חשמל להנדסת 2 ואינטגרלי דיפרנציאלי חשבוןהרצאות סיכום
יוסף ארתור ד״ר מרצה:
2010 ביוני 17
לא היא (9821־1־201). חשמל להנדסת 2 בחדו״א שיעור במהלך אריאל אמנון ע״י הוקלדה זו מחברתהאישי. לשימושכם as-is מסופקת המחברת טעיות. או אי־דיוקים לכלול ועלולה הסרטוטים, כל את כוללת
לשלוח מוזמנים אתם והערות הארות http://inshort.amnon.org.il ב למצוא תוכלו מעודכנות גרסאות.a AT amnon.org.ilל־
עניינים תוכן
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אמיתיים לא אינטגרלים 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a,∞) ב רציפה פונקציה 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההשואה מבחן 1.1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המנה מבחן 1.1.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abel מבחן 1.1.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההשואה מבחן 1.2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המנה מבחן 1.2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טורים 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טלסקופי טור 2.110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טורים התכנסות 2.211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חיוביים טורים 2.311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הראשון ההשואה מבחן 2.3.112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (גבולי) השני ההשואה מבחן 2.3.212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השלישי השוואה מבחן 2.3.313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המנה) (מבחן דלמבר מבחן 2.3.414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השורש) (מבחן קושי מבחן 2.3.514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . העיבוי מבחן 2.3.615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האינטגרל מבחן 2.3.715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ראבה משפט 2.3.816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללים טורים 2.416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לייבניץ׳ מבחן 2.4.117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיריכלה משפט 2.4.217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אבל משפט 2.4.317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות של סדרות 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שווה במידה התכנסות 3.119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קושי קריטריון 3.1.120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sup קריטריון 3.1.221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולית פונקציה של רציפות 3.1.322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיני משפט 3.1.422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות טורי 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות טורי של שווה במידה התכנסות 4.127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווירשטרס משפט 4.1.128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיריכלה מבחן 4.1.228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Abel) אבל משפט 4.1.328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טורים לרציפות משפט 4.229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . איבר איבר אינטגרציה 4.330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . איבר איבר גזירה 4.432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקות טורי 4.533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שווה במידה התכנסות 4.5.134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טיילור טורי 4.5.236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורים של אלגברה 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סקלרית מכפלה 5.137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סקלרית מכפלה תכונות 5.1.137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית מכפלה 5.239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית מכפלה של תכונות 5.2.139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מעורבת מכפלה 5.340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אוקלידי מרחב 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים רב פונקציות של גבולות 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסנדוויץ׳ משפט 7.143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f : R2 → R עבור קוטביות קורדינטות 7.2
44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t הצבת 7.344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חוזרים גבולות 7.446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולות של תכונות 7.546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רציפות 7.647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נגזרות 847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חלקיות נגזרות 8.149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ורציפות דיפרנציאביליות 8.2.152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שרשרת כלל 8.353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מכוונת נגזרת 8.455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבוה מסדר נגזרת 8.555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיפרנציאל 8.657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טיילור טור 8.758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסתומה הפונקציה 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסתומה הפונקציה משפט 9.161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סתומות פונקציות של מערכות 9.263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לגרנג׳ כפולי 10.375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מימדי רב אינטגרל 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חוזר אינטגרל 11.176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כפול אינטגרל 11.280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . כפול באינטגרל משתנים החלפת 11.2.183 . . . . . . . . . . . . . . . קוטביות קורדינטות ־ משתנים החלפת 11.2.288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משולש אינטגרל 11.388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים החלפת 11.3.189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מיוחדת משתנים החלפת 11.3.289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . גליליות קורדינטות 11.3.2.192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . כדוריות קורדינטות 11.3.2.294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטוריות פונקציות 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית פונקציה של גבול 12.195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ווקטורית פונקציה של נגזרת 12.297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קשת אורך 12.398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קווי אינטגרל 1398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ראשון מסוג קווי אינטגרל 13.1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שני מסוג קווי אינטגרל 13.2104 . . . . . . . . . . . . . . . האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משמר שדה 13.4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משטחי אינטגרל 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משתנים 2 של ווקטורית פונקציה 14.1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . למשטח נורמל מציאת 14.1.1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משטח של פנים שטח 14.2112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I מסוג משטחי אינטגרל 14.3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II מסוג משטחי אינטגרל 14.4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (גאוס) דיברגנץ משפט 14.5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סטוקס משפט 14.6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R3 ב משמר שדה 14.7
אמיתיים לא אינטגרלים 1yusupoa�yahoo. om דוא״ל:12:00־10:00 ב׳ יוב קבלה: שעות
למתמטיקה בניין ,311 חדרספרים:
קון בן־ציון .1מייזלר .2
אמיתיים לא אינטגרלים 1
אמיתיים לא אינטגרלים של סוגים שני
(a,∞) ב רציפה פונקציה .1
∞
a
f (x) dx
שני מסוג רציפות אי נקודות יש אבל סופי, תחום .2
1ˆ
0
1
xdx
(a,∞) ב רציפה פונקציה 1.1
1.1 הגדרה∞
a
f (x) dx = limb→∞
bˆ
a
f (x) dx
מתבדר. שהאינטגרל נאמר סופי אין הוא השטח אם מתכנס, שהאינטגרל נאמר סופי, ערך מקבל האינטגרלל אם
דוגמא:∞
1
1
1 + x2dx
לגבול נעבור ההגדרה, לפי ערכו? ומהו מתבדר, או מתכנס האינטגרל האם
∞
1
1
1 + x2dx = lim
b→∞
bˆ
1
1
1 + x2dx
= limb→∞
arctanx|b1= lim
b→∞arctan b− arctan 1
=π
2− π
4=
π
4
לאין־סוף הכוונים בשני ששואף אינטגרל ויש במידה
∞
−∞
6= limb→∞
bˆ
−b4
אמיתיים לא אינטגרלים 1 (a,∞) ב רציפה פונקציה 1.1
חלקים: לשני האינטגרל את לחלק זה לעשות שיש מה
∞
−∞
=
aˆ
−∞
+
∞
a
דוגמא:
I =
∞
1
1
xpdx, p ∈ R
אז שלילי p שאם ברור מתברר? או מתכנס האינטגרל האם
limx→∞
1
xp= +∞
מתבדר. I אזאז p = 0 אם
limx→∞
1
1= 1
מתבדר. I אזp > 0 כאשר נבדוק
∞
1
1
xpdx = lim
a→∞
aˆ
1
1
xpdx
p = 1 אם
lima→∞
aˆ
1
1
xpdx = lim
a→∞lnx|a1
= lima→∞
ln a = +∞
p 6= 1 אם
lima→∞
aˆ
1
1
xpdx = lim
a→∞
aˆ
1
x−pdx
= lima→∞
x−p+1
−p+ 1
∣∣∣∣
a
1
= lima→∞
a1−p
1− p− 1
1− p
=
{
+∞ 0 < p < 11
p−1 < ∞ p > 1
התוצאות: את נסכם
a > 0,
∞
a
1
xpdx =
{
mitbader p ≤ 1
mitkanes p > 15
(a,∞) ב רציפה פונקציה אמיתיים1.1 לא אינטגרלים 1
מתכנס.´∞a
|f (x)| dx אם בהחלט מתכנס נקרא´∞a
f (x) dx 1.2 הגדרה
מתכנס.´∞a
f (x) dx אז בהחלט, מתכנס´∞a
f (x) dx אם 1.3 משפט
מתבדר? או מתכנס´∞1
e−x sinxdx האם דוגמא:
בקטע 0 ≤ g (x) ≤ f (x) ש כך [a, b] בקטע אינטגרביליות פונקציות f, g האינטגרל) (מונוטוניות 1.4 משפטאזי x ∈ [a, b]
bˆ
a
g (x) dx ≤bˆ
a
f (x) dx
ההשואה מבחן 1.1.1
([1,∞) בקטע והילך מסויים ממקום x ש גם לומר (ניתן [1,∞) בקטע x לכל 0 ≤ g (x) ≤ f (x) 1.5 משפט
מתבדר. גם´∞1
f (x) dx אזי מתבדר´∞1
g (x) dx .1
מתכנס. גם´∞1
g (x) dx אזי מתכנס´∞1
f (x) dx .2
דוגמא:
.1
∞
3
8x2 + 3x− sinx
x5 + 4x+ 1dx
p > 1 כאשר 1xp ש יודעים אנחנו הקודמת הדוגמא ולפי 8x2
x5 = 8x3 ל דומה שהביטוי לראות יכולים אנחנו
מתכנסת יותר גדולה פונקציה מחפשים אנחנו ולכן מתכנס,
8x2 + 3x− sinx
x5 + 4x+ 1≤ 8x2 + 3x+ x2
x5
=12x2
x5= 12 · 1
x3
ההשואה מבחן לפי לכן p = 3 > 1 כי מתכנס 12´∞3
1x3 dx ש יודעים אנחנו
∞
3
8x2 + 3x− sinx
x5 + 4x+ 1dx
מתכנס
(א)
∞
1
e−x sinxdx
האינטגרל על נסתכל
∞
1
∣∣e−x sinx
∣∣ dx
6
אמיתיים לא אינטגרלים 1 חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.2
ש יודעים אנחנו
∣∣e−x sinx
∣∣ ≤ e−x
≤ 1
x2, ∀x ≥ 3
´∞3 |e−x sinx| dx ההשואה מבחן ⇐לפי מתכנס
´∞3
1x2 dx ש יודעים אנחנו p = 2 > 1 בגללבהחלט. מתכנס
´∞3 e−x sinxdx ⇐ מתכנס
המנה מבחן 1.1.2
ש כך [a,∞) בקטע אינטגרביליות g ו f יהיו המנה) (מבחן 1.6 משפט
limx→∞
f (x)
g (x)= L
יחד. גם מתבדרים או מתכנסים´∞a
g (x) dx ו´∞a
f (x) dx אז 0 < L < ∞ אם .1
מתכנס.´∞a
f (x) dx אז מתכנס´∞a
g (x) dx אם L = 0 .2
מתכנס.´∞a
g (x) dx אז מתכנס´∞a
f (x) dx ו L = ∞ .3Abel מבחן 1.1.3
אז [a,∞) ב חסומה g (x) ו מתכנס´∞a
f (x) dx (∞,a]ו בקטע אינטגרבילית f :Abel מבחן 1.7 משפט∞
a
f (x) g (x) dx
מתכנסת.´∞1 e−x sinxdx גם אבל מבחן לפי ולכן מתכנסת.
´∞1 e−xdx חסומה, sinx פה .
´∞1 e−x sinxdx לדוגמא:
מתכנס.
חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.2
1ˆ
0
1
xdx = lim
a→0+
1ˆ
a
1
xdx
חלקים לשני האינטגרל את נחלק הקטע, באמצע נמצאת הבעייתית והנקודת במידה
1ˆ
−1
1
xdx =
0ˆ
−1
+
1ˆ
0
= limb→0−
bˆ
−1
1
xdx+ lim
a→o+
1ˆ
a
1
xdx7
חסומות לא פונקציות עבור אמיתי לא אינטגרל 1.2 אמיתיים לא אינטגרלים 1
ההשואה מבחן 1.2.1
0 ≤ g (x) ≤ ו (a, b] בקטע רציפות f, b ו limx→a+ f (x) = +∞ ו limx→a+ g (x) = +∞ אם 1.8 משפטו f (x)
מתכנס.´ b
ag (x) dx אזי מתכנס
´ b
af (x) dx .1
מתבדר.´ b
af (x) dx אזי מתבדר
´ b
ag (x) dx .2
המנה מבחן 1.2.2
ש כך [a,∞) בקטע אינטגרביליות g ו f יהיו המנה) (מבחן 1.9 משפט
limx→a+
f (x)
g (x)= L
יחד. גם מתבדרים או מתכנסים´∞a
g (x) dx ו´∞a
f (x) dx אז 0 < L < ∞ אם .1
מתכנס.´∞a
f (x) dx אז מתכנס´∞a
g (x) dx אם L = 0 .2
מתכנס.´∞a
g (x) dx אז מתכנס´∞a
f (x) dx ו L = ∞ .3
דוגמא:
1ˆ
0
1
xp=
{
mitbader p ≥ 1
mitkanes 0 < p < 1
בבית. להוכיח
דוגמאות:
.1
2ˆ
1
dx
x ln x= lim
a→1+
2ˆ
a
dx
x ln x
=
∣∣∣∣
t = lnxdt = 1
xdx
∣∣∣∣
= lima→1+
ln |t||ln 2lna
= lima→1+
ln |ln 2| − ln |ln a| = +∞
מתבדר. ולכן
.2
1ˆ
0
√x(1 + sin2 x
)
xdx
√x(1 + sin2 x
)
x≤ 2
√x
x=
2√x
מתכנס.´ 1
0
√x(1+sin2 x)
xdx ההשואה מבחן ולפי p = 1 < 1 כי מתכנס
´ 1
02√xdx 8אינטגרל
טורים 2
טורים 2
a1, a2, . . . , an, . . . מספרים סדרת תהיה (טור) 2.1 הגדרה
s1 = a1
s2 = a1 + a2
sn = a1 + a2 + · · ·+ an =
n∑
i=1
ai
טור נקרא sn לסכום
sn (טור) לסדרה גבול נגדיר 2.2 הגדרה
limn→∞
sn = s =∞∑
n=1
an
מתבדר. שהטור נאמר אחרת מתכנס שהטור נאמר אז קיים, הגבול אם
דוגמא:
1 + q + q2 + q3 + · · ·+ qn .1
sn =a1 (q
n − 1)
q − 1=
qn − 1
q − 1
limn→∞
sn = limn→∞
qn − 1
q − 1
=
{1
1−q|q| < 1
mitbader |q| ≥ 1
1,−1, 1,−1, . . . .2
1 +−1 + 1 +−1 + . . . =
{
0 n zugi
1 n ei zugi
∄ limn→∞
Sn
טלסקופי טור 2.1∑∞
n=1 (an+1 − an) טלסקופי) (טור 2.3 הגדרה
sn = (�a2 − a1) + (�a3 − �a2) + · · ·+ (an+1 − �an) = an+1 − an
דוגמא:
מתבדר או מתכנס הטור האם∑∞
n=21
n(n−1) .1
1
n (n− 1)=
1
n+ 1− 1
n9
טורים התכנסות טורים2.2 2
כך: הטור על להסתכל יכולים אנחנו לכן
∞∑
n=2
(1
n− 1− 1
n
)
sk =k∑
n=1
1
n− 1− 1
n
=
(1
1−
���1
2
)
+
(
���1
2−
���1
3
)
+ · · ·+(
���1
k − 2−���1
k − 1
)
+
(
���1
k − 1− 1
k
)
= 1− 1
k
k→∞−→= 1
טורים התכנסות 2.2
∀ε > 0, ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ ⇐⇒ מתכנס∑∞
n=1 an טורים) להתכנסות קושי (קריטריון 2.4 משפטN |an + · · ·+ an+p| < ε
קושי קריטריון ע״פ מתכנסת. {Sn} סדרת ז״א , ∃ limn→∞ Sn = S ⇐ מתכנס∑∞
n=1 an (⇐) הוכחה:לסדרות:
∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ N |Sn+p − Sn| < ε
ש נובע מכאן
|an + · · ·+ an+1| < ε
הפוך. בדיוק (⇒)דוגמא:
מתבדר שהטור נוכיח ,∑∞
n=11n.1
|an+1 + · · ·+ an+p|p=n
↓
=
∣∣∣∣
1
n+ 1+ · · ·+ 1
2n
∣∣∣∣
≥ n · 1
2n=
1
2
מתאים. שלא ∃ε כלומר
אז מתכנס∑∞
n=1 an הטור אם טור) להתכנסות הכרחי (תנאי 2.5 משפט
limn→∞
an = 0
מתכנס. בהכרח לא הטור 0 ל שואפת הסדרה אם
מתבדר∑∞
n=1 an אז ∄ limn→∞ an או ∃ limn→∞ an 6= 0 אם 2.6 מסקנה
limn→∞ Sn−1 = ש וידוע , an = Sn−Sn−1 נגדיר . ∃ limn→∞ Sn = S ⇐ מתכנס∑∞
n=1 an נתון הוכחה:ש נובע מכאן .limn→∞ Sn = S
limn→∞
an = limn→∞
Sn − limn→∞
Sn−1 = S − S = 0
10
טורים 2 חיוביים טורים 2.3
ש ידוע .∑∞
n=1
(1 + 1
n
)nדוגמא:
limn→∞
(
1 +1
n
)n
= e 6= 0
מתבדר. הטור לכן
אזי מתכנסים∑∞
n=1 bn ו∑∞
n=1 an אם 2.7 משפט
.1∞∑
n=1
c · bn = c
∞∑
n=1
bn
מתכנס
.2∞∑
n=1
an ± bn
מתכנס
חיוביים טורים 2.3
∀n, an ≥ 0 אם חיובי נקרא∑∞
n=1 an טור 2.8 הגדרה
הראשון ההשואה מבחן 2.3.1
מסויים n מ bn ≤ an ש כך חיוביים טורים∑∞
n=1 bn ו∑∞
n=1 an יהיו הראשון) ההשואה (מבחן 2.9 משפטואילך.
מתכנס∑∞
n=1 bn אז מתכנס∑∞
n=1 an הטור אם .1
מתבדר.∑∞
n=1 an אז מתבדר∑∞
n=1 bn אם .2
Bn =∑n
i=1 bi כן כמו .An =∑n
i=1 ai כאשר limn→∞ An = A אז מתכנס∑∞
n=1 an הטור אם הוכחה:מתכנס.
∑∞n=1 bn לכן מתכנסת Bn לכן An ע״י מלעיל חסומה Bn והסדרה יורדת. לא מונוטונית סדרה
מתבדרים? או מתכנסים הטורים האם דוגמא:∑∞
i=11n2 .1
1
n2≤ 1
n (n− 1)∑∞
n=11n2 הטור גם השוואה מבחן לפי ולכן מתכנס,
∑∞n=1
1n(n−1) הטלסקופי שהטור כבר הראנו
∑∞n=1
n!nn .2
n!
nn=
1 · 2 · . . . · nn · n · . . . · n ≤ 2
n2
מתכנס.∑∞
n=1n!nn ההשואה מבחן ע״פ ולכן מתכנס
∑∞n=1
2n2 הקודם התרגיל סמך על
∑∞n=1
1√n(n+1)
.3
1√
n (n+ 1)≥ 1√
(n+ 1) (n+ 1)=
1
n+ 1
מתבדר.∑∞
n=11√
n(n+1)גם ההשואה מבחן ע״פ ולכן מתבדר
∑∞n=1
1nשהטור היום 11והראנו
חיוביים טורים 2.3 טורים 2
(גבולי) השני ההשואה מבחן 2.3.2
ש כך חיוביים טורים∑∞
n=1 bn ו∑∞
n=1 an יהיו (גבולי)) השני ההשואה (מבחן 2.10 משפט
limn→∞
anbn
= k
מתכנס∑∞
n=1 bn ⇐⇒ מתכנס∑∞
n=1 an ) יחד גם מתבדרים או מתכנסים הטורים שני אז 0 < k < ∞ אם .1(
מתכנס.∑∞
n=1 bn אז מתכנס∑∞
n=1 an אם k = ∞ .2
מתכנס.∑∞
n=1 an אז מתכנס∑∞
n=1 bn אם k = 0 .3∣∣∣an
bn− k∣∣∣ < ε מתקיים n > N לכל ש כך N > 0 קיים ε > 0 לכל לכן limn→∞
an
bn= k ש נתון הוכחה:
−ε < an
bn− k < ε
−εbn < an − kbn < εbn
bn (k − ε) < an < bn (k + ε)
(מתבדר). מתכנס∑∞
n=1 an גם הראשון השוואה מבחן ע״פ אז (מתבדר) מתכנס∑∞
n=1 bn אם .k > ε > 0 נבחר
דוגמאות:∑∞
n=1
∣∣sin
(2n
)∣∣ .1
limn→∞
∣∣sin
(2n
)∣∣
2n
= 1
מתבדר.∑∞
n=1
∣∣sin
(2n
)∣∣ שני, השוואה מבחן ע״פ ולכן מתבדר, הרמוני טור
∑∞n=1
1nהטור
∑∞n=1 1− cos
(1n
).2
cos (2x) = 1− 2 sin2 x
1− cos (2x) = 2 sin2 x
∞∑
n=1
1− cos
(1
n
)
= 2∞∑
n=1
sin2(
1
2n
)
sin2(
12n
)
1n2
=sin(
12n
)· sin
(12n
)
4 · 12n · 1
2n
n→∞−→ 1
4
מתכנס.∑∞
n=1 1− cos(1n
)השני השוואה מבחן לפי אז מתכנס
∑∞n=1
1n2 ש ובגלל
השלישי השוואה מבחן 2.3.3
ש כך חיוביים טורים∑∞
n=1 bn ו∑∞
n=1 an יהיו שלישי) השוואה (מבחן 2.11 משפט
an+1
an≤ bn+1
bn, ∀n
מתכנס∑∞
n=1 an אז מתכנס∑∞
n=1 bn אם .1
מתבדר∑∞
n=1 bn אז מתבדר∑∞
n=1 an אם .212
טורים 2 חיוביים טורים 2.3
ש נתון הוכחה:
a2a1
≤ b2b1
a3a2
≤ b3b2...
an+1
an≤ bn+1
bn
נקבל בסוף בשלישי. ואז ובשני, הראשון האיבר את נכפיל
ana1
≤ bnb1
ולכן מתכנס∑∞
n=1an
a1ראשון השוואה מבחן וע״פ מתכנס
∑∞n=1
bnb1
= 1b1
∑∞n=1 bn אז מתכנס
∑∞n=1 bn אם
מתבדר.∑∞
n=1 an אם דבר אותו מתכנס.∑∞
n=1 an
המנה) (מבחן דלמבר מבחן 2.3.4
(המנה)) דלמבר (מבחן 2.12 משפט
מתכנס∑∞
n=1 an אז והלך מסויים n עבור an+1
an≤ q < 1 אם .1
מתבדר∑∞
n=1 an אז והלך מסויים n עבור an+1
an≥ q ≥ 1 אם .2
חלקים: לשלושה q את נחלק הוכחה:
.1
an+1
an≤ q =
qn+1
qn
מתכנס.∑∞
n=1 an שלישי השוואה מבחן וע״פ 0 < q < 1 כאשר מתכנס∑∞
n=1 qn הטור
מתבדר הטור ולכן ,0 שווה ולא קבוע, an⇐ q = 1 .2
מתכנס. לא הטור כלומר עולה, מונוטונית סדר an כלומר an+1 ≥ an⇐ q > 1 .3
∃ limn→∞an+1
an= L גבול)) עם (גרסה דלמבר (מבחן 2.13 משפט
מתכנס∑∞
n=1 an הטור אז L < 1 אם .1
מתבדר∑∞
n=1 an הטור אז L > 1 אם .2
ראבה) במבחן להיעזר מומלץ אחר, במבחן העזרו ) יודע לא L = 1 אם .3∣∣∣an+1
an− L
∣∣∣ < ε n > N שלכל כך טבעי N קיים ε > 0 לכל הוכחה:
−ε < an+1
an− L < ε
L− ε < an+1
an< L+ ε13
חיוביים טורים טורים2.3 2
L = 1− 2ε εשעבורו > 0 קיים אז 0 < L < 1 .1
an+1
an< 1− 2ε+ ε = 1− ε = q < 1
מתכנס.∑∞
n=1 an שהטור נקבל הקודמת, בגרסא דלמבר מבחן לפי לכן
דלמבר לפי∑∞
n=1n5n דוגמא:
an+1
an=
n+15n+1
n5n
=n+ 1
n· 15
n→∞−→ 1
5< 1
מתכנס.∑∞
n=1n5n לכן
השורש) (מבחן קושי מבחן 2.3.5
∃ limn→∞ n√an = L אם השורש)) (מבחן קושי (מבחן 2.14 משפט
מתכנס הטור n < 1 .1
מתבדר הטור n > 1 .2
ראבה) ממולץ אחר, למקום (ללכת יודע לא n = 1 .3
limn→∞n√nk = 1 שורש: על ידועים דבר
קושי לפי .∑∞
n=1n5n דוגמא:
limn→∞
n√an = lim
n→∞n
√n
5n
= limn→∞
n√n
5=
1
5< 1
העיבוי מבחן 2.3.6
מתכנס.∑∞
n=1 2k · a2k ⇐⇒ מתכנס
∑∞n=1 an העיבוי) (מבחן 2.15 משפט
∑∞n=10
1lnn
דוגמא:
∞∑
k=4
2k
ln (2k)=
∞∑
k=4
2k
k ln 2
=1
ln 2
n∑
k=4
2k
k
limk→∞
k
√
2k
k= lim
k→∞
2k√k= 2 > 1
∑∞n=10
1lnn
העיבוי מבחן ע״פ ולכן מתבדר,∑∞
k=42k
ln(2k) השורש מבחן ע״ע ולכן מתבדר,∑∞
n=12k
kלכן
מתבדר.
14
טורים חיוביים2 טורים 2.3
האינטגרל מבחן 2.3.7
נגדיר האינטגרל) (מבחן 2.16 משפט
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
f (n)
∞
1
f (x) dx ⇐⇒ מתכנס∑∞
n=1 an הטור . x ≥ 1 עבור עולה לא ומונוטונית חיובית פונקציה היא f (x)
מתכנס.
האינטגרל: מבחן לפי .x ≥ 10 לכל יורדת מונוטונית f (x) = 1x lnx
הפונקציה .∑∞
n=101
n lnnדוגמא:
∞
10
1
x lnxdx = lim
a→∞
aˆ
10
1
x lnxdx
=
∣∣∣∣
t = lnxdt = 1
xdx
∣∣∣∣
= lima→∞
lnaˆ
ln 10
1
tdt
= lima→∞
ln |t||ln aln 10
= lima→∞
ln |ln a| − ln |ln 10| = +∞
הוכחה: מתבדר∑∞
n=101
n lnnהטור גם האינטגרל מבחן וע״פ מתבדר, האינטגרל כלומר
ak+1 = f (k + 1) ≤k+1ˆ
k
f (x) dx ≤ f (k) = ak
n∑
k=1
ak+1 ≤n∑
k=1
k+1ˆ
k
f (x) dx ≤n∑
k=1
ak
Sn − a1 + an+1 ≤n+1ˆ
1
f (x) dx ≤ Sn (1)מתכנס.
´∞1 f (x) dx ⇐⇒ מתכנס
∑an ש להוכיח רוצים
מתכנס.´∞1
f (x) dx נובע מכאן , ∞→limnקיים Sn כלומר∑
an נתון .(1) ב n → ∞ את נשאיף ⇐מתכנס.
