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Apuntes para curso básico de calculo diferencial en el bachillerato
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secretaría de educación pública
subsecretaría de educación media superior dirección general de educación tecnológica industrial
CC ÁÁ LL CC UU LL OO DD II FF EE RR EE NN CC II AA LL
ing. armando castillo nieves
componente de formación básica
academia de matemáticas
loreto, zacatecas. enero de 2009
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 2
contenido
1. pre-cálculo.
1.1. antecedentes históricos. 1.2. números reales.
1.3. sistema de coordenadas lineales y rectangulares. 1.4. desigualdades.
1.5. intervalos.
2. funciones.
2.1. domino y contradomino 2.2. clasificación.
2.3. operaciones. 2.4. comportamiento.
3. límites.
3.1. límite de una función. 3.2. propiedades.
3.3. continuidad de una función.
4. derivada.
4.1. razón de cambio promedio e interpretación geométrica. 4.2. derivación de funciones.
4.3. fórmulas de derivación. 4.4. derivadas sucesivas.
4.5. comportamiento.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 3
1. pre-cálculo. 1.1. antecedentes históricos.
de cómo se gestó y vino al mundo el cálculo infinitesimal
n e w t o n l e i b n i z
( 1 642 - 1 727 ) ( 1 646 - 1 716 )
del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. el
cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y
pequeños. los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que
arquímedes realizó en el siglo iii a.c. aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta el siglo xvii, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor,
como platón afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. varias son las causas de semejante retraso. entre ellas debemos destacar la
inexistencia de un sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría
analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes,
cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. todo ello ocurrió
principalmente en el siglo xvii.
ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. para los griegos el infinito aparece de
dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. ya se vislumbra de algún modo en la inconmensurabilidad de la
diagonal del cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 4
paradoja de zenón sobre aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar
que alguien intentara regularlos. ese alguien fue aristóteles. lo que hizo fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito exista como
ser en acto o como una substancia y un principio", escribió, pero añadió
"es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles" de manera que el infinito "existe
potencialmente [...] es por adición o división". así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una
colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. fue eudoxio, discípulo de platón y
contemporáneo de aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. eudoxio postuló que "toda magnitud finita
puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada". es el famoso principio de arquímedes que éste toma
prestado a eudoxio y que sirvió a aquél para superar la primera crisis de las matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.
no obstante, fue arquímedes el precursor del cálculo integral aunque
desgraciadamente su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna
repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica
de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 ... la genial idea del siracusano fue considerar las áreas como una colección -
necesariamente infinita- de segmentos. habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso cavalieri- volviera a usar de
esa manera los infinitos. de hecho leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de pascal donde éste usaba un método
semejante.
la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento del cálculo. -ya en el
siglo xvii se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas.
también ayudó al surgimiento del cálculo los cambios de actitudes en la matemática del siglo xvii quizá influenciada por los grandes
descubrimientos de todos tipos -geográficos, científicos, médicos y tecnológicos- que fue el interés de los matemáticos por descubrir más
que por dar pruebas rigurosas. ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas. y finalmente, el descubrimiento de la
geometría analítica de descartes y fermat.
la primera parte del siglo xvii vio el nacimiento de la geometría analítica de fermat y descartes. la importancia de este descubrimiento consiste
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 5
en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de
problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación
analítica. de esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía
extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para cada curva,
procedimientos geométricos.
como ya mencionamos, en el siglo xvii los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos que los griegos les habían tenido: kepler y cavalieri
fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. el
primer paso importante se debe a cavalieri -discípulo de galileo-. cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes
formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella época-
de arquímedes. cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar
rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito
en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-. las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica,
excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por torricelli, fermat, pascal, wallis y roberval.
otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, grégoire de saint-vicent, jesuita discípulo de clavius. sus principales aportaciones las
publicó en su opus geometricum. en ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo
diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de zenón sobre aquiles y la tortuga que además resolvía
magistralmente argumentando que zenón no consideró en la persecución de aquiles que el tiempo formaba una progresión
geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. una de las aportaciones más valiosas de saint-
vicent consistió en su hallazgo de que el área encerrada bajo una
hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.
nuestro próximo personaje es john wallis, miembro fundador de la royal society de londres y editor de obras de arquímedes que además escribió
una gramática inglesa. wallis aritmetizó los indivisibles de cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de
áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso de límite haciendo además un uso
"descarado" del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado (∞)-. es curiosa la opinión que él mismo
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 6
profesaba de sus métodos: "este procedimiento es altamente
heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente
iteración produce náuseas al lector. cualquier ducho en la materia puede
realizar la prueba", escribió en su arithmetica infinitorum. usando su método aritmético, la inducción incompleta, y su intuición llegó a
calcular el área de todas las parábolas generalizadas 𝑥𝑟 con r racional
excluyendo al −1, además de una bellísima fórmula para calcular 𝑃𝑖 = 𝜋.
el trabajo de wallis influyó enormemente en newton quien aseguró que
el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo se originaron en su estudio del libro de wallis en la época de estudiante en
cambridge.
el mismo wallis propone una genealogía del cálculo:
método de exhausión (arquímedes) método de los indivisibles (cavalieri)
aritmética de los infinitos (wallis) métodos de las series infinitas (newton)
dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas
constituyeron la base del cálculo. en la parte central del siglo xvii, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas,
como alguien las llamó en el siglo xviii, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes,
etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. como hemos mencionado saint vincent, pascal, wallis, ...
siguieron los pasos de kepler y cavalieri; además de los infinitésimos cada vez se usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría
analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. si isaac barrow, el maestro de newton en cambridge la hubiera estudiado
bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. en efecto, la geometría analítica amplió considerablemente el
horizonte de las curvas geométricas. este incremento de nuevas curvas
hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. uno de ellos fue el método de adigualdades de pierre fermat
que servía además para calcular máximos y mínimos. esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor a un puesto de honor
como precursor del cálculo. newton, en una carta descubierta en 1934, escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: "la
indicación me la dio el método de fermat para las tangentes. aplicándolo a las ecuaciones abstractas directa e inversamente, yo lo hice general".
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 7
relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del siglo
xvii el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. el primero en
plantear un problema de este tipo fue florimond de beaune, discípulo de
descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. el propio descartes lo intentó sin éxito
siendo leibniz el primero en resolverlo en la primera publicación de la "historia sobre el cálculo infinitesimal". de hecho un elemento esencial
para el descubrimiento del cálculo fue el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos;
es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy llamamos teorema fundamental del cálculo.
newton en su célebre frase "si he llegado a ver más lejos que otros
es por que me subí en hombros de gigantes" se refiere entre otros a su maestro y mentor isaac barrow. barrow fue probablemente el científico
que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marchó de su cátedra
en cambridge, cediéndosela a newton para continuar sus estudios
teológicos-. en la lección x de su obra letiones opticae & geometricae barrow demuestra su versión geométrica del teorema fundamental del
cálculo.
en el último cuarto del siglo xvii, newton y leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales
usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la
derivada -reglas de derivación- y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo
infinitesimal. para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc. que habían
ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo.
el primero en descubrirlo fue newton, pero su fobia por publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. newton gestó el cálculo en
sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba inglaterra. de hecho su primera
obra sobre el cálculo, de analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro barrow-
fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. la segunda obra de newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero
esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después de escrita!. se trata de de methodis serierum et fluxionum.
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en ella newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en
función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas
algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos
problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado teorema fundamental del
cálculo-. para demostrar la potencia de su cálculo newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de
tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores. una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué
newton tardó tanto en publicar sus resultados? a parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus
contemporáneos, newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo
copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. este temor también está patente en su obra cumbre: los principia, donde optó por un
lenguaje geométrico más riguroso -y oscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única
mención del mismo en el lema ii de la sección ii del libro ii: la regla para
derivar productos-.
leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. su descubrimiento fue posterior al de newton, aunque leibniz fue el
primero en publicar el invento. lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus
resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas, el acta eroditorum, que el mismo había ayudado a fundar -
eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y
hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. durante una estancia en parís -ya que era un afamado
diplomático- leibniz conoce a huygens quien le induce a estudiar matemáticas. en 1673, luego de estudiar los tratados de pascal, leibniz
se convence que los problemas inversos de tangentes y los de
cuadraturas eran equivalentes. alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una
teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de newton si lo
publica en las mencionadas actas con el título "un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se
detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". en este artículo de 6 páginas -
e incomprensible como él mismo luego reconoce- leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 9
diferencial -"un enigma más que una explicación" dijeron de él los
hermanos bernoulli. también leibniz resuelve el ya mencionado problema de de beaune encontrando que la solución era el logaritmo. el
siguiente artículo de leibniz se llamó "sobre una geometría altamente
oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las actas eroditorum en 1686. en él aparece por primera vez la notación
para la integral que todavía hoy usamos -en el primero introduce la notación "dx" para la diferencial-.
como colofón a estas páginas dedicaremos unas líneas a tratar la
mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. las suspicacias entre newton y leibniz y sus
respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron
estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues
los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los
mismos. newton consideraba las curvas generadas por el movimiento
continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que leibniz consideraba
una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría
se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. si el de
newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del
análisis no estándard de abrahan robinson.
la polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo xvii: por un lado leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de newton
-que el mismo newton le había indicado que existía en sus epistolae : expistola prior y posterior, sendas cartas dirigidas a leibniz. en ambas
newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema
del binomio- su método de cálculo.- además en holanda -como le aseguró wallis a newton- se atribuía el cálculo a leibniz, eso sin contar
que los discípulos de leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el analyse des infiniment petits que redactó el marquéz de
l'hospital a partir de las clases particulares que le dio juan bernoulli.
la respuesta de los seguidores de newton no se hace esperar. primero el propio newton hace publicar en el tercer volumen de las obras
matemáticas de wallis la correspondencia cursada con leibniz, las epistolas prior y posterior donde éste pedía a newton le enviase
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 10
resultados sobre series, luego fatio de duillier, amigo de newton, acusa
a leibniz de haber plagiado a newton y como no, en su ya mencionada de quadratura curvarum, newton alega "en una carta escrita al sr.
leibniz en 1676 y publicada por wallis, mencionaba un método por el
cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas [...] hace años presté un manuscrito
conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión". la
respuesta de leibniz no se hizo esperar.
en una reseña del de quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: leibniz - en 1705 en las actas se
dice "para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. cuando una cantidad varía continuamente como, por
ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] y por
tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. los elementos de este cálculo han sido publicados por su
inventor el dr. gottfried wilhelm leibniz en estas actas, y sus varios usos
han sido mostrados por él y por los drs. y hermanos bernoulli y por el dr. marquéz de l'hospital. en vez de las diferencias leibnizianas, el dr.
newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones". esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra leibniz desde las philosophical
transactions firmado por john keill quien acusa abiertamente a leibniz de plagio. tras la protesta de leibniz la royal society nombra una comisión -
que resultó estar plagada de amigos de newton - que luego de varias deliberaciones dictaminó que newton fue el primero y no acusó a leibniz
- aunque tampoco rectificó las duras palabras de keill-. esta absurda guerra duró hasta principios del siglo xix cuando finalmente los
matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana, que hasta el momento habían ignorado.
como apéndice a nuestra exposición vamos a relatar, a modo de
realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se
resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por newton y leibniz: el problema de la braquistocrona. el problema consistía en
determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal.
este problema ya interesó en su día a galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para ello se precisaba del cálculo-. la
historia es como sigue. en el número de junio de 1696 de las actas eroditorum, juan bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del
mundo. en realidad era un reto encubierto a newton. al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de leibniz se amplió para
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 11
que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían
enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de leibniz, una del mismo juan bernoulli, otra de su hermano jacobo bernoulli, una del
marquéz de l'hospital y una anónima. todas, excepto la de l'hospital
daban con la solución: la cicloide. ¿quién era ese autor anónimo que escogió las philosophical transactions para publicar su genial solución
que sólo contenía 67 palabras?. un vistazo a la solución fue suficiente para que juan bernoulli exclamara "tanquam ex ungue leonen", algo así
como "¡reconozco al león por sus garras!" pues claro está que era newton. años más tarde se aclaró toda la historia. como ya dijimos el
reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad
para ver si el cálculo de newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. además, en una carta de leibniz a juan bernoulli éste
conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -newton entre ellos claro está-.
como no podía ser de otra forma el reto llegó a newton aunque por
aquel entonces ya no "hacía ciencia" sino que trabajaba en la casa de la
moneda inglesa. según cuenta la sobrina de newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la casa de la
moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que newton ya había pensado en
ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. nuevamente aparece la
misma pregunta: si newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dió
augusto de morgan "cada descubrimiento de newton tenía dos aspectos. newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir
que él lo había hecho".
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 12
“el crucigrama de la vida”
complete el siguiente crucigrama, llenando los espacios en claro a partir
de la respuesta correcta de las aseveraciones verticales y horizontales,
iniciando en el punto señalado en cada una de ellas.
a b c d e f g h i j k l m n o p q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
verticales.
2-a. se le debe la definición moderna de limite.
1-l. introdujo la notación xfy .
2-n. establece la idea de representar los puntos del plano por pares de números reales y las curvas en el plano por ecuaciones.
9-l. concibió el método de las fluxiones y considera a la curva como un punto en movimiento
10-d. junto con newton contribuyo en forma decisiva en los inicios del calculo.
horizontales.
2-c. es conocido por sus contribuciones a diversas áreas de las
matemáticas, anticipo muchos resultados relevantes. 4-e. prueba el teorema del valor medio.
6-a. introduce el concepto de función continua, donde establecía que
cambios infinitamente pequeños en y eran el resultado de cambios infinitamente pequeños en x
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 13
7-k. su contribución inicial fue en la representación de funciones por
series de potencias. 8-a. fue el primero en utilizar la palabra función, para denotar cualquier
cantidad relacionada con una curva. junto con newton son
considerados los creadores del calculo. 9-f. sus principales contribuciones fueron en ecuaciones diferenciales,
uno de sus principios mencionan que al crecer n la longitud del subintervalo más grande tiende a cero, hecho clave en el
desarrollo de las integrales definidas. 11-c. se le atribuye la introducción del símbolo , utilizado para denotar
al infinito. 12-g. se le atribuye el teorema “los extremos relativos solo ocurren en
los números críticos”. 14-o. el método de descomposición en fracciones simples para la
aplicación de las formulas básicas de integración.
en caso de requerir mayor información, consulta otras fuentes para completar tu crucigrama.
investiga la bibliografía de los siguientes personajes:
rene descartes (1596-1650), _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
gottfried wilhelm leibniz (1946-1716)
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________
leonhard euler (1707-1783)
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________
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Cálculo Diferencial CBTis 215 14
leonhard euler (1707-1783)
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________________________
peter gustav dirichlet (1805-1859)
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________
augustin louis cauchy (1789-1857) _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
________________
isaac newton (1642-1727) _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
isaac barrow (1630-1677)
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________
pierre de fermat (1601-1665)
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_______________
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Cálculo Diferencial CBTis 215 15
joseph-louis lagrange (1736-1813)
______________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
georg friedrich bernhard riemann (1826-1886).
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________
blaise pascal (1623-1662) _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
________________
john wallis (1616-1703) _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
john bernoulli (1667-1748)
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________
joseph fourier (1768-1830)
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________
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Cálculo Diferencial CBTis 215 16
1.2. números reales.
la matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y
aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación
llevó muchísimo tiempo.
la matemática es como un juego, y para entender un juego hay que conocer las reglas del mismo. como es muy antigua, por lo tanto, se ha
tenido muchísimo tiempo para armar "las instrucciones de cómo jugarla". si existen reglas, es lógico pensar que existen elementos,
cosas, que obedecen esos mandatos. dichos elementos se conocen con el nombre de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué
son, sino qué se hace con ellos.
la matemática puede describirse como una construcción edilicia cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que
aceptamos sin discusión. por ejemplo, el punto y la recta son conceptos primitivos, indicando que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos
enunciando un axioma. en base a los axiomas se pueden "construir"
propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez puede probarse, deducirse lógicamente. de estas propiedades se
deducen otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red.
de la misma manera que no se puede entender una película a la que
empezamos a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de las matemáticas. así que comencemos por lo
básico.
Conjuntos los conjuntos son conceptos primitivos, podemos imaginar lo que son;
una totalidad, una reunión de cosas. ¿qué hacemos con ellos?
comencemos por conocer la reglamentación básica: a todo conjunto se
le da un nombre que siempre es una letra mayúscula. los elementos que lo forman se representan mediante letras minúsculas. podemos
dibujarlo o escribirlo. para dibujarlo utilizamos una línea cerrada, que llamamos diagrama de venn. para escribirlo empleamos un par de llaves
"{" entre las cuales indicamos los elementos que pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro, con ";".
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 17
hasta este momento sólo hemos nombrado los elementos que
componen al conjunto, lo hemos definido por extensión. pero podemos indicar "la característica" de esos elementos, buscar en dos o tres
palabras, como máximo, lo que distingue a ese conjunto de elementos, de esa manera estamos definiendo al conjunto por comprensión.
pongamos un ejemplo:
si definimos por extensión escribimos: a = {a; e; i; o; u}
por comprensión se escribe: a = {x/x es una letra vocal}
este conjunto está compuesto por letras, cada una de éstas tienen una
característica en común, cada elemento es una vocal. es importante distinguir que como nos referimos a cada elemento que compone el
conjunto, hablamos en singular. conviene, entonces, utilizar una letra a
manera de "nombre" para no tener que estar indicando (escribiendo a cada momento) "que el elemento del conjunto es..." utilizamos una letra
para que represente a cualquier tipo de elemento, esa letra siempre es la "x". al escribir " x/x " (se lee x tal que x) indicamos lo que es x, lo
que es "cada" elemento que compone al conjunto.
demos otros ejemplos:
b = {x/x es una nota musical }
b = {do; re; mi; fa; sol; la; si}
c = {x/x es un número de una sola cifra}
c = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
tamaño o cardinal de un conjunto
intuitivamente podemos darnos cuenta que dos conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos. por ejemplo, el conjunto a = {x/x es una
vocal} está compuesto por cinco elementos mientras que el conjunto b = {x/x es una nota musical} está compuesto por siete.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 18
estamos listos para definir una nueva propiedad matemática para los
conjuntos, el cardinal. así pues, el cardinal es el número que determina el tamaño del conjunto, la cantidad de elementos que contiene.
aclaremos que cuando se indica que cierta propiedad "determina", se
está diciendo que existe y es única. volviendo al cardinal, hay varias formas de representar esta propiedad.
algunos autores suelen asignarle un símbolo (#), otros encierran al número entre barras. de esta manera el conjunto d = {x/x es un mes
del año} tiene por cardinal a 12 y se le puede designar: #12 ó |12|.
conjunto vacío: si el conjunto no tuviera elementos, se le denomina vacío, y se le designa con el símbolo ∅ ó {}. en este caso su cardinal es
cero.
conjunto infinito: cuando no podemos indicar la cantidad de elementos
que compone a un conjunto, por que son tantos que no existe un cardinal que pueda determinar su tamaño, decimos que el conjunto es
infinito.
infinito, cuyo símbolo es ∞, no es un número, indica que el conjunto
crece o decrece sin final. por ejemplo, el conjunto de las estrellas que vemos en el cielo es infinito, así mismo los siguientes conjuntos que
trataremos, los conjuntos numéricos, también lo son. volveremos al tema del "infinito" más adelante...
conjunto numérico
cuando un niño descubre a los números se maravilla, se sorprende. los números parecieran ser elementos mágicos por que le permiten conocer
cuantos caramelos puede comer; comparar y decidir si tiene más o menos bolitas que su amiguito, etc. esa misma fascinación pudo haberla
sentido el hombre primitivo al aprender a contar; justamente, los primeros números que naturalmente aprendemos son los números
naturales como el 1, el 2, el 3, el 4, el 10, el 23, el 120, etc.
los números naturales forman un conjunto, el conjunto de los números
naturales que se representa con la letra n.
conjuntamente con el descubrimiento del número, incluso sin darnos cuenta, empezamos a sumar. hasta parece tonto aclarar que si se
suman dos números naturales obtenemos otro número natural "n + n = n", pero en matemática lo obvio hay que dejarlo bien claro.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 19
de la suma surge, por contraposición, la resta y a partir de ella nos
encontramos con un pequeño problema: al restar dos números naturales no siempre obtendremos otro natural.
pongamos un ejemplo: 2 – 5 = – 3 (el resultado no es natural)
evidentemente se necesita un nuevo conjunto de números, los números negativos, para poder solucionar este tipo de operaciones. aquí nos
encontramos con números positivos y negativos, pero todos ellos enteros; nos hemos topado, por lo tanto, con un nuevo conjunto, el
conjunto de los números enteros y ellos se representan mediante la letra "z".
aunque parezca redundante, el sumar o restar números enteros nos da
como resultado otro número entero.
z + z = z z – z = z
si sumamos "5 + 5 + 5 + 5" estamos sumando cuatro veces cinco, lo
podemos indicar como: 4(5) en ambos casos el resultado es el mismo, 20.
