CALCULO MECANICO DE UNA LINEA DE
TRANSMISION ELECTRICA
POR: FLORES CASTILLO ARMANDO GOMEZ CORONADO LINDA YAIRA MARTINEZ
CATAO LUIS YESCAS APARICIO ELVIS 7291AV INGENIERIA ELECTROMECANICA
MATERIA: SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA
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INDICE Caratula.1 Indice.2 Objetivos Introduccion.3 Desarrollo
Bibliografia.
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OBJETIVOS DETERMINAR LOS ESFUERZOS A QUE ESTN SOMETIDOS LOS
CONDUCTORES TENSIONES TRANSMITIDAS A LAS ESTRUCTURAS DE APOYO
DETERMINAR LAS FLECHAS MXIMAS O DISTANCIAS DE SEGURIDAD
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INTRODUCCIN
CONDUCTORES PARA LINEAS AEREAS Se llama lnea area la instalacin
cuya finalidad es la transmisin area de energa elctrica, esto se
realiza con elementos de conduccin y elementos de soporte. Los
soportes estn formados por: - postes, - fundaciones, puesta a
tierra, la conduccin con: conductores, aisladores, - accesorios
(morseteria). Todos los elementos constructivos de una lnea area
deben ser elegidos, conformados, y construidos de manera que tengan
un comportamiento seguro en condiciones de servicio, bajo las
condiciones climticas que normalmente es dado esperar, bajo
tensiones de rgimen, bajo corriente de rgimen, y bajo las
solicitaciones de cortocircuito esperables.
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METALES CONDUCTORES En la construccin de lneas areas de
transmisin de energa elctrica, se utilizan casi exclusivamente
conductores metlicos desnudos, que se obtienen mediante cableado de
hilos metlicos (alambres) alrededor de un hilo central. Los metales
utilizados en la construccin de lneas areas deben poseer tres
caractersticas principales: 1) presentar una baja resistencia
elctrica, y bajas prdidas Joule en consecuencia. 2) presentar
elevada resistencia mecnica, de manera de ofrecer una elevada
resistencia a los esfuerzos permanentes o accidentales. 3) costo
limitado. Los metales que satisfacen estas condiciones son
relativamente escasos, a saber: * cobre * aluminio * aleacin de
aluminio * combinacin de metales (aluminio acero) Conviene para
cada caso particular investigar el metal ms ventajoso, teniendo en
cuenta las observaciones generales que siguen.
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* El conductor cableado puede realizarse con hilos del mismo
metal, o de distintos metales, segn cuales sean las caractersticas
mecnicas y elctricas deseadas. * Si los hilos son del mismo
dimetro, la formacin obedece a la siguiente ley: nh = 3 c^2 + 3 c +
1 siendo: nh = nmero de hilos; c = nmero de capas Por lo tanto es
comn encontrar formaciones de 7, 19, 37, 61, 91 hilos,
respectivamente 1 a 5 capas. En transmisin de energa elctrica los
materiales utilizados son cobre, aluminio y aleacin de aluminio,
pudiendo afirmarse que prcticamente no se utilizan otros
materiales. Pese a la menor resistencia elctrica y superiores
aptitudes mecnicas el cobre ha dejado de ser utilizado en la
construccin de lneas areas, esto es especialmente notado en alta y
muy alta tensin.