∑an ש נובע מכאן limn→∞ Sn קיים אז a1 ≥ an+1 ו n → ∞ כאשר מתכנס
´∞1 f (x) dx ⇒אם
ראבה משפט 2.3.8
אז: limn→∞ n(
an
an+1−1
)
= L קיים אם חיובי. טור∑
an יהיה ראבה) (משפט 2.17 משפט
מתכנס. טור ־ L > 1 .1
מתבדר. טור ־ L < 1 .2
15
כללים טורים טורים2.4 2
כללים טורים 2.4
מתכנס.∑ |sn| אם בהחלט מתכנס נקרא
∑an הטור כללי. טור
∑an יהיה 2.18 הגדרה
בהחלט. מתכנס∑ (−1)n
n2 ⇐ מתכנס∑∣∣∣(−1)n
n2
∣∣∣ =
∑1n2 .
∑∞n=1
(−1)n
n2 = −1 + 122 − 1
32 + . . . דוגמא:
מתכנס.∑
an אז בהחלט, מתכנס∑
an אם 2.19 משפט
מתכנס.∑ |an| כלומר בהחלט, מתכנס
∑an הוכחה:
∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀0 < p ∈ N ||an|+ · · ·+ |an+p|| = |an|+· · ·+|an+p| < ε קושי קריטריון לפיש להוכיח מסיפק .
∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀0 < p ∈ N |an + · · ·+ an+p| < ε
קושי. קריטריון לפי
|an + · · ·+ an+p| ≤ |an|+ · · ·+ |an+p| < ε
דוגמא:
בהחלט: התכנסות נבדוק מתכנס. או בהחלט מתכנס∑∞
n=10(−1)n
n ln2 nהאם .1
עולה. לא מונוטונית פונקציה f (x) = 1x ln2 x
האינטגרל: מבחן לפי א׳: דרך (א)
∞
10
1
x ln2 xdx = lim
a→∞
aˆ
10
1
x ln2 xdx
=
∣∣∣∣
t = lnxdt = 1
xdx
∣∣∣∣
= lima→∞
ln aˆ
ln 10
1
t2dt
= lima→∞
−1
t
∣∣∣∣
ln a
ln 10
< ∞
בהחלט. מתכנס∑∞
n=10(−1)n
n ln2 n⇐ מתכנס
∑1
n ln2 n⇐ מתכנס כלומר
העיבוי: מבחן ב׳: דרך (ב)
∞∑
k=10
2k
2k · ln2 (2k)=
∞∑
k=10
1
(k ln 2)2
=1
ln2 2·
∞∑
k=10
1
k2< ∞
לייבניץ׳ מבחן 2.4.1∑
an אבל בהחלט) מתכנס לא∑
an (הטור מתבדר∑ |an| אם בתנאי מתכנס נקרא
∑an הטור 2.20 הגדרה
מתכנס.
כלומר מתכנס.∑ (−1)n
nכי בהמשך נראה מתבדר.
∑∣∣∣(−1)n
n
∣∣∣ =
∑1nכי בהחלט מתכנס לא
∑ (−1)n
nדוגמא:
בתנאי. מתכנס∑ (−1)n
n
16
פונקציות של סדרות 3
אם: . an ≥ 0 כאשר∑∞
n=1 (−1)n+1 · an טור יהי לייבניץ׳) (מבחן 2.21 משפט
יורדת מונוטונית סדרה an .1
limn→∞ an = 0 .2
מתכנס.∑
(−1)n+1 · an אז
סדרה S2n ש להגיד ניתן כלומר , S2n = (a1 − a2)↑
>0
+(a3 − a4)↑
>0
+(a5 − a6)↑
>0
+ · · ·+(a2n−1 − a2n)↑
>0
הוכחה:
עולה. מונוטוניתסדרה S2n ולכן S2n ≤ a1 כלומר S2n = a1 − (a2 − a3)
︸ ︷︷ ︸
<0
− (a4 − a4)︸ ︷︷ ︸
<0
− . . .− (a2n−2 − a2n−1)︸ ︷︷ ︸
<0
−a2n
מתכנסת. S2n הסדרה נובע מכאן וחסומה עולה מונוטונית.∃ limn→∞ Sn = S⇐ S2n−1 → S כלומר S2n−1 = S2n
↑
→S
− a2n↑
→0
דיריכלה משפט 2.4.2
אם:∑
anbn טור יהיה דיריכלה) (משפט 2.22 משפט
מונוטונית. an הסדרה .1
limn→∞ an = 0 .2
(Sn = b1 + · · ·+ bn כאשר ∀n ∃M > 0, |Sn| < M (ז״א חסומים∑
bn של החלקיים הסכומים כל .3
מתכנס.∑
anbn הטור אז
אבל משפט 2.4.3
אם:∑
anbn טור יהיה אבל) (משפט 2.23 משפט
וחסומה מונוטונית סדרה an .1
מתכנס∑
bn .2
מתכנס.∑
anbn אז
פונקציות של סדרות 3
איברים שני בין האיברים כל ) וקשירה השפה1) ללא (קבוצה פתוחה קבוצה D אם תחום נקרא D 3.1 הגדרה.( לקבוצה שייכים בקבוצה
פונקציות סדרת תקרא f1 (x) , . . . , fn (x) . . . .x ∈ D לכל מוגדרות fn (x) תחום. D ⊆ R יהי 3.2 הגדרה.D ב
D = [0, 1] דוגמא:
fn (x) = xn n→∞−−−−→
=f(x)︷ ︸︸ ︷{
0 0 ≤ x < 1
1 x = 1
הקבוצה של 1הגבול
17
שווה במידה התכנסות 3.1 פונקציות של סדרות 3
רציפה. לא הגבולית הפונקציה אבל ,n לכל רציפה xn שהפונקציה לב לשים יש 3.3 הערה
limx→x0 fn (x0) = ונסמן מתכנסת { fn (x0) } אומרים אז f (x0) ל מתכנסת {fn (x0)} מספרים סדרת אם 3.4 הגדרהגבולית. פונקציה נקראת f ו f (x0)
דוגמא:
fn (x) =(1 + x
n
)n, x ∈ R .1
fn (x) =(
1 +x
n
)nn→∞−−−−→ ex = f (x)
E = R
הגבולית. הפונקציה היא f (x) = ex הפונקציה
הסדרה של ההתכנסות תחום נקראת limx→x0 fn (x) גבול קיים שעבורן x0 ∈ D הנקודות אוסף 3.5 הגדרה.E ב אתו ונסמן
של הגבול את f ב נסמן .D ב פונקציות סדרת {fn (x)} 3.4)תהי להגדרה: חלופית (הגדרה 3.6 הגדרהבנקודות פונקציות סדרת של (הגבול גבולית פונקציה נקראת f .x0 ∈ E עבור ∃ limn→∞ fn (x) = f (x)
ההתכנסות).
דוגמא:
fn (x) =1
1+nx, 0 ≤ x ≤ 1 .1
fn (x) =1
1 + nx
n→∞−→{
0 0 < x ≤ 1
1 x = 0
D = E = [0, 1] כאן
fn (x) =1
x2+n, x ∈ R .2
fn (x)n→∞−→ 0
מתקיים x ∈ E ולכל n > N שלכל כך N (ε, x) קיים ε > 0 לכל fn (x)n→∞−→ f של ההגדרה ע״פ
.|fn (x) − f (x)| < ε
שווה במידה התכנסות 3.1
אם E ב f ל שווה במידה מתכנסת {fn (x)} .E ב fn (x)n→∞−−−−→ f תהי 3.7 הגדרה
∀ε > 0
only epsilon↓
∃N (ε) > 0, ∀n > N ∀x ∈ E, , |fn (x)− f (x)| < ε
שווה? במידה מתכנסת f (x) האם fn (x) =nx
1+n2x2 ,102 ≤ x ≤ 1 דוגמא:
fn (x)n→∞−→ 018
פונקציות של סדרות 3 שווה במידה התכנסות 3.1
.x ב ולא εב ורק אך תלוי N ש להראות צריל שווה, במידה מתכנסת שהפונקציה להראות כדיε > 0 יהיה
∣∣∣∣
nx
1 + n2x2− 0
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
nx
1 + n2x2
∣∣∣∣
≤ nx
n2x2
=1
nx,
(1
2≤ x ≤ 1
)
≤ 2
n< ε
מתקיים x ∈[12 , 1]ולכל n > N שלכל כך N =
[ε2
]> 0 קיים ε > 0 לכל לכן , n = 2
εואז 2
n= ε לכן
|fn (x) − f (x)| < ε
שווה. במידה מתכנס הוא כלומר0 ≤ x ≤ 1 ל התחום את נשנה
fn (x)n→∞−−−−→ 0
∣∣∣∣
nx
1 + n2x2− 0
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
nx
1 + n2x2
∣∣∣∣
נגדיר
fn =nx
1 + n2x2
f ′n =
n(1 + n2x2
)− nx
(n22x
)
(1 + n2x2)2
n+ n2x2 − 2n3x2 = 0
n− n2x2 = 0
x =
√
1
n2>
1
n
כלומר
∣∣∣∣
nx
1 + n2x2
∣∣∣∣
x= 1n
↓
≥ 1
2> ε
קושי קריטריון 3.1.1
(אם״ם) אם ורק אם E ב שווה במידה מתכנסת fn (x) קושי) (קריטריון 3.8 משפט
∀ε > 0 ∃N, ∀n > N ∀p ∈ N ∀x ∈ E, |fn+p (x) − fn (x)| < ε (2)ש נובע מכאן ,f ל שווה במידה מתכנס fn ש נתון (⇐) הוכחה:
∀ε > 0 ∃n (ε) > 0, ∀n > N ∀x ∈ E, |fn (x)− f (x)| < ε
219
שווה במידה התכנסות פונקציות3.1 של סדרות 3
|fn (x)− f (x)| = |fn+p − f (x) + f (x)− fn|≤ |fn+p − f (x)|+ |f (x) − fn|≤ ε
2+
ε
2= ε
נקבל אז 2 ב p → ∞ (⇒)
∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀x ∈ E, |f (x) − fn (x)| < ε
.f ל שווה במידה מתכנס fn נובע Supמכאן קריטריון 3.1.2
אם״ם f ל E ב שווה במידה מתכנסת fn (x) (Sup (קריטריון 3.9 משפטlimn→∞
supx∈E
|fn (x)− f (x)| = 0
כלומר ,f (x) ל שווה במידה מתכנסת fn (x) ש נתון (⇐) הוכחה:
∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N ∀x ∈ E, |fn (x)− f (x)| < ε (3)n > N שלכל כך N εקיים > 0 שלכל צ״ל
supx∈E
|fn (x)− f (x)| < ε (4).(4) מתקיים אז E ב x כל עבור נכון (3) ש מכוון
n > N שלכל כל N (ε) > 0 קיים ε > 0 לכל נתון (⇒)
supx∈E
|fn (x)− f (x)| < ε
n > N שלכל כל N (ε) > 0 קיים ε > 0 לכל אז .
|fn (x)− f (x)| ≤ supx∈E
|fn (x)− f (x)| < ε
דוגמא:
הגבולית הפונקציה את נחפש שווה? במידה מתכנס fn (x) האם fn (x) =x
1+n2x2 , 0 ≤ x ≤ 1 .1
fn (x) =x
1 + n2x2
n→∞−→ 0
את נמצא
sup0≤x≤1
∣∣∣∣
x
1 + n2x2− 0
∣∣∣∣
הפונקציה על נסתכל
gn (x) =x
1 + n2x2
g′n (x) = 0
⇓x = ± 1
n
20
פונקציות של סדרות שווה3 במידה התכנסות 3.1
ואז המקסימום. נקודת היא x = 1nכלומר
sup0≤x≤1
∣∣∣∣
x
1 + n2x2− 0
∣∣∣∣=
1n
1 + n2 · 1n2
=1
2n
n→0−→ 0
.0 ל שווה במידה מתכנסת fn ש נובע מכאן
שווה? במידה מתכנסת הפונקציה האם fn (x) = xn, 0 ≤ x ≤ 1 .2
xn →{
0 0 ≤ x < 1
1 x = 1
את נמצא
sup0≤x≤1
|xn − f | →{
|1− 1| = 0 x = 1
sup0≤x<1 |xn| = 1 6= 0 0 ≤ x < 1
שווה. במידה מתכנס fnלא כלומר
ב: שווה במידה מתכנס fn האם fn (x) =nx
1+n2x2 .3
[12 , 1](א)
fn (x) → 0 = f
sup12≤x≤1
g(x)↓∣
∣∣∣
nx
1 + n2x2− 0
∣∣∣∣
ו x = 1 נבדוק בתחום, בהכרח לא 1nש בגלל ,x = ± 1
nהן קיצון נקודות gn (x) = nx
1+n2x2 עבורלכן x = 1
2
sup12≤x≤1
∣∣∣∣
nx
1 + n2x2− 0
∣∣∣∣
x= 12
↓
=12n
1 + n2
4
=4n
2 (4 + n2)
=2n
4 + n2→ 0
שווה. במידה 0 ל שואף fn כלומר
[0, 1] (ב)
sup0≤x≤1
∣∣∣∣
nx
1 + n2x2− 0
∣∣∣∣
x= 1n
↓
=1
29 0
שווה. במידה מתכנס לא fn הזה במקרה כלומר
גבולית פונקציה של רציפות 3.1.3
.E ב רציפה f אז E ב f ל שווה במידה מתכנסת fn (x) ו E ב רציפות פונקציות {fn (x)} אם 3.10 משפט
ל שווה במידה מתכנס לא fn (x) אז E ב רציפה לא f אם E ב רציפות פונקציות {fn (x)} יהיה 3.11 מסקנה.f
21
פונקציות טורי 4
נתון: הוכחה:
כלומר x0 ∈ E ב רציפות {fn (x)} .1
∀ε > 0 ∃δ > 0, |x− x0| < δ, |fn (x) − fn (x0)| <ε
3
( x0 ∈ E לכל נכון (הדבר
כלומר: E ב f ל שווה במידה מתכנס fn (x) .2
∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N, ∀x ∈ E, |fn (x)− f (x)| < ε
3
צ״ל:
∀ε > 0 ∃ > 0, |x− x0| < δ, |f (x)− f (x0)| < ε
.x0 ∈ E לכל
|f (x) − f (x0)| = |f (x0)− fn (x) + fn (x)− fn (x0) + fn (x0)− f (x0)|≤ |f (x0)− fn (x0)|+ |fn (x)− fn (x0)|+ |fn (x0)− f (x0)|<
ε
3+
ε
3+
ε
3= ε
דיני משפט 3.1.4
[a, b] ב fn (x) → f יהי 3.12 משפט
[a, b] ב עולה לא fn .1
[a, b] ב רציפות פונקציות fn .2
.(3.10 משפט סמך על רציפה f ו ) [a, b] ב שווה במידה מתכנס fn (x) אז
פונקציות טורי 4
נגדיר ,E ב מוגדרות {fn (x)} יהיו 4.1 הגדרה∞∑
n=1
fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · ·+ fn (x) + . . .
פונקציות. טור לזה נקרא
חלקיים: סכמים נגדיר 4.2 הגדרה
S1 (x) = f1 (x)
S2 (x) = f1 (x) + f2 (x)
S3 (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x)
אז x0 ∈ E עבור מתכנס טור אם
limn→∞
Sn (x) = S (x0)
הטור. של ההתכנסות תחום נקרא מתכנס הטור שבו x0 ∈ E נקודות 22אוסף
פונקציות טורי 4
דוגמא:
הטור? של ההתכנסות תחום מהו .∑∞
n=1 xn .1
בהחלט: התכנסות נבדוק (א)
∣∣∣∣
an+1
an
∣∣∣∣=
∣∣xn+1
∣∣
|xn| = |x|
מתבדר. הטור אז x > 1 אם מתכנס. הטור אז x < 1 אם
x = 1 .i∑
1n =∑
1
מתבדר הטורx = −1 .ii
∑
(−1)n
(−1)n 9 0 כי מתבדר
נוספת: דרך (ב)
Sn (x) =x (xn − 1)
x− 1
n→∞−→
+∞ x > 1
−∞ x < −1x
1−x−1 < x < 1
? ±1
לסדרה. גבול יש −1 < x < 1 בתחום כלומר
∑∞n=1
xn
1−xn , x 6= ±1 .2
∣∣∣∣
an+1
an
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
xn+1
1− xn+1
∣∣∣∣·∣∣∣∣
1− xn
xn
∣∣∣∣
= |x| ·∣∣∣∣
1− xn
1− xn+1
∣∣∣∣
n→∞−→{
|x| |x| < 1
|x| > 1
כאשר כלומר . ±1 6= 0 ל שואפת הפונקציה אז n → ∞ כאשר כי |x| > 1 בהם הנקודות רלוונטי לאמתבדר. הטור |x| > 1 וכאשר מתכנס. הטור |x| < 1
∑∞n=1 x
n−1 · sin(n2
).3
∣∣∣xn−1 sin
(n
2
)∣∣∣ ≤
∣∣xn−1
∣∣
בהחלט מתכנס∑
xn−1 · sin(n2
)הטור ראשון השוואה מבחן לפי |x|אז < 1 עבור מתכנס
∣∣xn−1
∣∣ הטור
מתבדר. הטור לכן an 9 0 |x|אז > 1 כאשר .|x| < 1 ב
.∑∞
n=101
n ln2(nx).423
פונקציות טורי 4
( וכו׳ יורדת מונוטונית הפונקציה ) האינטגרל מבחן לפי א׳: דרך (א)
∞
10
dt
t ln2 (tx)=
∣∣∣∣
u = ln (tx)du = xdt
tx= dt
t
∣∣∣∣
= lima→∞
ln(ax)ˆ
ln(10x)
du
u2
= lima→∞
− 1
u
∣∣∣∣
ln(ax)
ln(10x)
= lima→∞
− 1
ln (ax)+
1
ln (10x)
=1
ln (10x)
העיבוי. מבחן ב׳: דרך (ב)
(השורש) קושי מבחן לפי בהחלט התכנסות נבדוק .∑∞
n=1xn
n+1 .5
n
√
|x|nn+ 1
=|x|
n√n+ 1
n→∞−−−−→ |x|
בהחלט. מתכנס∑∞
n=1xn
n+1 ⇐ מתכנס∑∞
n=1|x|nn+1 הטור |x| < 1 אם (א)
מתבדר.∑∞
n=1xn
n+1⇐ מתבדר.∑∞
n=1|x|nn+1 הטור |x| > 1 אם (ב)
x = 1 (ג)
∞∑
n=1
=
∞∑
n=1
1
n+ 1
מתבדר הרמוני טור
x = −1 (ד)
∞∑
n=1
(−1)n
n+ 1
בהחלט. מתכנס לא שהטור ברורליבניץ׳: משפט לפי בתנאי, התכנסות נבדוק
an =1
n+ 1
הטור אז an → 0 ו יורדת. מונוטונית סדרה
∑ (−1)n
n+ 1
בתנאי. מתכנס ולכן לייבניץ׳. לפי מתכנס
.−1 ≤ x < 1 הוא ההתכנסות 24תחום
פונקציות טורי פונקציות4 טורי של שווה במידה התכנסות 4.1
שני. השוואה מבחן לפי בהחלט התכנסות נבדוק .∑∞
n=1 xn−1 sin
(x2n
).6
∣∣xn−1 · sin
(x2n
)∣∣
∣∣xn−1 x
2n
∣∣
=
∣∣∣∣∣
xn−1 sin(
x2n
)
xn
2n
∣∣∣∣∣
n→∞−→ 1, (x 6= 0)
השורש מבחן לפי∑
xn
2n הטור התנהגות את נבדוק
n
√
|x|n2n
=|x|2
n→∞−→ |x|2
.(an 9 0 איבר כי בתנאי התכנסות גם תהיה (לא מתבדר טור |x| > 2 בהחלט. מתכנס טור |x| < 2 אם
x = ±2 כאשר
(±2)n
2n9 0
.|x| < 2 הוא∑∞
n=1 xn−1 sin
(x2n
)הטור של ההתכנסות תחום מתבדר. הטור ולכן
פונקציות טורי של שווה במידה התכנסות 4.1
E0 ⊆ E ב (במ״ש) שווה במידה מתכנס∑
fn (x) כי נאמר .E בתחום המתכנס∑
fn (x) יהיה 4.3 הגדרה
.E0 ב שווה במידה מתכנסים
(sn(x)=f1(x)+···+fn(x))↓
{sn (x)} חלקיים סכומים סדרת אם
ב שווה במידה מתכנס∑∞
n=1 fn (x) פונקציות) טורי של שווה במידה להתכנסות קושי (קריטריון 4.4 משפטאם״ם E0
∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N (ε) ∀p ∈ N ∀x ∈ E0,
∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n+1
fk (x)
∣∣∣∣∣< ε
אם״ם E ב שווה במידה מתכנסת Sn (x) הוכחה:
∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N (ε) ∀p ∈ N ∀x ∈ E0, |Sn+p (x)− sn (x)| < ε
ש נובע מכאן∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n+1
fk (x)
∣∣∣∣∣< ε
.E0 ב שווה במידה מתכנס∑
fn (x) אז E0 ב שווה במידה מתכנס∑ |fn (x)| אם 4.5 טענה
הוכחה:
∀ε > 0 ∃N (ε) > 0, ∀n > N (ε) ∀p ∈ N ∀x ∈ E0
∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n+1
fk (x)
∣∣∣∣∣=
n+p∑
k=n+1
|fk (x)| < ε
25
פונקציות טורי של שווה במידה התכנסות 4.1 פונקציות טורי 4
אם״ם E0 ב שווה במידה מתכנס∑∞
n=1 fn (x) 4.6 מסקנה
supx∈E0
|rn (x)| n→∞−−−−→ 0
הטור). של (השארית rn (x) =∑∞
k=n+1 fn (x) כאשר
נתון בקטע שווה במידה מתכנסים הטורים האם דוגמא:∑∞
n=1(−1)n+1
x+2n , x ≥ 0 .1
x > 0 כל עבור מתבדר∑ 1
x+2n הטור (א)
1
3n≤ 1
x+ 2n
השוואה. מבחן לפי מתבדר∑ 1
x+2n הטור ולכן מתבדר,∑ 1
3n הטור
לייבניץ׳: מבחן לפי (ב)
an (x) =1
x+ 2n
ו x ≥ 0 לכל יורדת מונוטונית סדרה היא
an (x)n→∞−→ 0
בתנאי. מתכנס∑ (−1)n+1
x+2n ש נובע מכאן
.x ≥ 0 עבור מתכנס הטור לכן
אז יורדת מונוטונית וסדרה an → 0 אם (2.21 (משפט לייבניץ׳ ממשפט 4.7 מסקנהמתכנס הטור (א)
.rn =∑∞
k=n+1 (−1)n+1 an כאשר |rn| ≤ an+1 (ב)
סופרנום נבדוק
supx>0
∣∣∣∣∣
∞∑
k=n+1
(−1)k+1
x+ 2k
∣∣∣∣∣
≤ supx≥0
1
x+ 2 (n+ 1)
≤ 1
2n+ 2
n→∞−→ 0
.x > 0 עבור שווה במידה מתכנס הטור 4.6 מסקנה לפי∑
3n sin(
14nx
), x > 0 .2
בהחלט התכנסות נבדוק (א)∣∣3n sin 1
4nx
∣∣
∣∣3n · 1
4nx
∣∣
n→∞−→ 1
הטור∞∑
n=1
(3
4
)n1
x=
1
x
∞∑
n=1
(3
4
)n
בהחלט מתכנס∑
3n sin 14nx הטור ולכן מתכנס
∑(34
)n 1xהטור לכן מתכנס,
∑(34
)nוהטור
שני. השוואה מבחן לפי x > 0 26עבור
פונקציות טורי פונקציות4 טורי של שווה במידה התכנסות 4.1
.x > 0 כאשר שווה במידה יתכנס לא שהטור נראה (ב)קושי קריטריון לפי
∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n+1
3k sin1
4nx
∣∣∣∣∣
x= 14n
↓
=
∣∣∣∣3n+1 sin
4n
4n+1+ 3n+2 sin
4n
4n+2+ · · ·+ 3n+p sin
4n
4n+p
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣3n+1 sin
1
4+ 3n+2 sin
(1
42
)
+ · · ·+ 3n+p sin1
4p
∣∣∣∣
≥ p · 3n+1 sin1
4> ε
שווה. במידה מתכנס לא הטור כלומר
ווירשטרס משפט 4.1.1
מתכנס∑∞
n=1 an ו (∀x ∈ E0 ⊆ E) n לכל fn (x) ≤ an אם .E ב מתכנס∑∞
n=1 fn (x) טור יהי 4.8 משפט(E0 (ב שווה במידה מתכנס
∑∞n=1 fn (x) הטור אז
צ״ל הוכחה:
∀ε > 0, ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ E0,
∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n+1
fk (x)
∣∣∣∣∣< ǫ
שווה. במידה פונקציות טורי להתכנסות קושי קריטריון לפי∣∣∣∣∣
n+p∑
k=n+1
fk (x)
∣∣∣∣∣
≤n+p∑
k=n+1
|fk (x)|
|fk(x)|<ak↓
≤n+p∑
k=n+1
ak < ǫ
חיוביים. טורים להתכנסות קושי קריטריון ע״פ
דוגמא:∑∞
n=1sin(nx)
n3 .1
|sin (nx)|n3
≤ 1
n3
.∀x שווה במידה מתכנס ∑∞n=1
sin(nx)n3 הטור ווירשטרס מבחן לפי ⇐ מתכנס
∑ 1n3
לכן ln (1 + x) ≤ x ש יודע .|x| < a עבור∑∞
n=2 ln(
1 + x4
n ln2 n
)
.2
ln
(
1 +x4
n ln2 n
)
≤ x4
n ln2 n
≤ a4
n ln2 n
שווה במידה מתכנס∑
ln(
1 + x4
n ln2 n
)
הטור ווירשטרס מבחן לפי ⇐ מתכנס2 a4∑ 1
n ln2 nש ידוע
.|x| < a בקטע
האינטגרל מבחן או העיבוי מבחן לפי להוכיח 2ניתן
27
טורים לרציפות משפט 4.2 פונקציות טורי 4
דיריכלה מבחן 4.1.2
Bn (x) כאשר ) x ∈ E0 ⊆ E1 לכל |Bn (x)| < M אם .E1 ב מתכנס∑∞
n=1 an (x) bn (x) יהי 4.9 משפטשווה במידה ומתכנסת מונוטונית {an (x)} וסדרה ( Bn (x) =
∑nk=1 bk (x) ־ bn (x) של חלקיים סכומים זה
.E0 ב שווה במידה מתכנס∑∞
n=1 an (x) bn (x) הטור אז .E0 ב 0 ל
(Abel) אבל משפט 4.1.3
an (x) ו E0 ⊆ E1 ב שווה במידה מתכנס∑
bn (x) אם .E1 ב מתכנס∑∞
n=1 an (x) bn (x) יהי 4.10 משפטב שווה במידה מתכנס
∑an (x) bn (x) ש נובע מכאן (∀x ∈ E0 ,|an (x)| ≤ M ) במשותף וחסומה מונוטונית
.E0
דוגמא:
נבחר .∑∞
n=1(−1)n
(2n−1)nx , x > 0 .1
an (x) =1
nx
bn (x) =(−1)
n
2n− 1
x ב תלויה (לא קבועה bn (x) פונקציה שסדרת מכוון לייבניץ). מבחן (לפי בתנאי מתכנס bn (x) הטורחסומה an (x) יורדת מונוטוית סדרה היא an (x) .x > 0 עבור שווה במידה מתכנס bn (x) הטור אז (
.x > 0 כאשר שווה במידה מתכנס∑∞
n=1(−1)n
(2n−1)nx הטור אבל מבחן לפי ולכן M = 1 על־ידי