"la suma da origen a otra operación matemática, la multiplicación".
vimos como de la suma surge, como contraposición, la resta y con ella
los números negativos. de esa misma manera de la multiplicación emerge la división, el resultado de esta operación expresada como
fracción se denomina razón, por lo tanto, todo número obtenido de este modo lo llamaremos racional (q) y los números racionales también
forman un conjunto, el conjunto de los números racionales.
todas las fracciones son divisiones de números enteros cuyos resultados son decimales periódicos. ojo, está mal dicho números fraccionarios o
quebrados, los números se denominan racionales.
la fracción a
b representa la división entre dos números
enteros 𝑎 𝑦 𝑏
si el decimal no es periódico, entonces, no puede obtenerse mediante la
división de dos números enteros, por lo tanto, ese número se le llamará
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Cálculo Diferencial CBTis 215 20
número irracional. todos ellos forman el conjunto de los números
irracionales.
el prestigioso 𝜋 es un irracional muy conocido, pero también lo son:
√2, √3, √11, 𝑒𝑡𝑐.
a todos estos números que hemos visto hasta ahora se los denomina
números reales; al conjunto de los números reales se lo representa con la letra "r".
pertenencia e inclusión
cuando hablamos de un elemento, decimos que este pertenece a un conjunto. cuando un conjunto tiene todos los elementos del otro y más,
decimos que el primer conjunto está incluido.
cuando un conjunto está incluido en otro más grande se le denomina
subconjunto. por ejemplo n (naturales) es un subconjunto de z (enteros).
los elementos pertenecen a un
conjunto
un conjunto está incluido en otro
conjunto
el signo de pertenencia es "∈", por ejemplo: 2 ∈ n (2 pertenece al
conjunto de los naturales)
el signo de inclusión es "⊂", por ejemplo: n ⊂ r (los naturales están
incluidos en los reales)
variables
suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "n"
es un número cualquiera, sólo necesitamos indicar a que conjunto pertenece.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 21
ejemplo: n ∈ z ( n pertenece al conjunto de los números enteros, o sea
"es" un número entero)
reemplazar al "número" por una letra nos ayuda a generalizar
propiedades. para que una propiedad sea verdadera debe darse en todos los casos, absolutamente en todos, sin ninguna excepción.
veamos un ejemplo: "el siguiente de un número entero". el siguiente de
2 es 3, el siguiente de 7 es 8, el siguiente de 12 es 13 ... ¿qué se hace para encontrar al siguiente de un número? sencillamente
se le "suma 1"
así que podemos designar al siguiente de un número entero, al
consecutivo de n como: "n + 1". de la misma manera "n – 1" representa al número anterior de un entero.
ahora piensa cuidadosamente tu respuesta.
entre un entero y su consecutivo, ¿cuántos enteros hay? el conjunto de
los números enteros es infinito pero entre dos números enteros consecutivos no existe ningún número (entero). sigamos pensando.
tomemos dos números enteros consecutivos, por ejemplo 4 y 5, y busquemos un número real entre ellos.
4... 5 (podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5)
4... 4,5... 5
ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,5
4... 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5)
4... 4,3... 4,5
ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,3
4... 4,3 (podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3)
4... 4,1... 4,3
ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,1
4... 4,1 (podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)
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Cálculo Diferencial CBTis 215 22
4... 4,08... 4,1
podemos seguir así eternamente.
siempre podremos poner otro número por que entre dos números reales hay infinitos números.
razonemos...
¿cuántos números hay en el conjunto de los enteros?, infinitos. ¿cuantos
números hay en el conjunto de los reales?, infinitos. pero el conjunto de los números enteros (z) está incluido en el conjunto de los números
reales, entonces (r)
¿existirán infinitos más grandes que otros?!!!!
entonces cabe preguntarnos, ¿qué quiere decir infinito?.
como ya se dijo, "infinito" no es un número, es una tendencia, indica
que sigue creciendo o que sigue achicándose eternamente, sin fin.
tenemos dos nociones para infinito.
a) el que crece indefinidamente, por ejemplo, contar las estrellas que hay en el cielo.
b) el que disminuye por siempre; podríamos ejemplificarlo con un
extraño sueño en el cual quieres tocar una pared, te acercas, te das cuenta de que estás más cerca, pero nunca llegas, se lo denomina
infinitécimo.
el conjunto de los números enteros es infinito
el conjunto de los números reales es infinito en ambas direcciones,
positivos y negativos, además también crece infinitécimamente (por que entre dos números reales hay infinitos números también), por eso se le
denomina conjunto denso.
otro conjunto denso es la recta, ya que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos y crece indefinidamente en ambos sentidos
(depende de la dirección que la pongamos). por lo tanto, la recta y los números reales son equivalentes.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 23
"podemos representar a los números reales sobre una recta"
representación de números reales en la recta numérica
ya vimos que uno de los conceptos fundamentales de la matemática es el número, junto al concepto de conjunto nos permitirá desarrollar el
tema.
todos los números, positivos y negativos, se llaman racionales si pueden representarse como fracciones (divisiones cuyo resultado es un decimal
periódico). los decimales no periódicos se denominan números irracionales y todos ellos (racionales e irracionales) forman el conjunto
de los números reales. éstos se ordenan, según su magnitud, de menor a mayor.
tomemos dos números reales cualesquiera a y b, démosle un valor: a =
... b = ...
en realidad al asignarle un valor a cada uno tenemos sólo tres opciones
que a sea mayor que b, que sea menor o que sea igual.
a > b a = b
a < b
dados dos números sólo pueden ser iguales o desiguales (mayor o menor). una alternativa a la vez.
ya hemos aclarado que los números reales y los puntos de la recta son
equivalentes, lo que implica que podemos representar a los números sobres la recta a la que llamaremos eje numérico. para ello pongamos
en claro tres condiciones:
1) siempre ubiquemos un punto al que llamaremos "origen" asignándole
el valor cero.
2) no tenemos que olvidarnos de indicar el sentido positivo con una flecha (el opuesto, se sobreentiende que será negativo).
3) pongamos siempre una medida de longitud, una escala, para separar
dos enteros consecutivos.
con estos tres condicionamientos estamos listos para trabajar.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 24
separemos la recta en unidades de igual longitud cada una, coloquemos
cuatro números enteros consecutivos de cada lado (positivo y negativo)
magnitudes.
estuvimos hablando de los números pero no dijimos para que sirven.
los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que
queramos. un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ...
todo lo que podemos medir puede ser representado por un número.
todo lo medible se llamará, entonces, magnitud.
si bien las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: magnitudes vectoriales y escalares, por ahora nos ocuparemos de las últimas, las
que pueden subdividirse en magnitudes constantes o absolutas (cuyo
valor numérico no varía, como el número 𝜋) y las magnitudes variables
(que pueden tomar diversos valores, representadas generalmente por
las letras "x" e "y").
según el problema que se considere, el conjunto de estos valores puede ser diferente. por ejemplo, la temperatura del agua líquida varía desde 0
ºc hasta 100 ºc (aunque no podemos tomar los valores extremos dentro de ese conjunto); mientras que el alcohol común se mantiene líquido
entre los 0º c y los 80 ºc aproximadamente (excluyendo los extremos del conjunto).
estos conjuntos, subconjuntos del conjunto de los números reales, se
denominan intervalos. los intervalos pueden ser abiertos, si sus extremos no pertenecen al conjunto (como las temperaturas antes
descriptas), o intervalos cerrados , cuando sí pertenecen.
tomemos un intervalo cualquiera, el que se encuentra entre los números
3 y 5, por ejemplo. escribiremos como [3,5] al intervalo cerrado, (siempre comenzando desde el más pequeño) y como (3,5) al intervalo
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Cálculo Diferencial CBTis 215 25
abierto. por supuesto que tenemos los intervalos donde un extremo
pertenece al intervalo y el otro no, lo llamaremos intervalo semiabierto ó intervalo semicerrado. ¿cómo te parece que se escribirá este tipo de
intervalo? (los dos casos posibles)
los intervalos pueden representarse sobre la recta numérica. pongamos
un ejemplo: (-4, 3]
____________(-4________________0________________3]____
como ya se dijo, suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "x", magnitud variable, nos permite generalizar la noción
de número y expresar al intervalo de otra manera. así, (3,5) puede escribirse como: 3 < x < 5, donde x puede tomar cualquier valor entre
3 y 5.
[3, 5] podemos anotarlos como: 3 < x < 5
volvamos con las operaciones...
raíz cuadrada
ya hablamos de la suma, la resta, la multiplicación y la división. luego le tocó el turno a la potencia y ahora es tiempo de desarrollar a su alterno,
la radicación.
aunque no sea necesario, (en mi extrema inocencia presupongo que ya lo sabes) definámosla.
sean a, b y c números reales, entonces:
de ella, en estos momentos, sólo nos detendremos en la raíz cuadrada.
la raíz cuadrada es la inversa de la potencia al cuadrado. no es nada nuevo. tampoco lo es el hecho que todo número elevado al cuadrado da
como resultado un valor positivo.
si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada ¿qué sucede? en realidad, la respuesta no es tan sencilla. no es lo mismo elevar un número negativo
al cuadrado y luego sacarle la raíz que a la inversa.
si tenemos nos encontramos con un gran problema.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 26
¿por qué no podemos resolver la raíz y luego elevar al cuadrado el
resultado? sencillamente por que la raíz de un número negativo no tiene respuesta en el conjunto de los números reales. tanto (- a)2 como a 2
tienen resultado positivo (todo número elevado a una potencia par da
como resultado un número positivo). así que √−𝑎 no tiene solución
(reitero, sólo en el conjunto de los reales).
para facilitar la maniobra transformemos la raíz en potencia, [(−𝑎)1
2]2
y
resolvamos la operación (−𝑎)2
2 al simplificar las potencias nos queda: (−𝑎)
así que: (√−𝑎)2
= −𝑎
si tenemos √(−𝑎)2 la solución es completamente diferente.
cuidado, el cuadrado de un número siempre dará un resultado positivo;
así que nos encontramos con un acontecimiento completamente
diferente al anterior. √(−𝑎)2 = √𝑎2
esta igualdad es verdadera pues dentro de la raíz ambos son positivos
¿cómo expresar que la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro
negativo?. aquí aparece el módulo: √(−𝑎)2 = |𝑎|
el módulo resuelve el problema del resultado de la raíz, que puede ser
tanto positivo como negativo. el valor del módulo siempre es mayor que
cero, siempre es positivo.
ejemplo: √9 = √32 = |±3| = 3
el resultado de la raíz puede ser negativo: |−3| = 3 (al aplicarle el
módulo el resultado es positivo).
no existe un módulo que sea negativo, el resultado siempre es positivo.
ejemplo: |3| = − 3 no existe.
el módulo tiene resultado positivo.
dentro del módulo el número puede ser positivo o negativo
ejemplo: | − 5| = |5| = 5
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Cálculo Diferencial CBTis 215 27
si tenemos ecuaciones con módulo debemos tener en cuenta que la x puede tener ambos signos dentro del módulo pero el resultado será
siempre positivo: |𝑥| > 𝑜, | − 𝑥| > 0
ahora si sacamos el módulo, debemos calcular el valor de x teniendo en
cuenta ambos signos: |𝑥| = 3, al sacar el módulo tenemos 𝑥 = 3 ó – 𝑥 =3 ≠ 𝑥 = −3
aquí hemos planteado una ecuación con una incógnita. la igualdad sólo
nos permite que el resultado sean dos números. si relacionamos al
módulo con una inecuación el resultado será un intervalo.
observemos el siguiente ejemplo: |𝑥| < 3, al sacar el módulo tenemos
𝑥 < 3 ó – 𝑥 < 3 , no nos conviene la "𝑥" negativa, así que intercambiemos
los – 3 < 𝑥 (observa que si la dejamos del mismo lado debe invertirse el
sentido del símbolo quedando: – 3 < 𝑥 = 𝑥 > −3)
representemos 𝑥 < 3 y 𝑥 >– 3 en una recta numérica.
___________________(–3 0 3)_____________
vemos que la solución de |𝑥| < 3 es (– 3, 3) intervalo de una cuadrática
𝑥2 + 5 𝑥 – 6 > 0)
(𝑥 – 1) (𝑥 + 6) > 0 (el hecho de ser mayor de cero nos indica que
buscamos resultados positivos en una multiplicación. tenemos dos
opciones, ambos son positivos o negativos).
si ambos son positivos:
(x – 1) > 0 → x > 1
(x + 6) > 0 → x > – 6
si 𝑥 es mayor que 1, evidentemente es mayor que – 6, por lo que nos
quedamos con el primer resultado. los valores de 𝑥 van desde 1 a
infinito (1, ∞ ) si ambos son negativos:
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Cálculo Diferencial CBTis 215 28
(x – 1) < 0 → x < 1
(x + 6) < 0 → x < – 6
si 𝑥 es menor que – 6, evidentemente es menor que 1, por lo que nos
quedamos con el segundo resultado. los valores de 𝑥 van desde menos
infinito hasta – 6, (−∞, −6) el resultado de esta inecuación serán ambos resultados: (1, ∞ ) y (−∞, −6).
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Cálculo Diferencial CBTis 215 29
1.3. sistema de coordenadas lineales y rectangulares.
representar una palabra, es simbolizar una imagen que describa
perfectamente su concepto. en tal situación es necesario tener claridad
en la comprensión de su definición, para la correcta representación de la información que se encuentra involucrada en ella.
por ejemplo, la representación gráfica de conejo es: para árbol es: para balón es:
de igual manera en este curso, es necesario esquematizar algunos
conceptos, llevándolos de su forma analítica (ecuación o concepto) a su forma gráfica. para ello, anterior a este momento has aprendido que es
fundamental tener presente los elementos o características fundamentales de la recta y las cónicas.
representación gráfica de la recta.
en la recta los elementos básicos a considerar para su representación
son:
pendiente: B
Am , la cual se obtiene directamente de
la ecuación en su forma común y general.
angulo de inclinación: m1tan , extractado del valor
de la pendiente, la cual a su vez proviene directamente de la ecuación en su forma común y
general.
intersección con el eje de las “y”:
bpuntoelenB
Cb ,0, , el cual se obtiene directamente
de la ecuación en su forma común y general.
intersección con el eje de las “x”:
0,apuntoelenA
Ca , el cual se obtiene directamente
de la ecuación en su forma general.
un punto cualquiera yx, .
ecuación de la recta en su forma general, canónica y
común 0 CByAx , 1b
y
a
x, bmxy , pudiendo
pasar de una a otra por procedimientos algebraicos.
junto con tus compañeros de equipo localiza -_y de ser necesario genera_- los elementos antes listados y la ecuación de la recta con base
en la gráfica del siguiente sistema de coordenadas.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 30
pendiente: ________
ángulo de inclinación: ______________ abscisa al origen: _____________
ordenada al origen: ______________ ecuación en su forma canónica, común y general:
para trazar una recta se requiere:
1.- dos puntos: 2.- un punto y su ángulo de inclinación o su pendiente:
3.- su intersección con los ejes coordenados:
representación gráfica de la circunferencia.
en la circunferencia los elementos básicos a considerar en su
representación son:
o centro: 0,0C , khC , en el origen y fuera del origen,
donde h y k son las coordenadas del centro en el plano. o r radio.
o yx, un punto cualquiera de la circunferencia.
o ecuación de la circunferencia 022 FEyDxyx , en su
forma general donde: hD 2 ,
kE 2 ,
222 rkhF ,
o 222 ryx , 222rkyhx , con centro en el origen y
fuera del origen.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 31
en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación de las circunferencias en el siguiente gráfico.
representación gráfica de la parábola.
en la parábola:
0,0V , khV , vértice en el origen y fuera del origen de una
parábola. p distancia del vértice al foco o distancia focal de una parábola.
pLR 4 lado recto de cualquier parábola.
yx, , un punto cualquiera de la parábola.
pxy 42 , )(42
hxpky ecuación de la parábola con centro en
el origen y fuera del origen que abre hacia la derecha.
o 0,pF , kphF , coordenadas del foco.
o px , phx ecuación de la directriz.
o 0y , ky ecuación del eje focal.
pxy 42 , )(42
hxpky ecuación de la parábola con centro
en el origen y fuera del origen que abre hacia la izquierda.
o 0,pF , kphF , coordenadas del foco.
o px , phx ecuación de la directriz.
o 0y , ky ecuación del eje focal.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 32
pyx 42 , )(42
kyphx ecuación de la parábola con centro en
el origen y fuera del origen que abre hacia arriba.
o pF ,0 , pkhF , coordenadas del foco.
o py , pky ecuación de la directriz.
o 0x , hx ecuación del eje focal.
pyx 42 , )(42
kyphx ecuación de la parábola con centro
en el origen y fuera del origen que abre hacia abajo.
o pF ,0 , pkhF , coordenadas del foco.
o py , pky ecuación de la directriz.
o 0x , hx ecuación del eje focal.
en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación _de ser posible_ de las parábolas en los siguientes gráficos.
representación gráfica de la elipse.
0,0C , khC , centro en el origen y fuera del origen.
c distancia del centro a cualquiera de los dos focos.
a distancia del centro a cualquiera de los dos vértices. el eje
mayor es la distancia que existe de vértice a vértice y es conocido
también como el eje focal, el cual es igual a a2 .
12
2
2
2
b
y
a
x,
12
2
2
2
b
ky
a
hx, ecuación de la elipse.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 33
o 0,,0,' aVaV , kahVkahV ,,,' vértices para elipse
horizontal con centro en el origen y fuera del origen.
o 0,,0,' cFcF , kchFkchF ,,,' focos para elipse
horizontal con centro en el origen y fuera del origen
o b
a 22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por uno
de los focos perpendicular al eje mayor.
o a
cexcentricidad, como el cociente de la distancia focal,
entre el eje focal.
o de 222 cba resulta que 2cab a es la distancia del
centro a cualquiera de los dos extremos del eje menor, el
cual es igual a b2 .
o aVaV ,0,,0' , akhVakhV ,,,' vértices para elipse
vertical con centro en el origen y fuera del origen.
o cFcF ,0,,0' , ckhFckhF ,,,' focos para elipse vertical
con centro en el origen y fuera del origen
o a
b22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por uno
de los focos perpendicular al eje mayor.
o b
cexcentricidad, como el cociente de la distancia focal,
entre el eje focal.
o de 222 cab resulta que 22 cba es la distancia del
centro a cualquiera de los dos extremos del eje menor, el cual es igual a a2 .
radios vectores. son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. la suma de los radios vectores
correspondientes a un mismo punto es igual a 2a. circunferencia principal. es la que tiene su centro en el centro de
la elipse y radio igual al semieje mayor. circunferencias focales. son las circunferencias con centro en los
focos y radio igual a 2a.
en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación _de ser posible_ de la elipse en el siguiente gráfico.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 34
representación gráfica de la hipérbola.
0,0C , khC , centro en el origen y fuera del origen.
c distancia del centro a cualquiera de los dos focos.
a distancia del centro a cualquiera de los dos vértices. el
transverso o real es la distancia que existe de vértice a vértice y
es conocido también como el eje focal, el cual es igual a a2 .
de 222 bac resulta que 22 acb es la distancia del centro a
cualquiera de los dos extremos del eje conjugado, no focal o
imaginario, el cual es igual a b2 .
o 0,,0,' aVaV , y kahVkahV ,,,' vértices en el origen y
fuera del origen de una hipérbola horizontal.
o 0,,0,' cFcF , kchFkchF ,,,' focos para hipérbola
horizontal con centro en el origen y fuera del origen
o 12
2
2
2
b
y
a
x,
12
2
2
2
b
ky
a
hx, ecuación de la hipérbola.
b
a 22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por
uno de los focos perpendicular al eje focal.
a
cexcentricidad, como el cociente de la distancia
focal, entre el eje focal.
o aVaV ,0,,0' , y akhVakhV ,,,' vértices en el origen y
fuera del origen de una hipérbola vertical.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 35
o cFcF ,0,,0' , ckhFckhF ,,,' focos para hipérbola
vertical con centro en el origen y fuera del origen
o 12
2
2
2
a
x
b
y,
12
2
2
2
a
hx
b
ky, ecuación de la hipérbola.
b
a 22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por
uno de los focos perpendicular al eje focal.
b
cexcentricidad, como el cociente de la distancia
focal, entre el eje focal.
identifica con tus compañeros todos los elementos de la hipérbola en la siguiente figura.
ecuaciones de segundo grado.
toda ecuación del tipo 022 FEyDxCyBxyAx , donde a, b, c, d, e
y f son constates, es considerada la ecuación general de las cónicas.
si carece del término xy, es una circunferencia o una las cónicas
restantes, pero con ejes de simetría paralelos al plano cartesiano.
CA , la ecuación representa una circunferencia.
0A , o bien 0C , es la ecuación de una parábola.
A y C son del mismo signo, es la ecuación de una elipse.