EL ALUMINIO El aluminio es el material que se ha impuesto como
conductor de lneas areas habiendo sido superadas por la tcnica las
desventajas que se le notaban respecto del cobre, adems ayudado por
un precio sensiblemente menor, y por las ventajas del menor peso
para igual capacidad de transporte. Los conductores en base a
aluminio utilizados en la construccin de lneas areas se presentan
en las siguientes formas:Pgina 6
cables homogneos de aluminio puro (AAC) cables homogneos de
aleacin de aluminio (AAAC) cables mixtos aluminio acero (ACSR)
cables mixtos aleacin de aluminio acero cables aislados con neutro
portante (cables preensamblados) Independientemente de las
caractersticas elctricas y mecnicas que conducen a la eleccin de un
tipo de conductor u otro, cuyas ventajas o desventajas comentaremos
mas adelante, no se deben perder nunca de vista los principios
bsicos de uso de este tipo de material, a saber: 1) los conductores
de aluminio se utilizan siempre en forma de hilos cableados, debido
a que poseen mejor resistencia a las vibraciones que los
conductores de un nico alambre. 2) la dureza superficial de los
conductores de aluminio es sensiblemente menor que para los de
cobre, se los debe manipular con cuidado, adems los hilos que
componen el conductor deben ser de 2 mm de dimetro o mas, para que
especialmente en las operaciones de tendido no se arriesguen daos
graves. 3) expuestos a la intemperie se recubren rpidamente de una
capa protectora de xido insoluble y que protege al conductor contra
la accin de los agentes exteriores. Pese a esto deber prestarse
atencin cuando hay ciertos materiales en suspensin en la atmsfera,
zonas de caleras, cementeras, etc. exigen seleccionar una aleacin
adecuada.Pgina 7
4) ciertos suelos naturales atacan al aluminio en distintas
formas, por lo que no es aconsejable utilizarlo para la puesta a
tierra de las torres, al menos cuando se ignoran las reacciones que
el suelo puede producir. 5) el aire marino tiene una accin de
ataque muy lenta sobre el aluminio, de todos modos numerosas lneas
construidas en la vecindad del mar han demostrado ptimo
comportamiento, en estos casos se deben extremar las precauciones
en lo que respecta al acierto en la eleccin de la aleacin y su buen
estado superficial, en general el ataque ser mas lento cuanto menos
defectos superficiales haya. Los defectos superficiales son punto
de partida de ataques locales que pueden producir daos importantes,
si no se presentan entalladuras o rebabas (que pueden ser causadas
por roces durante el montaje) los hilos sern menos sensibles al
ataque exterior. 6) el aluminio es electronegativo en relacin a la
mayora de los metales que se utilizan en las construcciones de
lneas, y por esto se debe tener especial cuidado en las uniones. 7)
la temperatura de fusin del aluminio es 660 grados C (mientras el
cobre funde a 1083 grados C) por lo tanto los conductores de
aluminio son mas sensibles a los arcos elctricos.
TIPOS DE CONDUCTORESHaremos ahora algunos comentarios ligados al
material del conductor. 1) Conductores HOMOGENEOS de ALUMINIOPgina
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El aluminio es, despus del cobre, el metal industrial de mayor
conductividad elctrica. Esta se reduce muy rpidamente con la
presencia de impurezas en el metal. Lo mismo ocurre para el cobre,
por lo tanto para la fabricacin de conductores se utilizan metales
con un ttulo no inferior al 99.7 %, condicin esta que tambin
asegura resistencia y proteccin de la corrosin. 2) Conductores
HOMOGENEOS de ALEACION de ALUMINIO Se han puesto a punto aleaciones
especiales para conductores elctricos. Contienen pequeas cantidades
de silicio y magnesio (0.5 0.6 % aproximadamente) y gracias a una
combinacin de tratamientos trmicos y mecnicos adquieren una carga
de ruptura que duplica la del aluminio (hacindolos comparables al
aluminio con alma de acero), perdiendo solamente un 15 % de
conductividad (respecto del metal puro). 3) Conductores MIXTOS de
ALUMINIO ACERO Estos cables se componen de un alma de acero
galvanizado recubierto de una o varias capas de alambres de
aluminio puro. El alma de acero asigna solamente resistencia
mecnica del cable, y no es tenida en cuenta en el clculo elctrico
del conductor. Tambin se realizan conductores mixtos de aleacin de
aluminio acero, lgicamente tienen caractersticas mecnicas
superiores, y se utilizan para vanos muy grandes o para zonas de
montaa con importantes sobrecargas de hielo.
