CÁLCULO DEL RADIO TERRESTRE POR EL MÉTODO DE ERATÓSTNES3er PREMIO DEL CONCURSO DEL IMUVA 2014
«Las Matemáticas del Planeta Tierra»
Alumnos de 4º de E.S.O. :
Raúl Barbao de Andrés
Carmen Montero Grande
Freddy Mora Párraga
1
(276 a.C.)
Eratóstenes fue un matemático y astrónomo de origen griego que llegó a ser el tercer director de la biblioteca de Alejandría. Nació en Cyrene (actual Libia) en el año 276 a.C.
Una de sus aportaciones a la ciencia entre otras fue el cálculo del radio terrestre con una aproximación asombrosa para la época.
Alejandría
Asuán
La base de los cálculos que hizo Eratóstenes se situaron en Alejandría y Siena (actual Asuán)
Eratóstenes descubrió que en Siena, el 21 de junio el Sol se situaba en la vertical del lugar y no se producía sombra (hoy sabemos que corresponde al solsticio de verano, momento en el que los rayos solares inciden verticalmente en el Trópico de Cáncer debido a que la latitud coincide con la inclinación del eje terrestre [23º] . En cambio en Alejandría sí que se producía sombra en el mismo instante.
Equinoccios y solsticios
Trópico de Cáncer
Veamos como varían las sombras a lo largo del año
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
El solsticio en Siena y Alejandría
Eratóstenes midió la distancia entre Siena y Alejandría, y midió en Alejandría el ángulo (7º) que los rayos solares formaban con la vertical el día del Solsticio de verano (21 de junio)
b = Alejandría
a = Asuan
66 Km 1%.
Con esta sencilla proporción entre el arco de circunferencia y el ángulo
Veamos los cálculos que hizo Eratóstenes
L
C
B
A
O
1
Pero……… Si tenemos dos ciudades A y B cualesquiera , siempre que se encuentren en el mismo meridiano, tendríamos las siguientes relaciones angulares
En el triángulo OAC se cumple:
Si L es la distancia entre las dos ciudades, tendremos por una regla de tres sencilla:
de donde
S = sombra
Rayos solares
l = varilla
¿Cómo se toman los datos necesarios?
El primer paso es obtener la altura angular del sol (β) al mediodía
Se mide la sombra (S) que produce en ese instante una varilla de longitud conocida (L)
Pero…… ¿Cómo conocer el instante del mediodía ? o ¿Cuál es la línea meridiana (Norte-Sur)? o ¿Cuál es la sombra más corta?
N
P1
Pn
varilla
S
Se toman sombras simétricas (en la misma circunferencia), y los tiempos en que se producen.
Los datos obtenidos de longitudes y sombras y tiempos se ajustan a una curva (parábola) cuyo vértice nos da sombra y tiempo al mediodía solar
T.U.(h)
L = 71,6 cm
S = 90,87 cm
¡¡¡ Con los datos obtenidos hemos calculado la altura angular del sol !!!
S = sombra
Rayos solares
l = varilla
¿Cómo hemos calculado la distancia entre las dos ciudades? …………….Google
La distancia entre las dos Ciudades
Segovia y Ciudad Real es de 220 km
Con los datos obtenidos se realiza el
«Cálculo del radio terrestre»
Carmen Montero Grande
Freddy Mora Párraga
I. E.S.Ezequiel González