A y C son de signos contrarios, es la ecuación de una hipérbola.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 36
despejando “y” se obtiene:
C
CFExCDBExACB
C
EBxy
2
4)2(24
2
222
042 ACB , es del género de las parábolas
042 ACB , es del género de las elipses.
042 ACB , es del género de las hipérbolas.
en coordinación con tu asesor, define para ecuaciones que encuentres en tus textos o propuestas por el grupo, a cual de las cónicas pertenece,
de acuerdo a los lineamientos planteados.
representación gráfica de la intersección de cónicas y la recta.
como una forma de demostrar lo aprendido hasta el momento, pide a tu facilitador que te proporcione algunas situaciones en donde se presente
intersección de cónicas, como el caso del cruce de la recta de la tijera de una bicicleta con la rueda delantera, pero representado en el plano
cartesiano.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 37
1.4. desigualdades.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 38
propiedades de las desigualdades
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Cálculo Diferencial CBTis 215 39
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 40
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Cálculo Diferencial CBTis 215 41
1.5. intervalos.
un intervalo es un conjunto de valores comprendidos entre dos de ellos
llamados extremos o límites del intervalo.
sean a y b dos números reales de tal manera que a < b.
los intervalos se clasifican en:
intervalo abierto. este intervalo no incluye a sus extremos.
a < x < b. ejemplo: el número de integrantes de un equipo de básquet bol
4 < x < 13. intervalo cerrado. este intervalo incluye a sus extremos.
a x b.
ejemplo: el número de integrantes de un equipo de básquet bol
5 x 12.
intervalo semiabierto. este intervalo contiene a uno de sus extremos.
a x < b, a < x b
ejemplo: el número de espectadores de un juego de fut-bol del
américa contra pumas en el estadio azteca.
0 < x 110,000.
intervalo infinito. este intervalo esta formado por todos los números,
tales que x < a, x a; también x > a, x a
ejemplo: el número de bacterias en un cultivo de
escherichia colli. 0 < x ∞.
podrías formular al menos 5 ejemplos de intervalo de uso cotidiano para
cada uno de los diferentes tipos que se revisaron, y redacta su interpretación.
abierto.
cerrado.
Recordar que el mínimo de jugadores de un equipo de Básquet–bol es de 5 y el máximo de 12.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 42
semiabierto.
infinito.
se dice que una función xf está definida en un intervalo, si está
definida para cualquier punto dentro de este intervalo.
investiga la representación gráfica, por inecuaciones, paréntesis y corchetes y por conjuntos de cada uno de los diferentes tipos de
intervalo.
abierto.
cerrado.
semiabierto.
infinito.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 43
repaso:
cuando te invitan a salir y te dicen “nos vemos entre 5 y 6 de la tarde”, ¿de qué tipo de intervalo se trata?. y como se representa.
anótalos.
_______________________________________
cuando pides $200 a tu padre y te responde con la frase “no puedo darte más que $100” ¿dentro de que intervalo lo
considerarías? anótalos. _______________________________________
cuando lanzas un dados, ¿cuál es el intervalo de valores posibles
en el resultado? anótalos. _______________________________________
cuando lanzas dos dados, ¿cuál es el intervalo de la suma de
valores posibles en el resultado? anótalos. _______________________________________
cuando tomas tres fichas de dominó al azar ¿cuál es el intervalo de valores máximos que puedes obtener? y ¿cuál es el intervalo
de valores mínimos que puedes obtener? anótalos. ________________________________________
como te habrás dado cuenta hasta el momento, los intervalos pueden
aplicarse tanto al dominio de una función o variable independiente, como al contradominio o variable dependiente. por lo cual deberás tener
siempre presente que se te podrá pedir el intervalo para una u otra.
es importante de igual manera, poder interpretar y darle significado a los valores que forman el intervalo, pues si esto no se entiende, estos
valores carecen de sentido.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 44
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 45
Ing. Armando Castillo Nieves
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Cálculo Diferencial CBTis 215 50
2. funciones.
2.1. domino y contradomino
funciones.
“parejas o disparejas” -se desea asignar a cada hombre solo una mujer-
actividad grupal.
1° cada equipo de divide en dos conjuntos, por un lado hombres y por
otro mujeres.
2° de uno por uno, los hombres escogen una de las mujeres, en caso de estar ya seleccionada se acomoda a la misma altura de ella, en fila
india, a la izquierda el conjunto de los hombres y a la derecha el conjunto de las mujeres.
los diagramas que representan las agrupaciones posibles son:
figura 1.
a a a a a a
b b b b b b c c c c c c
d d d d d d . e e . e e
. f f . f f
más mujeres más hombres igual hombres y mujeres
como el hombre fue quien escogió, entonces él representa a la variable
independiente (x), la mujer, como fue seleccionada, representa a la
variable dependiente (y). –esto es, la pareja la define el hombre, mientras que la mujer depende de quien la seleccione para integrarse
como pareja–.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 51
Si es función Si es función
No es función No es función
Si es función
a a a a b b b b
c c c c
d d d d e e e e
f f f f figura 2. figura 3.
a a a a
b b b b c c c c
d d d d e e e e
f f f f figura 4. figura 5.
a a b b
c c d d
e e f f
figura 6.
¿cuál es el caso de tu equipo y del resto del grupo ?
__________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 52
¿podrías explicar el porqué de las afirmaciones en las figuras anteriores?
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
como te habrás dado cuenta, la actividad anterior se refiere a los
conceptos de función y relación, en donde:
función.- si tenemos dos conjuntos y , y una regla de
correspondencia que asocie a todo elemento del conjunto , uno y solo
un elemento del conjunto , entonces decimos que tenemos una
función f definida en con valores en . figura 7.
relación.- si tenemos dos conjuntos y , a todos o algunos
elementos del conjunto se les puede asignar uno o más elementos
del conjunto . figuras 4 y 5.
una función consta de tres partes:
dominio (variable independiente = x ), representado por “d”.
contradominio o rango (variable dependiente = y ), representado por “r”.
estos, pueden ser expresados como un intervalo (concepto
que se revisará mas adelante). regla de correspondencia (esta puede ser representada por un
diagrama, una ecuación, una tabla de valores y una gráfica)
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 53
figura 7.
a a b b
c c d d
e e f f
la regla de correspondencia debe tener las siguientes propiedades:
1° ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el
contradominio.
2° ningún elemento del dominio puede tener mas de un asociado
en el contradominio. esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contradominio. figuras 3,
4 y 5.
si x es un elemento del dominio, formado por el conjunto , entonces el
elemento del contradominio o rango del conjunto de asociado a x por
medio de la regla de correspondencia, se expresa en la forma siguiente:
f( ); que se lee “f de ” en función de ser elegida por un hombre y se
le llama la imagen de bajo f.
como y = f(x) al citar una función podemos usar indistintamente cualquiera de las notaciones.
ejemplos:
43)(,43 22 xxfxy 22 25)(,25 xxfxy
Dominio de la función
“D“
Contradominio de la función
“R”
Regla de correspondencia
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Cálculo Diferencial CBTis 215 54
133)(,133 2323 xxxxfxxxy 22 )(, rrfrA
si una regla de correspondencia esta dada como una ecuación y no se define el dominio, entonces suponemos que el dominio esta integrado
por todos los números reales para los cuales la ecuación tiene sentido.
para generar una función en donde su regla de correspondencia pueda ser visualizada de distintas maneras, se propone la siguiente actividad
construir una caja sin tapa con una hoja de cartulina cuadrada de 20 cm
de lado, donde la altura de la caja la definiremos por x (longitud que
cortarás en las esquinas, doblando hacia arriba las pestañas así generadas) y el volumen lo definiremos por y.
¿cuál es la medida del área de la base (b2) en la caja que construiste?
_________________________________________________________
¿cuál es la dimensión de la altura (h) de la caja que construiste? _________________________________________________________
¿cuál es el volumen de tu caja? ________________________________________________________
¿tiene algún parecido con las de tus compañeros?
_________________ ¿en qué? _____________________________ _________________________________________________________
_________________________________________________________
_____________
¿a qué se debe esta diferencia o semejanza?____________________ _________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
¿cuáles son los valores posibles de x en esta actividad?
__________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________
esta actividad te plantea la incógnita ¿cuál es el valor para x y que representa? entonces la regla de correspondencia que asocia la variable
altura de la caja (x) con la variable volumen (y) estará dada por:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 55
20 cm
Desperdicio
x x 20
cm.
como recordarás el volumen de un cubo esta dado por la fórmula:
hbV 2 , donde: ecuación 1
baseb longitud de la hoja menos longitud a cortar en las esquinas
para realizar el doblez. xb 220
alturah =longitud a cortar en las esquinas para realizar el doblez hacia
arriba. xh
sustituyendo estos valores en la ecuación 1
hbV 2
xxxxxV )480400(220 22 , desarrollándola resulta
32 480400 xxxV ecuación 2
físicamente la caja quedaría como se ilustra a continuación
figura 8.
si damos valores a x en esta ecuación ( xxxV 400804 23 ) se obtiene
la siguiente tabla de valores, la cual también es una forma de expresar la regla de correspondencia.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 56
Altura (X) Volumen (Y)
0 0
1 324
2 512
3 588
4 576
5 500
6 384
7 252
8 128
9 36
10 0 figura 9.
si los valores de la tabla anterior los plasmamos en un sistema de
coordenadas rectangulares, resulta el siguiente gráfico, el cual también es una forma de expresar la regla de correspondencia.
figura 10.
o simplemente podemos expresar los valores de la tabla como dos
conjuntos relacionados entre sí, como se muestra a continuación.
0
100
200
300
400
500
600
700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
VO
LU
ME
N
ALTURA
GRÁFICO DE VOLUMEN
Tabla de valores
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 57
figura 11.
¿crees poder formular ejemplos similares en donde puedas reconocer las
diferentes partes de una función y representar la regla de correspondencia como se hizo en el ejemplo anterior?
si la respuesta es si, entonces desarrolla tu ejemplo y al término del
mismo compártelo en exposición con el resto del grupo.
Diagrama.
Altura (x) Volumen (y)
0 0 1 324 2 512 3 588 4 576 5 500 6 384 7 252 8 128 9 36
10 0
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 58
2.2. clasificación.
clasificación de funciones
“organiza tus instrumentos ... de escritura”
pide a tus compañeros de equipo que depositen sus lápices y plumas en un lugar donde todos los puedan observar y posteriormente procedan a
su clasificación –para ello expongan su criterio de clasificación y defínanse por uno –. al
termino de la actividad exponga ante el grupo su criterio y establezcan uno grupal.
¿porqué se decidieron en su equipo por ese criterio y no por otro?
__________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________
¿qué coincidencias tuvieron con respecto al resto del grupo?
__________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________
¿consideras que la clasificación hecha sea la más correcta? _____________________ ¿porqué? ___________________________
________________________________________________________________________________________________
trata de clasificar las siguientes funciones, de acuerdo al criterio que el
equipo defina para tal efecto.
752 2 xxy ____________________
5
7522
2
x
xxy ____________________
193 xxy ____________________
xy cos ____________________ Xy 2 ____________________
xy log ____________________
23 xy ____________________
0232 xy ____________________
0232 zyx ____________________
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 59
022 zx ____________________
¿qué tan válido es el criterio que estableció tu equipo en la clasificación
de estas funciones?
____________________ ¿porqué? ____________________________ _________________________________________________________
_________________________________________________________
las funciones al igual que cualquier conjunto de objetos, también es sujeto de clasificación, en general las funciones se clasifican en:
A. explicitas e implícitas.
B. de una variable y de mas de una variable. C. algebraicas y trascendentes.
a.- si en una función están indicadas las operaciones a realizar con la
variable independiente para obtener la dependiente, se dice que es una función explicita. en caso contrario es una función implícita
.la cual esta igualada a cero.
ejemplo:
32 xy 032 yx
¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas?
funciones implícitas funciones explicitas
b.- si el valor de una función, depende de una sola variable, se dice que
es una función de una variable. si son más de una las variables involucradas en la definición del valor de la función, decimos que
es una función de más de una variable.
Función explicita Función implícita
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 60
ejemplo:
rfrA 2 hbfhbA ,
xfxxy 182 zxfzxy ,543
¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas?
funciones de una variable funciones de mas de una variable
c1.- si el valor de la función se obtiene por medio de un numero
determinado de operaciones, entre las cuales no intervienen las relaciones trigonométricas, expresiones logarítmicas o
exponenciales, es una función algebraica; estas funciones según
las operaciones a las que son sometidas las variables, pueden ser:
enteras. 532 3 xxy
racionales. 1
32
x
xy
irracionales. 3 2 53 xxy
¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas?
funciones enteras funciones racionales funciones racionales
Función de una variable
Función de más de
una variable
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 61
c2.-una función es trascendente cuando en ella intervienen las relaciones trigonométricas, expresiones logarítmicas o exponenciales.
trigonométricas. xy cos
logarítmicas. xy log
exponenciales. xy 2
¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas?
funciones trigonométricas
funciones logarítmicas funciones exponenciales
llena los espacios del siguiente cuadro en donde ubicarás a las
anteriores funciones de acuerdo a la clasificación previamente hecha. investiga la clasificación de las funciones y refuerce los conocimientos
adquiridos hasta el momento.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 62
análisis grafico de las funciones
“lo que se ve ... no se discute”
pregunta a tus compañeros sobre el número de integrantes de su familia con los dato recabados llena el cuadro de abajo, pide esta información al
resto de los equipos, anota además el numero de compañeros que tengan los mismos integrantes y colócalos en orden ascendente.
nº de alumnos integrantes por familia
lleva los datos que te resultaron de la tabulación al plano cartesiano y
traza la curva correspondiente.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 63
¿qué datos te llaman la atención? _____________________________
_________________________________________________________
¿porqué te llaman la atención, estos datos en particular? ___________
__________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
¿qué relaciones puedes establecer entre estos datos? _____________ _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_______________________ ¿cuál es el espacio de valores para la fila de integrantes por familia?
_________________________________________________________ ¿cuál es el espacio de valores para la columna de número de alumnos?
______
____________________________________________________________
¿qué puedes concluir sobre la tabla de valores y su respectivo gráfico? _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
________________________
como te habrás dado cuenta existen conjuntos de valores para los cuales no es fácil establecer una regla de correspondencia como
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 64
ecuación, por lo cual deberás tenerlo presente para cuando se te
presenten este tipo de situaciones mas delante.
para estudiar una función xfy , es necesario conocer los valores que
podemos asignar a la variable independiente y que puede ser cualquiera del conjunto de los números reales.
si xf es una función de x y a es un valor que esta en su dominio, la
expresión af significa el valor numérico que se obtiene al sustituir x
por a en xf ; o sea, el valor que toma xf cuando x = a.
ejemplo
8262232,2,,23 fseráxcuandoxfdevalorelxxfSi
por lo que podemos afirmar que:
223 xcuandoxxfSi
la función toma el valor de 82 f
encuentra el valor de las funciones dadas para los respectivos valores de
la variable independiente.
a. si _______5________5_______,0encontrar ;2 fyffxxf
b. si ______8_______0______,8encontrar ;2
1 fyff
xxf
c. si ______8______4______,4encontrar ;4
1
fyff
xy
d. si _______1_______0______,1encontrar 4x;2 2 fyffxy
e. si ____2_____0_____,2encontrar 6;3a3 fyffaaf
¿te interesaría saber cual es el comportamiento de las graficas de las funciones anteriores?. _______________ bueno, pues cuestiónate ¿qué
elementos te hacen falta para entender tal situación? ________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
______________________
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 65
grafica las funciones de los incisos b) y c).
xy
2
1
4
1
xy
como te habrás dado cuenta en los incisos b) y c), cuando los valores de
x sean x = 0 y x = 4 respectivamente, no existe un valor definido para la variable dependiente, situación a la cual le llamaremos una
indeterminación, concepto que revisarás ampliamente en el tema de límites. al analizar los gráficos que obtuviste anteriormente, observaste
que existe un hueco en la curva, lo que indica que estas funciones son discontinuas a diferencia de las de los incisos a), d) y e) que son
funciones continuas.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 66
sin duda llegaste a la conclusión de que te hace falta conocer más sobre
el tema intervalo de una variable.
Aplicaciones Practicas de las Funciones
Función lineal
Como representaría el dueño de una pizzería el total a pagar de un
cliente que come cierto numero de pedazos de pizzas sabiendo que cada pedazo cuesta 15 pesos.
Total a pagar = (Precio del taco) (Numero de tacos que consumió)
Y también esto se podría representar de la siguiente manera
Y=15X
Y= total a pagar X= Numero de pedazos de pizzas que consumió
Función cuadrática
Un señor tiene un terreno cuadrado con medidas “X”, donde siembra frijol, aun lado hay un lote baldío que esta en venta, el se interesa en el
terreno y decide comprarlo ya que así aumentará sus ganancias. Si el terreno mide 20 metros más de los lados horizontales. ¿Como
representaría el área del nuevo terreno?
X
X 20
Área total = Longitud de un lado del terreno propio (Longitud de un lado del terreno propio + Longitud horizontal del terreno baldío)
Y esto también se podría representar de la siguiente manera
Y = X (X + 20) Y = 𝑋2
+ 20𝑋
Y = Área total del terreno X = Longitud de un lado del terreno propio 20 = Longitud horizontal del terreno baldío
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 67
Función cubica
Un albañil necesita saber cual es el volumen de una cisterna cúbica que
construyó en la secundaria de su comunidad, para el abasto de la
escuela. Como podría representar el volumen total de la cisterna.
X
X X
Volumen total = (Longitud del lado del cubo) (Longitud del lado del
cubo) (Longitud del lado del cubo)
Volumen total = (Longitud del lado del cubo)3
Y esto podría ser también
Y = Volumen total del terreno X = Longitud de un lado
del cubo
Y = (x) (x) (x) Y = (X)3
Función racional fraccionaria
Un gran político acaba de morir y dejo escrito en su testamento que su herencia que era un terreno que estaba en Acapulco se lo repartieran
entre sus X número de hijos. Como lo podíamos representar.
Pedazo de terreno que le toca a cada hijo = 1/Numero de hijos Y esto se puede representar como
Y = Pedazo de terreno que le toca a cada hijo X = Numero de
hijos
Y=1
𝑋
Función Trigonométrica
Cual es el ángulo de inclinación que debe haber entre la base de una
casa que mide 2.50 m de alto y una escalera que tiene 4 m para poder hacender al techo de la casa.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 68
a = cateto adyacente
a c b = cateto opuesto 2.5 m 4 m c = hipotenusa
b Como sabemos las funciones trigonométricas se definen como una
función en un ángulo A en triangulo rectángulo. Y la función que complace a este ángulo es Coseno que es cateto
adyacente / hipotenusa.
Función exponencial Como podemos mostrar el crecimiento o división de las bacterias de la
gripa. Sabiendo que cada minuto cada bacteria reproduce 5 bacterias.
Total de bacterias de gripa producidas = 5numero de minutos
Y se podría poner también así
Y = total de bacterias de gripa producidas X = Numero de minutos Y = 5X
Función Logarítmica En una fábrica de Calzado crearon 27 modelos diferentes, sabiendo que
en cada proceso había 3 opciones para cada uno. ¿Cuál es el número de procesos que se realizaron sabiendo que en cada proceso hubo 3
opciones para elegir partiendo de que solo trabajaron botas, guaraches y zapatillas?
Cierre
Cintas Blanco Broche
Cierre Cintas Negro Botas
Broche Cierre
Cintas Rojo
Broche Cierre
Cintas Café Broche
Cierre Cintas Verde Guaraches
Broche Cierre
Cintas Azul Broche
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Cálculo Diferencial CBTis 215 69
Cierre
Cintas Amarillo Broche
Cierre
Cintas Rosa Zapatillas Broche
Cierre Cintas Gris
Broche
Ya Que nos dieron el total de salidas, entonces ¿cual es el número de procesos que se realizaron?
El número de procesos es 3 como se ve en el diagrama o lo podemos
demostrar de la siguiente manera:
Log a X = Y a = numero de opciones en cada proceso
X = numero de modelos realizados
Y = numero de procesos
Log 3 27 = 3
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Cálculo Diferencial CBTis 215 70
2.3. operaciones.
operaciones con funciones.