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CARACTERISTICAS MECANICASLos valores que caracterizan el
comportamiento mecnico del cable son el mdulo de elasticidad (E) y
el coeficiente de dilatacin lineal (alfa), este ltimo al disminuir
la temperatura influye reduciendo la longitud del conductor y
aumentando el tiro, su solicitacin mecnica. En cables mixtos
interesa encontrar valores equivalentes a un conductor ideal
homogneo: Ecable = (Sac Eac + Sal Eal) / (Sac + Sal) alfacable =
(alfaac Sac Eac + alfaal Sal Eal)/(Sac Eac + Sa Eal) El valor de la
carga de rotura nominal de un conductor mixto aluminio acero esta
dada por: Rcable = (Rac + 4.8) Sac + (Ral + 0.98) Sal Siendo Rac y
Ral las cargas de rotura de los hilos correspondientes, para
aleacin de aluminio acero en cambio: Rcable = 0.9 (Rc + 8.8) Sac +
Raleac Saleac
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CURVA DE EQUILIBRIO Hilo homogneo flexible y extensible
Suspendido libremente de sus extremos Sometido slo a esfuerzos
proporcionales a su longitud
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CURVA DE EQUILIBRIO
Vano (a) Distancia horizontal entre dos apoyos consecutivos
Flecha (f) Distancia vertical mxima entre la curva de equilibrio y
la recta imaginaria que une los dos apoyos Curva de equilibrio
Curva compleja
Hiptesis de hilo no extensible Aproximacin mediante
catenaria
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DEFINICIONES
Peso unitario del cable (kg/m) T Tensin mecnica total en un
punto (kg) Tx Componente horizontal de T (kg) Ty Componente
vertical de T (kg) l Longitud del cable entre un punto y el vrtice
de la curva (m) L Longitud total del cable (m)
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Ty
=
l
Curva en equilibrio T es constante en toda la curvax
DESARROLLO
Advertencia preliminar.
El estudio -de la catenaria no tiene ms fin que el hallar las
propiedades de esta curva, en cuanto puedan ser tiles en los casos
usuales. El desarrolloPgina 14
en serie de las frmulas obtenidas permite la sustitucin de las
frmulas trascendentes por otras algbricas cuyo grado de aproximacin
es muy suficiente en todos los casos. Los vanos oblicuos se reducen
a vanos con apoyos a nivel, ya que el desarrollo, flecha y tensin
de estos ltimos resultan ser proyecciones del vano oblicuo. Las
variaciones producidas por cambio de rgimen se estudian as ms
fcilmente, y las frmulas deducidas se exponen de manera que deje a
las claras la influencia de las variaciones trmicas y elsticas. El
tomar como unidad de longitud la luz horizontal del vano hace ms
cmodos los clculos y permite resolver el problema de los cambios de
rgimen con un diagrama de tamao aceptable, que se presta a tanteos
y comprobaciones. Por ltimo, dedicamos unos prrafos al curioso
problema de los apoyos flexibles o deslizantes.
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I. La catenaria. 1. Ecuacin de la catenaria. La catenaria es la
forma de equilibrio d* un hilo perfectamente, flexible e
inextensible suspendido en dos puntos fijos y sometido a la accin
de su peso propio, que es uniforme por unidad de longitud.
Designemos por p el peso del hilo por unidad de longitud, y por f
el ngulo que la tangente a la catenara forma con el eje de las X.
Un elemento cualquiera infinitsimo, ds, est en equilibrio bajo la
accin de su propio peso, p. ds, y las tensiones en sus extremos.