טורים לרציפות משפט 4.2∑∞
n=1 fn (x) והטור E ב רציפה {fn (x)} פונקציות סדרת אם .S (x) =∑∞
n=1 fn (x) יהי 4.11 משפט.E ב רציפה S (x) אז E ב S (x) ל שווה במידה מתכנס
אז |x− x0| < δ, x, x0 ∈ E שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 שלכל להוכיח מספיק הוכחה:
|S (x)− S (x0)| < ε
לכל ש נובע מכאן .∀n ,x ∈ E לכל רציפה פונקציה Sn (x) = f1 (x) + · · ·+ fn (x) ⇐ רציפות {fn} נתון:|Sn (x)− Sn (x0)| < 3ε אז |x− x0| < δ, x, x0 ∈ E שאם כך δ > 0 קיים ε > 0
.|rn (x)| < ε3 ש כך x ∈ E0 קיים n > N שלכל כך N קיים ε > 0 לכל ⇐ במ״ש מתכנס
∑fn (x)ש ברור
S (x) = Sn (x) +Rn (x)
n > N ויהי ε > 0 יהיה∣∣S (x)− S
(x)
)∣∣ = |Sn (x) +Rn (x) − (Sn (x0) +Rn (x0)|
≤ |Sn (x)− Sn (x0)|+ |rn (x)|+ |rn (x0)|≤ ε
3+
ε
3+
ε
3= ε
E ב רציפה לא S (x) ו E ב רציפה {fn (x)} פונקציות סדרת אם .S (x) =∑∞
n=1 fn (x) יהי 4.12 מסקנהשווה. במידה מתכנס לא
∑fn (x) הטור אז
28דוגמא:
פונקציות טורי 4 איבר איבר אינטגרציה 4.3
.x לכל רציפה S (x) צ״ל . S (x) =∑∞
n=1n2x
1+n7x2 .1
.x לכל רציפות fn (x) =n2x
1+n7x2
f ′n (x) =
n2(1 + n7x2
)− n2x
(2xn7
)
(1 + n7x2)2 = 0
n2 + n9x2 − 2x2n9 = 0
n2 = x2n9
x2 = n−7
x = ± 1√n7
xmax =1√n7
∣∣∣∣
n2x
1 + n7x2
∣∣∣∣
x= 1√n7
↓
≤ 1
2n√n
מתכנס∑
n2x1+n7x2 הטור ווירשטרס משפט ע״פ לכן p = 1.5 > 1 כי מתכנס
∑1
n√n=∑
1n1.5 הטור
הטור ולכן x לכל שווה במידה
S (x) =∑ n2x
1 + n7x2
.x לכל רציף
איבר איבר אינטגרציה 4.3
S (x) ל שווה במידה מתכנס S (x) =∑∞
n=1 fn (x) ו [a, b] ב רציפות פונקציות {fn (x)} יהי 4.13 משפטאז [a, b] בקטע
bˆ
a
S (x) dx =
bˆ
a
∞∑
n=1
fn (x) dx =
∞∑
n=1
bˆ
a
fn (x) dx
n > N2 שלכל כך N2 קיים ε > 0 שלכל להוכיח מספיק הוכחה:∣∣∣∣∣∣
bˆ
a
S (x) dx−n∑
k=1
bˆ
a
fk (x) dx
∣∣∣∣∣∣
< ε
.[a, b] ב רציפה פונקציה S (x)x ∈ [a, b] ולכל n > N1 שלכל כך N1 > 0 קיים ε > 0 לכל ⇐ שווה במידה מתכנס S (x)
|rn (x)| < ε
b− a
ש נובע מכאן .S (x) = Sn (x) + rn (x) ו n > N1 יהי
bˆ
a
S (x) dx =
bˆ
a
Sn (x) dx+
bˆ
a
rn (x) dx29
איבר איבר גזירה 4.4 פונקציות טורי 4
n אותו ועבור∣∣∣∣∣∣
bˆ
a
S (x) dx−n∑
k=1
fk (x) dx
∣∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣∣
bˆ
a
rn (x) dx
∣∣∣∣∣∣
≤bˆ
a
|rn (x)| dx
<
aˆ
a
ε
b− adx = ε
דוגמא:
−1 ≤ x ≤ 1 עבור איבר איבר אינטגרציה לעשות ניתן∑
xn
n2 − xn+1
(n+1)2שלטור נוכיח .1
עבור (כנ״ל שווה. במידה מתכנס∑
xn
n2 ווירשטרס משפט לפי . |x| ≤ 1 עבור∣∣x
n
n2
∣∣ < 1
n2 (א)(∑
xn+1
(n+1)2
x לכל רציפה fn (x) =xn
n2 − xn+1
(n+1)2(ב)
. איבר איבר אינטגרציה לעשות שניתן נובע מכאן
איבר איבר גזירה 4.4
יהיה: 4.14 משפט
[a, b] בקטע רציפות נגזרות ובעל גזירות פונקציות {fn (x)} •
[a, b] ב מתכנס S (x) =∑∞
n=1 fn (x) •
[a, b] ב שווה במידה מתכנסת∑∞
n=1 f′n (x) •
אז
( ∞∑
n=1
fn (x)
)′
=
∞∑
n=1
f ′n (x)
. [a, b] ב רציפות פונקציות {f ′n (x)} . שווה במידה מתכנס S =
∑∞n=1 f
′n (x) הוכחה:
g′ = S ⇐ g (x) =´ x
aS (x) dx⇐ רציף S
נסמן
S′ =
( ∞∑
n=1
fn (x)
)′
כי להוכיח מספיק
S = S′30
פונקציות טורי 4 איבר איבר גזירה 4.4
g (x) =
xˆ
a
S (x) dx
=
xˆ
a
∞∑
n=1
f ′n (x) dx
איבר איבר אינטגרציה ע״פ
xˆ
a
∞∑
n=1
f ′n (x) dx =
∞∑
n=1
xˆ
a
f ′n (x) dx
=
∞∑
n=1
fn (x)− fn (x)
=
∞∑
n=1
fn (x)−∞∑
n=1
fn (a)
= S (x)− S (a)
g′ = S′ (x)
S′ (x) = S
דוגמא:
.x לכל איבר איבר גזירה משפט הטור על להפעיל ניתן∑
arctan(
xn2
).1
ו x לכל גזירות פונקציות fn (x) = arctan(
xn2
)(א)
f ′ (x) =1n2
1 +(
xn2
)2 =n2
n4 + x2
x לכל רציפה פונקציה
כי x לכל מתכנס∑
arctan(
xn2
)(ב)
arctan(
xn2
)
xn2
n→∞−→ 1
שני. השוואה מבחן ע״פ x לכל מתכנס∑ |x|
n2 ו
שווה. במידה מתכנס (∑
f ′n =
∑n2
n4+x2 ) הנגזרות שטור נראה (ג)
∣∣∣∣
n2
n4 + x2
∣∣∣∣≤ n2
n4=
1
n2
.x לכל שווה במידה מתכנס∑
n2
n4+x4 הטור ווירשטרס מבחן לפי ⇐ מתכנס∑ 1
n2 הטור
איבר. איבר גזירה לעשות ניתן 31לכן
חזקות טורי 4.5 פונקציות טורי 4
חזקות טורי 4.5
מהצורה טור חזקות) (טור 4.15 הגדרה
f (x) =
∞∑
n=0
anxn
מהצורה או
f (x) =
∞∑
n=0
an (x− x0)
חזקות. טורי נקראים קבוע x0 עבור
|x| < α עבור בהחלט מתכנס∑
anxn הטור אז x = α 6= 0 עבור מתכנס
∑anx
n חזקות טור אם 4.16 משפט
M ע״י מסויים n מ חסומה {anαn} הסדרה limn→∞ anαn = 0 ⇐ מתכנס
∑anα
n שהטור נתון הוכחה:הכללי האיבר עבור .(|anαn| ≤ M (ז״א
|anxn| = |anαn| ·∣∣∣∣
xn
αn
∣∣∣∣
≤ M ·∣∣∣x
α
∣∣∣
n
.|x| < α עבור בהחלט מתכנס∑
anxn השוואה מבחן לפי ⇐ q =
∣∣ xα
∣∣ < 1 כי מתכנס
∑∣∣ xα
∣∣nהטור
הטור של ההתכנסות) (רדיוס 4.17 טענה
R =1
limn→∞ n√
|an|
או
R = limn→∞
∣∣∣∣
anan+1
∣∣∣∣
מתכנס. הטור שעבורו המקסימלי האיבר זה R כאשר
?(R ב אותו (נסמן מתכנס הטור שעבורו ביותר הגדול α הערך מהו .∑∞
n=0 anxn הטור יהי הוכחה:
limn→∞
n√
|anxn| = |x| · limn→∞
n√
|an| < 1
כאשר α של הקצה את נבדוק
|x| limn→∞
n√
|an| = 1
|x| =1
limn→∞ n√
|an|
אם 4.18 מסקנה
מתבדר טור |x| > R .1
מתבדר |x|טור < R .232
פונקציות טורי 4 חזקות טורי 4.5
לבדוק. צריך ידוע, לא x = ±R .3
דוגמא:
הטור. של ההתכנסות תחום + ההתכנסות רדיוס מהו∑∞
n=1xn
4n2+1 .1
an =1
4n2 + 1
R =1
limn→∞
n
√
1
4n2 + 1
= limn→∞
n√
4n2 + 1 = 1
הקצוות את נבדוק בהחלט. מתכנס הטור |x| < 1 כאשר לכן
x = 1 (א)
∑ 1
4n2 + 1
ההשואה מבחן לפי מתכנס הטור
1
4n2 + 1≤ 1
4n2
x = −1 (ב)
∑ (−1)n
4n2 + 1
.( x = 1 (כמו בהחלט מתכנס∑ 1
4n2+1 בהחלט: התכנסות נבדוק
הטור). של ההתכנסות (תחום −1 ≤ x ≤ 1 כאשר מתכנס הטור לכן
חזרה נחזור ,−1 ≤ t ≤ 1 כאשר מתכנס הטור קודם תרגיל לפי ולכן ,t = x− 3 נציב ,∑ (x−3)n
4n2+1 עבור .2t = x− 3 ל
2 ≤ x ≤ 4
שווה במידה התכנסות 4.5.1
במידה מתכנס∑
anxn הטור 0 < r < R לכל .R התכנסות רדיוס בעל
∑anx
n חזקות טור יהי 4.19 משפט[−r, r] ב שווה
הוכחה:
|anxn| ≤ |an| rn, x ∈ [−r, r]
שווה. במידה מתכנס הטור ווירשטרס מבחן ולפי ( 0 < r < R ש (מפני מתכנס חיובי טור∑ |an| rn הטור
שווה. במידה יתכנס הטור [α, β] ⊆ (−R,R) שעבורן α, β לכל 4.20 מסקנה
שווה. במידה התכנסות יש הזה בתחום 4.19 משפט ולפי ,r = max [|α| , |β|] נקח 33הוכחה:
חזקות טורי 4.5 פונקציות טורי 4
טיילור טורי 4.5.2
f (x) =
∞∑
n=0
anxn = a0 + a1x+ · · ·+ anx
n + . . .
איבר איבר גזירה לפי .0 ב פעמים ∞ גזירה f ש נניח .an =? למצוא ורוצים f נתונה
f ′ = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + . . .
f ′ (0) = a1
הפונקציה את שוב נגזור
f ′′ = 2!a2 + 3!a3x+ 4 · 3a4x2
f ′′ (0) = 2!a2
f ′′′ = 3!a3 + 4!a4x+ . . .
f ′′′ (0) = 3!a3
כלומר
an =f (n) (0)
n!
(x0 = 0 סביב טיילור (טור f של מקלורן טור 4.21 הגדרה
f (x) =∞∑
n=0
fn (0)
n!xn
x0 סביב f של טיילור טור
f (x) =
∞∑
n=0
fn (x0)
n!(x− x0)
n
הטור. של ההתכנסות בתחום רק מתקיים שהשוויון לב לשים יש
דוגמא:
.f (x) = ex של (x0 = 0 סביב טיילור (טור מקלורן טור מצאו .1
f (n) = ex
f (n) (0) = e0=1
הטור לכן
ex =
∞∑
n=0
1
n!xn =
∞∑
n=0
xn
n!
הטור של ההתכנסות תחום את נבדוק
R =1
limn→∞ n
√1n!
= limn→∞
n√n! = ∞
.x לכל מתאים הטור 34לכן
פונקציות טורי 4 חזקות טורי 4.5
מוכרות פונקציות עבור מקלורן) (טור x0 = 0 סביב טיילור טורי
•
ex =
∞∑
n=0
xn
n!, |x| < ∞
•
sinx =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!, |x| < ∞
•
cosx =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!, |x| < ∞
•
1
1− x=
∞∑
n=0
xn, |x| < 1
דוגמה:
של מקלורן טור מצא .1
f (x) = ln (1 + x) (א)
f (x) = ln (1 + x)
=
xˆ
0
1
1 + tdt
11−x
של בפיתוח נשתמש
xˆ
0
1
1 + tdt
|x|<1↓
=
xˆ
0
( ∞∑
n=0
(−t)n)
dt
איבר איבר אינטגרציה לפי ולכן שווה במידה מתכנס הטור הזה בתחום
xˆ
0
( ∞∑
n=0
(−t)n)
dt =∞∑
n=0
(−1)nxˆ
0
tndt
=
∞∑
n=0
(−1)n tn+1
n+ 1
∣∣∣∣
x
0
=∞∑
n=0
(−1)n xn+1
n+ 135
ווקטורים של אלגברה 5
g (x) = arctanx (ב)
g (x) = arctanx
=
xˆ
0
1
1 + t2dt
|x|<1↓
=
xˆ
0
∞∑
n=0
(−t2
)ndt
קודם. תרגיל וכמוh (x) = 1
(1−x)2(ג)
h (x) =1
(1− x)2
=
(1
1− x
)′
=
( ∞∑
n=0
xn
)′
ולכן איבר, איבר בגזירה להשתמש ניתן חזקות, טור שזה מפני( ∞∑
n=0
xn
)′
=
∞∑
n=0
(xn)′
=
∞∑
n=1
nxn−1
´ x
0e−t2dt .2
xˆ
0
e−t2dt =
xˆ
0
∞∑
n=0
(−t2
)n
n!dt
ולכן איבר, איבר באינטגרציה להשתמש ניתן x לכל הוא הטור של ההתכנסות שתחום בגללxˆ
0
∞∑
n=0
(−t2
)n
n!dt =
∞∑
n=0
(−1)n
n!
xˆ
0
t2ndt
=
∞∑
n=0
(−1)n
n!· t2n+1
2n+ 1
∣∣∣∣
x
0
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
n! (2n+ 1)
ווקטורים של אלגברה 5
סקלרית מכפלה 5.1
מוגדרת: ~v ,u~ו ווקטור בין סקלרית מכפלה 5.1 הגדרה
~v · ~u = |~v| · |~u| cosα36
ווקטורים של אלגברה ווקטורית5 מכפלה 5.2
הקוסינוסים: משפט לפי
~u = (u1, u2, u3)
~v = (v1, v2, v3)
~v · ~u = u1v1 + u2v2 + u3v3
נסמן מאונכים, ~u,~v ⇐⇒ ~v · ~u = 0 5.2 מסקנה
~v ⊥ ~u
סקלרית מכפלה תכונות 5.1.1
~u · ~v = ~v · ~u .1
λ~u · ~v = ~u · λ~v .2
~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w .3
|v~|לדוגמא: =√~v · ~v .4
~v = (v1, v2, v3)
|~v| =√
v21 + v22 + v23
ווקטורית מכפלה 5.2
מוגדרת: ~v = (v1, v2, v3) ו u = (u1, u2, u3) ווקטור בין ווקטורית מכפלה 5.3 הגדרה
~v × ~u =
∣∣∣∣∣∣
ı kv1 v2 v3u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣
= ı (v2u3 − u2v3) + (v1u3 − u1v3) + k (v1u2 − u1v2)
= (v2u3 − u2v3, v1u3 − u1v3, v1u2 − u1v2)
כאשר:
ı = (1, 0, 0)
= (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
37
ווקטורית מכפלה ווקטורים5.2 של אלגברה 5
ווקטורית מכפלה של כיוונים :1 איור
ימין: יד כלל ע״י נקבע כוונו כאשר הווקטורים, לשני המאונך ווקטור יוצרת ווקטורית מכפלה 5.4 הערה
ימין יש כלל :2 איור
5.5 משפט
|~v × ~u| = |~v| · |~u| sin θ
הווקטורים. שני בין מקבילית ע״י שנוצר השטח לגדול שווה ווקטורית, מכפלה ע״י המתקבל הווקטור אורך כלומר
38
ווקטורים של אלגברה 5 מעורבת מכפלה 5.3
ווקטורית מכפלה ע״י ניתן מקבילית שטח :3 איור
ווקטורית מכפלה של תכונות 5.2.1
~v × ~w = −~w × ~v .1
~v × (~w × ~u) 6= (~v × ~w)× ~u .2
λ~v × ~w = ~v × λ~w .3
מעורבת מכפלה 5.3
5.6 טענה
~v · (~w × ~u) =
∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣
הוכחה:
v ·
∣∣∣∣∣∣
i j kw1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣
= (v1, v2, v3) (u3w2 − u2w3, u1w3 − w1u3, w1u2 − u1w2)
= v1 (u3w2 − u2w3) + v2 (u1w3 − w1u3) + v3 (w1u2 − u1w2)
=
∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣
5.7 טענה
~v · (~w × ~u) = (~v × ~w) · ~u
מתבטל המינוס ולכן שורה, פעמים מחליפים בדטרמיננטה, 39הוכחה:
אוקלידי מרחב 6
ל: שווה ווקטורים שלושה ע״י שנוצר מקבילון של נפח 5.8 טענה
|~v · (~w × ~u)|
3
הגובה. כפול הבסיס לשטח שווה מקבילון של נפח הוכחה:‖~u× ~w‖ ל שווה הבסיס שטח‖~v‖ cosα ל שווה הבסיס גובה
ל שווה הנפח כלומר
V = ‖~u× ~w‖ · ‖~v‖ cosα
שני: מצד
|~v · (~w × ~u)| = |‖~u× ~w‖ · ‖~v‖ cosα|
המוחלט. הערך את להוריד וניתן חיובי הוא cosα חדה, זווית היא α ש ומפני
אוקלידי מרחב 6
Rn = { (x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R }
בין הנורמה אם אוקלידי מרחב נקרא V = Rn 6.1 הגדרה
‖~v‖ = (v1, . . . , vn)
‖~w‖ = (w1, . . . , wn)
‖~v − ~w‖ =
√
(v1 − w1)2 + · · ·+ (vn − wn)
2
.~w ו ~v הווקטורים שני בין המרחק
: R2 ב כדור להגדיר כדי
Br (x0) ={~x ∈ R2
∣∣ ‖x− x0‖ < r
}
מימדים n בעל כדור לעשות נרצה אם
Br (x0) = { ~x ∈ Rn | ‖x− x0‖ < r }ווקטורית מכפלה על מערך האנגלית, מוויקיפדיה 3נלקח
40
משתנים רב פונקציות של גבולות 7
בכדור): כלולה השפה (שגם סגור כדור נרצה אם
Brc (x0) = { ~x ∈ Rn | ‖x− x0‖ ≤ r }
ש כך נקודות אוסף היא Rn ב תיבה:
a1 ≤ x1 ≤ b1
a2 ≤ x2 ≤ b2...an ≤ xn ≤ bn
ש כך r > 0 קיים x0 ∈ A לכל אם פתוחה קבוצה נקראת A ⊆ Rn קבווצה פתוחה) (קבוצה 6.2 הגדרה
Br (x0) ⊆ A
.A ב שנמצא כלשהו חיובי רדיוס בעל כדור קיים בקבוצה, נקודה בכל כלומר
פתוחה. 4Ac אם סגורה קבוצה נקראת A ⊆ Rn קבוצה סגורה) (קבוצה 6.3 הגדרה
בקבוצה. שכלול מסלול יש בקבוצה x, y ∈ A לכל אם קשירה נקראת A קשירה) (קבוצה 6.4 הגדרה
שעבורו סופי r בעל Br (x0) כדור קיים אם חסומה נקראת A 6.5 הגדרה
A ⊆ Br (x0)
( A את מכיל אשר סופי רדיוס בעל כדור קיים אם חסומה נקראת A (קבוצה
וקשירה. פתוחה A אם תחום נקראת A ⊆ Rn (תחום) 6.6 הגדרה
דוגמא:
סופי), אין (הקו חסומה קבוצה לא גם הוא סגורה. קבוצה תמיד הוא פתוחה, קבוצה להיות יכול לא ־ קו .1קשירה. קבוצה והוא
תחום. היא כלומר וקשירה, פתוחה קבוצה ־ רצועה .2
משתנים רב פונקציות של גבולות 7
אם x → x0 כאשר f פונקציה של הגבול נקרא L ∈ Rm פונקציה. f : Rn → Rm יהיה 7.1 הגדרה
∀ε > 0, ∃δ > 0, ‖~x− x0‖ < δ ‖f (x)− L‖ < ε
ונסמן
lim~x→ ~x0
f (~x) = L
A כ גם לפעמים מסומנת למרחב, משלימה 4קבוצה
41
משתנים רב פונקציות של גבולות 7
גבול קיום אי גבול קיום
שונים גבולות יש שעברם שונים מסלולים ( 43 בעמוד 7.1 סעיף ) סנדוויץt הצבת
או אחד למשתנה פונקציה (הבאת t הצבת( ידוע במשפט שימוש( 44 בעמוד 7.3 סעיף )
(R2 ב (רק קוטביות ( 43 בעמוד 7.2 סעיף ) (R2 ב (רק קוטביות( 44 בעמוד 7.4 סעיף ) חוזרים גבולות
גבול של קיום ואי לקיום שיטות סיכום :1 טבלה
דוגמה:
f (x, y) = x2+yx+y+1 .1
lim(x,y)→(1,2)
x2 + y
x+ y + 1
אז שונים גבולות יש שעבורם x0ל ששואפים שונים מסלולים שני קיימים אם 7.2 מסקנה
∄ lim~x→ ~x0
f (~x)
דוגמא:
.1
lim(x,y)→(0,0)
x2 + y2
2x2 − y2
0 ל x את ונשאיף ,x = y מסלול על נסתכל
lim(x,y)→(0,0)
x2 + y2
2x2 − y2= lim
x→0
x2 + x2
2x2 − x2= 2
y = 0 מסלול נבחר
limx→0
x2
2x2=
1
2
קיים. לא הגבול כלומר שונים, גבולות יש שעבורם שונים מסלולים שני יש
∄ lim(x,y)→(0,0)
x2 + y2
2x2 − y2
ואז ,y = kx נגדיר .(0, 0) הנקודה5 דרך העוברים הישרים הקווים כל את נבדוק לבדוק, נוספת דרך
limx→0
x2 + k2x2
2x2 − k2x2=
1 + k2
2− k2
קיים. לא הגבול כלומר שונים, גבולות יש שעבורם שונים מסלולים יש כלומר k ב תלוי הגבול
גבול קיום להפריך דרך רק וזו הקיימים, המסלולים כל לא שזה לב לשים 542יש
משתנים רב פונקציות של גבולות 7 הסנדוויץ׳ משפט 7.1
0 xל את ונשאיף y = kx הישרים הקווים כל את נבדוק .lim(x,y)→(0,0)xy2
x2+y4 .2
limx→0
xk2x2
x2 + k4x4= lim
x→0
xk2
1 + k4x2= 0
נבדוק אחר. גבול נקבל שבו מסלול נחפש גבול. שקיים אומר לא זה אבל ,k ב תלוי לא שהגבול קיבלנו0 ל y את ונשאיף x = y2 במסלול קורה מה
limy→0
y4
2y4=
1
2
קיים. לא הגבול ולכן שונים, גבולות יש שעבורם מסלולים שני יש כלומר
אזי: ∃ lim~x→ ~x0g (~x) = L2 ו ∃ lim~x→ ~x0
f (~x) = L1 יהיה 7.3 משפט
∃ lim~x→ ~x0f ± g = L1 ± L2 .1
∃ lim~x→ ~x0f · g = L1 · L2 .2
∃ lim~x→ ~x0
fg= L1
L2, L2 6= 0 .3
הסנדוויץ׳ משפט 7.1
הסנדוויץ׳) (משפט 7.4 משפט
0 ≤ ‖f (~x)− L‖ ~x→ ~x0−−−−→ 0 ⇐⇒ ∃ lim~x→ ~x0
f (~x) = L
דוגמא:
lim(x,y)→(0,0)x2y
x2+y2 .1
0 ≤∥∥∥∥
x2y
x2 + y2− 0
∥∥∥∥
=
∥∥∥∥
x2y
x2 + y2
∥∥∥∥
≤∣∣x2y
∣∣
|x2|= |y| (x,y)→(0,0)−−−−−−−→ 0
f : R2 → R עבור קוטביות קורדינטות 7.2
x = a+ r cos θ
y = b+ r cos θ
.(a, b) הנקודה את נקבל r → 0 נשאיף אםדוגמה:
.1
lim(x,y)→(0,0)
x2 + y2
2x2 − y2
x=r cos θ,y=sin θ↓
= limr→0
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ
2r2 cos2 θ − sin2 θ
=1
2 cos2 θ − sin2 θ
גבול. קיים לא ולכן θ ב תלוי הגבול 43כלומר
t הצבת 7.3 משתנים רב פונקציות של גבולות 7
.2
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2= lim
r→0
r2 cos2 θr sin θ
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ
= limr→0
r cos2 θ · sin θ = 0
גבול. קיים ולכן חסום, הביטוי ושאר ,0 ל rשואף
t הצבת 7.32010־4־15
נגדיר .lim(x,y)→(0,0)
(x2 + y2
)· sin
(
1√x2+y2
)
.1
t = x2 + y2
ונציב t → 0+ אז (x, y) → (0, 0) כאשר
limt→0+
→0↓
t ·
|f(x)|<M↓
sin
(1√t
)
= 0
גבול. יש אז אחד, גבול קיבלנו
lim(x,y)→(0,π2 )(1− cos (x+ y))
tan(x,y) .2
lim(x,y)→(0,π2 )
(1− cos (x+ y))tan(x,y)
= lim(x,y)→(0,π2 )
[
(1− cos (x+ y))1
cos(x+y)
]sin(x+y)↑
→1
t → 0 לכן t = cos (x+ y) נסמן
limt→0
(1− t)1t = e−1
גבול יש כלומר
חוזרים גבולות 7.4
למצוא מטרה
lim(x,y)→(x0,y0)
f (x, y)
הם: חוזרים גבולות 7.5 הגדרה
limx→x0 (limy→y0 f (x, y))limy→y0 (limx→x0 f (x, y))
אז ∃ limx→x0 f (x, y) = ϕ (y) (x0, y0) הנקודה בסביבת y ולכל ∃ limx,y→(x0,y0) f (x) = L יהי 7.6 משפטהגבול קיים
∃ limy→y0
limx→x0
f (x, y)
.L ל שווה 44והוא
משתנים רב פונקציות של גבולות 7 חוזרים גבולות 7.4