“sin estar enfermas ... requieren operaciones”
pedro, que es el encargado de administrar los negocios de su tío juan, se pregunta cual será el resultado de sumar las ganancias de las
zapaterías “la luciérnaga” y “la luz”, si para ello sabe que los zapatos los vende al doble de como los compra, pero a un precio promedio, y que
en la zapatería “la luciérnaga”, cobra 15 pesos por venta por cliente para pagar a sus empleadas y en “la luz”, como las ventas son fuertes,
realiza un descuento de 15 pesos por compra. por lo que las expresiones que representan la predicción de ingresos son:
para “la luciérnaga” 1521 xy , y
para “la luz” 1522 xy .
lo más sencillo sería solicitar que el importe de las ventas de ambas
zapatería se sumara y se obtuviera el monto que representa estas ventas; mas sin embargo, pedro quiere evitar el trabajo de realizar el
recorrido diario de “la luciérnaga” a “la luz” y hacer esta predicción por semana, por lo que supone que hay otra forma de obtener dicho valor. y
cree que de la siguiente forma sería correcto.
si suma 1521 xy y 1522 xy aritméticamente, el resultado es:
xxxxxyy 415215215215221 , por lo que la suma quedaría
como:
xyT 4
si te das cuenta, el dominio de y1 (valores posibles de x) es la totalidad de los números reales y su contradominio o rango (valores posibles de
y) es igualmente la totalidad de los reales, por lo que el dominio y rango
de esta función son:
d f1 = x є -
r f1 = x є -
de igual manera, el dominio de y2 (valores posibles de x) es la totalidad
de los números reales y su contradominio o rango (valores posibles de
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 71
y) es igualmente la totalidad de los reales, por lo que el dominio y rango
de esta función son:
d f2 = x є -
r f2 = x є -
el dominio de yt por definición es la intersección de los dominios de y1 y y2, siendo este resultado el que se muestra a continuación.
d ft = x є -
por lo tanto, podremos decir que pedro puede emplear la función xyT 4
, resultado de la suma de funciones, en la realización de las predicciones del ingreso semanal por ventas en las zapaterías de su tío.
de igual manera el dominio de la multiplicación de dos funciones es igual
a la intersección de sus dominios.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 72
2.4. comportamiento.
valor absoluto
el concepto de valor absoluto tiene muchas aplicaciones en el estudio
del cálculo. el valor absoluto de un x , escrito x pude ser definido en
una variedad de formas. sobre la recta de los números reales, el valor absoluto de un número es la distancia, independientemente de su
dirección, que el número representa desde cero. esta definición establece que el valor absoluto de un número debe ser siempre no
negativo-que es , 0x .
una definición algebraica común de valor absoluto es a menudo establecida en tres partes, de la siguiente manera:
0,
0,0
0,
xx
x
xx
x
otra definición que es aplicada algunas veces a problemas de cálculo es:
2xx
o la raíz cuadrada principal de 2x . cada una de estas definiciones solo
implica que el valor absoluto de un número debe ser no negativo.
funciones
una función es definida como un conjunto de pares ordenados yx, ,
donde para cada primer elemento x, le corresponde uno y solo un segundo elemento y. el conjunto de los primeros elementos es llamado
el dominio de la función, por lo que el conjunto de los segundos elementos es llamado el rango de la función. la variable del dominio es
siempre referida como la variable independiente, y la variable del rango
es referida como la variable dependiente. la notación xf es a menudo
empleada en lugar de y para indicar el valor de la función f para un
valor específico de x , y se lee “ f de x ” o “ f a x ”.
geométricamente, la grafica de un conjunto de pares ordenados yx,
representa una función si cualquier línea vertical intersecta la grafica en no más de un punto. si una línea vertical intersecta la grafica en más de
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 73
dos puntos, un valor de x corresponde a dos o más valores de y , con lo
cual claramente contradice la definición de una función. muchos de los principales conceptos y teoremas de cálculo están directamente
relacionados con las funciones.
ejemplo 1 los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones que son funciones
13 xxfy
2xxfy
5 xxfy
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 74
3 xfy
4
32
x
xxfy
3 92 xxfy
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 75
x
xfy6
xxfy tan
xxfy 2cos
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 76
ejemplo 2 las siguientes son algunas ecuaciones que no son funciones;
cada una tiene un ejemplo que ilustra porque no es una función.
2yx , si 4x , entonces 2y o 2y
3 yx , si 2x , entonces 5y o 1y
5x , si 5x , entonces y puede ser cualquier numero real.
2522 yx , si 0x , entonces 5y o 5y
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 77
4 xy , si 5x , entonces 3y o 3y
922 yx , si 5x , entonces 4y o 4y
ecuaciones lineales
una ecuación lineal es cualquier ecuación que puede ser expresada en la
forma cbyax , donde a y b no pueden ser ambos igual a cero. mas
sin embargo una ecuación lineal puede no ser expresada inicialmente en
esta forma, esta puede ser manipulada algebraicamente hasta esta
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 78
forma. la pendiente de una recta indica si esta se dirige hacia arriba o
abajo, o si es horizontal o vertical. la pendiente es denotada usualmente por la letra m y es definida en un número de formas:
avance
elevaciónm
horizontalcambio
verticalcambiom
xde valor elen cambio
y de valor elen cambiom
x
ym
12
12
xx
yym
21
21
xx
yym
note que para una recta vertical, el valor de x será constante, y el
cambio horizontal será cero; luego, se puede decir que una recta vertical no tiene pendiente o no existe o es indefinida. todas las rectas
no verticales tienen una pendiente numérica positiva, que indica que la recta se eleva hacia la derecha o una pendiente negativa que indica que
una recta desciende a la derecha, y una pendiente de cero indica una recta horizontal.
ejemplo 3 encontrar la pendiente de la recta que pasa por el punto (-
5,4) y (-1,-3)
12
12
xx
yym
)5()1(
)4()3(
m
4
7m
la recta, entonces, tiene una pendiente de 4
7m .
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 79
algunas formas de expresar ecuaciones lineales toman nombres
especiales, que se identifican por como son escritas. note que estas
formas se derivan de otra diferente, ellas pueden ser algebraicamente manipuladas y presentarse de forma equivalente.
algunas rectas no verticales son paralelas si tienen la misma pendiente,
y recíprocamente, rectas con igual pendiente son paralelas. si las pendientes de dos rectas l1 y l2 son m1 y m2, respectivamente, entonces
l1 es paralela a l2 si y solo si 21 mm . dos rectas no verticales, no
horizontales son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1,
y recíprocamente si el producto de sus pendientes es –1, las rectas son perpendiculares. si las pendientes de dos rectas l1 y l2 son m1 y m2,
respectivamente, entonces l1 es perpendicular a l2 si y solo si 1* 21 mm
. usted puede notar que dos rectas verticales cualesquiera son paralelas y una recta horizontal y una recta vertical son siempre perpendiculares.
la forma estándar o general de una ecuación lineal es cbyax , donde a
y b no pueden ser ambos igual a cero. si b=0, la ecuación toma la forma
constantex y representa una recta vertical. si a=0, la ecuación toma la
forma constantey y representa un a recta horizontal.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 80
ejemplo 4 los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones lineales
expresadas en forma general.
1052 yx
04 yx
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 81
3x
6y
la forma punto-pendiente de una ecuación lineal es )( 11 xxmyy
cuando la recta pasa por el punto 11 , yx y tiene una pendiente m.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 82
ejemplo 5 encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,4)
con pendiente 3
2
)( 11 xxmyy
)3(3
24 xy
23
24 xy
63
2 xy
1823 xy
1832 yx forma general de la recta.
la forma pendiente-ordenada al origen de una ecuación lineal es
bmxy cuando la recta tiene una intercepción (0,b) y pendiente m.
ejemplo 6 encuentre la ecuación de la recta de pendiente 3
4 y se cruza
con el eje de las y en –5.
bmxy
)5(3
4 xy
1543 xy
1534 yx forma general de la recta
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 83
la forma ordenada y abscisa al origen de una ecuación lineal es 1b
y
a
x
cuando la recta tiene una intercepción en x (a,0) y una intercepción en y
(0,b).
ejemplo 7 encontrar la ecuación de la recta que cruza al eje x en –2 y al eje y en 3.
1b
y
a
x
132
yx
623 yx forma general de la ecuación de la recta.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 84
funciones trigonometricas
en trigonometría, la medida del ángulo es expresada en una o dos unidades: grados o radianes. la relación entre estas dos medidas puede
ser expresada como sigue: º180 radianes. para convertir grados a
radianes, la relación de equivalencia es 180
º1
radianes, es usada y al
dar el numero de grados, son multiplicados por 180
, para convertir la
medida a radianes. similarmente, la ecuación 1 radian = 180º/π es empleada para cambiar radianes a grados por multiplicación de la
medida de radianes por 180º/π para obtener la medida en grados.
las seis funciones trigonométricas básicas pueden ser definidas
utilizando un círculo de ecuación 222 ryx y un ángulo θ en posición
estándar con su vértice en el centro de la circunferencia y su lado inicial a lo largo de la parte positiva del eje de las x (figura 1).
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 85
figura 1
1. 22 yx
y
r
ysen
2. 22
cosyx
x
r
x
3. x
ysen
costan
4. x
x
sen
coscot
5. x
yx
x
r22
cos
1sec
6. y
yx
y
r
sen
221
csc
es esencial que usted se familiarice con los valores de estas funciones para los múltiplos de 30º, 45º, 60º, 90º y 180º (o en radianes, π/6,
π/4, π/3, π/2 y π), (tabla 1). puede usted familiarizarse con la grafica de las seis funciones trigonométricas. algunas de las identidades
trigonométricas más comunes que son utilizadas en el estudio del cálculo son las siguientes:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 86
1. 1cos22 sen
2. 22 sec1tan
3. 22 csccot1
4. sensen )(
5. cos)cos(
6. tan)tan(
7. sensen )2(
8. cos)2cos(
9. tan)tan(
10. AsenBBsenABAsen coscos)(
11. AsenBBsenABAsen coscos)(
12. senAsenBBABA coscos)cos(
13. senAsenBBABA coscos)cos(
14. BA
BABA
tantan1
tantan)tan(
15. BA
BABA
tantan1
tantan)tan(
16. cos22 sensen
17. 22cos2cos sen
18. 1cos2 2
19. 221 sen
20. 2
cos1
2
12
sen
21. 2
cos1
2
1cos2
la relación entre los ángulos y los lados de un triangulo pueden ser
expresadas usando la ley de senos o la ley de cosenos (figura 2)
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 87
figura 2
ley de senos c
senC
b
senB
a
senA
o senC
c
senB
b
senA
a
ley de cosenos Abccba cos2222
Baccab cos2222
Cabbac cos2222
tabla 1
valores de múltiplos de 30º, 45º, 60º, 90º y 180º (𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠, 𝜋/6, 𝜋/4, 𝜋/3, 𝜋/2 𝑦 𝜋). de las funciones trigonométricas
medida de x en grados
medida de x en radianes
seno de x coseno de x tangente de x
0 0 0 1 0
30 π/6 ½ 2
3 3
3
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Cálculo Diferencial CBTis 215 88
45 π/4 2
2 2
2 1
60 π/3
2
3 1/2 3
90 π/2 1 0 indefinido
120 2π/3 2
3 -1/2 - 3
135 3 π/4
2
2 -2
2 -1
150 5 π/6 ½ -2
3 -3
3
180 π 0 -1 0
210 7 π/6 -1/2 -
2
3 3
3
225 5 π/4 -
2
2 -
2
2
1
240 4 π/3 -
2
3 -1/2 3
270 3 π/2 -1 0 indefinido
300 5 π/3 -2
3 ½ - 3
315 7 π/4 -2
2 2
2 -1
330 11 π/6 -1/2 2
3 -3
3
360 2 π 0 1 0
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Cálculo Diferencial CBTis 215 89
3. límites.
3.1. límite de una función.
introducción al concepto de límite.
en nuestra vida cotidiana encontramos con cierta frecuencia la palabra “límite”, ejemplos de esto es que cuando vamos en una
carretera encontramos límite de velocidad o velocidad máxima 80 km/hr. otro ejemplo es el límite de carga en los vehículos que dicen
capacidad para 5 personas, o bien, 750 kg. u otras capacidades según el tamaño del vehículo, en computación los discos que utilizamos tienen
una cierta capacidad de almacenamiento, en física nos proporcionan prácticas de resistencia de materiales con resortes o con hilos de
estaño, donde tenemos que analizar el límite elástico de los materiales, en ésta observamos cual es la máxima carga que puede soportar el
resorte o el hilo de estaño sin deformarse, en óptica los telescopios tienen un máximo alcance, que si queremos ver más lejos no podremos,
lo mismo sucede con nuestro organismo que tiene una cierta capacidad
para digerir alimentos, así como estos ejemplos ¿puedes comentarle a tu profesor o profesora al menos cinco ejemplos diferentes?.
escribe en este espacio los cinco ejemplo de límites de uso
cotidiano para ti y discútelo con tus compañeros, externándolo con tu profesor o profesora:
1.- ______________________________________________________
2.- ______________________________________________________
3.- ______________________________________________________
4.- ______________________________________________________
5.- ______________________________________________________
limites
el concepto de límite de una función es esencial en el estudio del
cálculo. este es usado en la definición de algunos de los más importantes conceptos en calculo—continuidad, la derivada de una
función, en la integral definida de una función—.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 90
definición intuitiva
el límite de una función xf describe el comportamiento de la función
para un valor particular de x. este no tiene necesariamente el valor de la
función para un valor determinado de x. se escribe como Lxfcx
lim, y se interpreta como, cuando x se tiende a c, la función xf tiende al
numero real l (figura 3).
figura 3
en otras palabras, cuando la variable independiente x tiende a c, el valor
de la función xf tiende a l. note que esto no implica que Lcf )( ; en
conclusión, la función puede no existir para c (figura 4), o puede presentar un valor diferente en l para c (figura 5).
si la función no tiende a un numero real l cuando x tiende a c, el limite
no existe; por esta razón, se escribe NExfcx
)(lim
(no existe). muchas
situaciones diferentes pueden ocurrir en la determinación del límite de
una función cuando este no existe al tender x a algún valor.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 91
figura 4 figura 5
estos son algunos de los ejemplos de límites que se nos presentan
cotidianamente.
llevando al límite la velocidad de natación: es necesario revisar las marcas establecidas en diferentes deportes durante el siglo pasado, lo
Capacidad máxima 20 Toneladas
Capacidad máxima 5 personas
Máximo cupo de pasajeros 14 personas
Límite de velocidad
Máxima
80
Km/Hr.
Nuestra alimentación tiene límite
La capacidad del disco duro es de 10 GB
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 92
cual muestra que los humanos continúan corriendo más rápido, saltando
más alto y lanzando más lejos cada vez. ¿debido a qué?
uno de los factores es el entrenamiento. los psicólogos están
trabajando para identificar los sistemas del cuerpo humano que limitan el rendimiento y crear técnicas de entrenamiento que desarrollen esos
sistemas. del mismo modo, los psicólogos del deporte trabajan con individuos y miembros de equipos para ayudarles a desarrollar el “flujo”
mental que les permita alcanzar el rendimiento óptimo. los entrenadores han ideado mecanismos para controlar los cuerpos de los atletas y
proporcionarles mucha más información sobre su propio rendimiento que la que era disponible hace apenas veinte años.
el equipamiento también se ha perfeccionado notablemente a lo
largo de los años. en algunos deportes el avance es evidente. las bicicletas son más ligeras y aerodinámicas que nunca. la mejora de
pistas ha elevado la velocidad de los corredores, y las pértigas de aluminio han incrementado drásticamente la altura de los saltos. incluso
deportes como la natación, sin equipamiento aparente, se ha
beneficiado de la tecnología. el afeitado del vello corporal recortó en un segundo las marcas de los nadadores de 100 metros libres masculinos,
y se espera que los nuevos tipos de trajes de baño reduzcan el rozamiento y mejoren aún más las marcas.
¿qué es el cálculo?
es la matemática de los cambios, como son velocidades y
aceleraciones. también son objeto de cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides,
curvaturas y una gran variedad de conceptos que han hecho a los científicos, ingenieros y economistas de crear modelos para las
situaciones de la vida real.
aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan las
velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo. mientras que las
primeras son estáticas, el cálculo es más dinámico. algunos ejemplos de esto son los siguientes:
en la aritmética y geometría euclidiana que es previa al
cálculo permite describir el área de un rectángulo, en cambio para describir el área bajo la curva en general es
necesario el cálculo.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 93
en geometría analítica se puede describir una recta
tangente a un círculo, en cambio para describir la recta tangente a una gráfica en general es necesario el cálculo.
en geometría analítica se puede describir la pendiente de
una recta, en cambio para describir la pendiente de una curva es necesario el cálculo.
para un objeto que se mueve con velocidad constante basta la aritmética y geometría euclidiana que es previa al
cálculo, sin embargo si esta tiene movimientos acelerados será necesario el cálculo.
estas situaciones involucra una estrategia general –la reformulación de las matemáticas que son antecesores al cálculo a
través de un proceso de límite– de esta manera sí queremos responder la pregunta ¿qué es el cálculo?, sólo responderemos que es una
“máquina de hacer límites”, considerando que se requieren tres estadios.
el primero son las matemáticas previas al cálculo, con
conocimientos de pendiente de una recta o el área de un
rectángulo. el segundo es el proceso del límite.
el tercero es la formulación propia del cálculo.
para asegurar el entendimiento de la pregunta cuestiónese ¿cuáles son los datos? ¿qué se le pide hallar?
luego piense en un plan de ataque del problema haciendo un
esquema, resolviendo un problema más sencillo, trabajar hacia atrás, dibujar un diagrama, usar recursos tecnológicos, y otros más.
ya hecho lo anterior, ejecute el plan. debe asegurar que responde
a la pregunta. enuncie su respuesta en palabras y vea estimando si tiene sentido lo que encontró.
luego piense si hay algún otro procedimiento que reduzca el esfuerzo para encontrar la respuesta a preguntas similares.
algunas veces queremos aprender cálculo como si fuera un
conjunto de fórmulas, esto nos ocasionará perder gran cantidad de comprensión, autoconfianza y satisfacción.
la paradoja de zenón (el movimiento es imposible)
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 94
para ir de un punto “p” a otro “q” hemos de recorrer primero la
mitad de la distancia de p a q, después la mitad de la que queda, después la mitad de la que entonces queda, después la mitad del resto,
y así sucesivamente. el “así sucesivamente”, implica que se puede
repetir el proceso, y que hay que repetirlo un número infinito de veces. y por muy pequeñas que sean las distancias sucesivas, el recorrerlas,
exige indudablemente un periodo finito de tiempo. y, como decía zenón, la suma de un número infinito de intervalos finitos de tiempo, es infinita.
por lo tanto, nunca podremos ir de p a q por muy cerca que estén los dos puntos.
se han puesto muchas posibles soluciones para esta paradoja. la que
hemos de examinar atribuye el sofisma a la afirmación de que “la suma de un número infinito de intervalos finitos de tiempo, es infinita”. una de
estas soluciones la tomaremos de la siguiente forma: supongamos que la distancia de p a q es de 100 metros, y que la recorremos a una
velocidad de 100 metros por minuto.
entonces el tiempo que se necesita para recorrer la primera etapa de nuestro viaje, la mitad de p a q es ½ minuto; el que se necesita para
la mitad de la distancia que queda, ¼ minutos; para la mitad de la distancia que queda, 1/8 minutos; para la mitad de la distancia que
queda entonces, 1/16 minutos y así sucesivamente. dicho de otro modo, el tiempo en minutos que tarda para ir de p a q es la suma de la serie
infinita como la mostrada a continuación:
1024
1
512
1
256
1
128
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1.
con esto podrás contestar la siguiente pregunta: ¿es infinita la suma de esta serie?
justifica tu pregunta:_______________________________________ _________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
posiblemente te cueste un poco de trabajo comprender esta parte,
pero te otorgamos una pequeña ayuda mediante gráficos, esto te
100 metros Q P
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 95
permitirá ver si se aproxima a algún número finito y deducirás la
pregunta anterior.
viendo la figura anterior nos muestra intuitivamente, que la suma se aproxima cada vez más a un límite, puedes anotar cual es el
límite:__________________________
este es uno, pero nunca lo supera. en términos más precisos, se
puede decir que sin más que tomar un número de términos suficientemente grande, se puede hacer que la diferencia entre nuestra
suma y uno, sea menor que un número finito cualquiera, por muy pequeño que sea.
por consiguiente el tiempo que se necesita para recorrer los 100
metros que hay de p a q, no es infinito, sino 1 minuto. podemos pues quedarnos tranquilos, ya que el movimiento no es imposible. es decir
2
1
1
4
1
2
1
8
1
4
1
2
1
16
1
8
1
4
1
2
1
16
1
8
1
4
1
2
1
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 96
que las matemáticas vienen a corroborar, lo que tenemos que aprender
cada día.
de acuerdo a lo anterior te ponemos como ejemplo la paradoja de
aquiles y la tortuga para que lo desarrolles, el cual indica lo siguiente: aquiles le da 100 metros de ventaja a la tortuga, la velocidad de aquiles
y la tortuga son de 10 metros por segundo y 1 metro por segundo respectivamente. ¿cuál será el límite de esta paradoja?
para esto te sugerimos que te apoyes en gráficos y las pautas que
te hemos proporcionado al inicio de este tema.
espacio para el desarrollo del problema propuesto:
ahora bien vayamos a un problema real que fue tratado en el tema de funciones, en este tema se te propuso la construcción de una
caja a partir de una cartulina cuadrada de 20 cm. de lado, donde tenias que recortar cuadros en las esquinas, esta actividad tiene un límite
debido a la cantidad de material del que dispones, este límite es cuando no puedes construir la caja y los volúmenes se vuelven negativos. ¿cuál
es el intervalo en el cual la caja existe?__ ________________________________________________________
¿cuál es el límite de la construcción de la caja? __________________
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 97
_________________________________________________________
___________________________________________________________________________
justifique su respuesta:_____________________________________ _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
límite de una sucesión numérica.
como una breve introducción presentamos un pequeño problema
de células ideales, resuelto afortunadamente. el cual dice lo siguiente:
demostrar que al año habrá 122 células, sabiendo que estas se reproducen a partir de una y tienen de una en una, gestan durante un
mes y maduran para tener otra en otro mes.
utilizaremos la siguiente simbología:
célula recién nacida.
célula madura.
mes gráfica de la reproducción conteo
de células
1° 1
2° 1
3° 2
4° 3
5° 5
6° 8
7° 13
8° 21
9° 34
10°
55
le invitamos a que en base a su observación coloque en las filas 11º y 12º las células y el número de ellas.