Los ejes coordenados estn situados en el plano vertical que pasa
por los puntos de amarre, el de las X es horizontal, y el de 'las
Y. vertical. Expresando que la suma de proyecciones de las tres
fuerzas sobre los ejes es nula, tendremos : ( ( ) ) ( ) )
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que,, despreciando infinitsimos de segundo orden, pueden ser
puestas en la forma: ( ( Y ) )
X Figura 1 La integracin de estas ecuaciones y la eliminacin de
T entre ambas nos dar la ecuacin buscada. De la primera de ellas se
deduce :
siendo p el peso del hilo, y a, una longitud arbitraria. Sacando
de esta expresin el valor de T y llevndolo a la segunda,
tendremos:Pgina 17
( y como catenaria ser: ( )
) , la ecuacin diferencial de la
(
)
que escrita en la forma: da por integracin Sin constante de
integracin, porque tomamos como eje de las Y la vertical que pasa
por el punto ms bajo (y = o para x = o). La integracin de esta
ltima ecuacin da: (1) haciendo nula la constante de integracin, lo
cual equivale a situar el eje de las X a la distancia a por debajo
del vrtice. La magnitud o, que es una longitud, es el parmetro de
la catenaria.Pgina 18
La ecuacin [1] es independiente, de p. Por lo tanto, la forma de
equilibrio del hilo es independiente de su peso. La catenaria
ofrece dos particularidades que nos interesan para este estudio:
1.a La componente horizontal- de la tensin es constante, como se
deduce de la primera ecuacin de equilibrio. Su valor es p.a,o sea
el peso de una longitud de hilo igual al parmetro. 2.a Integrando
la primera ecuacin diferencial:
(
)
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que demuestra que la tensin en un punto malquiera es igual al
peso de una longitud de hilo igual a la ordenada. Adems de estas
propiedades, cuyo conocimiento es til 'en los clculos que siguen,
podemos aadir que la catenaria, que se identifica con la
cosinusoide hiperblica, es simtrica respecto al eje vertical y
queda determinada por tres condiciones, puesto que disponemos de
tres constantes arbitrarias que son: el parmetro a, la distancia
del eje de simetra al eje de las V , y, por ltimo, la del vrtice al
eje de las X. La longitud del desarrollo del arco, a partir del
punt ms bajo, viene dada por:
2. Posiciones del eje y del vrtice. Supongamos determinada la
catenaria por los dos puntos de amarre y la longitud de su
desarrollo.Pgina 20
Designemos por d, el desarrollo ; por L, la luz horizontal del
vano, y por h, el desnivel entre los puntos de amarre. Si llamamos
z la distancia del vrtice a la vertical del amarre inferior (z es
positiva cuando el vrtice cae dentro del vano), tendremos: ) O
bien, haciendo (2) ( ) (
Es cmodo sustituir las magnitudes lineales por su relacin a la
luz, L (horizontal), del vano, haciendo , etc., y escribir:
(2)
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Hallemos ahora las expresiones de la suma y diferencia de las
ordenadas extremas ys e y :
(
)
Restando el cuadrado de esta ecuacin del cuadrado de la [2]
eliminamos y tendremos :
que, dividida por L 2 y extrayendo la raz cuadrada, da:
(3)
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Sustituyendo en la expresin de la suma de ordenadas Ch por su
valor sacado de [2], obtenemos:
(4)
La ecuacin [3], resuelta por tanteos, nos da el valor de 4?, y
la [4], la distancia del eje de las X al punto medio de la cuerda.
Por ltimo, eliminando por divisin $- entre las expresiones del
desarrollo y de 1a diferencia de or denadas: ( ) (5)
de la cual se deduos inmediatamente la distancia del vrtice a la
vertical del amarre inferior :
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Estas relaciones expresan todo lo necesario para definir la
catenaria y su posicin. En cuanto a la significacin de la primera
de estas cantidades representa la semiluz del vano, tomando como
unidad el parmetro de la catenaria. Su valor es independiente del
desnivel de los apoyos. El valor de interviene cuando los apoyos se
encuentran a diferente nivel y define las distancias entre los ejes
del vano y de la catenaria. Si en la ecuacin [3] desarrollamos en
serie el valor de Sh del segundo miembro, vale:
Esta expresin es necesariamente mayor que la unidad y, por lo
tanto, d 2 > L2 + h2 = cz , como es evidente,Pgina 24
porque el desarrollo ha de ser mayor que la cuerda IS. A medida
que decrece el desarrollo decrece tambin el valor de = L/2 a, o sea
que aumenta a y todas las tensiones en el vano. El examen de las
ecuaciones [4] y [5] hace ver que, cuando d tiende a su valor
mnimo, el eje de las X se aleja del punto medio de la cuerda, y el
eje de simetra^ de la catenaria del amarre superior. La posicin ms
prxima que el vrtice puede alcanzar respecto del amarre superior es
el punto medio de la luz, y como a no puede ser nulo, esto
