PAGE 70

Capitolul 3

VECTORI I VALORI PROPRII

Fie , baza n raport cu care endomorfismul f are forma diagonal:

,

unde:

.

3.4 Forma canonic Jordan

Fie V un K spaiu vectorial i f un endomorfism pe V. n cazul n care nu sunt satisfacute toate condiiile pentru diagonalizarea matricii asociate, se poate considera c endomorfismul admite o form canonic mai general numit forma canonic Jordan.

DEFINIIE O matrice de forma:

sau

se numete celul Jordan superioar (inferioar) de dimensiune n. O niruire diagonal de celule Jordan de dimensiuni diferite corespunzatoare aceluiai scalar se numete bloc Jordan corespunztor lui , notat .

DEFINIIE O matrice se numete matrice Jordan dac J este o niruire diagonal de blocuri Jordan corespunztoare unor scalari nu neaprat distincte.

EMBED Equation.3 .

DEFINIIE Un endomorfism , , se poate reduce la forma canonic Jordan, dac exist o baz astfel nct s fie o matrice Jordan.TEOREM Fie V un K spaiu vectorial n-dimensional i . Atunci exist U,W subspaii n V, f -invariante astfel nct:

a) ;

b) este nilpotent;

c) este inversabil dac .

Demonstraie. Fie

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , . Atunci, are loc irul de incluziuni: , adic irul este staionar, ntruct spaiul este de dimensiune finit.

ntr-adevr, pentru

EMBED Equation.3 , adic .

Dac exist , astfel nct , atunci , . Incluziunea , este evident n baza celor demonstrate mai sus. Se demonstreaz acum c .

Fie

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , adic:

.

Mai mult dect att, acest ir de incluziuni este strict pn la indicele p. n plus,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

Avnd n vedere c

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

notndu-se rezult c :

.

Mai mult,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 . Fie

EMBED Equation.3 i

EMBED Equation.3 . Atunci

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 i astfel nct

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , adic

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 . Se poate deci considera c i .

Conform construciei, f este nilpotent de indice p, pe U .

Se demonstreaz acum c este inversabil. Fie

EMBED Equation.3 . astfel nct . Dar

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 astfel nct . Dac ns , astfel nct

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , adic este inversabil.

OBSERVAIE a)Dac f este un endomorfism nilpotent de indice p, atunci .

ntr-adevr, dac

EMBED Equation.3 , astfel nct , atunci f este nilpotent de indice , ceea ce este absurd.

b) Dac f este automorfism, atunci sau n termenii teoremei precedente , i .

TEOREM Fie V un K spaiu vectorial, i un endomorfism nilpotent de indice k . Atunci exist o baz B n V, astfel nct matricea asociat endomorfismului s coincid cu un bloc Jordan corespunztor valorii proprii 0. Demonstraie. Dac g este un endomorfism nilpotent de indice k atunci (incluziunile fiind stricte), , .

Fie:

:

: ;

: ; ; ; ; .

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

Fie baza B:

, , , , , .

este o baz n V. ntruct:

, , , , , .,

rezult c matricea asociat n aceast baz este:

adic un bloc Jordan corespunztor valorii proprii 0.

Considernd cea mai scurt combinaie liniar nul dintre aceti vectori, aplicnd g, se obine o combinaie liniar mai scurt dect prima, ceea ce contrazice ipoteza fcut, prin urmare toi scalarii sunt nuli, adic mulimea este liniar independent.

OBSERVAIE Dac este unica valoare proprie a lui f, atunci . Aceasta nseamn c endomorfismul , este nilpotent.

Fie B baza fa de care . Atunci:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 +

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

unde:

OBSERVAII. a) Celulele Jordan ale blocului Jordan vor fi ordonate descresctor dup dimensiunea lor: celule de dimensiune k, de dimensiune k-1, ..., de dimensiune 1. Cum indicele de nilpoten este k, atunci exist cel puin o celul Jordan de dimensiune k.

b) Fie (g nilpotent de indice k). Conform teoremei precedente irul , este strict cresctor. Dac , i atunci este o celul Jordan.

TEOREM Fie V un K spaiu vectorial, , un endomorfism, cu , , polinomul sau caracteristic, i , , . Atunci:

1) , sunt subspaii f invariante ale lui V ;

2) ;

3) Dac sunt restriciile lui f la , , atunci are o singur valoare proprie.