11º
12º
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 98
si lograste observar el comportamiento de los números, basta
sumar dos números consecutivos para obtener el tercero, esta sucesión de números los matemáticos le llaman “serie de fibonaci”.
la cual está formada por los siguientes números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
... , etc.
sí esta serie de números te quedó clara, escribe los cinco números consecutivos de la serie anotada en el párrafo anterior, en esta línea:
________________________________________________________
¿cuál será el último número?, comenta en tu equipo, a tu profesor o profesora cual es este y anótalo en este espacio: ______________
lo anterior quiere decir que haz definido el límite de la serie de
fibonaci.
bueno... esta serie de números guarda otro límite, el cual lo
vamos a descubrir mediante el llenado de la siguiente tabla, este limite lo ocupan mucho los profesionales del arte y construcción, la prueba
está que la proporción la encontramos hasta en la naturaleza.
división del último número por el anterior
resultado del cociente
11 1
12 2
23 1.5
35 6.1
58 1.6
813 1.625
1321 615384.1
2134 619047.1
3455 35294117647058826.1
5589 186.1
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 99
89144 1.6179775280898876404494382022472
144233 1.61805
233377 1.6180257510729613733905579399142
377610 1.6180371352785145888594164456233
610987 1.6180327868852459016393442622951
9871597 1.6180344478216818642350557244174
15972584 1.618033813400125234815278647464
25844181 1.6180340557275541795665634674923
41816765 1.6180339631667065295383879454676
tal parece que si seguimos construyendo esta tabla jamás
tendremos definido el límite de esta sucesión, porque aparecen números cada vez más raros, sin embargo vamos a obtener dicho límite por
proporciones a continuación:
sea el segmento de recta que a continuación se muestra, la parta
más gruesa “1” y la más delgada “x” y el total del largo del segmento es “1 + x”, nos queda:
sí las partes son proporcionales la razón quedará:
(1 + x) 1 1 x
escrito de otra forma queda:
X
X 1
1
1
haciendo los productos cruzados es:
111 XX
1 X
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Cálculo Diferencial CBTis 215 100
12 XX
012 XX
resolviendo esta expresión por la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, siendo a = 1; b = 1; c = - 1 y la
fórmula general es:
a
acbbX
2
42
sustituyendo dichos valores queda la expresión:
12
114112
X
2
51X las soluciones son
2
5
2
11
X y 2
5
2
12
X .
aproximadamente x1 = 0.61803398874989484820458683436564
x2 = -1.61803398874989484820458683436564
por lo cual el límite de los cocientes de los números de fibonaci es aproximadamente: 1.61803398874989484820458683436564 debido a
que 1 + x = 1 + x1, sustituyendo el valor encontrado queda:
1 + x1 = 1 + 0.61803398874989484820458683436564 = 1.61803398874989484820458683436564
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Cálculo Diferencial CBTis 215 101
sí graficamos los cambios de los cocientes veremos una gráfica como la que se muestra a continuación:
si observa solo pudimos graficar hasta 13/8, si puede grafique
hasta la última fracción de la tabla, pero como sabemos que ni el lápiz con la punta más aguzada logrará graficar todos los cocientes de los
números de fibonaci pues le invitamos a que lo intente.
sugerimos para visualizar mejor este ejemplo: que vean la película de donald en el país de las matemagicas de walt
disney.
en esta película se observa como los profesionales del arte,
arquitectos, dentistas, musicos, etc., y en la naturaleza como presenta la sección aurea o dorada. sin embargo en esto último vemos que se
puede visualizar tambien el concepto del límite.
como actividad de estudio es conveniente que sepas cual es la bacteria que nos produce la enfermedad comúnmente llamada faringitis,
esta es el staphylococus aureus, esta bacteria se duplica cada 3 horas, siguiendo la misma pauta del desarrollo de los números de fibonaci, haz
1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 2 1
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Cálculo Diferencial CBTis 215 102
un diagrama de árbol, determina la sucesión de números, determina la
ley matemática con la cual se reproducen y determina el límite de la sucesión.
como observó, para llegar a este concepto debemos situarlo sobre una escala numérica los puntos correspondientes a los términos de la
sucesión, te invitamos a que hagas la gráfica de la siguiente serie de números y determines lo que se te pide.
... ,n
1 -2 ..., ,5
9 ,4
7 ,3
5 ,2
3 ,1
si hacemos una tabulación dándole valores a n podremos ver con
mayor facilidad la aproximación al límite de esta sucesión.
el cálculo para n = 1 queda:
11
12
para n = 2 queda:
23
21
24
212
para n = 3 queda:
35
31
36
312
n n
12
1 1
2 3/2
3 5/3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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Cálculo Diferencial CBTis 215 103
calcule el límite de las sucesiones siguientes, utilizando la metodología antes usada:
a) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ... b) 1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25, ...
c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ... d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ...
e) ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, ... f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...
determina los valores que se indican en la tabla desde n = 4
hasta n = 20 en el siguiente espacio:
si anotas sus equivalencias en decimales ocupando una
calculadora, ¿cuál es el límite de esta sucesión? ______________
n n
12
1 1
2 3/2 = 1.5
3 5/3 = 6.1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 104
sin tener que hacer todo esto que hemos hecho, ¿podrás indicar
los límites de las siguientes sucesiones de números indicadas en la tabla?:
de la tabla indicada con números nos da por límite “2”, si “x” es
una variable cuyo campo de variación es la sucesión n
12 se dice que
“x” se aproxima al límite 2, o bien que “x” tiende a 2, y se representa
2 x .
la sucesión n
12 no contiene a su límite 2, sin embargo, la
sucesión 1, ½, 1, 5/6, 1, ..., en la que todos los términos impares son iguales a 1. por tanto, una sucesión puede o no contener a su propio
límite. sin embargo, como veremos más adelante, decir que a x
implica x a, esto es, se sobrentenderá que cualquier sucesión dada no
contiene a su límite como término.
4.5. límite de una función.
si 2 x según la sucesión n
12 , 4 2 xxf según la sucesión 1,
9/4, 25/9, 49/16, ..., 212n
, ...
ahora bien, si 2 x según la sucesión 2.1; 2.01; 2.001; ...;
n1012 ; ...
4 2 x según la sucesión 4.41; 4.0401; 4.004001; ..., 210
12 n ;
... parece razonable esperar que x2 tiende a 4 siempre que tienda a 2.
sucesión límite
n
13
n
15
n
16
n
16
n
14
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 105
en estas condiciones se establece que “el límite de x2 cuando x tiende a
2 es igual a 4”, y se representa por el simbolismo 42
2
xlím
x.
determine el límite de 2 Xy , siendo “x” los términos de cada
una de las sucesiones
a) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ..., n
1, ...
b) 1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25, ..., 2
1
n, ...
c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ..., n
15 , ...
d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ..., n
25 , ...
e) ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, ..., n2
12 , ...
f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ..., n10
13 , ...
4.6. límites por la derecha y por la izquierda.
cuando 2x según la sucesión ... ,n
1 -2 ..., ,5
9 ,4
7 ,3
5 ,2
3 ,1 , cada
término es siempre menor que 2. se expresa diciendo que x tiende a 2
por la izquierda, y se representa por 2x . análogamente, cuando
2x según la sucesión 2.1; 2.01; 2.001; ...; n1012 ; ..., cada
término es siempre mayor que 2. se expresa diciendo que x tiende a 2
por la derecha y se representa por 2x . es evidente que la existencia
del xflímax
implica la del límite por la izquierda xflímax
y la del
límite por la derecha xflímax
, y que por ambos son iguales. sin
embargo, la existencia del límite por la izquierda (derecha).
ejemplo: sea la función 29 xxf . el dominio de definición es
el intervalo – 3 x 3. si a es un número cualquiera del
intervalo abierto – 3 x 3, 29 xlím
ax
existe y es igual a
29 a . considérese ahora que 3a . si x tiende a 3 por la izquierda,
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Cálculo Diferencial CBTis 215 106
09 2
3
xlím
x, y si x tiende a 3 por la derecha,
2
39 xlím
x
no
existe, puesto que para x 3, 29 x es un número imaginario. por
tanto, no existe 2
39 xlím
x
.
análogamente, 2
39 xlím
x
existe y es igual a 0; sin embargo, no
existen ni 09 2
3
xlím
x ni
2
39 xlím
x
.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 107
3.2. propiedades.
teoremas sobre límites.
I. si cxf , constante, tendremos cxflímax
.
si Axflímax
y Bxglímax
, resulta:
II. kAxfklímax
, siendo k una constante.
III. BAxglímxflímxgxflímaxaxax
.
IV. BAxglímxflímxgxflímaxaxax
V.
B que siempre ,
B
A
xglím
xflím
xg
xflím
ax
ax
ax
0.
VI. nnn
ax
n
axAAxflímxflím que siempre ,
sea un
número real.
estos teoremas de límites se ven un poco áridos, sin embargo son
herramientas que debemos aprender para poder abordar la fórmula general de la derivada o derivada por definición o derivada por los
cuatro pasos, que también es otra herramienta fuerte para resolver problemas sin tener que hacer algunas veces el uso de gráficos, tablas y
algunos otros recursos.
límite de una función.
en la función definida por: f(x) = x2. donde el dominio de la
función (valores de x), contenga todos los números reales. el límite de f(x) cuando “x “se aproxima por ejemplo al valor de 10, será 100. lo
cuál se presenta:
100102
10
2
1010
xxxlímxlímxflím
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Cálculo Diferencial CBTis 215 108
y se lee “el límite de la función f(x) es 100 cuándo el valor de la
variable x tiende al valor de 10”.
existen diferentes casos para poder calcular el límite de una función,
que son:
caso I: si la función dada está simplificada, basta sustituir directamente el valor a que tiende la variable independiente y realizar
las operaciones indicadas, el resultado será el valor del límite buscado.
ejemplo 1: calcula el límite de la función: y = 2x + 6 cuando x 3
sustituimos el valor de “x” por 3 y realizamos las operaciones
indicadas, y tenemos:
12666326233
xlímxflímxx
“el límite de función y = 2x + 6 es igual a 12 cuando “x” tiende a
3”
anota en tu cuaderno la función siguiente y obtén el límite
sabiendo que: 2
1262
x
xxy cuando 2x
¿qué resultado obtuviste?, coméntalo con tus compañeros y maestro.
cálculo de expresiones indeterminadas.
en ocasiones obtenemos expresiones indeterminadas cuando no se conoce su valor, por ejemplo: cuando se presenta el cociente 0/0.
veamos unos resultados referente a esto:
? 0
0 1
2.7
2.7 1
3
3
? 0
0 0
4.35-
0 0
2.7
0 0
3
0
según la primera lista el resultado da uno, ya que el
numerador y el denominador son iguales. según la segunda lista el resultado es cero, ya que el
numerador es cero.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 109
si lo hacemos con la calculadora esta marca error.
para calcular límites indeterminados con ayuda de la
derivada, se deriva el numerado y denominador donde se
sustituye en esta nueva fracción el límite.
Caso II: se da cuando es necesario primero simplificar la función dada, antes de sustituir directamente el valor de la variable
independiente, por que de lo contrario puede dar lugar a la forma indeterminada 0/0. la simplificación generalmente se obtiene
factorizando las partes o expresiones que sean posibles de la función dada.
ejemplo 2: calcula el límite de la función yX
X
2 9
3 cuando 3x .
si sustituimos directamente el valor a que tiende la variable independiente, tenemos:
ada)indetermin (forma 0
0
33
99
33
93
3
9 22
33
x
xlímxflímxx
por lo tanto, será necesario primero factorizar la expresión; en éste caso el numerador y posteriormente habrá que reducir la expresión,
luego sustituir el valor de la variable independiente:
63333
33
3
933
2
33
xlím
x
xxlím
x
xlímxflím
xxxx
anota en tu cuaderno la función: yx x
x
2
2
3 40
64 y calcula su límite
cuando “x” tiende a 8.
para esto tendrás que factorizar tanto el denominador como el numerador.
caso III: este caso se da cuándo en la función dada es necesario
simplificar por medio de la racionalización de su numerador o
denominador, antes de sustituir directamente el valor a que tiende la variable independiente de la función, por que si no, da lugar a la
indeterminación 0/0.
este caso se puede identificar fácilmente porque en la función
aparece el signo radical.
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Cálculo Diferencial CBTis 215 110
ejemplo 3: calcula el límite de función x
xxf
11 cuando
0x .
sustituimos directamente el valor de la variable independiente por 0,
y tenemos:
0
0
0
11
0
11
0
1101100
x
xlímxflímxx
entonces será necesario primero racionalizar la expresión, antes
de sustituir el valor de la variable independiente en la función:
11
11
11
111111000 xx
xlím
x
x
x
xlím
x
xlím
xxx
11
1
1111
11000 x
límxx
xlím
xx
xlím
xxx
después, sustituyendo “x” por 0 tenemos:
2
1
11
1
11
1
110
1
escribe en tu cuaderno la función: 2
2
4
53
x
xxf
y calcule su
límite cuando x2.
para esto necesitarás primero racionalizar la
expresión
límite de funciones con tendencia a infinito.
si el límite de una función es infinito cuando su valor aumenta o disminuye infinitamente cuando cx . es decir:
xflímcx
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Cálculo Diferencial CBTis 215 111
o si una función tiende hacia el límite “l”, cuando la variable independiente “x” tiende al infinito, es decir:
1
xflímcx
podemos deducir que existen ciertos límites que se presentan
generalmente, cuando la variable independiente “x” tiene el valor de cero ó infinito:
c
xlím
x
clíma
xx b) ;0 )
en esta situación se nos presenta el:
caso IV: cuando en una función se obtiene la indeterminación ∞/∞.
si la variable independiente tiende al infinito y se requiere encontrar el límite de una función expresada como un cociente de polinomios,
será necesario dividir primero, el numerador y el denominador por la variable con mayor exponente que exista en cual quiera de ambos,
antes de sustituir en la expresión el valor a que tiende la variable independiente.
ejemplo 4: obtén el límite de la función: 42
34
638
835
xx
xxy
cuando x
tiende a infinito
si sustituimos directamente, tenemos:
42
34
42
34
638
835
638
835
xx
xxlímx
por lo que será necesario dividir primero el numerador y
denominador por x4 , que es la variable que hay con el mayor exponente o término de mayor grado:
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Cálculo Diferencial CBTis 215 112
1
638
83
1
5
638
835
638
835
638
835
24
4
444
444
4
4
42
34
42
34
42
34
xx
xxlím
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
lím
x
xxx
xx
límxx
xxlím
xxxx
6
5
600
005
638
835
24
4
1.- escribe en tu cuaderno la función 4
4
23
8
xx
xxf
y encuentra
el límite, cuando “x” tiende a infinito.
2.- obtén el limite cundo x tiende a 6 de la función 36
62
x
xxf
3.- encuentra el limite: x
xlímx
21
11
4.- encuentra el limite: 2
38232
23
3
x
xxxlímx
comenta con tus compañeros y maestro los resultados que obtengas.
evaluacion de límites
los límites de las funciones son evaluados usando muy diferentes
técnicas así como patrones de reconocimiento, sustitución simple, o simplificación algebraica. algunas de estas técnicas son ilustradas en los
siguientes ejemplos.
ejemplo 1: encontrar el límite de la secuencia: ,7
6,
6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
la razón de que el valor de la fracción incremente lentamente para cada término, es debido a que el numerador es siempre más pequeño que el
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Cálculo Diferencial CBTis 215 113
denominador, la fracción tomará valores cada vez más cercanos a 1; por
lo que, el limite de la secuencia es 1.
ejemplo 2: evaluar )13(lim2
xx
.
cuando x es reemplazado por 2, 3x tiende a 6, y 3x-1 tiende a 5; por lo
que, 5)13(lim2
xx
.
ejemplo 3: evaluar 3
92
3lim
x
x
x
.
sustituyendo –3 por x produce 0
0, lo cual es una indeterminación.
primero factorizando y simplificando después, se encuentra que:
3
92
3lim
x
x
x
=)3(
)3)(3(lim
3
x
xx
x
= )3(lim3
xx
= 6
la grafica de 3
92
x
x puede ser la misma que la función lineal 3 xy con
el punto )6,3( removido de ella (figura 6).
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Cálculo Diferencial CBTis 215 114
ejemplo 4 evaluar 3
5
3
2lim3
x
x
x
x.
sustituyendo 3 por x resulta 0
0, lo cual es una indeterminación,
simplificando la fracción compleja, se encuentra que:
3
5
3
2lim3
x
x
x
x =
)2(5
)2(5
3
5
3
2
x
x
x
x
x
=)3)(2(5
)2(35lim
3
xx
xx
x=
)3)(2(5
62lim
3
xx
x
x
=)3)(2(5
)3(2lim
3
xx
x
x=
)2(5
2lim
3 xx=
25
2
de otra forma:
3
5
3
2lim3
x
x
x
x =
)3
)2(5
)2(35
3
5
3
2lim3
x
x
xx
x
x
x
x=
3
)2(5
)635
lim3
x
x
xx
x=
)3(
)2(5
62
lim3
x
x
x
x
=
1
)3(
)2(5
)3(2
lim3
x
x
x
x=
)3)(2(5
)3(2lim
3
xx
x
x=
)2(5
2lim
3 xx
si reemplazamos a x por 3, resulta, =25
2
ejemplo 5: evaluar 5
lim0 x
x
x.
sustituyendo 0 por x resulta 0/5=0, por lo que, 05
lim0
x
x
x
ejemplo 6: evaluar x
x
x
5lim
0
.
sustituyendo 0 por x resulta 5/0, lo cual es una indeterminación; por lo
que x
x
x
5lim
0
ne. (recuerde, el infinito no es un numero real).
limites por un lado
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 115
para algunas funciones, es apropiado observar el comportamiento de los
límites por un lado solamente. si x tiende a c por la derecha solamente, se escribe
)(lim xfcx
o si x tiende a c por la izquierda solamente, se escribe
)(lim xfcx
esto es, luego, igual que
)(lim xfcx
sí y solo sí
)(lim)(lim xfxfcxcx
ejemplo 7: evaluar xx 0lim .
cuando x tiende a 0 por la derecha, este siempre es positivo; x es
tomado tan pero tan pequeño, que 0lim0
xx
. por lo que sustituyendo 0
por x se puede obtener el mismo resultado, el siguiente ejemplo ilustra
porque este método no siempre es apropiado.
ejemplo 8: evaluar xx 0lim .
cuando x tiende a 0 por la izquierda, este siempre es negativo, y x no
existe, en esta situación, xx 0lim ne. así, note que x
x 0lim
ne porque
xxxx
00
lim0lim ne.
ejemplo 9: evaluar
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 116
1. 2
2lim
22
x
x
2. 2
2lim
22
x
x
3. 2
2lim
22
x
x
1.- como x tiende a 2 por la izquierda, x-2 es negativo , y )2(2 xx ;
por lo tanto, recordar que el valor absoluto se define como
positivo es x si ,
y negativo es x si ,
x
xx
1)2(
)2(
2
2lim
22
x
x
x
x
2.- como x tiende a 2 por la derecha, x-2 es positivo, y 22 xx : por
lo tanto,
12
)2(
2
2lim
22
x
x
x
x
3.- como 12
2lim1
2
2lim
2222
x
x
x
x, por lo tanto
2
2lim
22
x
x ne.
limites infinitos
algunas funciones desaparecen en la dirección positiva o negativa
(incrementa o disminuye sin limite) para ciertos valores de la variable independiente. cuando esto ocurre, se dice que la función tiene un limite
infinito; el cual se escribe;
)(lim xfcx
o
)(lim xfcx
. note también
que la función tiene una asíntota en cx si uno de los limites anteriores
es verdad.
en general, una función fraccionaria puede tener un límite infinito si el límite del denominador es cero y el límite del numerador es diferente de
cero. el indicador de un limite infinito esta determinado por el indicador del cociente del numerador y el denominador para valores cercanos al
número al que la variable independiente tiende.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 117
ejemplo 10: evaluar 20
1lim
xx
como x tiende a 0, el numerador es siempre positivo y el denominador
tiende a 0 y es siempre positivo; por lo que , la función incrementa sin
limite y 20
1lim
xx. la función tiene una asíntota vertical en 0x (figura
7).
ejemplo 11: evaluar 2
3lim
2
x
x
x.
como x tiende a 2 por la izquierda, el numerador tiende a 5, y el denominador tiende a 0 desde valores negativos, por lo tanto, la función
decrece sin limite y
2
3lim
2 x
x
x. la función presenta una asíntota en
2x .