solamente puede ocurrir cuando los apoyos estn a nivel. 3. Es
problema frecuente en la prctica la determinacin de una catenaria
definida por los dos puntos de amarre y la tensin mxima, o sea la
del amarre superior. El producto de la carga de trabajo por la
seccin m del hilo, nos da la tensin total, y el cociente de esta
tensin total por el peso unitario, la longitud tic la ordenada y,
del amarre superior. Eliminando d entre [3] y [4], tenemos: ( )
(6)Pgina 25
que da el valor de * por tanteos. . Esta ecuacin demuestra que
el desarrollo del vano inclinado es hipotenusa del tringulo formado
por el desnivel y el desarrollo de la catenaria que salvase la
misma luz con el mismo parmetro y los apoyos a nivel, es decir, que
puede ser puesta en la forma
Esta ecuacin puede tener dos soluciones, una, o ninguna
(contando solamente las positivas). Una de las soluciones
corresponde a 1a catenaria ms tendida; la otra, a la catenaria de
flecha muy grande y desarrollo mucho mayor que la de la primera
solucin. Obsrvese que d primer trmino bajo el radical vara
solamente con Th y, por lo tanto, su curva representativa tiene una
asntota paralela al eje ^ El valor del radical parte, pues, de un
valor nulo para
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En este punto la tangente es perpendicular al eje El segundo
miembro vale la unidad para = o y crece indefinidamente con . Ambas
curvas pueden ser, pues, exteriores, en cuyo caso el problema no
tiene solucin, o cortarse (dos soluciones, de las cuales interna
solamente la de menor valor de ), c bien ser tangentes, y la
solucin es nica. La condicin para que el problema tenga solucin
solamente puede expresarse en el caso de h = o, es decir, cuando
los apoyos estn a nivel. 4. Reacciones en los apoyos. Hemos visto
al hallar la ecuacin de la catenaria que la componente horizontal
de la tensin es constante = p . a
(7)
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Para determinar el valor de la componente vertical, observemos
que mos: , con lo cual tenclre-
La suma de estas dos reacciones es p . d, es decir, el peso del
hilo. Cada amarre soporta el peso de la rama que se extiende desde
l hasta el vrtice. El valor de Vs es siempre positivo, porque (vase
la ecuacin [5]) , mientras que el valor de
Vi tiene el signo de z, es decir, que est dirigido hacia arriba
cuando el vrtice cae fuera del vano. La condicin para que la tensin
del hilo en el amarre inferior no tenga componente dirigida hacia
arriba es que el vrtice caiga dentro del vano, lo cual se expresa
poniendo la condicin z>o:Pgina 28
o, en coordenadas aritmticas:
5. Flecha en d centro del vano. Es el segmento de vertical
comprendido entre la catenaria y. el punto medio de la cuerda. La
designamos f (= ) ( ( de (5) y (3) se deduce: ) )
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con lo cual tenemos (9)
La expresin de la distancia vertical mxima entre la catenaria y
la cuerda es de una expresin tan complicada como intil. 6. Caso
particular da apoyos a- nivel. Si en las frmulas deducidas hacemos
h = o, tendremos , y hechas simplificaciones: ( ( ) ( ) )
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En el segundo miembro de la ecuacin [6 n ], el valor de
crece indefinidamente cuando tiende a cero o crece
indefinidamente. Tiene por lo tanto un mnimo que viene dado por la
condicin , que se satisface con el valor de, = 1,2, y llevado este
valor a [6 n ] ha de tenerse:
La ecuacin. [6 n] tiene, en general, dos solucionas, de las
cuales interesa solamente la menor, que es la de flecha ms
reducida. 7. Caso en que la flecha sea. dato. Si la flecha es dato,
la solucin se tiene eliminando d entre [3] yPgina 31
[9], ( con lo cual tendremos una relacin' entre , que se
resuelve por tanteos. 8. Procedimiento grfico. Si dibujamos en un
papel cuadriculado una catenaria (de 10 cm. de base, por ejemplo) y
numeramos sus abscisas y ordenadas, podemos considerarla como
dibujo de cualquier catenaria, sin ms que tener en cuenta la escala
que resultare para cada caso. Para utilizar este diagrama se
dibujan en papel transparente dos rectas que formen entre s el
.mismo ngulo que la recta que une los amarres con la horizontal, o
sea el ngulo que hemos denominado -y. La recta inclinada se" grada
en la misma escala con que fue dibujada la catenaria. La longitud
de la cuerda es uno de los datos. El otro puede ser la ordenada
mxima, la flecha en un punto determinado de la luz, etc. Por lo
tanto, se tiene en oda caso la relacin de la cuerda a otra
magnitud. El papel transparente se mueve hasta conseguir que la
cuerda y la recta que representa la otra magnitud guarden la
relacin prefijada, y, una vez hallada esta posicin, queda fijada la
escala del dibujo, y, por loPgina 32
tanto, el valor del parmetro n-, y con l toda la catenaria. 9.