אז ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל הוכחה:
|f (x, y)− L| < ε
אז |y − y0| < δ ו |x− x0| < δ שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל ז״א
|f (x, y)− L| < ε
x → x0 קבוע, y עבור
|ϕ (y)− L| < ε
ש נובע מכאן
limy→y0
ϕ (y) = L
ש נובע ומכאן
limy→y0
limx→x0
f (x, y) = L
קיים. אינו הכפול הגבול אז ושונים קיימים חוזרים גבולות אם 7.7 מסקנה
דוגמה:
חזרים: גבולות על נסתכל .lim(x,y)→(0,1) x sin(
1y−1
)
.1
∄ limx→0
∄↓
limy→1
x sin
(1
y − 1
)
limy→1
→0↓
limx→0
x sin
(1
y − 1
)
= 0
קיים: הכפול הגבול אבל
lim(x,y)→(0,1)
x↑
→0
|f(x)|<M↓
sin
(1
y − 1
)
= 0
lim(x,y)→(0,0)x2
x2+y2 .2
limx→0
limy→0
x2
x2 + y2= lim
x→0
x2
x2
= 1
limy→0
limx→0
x2
x2 + y2= lim
y→00
= 0
קיים אינו הכפול הגבול ולכן שונים, אבל קיימים, הגבולות שני
∄ lim(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y245
גבולות של תכונות 7.5 משתנים רב פונקציות של גבולות 7
גבולות של תכונות 7.5
∃ lim(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) = L
∃ lim(x,y)→(x0,y0)
g (x, y) = M
הגבול קיום על שומרים במספר הכפלה הרכבה, חילוק, כפל, חיסור, סכום, 7.8 משפט
lim(x,y)→(x0,y0)
f ± g = L±M
lim(x,y)→(x0,y0)
f · g = L ·M
רציפות 7.6
אם ~x0 ∈ Rn בנקודה רציפה f : Rn → Rn 7.9 הגדרה
∃ lim~x→~x0
f (~x) = f (~x0)
דוגמה:
?(0, 0) בנקודה רציפה f האם .1
f (x) =
{x2y
x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
(0, 0) בנקודה גבול קיים אם נבדוק
0 <
∣∣∣∣
x2y
x2 + y2
∣∣∣∣≤∣∣∣∣
x2y
x2
∣∣∣∣= y → 0
כלומר
∃ lim(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0
רציפה. f הפונקציה לכן
R2 ב רציפה f תהיה שעבורו a קיים האם .2
f (x, y) =
{x2+x3+y3
x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)
a (x, y) = (0, 0)
y = kx, x → 0 קיים: הגבול אם ונבדוק ישרים, מסלולים נקח
limx→0
x2 + x3 + k3x3
x2 + k2x2=
1
1 + k
נקודה קיימת לא ולכן שונה גבול שנותנים מסלולים שני יש כי קיים לא הגבול כלומר ,k ב תלוי הגבולרציפה. תהיה f שעבורה a46
נגזרות 8
?(1,−1, 1) ב רציפה f האם .3
f (u, v, t) =
t2 sin
(
(u−1)2v2+u2(v+1)2
t2
)
(u−1)2v2+u2(v+1)2(u, v, t) 6= (1,−1, 1)
1 (u, v, t) = (1,−1, 1)
נגדיר
x (u, v, t) =(u− 1)
2v2
t2(1,−1,1)
= 0
y (u, v, t) =y2 (v + 1)2
t2(1,−1,1)
= 0
(0, 0) בנקודה רציפה f האם
f (x, y) =
{sin(x+y)
x+y(x, y) 6= 0
1 (x, y) = 0
w = x+ y נגדיר
lim(x,y)→(0,0)
sin (x+ y)
x+ y= lim
w→0
sinw
w= 1
שני של כהרכבה בנקודה רציפה f (u, v, t) אז רציפות y (u, v, t) ו x (u, v, t) ו רציפה, f (x, y) ש מכווןרציפות. פונקציות
נגזרות 8
חלקיות נגזרות 8.1
אם פונקציה, f : Rn → R תהי 8.1 הגדרה
∃ limt→0
f (x1, . . . , xj + t, . . . , xn)− f (x1, . . . , xn)
t
f ′xjאו
∂f
∂xj
הגבול את ונסמן xj לפי חלקית גזירה f ש נאמר אז
:n = 2 פרטי: מקרה:x לפי חלקית נגזרת
∃ limt→0
f (x0 + t, y0)− f (x0, y0)
t= f ′
x (x0, y0) =∂f
∂x(x0, y0) = fx (x0, y0)
:y לפי חלקית נגזרת זו
∃ limt→0
f (x0, y0 + t)− f (x0, y0)
t= f ′
y (x0, y0) =∂f
∂y(x0, y0) = fy (x0, y0)
דוגמה:
f (x, y) = x2y + ex2
ln y .1
f ′x = 2xy + ex
2 · 2x ln y
f ′y = x2 + ex
2 1
y47
חלקיות נגזרות 8.1 נגזרות 8
f (x, y, z) = z cos (xy) .2
f ′x = −z sin (xy) · yf ′y = −z sin (xy) · xf ′z = cos (x, y)
.f של חלקיות נגזרות מצא ,f (x, y) =
{x3
x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).3
חלקית גזירות אשר אלמנטריות פונקציות של חלוקה היא כי חלקית גזירה f (x, y) 6= (0, 0) כאשר (א)
f ′x =
3x2(x2 + y2
)− x3 · 2x
(x2 + y2)2
f ′y = − x3 (2y)
(x2 + y2)2
החלקית הנגזרת הגדרת לפי לגזור חייבים (0, 0) בנקודה (ב)
f ′x = lim
t→0
f (0 + t, 0)− f (0, 0)
t
= limt→0
t3
t2+02 − 0
t= 1
f ′y = lim
t→0
f (0, 0 + t)− f (0, 0)
t
= limt→0
03
02+t2− 0
t= 0
קיימות: חלקיות נגזרות אבל רציפה, לא f בה דוגמה (ג)
f (x, y) =
{xy
x2y2 (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
y = kx כי (0, 0) ב רציפה לא f
∄ limx→0
xkx
x2 + k2x2=
k
1 + k2
רציפה. לא היא ולכן ,k ב תלוי הגבול
אבל
f ′x (0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t
= limt→0
t·0t2+0 − 0
t= 0
.f ′y לגבי 48כנ״ל
נגזרות כללית)8 (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2
כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2
:B ו A קיימים אם (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית פונקציה נקראת f (x, y) 8.2 הגדרה
A = f ′x (x0, y0)
B = f ′y (x0, y0)
ש כך
f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0) = A∆x+B∆y + ε · ρ
כאשר
limρ→0
ε = 0
ρ =√
∆x2 +∆y2 ו
אז (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f 8.3 משפט
∃f ′x (x0, y0)
∃f ′y (x0, y0)
.ρ = |t| ש לראות אפשר ,∆x = t → 0 ו ∆y = 0 הוכחה:
f (x0 + t, y0)− f (x0, y0) = At+ εt
f (x0 + t, y0)− f (x0, y0)
t=
A�t+ ε�t
�t
.x לפי החלקית הנגזרת את קיבלנו ולמעשה t → 0 ⇒ ε → 0 את נשאיף
f ′x (x0, y0) = A
(x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית פונקציה f (8.2 להגדרה שקולה (הגדרה 8.4 הגדרה∃ lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0)− f ′x (x0, y0)∆x− f ′
y (x0, y0)∆y√
∆x2 +∆y2= 0
ורציפות דיפרנציאביליות 8.2.12010־4־22
(x0, y0) בנקודה רציפה f אז (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f אם 8.5 משפט
דיפרנציאבילית פונקציה של ההגדרה ע״פ הוכחה:
lim(∆x,∆y)→(0,0)
f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0) = lim(∆x,∆y)→(0,0)
f ′x (x0, y0)∆x+f ′
y (x0, y0)∆y+ερ = 0
כלומר
lim(∆x,∆y)→(0,0)
f (x0 +∆x, y0 +∆y) = f (x0, y0)
(x0, y0) בנקודה רציפה f ש נובע מכאן
49
כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2 נגזרות 8
דיפרנציאבילית לא f אז בנקודה, רציפה לא f אם 8.6 מסקנה
דוגמא:
קיים לא ז״א ,kב תלוי הגבול (כי (0, 0) בנקודה רציפה לא f , f (x, y) =
{xy
x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).1
.(0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית לא f ש נובע מכאן גבול)
לא f ש נראה ־ (0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית f האם f (x, y) =
{x3+y3
2x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).2
רציפה. כן אבל (0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית
בנקודה: חלקית נגזרות נמצא
f ′x (0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t
= limt→0
t3
2t2 − 0
t
=1
2
f ′y (0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t
= limt→0
t3
t2− 0
t= 1
הגדרה לפי דיפרנציאביליות נבדוק עכשיו
lim(∆x,∆y)→(0,0)
f(∆x,∆y)−���f(0,0)−f′x(0,0)∆x−f′
y(0,0)∆y√∆x2+∆y2
= lim(∆x,∆y)→(0,0)
∆x3+∆y3
2∆x2+∆y2 − 12∆x−∆y
√
∆x2 +∆y2
= lim(∆x,∆y)→(0,0)
− ∆x∆y2 + 4∆x2∆y
2 (2∆x2 +∆y2)√
∆x2 +∆y2
∆x = ∆y → 0 ב נבחר
lim(∆x,∆y)→(0,0)
− ∆x∆y2 + 4∆x2∆y
2 (2∆x2 +∆y2)√
∆x2 +∆y2= lim
∆x→0− ∆x3 + 4∆x3
2 · 3∆x2√2∆x
= −1 + 4
6√2
= − 5
6√26= 0
.(0, 0) בנקודה דיפרנציבילית לא f ש נובע מכאן
־ ?(0, 0) בנקודה דיפרנציאבילית f האם f (x, y) =
(x2 + y2
)sin
(
1√x2+y2
)
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).3
fדיפרנציאבילית ש 50נראה
נגזרות 8 כללית) (נגזרת דיפרנציאביליות 8.2
חלקיות: נגזרות נבדוק
f ′x (0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t
= limt→0
t2 sin(
1|t|
)
− 0
t= 0
f ′y (0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t
= limt→0
t2 sin(
1|t|
)
− 0
t= 0
הגדרה לפי דיפקנציאביליות נבדוק
lim(∆x,∆y)→(0,0)
f(∆x,∆y)−���f(0,0)−f ′x(0,0)∆x−f ′
y(0,0)∆y√∆x2+∆y2
= lim(∆x,∆y)→(0,0)
(∆x2+∆y2) sin
(
1√∆x2+∆y2
)
−0−0−0
√∆x2+∆y2
= lim(∆x,∆y)→(0,0)
√
∆x2 +∆y2 sin
(
1√∆x2+∆y2
)
= 0
דיפרנציאבילית הפונקציה לכן
(x0, y0) בנקודה ורציפות קיימות(f ′x, f
′y
)חלקיות ונגזרות (x0, y0) הנקודה בסביבת מוגדרת f תהי 8.7 משפט
.(x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f אז
הוכחה:
f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0) = f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0 +∆y)+f (x0, y0 +∆y)−f (x0, y0)(*)קבוע y0 +∆y כאשר לגרנג׳6 משפט ע״פ f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0 +∆y) האיבר על נסתכל
f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0 +∆y) = ∆x · f ′x (x0 + θ1∆x, y0 +∆y)
x0 כאשר לגרנג׳, משפט לפי ,f (x0, y0 +∆y) − f (x0, y0) האיבר על נסתכל עכשיו .0 < θ1 < 1 כאשרקבוע
f (x0, y0 +∆y)− f (x0, y0) = ∆yf ′y (x0 + y0 + θ2∆y)
.0 < θ2 < 1 כאשר⇐ (x0, y0) בנקודה רציפות f ′
x, f′y
f ′x (x0 + θ1∆x, y0 +∆y) = f ′
x (x0, y0) + α
f ′y (x0, y0 + θ2∆y) = f ′
y (x0, y0) + β
כאשר
lim(∆x,∆y)→(0,0)
α = 0
lim(∆x,∆y)→(0,0)
β = 0
ונציב ,(*) ל נחזור
∆x (f ′x (x0, y0) + α) + ∆y
(f ′y (x0, y0) + β
)= ∆xf ′
x (x0, y0) + f ′y (x0, y0)∆y +∆xα+∆yβ
f(x0+∆x)−f(x0)∆x
= f ′ (c)651
שרשרת כלל 8.3 נגזרות 8
הגדרה. לפי (x0, y0) בנקודה דיפרנציאבילית f הפונקציה לכן
דוגמה:
ורציפות קיימות f ′x, f
′y החלקיות הנגזרות כי (2, 7) בנדוקה דיפרנציאבילית f ־ f (x, y) = x2+y2
2x2−y2 .1(2, 7) בנקודה
f ′x = 2xy
f ′y = x2
.(x0, y0) ∈ A בנקודה ורציפות קיימות חלקיות נגזרות ־ f ∈ c1 (A) סימון:
שרשרת כלל 8.3
ומתקיים dudtקיים אז (u ∈ c1) וריצפות קיימות חלקיות נגזרות בעלת u = f (x, y, z) תהי 8.8 משפט
du
dt= f ′
x
dx
dt+ f ′
y
dy
dt+ f ′
z
dz
dt
דוגמה:
כאשר f (x, y, z) = x2y + sinxz .1
x (t) = t2
y (t) = et + 1
z (t) = t
לכן
df
dt=
∂f
∂x· dxdt
+∂f
∂y· dydt
+∂f
∂z
= (2xy + cos (xz) · z) 2t+ x2et + cos (xz) · x · 1
נסמן הוכחה:
∆u = u (x0 +∆x, y0 +∆y, z0 +∆z)− u (x0, y0, z0)
לכן דיפרנציאבילית, u
∆u = f ′x (x0, y0, z0) ·∆x+ f ′
y (x0, y0, z0)∆z + f ′z (x0, y0, z0)∆z + ε
√
∆x2 +∆y2 +∆z2
∆t ב הביטוי כל את נלק ,lim(∆x,∆y,∆z)→(0,0,0) ε = 0 כאשר
∆u
∆t= f ′
x (x0, y0, z0) ·∆x
∆t+ f ′
y (x0, y0, z0)∆z
∆t+ f ′
z (x0, y0, z0)∆z
∆t+ ε
√
∆x2 +∆y2 +∆z2
∆t
= f ′x · ∆x
∆t+ f ′
y ·∆y
∆t+ f ′
z ·∆z
∆t+ ε
√(∆x
∆t
)2
+
(∆y
∆t
)2
+
(∆z
∆t
)2
ונקבל (ε → 0 (x,∆y,∆z∆)(כלומר → (0, 0, 0) ואת ∆t → 0 את נשאיף
∆u
∆t= f ′
x · ∆x
∆t+ f ′
y ·∆y
∆t+ f ′
z ·∆z
∆t52
נגזרות 8 מכוונת נגזרת 8.4
דיפרנציאביליות x (u, v) , y (u, v) , z (u, v) ו ורציפות) קיימות החלקיות הנגזרות (כלומר f (x, y, z) ∈ c1 8.9 משפטע״י מוגדרות חלקיות ונגזרות דיפרנציאבילית f (u, v) המורכבת הפוקציה אז
∂f
∂u=
∂f
∂x· ∂x∂u
+∂f
∂y· ∂y∂u
+∂f
∂z· ∂z∂u
∂f
∂v=
∂f
∂x· ∂x∂v
+∂f
∂y· ∂y∂v
+∂f
∂z· ∂z∂v
דוגמה:
כאשר f (x, y, z) = x2y + sin (xz) .1
x (u, v) = u2 − v
y (u, v) = cos (u) + u2v
z (u, v) = u
ורציפות) קיימות הם החלקיות שהנגזרות לבדוק (יש .∂f∂u
, ∂f∂vמצא
∂f
∂u= (2xy + cos (xz) z) · 2u+ x2 ·
(− sin (u) + u2v
)+ cos (xz) · x · 1
∂f
∂v= (2xy + cos (xz) z) (−1) + x2u2 + cos (xz)x · 0
מכוונת נגזרת 8.42010־04־26
~u ∈ Rn בכוון f פונקציה של מכוונת נגזרת .x ∈ Rn ב המוגדרת פונקציה f : Rn → R תהי 8.10 הגדרה
הבא: באופן המוגדרת f ′~u
(
~X0
)
ב תסומן ~x0 בנקודה
f ′~u (~x0) = lim
t→0
f (~x0 + t~u)− f (~x0)
t, ‖~u‖ = 1
דוגמא:
~x0 = (1, 3) ו f = x2y כאשר ~u =(
1√5, 2√
5
)
ו f : R2 → R פונקציה .1
f ′~u (1, 3) = lim
t→0
f(
(1, 3) + t(
1√5, 2√
5
))
− f (1, 3)
t
אז ~u = (1, 0) את נבחר אם
f ′~u = f ′
x
.x ציר לפי חלקית נגזרת כלומר
f של הכוונית נגזרת .~x0 = (x1, . . . , xn) ∈ Rn בנקודה דיפרנציאבילית f : Rn → R פונקציה 8.11 משפט~u = (u1, . . . , un) ∈ Rn ובכוון ~x0 בנקודה
f ′~u = f ′
x1(~x0) · u1 + f ′
x2(~x0) · u2 + · · ·+ f ′
xn(~x0) · un, ‖~u‖ = 153
מכוונת נגזרת 8.4 נגזרות 8
דוגמה:
חלקיות נגזרות נחשב .~u =(
1√5, 2√
5
)
ו ~x0 = (1, 3) ו f = x2y הקודמת לדוגמה נחזור .1
f ′x = 2xy = 6
f ′y = x2 = 1
ולכן דיפרנציאבילית. f הפונקציה אז חלקיות, הנגזרות שתי
f ′~u (1, 3) = f ′
x (1, 3) ·1√5+ f ′
y (1, 3) ·2√5
= 6 · 1√5+ 1 · 2√
5
=8√5
מקסימלי). שינוי (קצב מקסימלית תהיה הכוונית הנגזרת ~u =(f ′x, f
′y
)הכוון עבור 8.12 הערה
f של גרדיאנט נגדיר המשתנים. כל לפי חלקית גזירה f : Rn → R פונקציה 8.13 הגדרה
∇f =(f ′x1, f ′
x2, . . . , f ′
xn
)
דוגמא:
f = x2y .1
∇f =(2xy, x2
)
∇f (1, 3) = (6, 1) 8.11 למשפט שונה ניסוח 8.14 משפטf ′~u (~x0) = ∇f ( ~x0) · ~u
.(1, 2, 12
)בנקודה xyz = 1 למשטח משיק מישור מצאו תרגיל:
פתרון:
f (x, y, z) = xyz − 1(1, 2, 12
)בנקודה דיפרנציאבילית
f
(
1, 2,1
2
)
= 0
המשטח. על נמצאת הנקודה כלומר
~N = ∇f
(
1, 2,1
2
)
= (yz, xz, xy)(1,2, 12 )
=
(
1,1
2, 2
)
הוא המישור לכן
π : 1 (x− 1) +1
2(y − 2) + 2
(
z − 1
2
)
= 054
נגזרות 8 גבוה מסדר נגזרת 8.5
גבוה מסדר נגזרת 8.5
f = x3y5 + x
x לפי נגזור∂f
∂xf ′x = 3x2y5 + 1
y לפי לגזור ניתן עכשיו
∂2f
∂y∂x= f ′′
xy = 15x2y4
.(∂x∂y ולא ∂y∂x) בסדר הפוך הוא שהסימון לב לשים יש
y לפי שניה נגזרת 8.15 הגדרה
f ′′xy = lim
t→0
f ′x (x0, y0 + t)− f ′
x (x0y0)
t
דיפרנציאל 8.6
.~x0 בנקודה דיפרנציאלית f : Rn → R תהי 8.16 הגדרהלהיות: מוגדר f של דיפרנציאל
df (~x0) = f ′x1
(~x0) ·∆x1 + · · ·+ f ′xn
(~x0) ·∆xn
R2 בdf
︷ ︸︸ ︷
f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0, y0) ≈ f ′x (x0, y0)∆x+ f ′
y (x0, y0)∆y
לדוגמה: לינארי. קירוב למצוא ניתן זו הגדרה באמצעות
arctan
(1.01
0.98
)
= ?
f (x, y) = arctan
(x
y
)
נגדיר לכן ,(x0, y0) = (1, 1) הנקודה סביב קירוס נחפש
∆x = 0.01
∆y = −0.02
נציב .∆y → 0 ו ∆x → 0 כאשר יהיה מדוייק הכי הקירוב
f ′x =
1
1 +(
xy
)2 · 1y=
1
2
f ′y =
1
1 +(
xy
)2 ·(
− x
y2
)
= −1
2
f (x0 +∆x, y0 +∆y) ≈ π
4+
1
2· 0.01− 1
2· (−0.02)
= 0.80039855
דיפרנציאל 8.6 נגזרות 8
כך: דיפרנציאל נגדיר f : R2 → R כאשר
df = f ′x∆x+ f ′
y∆y
d2f = f ′′xx∆x2 + 2f ′′
xy∆x∆y + f ′′yy∆y2
גבוהה: מסדר נגזרת
dnf =
(∂
∂x∆x+
∂
∂y∆y
)n
f של שני מסדר חלקיות נגזרות אם תחום). D (עבור ~x0 ∈ D ב מוגדרת f : Rn → R תהי 8.17 משפטאז ~x0 ב רציפות
f ′′xixj
= f ′′xjxi
, ∀i 6= j
אז (x0, y0) ∈ D בנקודה ורציפות קיימות f ′′xx, f
′′yy, f
′′xy, f
′′yx . D ב מוגדרת f : R2 → R פרטי) (מקרה
f ′′xy (x0, y0) = f ′′
yx (x0, y0)
על נסתכל הוכחה:
w =f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)− f (x0, y0 + k) + f (x0, y0)
hk
חדשה פונקציה נגדיר
g (x) =f (x, y0 + k)− f (x, y0)
k
g את נגזור
g′ (x) =f ′x (x, y0 + k)− f ′
x (x, y0)
k
ש עכשיו נראה
w =g (x0 + h)− g (x0)
h
=1
h(g (x0 + h)− g (x0))
=1
h
(f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)
k− f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)
k
)
=1
h
(f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)− f (x0, y0 + k) + f (x0, y0)
k
)
=f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0)− f (x0, y0 + k) + f (x0, y0)
hk
y לפי נגזרת היא g ,k → 0 כאשר עכשיו
g (x) =f (x, y0 + k)− f (x, y0)
k
k→0−→ f ′y (x, y0)
w על נסתכל עכשיו
w =g (x0 + h)− g (x0)
h
h→0−→ f ′′yx (x0, y0)56
נגזרות 8 טיילור טור 8.7
,x של כנגזרת h את להגדיר אופן באותו ניתן עכשיו
h (y) =f (x0 + h, y)− f (x0.y)
h
h→0−→
ש שוב נראה
w =h (y0 + k)− h (y0)
k
k→0−→ f ′′xy
טיילור טור 8.7
ורציפות קיימות צ n + 1 מסדר f של חלקיות נגזרות ) f ∈ cn+1 (~x0) תהי (f : Rn → R) 8.18 הגדרה(~x0 הנקודה בסביבת
f (~x) =
∞∑
n=0
dn (f~x0)
n!= f (~x0) +
1
1!df (~x0) +
1
2!d2f (~x0) + . . .
.d0f (~x0) = f (~x0) כאשר
דוגמא:
.f (x, y) = x2 ln y ל (2, 1) הנקודה סביב טיילור טור מצא f : R2 → R .1
ש מפני
df (x0, y0) = f ′x∆x+ f ′
y∆y
נגדיר:
∆x = x− 2
∆y = y − 1
ואז
f (x, y) = f (2, 1) +(f ′x (2, 1)∆x+ f ′
y (2, 1)∆y)+
+1
2!
(f ′′xx (2, 1)∆x2 + f ′′
xy∆x∆y + f ′′yy∆y2
)+
+1
3!
(f ′′′xxx (2, 1)∆x3 + 3f ′′′
xxy (2, 1)∆x2∆y + 3f ′′′xyy (2, 1)∆x∆y2 + f ′′′
yyy (2, 1)∆y2)+ . . .
(2, 1) בנקודה נגזור
f ′x = 2x ln y = 0
f ′′xx = 2 ln y = 0
f ′′′xxx = 0
f ′y =
x2
y= 4
f ′′yx =
2x
y= 4
f ′′yy = −x2
y2= −4
f ′′′xxy =
2
y= 2
f ′′′xyy = −2x
y2= −4
f ′′′yyy =
2x2
y3= 857
הסתומה הפונקציה 9
נציב עכשיו
f (x, y) = x2 ln y
≈ 0 + (0 + 4 (y − 1)) +1
2!
(
0 + 8 (x− 2) (y − 2) +−4 (y − 1)2)
+1
3!