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 118
ejemplo 12: evaluar
32
0
11lim
xxx.
reescribiendo
32
11
xx como una expresión fraccionaria equivalente es
igual a
3
1
x
x , el numerador tiende a –1, y el denominador tiende a 0
desde valores positivos cuando x tiende a 0 por la derecha; por lo tanto,
la función decrece sin limite y
32
0
11lim
xxx. la función presenta una
asíntota vertical en 0x . una palabra de cuidado: no evaluar los limites
individualmente ni restar porque no es un número real.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 119
usando este ejemplo,
3
02
032
0
1lim
1lim
11lim
xxxx xxx
lo cual es una indeterminación.
limites al infinito
los límites al infinito son empleados para describir el comportamiento de funciones donde la variable independiente incrementa o disminuye sin
límite. si una función tiende a un valor numérico l en cualquiera de las situaciones anteriores, se escribe
Lxfx
)(lim o Lxfx
)(lim
y )(xf se dice que presenta una asíntota horizontal en y = l. una función
puede tener diferentes asíntotas horizontales en cada dirección, tiene una asíntota horizontal en una dirección solamente, o no tener asíntotas
horizontales.
ejemplo 13: evaluar 15
32lim
2
2
xx
x
x.
el término con mayor exponente en x en el numerador y denominador,
se toma como factor común en numerador y denominador para cada término.
y se encuentra que (recordar que ,0
n donde n es cualquier número
real)
15
32lim
2
2
xx
x
x=
)15
1(
)3
2(
lim
2
2
2
2
xxx
xx
x
=
2
2
151
32
lim
xx
xx
=
001
02lim
x= 2
1
2lim
x
como 215
32lim
2
2
xx
x
x, la función presenta una asíntota horizontal en
2y
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 120
ejemplo 14: evaluar xxx
x
x 235
2lim
34
3
.
tomamos a 3x como factor común en el numerador y a 4x en el
denominador, con lo cual nos resulta:
xxx
x
x 235
2lim
34
3
=
)23
5(
)2
1(
lim
3
4
3
3
xxx
xx
x
=
)23
5(
)2
1(
lim
3
3
xxx
xx
=
3
3
235
21
1lim
xx
x
xx
=
005
010 = 0
5
10
por lo tanto, como 0235
2lim
34
3
xxx
x
x, la función presenta una asíntota
horizontal en 0y
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 121
ejemplo 15: evaluar 2
9lim
2
x
x
x.
tomamos a 2x como el factor común en el numerador y a x en el
denominador, resultando:
2
9lim
2
x
x
x=
)2
1(
9lim
2
xx
x
x
=
)2
1(
9lim
x
xx
=
)01(
9= 9 = .
puesto que este limite no se aproxima a ningún valor real, la función no
presenta ninguna asíntota horizontal cuando x tiende a .
ejemplo 16: evaluar xxxx
3lim 23
.
considerando a 𝑥3 como el factor común de la función, resulta:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 122
xxxx
3lim 23
= )11
1(lim2
3
xxx
x
= )
111(limlim
2
3
xxx
xx
= )001(lim 3
x
x
= )1(lim 3xx
= por lo tanto
xxxx
3lim 23
como en el ejemplo previo, esta función no tiene una asíntota horizontal cuando x disminuye hasta .
limites que involucran funciones trigonometricas
las funciones trigonométricas seno y coseno tienen cuatro importantes propiedades de limites
csenxsencx
lim
cxcx
coscoslim
1lim0
x
xsen
x
0cos1
lim0
x
x
x
estas propiedades pueden ser utilizadas para evaluar muchos problemas que involucran las 6 funciones trigonométricas básicas.
ejemplo 17: evaluar 3
coslim
0 xsen
x
x.
sustituyendo 0 por x, usted encuentra que cos x se aproxima a 1 (por
csenxsencx
lim )y sen x-3 se aproxima a –3 (por cxcx
coscoslim
); por lo
tanto:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 123
3
1
3
coslim
0
xsen
x
x
ejemplo 18: evaluar xx
cotlim0
.
dado que xsen
xx
coscot , entonces el problema se traduce en
xsen
x
x
coslim
0. el
numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0 para valores positivos
porque el acercamiento a 0 esta definido para el cuadrante i; por lo que,
la función incrementa sin limite y
xx
cotlim0
, y la función presenta
una asíntota vertical en 0x .
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 124
ejemplo 19: evaluar x
xsen
x
4lim
0.
multiplicando el numerador y denominador por 4 resulta
x
xsen
x
4lim
0
x
xsen
x 4
44lim
0
x
xsen
xx 4
4lim4lim
00
por la propiedad 1lim
0
x
xsen
x
14
44
lim0
x
xsen
x
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 125
ejemplo 20: evaluar x
x
x
1seclim
0
.
dado que x
xcos
1sec , se encuentra que
x
x
x
1seclim
0
x
x
x
1cos
1
lim0
=
1
cos
cos1
lim0 x
x
x
x
que reduciendo
xx
x
x cos
cos1lim
0
con
xcos
1 como factor común (factorizando)
x
x
xx
cos1
cos
1lim
0
x
x
x xx
cos1lim
cos
1lim
00 por la propiedad 0
cos1lim
0
x
x
x
01
01sec
lim0
x
x
x
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 126
3.3. continuidad de una función.
continuidad
una función )(xf se dice que es continua en un punto (c, f(x)), si todas
y cada una de las siguientes condiciones son satisfechas:
1. )(cf existe (c esta en el dominio de f).
2. )(lim xfcx
existe y
3. )()(lim cfxfcx
.
geométricamente, este lugar no es un espacio en blanco, una división, o una ausencia de punto para )(xf en c y un lápiz puede moverse a lo
largo de la grafica de )(xf hasta (c, f(c)) sin levantarlo y hasta el final
de la grafica. si esto ocurre se dice que la grafica es continua en (c, f(c))
por la derecha si )()(lim cfxfcx
y continua en (c, f(c)) por la izquierda si
)()(lim cfxfcx
. muchas de nuestras funciones comunes como la lineal,
cuadrática y otras funciones polinomiales: racionales, y trigonométricas
son continuas para cada punto de su dominio.
una función especial que es usada a menudo para ilustrar limites por un lado es la función parte entera. la función parte entera, [x], es definida
como aquella que es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda en cada entero.
algunos valores de [x] para valores específicos de x son:
[2] = 2
[5.8] = 5
[-33
1] = -4
[0.46] = 0
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 127
la función parte entera es continua para cualquier entero n por la
derecha solamente porque
nnnf )(
y nxfnx
)(lim
pero 1)(lim
nxfnx
, por lo que, nfxfnx
)(lim y )(xf no es
continua para n por la izquierda. note que la función parte entera es
continua por la derecha y por la izquierda para cualquier valor decimal de x.
ejemplo 21: discutir la continuidad de 32 xxf en 4x .
cuando la definición de continuidad es aplicada a )(xf en 4x , se
encuentra que
1. 54 f
2. 532limlim44
xxfxx
3. 4lim4
fxfx
, por lo tanto podemos asegurar que )(xf es
continua para 4x .
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 128
ejemplo 22: discutir la continuidad de 2
42
x
xxf en 2x .
cuando la definición de continuidad es aplicada a )(xf en 2x , se
encuentra que 2f no existe; por lo que, )(xf es discontinua para 2x .
ejemplo 23: discutir la continuidad de
2,4
2,2
42
x
xx
xxf en 2x .
cuando la definición de continuidad es aplicada a )(xf en 2x , se
encuentra que
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 129
1. 42 f
2.
xfx 2lim
2
4lim
2
2 x
x
x
2
22lim
2
x
xx
x 2lim
2
x
x 4lim
2
xf
x
3. 2lim2
fxfx
por lo tanto )(xf es continua en 2x .
ejemplo 24: discutir la continuidad de xxf en 0x .
cuando la definición de continuidad es aplicada a )(xf en 0x , se
encuentra que
1. 00 f
2. NExxfxx 00limlim
, por que 0lim0
xx
, pero NExx 0lim
3. 0lim0
fxfx
por lo tanto, )(xf es continua para 0x por la derecha solamente.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 130
ejemplo 25: discutir la continuidad de
3,2
3,252 xx
xxxf en 3x .
cuando la definición de continuidad es aplicada a )(xf en 3x , se
encuentra que
a. 112332
f
b. 1125limlim33
xxfxx
y para 112limlim 2
33
xxf
xx
por lo que 11)(lim3
xfx
porque xfxfxx
33
limlim
c. 3lim3
fxfx
por lo tanto, )(xf es continua para 3x .
muchos teoremas en cálculo requieren que las funciones sean continuas
en intervalos de números reales. una función )(xf se dice que es
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 131
continua en un intervalo abierto ),( ba si )(xf es continua para cada
punto bac , . una función )(xf se dice que es continua en un intervalo
cerrado ba, si )(xf es continua en cada punto bac , y si )(xf es
continua para a por la derecha y continua para b por la izquierda.
ejemplo 26:
a. 32)( xxf es continua en , porque )(xf es continua para
cualquier punto ,c .
b. 4
3)(
x
xxf es continua en 4, y ,4 porque )(xf es
continua para cualquier punto 4,c y ,4 .
c. 4
3)(
x
xxf no es continua en ]4,( o ),4[ porque )(xf no es
continua para 4 por la izquierda o por la derecha.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 132
d. xxf )( es continua en ),0[ porque )(xf es continua para
cualquier punto ,0c y es continua para 0 por la derecha.
e. xxf cos)( es continua en , porque )(xf es continua para
cualquier punto ,c .
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 133
f. xxf tan)( es continua en
2,0
porque )(xf es continua para
cualquier punto
2,0
c .
g. xxf tan)( no es continua en
2,0
porque )(xf no es continua
para 2
por la izquierda.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 134
h. xxf tan)( es continua en
2,0
porque )(xf es continua para
cualquier punto
2,0
c y es continua para 0 por la derecha.
i. 5
2)(
2
x
xxf es continua en , porque )(xf es continua para
cualquier punto ,c .
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 135
j. 2
2)(
x
xxf es continua en 2, y ,2 porque )(xf es continua
para cualquier punto 2,c y ,2c .
k. 2
2)(
x
xxf no es continua en ]2,( o ),2[ porque )(xf no es
continua para 2 por la izquierda o por la derecha.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 136
continuidad de una función.
una función será continua para cierto intervalo de “x” si su gráfica no presenta ningún vacío o salto, sino, es una función discontinua:
función continua función discontinua
para que una función “f(x)” sea continua para un valor de x = c,
se deben de cumplir las tres condiciones siguientes:
1.- f(c) esté definida.
2.- xflímcx
exista.
3.- cfxflímcx
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 137
ejemplo: determinar si la función f(x)=x2+3 es continua en x=5
1º. si f(x) = x2 + 3
para f(5) = (5)2 + 3 = 25 + 3 = 28 sí f(5) = 28, por lo tanto, la función sí está definida.
2º. 2832535322
5
xlím
x
sí 285
xflímx
, por lo tanto, el límite existe.
3º.- cfxflímcx
28 = 28, por lo tanto, la función sí
es continua.
en x = 5 porque se satisfacen las tres condiciones dadas. determina si la función y = 5x2 + 3x es continua en x = - 2
vi. funciones con discontinuidad evitable.
existen situaciones en donde la discontinuidad de una función
puede ser “evitable” esto resulta cuando la discontinuidad se presenta para un valor determinado de la variable independiente (un punto
vacío).
ejemplo: determina si la función 16
42
x
xy es continua en x=4
1º si 16
42
x
xxf
para f(4) = 0
0
1616
0
164
444
2
f
esto resulta en una indeterminación y al no estar definida f(4), la función es discontinua en el punto x = 4.
sin embargo, la discontinuidad de la función en x = 4 es evitable si
la función se puede hacer continua volviendo a definir la función en x = 4. para lo cual se factoriza la expresión del denominador; tenemos:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 138
16
42
x
xxf =
x
x x
4
4 4( )( ) de lo cual resulta
4
1
xxg
comprobamos ahora si la función es continua:
1º.- f(x)= 16
42
x
xxf
4
1
xxg
8
1
44
14
g por lo tanto, si queda definida
2º. 16
424
x
xlímx
por tabulación obtenemos:
si x = 3 3.5 3.9 3.99 4 4.01 4.1 4.5 5
xflímx 4
0.14
0.13
1.126
0.1251
0.125=1/8
0.1248
0.123
0.12
0.11
por lo tanto, el límite a que tiende la función es igual a 0.125=1/8,
cuando “x” tiende a 4 y sí existe.
3º. xflímcfcx
1/8=1/8; por lo tanto, la discontinuidad de la función, si fue
evitable para x = 4.
determine si la función 7
492
x
xy es continua para x = 7
si es discontinua, determina si su discontinuidad es evitable:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 139
4. derivada.
4.1. razón de cambio promedio e interpretación geométrica.
la derivada
Una de las aplicaciones más importantes de límites es el concepto de la derivada de una función. En cálculo, la derivada es utilizada en una gran
diversidad de problemas, y su entendimiento es esencial para su aplicación en algunos problemas.
definición
La derivada de una función )(xfy en un punto ))(,( xfx es definida
como
x
xfxxf
x
)()(lim
0
Si este límite existe. La derivada es denotada por )(xf , que se lee “ f
prima de x ” o “ f prima en x ,” y se dice que f es diferenciable en x si
este limite existe (Figura 9).
)( xxf )(),( xxfxx
)()( xfxxf
)(xf x
)(, xfx
x )( xx
Si una función es diferenciable en x , luego esta puede ser continua en x
pero lo inverso no necesariamente es verdad. Esto es, una función puede ser continua en un punto, pero la derivada en este punto puede
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 140
no existir. Por ejemplo, la función 3
1
xxf es continua en la totalidad de
su dominio para los números reales, pero esta derivada no existe para
0x . (para 0x es NEx
xdx
d
0
1
3
1
3 2
3
1
, lo cual claramente deja ver que
no existe)
Otro ejemplo es la función 2 xxf , la cual es continua en la totalidad
de su dominio para los números reales pero no es diferenciable para
2x . Lo cual es visible en el siguiente gráfico.
La relación entre la continuidad y diferenciabilidad puede ser resumida de la siguiente manera: Diferenciabilidad implica continuidad, pero
continuidad no implica diferenciabilidad.
Ejemplo 1: Encontrar la derivada de 52 xxf en el punto 1,2 .
x
xxx
x
xfxxf
55)()()( 22
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 141
xx
x
xfxxf
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
2
)2(
2
552
2
222
4222
22lim0
f
xxxxfx
Por lo tanto, la derivada de 52 xxf en el punto 1,2 es 4.
Una interpretación de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en este punto. La derivada puede ser
también entendida como el límite de la pendiente de la recta secante que tiende a un punto fijo sobre la curva hasta llegar a convertirse en
tangente de la curva en este punto. Si este limite existe, este es definido como la pendiente de la recta tangente en un punto fijo ))(,( xfx
sobre la grafica de )(xfy .
Otra interpretación de la derivada es la velocidad instantánea de una
función que representa la posición de una partícula a lo largo de una
recta en un tiempo t , donde tsy . La derivada puede ser entendida
como el límite de la velocidad promedio entre un tiempo fijo y otro tiempo que tiende a ese tiempo fijo. Si este límite existe, este es
definido como la velocidad instantánea en un tiempo t para la función
tsy .
Una tercera interpretación de la derivada es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto. La derivada puede considerarse
como el límite de las tasas de cambio promedio entre un punto fijo y otro punto de la curva que se acerca más y más al punto fijo. Si este
límite existe, este puede ser definido como la tasa de cambio instantáneo en el punto fijo ))(,( xfx sobre la gráfica de )(xfy .
Ejemplo 2: Encontrar la velocidad instantánea de 2
1
tts en el tiempo
3t .
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 142
t
ttt
t
tstts
2
1
2
1
1
22
22
t
ttt
ttt
22
22
tttt
ttt
22
22
tttt
ttt
22
22
tttt
ttt
22
tttt
t
22
1
ttt
22
1lim
0
tttts
t
22
1
t , y sustituyendo el valor de t en ella nos resulta
25
1
5
1
2
13
22
ts
Por lo tanto, la velocidad instantánea de 2
1
tts para 3t es
25
1 . La
velocidad negativa indica que la partícula se esta moviendo en la
dirección negativa.
Varias notaciones diferentes se emplean para representar la derivada de
una función )(xfy con xf como la representación más común.
Algunas otras son y , dx
dy,
dx
df,
dx
xdf, fD
xx , y xfDx , y usted estará en
posibilidad de utilizar cualquiera de estas en problemas selectos.
la derivada
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 143
4.2. derivación de funciones.
Regla de los cuatro pasos de derivación.
Para realizar de una manera más óptima la determinación de la recta
tangente en un punto determinado, se efectúa mediante los siguientes
pasos:
1. Se adicionan los incrementos de ambas variables, efectuando las
operaciones que se indiquen.
2. A la expresión anterior se le resta la función inicial, para obtener
la razón de incremento únicamente.
3. Posteriormente a la diferencia se divide entre el incremento de x
dando en el primer término la condición de derivada.
4. Finalmente si aún quedaran términos de incremento en el segundo
término se determina el límite del incremento de x cuando tiende
a cero.
a)
52520
lim,,4
5252
,,3
52885552,.2
855285,.1
85)(
2
2222
222
2
xx
yxx
xpasoto
xxx
y
x
xxxx
x
ypasoer
xxxxxxxxxxxxyyypasodo
xxxxxxyyxxxxyypasoer
xxxfy
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Cálculo Diferencial CBTis 215 144
Derivación de funciones por la regla general: dadas las funciones
34 xy
4
4
4
34
344
3)(4
x
y
x
x
x
y
xy
xy
xxyy
xxyy
Hallar las coordenadas del vértice de la parábola 142 xxy usando el
hecho de que el vértice de su tangente es cero.
X Y
-8 97
-6 61
-4 37
-2 13
0 1
2 -3
4 1
6 13
8 33
1er. Paso
2do. Paso
3er. paso
-20
0
20
40
60
80
100
120
-10 -5 0 5 10
valo
res d
e y
valor de x
Parábola
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 145
Aplicando los conceptos de la regla de derivación, se obtiene:
42 420
lim P .4
42 42
P .3
42 112 P .2
114442;14 Paso .1
2
2222
222
xx
yxx
xasoto
xxx
y
x
xxxx
x
yasoer
xxxxyxxxxxyyyasodo
xxxxxxxyyxxxxyyer
Si la pendiente es igual a cero se resuelve la ecuación 2x - 4 = 0,
resultando que 22
4x
Posteriormente para encontrar el valor de la ordenada se substituye la
abscisa en la ecuación de la parábola
318412421422 xxy .
Vértice con coordenadas (2,-3)
Realice las siguientes derivadas por medio de la regla general:
1) y = 8 x – 5 sol. 8
2) s = t2 – 3 t + 6 sol. 2 t – 3
3) y = ax
a
sol.
2)( ax
a
4) 2
42
xy sol. x
5) x
xy
1 sol.
2
1
x
6) y = ( m + m x ) 2 sol. 2 m2 + 2 m2 x
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 146
7) 5 xy sol. 52
1
x
8) x
y2
sol. xx
1
9) 3 axy sol. 3 2)(3
1
ax
10) y = 2x ( a2 – x2 ) sol. 2 a2 – 6 x2
En la vida cotidiana las rectas tangentes a una curva u objeto podrán
observar de muy diferentes maneras, como son el punto de contacto de
la rueda de un automóvil, patineta.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 147
El deslizamiento de un tobogán de Acuapolis, tiene la forma de un arco
de hipérbola de ecuación 2
8
xy como se puede apreciar en las figuras
siguientes:
Calcula la pendiente del tobogán a los 3, 4, 5 y 6 m de la vertical del
lanzamiento.
Solución: en primer lugar se obtiene la derivada de la expresión, siendo:
2
,
)2(
8
xy
Para x = 3 resulta 25
83
, my
Para x = 4 resulta 36
84
, my
Para x = 5 resulta 49
85
, my
Para x = 6 resulta 64
86
, my
De acuerdo a los resultados de las pendientes, determina el ángulo de
inclinación para cada caso:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 148
En base a los datos anteriores como explicarías la finalidad de este tipo
de diseño, en relación a la velocidad de desplazamiento.
Un cable de suspensión de un puente está sostenido por dos pilares
(soportes) que distan 250 pies. Se considera que tiene una forma
parabólica, con su punto más bajo de 50 pies por debajo de los puntos
de suspensión. Hallar el ángulo entre el cable y el pilar.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 2 3 4 5 6 7
alt
ura
despazamiento horizontal
Tobogan
250 pies
50 pies
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 149
Solución: se considera al punto más bajo como el origen del vértice de
la parábola V=(125,50) obteniéndose la ecuación de la parábola de
2 625
2xy . Posteriormente se determina la derivada
625
4x
dx
dy que
equivale a la pendiente.