Procedimiento mecnico (del Dr. Segurla Amarrtegui).La semejanza de
mquinas aplicada a la catenaria se reduce a simple semejanza
geomtrica cuando los pesos y tensiones se expresan en longitudes de
hilo. Los puntos de amarre se materializan en sendos clavillos
clavados en una pared. Elegida una escala conveniente, se utiliza
la cadena del perro, la de la cisterna del retrete u otra
cualquiera, a gusto del escamado lector. Uno de los extremos se
empalma con un trocito de bramante que se hace pasar por una polea,
y de l se cuelgan pesos, cuya equivalencia en metros de cadena se
halla inmediatamente. El otro extremo de la cadena es fijo. Una vez
conseguido el equilibrio se conocen las ordenadas extremas y el
desarrollo, y con estos valores se deduce el del parmetro. Si el
vrtice queda dentro del vano, el valor del parmetro se deduce
inmediatamente.
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Ejemplo. Se trata de determinar una catenaria que cumpla las
siguientes condiciones: Luz = l00 m.; desnivel = 80 m.; tensin
mxima = 12 Kg./mm.2; dimetro del hilo = 4 mm.; seccin = 12,5 man.2.
Peso mximo del hilo, el propio ms el de un manguito de nieve de 10
cm. de dimetro y densidad 0,1 que, sumados, dan 0,112+ 0,785 =
0,897 Kg./m.
La ordenada del amarre superior es
La del amarre inferior = 167 80 = 87 m. La suma de las ordenadas
unitarias es, pues,
(167+87)/100=2.54
De los datos se deduce tambin :Pgina 34
La ecuacin que da el valor de ( )
[6] es, pues,
Los valores del segundo miembro se leen en la tabla de valonas
de 8 (v. apndice), y como siempre son mayores que la unidad,
empezaremos por determinar el valor de * que produce el valor i
para la radical, y hallamos =r 0,55. Para = 0,60, el radical vale
1,1, mientras que el segundo miembro vale, segn la tabla, 1,06. El
valor buscado se encuentra entre ambos. Repetidos los tanteos para
varios valores, tenemos:
Tabla27Pgina 35
La distancia (unitaria) del vrtice al amarre inferior es, pues
([5]), 0,500 0,865 X 0,693 = o. 10. valor negativo que indica que
el vrtice se halla fuera del vano. Las abscisas de los apoyos,
contadas a partir del vrtice, son, por lo tanto, 0,100 y 1,100. Las
ordenadas se calculan por la ecuacin [i] :
Formula28
Las ordenadas de los amarres difieren, efectivamente, en 0,80, y
las ordenadas geomtricas sonPgina 36
los productos po'r la luz = 100. Las ordenadas intermedias se
deducen de las tablas de cosenos hiperblicos para = o,i a, 0,2 a,
etc. Rgimen elstico. Heios supuesto hasta ahora el hilo
perfectamente inextensibk; y con esta hiptesis hemos hallado que la
tensin en cada punto es proporcional al peso del hilo, y la forma
de equilibrio, independiente de l; pero si vara di peso por unidad
de longitud, la alteracin del rgimen de tensiones implica, en los
casos reales, un alargamiento o acortamiento (segn que el peso haya
aumentado o disminuido), del desarrollo, lo cual implica variacin
en el parmetro' que defnela catenaria y, con l, todo el rgimen de
tensiones. Cuando vara la temperatura, tambin vara la longitud del
desarrollo y, por consiguiente, el parmetro que define la nueva
forma de equilibrio y el rgimen de tensiones. Esta variacin del
rgimen de tensiones implica, a su vez, variacin en el
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desarrollo por la elasticidad del material. Estudiaremos
sucesivamente ambos casos. 10. Vardn de sobrecargas. Supongamos el
hilo en equilibrio bajo la accin del peso inicial, p\, por unidad
de longitud. Supongamos, para fijar ideas, que este peso inicial
fuese suma del peso propio y de una sobrecarga que se hace
desaparecer. El nuevo peso, pz, del hilo produce tensiones menores
que el primitivo, pi, y, por lo tanto, un acortamiento elstico en
el desarrollo, que vale:
Formula29
rgimen de tensiones. Esta variacin del rgimen de tensiones
implica, a su vez, variacin en el desarrollo por la elasticidad del
material. Estudiaremos sucesivamente ambos casos.