Demonstraie. 1) Fie , definit prin , . Atunci, exist i , f invariante, astfel nct i n plus este nilpotent iar este inversabil. Fie , indicele de nilpoten al lui . Singura valoare proprie a lui este ( doar pentru ). Rezult c adic ordinul de multiplicitate al lui . Prin urmare rezult c , adic . Din faptul c , rezult c .

Consecin. Conform unei observaii anterioare, endomorfismele pot fi aduse la forma Jordan; matricea Jordan corespunztoare fiind un bloc Jordan corespunztor valorii proprii .

Definiie. Subspatiile , , se numesc nuclee stabile ale endomorfismului f, corespunztoare valorii proprii .

Teorem (Jordan) Fie V un K spaiu vectorial, , , cu , , polinomul sau caracteristic, . Atunci exist o baz n raport cu care f va avea matricea asociat o matrice Jordan, corespunztoare valorilor proprii . Demonstraie. Fie . Puterea ca ordin de nilpoten pentru endomorfismul , semnific faptul c are corespunztor un singur vector propriu.

Acest lucru nu restrnge generalitatea, deoarece analog se poate raiona i situaia n care:

, .

Fie atunci , n care este vectorul propriu al valorii proprii .

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

Se tie c, dac f este un endomorfism nilpotent de indice p i , atunci sunt liniar independeni.

Rezult astfel c sunt liniar independeni, adic este o baz n .

,

,

.

.

Dac , atunci se completa baza , cu nc un subset corespunztor fiecrui nou vector propriu.

4.11 Algoritm pentru determinarea formei

canonice Jordan

1. Se fixeaza o baza a spatiului vectorial in raport cu care se determina matricea asociata A=(aij) a endomorfismului.

2. Prin rezolvarea ecuatiei caracteristice se determina valorile proprii (1,...,(p cu multiplicitatile n1,...,np , (ni=n (i=1,..,p). Daca cel putin o valoare proprie ni apartine corpului peste care este definit endomorfismul, acesta nu este jordanizabil.

3. Se determina vbectorii proprii corespunzatori fiecarei valori proprii distincte.

4. Se calculeaza numarul de celule Jordan corespunzatoare fiecarei valori proprii (i egal cu dim U(i=dimV-rang(A-(iI).

5. Se determina forma vectorilor proprii v ce genereza U(i prin rezolvarea sistemului (A-(iI)v=0 . Daca

a)dimU(i=ni , atunci baza subspatiului U(i este formata din vectorii proprii.

b)dimU(i==(1, iar =(ip) si ==(2. Rezulta ((1-(2)=0 ( =0 intrucat (1-(2(0.

3. Folosim inductia dupa n. Pentru n=1 nu avem nimic de aratat asa incat fie n(2 si admitem afirmatia adevarata pentru orice spatiu euclidian n-1 dimensional. Fie (1(R (vezi punctul 1) o valoare proprie si e1(0 vectorul propriu corespunzator ||e1||=1 (daca ||e1||(1 atunci impartim la norma sa). Fie U=L({e1})(V subspatiul generat de e1 si W=U( complementul sau ortogonal care este f-invariant.

(in adevar (()x(W avem: ===

=(1=0 ( f(x)(e1 ( f(W)

Cum W este un subspatiu f invariant rezulta ca restrictia

g=fW: W(W este autoadjunct deoarece (()x,y(W avem:

=== (pe W avem restrictia produsului scalar definit pe V). Mai departe cum dimCU=1 ( dimCW=n-1 si din ipoteza de inductie rezulta ca exista o baza B1={e2,e3,...,en}(V ortogonala astfel incat MfB1=D , sa fie diagonala. Intrucat U(W=L({e1})=L({e2,e3,...,en}) ( B={e1,...,en} e o baza in V cu proprietateaca =0 , (()i=2,3,...,n si

(1 0 0 ... 0

(1 0 0 (2 0 ... 0

MfB= = ... ... ... ... ... , cu (i , i=1,..,n nu

0 D1 0 0 0 ... (n neaparat distincte.

5.2 Observatii. 1) teorema afirma in limbaj matricial ca orice matrice hermitica (sau in r simetrica) este diagonalizabila.

2) De fapt baza ortonormata B este formata din vectorii proprii normati.

3.6 Polinoame de matice.

Functii de matrice

Fie A(Mn(K), Q(K[X], Q(x)=a0xm+a1xm-1+... +am-1x+am , a(0, V un K spatiu vectorial, dimKV=n, f(LK(V) care are pe A ca matrice asociata.

