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Cálculo Diferencial
FUNCIONES DE VARIABLE REAL
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce,
interpreta y aplica la función de una variable real para modelar
problemas de las Ciencias Básicas.
ESQUEMA DE LA CLASE
FUNCIONES
DEFINICIÓN
y=f(x)
Regla de correspondencia.
Entrada, salida.
Salida única para cada entrada
DOMINIO Y RANGO
Variable independiente (x)
Variable dependiente (y)
GRÁFICA
Plano cartesiano
Regla de la recta vertical
Tabulación.
Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura
del árbol está relacionada con la edad
por la función a:a(edad) = edad × 20
Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm
CONCEPTO DE LA FUNCIÓN
Una función relaciona una entrada con una salida. Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200
EJEMPLO
La función es un tipo de relación que expresa que una
cantidad (la salida) depende de otra (la entrada).
Al invertir dinero a una tasa de interés, el interés I (salida)
depende del tiempo t (entrada) en que el dinero este invertido.
Entonces, I es una función de t.
Las funciones en general se indican con una fórmula que muestra
lo que se hace con la entrada para hallar la salida.
Me hago rico
REGLA DE CORRESPONDENCIA
Si S/.100 gana un interés simple a una tasa anual del 12%, el interés y el
tiempo están relacionados por la fórmula I =100(0,12)t (1)
donde I está en soles y t en años.
Dado t=0,5 entonces I =100(0,12)(0,5)=6
Así la formula (1) asigna a la entrada 0,5 la salida 3.
La formula (1) es una regla que asigna a cada número de entrada t
exactamente un número de salida I
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN
Una función relaciona cada elemento de un conjunto con
exactamente un elemento de otro conjunto. (Conjuntos de
números Reales).
Se vuelve operativo con una regla de correspondencia que
asigna a cada número de entrada un único número de salida.
Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la
regla se llama el dominio de la función.
Al conjunto de números de salida se llama rango.
9
NOTACIÓN FUNCIONAL
Si decidimos llamar f a una función y x es una de las
entradas en el dominio de f, entonces f (x), que se lee “f
de x”, representara el numero de salida en el rango de f
que corresponde a la entrada x.
f ( x )
Entrada
Salida
Nombre de
la función
10
Es el conjunto de los números Reales para los cuales la
variable independiente está definida.
f (x) 5x 15 5x 15 0 x 3 Do min io 3,
4
h(x) 3x 18 0 x 6 Do min io x R / x 03x 18
DETERMINACIÓN DEL DOMINIO
El dominio es el conjunto de todos los reales excepto en las funciones:
1. Racionales. Se eliminan los valores para los cuales el denominador es cero.
2. Irracionales. En índice par de la raíz la cantidad sub radical no
puede ser negativa.
11
El método más común para visualizar una función es su gráfica
en el plano cartesiano en el caso de funciones de una variable
real.
Por definición la grafica de una función f es la grafica de la
ecuación y=f (x) para x en el dominio de f.
Criterios para gráficas:
1. Puntos de corte con los ejes.
2. Simetrías con los ejes y con el centro
3. Extensión y tabulaciones.
GRÁFICAS DE FUNCIONES
12
La grafica muestra el comportamiento de una función.
La coordenada y de un punto (x;y) de la gráfica es f(x) y se lee
en la gráfica, como la altura dirigida de ésta última a partir del
punto x.
La gráfica también permite tener una imagen del dominio y del
rango.
x
y
f (1)
f (2)
f (x)
(x,f (x))
1 2x0
Comportamiento de la función
13
“Toda recta vertical corta a la grafica de una función a lo mas
en un punto”.
x
y
a
(a,b)
x
y
a
(a,b)
(a,c)
Es gráfica de una función No es grafica de una función
PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL
14
Una compañía de seguros examinó el registro de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de quienes habían sido dados de alta al final de t días de hospitalización está dada por:
3
300
3001)(
ttf
¿Cuántos días después se habrá dado de alta al 99% del grupo?
EJERCICIO RETO
a)1200 b)980 c)42 d)1093 e)1500
Muchas gracias!
“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.”
Hipatía