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10. Vardn de sobrecargas. Supongamos el hilo en equilibrio bajo
la accin del peso inicial, p\, por unidad de longitud. Supongamos,
para fijar ideas, que este peso inicial fuese suma del peso propio
y de una sobrecarga que se hace desaparecer. El nuevo peso, pz, del
hilo produce tensiones menores que el primitivo, pi, y, por lo
tanto, un acortamiento elstico en el desarrollo, que vale:
Formula30
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El primer trmino produce una deformacin p . ys .d con la tensin
en el punto ms alto y en toda la longitud del desarrollo. El
segundo representa la deformacin en una longitud igual al vano con
la intensidad de la tensin en el vrtice, y el tercero es la
deformacin producida por una tensin igual al peso de una longitud
de hilo igual al desnivel que acta solamente en la rama comprendida
entre el vrtice y el apoyo inferior. Cuando el vrtice queda fuera
del vano, este trmino no es sustractivo, sino aditivo. Hallado el
valor de la tensin media, pedemos escribir la ecuacin [n] as:
Formula31
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Esta ecuacin ha de ser resuelta por tanteos, ensayando valores
del parmetro a de la catenaria final. 11. Variacin de temperatura.
Supongamos que la temperatura aumente; el desarrollo crece hasta el
valor:
Formula32
en 'la cual D es el coeficiente de dilatacin del hilo y 2 y ti
1a3 temperaturas final e inicial. Como consecuencia de la reduccin
de tensiones producida por el aumento de temperatura se produce un
acortamiento elstico, cuyo valor, viene expresado por la ecuacin
[13], y el desarrollo final ser:
formula33Pgina 41
y prescindiendo del producto de dos cantidades muy pequeas que
representa la variacin elstica del alargamiento trmico,
tendremos:
formula34
que es la ecuacin buscada y que, comi la [13] resuelve por
tanteos. 12. Aplicacin de los casos reales. - El estudio de los
cambies de estado por variaciones trmicas o de sobrecargas,
solamente es de inters cuando la variacin del desarrollo unitario,
8, produce variacin sensible en valor del parmetro a, que define la
catenaria. Las variaciones en el desarrollo unitario son d bidas a
la que experimenta el hilo por cambios en su carga de trabajo o por
diferencia de temperatura. Vliora bien: de los materiales
corrientementePgina 42
empleados el ms deformable, elstica y trmicamente, es el
aluminio, cuyos coeficientes de elasticidad y dilatacin son,
respectivamente: E = 7260 Kg./ram.-, y 0_23iSx 10- (los del. cobre
son 12.000 Kg./mm. 2 y > = I7 X io~")La mayor variacin elstica
que' consideraremos us la del aluminio, cuando su carga de trabajo
por traccin vara en 15 Kg./mm.2 La variacin unitaria ce longitud
es: 15/7.260 = 0,00206. La dilatacin por aumento de temperatura en
50 sena 50 X 23> X IQ = 0,00119, menor que la anterior. Como
lmite de tolerancia en el error con que se halla el parmetro final,
a, tomaremos 5 por zoo. Para determinar el valor mnimo de que
cumpla esta condicin, desarrollemos en serie el valor de 8,
suponiendo los apoyos a nivel, y tendremos:
Formula35
Pgina 43
que corresponde al desarrollo unitario 8 = 1,0264. Introduciendo
este valor de a= 1,26 en la expresin del desarrollo, resulta valer
una diezmilsima el trmino despreciado de cuarto grado en . Es,
pues, superfluo el 'clculo de los cambios ce estado para a