6.1 Definitie. Matricea Q(A)=a0Am+a1Am-1+...+am-1A+amI se numeste polinom de matrice A definit de Q.

6.2 Definitie. Endomorfismul Q(f)=a0fm+a1fm-1+...+am-1f+am1v se numeste polinom de endomorfismul f definit de Q.

6.3 Observatie. Pe spatii finit dimensionale , studiul polinoamelor de endomorfisme se reduce la studiul polinoamelor de matrice.

6.4 Teorema (teorema Hamilton Caley).Daca PA(()=det(A-(In) este polinomul caracteristic al lui A, atunci PA(A)=0.

Demonstratie. (A-(In)(A-(In)*=det (A-(In)In, unde (A-(In)* este adjuncta matricii (A-(In).

(A-(In)* este o matrice care are pe componente polinoame de grad

n-1 . Egalitatea o vom scrie :

(A-(In)(Bn-1(n-1+...+Bn-2(n-2+...+B1(+B0)=PA(()In=

=(a0(n+a1(n-1+...+an-1(+an)In sau

(n(-Bn-1)+(n-1(Abn-1-Bn-2)+(n-2(Abn-2-Bn-3)+...+((AB1-B0)+AB0=

=(n(a0In)+(n-1(a1In)+...+((an-1In)+anI .

An | -Bn-1=a0InAn-1| ABn-1-Bn-2=a1InAn-2| ABn-2-Bn-3=a2In:

A | AB1-B0=an-1InIn | AB0=anAdunand ( PA(A)=0.

6.5 Consecinta. Orice polinom de matrice A(Mn(K), de grad cel putin n poate fi exprimat printr-un polinom de grad cel mult n-1.

Fie seria ((x)=(amxm , m(0 ,ai(K.

6.6 Definitie. Seria (amAm ,m(0 se numeste serie de matricea A, iar suma ei ((A) se numeste functie de matricea A.

6.7 Definitie. Seria (amfm , m(0 se numeste serie de endomorfismul f , iar suma ei ((f) se numeste functie de endomorfismul f.

6.8 Observatie. 1) Analog polinoamelor , studiul seriilor de endomorfisme se reduce la studiul seriilor de matrice.

2) In baza consecintei , studiul functiei ((A)=(amAm ,m(0 se reduce la un polinom de matrice de grad cel mult n-1.

In cazul in care f admite valori proprii distincte (1((2(...((n polinomul de gradul n-1 se poate scrie in forma Lagrange :

A) _ (A-(1In)...(A-(i-1In)(A-(i+1In)...(A-(nIn) .(((i) sau

((i-(1)...((i-(i-1)((i-(i+1)...((i-(n) i=1,..,n

((A)=(Zi(((i) i=1,..,n , unde Zi(Mn(K) , independente de f si pot fi obtinute pri particularizarea lui f.

In cazul valorilor proprii multiple ((A)=((ZKi((i)((K) cu nK

Ordinul de multiplicitate al valorii proprii (K ,ZKi(Mn(K) matrici care pot fi determinate prin particularuzarea lui ( , ((i)(() dervata de i ori a functiei ( .