(
0 + 6 (x− 2)2(y − 1)− 12 (x− 2) (y − 1)
2+ 8 (y − 1)
3)
R3 → R מ לעשות ונרצה במידה .R2 → R של בדיפרנציאל השתמשנו כאן 8.19 הערה
df = f ′x∆x+ f ′
y∆y + f ′z∆z
d2 =
(∂
∂x∆x+
∂
∂y∆y +
∂
∂z∆z
)2...הסתומה הפונקציה 9
2010־04־29הסתומה הפונקציה משפט 9.1
את להגדיר ניתן לא y = ±1 ובנקודות .x של כפונקציה y את להגדיר ניתן לא x = ±1 בנקודות ־ x2 + y2
.y של xכפונקציה
R של פנימית נקודה M0 (x01, x02, . . . , xn0, y0) ותהי R ב המוגדרת F (x1, x2, . . . , xn, y0) תהי 9.1 משפטשבה:
F (M0) = 0 .1
F ∈ C−1 (M0) .2
F ′y (M0) 6= 0 .3
F (x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)) = ש כך y = f (x1, . . . , xn) יחידה הפונקציה מוגדרת M0שבה של סביבה קיימת אזהבאות: התכונות ובעלת 0
y0 = f (x0) .1
ע״י נתונה והנגזרת x1, . . . , xn ב גזירה f ו x1, . . . , xn ב רציפה f (x1, . . . , xn) .2
y′xj (x0) = −F ′xj
(M0)
F ′y (M0)
.F ′y (x0, y0) 6= 0 ש ידוע אחד). (משתנה y משתנה של כפונקציה F (x0, y) על נסתכל הוכחה:
.(x0, y0) הנקודה סביב עולה מונוטונית פונקציה F ⇐ F ′y (x0, y0) > 0 הכלליות הגבלת בלי נניח
אז F (x0, y0) = 0 ש ומכוון עולה, F (x0, y) שבה [y0 − β, y0 + β] סביבה קיימת לכן
F (x0, y0 + β) > 0
F (x0, y0 − β) < 058
הסתומה הפונקציה 9 הסתומה הפונקציה משפט 9.1
F שבה (x0 − δ1, x0 + δ1) x0 של סביבה קיימת ⇐ הנקודה) של מהתכונות (אחת רציפה F (x0, y0 + β)חיובית.
F שבה (x0 − δ2, x0 + δ2) x0 של סביבה קיימת ⇐ הנקודה) של מהתכונות (אחת רציפה F (x0, y0 − β)שלילית.
x ∈ (x0 − α, x0 +mga) לכל . α = min [δ1, δ2] נגדיר
F (x, y0 − β) < 0 , F (x, y0 + β) > 0
נסמן
∆1 = (x0 − α, x0 + α)
∆2 = (y0 − β, y0 + β)
∆ = ∆1 ×∆2
ש כך קטנים מספיק α, β נבחר
∆ ⊂+R
y את להגדיר ניתן ⇐ F (x′, y′) = 0 ש כך יחידה y′ ∈ ∆2 קיימת x′ ∈ ∆1⇐ ומונוטונית רציפות בגללש נובע מכאן .( (x0, y0) הנקודה בסיבית y = f (x) (ז״א (x0, y0) הנקודה בסביבת x של כפונקציה
:M0 ב דיפרנציאבילית F ( F ∈ C1 (M0)) שני תנאי לפי נקודה. באותה רציפה f ו ,f (x0) = y0
0↓
F (x0 +∆x, y0 +∆y)−0↓
F (x0, y0) = F ′x (x0, y0)∆x+ F ′
y (x0, y0)∆y
+α (∆x,∆y)∆x + β (∆x,∆y)∆y
כאשר
lim(∆x,∆y)→(0,0)
α (∆x,∆y) = 0
lim(∆x,∆y)→(0,0)
β (∆x,∆y) = 0
(0 מ שונה שהיא (שידוע F ′y (x0, y0) ב המשוואה את נחלק
∆x
∆y= −F ′
x (x0, y0)
F ′y (x0, y0)
+α (∆x,∆y)
F ′y (x0, y0)
+∆y
∆x
β (∆x,∆y)
F ′y (x0, y0)
(∆x,∆y) → (0, 0) נשאיף
f ′ =∆x
∆y= −F ′
x (x0, y0)
F ′y (x0, y0)
דוגמה:
3x2y − yz2 − 4xz = 7 משוואה נתונה .1
M0 (−1, 1, 2) הנקודה בסביבת y = f (x, z) סתומה פונק׳ מוגדרת הנתונה שהמשוואה הוכח (א)נגדיר
F = 3x2y − yz2 − 4xz − 7
התנאים: שלושת את נבדוק
F (−1, 1, 2) = 0 .i59
הסתומה הפונקציה משפט 9.1 הסתומה הפונקציה 9
.iif ′x = 6xy − 4z
f ′y = 3x2 − z2
f ′z = −2yz − 4x
F ∈ c1 (M0) ,⇐ M0 בנקודה ורציפות קיימות הנגזרות כל
.iiiF ′y (M0) = F ′
y (−1, 1, 2)
= 3 (−1)2 − 22
= −1 6= 0
x, z של כפונקציה y את להגדיר ניתן הסתומה, הפונקציה משפט לפי
y = f (x, z)
מצאו (ב)
y′x (−1, 2) = ?
y′y (−1, 2) = ?
y′x (−1, 2) =−F ′
x (−1, 1, 2)
F ′y (−1, 1, 2)
= −6 (−1) · 1− 4 · 2−1
= −14
y′z (−1, 2) = −F ′z (−1, 1, 2)
F ′y (−1, 1, 2)
= −−2 · 1 · 2− 4 · −1
−1= 0
ln(xy2z
)+ z2ey = 4e .2
חלקיות. נגזרות מצאו כן, אם ,M0
(12 , 1, 2
)בנקודה (x, y) של כפונקציה z את להגדיר ניתן האם (א)
פונקציה נגדיר
F = ln(xy2z
)+ z2ey − 4r
התנאים שלושת את נבדוק
F (M0) = 0 .i60
הסתומה הפונקציה 9 סתומות פונקציות של מערכות 9.2
.iiF ′x =
y2z
xy2z
=1
x
F ′y =
2yxz
xy2z+ z2ey
=2
y+ z2ey
F ′z =
xy2
xy2z+ 2zey
=1
z+ 2zey
F ′z (M0) =
12 + 4e 6= 0 .iii
.(x, y) של כפונקציה z את להגדיר ניתן הסתומה, הפונקציה משפט לפי לכן
חלקיות נגזרות מצאו כן, אם ,M0
(12 , 1, 2
)בנקודה (x, z) של כפונקציה y את להגדיר ניתן האם (ב)
z′x
(1
2, 1
)
= −F ′x
(12 , 1, 2
)
Fz
(12 , 1, 2
)
= − 212 + 4e
z′y
(1
2, 1
)
= −F ′y
(12 , 1, 2
)
Fz
(12 , 1, 2
)
= −21 + 22e1
12 + 4e
סתומות פונקציות של מערכות 9.2
תהי 9.2 משפט
F (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, y3) = 0G (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, y3) = 0H (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, y3) = 0
בנקודה
M0 (x01, x02, . . . , x0n, y01, y02, y03)
הבאים: התנאים מתקיימים כאשר
F,G,H ∈ C1 (M0) .1
.2
F (M0) = 0
G (M0) = 0
H (M0) = 061
סתומות פונקציות של מערכות 9.2 הסתומה הפונקציה 9
:M0 בנקודה לנגזרות שרשרת, כלל לפי .3
∂F
∂xj
+∂F
∂y1· ∂y1∂xj
+∂F
∂y2· ∂y2∂xj
+∂F
∂y3· ∂y2∂xj
= 0
∂G
∂xj
+∂G
∂y1· ∂y1∂xj
+∂G
∂y2· ∂y2∂xj
+∂G
∂y3· ∂y2∂xj
= 0
∂H
∂xj
+∂H
∂y1· ∂y1∂xj
+∂H
∂y2· ∂y2∂xj
+∂H
∂y3· ∂y2∂xj
= 0
למערכת יחיד פתרון קיים , ∂y1
∂xj, ∂y2
∂xj, ∂y3
∂xjהם הנעלמים כאשר
J =D (F,G,H)
D (y1, y2, y3)=
∣∣∣∣∣∣∣
∂F∂y1
∂F∂y2
∂F∂y3
∂G∂y1
∂G∂y2
∂G∂y3
∂H∂y1
∂H∂y2
∂H∂y3
∣∣∣∣∣∣∣
6= 0
יעקוביאן. קוראים J ל 9.3 הגדרה
(x1, . . . , xn) של כפונקציה y1, y2, y3 להגדיר שניתן נובע מכאן
∂yi∂xj
(x01, . . . , x0n) = −JiJ
לדוגמא: ,
∂F∂xj
∂G∂xj
∂H∂xj
בעמודה
∂F∂yi∂G∂yi∂H∂yi
העמודה את נחליף שבו יעקוביאן זה Ji כאשר
J1 =D (F,G,H)
D (xj , y2, y3)=
∣∣∣∣∣∣∣
∂F∂xj
∂F∂y2
∂F∂y3
∂G∂xj
∂G∂y2
∂G∂y3
∂H∂xj
∂H∂y2
∂H∂y3
∣∣∣∣∣∣∣
דוגמה:
שהמערכת הוכח .1{
xeu+veuv = 1yeu−v + u
1+v= 2x
x0 = 1 ו y0 = 2 ,u0 = v0 = 0 הנקודה בסביבות v = v (x, y) ו u = u (x, y) גזירות פונקציה מגדירה.(1, 2) בנקודה v′x, v
′y, u
′x, u
′y הנגזרות את וחשבו
סתומות פונקציות מערכת למשפט תנאים נבדוק
(א){
F (x, y, u, v) = xeu+v + 2uv − 1G (x, y, u, v) = yeu−v + u
1+v− 2x
⇒{
F (1, 2, 0, 0) = 1e0 − 2 · 0− 1 = 0G (1, 2, 0, 0) = 2e0 + 0− 2 = 0
M0 (1, 2, 0, 0) בנקודה (F,G ∈ c1) ורציפות קיימות החלקיות הנגדרות כל 62(ב)
משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10
(ג)
J =D (F,G)
D (u, v)
=
∣∣∣∣
F ′u F ′
v
G′u G′
v
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
xeu+v + 2v xeu+v + 2uyeu−v + 1
v+1 −yeu−v + u(1+v)2
∣∣∣∣
M0 הנקודה את נציב∣∣∣∣
xeu+v + 2v xeu+v + 2uyeu−v + 1
v+1 −yeu−v + u(1+v)2
∣∣∣∣(1,2,0,0)
=
∣∣∣∣
1 13 −2
∣∣∣∣
= −5 6= 0
.0 מ שונה היעקוביאן כלומר
x, y של כפונקציה u, v את להגדיר ניתן הסתומה הפונקציה משפט לפי כעט
u′x (1, 2) = −
D(F,G)D(x,v)
J
=
∣∣∣∣
eu+v xeu+v + 2u−2 −yeu−v + u
(1+v)2
∣∣∣∣
−5
=
∣∣∣∣
1 1−2 −2
∣∣∣∣
−5= 0
v′x (1, 2) = −D(F,G)D(u,x)
J
הנגזרות לשאר האלה וכן
משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10־ 2010־5־3ע״י הוחלףאלכסנדר ד״ר
אוחלוב
משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1
של סביבה קיימת אם (x0, y0) בנקודה מקומי ( מינימום ) מקסימום יש z = f (x, y) לפונקציה 10.1 הגדרהמהסביבה (x, y) שלכל כך (x0, y0)
f (x, y) ≤ f (x0, y0)
(f (x, y) ≥ f (x0, y0))
דוגמא:
אליפטי פרבלואיד .1
z = x2 + y2
(0, 0) ב מינימום נקודת יש
63
משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10
-10-5
05
10
-10
-5
05
10
0
50
100
150
200
אליפטי פרבולואיד :4 איור
חרוט .2
z = −√
x2 + y2
(0, 0) ב מקסימום נקודת יש
-10-5
05
10
-10-5
05
10
-10
-5
0
חרוט :5 איור
חלקית הנגזרת אז (x0, y0) בנקודה קיצון יש z = f (x, y) לפונקציה אם קיצון) של הכרחי (תנאי 10.2 משפטזאת בנקודה
∂f
∂x(x0, y0) = 0
∂f
∂y(x0, y0) = 0
קיצון. נקודת היא x0 שבה z (x) = f (x, y0) אחד משתנה של פונקציה נגדיר .(x0, y0) , z = f (x, y) הוכחה:לכן
z′ (x0) = 0
כלומר
∂f
∂x(x0, y0) = 064
משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1
z (y) = f (x0, y) ,y ב דבר אותו נגדיר
z′ (y0) = 0
לכן
∂f
∂y(x0, y0) = 0
דוגמא:
אליפטי פרבלואיד של הקודמת בדוגמא .1
z′x = 2x = 0
z′y = 2y = 0
קיצון. נקודת יש (0, 0) בנקודה לכן
נקודות יש (x0, y0) בנקודה מרכז עם פתוח כדור לכל אם אוכף נקודת היא (x0, y0) נקודה 10.3 הגדרהש כך (x′, y′)
f (x′, y′) < f (x0, y0)
ש כך (x′′, y′′) נקודות ויש
f (x′′, y′′) > f (x0, y0)
דוגמא:
(0, 0) ב אוכף נקודת יש ־ z = −x2 + y2 .1
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-100
-50
0
50
100
היפרבולי פרבולואיד :6 65איור
משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות משתנים10.1 מספר של פונקציה של אקסטרמום 10
שהפונקציה נניח מספיק) (תנאי 10.4 משפט
z = f (x, y)
ו (x0, y0) נקודה של בסביבה רציפות שני סדר עד חלקיות נגזרות וגם רציפה
f ′x (x0, y0) = f ′
y (x0, y0) = 0
אם .1
∆(x0, y0) = f ′′xx (x0, y0) · f ′′
yy (x0, y0)−(f ′′xy (x0, y0)
)> 0
=
∣∣∣∣
f ′′xx (x0, y0) f ′′
xy (x0, y0)f ′′xy (x0, y0) f ′′
yy (x0, y0)
∣∣∣∣
מקומי קיצון נקודת היא
מקסימום נקודת ־ f ′′xx (x0, y0) < 0 (א)
מינימום נקודת ־ f ′′yy (x0, y0) > 0 (ב)
אם .2
f ′′xx (x0, y0) · f ′′
yy (x0, y0)−(f ′′xy (x0, y0)
)< 0
אוכף נקודת
מוגדר. לא ־ f ′′xx (x0, y0) · f ′′
yy (x0, y0)−(f ′′xy (x0, y0)
)= 0 אם .3
הוכחה:
f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0) =
=0↓
∂f
∂x(x0, y0)∆x+
=0↓
∂f
∂y(x0, y0)∆y +
+1
2
[
A↓
∂2f
∂x2(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) (∆x)
2+
+
B↓
2∂2f
∂x∂y(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)∆x∆y
C↓
+∂2f
∂y2(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) (∆y)
2]
A =∂2f
∂x2(x0, y0)
B =∂2f
∂x∂y(x0, y0)
C =∂2f
∂y2(x0, y0)
כלומר
f (x0 +∆x, y0 +∆y)− f (x0, y0) ≈ 1
2
[
A (∆x)2+ 2B∆x∆y + C (∆y)
2]
=1
2A
≥0↓
(A∆x+B∆y)2 +(AC −B2
)(∆y)2
66
משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1
נקודת יש אז AC −B2 < 0 אם .max נוקדת יש A < 0 אם ,min נקודת יש אז A > 0 ו AC −B2 > 0 אםאוכף
דוגמא:
z = x2 + xy + y2 − 2x− 3y .1
(א)
z′x = 2x+ y − 2
z′y = x+ 2y − 3
מערכת קיבלנו{
2x+ y − 2 = 0x+ 2y − 3 = 0
לכן
x =1
3
y =4
3
שניה נגזרת נגזור (ב)
z′′xx = 2
z′′yy = 2
z′′xy = 1
∆ נמצא
∆ =
∣∣∣∣
2 11 2
∣∣∣∣= 4− 1 = 3 > 0
מינימום. נקודת זו z′′xx > 0 ש מפני קיצון. נקודת יש לכן
z = x2 − y2 .2{
z′x = 2x = 02′y = 2y = 0
שניה נגזרת נעשה .(0, 0) נקודת קיבלנו
z′′xx = 2
z′′yy = −2
zxy′′ = 0
∆ נבדוק
∆ =
∣∣∣∣
2 00 −2
∣∣∣∣= −4 < 0
אוכף נקודת זו 67לכן
משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות משתנים10.1 מספר של פונקציה של אקסטרמום 10
לקיצון הכרחי תנאי נבדוק .z = x4 + y4 .3
z′x = 4x3 = 0
z′y = 4y3 = 0
מספיק תנאי נבדוק .(0, 0) ב קיצון נקודת יש
z′′xx = 12x2
z′′yy = 12y2
z′′xy = 0
הדטרמיננטה לכן
∆(0, 0) =
∣∣∣∣
0 00 0
∣∣∣∣= 0
הגדרה לפי נבדוק מוגדר. לא לכן
z (0, 0) = 0
z (x, y) = x4 + y4 > 0
z (x, y) ≥ z (0, 0)
מינימום. נקודת זו לכן
z = x3 + y3 − 3xy .4
z′x = 3x2 − 3y
z′y = 3y2 − 3x
0 ל נשווה
x2 − y = 0
y2 − x = 0
לכן
x4 − x = 0
x = 1 ⇒ y = 1
x = 0 ⇒ y = 0
אלה נקודות איזה לבדוק כדי שניה נגזרת נגזור קיצון. כנקודות חשודות נקודות שתי קיבלנו
z′′xx = 6x
z′′yy = 6y
z′′xy = −3
(0, 0) בנקודה לכן
∆(0, 0) =
∣∣∣∣
0 −3−3 0
∣∣∣∣= −9 < 0
(1, 1) בנקודה אוכף. נקודת זו לכן
∆(1, 1) =
∣∣∣∣
6 −3−3 6
∣∣∣∣= 36− 9 = 27 > 0
68
משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1
מינימום נקודת זו z′′xx > 0 ש בגלל קיצון, נקודות זו לכן
Ax2 + 2Bxy + Cy2 ∼ ax2 + bx2
ש להגיד ניתן לכן(a 00 b
)
= P−1
(A BB C
)
P
⇐⇒ ax2 + bx2 > ש0 ש נניח
a > 0, b > 0
m
a > 0, ab > 0
m
a > 0,
∣∣∣∣
a 00 b
∣∣∣∣> 0
⇐⇒ ax2 + bx2 < 0 ואם
a < 0, b < 0
m
a < 0, ab > 0
m
a < 0,
∣∣∣∣
a 00 b
∣∣∣∣> 0
A את רק בודקים אנו לכן
z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 .5
z′x = 4x3 − 2x− 2y
z′y = 4y3 − 2x− 2y
נגזור .(0, 0) , (−1,−1) , (1, 1) החשודות הנקודות את ונמצא 0 ל נשווה
z′′xx = 12x2 − 2
z′′yy = 12y2 − 2
z′′xy = −2
נקודה לכל ∆ נמצא
∆(0, 0) =
∣∣∣∣
−2 −2−2 −2
∣∣∣∣= 069
משתנים 2 עם בפונקציות קיצון נקודות 10.1 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10
כך. אחר אותה נבדוק מוגדרת, לא (0, 0) לכן
∆(1, 1) =
∣∣∣∣
10 −2−2 10
∣∣∣∣= 96 > 0
∆ (−1,−1) =
∣∣∣∣
10 −2−2 10
∣∣∣∣= 96 > 0
מינימום. נקודות אלו z′′xx > 0 ש מפני קיצון. נקודות הן (1, 1) ו (−1, 1) הנקודות ולכן
נבדוק ואם z (x, y) > 0 אז y = −x כאשר הנקודה של בסיבה נסתכל אם .(0, 0) הנקודה את נבדוקאוכף. נקודת היא (0, 0) הנקודה ולכן |x| < 1 כאשר 0 מ שקטן z (x) == x4 − x2 אז y = 0 כאשר
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
5
10
15
20
z = xy + 50x+ 20
y, x, y > 0 .6
z′x = y − 50
x2
z′y = x− 20
y2
0 ל נשווה
y =50
x2
x =20
y2
y
x=
5
2· y
2
x2
1 =5
2
y
x
x =5
2y70
משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.2
חזרה נציב
5
2y =
20
y2
5y3 = 40
y3 = 8
y = 2
x = 5
מספיק תנאי נבדוק
z′′xx =100
x3
z′′yy =40
y3
z′′xy = 1
∆ נבדוק
∆(5, 2) =
∣∣∣∣
45 11 5
∣∣∣∣= 4− 1 = 3 > 0
קיצון. יש
z′′xx =4
5> 0
מינימום. נקודת זו לכן
משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.2
w = f (x, y, z)
קיצון לנקודות הכרחי תנאי 10.5 משפט
∂f∂x
= 0∂f∂y
= 0∂f∂z
= 0
מספיק תנאי 10.6 משפט
∆ =
f ′′xx f ′′
xy f ′′xz
f ′′xy f ′′
yy f ′′yz
f ′′xz f ′′
yz f ′′zz
מינורים 3 לבדוק רוצים אנחנו
ראשון מינור .1
|f ′′xx| (*)71
משתנים 3 עם במשוואות קיצון נקודות 10.2 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10
שני מינור .2∣∣∣∣
f ′′xx f ′′
xy
f ′′xy f ′′
yy
∣∣∣∣
(**)עצמה) (המטריצה שלישי מינור .3
∣∣∣∣∣∣
f ′′xx f ′′
xy f ′′xz
f ′′xy f ′′
yy f ′′yz
f ′′xz f ′′
yz f ′′zz
∣∣∣∣∣∣
(***)המינורים שלושת של הסימנים את נבדוק
מינימום נקודת יש ־ ∆ > 0 ־ חיוביים (***) ו (**) , (*) אם .1
מקסימום נקודת יש ־ ∆ < 0 ־ חיובי (**) ו שליליים (***) ו (*) אם .2
אוכף. יש ־ (0 (כולל המקרים שאר כל .3
דוגמא:
w = x2 + y2 + z2 + 2x+ 4y − 6z .1
w′x = 2x+ 2
w′y = 2y + 4
w′z = 2z − 6
מספיק תנאי נבדוק חשודה. כנקודה (−1,−2,−3) נקודה ונקבל , 0 ל נשווה
w′′xx = 2
w′′xy = 0
w′′xz = 0
w′′yy = 2
w′′yz = 0
w′′zz = 2
לכן
∆ =
2 0 00 2 00 0 2
לכן חיובי גם
2 0 00 2 00 0 2
השלישי המינור חיובי. גם(2 00 2
)
השני המינור חיובי. (2) הראשון המינור
מינימום. נקודת זו
w = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z .2
w′x = 3x2 + 12y
w′y = 2y + 12x
w′z = 2z + 2
קיצון. כנקודות חשודות כנקודות (24, 144,−1) ו (0, 0,−1) הנקודות את ונקבל 0 ל 72נשווה
משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10 לגרנג׳ כפולי 10.3
מספיק תנאי נבדוק
W ′′xx = 6x w′′
xy = 12 w′′xz = 0
w′′yy = 2 w′′
yz = 0w′′
zz = 2
הבאה המטריצה את נקבל לכן
6x 12 012 2 00 0 2
.(24,−144,−1) נקודה נבדוק
|144| > 0∣∣∣∣
144 1212 2
∣∣∣∣
> 0
∣∣∣∣∣∣
144 12 012 2 00 0 2
∣∣∣∣∣∣
> 0
(0, 0,−1) הנקודה את נבדוק מינימום. נקודת זוהי לכן
0 12 012 2 00 0 2
הגדרה לפי הנקודה עם מה נבדוק לכן מוגדר, לא וזה |0| הוא הראשון המינור
∆w = w (x0 +∆x, y0 +∆y, z0 +∆z)− w (x0, y0, z0)
∆z = ∆y = 0 כאשר נבדוק
w (∆x, 0,−1)− w (0, 0,−1) =(∆x3
)+ 1− 2− (1− 2)
= (∆x)3
לכן
∆w (0, 0,−1) = (∆x)3
קיצון. לא זה ולכן שלילי או חיובי, להיות יכול ∆x
לגרנג׳ כפולי 10.32010־05־10
המשוואה את שמקיימות הקיצון נקודות מהם לדעת ונרצה f (x, y) = x2y הבאה במשוואה נתבונן
g (x, y)− x2 + y2 = 1
האילוץ. פונקציית היא g (x, y) כאשר .1 רדיוס בעל מעגל שפת על כלומרשל פונקציה נקבל כך הפונקציה. במשוואת והצבתם y או x של בידוד ע״י היא הבעיה את לפתור א׳ דרך
הרגילה. בדרך קיצון נקודות למצוא ונוכל אחד, משתנה
x2 + y2 = 1
x2 = 1− y273
לגרנג׳ כפולי 10.3 משתנים מספר של פונקציה של אקסטרמום 10
המקורית במשוואה נציב
f (y) =(1− y2
)y
= y − y3
לגרנג׳ כפולי בשיטת שימוש ־ ב׳ דרך
לגרנג׳) (פונקציית 10.7 הגדרה
L (x, y, λ) = f (x, y) + λ (g (x, y))
לנו. שיש אילוץ פונקציית לכל λ קיים כאשר
שלנו בפוקנציה קיצון למצוא כדי בפונקציה נשתמש
L (x, y, λ) = x2y + λ(x2 + y2 − 1
)
x, y, λ לפי נגזור
L′x = 2xy + 2λx
L′y = x2 + 2λy
L′λ =
g(x)↓
x2 + y2 − 1
:0 ל נמגזרות את נשוןה
2xy + 2λx = 0
x2 + 2λy = 0
x2 + y2 − 1 = 0
נקודות שש נקבל האלה המשוואות שלושת את נפתור אם
M1 (0, 1) , M2 (0,−1) , M3
(√
2
3,1
3
)
, M4
(√
2
3,−1
3
)
, M5
(
−√
2
3,1
3
)
, M6
(
−√
2
3,−1
3
)
נציב מוחלטים. ומקסימום מינימום יש ווירשטרס משפט לפי סגור, בתחום רציפה פונקציה היא f (x, y) ש מפניבמשוואה: הנקודות את
f (M1) = f (M2) = 0
f (M3) =2
3√3
f (M4) = − 2
3√3
f (M5) = f (M6) =2
3√3
מוחלט. מינימום נקודה היא M4 והנקודה מוחלט, מקסימום נקודות הן M3,M5,M6 נקודות ולכן
נקודות אז Rm → R ב ורציפות) קיימות חלקיות (נגזרות gn, . . . , g2, g1, f ∈ c1 פונקציות יהיו 10.8 משפטלגרנג׳ פונקציית של האקסטרמום נקודות הן g1 = 0, . . . , gn = 0 האילוצים תחת f של הקיצון
L (x1, x2, . . . , xm, λ1, . . . , λn) = f (x1, . . . , xm) +
n∑
i=1
λigi74
מימדי רב אינטגרל 11
דוגמה:
לגרנג׳ במשוואת נציב .x2 − y = 4 ו x+ y = 2 האילוצים תחת f (x, y) = x2 + y .1
L (x, y, λ, µ) = x2 + y + λ (x+ y − 2) + µ(x2 − y − 4
)
המשתנים ארבעת לפי נגזור
L′x = 2x+ λ+ 2xµ
L′y = 1 + λ− µ
L′λ = x+ y − 2
L′µ = x2 − y − 4
נקבל השלישית מפונקציה
y = 2− x
הרביעית במשוואה ונציב
x2 + x− 6 = 0
נקודות שתי ונקבל
(−3, 5) , (2, 0)
הראשונות. המשוואות בשתי גם האלה הנקודות שתי של קיום לבדוק יש
לגרנג׳ במשפט 10.9 הערה
λi 6= 0
.f של האילוץ תחת קיצון נקודות לא הן ולכן λ = 0 M2 ו M1 בנקודות שמצאנו, הראשון בתרגיל
מימדי רב אינטגרל 11
חוזר אינטגרל 11.1
I (y) =
bˆ
a
f (x, y) dx
.11ˆ
0
x2ydx =x3
3· y∣∣∣∣
1
0
=1
3x
האינטגרל חוזר) (אינטגרל 11.1 הגדרהdˆ
c
I (y)dy =
dˆ
c
bˆ
a
f (x, y) dx
dy
כך: אותו ונסמן חוזר, אינטגרל נקרא
dˆ
c
dy
bˆ
a
f (x, y) dx75
כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11
.2
1ˆ
0
dy
3ˆ
2
xydx =
1ˆ
0
dy
[
x2y
2
∣∣∣∣
3
2
]
=
1ˆ
0
9
2y − 2ydy
כפול אינטגרל 11.2
R = [a, b]× [c, d] ב המוגדרת פונקציה f (x, y) פונקיה תהיקטעים n ל [a, b] את נחלק
a ≤ x0 ≤ x1 ≤ x2 · · · ≤ xn ≤ b
ונסמן
∆xi = xi − xi−1
קטעים m ל [c, d] את נחלק דומה באופן
c ≤ y0 ≤ y1 ≤ y2 · · · ≤ yn ≤ d
ונסמן
∆yi = yi − yi−1
מלבן נסמן
Rij = ∆xi ×∆yj
(ui, vj) שרירותית נקודה נבחר Ri,j מלבן בכל מלבנים. m× n סה״כאינטגרבילי כסכום S נסמן
S =
m∑
j=0
n∑
i=0
f (ui, vj) ·∆xi ·∆yj
הפונקציה). (ערך בנקודה הגובה זהו f (ui, vi) ו המלבן, שטח זהו ∆xi ·∆yi כאשר
המבלן אלכסון ־ dij =√
∆x2i +∆y2j •
המלבנים. בכל ביותר הארוך האלכסון ־ ∆ = maxdij •
הסכום של סופי גבול קיים אם R מלבן על רימן) (לפי אינטגרבילית f (x, y) שפונקציה אומרים 11.2 הגדרהבחלוקה תלוי שאינו (m,n → ∞ ש כלומר ,∆ → 0) ל־0 שואפל ∆ המקסימלי האלכסון כאשר האינטגרבילי
(ui, vj) בבחירת תלוי ואינו R שלכך: אותו נסמן
I =
¨
R
f (x, y) dxdy76
מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2
כפול. אינטגרל I ל ונקרא
mij = minRij
f (x, y)
Mij = maxRij
f (x, y)
דרבו: סכום
S =m∑
j=0
n∑
i=0
Mij∆xi∆yj
S =
m∑
j=0
n∑
i=0
mij∆xi∆yj
S ≤ S ≤ S
וקיים R = [a, b]× [c, d] במלבן המוגדרת f (x, y) פונקציה תהי פוביני) משפט של פרטי (מקרה 11.3 משפט´ b
aI (x) dx קיים אז I =
´ d
cf (x, y) dy קיים [a, b] ב x ולכל
˜
Rf (x, y) dxdy
¨
R
f (x, y) dxdy =
bˆ
a
dx
dˆ
c
f (x, y) dy
mij ≤ f (x, y) ≤ Mij (x, y) ∈ Rij לכל הוכחה:∆yij בקטע y לפי אינטגרציה נבצע .mij ≤ f (ti, y) ≤ Mij מתקיים ti ∈ ∆xi לכל
mij∆yj ≤yjˆ
yj−1
f (ti, y) dy ≤ Mij∆yj
∑mj=0 נסכום כעט
m∑
j=0
mij∆yj ≤dˆ
c
f (ti, y) dy ≤m∑
j=0
Mij∆yj
∑ni=0 סכום ונבצע ∆xi ב נכפול
S ≤n∑
i=0
dˆ
c
f (ti, y)∆xi ≤ S
∆ → 0 נשאיף וכאשר
S = S =
bˆ
a
I (x) dx
77
כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11
אם .x לכל y1 (x) ≤ y2 (x) ו וסגור חסום D בתחום מוגדרת f תהי פוביני) (משפט 11.4 משפטהכפול האינטגל אז קיים I (x) =
´ y2(x)
y1(x)f (x, y) dxdy קבוע x ולכל קיים
˜
Df (x, y) dxdy
¨
D
f (x, y) dxdy =
bˆ
a
dx
y2(x)ˆ
y1(x)
f (x, y) dy
קיים.
