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Campo magnetico
Potenziale vettore Applicazioni della legge di Ampere Discontinuita` del campo magnetico
attraverso uno strato di corrente superficiale Doppio strato di corrente superficiale Espansione multipolare del potenziale vettore
Esempio: potenziale vettore del campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente
O P r
ez
z
!B = µ0i
2! r!e"
!B =!!"!A
In coordinate cilindriche
B! = (!!"!A)! =
#Ar#z
$#Az#r
Tilo rettilineo percorso da corrente
O P r
ez
z
B! = (!!"!A)! =
#Ar#z
$#Az#r
Prendendo !A = A(r)
!ez
!"Az!r
=µ0i2! r
! A(r) = ! µ0i2!ln r = ! µ0i
!ln r2
Esempio: filo rettilineo percorso da corrente
O P r
ez
z
Abbiamo visto che !B = µ0i
2! r!e" =
µ0i2!
!sin!!ex + cos!
!ey
x2 + y2
=µ0i2!
! y!ex + x
!ey
x2 + y2!A = !
µ0i!ln(x2 + y2 )
!ez
a meno di un campo con rotore nullo
singolare all’infinito e nell’origine
Esempio: solenoide rettilineo indefinito
Campo magnetico diretto lungo l’asse del solenoide
Fuori dal solenoide
!! "!B = 0
!!"!B = 0
!B = cost=0
all’infinito il campo
tende a zero
Esempio: solenoide rettilineo indefinito
Solo componente assiale Fuori dal solenoide
!B = cost=0
dll 1
2 Non c’e` corrente concatenata
per cui la circuitazione e` nulla
B1l ! B2l = 0 ! B1 = B2
Esempio: solenoide rettilineo indefinito
dll1
2B1l ! B2l = 0
! B1 = B2 Campo uniforme all’interno
Bintl = µ0 ikk conc
! = µ0nliBint = µ0ni
Discontinuita` del campo del solenoide rettilineo indefinito
!Best !
!Bint = 0!µ0in
!ez
!ez
!!B = ±µ0in
!ez
Esempio: cilindro percorso da una corrente i omogenea
J = i!R2
lunghezza indefinita
!J
R
r r R>!B !d!l = 2! rB(r)!" = µ0i
B(r) = µ0i2! r
Esempio: cilindro percorso da una corrente i omogenea
J = i!R2
!B !d!l = 2! rB(r)!" = µ0iconc
iconc = J! r2 =
i!R2
! r2 = i r2
R2
2! rB(r) = i r2
R2! B(r) = µ0ir
2!R2lunghezza indefinita
!J
R
r R<r
Esempio: cilindro percorso da una corrente i omogenea
B(r) =
µ0ir2!R2
r ! R
µ0i2! r
r > R
"
#$$
%$$
lunghezza indefinita
!J
R
B
R r
Esempio: cilindro indefinito con foro interno cilindrico
R rO 'O
OO ' = d
J = iA=
i!R2 ! ! r2
!J
!!J
i1 = !R2J i2 = ! r2J
Campo asse cavita` ?
1i2i
Esempio: cilindro indefinito con foro interno cilindrico
R rO 'O OO ' = d
!J
!!J
1i = !R2J 2i = ! r2J
i1i2
2i non contribuisce
1i B =µ0i1OO '2!R2
=µ0i1d2!R2
=µ0!R
2Jd2!R2 =
µ0i
!R2 ! ! r2d
2
Esempio: cilindro indefinito con foro interno cilindrico
R rO 'O
!J
!!J
1i = !R2J 2i = ! r2J
1i2i
2i non contribuisce
1i B =µ0i1OO '2!R2
=µ0i1d2!R2
=µ0!R
2Jd2!R2
=µ0id
2! (R2 ! r2 )
OO ' = d
Discontinuita` del campo B In certe situazioni il campo magnetico non e`
rappresentabile da una funzione vettoriale derivabile
x
y
z
J
Lamina nel piano xy percorsa da una corrente superficiale omogena
!J = J
!ex
Lo spazio e` diviso in 2 regioni, z>0 e z<0
Biot e Savart: B perpendicolare alle correnti ! Bx = 0
I contributi lungo z da y>0 e y<0 si elidono ! Bz = 0
Discontinuita` del campo B Unica componente diversa da zero:
x
y
z
J
By Circuitazione lungo un rettangolo
con lato che taglia la corrente l
l
Bl + (!B)(!l) = µ0Jl
2Bl = µ0Jl
B = µ0J2
Discontinuita` del campo B
x
y
z
J l
!B(z
+) = !
µ0J2!ey
!B(z
!) =
µ0J2!ey
!!B =!B(z
+)"!B(z
") = µ0J
!ey
Esempio: doppio strato
!!B =!B1 "
!B2 = "µ0J
!ey
Le due lamine danno contributi di segno opposto al campo
x
y
z
1
2
3
A B
!B1,3(A) = !
!B1,3(B)!
!B1,3 = 0
!B2 = !"
!B = µ0J
!ey
=0
Discontinuita` del campo B
x
y
z
J
Lamina nel piano xy percorsa da una corrente superficiale omogena
!J = J
!ex
Lo spazio e` diviso in 2 regioni, z>0 e z<0
Discontinuita` della componente tangenziale del campo magnetico
Nel caso di una distribuzione superficiale di carica elettrica la discontinuita` e` nella componente normale del campo elettrico
!!B =!B(z
+)"!B(z
") = µ0J
!ey
Espansione multipolare
!J (!r ')! dV '" i dl '
C!!
!A(!r ) = µ0
4!
!J (!r ')!r !!r '! dV '
Circuito chiuso !A(!r ) = µ0i
4!d!l '!r !!r 'C
!"
Espansione multipolare
Corrente in un circuito chiuso di dimensioni lineari d
Potenziale vettore a grande distanza r>>d
1!r !!r '
=1r+!r '!!" ' 1!r !!r ' !
r '=0
+"=1r+!r '!!rr3
+"
!A(!r ) ! µ0i
4!
!r !!r 'r3C!! d
!r ' = µ0i
4! r2!er !!r '
C!! d
!r '
Espansione multipolare
!Adip(!r ) = µ0i
4! r2!er !!r '
C!! d
!r '
f d!r
C!! = "
"#f $
!ndA
%C
!
= !µ0i4! r2
!" '(!er #!r ')$
!ndA
%
&
= !µ0i4! r2
!er "
!ndA
#
$ = !µ04! r2
!er "!m
!Adip(!r ) = µ0
4! r2!m!!er =
µ04!
!m!!r
r3