¨

∆

~F (u, v) · (r′u × r′v) dudv =

¨

∆

∣∣∣∣∣∣

P Q Rx′u y′u z′u

x′v y′v z′v

∣∣∣∣∣∣

dudv

בסיכום

I =

¨

S

pdydz +Qdxdz +Rdxdy =

¨

S

~F · ~nds =¨

∆

~F (u, v) · (r′u × r′v) dudv =

¨

∆

∣∣∣∣∣∣

P Q Rx′u y′u z′u

x′v y′v z′v

∣∣∣∣∣∣

dudv

אז z = f (x, y) , (x, y) ∈ ∆ מפורשת בצורה נתון S אם

r′x × r′y =(−f ′

x,−f ′y, 1)

ולכן

¨

S

~F · ~nds =

¨

∆

(P,Q,R) ·(−f ′

x,−f ′y, 1)dxdy

115דוגמה:

II מסוג משטחי אינטגרל 14.4 משטחי אינטגרל 14

x2+ y2+ z2 = 4, z ≥ 0 כדור חצי של הפנימי צד S ו ~F = x ·~i+ y ·~j+ z ·~k כאשר˜

S~F ·~nds חשב .1

ש נתון

P (x, y, z) = x

Q (x, y, z) = y

R (x, y, z) = z

z של מפורשת צורה נמצא

z =√

4− x2 − y2

יהיה האינטגרל את נעשה שעליו השטח ואז

∆ ={(x, y)

∣∣ x2 + y2 ≤ 4

}

יהיה והנורמל

N = −(r′x × r′y

)

= −(−f ′

x,−f ′y, 1)

=(f ′x, f

′y,−1

)

=

(

− x√

4− x2 − y2,− y√

4− x2 − y2,−1

)

כדי בנוסחה נשתמש מפה העיגול. של הפנימי הצד על מסתכלים אנחנו כי לנורמל (−) מינוס הוספנוהאינטגרל את לחשב

¨

S

~F · ~nds =

¨

x2+y2≤4

(x, y, z) ·(

− x√

4− x2 − y2,− y√

4− x2 − y2,−1

)

dxdy

z=√

4−x2−y2

↓

= −¨

x2+y2≤4

x2 + y2√

4− x2 − y2+√

4− x2 − y2dxdy

=

2πˆ

0

dθ

2ˆ

0

(r2√

4− r2 + 4− r2

)|J|↓

rdr

= −16π

2010־06־07˜

S~F · ~nds .2

z2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 2 החרוט של חיצוני צד הוא Sו ~F =(x2, y2, z2

)כאשר (א)

גליליות קוארדינטות לפי פתרון

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z =√

x2 + y2 = r

הוא החרוט ולכן

~r (z, θ) = (r cos θ, r sin θ, r) , ∆ =

{0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π116

משטחי אינטגרל 14 II מסוג משטחי אינטגרל 14.4

¨

S

~F · ~nds =

¨

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

P Q Rx′u y′u z′u

x′v y′v z′v

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣

(r cos θ)2

(r sin θ) r2

r cos θ sin θ 1−r sin θ r cos θ 0

∣∣∣∣∣∣

drdθ

=

2ˆ

0

dr

2πˆ

0

(−r3 + r2 cos2 θ + r3 sin3 θ

)dθ

= −8π

x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 3 סגור גליל S כאשר ~F =(4x,−2y2, z2

)כאשר (ב)

ב אותו נסמן (x2 + y2 = 4) 2 רדיוס בעל (z = 0)xy במישור מעגלי בסיס חלקים 3 מ בנוי הגלילבגלל .S3 ב אותו שנסמן הגליל של וההיקף .S1 ב אותו נסמן z = 3 בגובה נוסף מעגלי בסיס ,S2