ואז ,R לשטח שמתאימה פונקציה ונגדיר ,D תחום את שיתחום מלבן לבחור נוכל הוכחה:
F (x, y) =
{
0 (x, y) ∈ R \Df (x, y) (x, y) ∈ D
ואז ,D התחום בתוך הפונקציה של והערך D לתחום שמחוץ במלבן הנקודות בכל 0 כלומר¨
R
F (x, y) dxdt =
¨
D
f (x, y) dxdy
=
bˆ
a
dx
dˆ
c
F (x, y) dy
dˆ
c
F (x, y) dy =
=0︷ ︸︸ ︷
����y1
ˆ
c
Fdy+
y2ˆ
y1
Fdy +
=0︷ ︸︸ ︷
�����d
ˆ
y2
Fdy =
y2ˆ
y1
f (x, y)
חזרה נציב
¨
D
fdxdy =
¨
R
Fdxdy =
bˆ
a
dx
y2(x)ˆ
y1(x)
f (x, y) dy
חוזר. אינטגרל לפי אותו לחשב נוכל המפשט ע״פ נפח, מחשב כפול 2010־05־13אינטגרלדוגמה:
חשבו .1¨
D
x2ydxdy
.y2 = x , x = 2 ,yx = 1 ע״י חסום D כאשר
D
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
78
מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2
1x< y <
√y ו x = 1 היא y = 1
xו y =
√x של החיתוך נקודת א׳: דרך (א)
¨
D
x2ydxdy =
2ˆ
1
dx
√xˆ
1x
x2ydy
=
2ˆ
1
dx
(
x2y2
2
∣∣∣∣
√x
1x
)
=
2ˆ
1
x2 (√x)
2
2− x2 ·
(1x
)2
2dx
לשניים D התחום את נחלק ב׳: דרך (ב)
D = D1 ∪D2
D1 =
{
1 ≤ y ≤√2
y2 ≤ x ≤ 2
D2 =
{12 ≤ y ≤ 11y≤ x ≤ 2
יהיה: האינטגרל ואז¨
D
=
¨
D1
+
¨
D2
=
√2ˆ
1
dy
2ˆ
y
x2ydx+
1ˆ
12
dy
2ˆ
1y
x2ydx
את מצא .2¨
D
sin (xy) dxdy
x = 0 ו y =√x ו y = 1 ע״י חסום D כאשר
D
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
79
כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11
√x ≤ y ≤ 1 ו 0 ≤ x ≤ 1 ע״י חסום א׳: דרך (א)
¨
S
sin (xy) dxdy =
1ˆ
0
dx
1ˆ
√x
sin (xy) sy
יהיה האינטגרל ואז ,0 ≤ x ≤ y2 נחום x את ואז 0 ≤ u ≤ 1 ע״י y את נחסום ב׳: דרך (ב)
¨
S
sin (xy) dxdy =
1ˆ
0
dy
y2ˆ
0
sin (xy) dx
חשב .3
1ˆ
0
dx
1ˆ
√x
exy dy
ידעים אנחנו באינטגרל. הסדר של החלפה לעשות צריך לכן exy ל y לפי אינטגרל לעשות ניתן לא
ע״י חסום שהאינטגרל{
0 ≤ x ≤ 1√x ≤ y ≤ 1
הוא ההפוך שהחסם ונראה נצייר
{
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ x ≤ y2
הוא האינטגרל לכן
1ˆ
0
dy
y2ˆ
0
exy dx =
1ˆ
0
dy
e
xy
1y
∣∣∣∣∣
y2
0
=
1ˆ
0
y (ey − 1) dy
בחלקים. אינטגרציה לפי לפתור ניתן כבר וכאן
כפול באינטגרל משתנים החלפת 11.2.1
ערכית ∆חד־חד לתחום D תחום המעתיקות c1 ל השייכות פונקציות x (u, v) , y (u, v) יהיו 11.5 משפט
D (x, y)
D (u, v)= J 6= 0
אז ,0 מ שונה היעקוביאן7 כלומר
62 בעמוד 9.3 הגדרה 780ראה
מימדי רב אינטגרל 11 כפול אינטגרל 11.2
D של השטח .1
S (D) =
¨
∆
|J | dudv
דטרמיננטה. על מוחלט ערך זה |J | ש לב לשים ישמסקנה: .2
¨
D
f (x, y) dxdy =
¨
∆
f (x (u, v) , y (u, v)) |J | dudv
דוגמא:
ע״י חסום A כאשר˜
A(x+ y)10 (x− y)12 dxdy .1
y = x− 2
y = x+ 4
y = −x+ 3
y = −x+ 4
כך: גם התחום את לראות ניתן
y − x = −2
y − x = +4
y + x = 3
y + x = 4
משתנים החלפת נעשה
u = x+ y
v = y − x
יהיה החדש התחום ולכן
A =
v = −2
v = 4
u = 3
v = 4
y xו את נמצא היעקוביאן, את למצוא כדי
y =u+ v
2
x =u− v
2
הוא היעקוביאן לכן
J =D (x, y)
D (u, v)
=
∣∣∣∣
x′u x′
v
y′u y′v
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
12 − 1
212
12
∣∣∣∣
=1
2 81
כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11
ולכן
¨
A
(x+ y)10
(x− y)12
dxdy =
¨
A
u10 (−v)12 ·∣∣∣∣
1
2
∣∣∣∣dudv
=1
2
4ˆ
−2
v12dv
4ˆ
3
u10du
2010־05־17
האינטגרל את פתור .2¨
D
x+ 3y
x4e
y
x3 dxdy
ע״י חסום D כאשר
y = 4x3
y = 16x3
y + x = 4
y + x = 1
משתנים החלפת לעשות מומלץ
u = y + x
v =y
x3
J−1 את נמצא ולכן ,y xו את לבודד שקשה מפני רגיל, יעקוביען למצוא קשה
J =
(D (u, v)
D (x, y)
)−1
=
∣∣∣∣
u′x u′
y
v′x v′y
∣∣∣∣
−1
=
∣∣∣∣
1 1−3x2y
x61x3
∣∣∣∣
−1
=
∣∣∣∣
1 1−3yx4
1x3
∣∣∣∣
−1
=
(1
x3+
3y
x4
)−1
=
(x+ 3y
x4
)−1
=x4
x+ 3y
באינטגרל לנו שיש מה כמו ממש שזה בגלל פה אבל ,v ו u של לפונקציה היעבוקיאן את להעביר יש בד״כהוא החדש הטווח צורך. אין הפוך רק
1 ≤ u ≤ 4
4 ≤ v ≤ 1682
מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2
הוא האינטגרל ולכן
¨
Dx,y
x+ 3y
x4e
y
x3 dxdy =
¨
Du,v
����x+ 3y
x4ev
|J|↓
����x4
x+ 3ydudv
=
4ˆ
1
du
16ˆ
4
evdv
שלה. השטח את לדעת רוצים שאנו אליפסה זוהי ־¨
x2
a2 + y2
b2≤R2
dxdy .3
נגדיר
u =x
a
v =y
b
y ו x את למצוא כל כאן .u, v במישור למעגל x, y במישור האליפסה את הופכים בעצם אנחנו כך
x = au
y = bv
יעקוביאן נמצא
J =
∣∣∣∣
a 00 b
∣∣∣∣
= ab
לכן
I =
¨
u2+v2≤R2
|ab| dudv
= |ab|¨
u2+v2≤R2
ולכן מעגל, של שטח זהו˜
u2+v2≤R2 כאשר
¨
u2+v2≤R2
= |ab|πR2
קוטביות קורדינטות ־ משתנים החלפת 11.2.2
נגדיר קוטביות, לקורדינטות לעבור נרצה אם
x = r cos θ
y = r sin θ
83
כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11
ש ונראה
J =
∣∣∣∣
x′r x′
θ
y′r y′θ
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
cos θ −r sin θsin θ r cos θ
∣∣∣∣
= r
דוגמה:
πR2 ל שווה R רדיוס בעל מעגל של ששטח הוכח .1¨
x2+y2≤R2
dxdy
קוטביות קורדינטיות לפי
x = r cos θ
y = r sin θ
אז R ל 0 בין הוא במעגל נקודה כל של שהרדיוס מפני
0 ≤ r ≤ R
הוא θ ו
0 ≤ θ ≤ 2π
לכן ,J = r ש יודעים אנחנו
¨
x2+y2≤R2
dxdy =
2πˆ
0
dθ
R
0
rdr
=
2πˆ
0
dθ
(
r2
2
∣∣∣∣
R
0
)
=R2
2
2πˆ
0
dθ
= 2π · R2
2
= πR2
חשבו .2¨
D
√
1− x2 + y2dxdy
כאשר
D ={(x, y)
∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
}84
מימדי רב אינטגרל 11 כפול אינטגרל 11.2
פולריות לקורדינטות נעבור .(2 ל 0 בין עיגולים) (שני טבעת רבע זוהי
1 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ π
2
יהיה האינטגרל ואז
¨
1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
2
√
1− r2 · rdrdθ =
π2ˆ
0
dθ
2ˆ
1
√
1− r2 · rdr
חשבו .3¨
D
√
1− x2 + y2dxdy
כאשר
D ={
(x, y)∣∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≤ y ≤
√3x, x ≥ 0, x ≥ 0
}
לקורדינטות נעבור .(y = x, y =√3x) ישרים 2)ושני ל 0 בין עיגולים) (שני טבעת טבעת רבע זוהי
פולריות
1 ≤ r ≤ 2
π
4≤ θ ≤ π
3
יהיה האינטגרל ואז
¨
1 ≤ r ≤ 2π4 ≤ θ ≤ π
3
arctan
(
�r sin θ
�r sin θ
)
· rdrdθ =
π2ˆ
π4
θdθ
2ˆ
1
rdr
חשבו .4
I =
¨
D
dxdy√
x2 + y2
האינטגרל את נפתור ,(x ה וציר x = 1 ,y = x) (1, 1) ו (1, 0) (0, 0) הנקודות בין משולש הוא D כאשרנגדיר מעגל. כמו קצת שנראת מערכת יש שבאינטגרל בגלל קוטבית מערכת לפי
x = r cos θ
y = r sin θ
יהיה הרדיוס θ מסויימת בזווית הרדיוס, היא פה הבעיה .0 ≤ θ ≤ π4 תהיה הזווית
1
r= cos θ85
כפול אינטגרל 11.2 מימדי רב אינטגרל 11
r את נתחום לכן
0 ≤ r ≤ 1
cos θ
משולש. רוצים ואנחנו מעיגול, חלק נקבל שאז מפני ,√2 הוא המקסימלי שהרדיוס פה להגיד נכון לא
I =
¨
D
dxdy√
x2 + y2
=
π4ˆ
0
dθ
1cos θˆ
0
�r
�rdr
.5¨
D
xdxdy
כאשר
D ={(x, y)
∣∣ x2 + y2 ≤ x
}
מוזז עיגול הוא התחום
x2 + y2 = 2x
x2 − 2x+ y2 = 0
(x− 1)2 + y2 = 1
א׳ דרך (א)
x− 1 = r cos θ
y = r sin θ
J = 1
ואז הצירים, לראשית המעגל את הזזנו בעצם כאן
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2π
יהיה האינטגרל ואז
I =
2πˆ
0
dθ
1ˆ
0
x︷ ︸︸ ︷
(r cos θ + 1)J↓
rdr
הצירים את להזיז לא ב׳, דרך (ב)
x = r cos θ
y = r sin θ
נע הזווית
−π
2≤ θ ≤ π
286
מימדי רב אינטגרל כפול11 אינטגרל 11.2
הוא θ בזווית r הרדיוס
0 ≤ r ≤ 2 cos θ
יהיה האינטגרל אז ,2 הוא והקוטר מעלות, 90 היא הקוטר על שיושבת היקפית זווית r ש מפני
I =
π2ˆ
−π2
dθ
2 cos θˆ
0
r cos θrdr
I =´∞0
e−x2
dx .6
11.6 משפט
bˆ
a
f (x) dx ·dˆ
c
g (y) dy =
¨
a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d
f (x) g (y) dxdy
ש להגיד ניתן
I =
∞
0
e−y2
dy
ש להגיד ניתן ולכן
I2 =
∞
0
e−x2
dx
∞
0
e−y2
dy
=
¨
x>0,y>0
e−x2−y2
dydx
פולריות לקורדינטות נעבור
0 ≤ θ ≤ π
20 ≤ r ≤ ∞
יהיה האינטגרל ולכןπ2ˆ
0
dθ
∞
0
e−r2rdr =π
2
∞
0
e−r2rdr
=
∣∣∣∣∣∣
t = r2
dt = 2rdt2 = rdr
∣∣∣∣∣∣
=π
2
1
2
∞
0
e−tdt
=π
4· e
−t
−1
∣∣∣∣
∞
0
=π
4
I =
√π
2
87
משולש אינטגרל 11.3 מימדי רב אינטגרל 11
משולש אינטגרל 11.3
אז f : R3 → R פונקציה תהי 11.7 משפט
V =
˚
v
f (x, y, z)
dv︷ ︸︸ ︷
dxdydz = lim∆→0
∑
i
∑
j
∑
k
f (ui, uj, kk)∆xi∆yj∆zk
∆ = maxi,j,k
√
∆x2 +∆y2 +∆z2 כאשר
(פוביני) 11.8 משפט
˚
a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ de ≤ z ≤ k
f (x, y, z) dxdydz =
bˆ
a
dx
dˆ
c
dy
kˆ
e
f (x, y, z)dz
האינטגרציה. סדר להחלפת משמעות אין תיבה. מייצגים x, y, z כאשר
האינטגרל 11.9 הערה˚
v
f (x, y, z)dxdydz
.f וגובהו V שנפחו בסיס בעל מימדים ב4 גוף של נפח מתאר
משתנים החלפת 11.3.1
11.10 משפט
˚
Vx,y,z
f (x, y, z)dxdydz =
∣∣∣∣∣∣
x = x (u, v, w)y = y (u, v, w)z = z (u, v, w)
∣∣∣∣∣∣
=
˚
Vu,v,w
f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) |J | dudvdz
כאשר
J =
∣∣∣∣∣∣
x′u x′
v x′u
y′u y′v y′uz′u z′v z′u
∣∣∣∣∣∣
דוגמה:
חשב .1
I =
˚
x2
a2 + y2
b2+ z2
c2≤1
dv88
מימדי רב אינטגרל משולש11 אינטגרל 11.3
נגדיר
u =x
a⇒ x = au
v =y
b⇒ y = bv
w =z
c⇒ z = wc
היעקוביאן לכן
J =
∣∣∣∣∣∣
a 0 00 b 00 0 c
∣∣∣∣∣∣
= abc
לכן
I = |abc|˚
u2+v2+w2≤1
dudvdw
לכן ,( 4π3
3 (שהוא 1 רדיוס בעל כדור של נפח הוא הזה האינטגרל
I = |abc| · 4π3
מיוחדת משתנים החלפת 11.3.2
גליל :7 איור
נגדיר גליליות קורדינטות 11.3.2.1
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
הזה במקרה גם
J = r
J =
∣∣∣∣∣∣
x′r x′
θ x′z
y′r y′θ y′zz′r z′θ z′z
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 00 0 1
∣∣∣∣∣∣
= r
89
משולש אינטגרל 11.3 מימדי רב אינטגרל 11
דוגמא:
ש להראות רוצים אנחנו . 3πR3
4 ל שווה R רדיוס העל כדור של שנםח הוכח .1˚
x2+y2+z2≤R2
1dv =3πR3
4
ולהכפיל. אחת כיפה רק לחשב תחתונה) וכיפה עליונה, (כיפה כדור חצאי לשני הכדור את לחלק ניתן
גליליות קורדינטות לפי להגדיר ניתן וקטן. הולך שהרדיוס רק לגליל, דומה אחת כיפה של נפח
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
ו
J = r
לכן ,rו θ את נתחום
0 ≤ r ≤ R
0 ≤ θ ≤ 2π
כך z את נגדיר כאשר
z =√
R2 − x2 − y2 =√
R2 − r2
כך z את להגביל ניתן לכן
0 ≤ z ≤√
R2 − r2
יהיה האינטגרל ולכן
2
2πˆ
0
dθ
R
0
dr
√R2−rˆ
0
rdz =4πR3
3
V ={
(x, y, z)∣∣∣ x2 + y2 ≤ 2x, 0 ≤ z ≤
√
x2 + y2}
כאשר˚
V
z√
x2 + y2dxdydz .2
גלילות קורדינטות נגדיר
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
J = r
ש יודעים אנחנו
0 ≤ z ≤√
x2 + y2 + 1 = r + 1
וש
x2 + y2 ≤ 2x
r �2 ≤ 2�r cos θ90
מימדי רב אינטגרל 11 משולש אינטגרל 11.3
ולכן
0 ≤ r ≤ 2 cos θ
ולכן 0 < cos θ ש יודעים אנחנו ,θ של הגבולות את למצוא נשאר
−π
2≤ θ ≤ π
2
כך יראה האינטגרל ולכן
π2ˆ
−π2
dθ
2 cos θˆ
0
dr
r+1ˆ
0
z ·
√x2+y2
↓√r2rdz
כאשר˝
V2y2+x2
xydv .3
V ={(x, y, z)
∣∣ y ≤ x2 ≤ 2y, 1− x2 ≤ y2 ≤ 2− x2, 4− z ≤ x+ y ≤ 6− z, x > 0, y > 0
}
כך: התחום את קצת לשנות ניתן
V =
1 ≤ x2
y≤ 2
1 ≤ x2 + y2 ≤ 14 ≤ x+ y + z ≤ 6
ש להגיד נוכל
u =x2
y
v = x2 + y2
w = x+ y + z
יעקוביאן נמצא
J =
(D (u, v, w)
D (x, y, z)
)−1
=
∣∣∣∣∣∣
u′x u′
y u′z
v′x v′y v′zw′
x w′y w′
z
∣∣∣∣∣∣
−1
=
∣∣∣∣∣∣
2xy
−x2
y2 0
2x 2y 01 1 1
∣∣∣∣∣∣
−1
=
(2x
y2y +
2x3
y2
)−1
=
(
4x+2x3
y2
)−1
=
(3xy2 + 2x3
y2
)−1
=y2
4xy2 + 2x3
=y2
2x (2y2 + x2)91
משולש אינטגרל 11.3 מימדי רב אינטגרל 11
האינטגרל את נעשה
˚
1 ≤ u ≤ 21 ≤ v ≤ 24 ≤ w ≤ 6
����2y2 + x2
x�y· y �2
2x�����(2y2 + x2
)dudvdw =
˚
1 ≤ u ≤ 21 ≤ v ≤ 24 ≤ w ≤ 6
y
x2dudvdw
=
˚
1 ≤ u ≤ 21 ≤ v ≤ 24 ≤ w ≤ 6
1
2ududvdw
=1
2
2ˆ
1
du
2ˆ
1
dv
6ˆ
4
1
udw
נגדיר כדוריות קורדינטות 11.3.2.2
x = r cos θ · sinαy = r sin θ · sinαz = r cosα
J = −r2 sinα
בכדור
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ α ≤ π
גדוריות קואורדינטות של תיאור :8 איורθ זה ϕ ו α זה θ בציור 92כאשר
מימדי רב אינטגרל 11 משולש אינטגרל 11.3
היעקוביאן את נחשב
J =
∣∣∣∣∣∣
x′r xθ′ x′
α
y′r yθ′ y′αz′r zθ′ z′α
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
cos θ sinα −r cos θ sinα r cos θ sinαsin θ sinα r cos θ sinα r sin θ cosαcosα 0 −r sinα
∣∣∣∣∣∣
= r cos θ sinmga
∣∣∣∣
cos θ sinα r cos θ sinαcosα −r sinα
∣∣∣∣+ r sin θ sinα
∣∣∣∣
sin θ sinα r sin θ cosαcosα −r sinα
∣∣∣∣
= −r2 sinα
|J | = r2 sinα
דוגמה:
43πR
3 ל שווה שהוא והוכח R רדיוס בעל כדור נפח חשב .1
˚
x2+y2+z2≤R2
dydzdx =
2π︷ ︸︸ ︷
2πˆ
0
dθ
π
0
dα
R
0
r2 sinαdr
= 2π · (− cosα)|π0r3
3
∣∣∣∣
R
0
= 2π2R3
3
.2
˚
x2+y2+z2≤16
√
9− x2 − y2 − z2dxdydz =
2πˆ
0
dθ
2πˆ
0
dα
4ˆ
0
√
9− r2r2 sinαdr
V ={
3√x2 + 3
√
y2 +3√z2 ≤ 1
}
כאשר˝
V1
3√
(xyz)2dxdydz .3
(3√x)2
+ ( 3√y)
2+(
3√z)2 ≤ 1
u = 3√x → x = u3
v = 3√y → x = v3
w = 3√z → z = w3
J =
∣∣∣∣∣∣
3u2 0 00 3v2 00 0 3w2
∣∣∣∣∣∣
= 27u2v2w293
ווקטוריות פונקציות 12
˚
V
1
3
√
(xyz)2dxdydz =
˚
u2+v2+w2≤1
1
����(uvw)2 · 27����
u2v2w2dudvdw
=
˚
u2+v2+w2≤1
27dudvdw
= 27 · 43· πR3
ווקטוריות פונקציות 122009־05־20
פונקציות x (t) , y (t) , z (t) כאשר ווקטורית פונקציה נקרא ~v (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) ווקטור 12.1 הגדרהα ≤ t ≤ β עבור סקלירות
דוגמה:
−1 ≤ t ≤ 2 עבור ווקטורית פונקציה ~v (t) =(t, t2
)= t ·~i+ t2 · ~t2 .1
x (t) = t
y (t) = t2
זה: במקרה והגרף
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
ווקטורית פונקציה של גבול 12.1
הוא t → t0 עבור ~v (x) = (x (t) , y (t) , z (t)) הווקטורית הפונקציה של הגבול 12.2 הגדרה
~L = (L1, L2, L3)
אז |t− t0| ≤ δ שאם כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל הבא: באופן ומוגדר∣∣∣~v (t)− ~L
∣∣∣ < ε
ונסמן
limt→t0
~v (t) = ~L
94
ווקטוריות פונקציות ווקטורית12 פונקציה של נגזרת 12.2
דוגמה:
v (t) =(t, t2
), 1 ≤ t ≤ 6 .1
limt→3
~v (t) = limt→3
(t, t3
)= (3, 9) = ~L
אז ∃ limt→t0~W (t) = ~M ו ∃ limt→t0
~V (t) = ~L אם 12.3 טענה
∃ limt→t0
~W (t)± ~V (t) = M ± L
∃ limt→t0
~W (t) · ~V (t) = ~M · ~L
limt→t0
λ · ~V (t) = λ~L
limt→t0
~W (t)× ~V (t) = ~M × ~L
ווקטורית פונקציה של נגזרת 12.2
12.4 הגדרה
~V ′ (t) = lim∆t→0
~V (t+∆t)− ~V (t)
∆t
12.5 טענה
~V (t) = x (t)~i+ y (t)~j + z (t)~k
אז גזירות x (t) , y (t) , z (t) כאשר
~V ′ (t) = x′ (t)~i + y′ (x)~j + z′ (x)~k
ז״א
~V (t) = (x (t) , y (t) , z (t))
~V ′ (t) = (x′ (t) , y′ (t) z′ (t))
דוגמה:~V (t) =
(t, t2
), −1 ≤ t ≤ 2 .1
~V ′ (t) = (1, 2t)
הוכחה:
~V ′ (t) = lim∆t→0
~V (t+∆t)− ~V (t)
∆t
= lim∆t→0
x (t+∆t)~i+ y (t+∆t)~j + z (t+∆t)~k − x (t)~i− y (t)~j − z (t)~k
∆t
= lim∆t→0
(x (t+∆t)− x (t)
∆t
)
~i+
(y (t+∆t)− x (t)
∆t
)
~j +
(z (t+∆t)− x (t)
∆t
)
~k
= lim∆t→0
(x (t+∆t)− x (t)
∆t
)
~i+ lim∆t→0
(y (t+∆t)− x (t)
∆t
)
~j + lim∆t→0
(z (t+∆t)− x (t)
∆t
)
~k
= x′ (t)~i+ y′ (t)~j + z′ (t)~k
95
ווקטורית פונקציה של נגזרת 12.2 ווקטוריות פונקציות 12
~C (t) = (c1, c2, c3) 12.6 טענה
~C′ (t) = ~0
(
~V (t)± ~W (t))′
= ~V ′ (t)± ~W ′ (t) 12.7 משפט
(יש(
f (t) · ~V (t))′
= f ′ (t) · ~V (t) + f (t) · ~V ′ (t) אז רגילה) (פונקציה f (t) : R → R תהי 12.8 משפט
רגילה) מכפלה שזה לב לשים
סקלרית) מכפלה שזה לב לשים (יש(
~V (t) · ~W (t))′
= ~V ′ (t) · ~W (t) + ~V (t) · ~W ′ (t) 12.9 משפט
(
~V (t) · ~V (t))′
= 2~V ′ (t) 12.10 מסקנה
(
~V (t)× ~W (t))′
= ~V ′ (t)× ~W (t) + ~V (t)× ~W ′ (t) 12.11 משפט
~U (t) = ~V (t)× ~W (t) הוכחה:
~U ′ (t) = lim∆t→0
~U (t+∆t)− ~U (t)
∆t
= lim∆t→0
~V (t+∆t)× ~W (t+∆t)− ~V (t)× ~W (t)
∆t
= lim∆t→0
~V (t+∆t)× ~W (t+∆t)− ~V (t)× ~W (t+∆t) + ~V (t)× ~W (t+∆t)− ~V (t)× ~W (t)
∆t
= lim∆t→0
(~V (t+∆t)− ~V (t)
∆t
)
× ~W (t+∆t) + ~V (t)× lim∆t→0
(~W (t+∆t)− ~W (t)
∆t
)
= ~V ′ (t)× ~W (t) + ~V (t)× ~W ′ (t)
x (t) , y (t) , z (t) כאשר v (t) = (x (t) , y (t) , x (t)) , α ≤ t ≤ β פונקציה תהי לגרנג׳) (משפט 12.12 משפטש כך α ≤ t0 ≤ β קיים אז .t ב ברציפות גזירות פונקציות
~V (t+∆t)− ~V (t)
∆t= ~V ′ (t0)
כך: גם המשפט את לרשום ניתן
~V (t+∆t)− ~V (t) = ~V ′ (t0)∆t+ ~ε (t,∆t)∆t
כאשר
lim∆t→0
~ε (t,∆t) = 096
ווקטוריות פונקציות 12 קשת אורך 12.3
קשת אורך 12.3
לקטעים [α, β] את נחלק .~V (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β נתונה
α ≤ t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ β
ti+1 ו ti הנקודות בין הקו כאורך ∆Li ונגדיר
∆L1 =∣∣∣~V (ti+1)− ~V (ti)
∣∣∣
L ב הקשת אורך את נסמן 12.13 הגדרה
