Calculo de Volmenes.El volumen se encuentran por la rotacin de una figura plana (el rea de la curva se hace girar en el eje de coordenadas).El eje de rotacin bien puede estar ubicado en el eje de coordenadas como en una recta cualquiera.Hay tres mtodos para encontrar este volumen dependiendo de la ubicacin del diferencial y el slido.

Cuadro comparativo de los mtodos Mtodos

CaractersticasDiscoArandelaCapas

FiguraSlidaHuecaSlida o hueca

Diferencial con respecto al eje de rotacinPerpendicularPerpendicularParalelo

El diferencial esta acotado porUna curva y el eje de rotacinPor dos curvasPor dos curvas (incluso un eje de coordenadas)

1.-Mtodo del disco

Es para figuras slidas, por lo tanto el diferencial esta acotado por una y el eje de rotacin, el diferencial es perpendicular al eje de rotacin. Para este tipo de ejercicios es de vital importancia la construccin correcta de las graficas (eso fue explicado en el contenido anterior). La deduccin de la frmula:

Se reban la figura y se obtiene:

El volumen de este disco es: V= A eDonde: A = rea e= espesor del disco.

Elespesor no slo del disco sino tambin de los otros mtodos es igual al diferencial. El rea corresponde: El radio es la distancia que hay entre el eje de rotacin y la figura.

Ejemplo:

Encontrar el volumen del slido que se genera al rotar:

1. Rota alrededor del eje x2. Rota alrededor de la recta x=4

Solucin.

2.- Mtodo de la arandela Es para figuras huecas, por lo tanto el diferencial esta acotado por dos curvas.El deferencial es perpendicular al eje de rotacin.

Radio exterior: distancia entre el eje de rotacin y la parteexternade la figura.Radio interior: distancia entre el eje de rotacin y la parte interior,correspondienteal hueco.Espesor:es una variacin de x.

3.- Mtodo de capasEste mtodo establece que el diferencial es paralelo al eje de rotacin, lo que indica que este no lo acota,sino la o las curvas.Es factible su uso en figuras huecas o slidas.

Ejemplo

Calculo de Trabajo.

El trabajo es unamagnitud fsicaescalarque se representa con la letra(del inglsWork) y se expresa en unidades de energa, esto es enjuliosojoules(J) en elSistema Internacional de Unidades.

Consideremos una partculasobre la que acta una fuerza, funcin de la posicin de la partcula en el espacio, esto esy seaun desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partcula durante un intervalo de tiempo. Llamamos trabajo elemental.

El trabajo realizado por la fuerzadurante un desplazamiento elemental de la partcula sobre la que est aplicada es una magnitud escalar, que podr ser positiva, nula o negativa, segn que el ngulosea agudo, recto u obtuso.Si la partcula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementalesy el trabajo total realizado por la fuerzaen ese desplazamiento ser la suma de todos esos trabajos elementales; o sea.

Tenemos que:

f(x)= 150 +2x , cuando 0