כך האינטגרל את נחלק השטחים, שלושת את אחת פרמטרית בצורה להציג ניתן שלא¨

S

~F~nds =

¨

S1

+

¨

S2

+

¨

S3

~n = (0, 0, 1) כך: נראה הנורמל S1 •¨

z=3

~F · ~nds =

¨

D:{ x2+y2≤4 }

(P,Q,R) (0, 0, 1)dxdy

=

¨

S

z2dxdy

=

¨

D

32dxdy

= 9

¨

x2+y2≤4

dxdy

= 9 · π22 = 36π

~n = (0, 0,−1) כלומר למטה, יהיה כאן הנורמל S2 •¨

z=0

~F · ~nds =

¨

D:x2+y2≤4

(P,Q,R) (0, 0,−1)dxdy

=

¨

D

0 · dxdy

= 0

גליליות צירים מערכות לפי משתנה. הגובה אבל קבוע, הרדיוס כאן S3 •x = 2 cos θ

y = 2 sin θ

z = z 117

(גאוס) דיברגנץ משפט 14.5 משטחי אינטגרל 14

כך הזה המשטח את לבטא ניתן כלומר

~r (θ, z) = (2 cos θ, 2 sin θ, z) , ∆ =

{0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ z ≤ 3

רוצים אם z לפי (הפוך, החיצוני לכוון רוצים אנחנו אם קודם θ לפי הדרטמיננטה את נעשהלפנימי)

¨

S3

~F~nds =

¨

∆

∣∣∣∣∣∣

4 (2 cos θ) −2 (2 sin θ) z2

−2 sin θ 2 cos θ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣

dzdθ = · · · = 48π

S את נסכם

S = 36π + 0 + 48π = 84π

(גאוס) דיברגנץ משפט 14.5

V בגוף c1 ∋ ~F = (P,Q,R) ווקטורי שדה אם . ~n חיצוני נורמל בעל וסגור חלק משטח S יהי 14.14 משפטאז S ששפתו

¨

S

~F · ~nds =˚

V

div(~F) dxdydzdiv(~F)כאשר = P ′

x +Q′y +R′

z

V גוף של ההיטל הוא D ו z (x, y) ≤ z2 (x, y) דיפרנציאלים משטחים משני מורכב משטח S ש נניח הוכחה:הבא האינטגרל על נסתכל .xy מישור על (S הסגור המשטח ע״י (הנוצר

˚

V

R′zdv =

¨

D

dxdy

z2ˆ

z1

R′zdz

=

¨

D

R (x, y, z2 (x, y)) dxdy −¨

D

R (x, y, z1 (x, y)) dxdy

כלומר ראשון, מסוג משטחי לאינטגרל שווה וזה¨

D

R (x, y, z2 (x, y)) dxdy −¨

D

R (x, y, z1 (x, y)) dxdy =

¨

S

R (x, y, z)dxdy

P ′x ל ו Q

′y ל דומה באופן

˚

V

Q′ydV =

¨

S

Q (x, y, z)dxdz

˚

V

P ′XdV =

¨

S

P (x, y, z) dydz118

משטחי אינטגרל 14 (גאוס) דיברגנץ משפט 14.5

נקבל האינטגרלים שלושת את נחבר אם

¨

S

R (x, y, z)dxdy +

¨

S

Q (x, y, z)dxdz +

¨

S

P (x, y, z)dydz =

¨

S

~F · ~nds

ש נקבל האינטגרלים של השני הצד את נחבר ואז שני. מסוג משטחי אינטגרל כלומר

¨

S

~F · ~nds =¨

(P ′x +Q′

y +R′z

)dV =

˚

V

div(~F) dV.S משטח דרך ~F ווקטורי שדה של לשטף שווה

˜

S~F · ~nds לאינטגרל 14.15 הגדרה

ב2דוגמה: לשאלה (זהה x2 + y2 = 4 ו z = 3 ,z = 0 המשטח דרך ~F =(4x,−2y2, z2

)השדה של שטף חשב .1

( 117 בעמוד

גאוס משפט לפי ולכן וסגור. חלק שטח S ו S שפה בעל גוף V גליל. של ושפה לפנים שווה V ו F ∈ c1

¨

S

~F~nds =

˚

x2 + y2 ≤ 40 ≤ z ≤ 3

div(~F)︷ ︸︸ ︷

(4 + (−4y) + 2z)dV

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x = r cos θy = r sin θ

z = zJ = r

0 ≤ r ≤ 20 ≤ z ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

2πˆ

0

dθ

2ˆ

0

dr

3ˆ

0

(4− 4r sin θ + 2z) rdr

= 84π

כלפי z = 1 ועד z = 0 ,מ z =√

x2 + y2 המשטח דרך ~F =(3xy,−y3 − x, 2z

)שדה של שטף חשב .2

סגור. לא הוא הזה שהחרוט לב לשים יש חוץ,

¨

S

~F~nds =

¨

S∪S1

−¨

S1

~F~nds

מלמעלה. החרוט את שסוגר העיגול הוא S1 כאשר¨

S∪S1

~F~nds =

˚

V

(3y − 3y2 + 2

)dxdydz119

סטוקס משפט משטחי14.6 אינטגרל 14

גלילית צירים למערכת נעבור ,S ∪ S1 ש והשפה הפנים זה V כאשר

˚

V

(3y − 3y2 + 2

)dxdydz =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x = r cos θy = r sin θ

z = zJ = r

0 ≤ z ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ r ≤ z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