L = limn→∞
n∑
i=0
∆Li
[α, β] של בחלוקה תלות ללא קיים L הערך אם (∆ = maxi∆Li כאשר L = lim∆→0
∑ni=0 ∆Li (או
גזירה ~V ′ (t) ו קיים L 12.14 משפט
L =
β
α
∥∥∥~V ′ (t)
∥∥∥ dt
הוכחה:
L = limn→∞
n∑
i=0
∆Li
= limn→∞
n∑
i=0
∥∥∥~V (ti+1)− ~V (ti)
∥∥∥
.∆t באורך שווים לחלקים חלוקה הייתה [α, β] של שהחלוקה נניח
ti ≤ ti+1
ti+1 = ti +∆t
לגרנג׳ משפט ע״פ אז
limn→∞
n∑
i=0
∥∥∥~V (ti+1)− ~V (ti)
∥∥∥ = lim
∆t→0
n∑
i=0
∥∥∥~V ′ (ti0
)∆t+ ε
(ti0, t
)∥∥∥
ולכן ,ti ≤ ti0 ≤ ti+1 כאשר
lim∆t→0
n∑
i=0
∥∥∥~V ′ (ti0
)∆t+ ε
(ti0, t
)∥∥∥ =
β
α
∥∥∥~V ′ (t)
∥∥∥ dt
אז ~V = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β נתון אם 12.15 מסקנה
L =
β
α
√
x′ (t)2 + y′ (t)2 + z′ (t)2dt97
קווי אינטגרל 13
אז ~V (t) = (t, f (t)) מהצורה נתון (Γ) ~V (t) של גרף אם 12.16 מסקנה
L =
β
α
√
1 + f ′ (t)2dt
דוגמה:
~V (t) = (cos t, sin t, t) , 0 ≤ t ≤ π של הקשת אורך את מצאו .1
L =
π
0
∣∣∣~V ′ (t)
∣∣∣ dt
=
π
)
‖(− sin t, cos t, 1)‖ dt
=
π
0
√
sin2 t+ cos2 +1dt
=√2
π
0
dt
= π√2
.r (t) או γ (t) כ אותו ונסמן .(γ של פרמטרית (הצגה γ הקו של פרמטריזציה ־ ~V (t) סימון:
קווי אינטגרל 132010־05־24
סוגים לשני מתחלקים קוים אינטגרלים
הקו. מסת של חישוב ־ ראשון סוג .1
מסויים. כח עם עקומה על שנעשית עבודה ־ שני סוג .2
ראשון מסוג קווי אינטגרל 13.1
Γ קן של (פרמטריזציה) פרמטטרית הצגה תהי
~r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β
שווים) שיהיו צורך (אין קטעים n ל הקו את נחלק
α ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ β
הווקטור ע״י כאלה נקודות שתי כל בין הווקטור את ונייצג
~r (ti+1)− ~r (ti)
הוא: כזה קטע כל של והאורך
∆Li = |~r (ti+1)− ~r (ti)|98
קווי אינטגרל ראשון13 מסוג קווי אינטגרל 13.1
נגדיר
∆ti = ti+1 − t1
∆ = maxi
∆ti
האינטגרל את נגדיר ואז
lim∆→0
∑
i
∆Li =
β
α
∣∣∣~r′ (t)
∣∣∣ dt
(ti ≤ t∗i ≤ ti+1) t∗i נקודה נבחר ∆ti קטע בכל .f (x, y, z) הפונקציה ע״י Γ הקו מסת (צפיפות) פונקציה נתונהשל אינטגרל להגדיר נוכל ולכן M∗
i = (x (t∗i ) , y (t∗i ) , z (t
∗i )) נקודה של מסה f (x (t∗i ) , y (t
∗i ) , z (t
∗i )) כאשר
העקום מסת
lim∆→0
∑
i
f (M∗i )∆Li =
β
α
f (x (t) , y (t) , z (t)) |~r′ (t)| dt
כך אותו ונסמןˆ
Γ
f (x, y, z) dL
.f מסה ופונקצית Γ עקומה של העקום מסת את מתאר וזהדוגמה:
הבאה פרמטריזציה ע״י נתונה Γ כאשר´
Γ (x+ y) dL חשב .1
~r (t) = (t− sin t, 1− cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π
ש רואים אנחנו
x (t) = t− sin t
y (t) = 1− cos t
כך נראה האינטגרל ולכן
ˆ
Γ
(x+ y)dL =
2πˆ
0
((t− sin t) + (1− cos t)) ‖(1− cos t, sin t)‖ dt
=
2πˆ
0
(t− sin t+ 1− cos t)
√
(1− cos t)2 + sin2 tdt
= 8π
שאנו מפני פרמטרית. הצגה חסרת כאן .{(x, y)
∣∣ x2 + y2 = 4, y ≥ 0
}הוא γ כאשר
´
γx2ydl .2
הצגה ע״י הפרמטרית ההצגה את לייצג קל הכי ולכן החיובי, מעגל חצי זהו y ≥ 0 על רק מסתכליםכוון עם נלך שאם נגדיר אנחנו .0 ≤ θ ≤ π הוא שלנו הטווח כאשר ~γ = (2 cos θ, 2 sin θ) ואז קוטבית
חיובי. זה השעון כוון נגד ואם שלילי, זה השעון
ˆ
γ
x2ydl =
π
0
(2 cos θ)2(2 sin θ) ·
‖~r′(θ)‖=√
(2 sin θ)2+(2 cos θ)2
↓
2dθ
99
שני מסוג קווי אינטגרל 13.2 קווי אינטגרל 13
שני מסוג קווי אינטגרל 13.2
יש נקודה בכל בו בשדה הנמצאת .~r (t) = (x (t) , y (t)) , α ≤ t ≤ β פרמטריזציה ע״י הנתונה Γ עקומה יהי. Q (x, y) ע״י המוסמן y בציר וכח P (x, y) ע״י המוסומן x ציר בכוון כח
[α, β] את נחלק
α ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn ≤ β
∆ti = ti+1 − ti
∆xi = x (ti+1)− x (ti)
∆yi = y (yi+1)− y (ti)
t∗i נקודה ∆ti בקטע נבחר
M∗i = (x (t∗i ) , y (t
∗i ))
היא x בכוון העבודה ולכן , P (x (t∗i ) , y (t∗i )) הוא M∗
i בנקודה xבכוון הכח
Wx =∑
i
P (M∗i )∆xi
y בציר זהה באופן
Wy =∑
i
Q (M∗i )∆yi
ואז ∆ = maxi∆ti נסמן
W = lim∆→0
∑
i
P (M∗i )∆xi +Q (M∗
i )∆yi =
ˆ
Γ
Pdx+Qdy
כח שקיים להגיד ניתן דומה באופן
~F = (P (x, y) , Q (x, y))
d~r = (dx, dy)
W =
ˆ
Γ
Pdx+Qdy =
ˆ
Γ
~F · d~r
גזירות. אי נקודות של סופי מספר בעלת פונקציה היא למקוטעין גזירה פונקציה 13.1 הגדרה
גזירות אי נקודות של סופי מספר בעלת פונקציה :9 100איור
קווי אינטגרל 13 שני מסוג קווי אינטגרל 13.2
נגדיר גזירות). אי נק׳ של סופי למספר (פרט למקוטעין גזיר Γ שקו נניח 13.2 משפט
dx = x′ (t) dt
dy = y′ (t) dt
ואז
W =
ˆ
Γ
pdx+Qdy
=
β
α
[P (x (t) , y (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)] dt
13.3 משפטˆ
⋃
ni=1 Γi
~Fd~r =
n∑
i=1
ˆ
Γi
~F · d~r
דוגמה:
בעל עיגול רבע Γ2 ו [2, 0] ל עד [0, 0] מ ישר קו Γ1 חלקים, משני בנו Γ כאשר´
Γ x2ydx+ (x− y) dy .1
.[0, 2] נקודה עד [2, 0] מנקודה שתים רדיוס
פרמטריזציה נעשה Γ1 בקו (א)
x (t) = t
y (t) = 0
כאשר
0 ≤ t ≤ 2
ולכןˆ
Γ1
(x2y)dx+ (x− y) dy =
ˆ 2
0
[(t2 · 0
)· 1 + (t− 0) · 0
]dt = 0
פרמטרית הצגה נעשה ,Γ2 בקו (ב)
x (t) = 2 cos t
y (t) = 2 sin t
כאשר
0 ≤ t ≤ π
2
ואז
ˆ
Γ2
(x2y)dx+ (x− y) dy =
π2ˆ
0
[
(2 cos t)2(2 sin t) · (−2 sin t) + (2 cos t− 2 sin t) 2 cos t
]
dt101
שני מסוג קווי אינטגרל 13.2 קווי אינטגרל 13
משתנים: 3 על אינטגרלים לעשות נרצה אםˆ
Γ
~Fd~r =
ˆ
Γ
Pdx+Qdy +Rdz
=
β
α
[P (x (t) , y (t) z, (t)x′ (t) + · · ·+R (x (t) , y (t) , z (t)) z′ (t)] dt
קווי: אינטגרל של תכונותˆ
Γ
~Fd~r = −ˆ
−Γ
~Fd~r
ההפוך. בכוון רק קו, אותו על ללכת כלומר
~r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β בעקומה אם סגורה עקומה נקראת Γ סגורה) (עקומה 13.4 הגדרה
~r (α) = ~r (β)
חורים אין בתחום אם קשר פשוט תחום נקרא D תחום קשר) פשוט (תחום 13.5 הגדרה
קשר פשוט לא תחום :10 איור
שדה יהי חיובי. בכוון Γ שפה בעל קשר) (פשוט תחום D יהי סגורות)) (עקומות גרין (משפט 13.6 משפטאז ( D = D ∪ Γ כלומר השפה, כולל D התחום ) D ב C1 ∋ ~F = (P (x, y) , Q (x, y))
ˆ
Γ
Pdx+Qdy =
¨
D
(Q′
x − P ′y
)dxdy
דוגמה:
על והקוטר 2 רדיוס בעל x ציר מעל מעגל חצי הוא Γ כאשר´
Γy3dx −
(
x3 + arctan(y2)ey
3)
dy .1.x ציר
ˆ
Γ
y3dx −(
x3 + arctan(y2)ey
3)
dy =
¨
D
(−3x2 − 3y2
)dxdy102
קווי אינטגרל 13 שני מסוג קווי אינטגרל 13.2
קוטבית במערת נשתמש
x = r cos θ
y = r sin θ
ואז
−3
¨
0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
r2 · rdrdθ = −3
2ˆ
0
dr
π
0
r3dθ
גרין) (משפט הוכחה: 2010־05־27D ו C ,B , למטה) (שמאל A) קודקודים 4 לו יש כאשר D קשר פשוט תחום על נסתכל ראשון: בשלב
((y ליציר (מקבילים ישרים קווים הם BC ו AD ו השעון, כוון נגד
y1 ≤ y ≤ y2
a ≤ x ≤ b
ולכן
¨
D
p′ydxdy =
bˆ
a
dx
y2(x)ˆ
y1(x)
p′ydy
=
bˆ
a
P (x, y)|y2(x)y1(x)
=
´
DC=y2(x)Pdx
︷ ︸︸ ︷
bˆ
a
P (x, y2 (x)) dx−
´
AB=y1(x)Pdx
︷ ︸︸ ︷
bˆ
a
P (x, y1 (x))
= −ˆ
CD
Pdx−ˆ
AB
Pdx
= −ˆ
ABCDA
Pdx
ובאותו ,(x ליציר (מקבילים ישרים הם DC ו AB הקווים שהפעם רק דומה, תחום על נסתכל שני: בשלבאופן
¨
D
Q′xdxdy =
ˆ
ABCD
Qdy
ישרים קוים אין בו תחום על נסתכל שלישי: שלב¨
D
P ′ (x)−Q′ (y) dxdy =
ˆ
ABCDA
Pdx+Qdy103
האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3 קווי אינטגרל 13
על ואז חורים, ללא חלקים k ל התחום את נחלק חורים n בעל קשר פשוט לא תחום על נסתכל ד׳: שלבלכל ג׳, שלב לפי קשר). פשוט בתחום (כמו בנפרד אינטגרל נעשה חלק כל
¨
Dk
(Q′
x − P ′y
)dxdy =
¨
Γk
Pdx+Qdy
¨
D
(Q′
x − P ′y
)dxdy =
¨
∪Dk
(Q′
x − P ′y
)dxdy
=∑
k
¨
Dk
(Q′
x − P ′y
)dxdy
=∑
k
ˆ
Γk
Pdx+Qdy
=∑
Γ
Pdx+Qdy
דוגמה:
משני הבנויה סגורה עקומה היא γ כאשר I =´
γ
(y3 + x7 sin
(x2))
dx+(
x+ arctan(
ey2
+ y))
dy .2~F = (P,Q) ∈ c1
(¯)
D ו y =√x ו y = x2 קווים
I =
¨
D
(1− 3y2
)dxdy
=
1ˆ
0
dx
√xˆ
x2
(1− 3y2
)dy
האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3
דוגמה:ˆ
Γ
x2ydx+
(1
3x3 + y
)
dy
שתי בין נבחר מסלול איזה משנה לא .B (5, 7) ל A (−1,−2) הנקודה בין ישר) בהכרח (לא קו הוא Γ כאשרדבר. אותו יהי האינטגרל הנקודות,
שקולות: הבאות הטענות שלושת אז .D תחום מעל המוגדר רציף ווקטורי שדה ~F = (P,Q) יהיה 13.7 משפט
D ב Γ סגורה עקומה לכל .1ˆ
Γ
~Fd~r = 0
האינטגרל .2ˆ
AB
~Fd~r
(D ב נמצא שכולו (בתנאי B ו A הנקדות את המחבר במסלול תלוי 104אינו
קווי אינטגרל 13 האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3
ש כך פוטנציאל) םונקציית נקראת U ) U (x, y) רציפה פונקציה קיימת .3
∇U = F
(
⇒ U ′x = P
U ′y = Q
)
וˆ
AB
Pdx+Qdy = U (x, y)|BA = U (B)− U (A)
.(1)⇐ (3) ⇐ (2) ⇐ (1) נוכח הוכחה:לכן .(Γ2 ו Γ1) B ל A מ שונים מסלולים שני נבחר סגורה. בעקומה
´
Γ~Fd~r = 0 ש נתון :(2) ⇐ (1)
ˆ
Γ1−Γ2
~Fd~r
(1)↓
= 0
אבלˆ
Γ1−Γ2
~Fd~r =
ˆ
Γ1
~Fd~r +
ˆ
−Γ2
~Fd~r
=
ˆ
Γ1
~Fd~r −ˆ
Γ2
~Fd~r
ולכןˆ
Γ1
~Fd~r =
ˆ
Γ2
~Fd~r
נגדיר .M = (x, y) ∈ D ו קבוע M0 ∈ D יהיה :(3) ⇐ (2)
U (x, y) =
ˆ
M0M
~Fd~r
:x לפי גזירה U ש נוכיח פונקציה. היא U (x, y) (2) לפי
U ′x (x, y) = lim
∆x→0
U (x+∆x, y)− U (x, y)
∆x
= lim∆x→0
´
M0M(x,y)~Fd~r −
´
M0N(x+∆x,y)~Fd~r
∆x
= lim∆x→0
´
MN~Fd~r
∆x
= lim∆x→0
´
MNPdx+
=0↓
�����´
MNQdy
∆x
= lim∆x→0
´∆x
xPdx
∆x= P
.U ′y = Q זהה 105באופן
האינטגרציה במסלול הקווי האינטגרל של תלות אי 13.3 קווי אינטגרל 13
B ל A מ העקומה של פרמטריזציה α ≤ t ≤ β ~r (t) = (x (t) , y (t)) יהי
ˆ
AB
Pdx+Qdy =
β
α
(P (x (t) , y (t)) x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)) dt
∇U = ~F ו השרשת, כלל ע״פ
β
α
(P (x (t) , y (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)) dt =
β
α
u′tdt
= U (x (t) , y (t))|βα= U (B)− U (A)
Γ סגורה עקומה לכל כי להוכיח צריך (1) ⇐ (3)ˆ
Γ
~Fd~r = 0
ואז A = B אז סגורה Γ אםˆ
Γ
~Fd~r = U (B)− U (A) = U (A)− U (A) = 0
לתנאי: גם שקולים 13.7 משפט של התנאים אז קשר פשוט תחום הוא D ו ~F ∈ C1(D)אם 13.8 משפט
P ′y = Q′
x
ש נתון זה. במשפט התנאי את גורר 13.7 במשפט 3 תנאי כי נוכיח הוכחה:U ′x = P
U ′y = Q
ו P,Q ∈ c1
P ′y = U ′′
xy
Q′x = U ′′
yx
ש נובע מכאן
U ′′xy = U ′′
yx ⇒ P ′y = Q′
x
D ב סגורה עקומה Γ 13.7:יהיה במשפט 1 תנאי את גורר במשפט התנאי כי נוכיחˆ
Γ
Pdx+Qdy =
¨
D
(Q′
x − P ′y
)dxdy = 0
106דוגמה:
קווי אינטגרל 13 משמר שדה 13.4
הוא התחום ,B (5, 7) ו A (−1,−2) הנקודות שתי בין קו הוא Γ כאשר´
Γx2ydx +
(13x
3 + y)dy .1
P,Q ∈ c1 (D) ש גם נתון .Γ הקו כל את שמקיף D תחום או D ∈ R2
B Aל מ ישר קו נעביר א׳: דרך (א)
m =9
6=
3
2
y + 2 =3
2(x+ 1)
y = 1.5x− 0.5
פרמטריזציה נעשה
x (t) = t
y (t) = 1.5t− 0.5
האינטגרל את ונפתור
ˆ
Γ
=
5ˆ
−1
(
t2 (1.5t− 0.5) · t+(1
3t3 + (1.5t− 0.5)
)
· 1.5)
dt
:U פוטנציאל פונקציית מציאת ב: דרך (ב)
∇U = ~F
U ′x = P = x2y
U ′y = Q =
1
3x3 + y
כלשהו אינטגרל נעשה
U =
ˆ
u′xdx
=
ˆ
x2ydx
=x3
3y + c (y)
השניה בנגזרת ונציב y לפי נגזור
U ′y =
x3
3+ c′ (y) =
1
3x3 + y
c′ (y) = y
c (y) =
ˆ
ydy =y2
2+ c
ולכן
U =x3
3y +
y2
2+ c
ואזˆ
Γ
= U |(5,7)(−1,−2)
= U (5, 7)− U (−1,−2)107
משמר שדה קווי13.4 אינטגרל 13
משמר שדה 13.42010־05־31
כך U (x, y) פונקציה קיימת אם משמר שדה נקרא ~F = (P (x, y) , Q (x, y)) שדה משמר) (שדה 13.9 הגדרהש
~∇u = F
כלומר
du = Pdx+Qdy
∆u = P∆x+Q∆y
u′x = P
u′y = Q
אזי ורציפות) גזירות (פונקציות ~F ∈ c1(D)ו קשר פשוט תחום D אם 13.10 טענה
P ′y = Q′
x ⇐⇒ משמר שדה ~F
תלוי לא האינטגרל ערך ⇐⇒´
Γ~Fd~r = 0 D ב המוכלת Γ סגורה עקומה לכל ⇐⇒ משמר שדה ~F
.D ב המוכלת עקומה עבור והסוף ההתחלה בנקודת רק אלא העקומה, בבחירת
דוגמה:
D = x2 + y2 ≤ 100 הוא והתחום Q = xx2+y2 , P = −y
x2+y2 .1
משמר. שדה לא הוא ~F אבל P ′y = Q′
x ש נראה
P ′y = −
(x2 + y2
)− y (2y)
(x2 + y2)2
=−x2 + y2
(x2 + y2)2
Q′x =
(x2 + y2
)− x (2x)
(x2 + y2)
=−x2 + y2
(x2 + y2)2
לא F כי ~F /∈ c1(D)ש מפני אבל ,
´
Γ~Fd~r = 0 סגורה עקומה לכל אז משמר, שדה הוא והשדה במידה
החיובי הכוון עם x2 + y2 = 10 :Γ יהי :0 שווה לא האינטגרל בה עקומה שיש נראה (0, 0) ב מוגדר
ˆ
Γ
Pdx+Qdy =
∣∣∣∣∣∣
x =√10 cos θ
y =√10 sin θ
0 ≤ θ ≤ 2π
∣∣∣∣∣∣
=
2πˆ
0
(
−√10 sin θ
10·(
−√10 sin θ
)
+
√10 cos θ
10·√10 cos θ
)
dθ
= 2π 6= 0
משמר. שדה לא הוא השדה כלומר
108
משטחי אינטגרל 14
משטחי אינטגרל 14
משתנים 2 של ווקטורית פונקציה 14.1
ווקטורית פונקציה נקראת (u, v) ∈ ∆ כאשר ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) הפונקציה 14.1 הגדרהמשתנים. 2 של
ווקטורית כפונקציה לתאר ניתן משטח כל ההפך, (או משטח מתארת משתנים 2 של ווקטורית פונקציה כלמשתנים). 2 של
למשטח נורמל מציאת 14.1.1
u0 נקבע , M0 = (u0, v0) בנקודה נתבונן S = r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) משטח נקח
~r (u0, v) = (x (u0, v) , y (u0, v) , z (u0, v))
,u בכוון דבר אותו נעשה .v בכוון M0 = (u0, v0) בנקודה המשיק שיפוע זהו ~r′v (u0, v0) : v לפי ~r את נגזורהפונקציה את ונקבל v0 נקבע
~r (u, v0) = (x (u, v0) , y (u, v0) , z (u, v0))
.u בכוון M0 בנקודה המשיק של השיפוע שזה r′u(u0, v)
)ונקבל u0 את ונציב u לפי נגזור
ע״י נקבל M0 לנקודה הנורמל את
N = r′u (M0)× r′v (M0)
נוכל כללית, יותר בצורה נורמל לקבל נרצה אם
~N = r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣
i j kx′u y′u z′u
x′v y′v z′v
∣∣∣∣∣∣
ע״י ~N של יחידה ווקטור נסמן 14.2 הגדרה
e ~N= ~n =
r′u × r′v|r′u × r′v|
אז F (x, y, z) = 0 ע״י נתון S משטח אם 14.3 הערה
~N = ~∇F
אז z = f (x, y) ע״י נתון S משטח אם
~N =(−f ′
x, f′y, 1), (F = z − f (x, y))
. (u, v) ∈ ∆ , ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ע״י שניתן מרחבי) (משטח משטח S יהי 14.4 הגדרהחלק. נקרא המשטח אז r ∈ c1 (∆) אם
ההפוך, בכוון M0 לנקודה חוזר הנורמל המשטח פני על Γ הסגור הקו לאורך התנועה במשך אם 14.5 הגדרהחד־צדדי. משטח נקרא המשטח
109
משטח של פנים שטח משטחי14.2 אינטגרל 14
צדדי חד למשטח דוגמה :11 איור
דו־צדדי. משטח נקרא הנורמל של כיוון להכדיר שניתן שלם ומשטח
לצורה) (מחוץ ~N = r′u × v′u הוא S משטח של חיובי כיוון 14.6 הגדרה
משטח של פנים שטח 14.2
(u, v) = ∆ , ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ע״י הנתון משטח S יהי.Si ב Mi נקודה נבחר ,Si אלמנטרים משטחים S המשטח פני על ונקבל קווים ע״י S את נחלק
אלמנטרים למשטחים משטח של חלוקה :12 איור
המשיק. המישור על Si את ונטיל משיק, מישור נעביר Mi דרך
xy מישור על אלמנטרי משטח של הטלה :13 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Surfaאיורe_integral1.svg110
משטחי אינטגרל 14 משטח של פנים שטח 14.2
.Si ההטל של השטח את σit, ב נסמן
ע״י מוגדר A של הקוטר קשירה. A ∈ Rn קבוצה יהי 14.7 diamהגדרה (A) = supx,y∈A
∥∥x− y
∥∥
נגדיר
d = maxi
{diam (Si)}
ההטילים שטחי של סכום ־∑
i σi
גבול קיים אם 14.8 הגדרה
limd→0
∑
i
σi
.S של פנים שטח נקרא הגבול אז המשטח בחלוקת תלוי שאינו
ל שווה S משטח של פנים שטח 14.9 טענה
limd→0
∑
i
σi =
¨
∆
‖r′u × r′v‖ dudv
ש לראות קל הוכחה:
σi = ‖∆u (~r)×∆v (~r)‖
כאשר
∆u (~r) = ~r (u+∆u, v)− ~r (u, v)
∆u (~r) = ~r (u, v +∆v)− ~r (u, v)
אז t בנקודה רציפה והנגזרת t הנקודה בסביבות רציפה v (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , α ≤ t ≤ β תזכורת:ש כך α ≤ t∗ ≤ β קיימת
~v (t+∆t)− ~v (t) = v′ (t∗)∆t+ ~ε (t,∆t)∆t
.lim∆t→0 ε = 0 כאשר
ש כך u∗ ו v∗ קיימות לכן
∆u (~r) = r′u (u∗, v)∆u+ ε1∆u
∆v (~r) = r′v (u, v∗)∆u+ ε2∆v
.lim ε1 = lim ε2 = 0 ו v < v∗ < v +∆v ו u < u∗ < u+∆u כאשר
u∗ = u+ θ1∆u
v∗ = v + θ2∆v
ואז ,0 ≤ θ1, θ2 < 1 כאשר
∆u (~r) = r′u (u+ θ1∆u, v)∆u + ε1∆u
∆v (~r) = r′v (u, v +mgv2∆v)∆v + ε2∆v111
I מסוג משטחי אינטגרל 14.3 משטחי אינטגרל 14
ב נציב
σi = ‖∆u (~r)×∆v (~r)‖= ‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆v
כאשר
lim∆u,∆v→0
ε = 0
ואז
S = limd→0
∑
i
σi = limd→0
∑
‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆vi
ל שווה זה האינטגרל הגדרת פי ועל¨
∆
‖r′u × r′v‖ dudv
אז (x, y) ∈ D עבור z = f (x, y) מפורשת בצורה מוגדר S משטח אם 14.10 הערה
~N =∥∥r′x × r′y
∥∥ =
√
1 + (f ′x)
2+(f ′y
)2
ל שוה S משטח של הפנים שטח ולכן
¨
D
√
1 + (f ′x)
2+(f ′y
)2
I מסוג משטחי אינטגרל 14.3
על הנקודות כל של (מסה) צפיפות פונקציית Φ (x, y, z) כאשר המשטח. מסת את (למצוא) לחשב מטרה:המשטח.