En el punto del vértice (125 , 50 ), se substituye dando como resultado
,oo
´´o
20 51 90
:es requerido ángulo el tantolopor 40 38 es ángulo ely 0.8 625
500
625
)125(4
Determinar las ecuaciones de la tangente y la normal de la expresión:
3 x-3 1 x y , para los puntos:
A ( -1 , 0 )
B ( 2 , 3 )
C ( 3 , 0 )
Se obtiene el valor de la derivada 3 2
x-3 3
4x - 8
dx
dy
La pendiente m que será válida resulta de sustituir el valor del punto
3 2(-1)-3 3
4(-1) - 8
dx
dy3 2
2
Posteriormente se subtituyen los valores en la ecuación de la recta:
) x- x ( m ) y -y ( 11
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 150
El punto A ( -1 , 0 ) resulta,
)1( 4 y : tangentela deecuación
) (-1) - x ( 2
2 ) 0 -y (
3
3
x
Para la ecuación de la normal solo se substituye la pendiente inversa.
)1( 2
2 - y :normal la deecuación
) (-1) - x ( 2
2 ) 0 -y (
3
3
x
Realice para los dos puntos restantes el proceso anterior:
Para el punto B ( 2, 3 )
Para el punto C ( 3, 0 )
CONCEPTO DE VELOCIDAD
Suponiendo que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de
manera horizontal de acuerdo a la ecuación del movimiento )(tfs
donde (s) es el desplazamiento (distancia originada) del objeto respecto
al origen, en el instante (t) . La función f se describe el movimiento,
que se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo ( t =
a ) hasta ( t = a + h ) , el cambio de posición es )()( afhaf se
representa dicho proceso a continuación.
Posición a t posición a t
t = a t ( a + h )
S
f(a)
)()( afhaf
f(a+h)
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 151
La velocidad promedio = h
afhaf )()(
tiempo
entodesplazami que es la secante.
Cuando calculamos la velocidad promedio sobre lapsos haa , más y
más cortos. En otras palabras, hagamos que la (h) tienda a cero. Se
obtiene la derivada:
h
afhafaV
)()(
0h
límite)(
Dando el significado que la velocidad en el
instante t = a es igual a la pendiente de la recta tangente.
Ejemplo:
Se registraron las lecturas en °C cada hora a partir de la media noche,
en el mes de diciembre en el valle de Toluca. El tiempo ( x ) se mide en
horas a partir de la media noche. Como se muestra en la siguiente
tabla.
x(h)
t
(ºC) 0 6.5
1 6.1 2 5.6
3 4.9 4 4.2
5 4 6 4
7 4.8 8 6.1
9 8.3
10 10 11 12.1
12 14.3 13 16
14 17.3 15 18.2
16 18.8 17 17.6
18 16 19 14.1
20 11.5
GRAFICA DE TEMPERATURA
0
5
10
15
20
0 10 20 30
TIEMPO EN HORAS
TE
MP
ER
AT
UR
A E
N
ºC
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 152
21 10.2
22 9 23 7.9
24 7
a) Encuentre la razón promedio de cambio de la temperatura con
respecto al tiempo:
1. Desde el medio día hasta las 3 PM.
h. / Cº 3.13
9.3
x
T es
tiempoal respectocon ra temperatula de cambio de promediora`´on la teconsiguienPor
h 3 x es tiempode cambio el que en tanto 9.33.142.18)12()15(
Cº 18.2 hasta 14.3 desde cambia ra temperatuLa
TTT
Determina los siguientes intervalos tomando como ejemplo
el inciso anterior.
2. Desde el medio día hasta las 2 PM.
Sol. 1.5 ºC
3. desde el medio día hasta la 1 PM.
Sol. 1.7 ºC
b) Estime la razón instantánea de cambio a mediodía. Como se
observa en la gráfica de la tabla de valores. Se traza la tangente
en el punto P donde x = 12 y después de medir los lados del
triángulo ABC, estimamos que la pendiente de la recta es:
9.15.5
3.10
AC
BC
por lo tanto la razón instantánea de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, al medio día es alrededor de 1.9 ºC / h.
Se lanza una piedra hacia arriba, y la altura ( h ) expresa en metros ( m
), viene dada en una función con respecto al tiempo por h ( t ) = 2 + 20
t – 2 t2 , determina:
a) La ecuación de la velocidad ( v / t ).
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 153
b) La velocidad en que se lanzó la piedra.
c) En que instante la velocidad es nula.
d) A partir de que instante la velocidad es negativa.
Solución
a) De la expresión inicial
4t - 20 h(t )́ : resulta derivando, t2 - t 20 2 )( 2 th .
b)
c) Se substituye en la derivada, en el caso particular cuando
alcanza su máxima altura su velocidad es cero, igualando la
ecuación a dicho valor: seg. 5 4-
20- t de valor el despeja se 0 t 4 - 20
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15
AL
TU
RA
(m
)
TIEMPO TRASCURRIDO (seg)
GRÁFICA DEL TIRO VERTICAL
Al analizar el comportamiento del
movimiento, ya que parte del reposo, la
velocidad inicial es cero ( 0 ).
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 154
d) Considerando que se trata el mismo tiempo en subir y bajar. La
velocidad es negativa a la caída del cuerpo es decir para
tiempos mayores de 5 seg.
En un embarcadero parten dos barcos en diferentes direcciones el
primero de ellos con una velocidad de 30 Km. / h. En dirección al norte,
el segundo con dirección al este con una velocidad de 40 Km. / h.
Determine en que razón se van alejando.
La representación grafica nos ayuda a tener una visión may clara del
problema:
Como se observa se tendrá que determinar con el teorema de Pitágoras,
siendo:
502500)40()30( 2222 END Km. / h.
N
E
D
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Cálculo Diferencial CBTis 215 155
Ejercicios:
1. Dada la parábola de ecuación, halla el punto P donde la
tangente es paralela al eje de abscisas.
2. Determine la ecuación de la tangente de la función
) 5 , 2 ( T punto elen 33 xy
3. Determine la ecuación de la tangente, normal, de la
ecuación
y = x3 + 3 x2 – 5 x + 3 en el punto ( 1, 2 )
4. determine en que punto de la curva xxxy 242 la
recta tangente es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante.
5. Determine la ecuación de la tangente de la función
) 2 , (5 M punto elen 5
x
xy
6. Calcula los valores de a para que las tangentes a la curva
187223 xxaaxy en los puntos de abscisas x = 1 y x
= 2 sean paralelas.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 156
7. Calcula la recta tangente a la hipérbola x y = 1 en el
punto de abscisa x = 3
8. Determine la ecuación de la tangente de la función
) 2
1 , (2 S punto elen
1
xy
9. Se da la curva de ecuación x
y1
.Comprueba que el
segmento de la tangente a dicha curva en el punto ( 3 ,
3
1), comprendido entre los ejes de coordenadas, esta
dividido en dos partes iguales por el punto de contacto.
Soluciones:
1.- la derivada es y´= 2 x – 8, si la tangente es paralela al eje de las abscisas será 0 , igualando 2x – 8 = 0 donde x = 4 y el punto es ( 4, -4
).
2. m = 3x2 m = 12 Ecuación (y – 5 ) = 12 ( x – 2 ) , y = 12 x - 19
3. La ecuación de la Tangente es 4 x – y – 2 = 0 La ecuación de la Normal es: x + 4 y – 9 = 0
4. x = 0 , x = 1 / 2
5. m = 5 / x2 = -1 / 5 Ecuación. De la tangente. 5 y + x = 15
6. a = 0 y a = -30 / 4
7. x – 9 y -3 = 0
8. m = -1/4 4y + x = 4
9. m = - 1 / 9 , x + 9 y – 6 = 0
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Cálculo Diferencial CBTis 215 157
4.3. fórmulas de derivación.
reglas de diferenciación
Nos podemos provee de muchas reglas de diferenciación para emplear la definición de límite en la derivada y ser también usadas para
encontrar las derivadas de funciones específicas y eliminar la necesidad de utilizar la definición formal para todas las aplicaciones de la derivada,
algunas de las formulas más comunes se listan aquí:
Si cxf )( , donde c es una constante, luego 0 xf .
Si xgcxf )( , luego xgcxf .
Regla de la suma: Si xhxgxf )( , luego xhxgxf .
Regla de la resta: Si xhxgxf )( , luego xhxgxf .
Regla del producto: Si xhxgxf )( , luego xgxhxhxgxf .
Regla del cociente: Si xh
xgxf )( y 0xh , luego
2)(
xh
xhxgxgxhxf
Regla de la potencia: Si nxxf )( , luego 1 nnxxf .
Ejemplo 3: Encontrar xf si 956 23 xxxf .
xxxxxf 101805263 212
Ejemplo 4: Encontrar y si 53243 2 xxxy .
3218
15961216912
35323443
2
22
2
xx
xxxxx
xxxxy
Ejemplo 5: Encontrar dx
dy si
32
53
x
xy .
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Cálculo Diferencial CBTis 215 158
2
2
2
32
19
32
10696
32
253332
x
x
xx
x
xx
dx
dy
Ejemplo 6: Encontrar xf si 3
5 1
xxxxf .
Como 32
1
5 xxxxf
4
4
42
1
4
3
2
15
32
15
xxx
xxxxf
Ejemplo 7: Encontrar 3f si 382 xxxf .
2
8323
82
f
xxf
Ejemplo 8: Si 2
4
xy , encontrar y para 1,2 .
2
2
2
4
2
4120
x
x
xy
para 1,2 4
1
16
4
22
42
y
Ejemplo 9: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva
2312 xy en el punto 9,1 .
Dado que la pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada,
entonces xy 6 ; por lo que, para 9,1 , 16 y , por lo que la recta
tangente presenta una pendiente de 6 en el punto 9,1 .
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Cálculo Diferencial CBTis 215 159
diferenciación de las funciones trigonométricas
Las seis funciones trigonométricas también tienen fórmulas de
diferenciación que pueden usarse en problemas de aplicación de la derivada. Las reglas se resumen como sigue:
1. Si xsenxf )( , luego xxf cos)(́ .
2. Si xxf cos)( , luego xsenxf )(́ .
3. Si xxf tan)( , luego xxf 2sec)(́ .
4. Si xxf cot)( , luego 2csc)(́ xf .
5. Si xxf sec)( , luego xxxf tansec)(́ .
6. Si xxf csc)( , luego xxxf cotcsc)(́ .
Note que las reglas (3) a (6) pueden demostrarse usando la regla del cociente junto con la función dada expresada en términos de las
funciones seno y coseno, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 10: Use la definición de la función tangente y la regla del
cociente para demostrar si xxf tan)( , luego xxf 2sec)(́ .
xxx
x
x
xsenxsenxxxf
xxf
2
22
22
2
sec cos
1
cos
senxcos
cos
coscos
x cos
xsen tan
Ejemplo 11: Encontrar ´y si xxy cot3 .
xxxx
xxxxy
232
232
csccot3
csccot3
Ejemplo 12: Encontrar
4
f si xxsenxf cos5 .
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Cálculo Diferencial CBTis 215 160
22 2
24
2
2
2
25
2
2
2
25
44cos5
4
cos50cos5
cos5
senf
xsenxxsenxsenxxf
xxsenxf
Ejemplo 13: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva
xseny en el punto
1,
2
.
Porque la pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada, usted
encuentra que xy cos ; luego, en
1,
2
, 0
2cos
y y la recta
tangente tiene la pendiente 0 en el punto
1,
2
. Note que la
interpretación geométrica de este resultado es que la recta tangente es horizontal en este punto de la gráfica de xseny .
Funciones Exponencial y logarítmica.
Ida y Vuelta
Analicemos las siguientes situaciones:
Al parce una persona ante un espejo, ¿Qué se espera que suceda ¿
Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba ¿ Qué se espera que
suceda ¿
Al hacer un prestamo en dinero a un amigo ¿ Qué se espera que suceda
Al jugar un partido de tenis y lanzar la pelota al adversario ¿ Qué se
espera que suceda.
Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las
actividades anteriores, si ésta cumplen con siertas condiciones:
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Cálculo Diferencial CBTis 215 161
La funciòn “g” se llama función inversa de la función “f” y se denota por
1f , como vemos la función “g” invierte la correspondencia dada por la
función “f”, esto siempre y cuando “f “ séa una función uno a uno
(biunívoca) .
Recordemos tambien que si una función continua es siempre creciente o
siempre decreciente, indica que tiene función inversa.
Una función expònencial está definida por y = xe , en base ala definición
de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones xe y ln y
tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos “x” y “y”
de la ecuación x = ln y resulta y = ln x , que se define como función
logaritmica.
Gráficamente las funciones exponencial f(x) = xe y logaritmica G(x) = ln
x = 1f quedan de la siguiente forma:
Dominio Dominio
X X
Rango Rango
Y Y
Y = f (x) x = G (y)
Y es la imagen de x bajo la x es la imagen de Y bajo la función
Funciòn f g
GRAFICA EXPONENCIAL
0
50
100
150
200
0 5 10
VALOR DE X
EX
PO
NE
NC
IAL
GRÁFICA LOGARITMICA
0
2
4
6
0 100 200
VALOR DE X
VA
LO
R
LO
GA
RIT
MIC
O
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Cálculo Diferencial CBTis 215 162
Análogamente si la función exponencial tiene como base a = 10 en lugar
de “e” , basandose en la definicón de logaritmo comun, se transforma
en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de
funciones inversas y si permutamos “ x “ y “ y _” de la ecuación x = log
“ y “ , resilta y = log x , que se define como una función logarítmica su
gràfica es identica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = ex
queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda g(x) = log x = f-1 (x)
FORMULAS DE DERIVACION PARA FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES.
Partiendo de la formula para derivar la funcion ln V , deduciremos las
demas formulas :
¨
dx
dvLnaa
y
a
vDespejando
dx
eentoncesComo
dx
xdxvsi
dx
dv
vv
dx
dv
dx
vd
v
dx
)d(a derivada la seobteniendo aLn a
dv
dy la ,a y como
a,Ln dv
dy aLn
dv
dy )
y
1( : va respectocon miembros ambos deriva
aLn vy Ln ;a y Ln :miemros ambos de logaritmos tomando,y Si .6
x
e log d : entonces x vSi .5
dx
dv
v
e log
dx
vlogd entonces : log.4
dx
dv
v
1
log
vlogd
:e log
vlogln .3
x
1
)(ln; .2.
1ln.1
vvv
vv
7. aLnadx
Si x )d(a
x, vx
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Cálculo Diferencial CBTis 215 163
8. dx
dve
dxSi x
)d(e 1 eLn y e, a
x
9. xx
edx
ed
)(
DERIVA LAS SIGUIENTE SFUNCIONES:
)1( .1 2xLnY solución : 2
2
2
2
1
2)1(
1
1))1(ln(
x
x
dx
xd
xdx
x
dx
dy
2.-
bxdx
dy
dx
bxd
bxLny
3
6
)3(
3
12
dx
b))1d(2Ln(3x
dx
)b)d(Ln(3x
dx
dy : ,solución ) b (3x
22
3.-
2
)2(
2
1
dx
))2d(Ln(ax
dx
dy : ,solución ) 2(ax
ax
a
dx
dy
dx
axd
axLny
4. x
n
x
nx
dx
dy
dx
xdLny
n
nn
n
2
2)2(
2
1
dx
))d(Ln(2x
dx
dy : ,solución ) (2x
1nn
5. xxx eeey 222x
2 2)2(dx
)d(e
dx
dy : ,solución
6. 77)(77dx
)d(7
dx
dy ,solución 7
nx
LnnnLny nxnxnx
7. x
x
x
xx
x e
e
e
eee
ey
22
x 33)0(
dx
)3
d(
dx
dy ,solución
3
8. 222
2)2(e dx
dy ,solución x xx xexey
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Cálculo Diferencial CBTis 215 164
9.- tetedx
edey tsensen
tsentsen 3cos3))3(3(cos
)(
dx
dy ,solución 337
33
10. xexedx
ey xsenxsenxsen 2cos2)2)(2(cos)d(e
dx
dy ,solución 22
sen2x2
HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.
1. a
axLny2
,2
x
2x y sol. )(
2. aLnay x a6x y sol. 22 3x,3
3. 2222 c, e2bx y sol. xxcbey
4. xe- y sol. xcos,cos seney x
5. 12x
2-2x y sol. )12(
2
,2
xxxLny
6. 44x
42x y sol. )44(
2
,2
xxxLny
7. x tg2 y sol. x sec ,2 Lny
8. x)(1x
e log y sol.
1
2 log ,
x
xy
9. 2
xarctg, x
x1
aLn a y sol.
arctgay
10. x
xxy2x
e 2)log-(2x y sol. )2( log
2
,2
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Cálculo Diferencial CBTis 215 165
Analizando la tabla 1 y la gráfica 1, vemos que los valores de “x” crecen
y los valores de “y” también crecen, por lo tanto la función y = x es
CRECIENTE.
En el caso de la tabla 2 y la gráfica 1; vemos que los valores de “x”
crecen y los valores de “y” decrecen, por lo tanto la función y = -x es
DECRECIENTE.
En ambos casos si se amplia el intervalo, las dos funciones siguen
siendo CRECIENTE y DECRECIENTE, respectivamente.
FUNCIÓN CRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x” crecen y
los valores de “y” también crecen.
FUNCIÓN DECRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x”
Ahora analizaremos un intervalo creciente de la función y = x².
y
y = x²
(+) Δy
x
Δx (+)
GRAFICA 3
Sabemos que si “x” crece, “y” crece y los incrementos al pasar del punto
A al punto B, (Δx y Δy) tendrán el mismo signo y las tangentes por
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 166
dichos puntos (A y B) forman ángulos agudos con el eje “x”, por lo tanto
la pendiente de las tangentes es positiva (gráfica 3).
y
(-) Δy
x
Δx (+)
GRAFICA 4
De la misma manera en un intervalo decreciente, sabemos que si “x”
crece, “y” decrece y los incrementos Δx y Δy al pasar de un punto A a
un punto B tendrán signos opuestos y las tangentes por dichos puntos,
forman ángulos obtusos con el eje “x”, por lo tanto su pendiente es
negativa. (grafica 4)
De aquí podemos afirmar que:
Una función es CRECIENTE en un punto dado, si el valor de su primera
derivada es POSITIVO.
Una función es DECRECIENTE en un punto dado, si el valor de la
primera derivada es NEGATIVO.
Regresemos a las funciones y = x² y y = -x² y sustituyamos valores de
“x” donde sabemos de antemano que la función es CRECIENTE o
DECRECIENTE como x = -1 y x = 1
Sea la función:
y = x² y = -x²
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 167
y’ = 2x y’ = -2x
para para
y’ = 2 (-1) y’ = -2 (-1)
y’ = -2 y’ = +2
y’ es negativa y’ es positiva
∴ y = x² es decreciente ∴ y = -x² es
creciente
en en
para para
y’ = 2 (1) y’ =-2 (1)
y’ = 2 y’ = -2
y’ es positiva y’ es
negativa
∴ y = x² es creciente ∴ y = -x² es
decreciente
para para
En general:
Una función es creciente en un intervalo, si para cualquier par de
números x₁, x₂ del intervalo, x₁< x₂, implica ƒ(x₁) < ƒ (x₂).
Una función es decreciente en un intervalo, si para cualquier par de
números x₁, x₂ del intervalo, x₁ < x₂ implica ƒ (x₁) > ƒ (x₂).
x = -1 x = -1
x = -1 x = -1
x = 1 x = 1
x = 1 x = 1
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Cálculo Diferencial CBTis 215 168
4.4. derivadas sucesivas.
MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS.
¡MAS ALTO, MAS BAJO!
Algunas de las aplicaciones más importantes e interesantes del cálculo
diferencial son aquellos problemas en los que se busca la optimización
de las soluciones obtenidas, esto llena inherente los máximos y
mínimos, porque al optimizar un resultado, es en algunos casos
maximizar y en otros minimizar, por ejemplo en el procesamiento de un
producto en una fábrica lo interesante es maximizar la producción o
minimizar costos, o tiempos, o desperdicios del producto. Con este
criterio, en muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de
los datos, la expresión matemática de la función cuyos valores máximos
o mínimos se desean conocer.
Un fabricante de camisas desea construir una caja abierta del mayor
volumen posible para empacar su producto, dispone de hojas de cartón
cuadradas de lado “a”.
Tu ¿qué harías para resolver el problema?
¿Cuántas cajas podrías construir con una hoja de cartón cuadrada de
lado “a”?
¿Si tienes diversas opciones, como obtendrías la de volumen máximo?
De esa hoja de cartón ¿cuál será el desperdicio al lograr el volumen
máximo?
El desperdicio ¿podría ser nulo?
Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso, los
márgenes superiores e inferiores deben tener 2 cm cada uno y los
laterales 1 cm. Se piden las dimensiones de la hoja, para que el gasto
de papel sea mínimo.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 169
¿Qué propones para resolver este problema?
¿Cuál es la información de la que dispones?
¿Se puede establecer una función que nos de la solución?
Problemas como los dos anteriores, que se resolverán más adelante,
consisten en obtener el máximo o el mínimo; en el primero se desea el
volumen máximo, en el segundo, que el gasto de papel sea mínimo.