1ˆ

0

dz

2πˆ

0

dθ

rˆ

0

(

3r sin θ − 3 (r sin θ)2+ 2)

rdr

˜

S1

~F~nds האינטגרל את נפתור¨

S1

~F~nds =∣∣~n = (0, 0, 1)

∣∣

=

¨

x2+y2≤1

(3xy,−y3 − x, 2z

)(0, 0, 1)dxdy

=

¨

x2+y2≤1

2z=1

↓

zdxdy

= 2

ˆ

x2+y2≤1

1 · dxdy

= 2π11

האינטגרלים. שני בין לחסר נותר עכשיו˜

S~F~nds , S : x2 + y2 + z2 = 4 המשטח דרך ~F = (4x, 2y,−z) שדה של שטף מצאו .3

גאוס לפי

S ~F~nds =

˚

x2+y2+z2≤4

(y + 2− 1) dxdydz

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x = r cos θ sinαy = r sin θ sinαz = r cosα

J = −r2 sinα0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ α ≤ π0 ≤ r ≤ 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

2πˆ

0

dθ

π

0

dα

2ˆ

0

(r sin θ sinα+ 1) r2 sinαdr

סטוקס משפט 14.62010־06־10

ל שווה ~F של רוטר אזי ~F = (P,Q,R) יהי (רוטר) 14.16 rot(~F)הגדרה = ∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣

=(R′

y −Q′z, P

′z − R′

x, Q′x − P ′

y

)

120

משטחי אינטגרל 14 סטוקס משפט 14.6

אזי משטח S כאשר ~F = (P,Q,R) ∈ c1 ווקטורי שדה יהי 14.17 משפט

¨

S

rot(~F) · ~nds = ˆΓ

~F · d~r

החיובי. בכוון S המשטח של השפה Γ כאשר

.∆ של שפה C ש נניח .S = { x (u, v) , u (u, v) , z (u, v) | u, v ∈ ∆ } :S של הצגה תהי הוכחה:ימין: צד את נחשב

d~r = (dx, dy, dz) = (x′udu + x′

vdv, y′udu+ y′vdv, z

′udu+ z′vdv)

ˆ

Γ

~F · d~r =

ˆ

C

P↓

(Px′u +Qy′u +R′

z)du +

Q↓

(Px′v +Qy′v + Pz′v)dv

גרין משפט ע״פ

ˆ

C

P↓

(Px′u +Qy′u + R′

z)du+

Q↓

(Px′v +Qy′v + Pz′v)dv =

¨

∆

(

Q′u − P ′

v

)

dudv

=

¨

∆

[(P ′ux

′v − P ′

vx′u) + (Q′

uy′v −Q′

vy′u) + (R′

uz′v −R′

vz′u)]

שמאל: צד את rot(~F)נחשב =(R′

y −Q′z, P

′z −R′

x, Q′x − p′y

)

¨

S

rot(~F)~nds =

¨

∆

rot(~F) ·r(u,v)=(x(u,v),u(u,v),z(u,v))↓

(r′u × r′v)dudv

=

¨

∆

∣∣∣∣∣∣

R′y −Q′

z P ′z −R′

x Q′x − P ′

y

x′u y′u z′u

x′v y′v z′v

∣∣∣∣∣∣

dudv

=

¨

∆

[(P ′ux

′v − P ′

vx′u) + (Q′

uy′v −Q′

vy′u) + (R′

uz′v −R′

vz′u)]

דוגמה:[x2 + y2 + z2 = a , x+ y + z = 0 , a > 0

]ע״י נתון Γ כאשר

˜

Γ (2y + 3x) dx+(z − y2

)dy+(x+ 1) dz חשב .1rot(~F) =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