הגבול קיים אם 14.11 הגדרה
limd→0
∑
i
Φ (Mi)σi =
¨
S
Φ (x, y, z)ds
.S המשטח מסת נקרא הגבול אז המשטח בחלוקת תלוי שאינו
ל שווה המשטח מסת 14.12 טענה
¨
S
Φ (x, y, z) ds
~r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))↓
=
¨
∆
Φ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ‖r′u × r′v‖ dudv112
משטחי אינטגרל 14 I מסוג משטחי אינטגרל 14.3
ש הראנו הוכחה:
σi = ‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆v
lim∆u,∆v→0 ε = 0 כאשר
limd→0
∑
i
Φ (Mi)σi = limd→0
∑
i
Φ (u, v) · (‖r′u × r′v‖∆u ·∆v + ε∆u∆v)
=
¨
∆
Φ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ‖r′u × r′v‖ dudv
דוגמה:
חשב .1
¨
S
Φ(x,y,z)↓
(x2 + y2 + z2
)ds
.x2 + y2 = 2x לעיגול מעל z =√
x2 + y2 חרוט של חלק הוא S כאשר
המשטח של הוקטורית ההצגה את קודם נמצא
~r (x, y) =(
x, y,√
x2 + y2)
, (x, y) ∈ ∆
ש יודעים אנחנו מפורשת, בצורה כתוב שזה בגלל ,∥∥r′x × r′y
∥∥ נמצא
∥∥r′x × r′y
∥∥ =
√
1 + (z′x)2+(z′y)2
=
√√√√1 +
(
x√
x2 + y2
)2
+
(
y√
x2 + y2
)2
=√2
באינטגרל חזרה נציב¨
S
(x2 + y2 + z2
)ds =
¨
∆=x2+y2=2x
(
x2 + y2 +(√
x2 + y2)2)√
2dxdy
= 2√2
¨
x2+y2≤2x
(x2 + y2
)dxdy
= 2√2
π2ˆ
−π2
dθ
2cos αˆ
0
r2|J|↓
rdr
= 3√2π
2010־06־03
S ={(x, y, z)
∣∣ x2 + y2 + z2 = R2
}כאשר
˜
S
(x2 + y2
)ds .2
כדוריות8 קאורדינטות לפי ~r (θ, α) ע״י אותו להציג ניתן ולכן כדור הוא S משטח
x = R cos θ sinα
y = R sin θ sinα
z = R cosα
92 בעמוד הסבר 8113ראה
II מסוג משטחי אינטגרל 14.4 משטחי אינטגרל 14
∆ =
{0 ≤ θ ≤ 2π−π
2 ≤ α ≤ π2
כאשר
~r (θ, α) = (R cos θ sinα,R sin θ sinα,R cosα)
r′θ × r′α נחשב
r′θ × r′α =
∣∣∣∣∣∣
i j kx′θ y′θ z′θ
x′α y′α z′α
∣∣∣∣∣∣
=(R2 cos θ cos2 α,R2 sin θ cos2 α,R2 sinα cosα
)
‖r′θ × r′α‖ = R2 cosα
משטחי אינטגרל של הנוסחה ע״פ ולכן¨
S
(x2 + y2
)ds =
¨
∆
(
(R cos θ sinα)2 + (R sin θ sinα)2)
R2 cosαdθdα
=
2πˆ
0
dθ
π2ˆ
−π2
(
(R cos θ sinα)2+ (R sin θ sinα)
2)
R2 cosαdαII מסוג משטחי אינטגרל 14.4
ההיטל את Dxyi ב נסמן .∆ = maxi [di] ו di = diam [Si] כאשר ∆si משטחי ונקבל לרשת S משטח נחלק
חיובי, ההיטל אז z ציר של החיובי בכוון הוא למשטח הנורמל שאם לב לשים יש .xy המישור על ∆si שלשיש נניח .∆si על (xi, yi, zi) שהיא Mi נקודה נבחר שלילי. ההיטל אז z ציר של השלילי בכוון הנורמל ואם
.S משטח על המוגדרת R (x, y, z) פונקציה
σ =∑
i
R (xi, yi, zi)Dxyi
אינטגרל הזה לגבול נקרא אז S משטח Miובחלוקת הנקודה בבחירת תלוי שאינו lim∆→0 σ סופי גבול קיים אםאותו ונסמן II מסוג משטחי
¨
S
R (x, y, z) dxdy
ונקבל xz למישור המשטח את נטיל דומה, באופן¨
S
Q (x, y, z)dxdz
ונקבל yz למישור המשטח את ונטיל¨
S
P (x, y, z)dydz
היטל כל על השני מסוג האינטגרל של הסכום יהיה כללי II מסוג משטחי אינטגרל 14.13 הגדרהI =
¨
S
R (x, y, z)dxdy +Q (x, y, z)dxdz + P (x, y, z)dydz114
משטחי אינטגרל 14 II מסוג משטחי אינטגרל 14.4
הבאה בצורה למשטח הנורמל על נסתכל שונה. בצורה האינטגרל את להציג נוכל
~ni = (cosαi, cosβi, cos γi)
נקבל קודם, σ לבניית דומה באופן ואז ,Dxyi = ∆s cos γi את לייצג נוכל ואז
σ =∑
i
P (Mi) cosαi
lim∆→0
σ =
¨
S
R (x, y, z)dxdy =
¨
S
R (x, y, z) cosαds
כללי ובאופן
I =
¨
S
(P cosα+Q cosβ +R cos γ)
אז ~F = (P,Q,R) עם ולכן
I =
¨
S
~F · ~nds
ואז ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) פרמטרית בצורה S נתון אם :I את נחשב
¨
S
~F · ~nds =
¨
∆
~F (u, v) ·
~n︷ ︸︸ ︷
(r′u × r′v)
�����‖r′u × r′v‖·�����‖r′u × r′v‖dudv
ואז ראשון. מסוג משטחי אינטגרל ע״פ
¨
∆
~F (u, v) · (r′u × r′v) dudv =
¨
∆
∣∣∣∣∣∣
P Q Rx′u y′u z′u
x′v y′v z′v
∣∣∣∣∣∣
dudv
בסיכום
I =
¨
S
pdydz +Qdxdz +Rdxdy =
¨
S
~F · ~nds =¨
∆
~F (u, v) · (r′u × r′v) dudv =
¨
∆
∣∣∣∣∣∣
P Q Rx′u y′u z′u
x′v y′v z′v
∣∣∣∣∣∣
dudv
אז z = f (x, y) , (x, y) ∈ ∆ מפורשת בצורה נתון S אם
r′x × r′y =(−f ′
x,−f ′y, 1)
ולכן
¨
S
~F · ~nds =
¨
∆
(P,Q,R) ·(−f ′
x,−f ′y, 1)dxdy
115דוגמה:
II מסוג משטחי אינטגרל 14.4 משטחי אינטגרל 14
x2+ y2+ z2 = 4, z ≥ 0 כדור חצי של הפנימי צד S ו ~F = x ·~i+ y ·~j+ z ·~k כאשר˜
S~F ·~nds חשב .1
ש נתון
P (x, y, z) = x
Q (x, y, z) = y
R (x, y, z) = z
z של מפורשת צורה נמצא
z =√
4− x2 − y2
יהיה האינטגרל את נעשה שעליו השטח ואז
∆ ={(x, y)
∣∣ x2 + y2 ≤ 4
}
יהיה והנורמל
N = −(r′x × r′y
)
= −(−f ′
x,−f ′y, 1)
=(f ′x, f
′y,−1
)
=
(
− x√
4− x2 − y2,− y√
4− x2 − y2,−1
)
כדי בנוסחה נשתמש מפה העיגול. של הפנימי הצד על מסתכלים אנחנו כי לנורמל (−) מינוס הוספנוהאינטגרל את לחשב
¨
S
~F · ~nds =
¨
x2+y2≤4
(x, y, z) ·(
− x√
4− x2 − y2,− y√
4− x2 − y2,−1
)
dxdy
z=√
4−x2−y2
↓
= −¨
x2+y2≤4
x2 + y2√
4− x2 − y2+√
4− x2 − y2dxdy
=
2πˆ
0
dθ
2ˆ
0
(r2√
4− r2 + 4− r2
)|J|↓
rdr
= −16π
2010־06־07˜
S~F · ~nds .2
z2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 2 החרוט של חיצוני צד הוא Sו ~F =(x2, y2, z2
)כאשר (א)
גליליות קוארדינטות לפי פתרון
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z =√
x2 + y2 = r
הוא החרוט ולכן
~r (z, θ) = (r cos θ, r sin θ, r) , ∆ =
{0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π116
משטחי אינטגרל 14 II מסוג משטחי אינטגרל 14.4
¨
S
~F · ~nds =
¨
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P Q Rx′u y′u z′u
x′v y′v z′v
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣
(r cos θ)2
(r sin θ) r2
r cos θ sin θ 1−r sin θ r cos θ 0
∣∣∣∣∣∣
drdθ
=
2ˆ
0
dr
2πˆ
0
(−r3 + r2 cos2 θ + r3 sin3 θ
)dθ
= −8π
x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 3 סגור גליל S כאשר ~F =(4x,−2y2, z2
)כאשר (ב)
ב אותו נסמן (x2 + y2 = 4) 2 רדיוס בעל (z = 0)xy במישור מעגלי בסיס חלקים 3 מ בנוי הגלילבגלל .S3 ב אותו שנסמן הגליל של וההיקף .S1 ב אותו נסמן z = 3 בגובה נוסף מעגלי בסיס ,S2
כך האינטגרל את נחלק השטחים, שלושת את אחת פרמטרית בצורה להציג ניתן שלא¨
S
~F~nds =
¨
S1
+
¨
S2
+
¨
S3
~n = (0, 0, 1) כך: נראה הנורמל S1 •¨
z=3
~F · ~nds =
¨
D:{ x2+y2≤4 }
(P,Q,R) (0, 0, 1)dxdy
=
¨
S
z2dxdy
=
¨
D
32dxdy
= 9
¨
x2+y2≤4
dxdy
= 9 · π22 = 36π
~n = (0, 0,−1) כלומר למטה, יהיה כאן הנורמל S2 •¨
z=0
~F · ~nds =
¨
D:x2+y2≤4
(P,Q,R) (0, 0,−1)dxdy
=
¨
D
0 · dxdy
= 0
גליליות צירים מערכות לפי משתנה. הגובה אבל קבוע, הרדיוס כאן S3 •x = 2 cos θ
y = 2 sin θ
z = z 117
(גאוס) דיברגנץ משפט 14.5 משטחי אינטגרל 14
כך הזה המשטח את לבטא ניתן כלומר
~r (θ, z) = (2 cos θ, 2 sin θ, z) , ∆ =
{0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ z ≤ 3
רוצים אם z לפי (הפוך, החיצוני לכוון רוצים אנחנו אם קודם θ לפי הדרטמיננטה את נעשהלפנימי)
¨
S3
~F~nds =
¨
∆
∣∣∣∣∣∣
4 (2 cos θ) −2 (2 sin θ) z2
−2 sin θ 2 cos θ 00 0 1
∣∣∣∣∣∣
dzdθ = · · · = 48π
S את נסכם
S = 36π + 0 + 48π = 84π
(גאוס) דיברגנץ משפט 14.5
V בגוף c1 ∋ ~F = (P,Q,R) ווקטורי שדה אם . ~n חיצוני נורמל בעל וסגור חלק משטח S יהי 14.14 משפטאז S ששפתו
¨
S
~F · ~nds =˚
V
div(~F) dxdydzdiv(~F)כאשר = P ′
x +Q′y +R′
z
V גוף של ההיטל הוא D ו z (x, y) ≤ z2 (x, y) דיפרנציאלים משטחים משני מורכב משטח S ש נניח הוכחה:הבא האינטגרל על נסתכל .xy מישור על (S הסגור המשטח ע״י (הנוצר
˚
V
R′zdv =
¨
D
dxdy
z2ˆ
z1
R′zdz
=
¨
D
R (x, y, z2 (x, y)) dxdy −¨
D
R (x, y, z1 (x, y)) dxdy
כלומר ראשון, מסוג משטחי לאינטגרל שווה וזה¨
D
R (x, y, z2 (x, y)) dxdy −¨
D
R (x, y, z1 (x, y)) dxdy =
¨
S
R (x, y, z)dxdy
P ′x ל ו Q
′y ל דומה באופן
˚
V
Q′ydV =
¨
S
Q (x, y, z)dxdz
˚
V
P ′XdV =
¨
S
P (x, y, z) dydz118
משטחי אינטגרל 14 (גאוס) דיברגנץ משפט 14.5
נקבל האינטגרלים שלושת את נחבר אם
¨
S
R (x, y, z)dxdy +
¨
S
Q (x, y, z)dxdz +
¨
S
P (x, y, z)dydz =
¨
S
~F · ~nds
ש נקבל האינטגרלים של השני הצד את נחבר ואז שני. מסוג משטחי אינטגרל כלומר
¨
S
~F · ~nds =¨
(P ′x +Q′
y +R′z
)dV =
˚
V
div(~F) dV.S משטח דרך ~F ווקטורי שדה של לשטף שווה
˜
S~F · ~nds לאינטגרל 14.15 הגדרה
ב2דוגמה: לשאלה (זהה x2 + y2 = 4 ו z = 3 ,z = 0 המשטח דרך ~F =(4x,−2y2, z2
)השדה של שטף חשב .1
( 117 בעמוד
גאוס משפט לפי ולכן וסגור. חלק שטח S ו S שפה בעל גוף V גליל. של ושפה לפנים שווה V ו F ∈ c1
¨
S
~F~nds =
˚
x2 + y2 ≤ 40 ≤ z ≤ 3
div(~F)︷ ︸︸ ︷
(4 + (−4y) + 2z)dV
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x = r cos θy = r sin θ
z = zJ = r
0 ≤ r ≤ 20 ≤ z ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
2πˆ
0
dθ
2ˆ
0
dr
3ˆ
0
(4− 4r sin θ + 2z) rdr
= 84π
כלפי z = 1 ועד z = 0 ,מ z =√
x2 + y2 המשטח דרך ~F =(3xy,−y3 − x, 2z
)שדה של שטף חשב .2
סגור. לא הוא הזה שהחרוט לב לשים יש חוץ,
¨
S
~F~nds =
¨
S∪S1
−¨
S1
~F~nds
מלמעלה. החרוט את שסוגר העיגול הוא S1 כאשר¨
S∪S1
~F~nds =
˚
V
(3y − 3y2 + 2
)dxdydz119
סטוקס משפט משטחי14.6 אינטגרל 14
גלילית צירים למערכת נעבור ,S ∪ S1 ש והשפה הפנים זה V כאשר
˚
V
(3y − 3y2 + 2
)dxdydz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x = r cos θy = r sin θ
z = zJ = r
0 ≤ z ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ r ≤ z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
1ˆ
0
dz
2πˆ
0
dθ
rˆ
0
(
3r sin θ − 3 (r sin θ)2+ 2)
rdr
˜
S1
~F~nds האינטגרל את נפתור¨
S1
~F~nds =∣∣~n = (0, 0, 1)
∣∣
=
¨
x2+y2≤1
(3xy,−y3 − x, 2z
)(0, 0, 1)dxdy
=
¨
x2+y2≤1
2z=1
↓
zdxdy
= 2
ˆ
x2+y2≤1
1 · dxdy
= 2π11
האינטגרלים. שני בין לחסר נותר עכשיו˜
S~F~nds , S : x2 + y2 + z2 = 4 המשטח דרך ~F = (4x, 2y,−z) שדה של שטף מצאו .3
גאוס לפי
S ~F~nds =
˚
x2+y2+z2≤4
(y + 2− 1) dxdydz
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x = r cos θ sinαy = r sin θ sinαz = r cosα
J = −r2 sinα0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ α ≤ π0 ≤ r ≤ 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
2πˆ
0
dθ
π
0
dα
2ˆ
0
(r sin θ sinα+ 1) r2 sinαdr
סטוקס משפט 14.62010־06־10
ל שווה ~F של רוטר אזי ~F = (P,Q,R) יהי (רוטר) 14.16 rot(~F)הגדרה = ∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣
i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣
=(R′
y −Q′z, P
′z − R′
x, Q′x − P ′
y
)
120
משטחי אינטגרל 14 סטוקס משפט 14.6
אזי משטח S כאשר ~F = (P,Q,R) ∈ c1 ווקטורי שדה יהי 14.17 משפט
¨
S
rot(~F) · ~nds = ˆΓ
~F · d~r
החיובי. בכוון S המשטח של השפה Γ כאשר
.∆ של שפה C ש נניח .S = { x (u, v) , u (u, v) , z (u, v) | u, v ∈ ∆ } :S של הצגה תהי הוכחה:ימין: צד את נחשב
d~r = (dx, dy, dz) = (x′udu + x′
vdv, y′udu+ y′vdv, z
′udu+ z′vdv)
ˆ
Γ
~F · d~r =
ˆ
C
P↓
(Px′u +Qy′u +R′
z)du +
Q↓
(Px′v +Qy′v + Pz′v)dv
גרין משפט ע״פ
ˆ
C
P↓
(Px′u +Qy′u + R′
z)du+
Q↓
(Px′v +Qy′v + Pz′v)dv =
¨
∆
(
Q′u − P ′
v
)
dudv
=
¨
∆
[(P ′ux
′v − P ′
vx′u) + (Q′
uy′v −Q′
vy′u) + (R′
uz′v −R′
vz′u)]
שמאל: צד את rot(~F)נחשב =(R′
y −Q′z, P
′z −R′
x, Q′x − p′y
)
¨
S
rot(~F)~nds =
¨
∆
rot(~F) ·r(u,v)=(x(u,v),u(u,v),z(u,v))↓
(r′u × r′v)dudv
=
¨
∆
∣∣∣∣∣∣
R′y −Q′
z P ′z −R′
x Q′x − P ′
y
x′u y′u z′u
x′v y′v z′v
∣∣∣∣∣∣
dudv
=
¨
∆
[(P ′ux
′v − P ′
vx′u) + (Q′
uy′v −Q′
vy′u) + (R′
uz′v −R′
vz′u)]
דוגמה:[x2 + y2 + z2 = a , x+ y + z = 0 , a > 0
]ע״י נתון Γ כאשר
˜
Γ (2y + 3x) dx+(z − y2
)dy+(x+ 1) dz חשב .1rot(~F) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k∂∂x
∂∂y
∂∂z
2y + 3x z − y2 x+ 1
∣∣∣∣∣∣
= ~i (−1)−~j (1) + ~k (−2) = (−1,−1,−2)121
R3 ב משמר שדה 14.7 משטחי אינטגרל 14
אז ,(x2 + y2 + z2 = a המשטח עם (בחיתוך Γ ושפתו x+ y + z = 0 המשטח על נסתכל
~n =(1, 1, 1)√
3
ש נקבל סטוקס, משפט ולפיˆ
Γ
=
¨
S
rot(~F)~nds=
¨ ¨
x2+y2≤a
(
(−1,−1,−2) · (1, 1, 1)√3
)
dxdy
= − 4√5
¨
x2+y2≤a
dxdy
= − 4√3π · a
גליל (זהו[x2 + z2 = 1, y = 1 , y > 0
]ע״י הנתון קו הוא Γ ו ~F =
(z3, 3y2,−x3
)כאשר
´
Γ~Fd~r .2
אותו) שחותך y = 1 במיקום xz ומישור ,y לציר rot(~F)מסביב =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k∂∂x
∂∂y
∂∂z
z3 3y2 −x3
∣∣∣∣∣∣
=(0, 3
(z2 + x2
), 0)
סטוקס משפט ע״פ ואזˆ
,Γ
~Fd~r =
¨
S
(0, 3
(z2 + x2
), 0)(0, 1, 0)ds
=
¨
x2+z2≤1
3(z2 + x2
)dxdz
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
x = r cos θz = r sin θ0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
2πˆ
0
dθ
1ˆ
0
3 · r2 · r↑
|J|
dr =3
2π
R3 ב משמר שדה 14.7
משטחי קשר פשוט גוף מעל c1 ∋ ווקטורי שדה ~F = (P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)) יהי 14.18 משפט.V
: שקולות הבאות הטענות
L סגורה עקומה לכל´
L~F · d~r .1
V ב נמצא שכולו B ל A בין במסלול תלוי אינו´
AB~Fd~r .2122
משטחי אינטגרל 14 R3 ב משמר שדה 14.7
פוטנציאל) פונקציית (u־ ∇u = ~F ש כך u שדה קיים .3ˆ
AB
~Fd~r = u|BA = u (B)− u (A) rot(~F) = 0 .4
ש כך u קיימת אם משמר שדה נקרא ~F .~F = (P,Q,R) ווקטורי שדה יהי 14.19 הגדרה
∇u = ~F
דוגמה:
שתיהן. בין המחבר ישר) (לא L וקן B (3, 4, 5) ו A (1, 1, 2) נקודות שתי .1
~F = (x− yz sin (xyz) ,−xz − xz sin (xyz) ,−xy sin (xyz))
ˆ
L
~F · d~r
משמר שדה F ש הראו rot(~F)(א) = 0 ש rot(~F)נראה =(R′
y −Q′z, P
′z −R′
x, Qx − P ′y
) ?= (0, 0, 0)
ש לראות קל
R′y = Q′
z
P ′z = R′
x
Q′x = P ′
y
F של הפוטנציאל פונקציית את מצאו (ב)ש רוצים אנחנו
∇u = ~F
כלומר
u′x = P = x− yz sin (xyz)
u′y = Q = −xz sin (xyz)
u′z = R = −xy sin (xyz)
נעשה
u =
ˆ
(x− yz sin (xyz)) dx
=x2
2+��yz cos (xyz)
��yz+ c (y, z)123
R3 ב משמר שדה משטחי14.7 אינטגרל 14
Q ל ונשווה y לפי u את נגזור
u′y = (((((((− sin (xyz) · xz + c′y (y, z) =
Q↓
(((((((−xz sin (xyz)
c′y (y, z) = 0
c (y, z) =
ˆ
0dy = h (z)
כלומר
u =x2
2+ cos (xyz) + h (z)
z לפי נגזור
u′z = (((((((−xy sin (xyz) + h′ (z) =
R↓
(((((((−xy sin (xyz)
h′ (z) = 0
h (z) =
ˆ
0dz = c
ולכן
u =x
2+ cos (xyz) + c
מצאו ב׳, סמך על (ג)ˆ
L
~Fd~r = u (3, 4, 5)− u (1, 1, 2)
=3
2+ cos (3 · 4 · 5)− 1
2− cos (1 · 1 · 2)
124