Como este existen gran variedad de problemas en los que se buscan
maximizar o minimizar ár3eas, volúmenes, tiempos, costos, gastos,
material, velocidades, etc.
En este capitulo aprenderás cómo calcular el máximo o el mínimo de
una función y en el siguiente resolverás problemas de aplicación como
los dos planteados al inicio.
Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos en
que la función es creciente o decreciente, ahora la utilizaremos para
analizar los puntos en que la función para de creciente a decreciente o
viceversa, generando los puntos máximos o mínimos de una función.
Un máximo y un mínimo, no significa que sean el mayor o el menor
valor de la función, por eso se especifica qué son máximos y mínimos
locales o también máximos y mínimos relativos y no deben confundirse
con los puntos cuya ordenada es la mayor o la menor de la gráfica
completa.
Los valores de “x” donde existe un máximo o un mínimo relativo de la
función, se les define como valores críticos y a los puntos
correspondientes se les define como puntos críticos.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 170
Para que exista un máximo relativo la función pasa de creciente a
decreciente, es decir la derivada pasa de un valor positivo a un valor
negativo.
En un mínimo relativo, la función pasa de decreciente a creciente; la
derivada pasa de un valor negativo a un valor positivo: (GRAFICA 1)
y MAXIMO
ABSOLUTO
MAXIMO
RELATIVO
m = 0
m (+) m (-)
a c
x
b 0
d m (-) m
(+) mínimo m = 0
absoluto mínimo relativo
GRAFICA 1
Sea la función y = 2x³ – 9x² + 12x –3, analiza si tiene máximos y/o mínimos.
¿Qué vas a hacer?
¿Conoces su derivada?
¿Conoces sus puntos críticos?
¿Sabes si es creciente o decreciente? ¿En qué intervalos?
Si hay un máximo, ¿en qué punto se localiza?
¿Conoces su gráfica?
La gráfica de la función ¿te ayudaría a resolver el problema?
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 171
¿Conoces algún procedimiento para resolver el problema?
Con los conocimientos previos, escribe un plan de solución para tu
problema, ordenándolos según prioridades.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:
① Se obtiene la primera derivada de la función.
② La primera derivada se iguala a cero y se calculan las raíces reales
de la ecuación resultante, que son los valores críticos de la ecuación.
③ Se obtiene la segunda derivada de la función.
④ Se sustituye en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada
uno de los valores críticos obtenidos; si el valor resultante es positivo,
la función tiene un mínimo para el valor crítico considerado; si el
resultado es negativo, la función tiene un máximo para el valor crítico
considerado, si el valor de la segunda derivada es cero, no podemos
decir si habrá máximo o mínimo o posiblemente ni uno ni otro.
El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda
derivada es igual a CERO o no existe, en tal caso se aplica el
procedimiento de la primera derivada.
Para comprobar los ejemplos desarrollados con el criterio de la primera
derivada, ahora los resolveremos con el criterio de la segunda derivada,
haciendo notar que los pasos ① y ② de ambos criterios son iguales.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 172
Sea la función y = 2x³ - 9x² + 12x – 3, obtener sus máximos y los
mínimos, aplicando el criterio de la segunda derivada.
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION
PLATOS, ANTENAS PARABÓLICAS, FAROS DE LUZ
Hasta este punto hemos manejado términos como creciente,
decreciente, máximo, mínimo, crítico; que desde el punto de vista
matemático hemos definido. Los términos concavidad e inflexión,
presentan ahora y vamos a ver cómo se definen de acuerdo a un
diccionario y compararlos con su definición matemática.
1) De un diccionario obtén la definición de las siguientes palabras:
Creciente:
Decreciente:
Máximo:
Mínimo:
Crítico:
Concavidad:
Inflexión:
2) Busca en un diccionario de sinónimos y antónimos las siguientes
palabras:
Creciente:
Decreciente:
Máximo:
Mínimo:
Crítico:
Concavidad:
Inflexión:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 173
Deduce conclusiones de las actividades 1) y 2) y coméntalas con tus
compañeros.
Dada una curva definida por y = f (x) (gráfica)
Y C
A
B
X
Sabemos que en el punto A la pendiente de la tangente es m = 0, la
pendiente de la tangente a la izquierda de A es positiva y a la derecha
es negativa, por lo tanto la curva en el punto A es cóncava hacia abajo
En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la
tangente a la izquierda de A es negativa y a la derecha es positiva, por
lo tanto la curva en el punto B es cóncava hacia arriba + .
En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la
tangente a la izquierda es positiva y a la derecha también es positiva, es
decir no cambia de signo, sólo cambia el sentido de concavidad, por lo
tanto no existe ni máximo, mínimo, a este punto se le define como
PUNTO DE INFLEXIÓN.
Para calcular el sentido de concavidad de una función sigamos el
proceso de la segunda derivada:
1) Calcular la primera y segunda derivada de la función.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 174
2) Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (puntos
críticos) de la ecuación resultante.
3) Analizamos la segunda derivada; si para un valor menor que la
raíz obtenemos un resultado NEGATIVO la curva es CÓNCAVA
HACIA ABAJO
- . Si el resultado es POSITIVO, la curva es CÓNCAVA
HACIA
ARRIBA.
Dicho de otra manera:
Si f” (x) > 0, es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA
ARRIBA +
Si f” (x) < 0; es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA
ABAJO
Para determinar los puntos de inflexión de una CURVA se sigue el mismo
proceso anterior, sólo que el punto tres tiene una variación:
1) Calcular la primera y segunda derivada de la función.
2) Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (punto
crítico) de la ecuación resultante.
3) Analizamos la segunda derivada. Si para un valor menor que la
raíz y para otro valor mayor que la raíz cambia de signo al
sustituir los valores en la segunda derivada, entonces hay punto
de inflexión en el punto crítico analizado.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 175
4.5. comportamiento de la derivada.
APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA
En esta unidad hablaremos de la primera derivada para analizar el
comportamiento de familias de funciones.
Se determinará a partir de los puntos críticos, los máximos y mínimos
de una función, aplicando el método de la primera y segunda derivada y
con ellos revolveremos problemas del campo de optimización.
USO DE LA PRIMERA DERIVADA.
¿Porque es útil saber donde una función es creciente o decreciente?
Cuando se grafica una función en una computadora o calculadora de
gráficas, sólo se observa parte de la figura. En cambio la derivada,
puede muchas veces dirigir nuestra atención a características
importantes de la gráfica ya que con ella podemos trazar la grafica de
una forma mas completa.
PUNTOS CRITICOS.
Para cualquier función f, un punto p en el dominio de f en donde f ‘(x)=
0 ó f ‘(x) no está definida se llama punto crítico de la función. Además,
el Punto (x, f(x)) en la gráfica de f también se llama punto crítico. Un
valor crítico de f es el valor f(x) de la función en un punto crítico p.
¿QUÉ INDICAN LOS PUNTOS CRITICOS?
Geométricamente, en un punto crítico donde f ‘(x) = 0, la recta
tangente a la gráfica de f en x es horizontal. En un punto crítico donde f
‘ (x) no está definido, no hay tangente horizontal a la gráfica, es decir, ó
la tangente es vertical ó no existe en absoluto.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 176
Una función puede tener cualquier número de puntos críticos o ninguno
(ver figuras)
Los puntos
donde f ‘ (x) = 0 ( ó donde no está definida) dividen el dominio de f en
intervalos en los que el signo de la derivada permanece igual, ya sea
positivo o negativo. Por lo tanto, entre dos puntos críticos sucesivos la
gráfica de una función no puede cambiar de dirección; ó sube ó baja.
MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES.
¿Qué le pasa a una función cerca del punto crítico donde f ‘(x) = 0? Si f’
tiene signos diferentes en cualquier lado de p entonces la gráfica cambia
de dirección.
¿CÓMO SABER CUALES PUNTOS CRITICOS SON MAXIMOS Y MINIMOS
LOCALES?
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 177
Prueba de la primera derivada para máximos y mínimos locales:
Si p es un punto crítico en el dominio de f, y si f ‘ , cambia signo en
un entorno de p, entonces f tiene ya sea un mínimo local o un
máximo local en p.
Si f ‘ es negativa a la izquierda de p y positiva a la
derecha de p, entonces f tiene un mínimo local en p.
Si f ‘ es positiva a la izquierda de p y negativa a la
derecha de p, entonces f tiene un máximo local en p.
EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen
No olvides los pasos a seguir :
1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide.
2. Realiza el dibujo.
3. Construye el modelo.
4. Calcula máximos y mínimos.
Y analizar las siguientes cuestiones:
a) ¿ Qué es lo que te pide el problema?
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 178
b) ¿Cuáles son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja?(
puedes utilizar incógnitas)
c) ¿Cuál es la ecuación de la que se va a obtener el máximo ó
mínimo?
d) Deriva la función del inciso anterior. ¿Cuáles son los puntos
críticos?
e) De acuerdo a los puntos críticos qué valor corresponde al
máximo (de ser necesario utiliza el criterio de la segunda
derivada).
PONIENDO EN PRACTICA LOS CONOCIMIENTOS
Usa los conceptos matemáticos aprendidos para efectuar una o todas las
actividades siguientes:
Diseño de una caja de cartón de máximo volumen sin tapa.
Cartulina de 20 cm. X 20 cm.
Tijeras
Regla
Escuadras
Calculadora
Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo
Cinta adhesiva (masking- tape)
En esta actividad, examinamos la variación de
volumen que se tiene al construir varias cajas, a
pesar de que se cuente con el mismo tamaño del
material. Hacemos una determinada cantidad de
cajas de distintos tamaños. Después,
determinamos el volumen de cada caja.
Materiales :
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 179
a) Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm.
Recorta cuadros en las esquinas como se
muestra en la siguiente figura; después de que
tu profesor asigne las medidas de “x” a cada
equipo.
b) Las medidas de “x” para los seis equipos
distintos, asignando una medida a cada equipo
son: 2.5 cm., 2.8 cm., 3 cm., 3.3 cm., 3.5
cm., y 3.8 cm.
c) Haga los dobleces necesarios para formar la
caja como lo muestra la siguiente figura:
d) Cada equipo que tome los siguientes datos de
las distintas cajas y que realice las operaciones
pertinentes en su calculadora.
PROCEDIMIENTO :
AREA VOL.
EQUIPO L A h L X A AREA X h
1
2
3
4
5
6
A
L
h
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 180
a) Determina el área de la base como lo indica la
tabla en la columna 5 y anótalo.
b) Determina el volumen del paralelepípedo
como lo indica la columna 6 de la tabla y
anótalo.
c) ¿Cómo se comparan los datos de tu grupo con
los datos obtenidos por los otros
grupos?(compara las áreas y volúmenes con
la de los otros).
d) Deriva la función del volumen
V = x (20 – 2x)2
e) Iguala dx
dv con cero
f) Obtén el valor de “x” en dx
dv = 0
g) ¿Qué valor de “x” en la tabla se aproxima más
con la “x” determinada en el inciso (f)?
Coméntalo con tu grupo.
h) Comenta con tus compañeros qué método
ocuparías si te asignan un trabajo similar al
de la práctica.
i) Al estar trabajando en una empresa que se
dedique al diseño de envases ¿Crees que te
permitirían desperdiciar material?
j) ¿Qué dimensiones tiene la caja de máximo
volumen?
k) El valor que se debe aproximar más, es el de
la caja de x = 3.3 cm., puede pedir a los
alumnos que verifiquen experimentalmente
los volúmenes, reforzando las cajas con tela
CALCULOS :
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 181
adhesiva para que no se deforme y midiendo
el agua antes de llenar las cajas.
l) Los métodos que hay son con: aritmética,
álgebra, gráficamente y con cálculo
diferencial, posiblemente se inclinen por el
método de cálculo diferencial, debido a que se
pierde menos tiempo y no se desperdicia
material como en el ensayo de prueba y error.
m) En una empresa y en nuestra vida
cotidiana, a nadie le gusta desperdiciar,
incluso ni en experimentos.
n) Altura = 33
1 cm 3.3 cm.
Largo = ancho = 13 3
1 cm. 13.3 cm.
EJEMPLO 2 . Altura máxima alcanzada por una toronja
Una toronja es lanzada en línea recta hacia arriba a una velocidad inicial
de 100 pies/seg. Su altura en el tiempo t está dada por y = -16 t 2 +
100 t + 6 ¿A qué altura llega antes de regresar al suelo?. Si desea
llevar al máximo la altura de la toronja sobre el suelo. Ya sabes que
usando la derivada se puede encontrar exactamente cuándo la toronja
está en su punto más alto. Por sentido común, en la parte más alta la
velocidad dt
dy debe ser cero. Alternativamente se busca un máximo, así
que se tratan de encontrar puntos críticos donde y’ = 0. Se tiene:
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 182
y = -16 t 2 + 100 t + 6
dt
dy = -32t + 100 = 0
y así t = 32
100 = 3.125 seg.
Por lo tanto, se obtiene el tiempo en el que la altura es máxima; el
valor máximo de y es entonces:
y = -16 (3.125) 2 + 100 (3.125) + 6 = 162.25 pies
¿Será necesario comprobar analíticamente que en el punto crítico hay
un máximo?
OPTIMIZACION
Dado que el mundo está lleno de problemas, tanto en la industria, la
ingeniería, el comercio y cualquier otra área que requiera de poder
calcular aquellos valores que les permitan determinar ganancias
máximas o mínimos costos, menor cantidad de material para máximos
volúmenes etc., es en donde se vuelven importantes los procesos de
LANZAMIENTO DE UNA TORONJA
0
50
100
150
200
0 2 4 6 8
TIEMPO
AL
TU
RA
Altura máxima
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 183
optimización y donde el calculo diferencial toma un papel relevante en la
determinación de estos valores a partir de uno de sus conceptos mas
importante que es el de la derivada en la obtención de máximos y
mínimos a partir de una función.
Pasos a seguir para resolver problemas de optimización:
Lee el problema hasta comprender lo que se pide.
Realiza uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se
relacionan los elementos que varían.
Construye el modelo (ecuación) de la situación del problema,
para lo cual consideras lo que se desea que sea máximo o
mínimo, como pueden ser áreas, volúmenes, costos,
dimensiones, etc. y exprésalo en términos de una sola variable,
utilizando los datos proporcionados.
Calcula los máximos y mínimos por el método que desees y
resuelve el problema.
EJEMPLO 1: Determinación de las dimensiones de una lata.
¿Cuáles son las dimensiones de una lata de aluminio con capacidad de
64 cm3 de jugo, que utilice el mínimo de material (es decir, aluminio)?.
La lata es cilíndrica y con tapa en ambos extremos.
Este problema lo puedes resolver por medio de ensayo y error, pero
otra manera de resolverlo es utilizando máximos y mínimos. Para
realizar esto, es necesario elaborar un modelo matemático de la
cantidad de material a usar (área de aluminio)
Elaborando un dibujo de la situación, para calcular el área de aluminio
se descompone la lata, considerando las tapas y el cuerpo del cilindro.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 184
El área de cada tapa es r 2 y la del cuerpo del cilindro es 2 r h
construyendo el modelo (ecuación).
A TOTAL = área de las tapas + área cilindro
A TOTAL = 2 r 2 + 2 r h
Dado que la ecuación está en términos de dos variables h (altura), r
(radio) es necesario expresarla en términos de una sola variable, para lo
cual es necesario recurrir al volumen dado del cilindro
V CILINDRO = r 2 h
Como conocemos que V = 64 cm 3 sustituyendo en ecuación anterior:
64 = r 2 h
Despejamos la h (altura) resultando:
h = 2r
64
Sustituyendo en A TOTAL queda:
A TOTAL = 2 r 2 + 2 r
2r
64
Simplificando términos
A = 2 r h
A = r2
A = r2
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Cálculo Diferencial CBTis 215 185
A TOTAL = 2 r 2 + r
128
Calculando d A TOTAL obtenemos:
d r
d A TOTAL = 4 R – 128
d r r 2
Utilizando el criterio de la segunda derivada para obtener máximos y mínimos:
Igualando la derivada a cero se obtienen los valores críticos:
4 r – 128 = 0
r 2
Despejando r:
r 3 = 4
128
3
4
128r
r = 2.16cm.
Calculando la segunda derivada
A’’ TOTAL = 4 + 2r
256
Sustituyendo valor crítico r = 2.16 cm.
A’’ TOTAL = 37.96
Como el signo de la segunda derivada es positivo el valor crítico es el
mínimo.
Cómo r = 2.16 cm. Sustituyendo en h =64/ (2.16) 2
h = 4.36 cm.
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 186
Por lo tanto las dimensiones de la lata para tener la cantidad mínima de
material son:
r = 2.16 cm. y h = 4.36 cm.
EJEMPLO 2: Un problema económico
Una fabrica contrata a una empresa de autobuses para el traslado de
sus trabajadores, convienen en pagar $120.00 por trabajador, si hay un
mínimo de 50 personas y se comprometen a disminuir $1.00 por cada
persona que exceda de 50. ¿Cuál es el numero de trabajadores que
proporcionara el máximo ingreso a la empresa del transporte?
1. Si analizamos el enunciado del problema observaremos que por cada
unidad que se aumente a 50 que es el numero de trabajadores mínimo,
se reducirá en $1.00 el costo del transporte por lo tanto la formula para
calcular el Ingreso de la empresa seria:
I = (50 + x) (120 – x)
La cual representaría a nuestra función de ingreso
2. Aplicando la formula para derivar un producto y determinar los
valores críticos tenemos:
I = (50 + x) (120 – x)
I ‘ = (1) (120 – x) + (50 + x) ( -1)
I ‘ = 120 – x – 50 – x
I ‘ = -2x + 70
Igualando la derivada a cero y despejando la variable para obtener el
valor critico tenemos:
-2x + 70 = 0
2
70
x
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 187
x = 35 (valor critico que representa un máximo)
3. Sustituyendo en la formula del ingreso tendríamos:
I = (50 + 35) (120 – 35)
I = (85) (85)
I = $7,225.00
Por lo tanto el numero máximo de trabajadores para que las ganancias
sean máximas es de: 85
Para reforzar lo aprendido se te recomienda resolver los problemas que
a continuación se plantean, verifica tus resultados con la respuesta
incluida en cada uno de ellos.
1. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso, los
márgenes superior e inferior deben ser de 2cm cada uno y el
izquierdo y derecho de 1cm. ¿Cuáles serán las dimensiones de la
hoja para las que el gasto de papel sea mínimo?.
Sustituyendo en la derivada con valores
menores y mayores tenemos:
Con un valor menor (34):
-2(34) + 70 = 2 -------- f ’(34) = +
Con un valor mayor (36):
-2(36) + 70 = - 2 ------ f ’(36) = -
34 36 35
f ’(34) =
+ f ’(36) = -
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 188
R.- Ancho = 5
Largo = 10
2. Un propietario puede rentar sus 40 apartamentos a $5,000.00
mensuales cada uno, el dueño de los apartamentos observa que por
cada $250.00 de aumento en la renta, se renta un apartamento
menos. ¿Qué renta debe cobrar y cuantos apartamentos debe rentar
para obtener máximas ganancias?
R.- Debe rentar 30 apartamentos a un costo de $7,500.00 cada uno
para obtener máximas ganancias.
3. Dada una lamina rectangular de longitudes 2 y 1 m,
respectivamente, calcula las dimensiones de la caja abierta que se
puede formar con ella cortando en las cuatro esquinas un cuadro
para que el volumen sea máximo.
R.- 6
33
4. Una bala disparada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de t
segundos la altura h = 500t – 5t2 metros. ¿Cuál será la altura
máxima que pueda alcanzar?
R.- 12,500 mts
5. Un fabricante español de televisores observa que puede vender 50
televisores a 20,000.00 pts. cada uno y que por cada aparato que
fabrique de mas el precio bajara 300.00 pts. ¿Cuántos televisores
debe fabricar para obtener el máximo ingreso?
R.- x = 8.3 8, Televisores = 58
Ing. Armando Castillo Nieves
Cálculo Diferencial CBTis 215 189
6. El costo de combustible que consume una locomotora es
proporcional al cuadrado de la velocidad y tiene un costo de
1,600.00 pts. por hora cuando la velocidad es de 40 km/h.
Independientemente de la velocidad el costo por hora se incrementa
por diferentes causas en 3,600.00 pts. por hora. Calcular la
velocidad a la que debe ir la locomotora para que el costo por
kilómetro sea mínimo.
R.- V = 60 km/h
7. Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de 6400cm3
para que resulte más económica, teniendo en cuenta que el precio
del costo de la base es de $75.00 y el de las superficies laterales de
$25.00 por cm2.
R.- Dimensiones = 20 x 22 x 16
8. Hallar dos números cuya suma sea 120 y que el producto de uno de
ellos por el cuadrado del otro sea máximo
R.- n1 = 80 n2 = 40
9. En una pared rectangular de 18m2 de un museo, se quiere realizar
una pintura rectangular que diste del techo y del piso .75m y de las
paredes izquierda y derecha .5m ¿cuáles son las medidas de la pared
para que el área de la pintura sea máxima?
R.- mx 321 mx 33
2