_1156056326.unknown

_1156057371.unknown

_1156059358.unknown

_1156237610.unknown

_1156261355.unknown

_1158954422.unknown

_1158956534.unknown

_1158957114.unknown

_1158957296.unknown

_1158957393.unknown

_1158957968.unknown

_1158958061.unknown

_1158958183.unknown

_1158958428.unknown

_1158958516.unknown

_1158958241.unknown

_1158958120.unknown

_1158958011.unknown

_1158957646.unknown

_1158957893.unknown

_1158957631.unknown

_1158957353.unknown

_1158957364.unknown

_1158957315.unknown

_1158957157.unknown

_1158957236.unknown

_1158957279.unknown

_1158957175.unknown

_1158957122.unknown

_1158957136.unknown

_1158957021.unknown

_1158957101.unknown

_1158957057.unknown

_1158956783.unknown

_1158956911.unknown

_1158956766.unknown

_1158955326.unknown

_1158956156.unknown

_1158956409.unknown

_1158956465.unknown

_1158956297.unknown

_1158955677.unknown

_1158955711.unknown

_1158955563.unknown

_1158954640.unknown

_1158955037.unknown

_1158955147.unknown

_1158954959.unknown

_1158954468.unknown

_1158954568.unknown

_1158954441.unknown

_1158953983.unknown

_1158954197.unknown

_1158954305.unknown

_1158954367.unknown

_1158954291.unknown

_1158954107.unknown

_1158954159.unknown

_1158954073.unknown

_1156261756.unknown

_1158953890.unknown

_1158953903.unknown

_1158953787.unknown

_1156261509.unknown

_1156261562.unknown

_1156261400.unknown

_1156250964.unknown

_1156260942.unknown

_1156261025.unknown

_1156261224.unknown

_1156260988.unknown

_1156260743.unknown

_1156260777.unknown

_1156260816.unknown

_1156260697.unknown

_1156251234.unknown

_1156260263.unknown

_1156260393.unknown

_1156260477.unknown

_1156251336.unknown

_1156251084.unknown

_1156250061.unknown

_1156250446.unknown

_1156250471.unknown

_1156250520.unknown

_1156250129.unknown

_1156250169.unknown

_1156250411.unknown

_1156250099.unknown

_1156250019.unknown

_1156250028.unknown

_1156250047.unknown

_1156249980.unknown

_1156249994.unknown

_1156249879.unknown

_1156237633.unknown

_1156063376.unknown

_1156064125.unknown

_1156235769.unknown

_1156235994.unknown

_1156236260.unknown

_1156237498.unknown

_1156236033.unknown

_1156235939.unknown

_1156235963.unknown

_1156235856.unknown

_1156235415.unknown

_1156235727.unknown

_1156235743.unknown

_1156235674.unknown

_1156064172.unknown

_1156235293.unknown

_1156064152.unknown

_1156063872.unknown

_1156063968.unknown

_1156064024.unknown

_1156064103.unknown

_1156064001.unknown

_1156064018.unknown

_1156063913.unknown

_1156063645.unknown

_1156063865.unknown

_1156063536.unknown

_1156061500.unknown

_1156062858.unknown

_1156063090.unknown

_1156063180.unknown

_1156063022.unknown

_1156062758.unknown

_1156062823.unknown

_1156062668.unknown

_1156059438.unknown

_1156060946.unknown

_1156061311.unknown

_1156059545.unknown

_1156059390.unknown

_1156059417.unknown

_1156059375.unknown

_1156058118.unknown

_1156058850.unknown

_1156059091.unknown

_1156059242.unknown

_1156059269.unknown

_1156059196.unknown

_1156058910.unknown

_1156058948.unknown

_1156058892.unknown

_1156058630.unknown

_1156058696.unknown

_1156058768.unknown

_1156058656.unknown

_1156058536.unknown

_1156058561.unknown

_1156058443.unknown

_1156057781.unknown

_1156057906.unknown

_1156058005.unknown

_1156058029.unknown

_1156057961.unknown

_1156057874.unknown

_1156057644.unknown

_1156057654.unknown

_1156057715.unknown

_1156057751.unknown

_1156057684.unknown

_1156057586.unknown

_1156057603.unknown

_1156057608.unknown

_1156057592.unknown

_1156057430.unknown

_1156057563.unknown

_1156057550.unknown

_1156057556.unknown

_1156057480.unknown

_1156057393.unknown

_1156056646.unknown

_1156057084.unknown

_1156057124.unknown

_1156057310.unknown

_1156057358.unknown

_1156057164.unknown

_1156057264.unknown

_1156057142.unknown

_1156057102.unknown

_1156057115.unknown

_1156056793.unknown

_1156056886.unknown

_1156056951.unknown

_1156056975.unknown

_1156056860.unknown

_1156056757.unknown

_1156056775.unknown

_1156056715.unknown

_1156056549.unknown

_1156056584.unknown

_1156056600.unknown

_1156056573.unknown

_1156056495.unknown

_1156056511.unknown

_1156056348.unknown

_1156056392.unknown

_1156054027.unknown

_1156054455.unknown

_1156056211.unknown

_1156056236.unknown

_1156056261.unknown

_1156056227.unknown

_1156055843.unknown

_1156056078.unknown

_1156055834.unknown

_1156054209.unknown

_1156054391.unknown

_1156054433.unknown

_1156054357.unknown

_1156054134.unknown

_1156054056.unknown

_1156053072.unknown

_1156053793.unknown

_1156053931.unknown

_1156053838.unknown

_1156053494.unknown

_1156053752.unknown

_1156053084.unknown

_1156052801.unknown

_1156052963.unknown

_1156053051.unknown

_1156052857.unknown

_1156052468.unknown

_1156052536.unknown

_1156052301.unknown