2y + 3x z − y2 x+ 1

∣∣∣∣∣∣

= ~i (−1)−~j (1) + ~k (−2) = (−1,−1,−2)121

R3 ב משמר שדה 14.7 משטחי אינטגרל 14

אז ,(x2 + y2 + z2 = a המשטח עם (בחיתוך Γ ושפתו x+ y + z = 0 המשטח על נסתכל

~n =(1, 1, 1)√

3

ש נקבל סטוקס, משפט ולפיˆ

Γ

=

¨

S

rot(~F)~nds=

¨ ¨

x2+y2≤a

(

(−1,−1,−2) · (1, 1, 1)√3

)

dxdy

= − 4√5

¨

x2+y2≤a

dxdy

= − 4√3π · a

גליל (זהו[x2 + z2 = 1, y = 1 , y > 0

]ע״י הנתון קו הוא Γ ו ~F =

(z3, 3y2,−x3

)כאשר

´

Γ~Fd~r .2

אותו) שחותך y = 1 במיקום xz ומישור ,y לציר rot(~F)מסביב =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

z3 3y2 −x3

∣∣∣∣∣∣

=(0, 3

(z2 + x2

), 0)

סטוקס משפט ע״פ ואזˆ

,Γ

~Fd~r =

¨

S

(0, 3

(z2 + x2

), 0)(0, 1, 0)ds

=

¨

x2+z2≤1

3(z2 + x2

)dxdz

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

x = r cos θz = r sin θ0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

2πˆ

0

dθ

1ˆ

0

3 · r2 · r↑

|J|

dr =3

2π

R3 ב משמר שדה 14.7

משטחי קשר פשוט גוף מעל c1 ∋ ווקטורי שדה ~F = (P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)) יהי 14.18 משפט.V

: שקולות הבאות הטענות

L סגורה עקומה לכל´

L~F · d~r .1

V ב נמצא שכולו B ל A בין במסלול תלוי אינו´

AB~Fd~r .2122

משטחי אינטגרל 14 R3 ב משמר שדה 14.7

פוטנציאל) פונקציית (u־ ∇u = ~F ש כך u שדה קיים .3ˆ

AB

~Fd~r = u|BA = u (B)− u (A) rot(~F) = 0 .4

ש כך u קיימת אם משמר שדה נקרא ~F .~F = (P,Q,R) ווקטורי שדה יהי 14.19 הגדרה

∇u = ~F

דוגמה:

שתיהן. בין המחבר ישר) (לא L וקן B (3, 4, 5) ו A (1, 1, 2) נקודות שתי .1

~F = (x− yz sin (xyz) ,−xz − xz sin (xyz) ,−xy sin (xyz))

ˆ

L

~F · d~r

משמר שדה F ש הראו rot(~F)(א) = 0 ש rot(~F)נראה =(R′

y −Q′z, P

′z −R′

x, Qx − P ′y

) ?= (0, 0, 0)

ש לראות קל

R′y = Q′

z

P ′z = R′

x

Q′x = P ′

y

F של הפוטנציאל פונקציית את מצאו (ב)ש רוצים אנחנו

∇u = ~F

כלומר

u′x = P = x− yz sin (xyz)

u′y = Q = −xz sin (xyz)

u′z = R = −xy sin (xyz)

נעשה

u =

ˆ

(x− yz sin (xyz)) dx

=x2

2+��yz cos (xyz)

��yz+ c (y, z)123

R3 ב משמר שדה משטחי14.7 אינטגרל 14

Q ל ונשווה y לפי u את נגזור

u′y = (((((((− sin (xyz) · xz + c′y (y, z) =

Q↓

(((((((−xz sin (xyz)

c′y (y, z) = 0

c (y, z) =

ˆ

0dy = h (z)

כלומר

u =x2

2+ cos (xyz) + h (z)

z לפי נגזור

u′z = (((((((−xy sin (xyz) + h′ (z) =

R↓

(((((((−xy sin (xyz)

h′ (z) = 0

h (z) =

ˆ

0dz = c

ולכן

u =x

2+ cos (xyz) + c

מצאו ב׳, סמך על (ג)ˆ

L

~Fd~r = u (3, 4, 5)− u (1, 1, 2)

=3

2+ cos (3 · 4 · 5)− 1

2− cos (1 · 1 · 2)

124