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CAPITULO 9

Flexión Simple

Lecturas:

9.1 Rectangular Concrete Stress Distribution in Ultimate Strenght Design. Mattock, Kriz, Hognestad. Journal ACI. February 1961.

9.2 Researches Toward a General Flexural Theory for Structural Concrete. Hubert Rusch. Journal ACI. July 1960.

9.3 Ultimate Strength of Nonrectangular Structural Concrete Members. Mattock, Kriz. Journal ACI. January 1961.

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9.1 Introducción

Analicemos, a manera de introducción, el comportamiento de la viga doblemente empotrada mostrada en la figura 9-1. Las cargas estáticas se incrementan desde cero hasta el colapso o agotamiento de la viga. Se muestra la curva carga – deflexión al centro de la viga para dos tipos de comportamiento: frágil y dúctil.

Los puntos notables de la curva carga – desplazamiento al centro de la viga si el comportamiento es dúctil, son:

Punto1 Agrietamiento en los extremos (empotramientos A)

Punto 2 Agrietamiento al centro (zona central B)

Punto 3 Inicio fluencia del acero negativo (empotramientos A)

Punto 4 Inicio fluencia del acero positivo (zona central B)

La distancia entre los puntos 3 y 4 dependerá de las armaduras positivas y negativas que se hayan colocado. Si los aceros colocados son “exactos” es decir si corresponden exactamente con el diagrama de momentos elástico, se producirá la fluencia simultanea de las secciones A y B, es decir los puntos 3 y 4 coincidirán.

Si los aceros colocados difieren de los requeridos por la distribución elástica de los momentos flectores (mayores o menores a los asociados al diagrama de momentos) se producirá un corrimiento de los puntos 3 y/o 4. Este corrimiento se denomina redistribución de momentos y es posible solamente si las secciones tienen capacidad de rotación inelástica. De manera similar, la amplitud de la zona de comportamiento inelástico dependerá de la ductilidad disponible.

Bajo cargas de servicio la viga se encontrará probablemente entre los puntos 2 y 3 del diagrama anterior, es decir es probable que las secciones de máximo momento positivo y negativo se hayan agrietado, sin embargo la viga, si está bien diseñada, se encuentra lejos del inicio de la fluencia de las armaduras.

Bajo cargas de servicio sostenidas, las deflexiones aumentan en el tiempo sin un aumento en la carga externa, los responsables de este fenómeno son la retracción y el flujo plástico (creep) del concreto.

Fig. 9-1 Viga doblemente empotrada. Geometría y curva carga – desplazamiento al centro.

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9.2 Comportamiento Elástico en Flexión

Presentaremos el comportamiento elástico de secciones de concreto armado únicamente como una herramienta para el análisis de secciones bajo cargas de servicio. Con esta herramienta podremos investigar los esfuerzos en el acero de refuerzo y en el concreto cuando el elemento se encuentra en condiciones de servicio. No utilizaremos esta metodología para diseñar, el diseño por esfuerzos admisibles (WSD), tal como se mencionó en las secciones 5.4 y 5.5 ya no se utiliza.

Existen tres estados posibles bajo condiciones de servicio, estos son:- Sección no agrietada.- Sección parcialmente agrietada.- Sección completamente agrietada.

Estudiaremos solo el primer y tercer estado. El segundo estado si bien es el que más se presenta en la realidad bajo condiciones de servicio, no lo abordaremos ya que para su estudio es necesario considerar la resistencia en tracción del concreto, resistencia que normalmente se desprecia en los cálculos o que es difícil incluir ya que necesitaríamos conocer las leyes constitutivas para el comportamiento del concreto en tracción.

9.2.1 Sección Transformada no Agrietada

Permite calcular los esfuerzos en el concreto y en el acero cuando la sección no se ha agrietado por flexión. En la figura 9-2 se muestra una sección rectangular con armaduras en tracción y compresión, así como la sección transformada correspondiente.

Los esfuerzos en el concreto y en el acero vienen dados por las fórmulas clásicas estudiadas en Resistencia de Materiales para las vigas de dos materiales, estas son:

1)-(9Itr

M c

ItrsM y

cf

2)-(9Itr

bM yft 4)-(9

)(

Itr

c-d'n M sf

3)-(9)(

Itr

d-cn M fs

Fig. 9-2 Sección transformada no agrietada.

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9.2.2 Sección Transformada Agrietada

Cuando el esfuerzo de tracción por flexión supera la resistencia del concreto, se supone que la sección se agrieta completamente. La sección, bajo cargas de servicio, no llega a agrietarse completamente. El agrietamiento “completo” sucede para momento flectores cercanos a los que producen la primera fluencia del acero en tracción, sin embargo asumiremos por simplicidad, tal como se mencionó en 9.2, agrietamiento completo del concreto desde la parte inferior (para flexión positiva) hasta el eje neutro.

Para ubicar la posición del eje neutro - c – (figura 9-3) es necesario resolver una ecuación cuadrática. Ubicado el eje neutro se calcula el momento de inercia de la sección agrietada transformada - Icr - y los esfuerzos en el acero y concreto mediante:

Bajo cargas de servicio el esfuerzo en el concreto no debería exceder de 0.5 fc aproximadamente. Por encima de este valor la suposición implícita que el concreto se comporta linealmente para el cálculo de los esfuerzos utilizando la sección transformada, ya no es válida. Similarmente, el esfuerzo en el acero de tracción no debería superar el 60% de fy, en caso contrario es probable que se produzca un fuerte agrietamiento por tracción en la sección, agrietamiento que sería incompatible con los estados límites de servicio (ver 5.2.2).

Es necesario anotar, que bajo cargas sostenidas, el creep produce un aumento importante en el esfuerzo del acero de compresión fs. Para tomar en cuenta este efecto, diversos autores proponen transformar el acero en compresión mediante una relación modular modificada equivalente a (2n - 1)A’s con lo cual el esfuerzo en el acero de compresión se duplica.

9.2.3 Deducción de la Sección Transformada Agrietada

La determinación de los esfuerzos en el concreto y en el acero presentada en 9.2.2 está basada en el cálculo de las propiedades de la sección transformada agrietada (Icr). Este concepto no debería ser nuevo para el lector ya que se estudia en Resistencia de Materiales para el caso de vigas hechas de varios materiales.

5)-(9Icr

cMfc 6)-(9

) (

Icr

cdMnsf

7)-(9

)´(

Icr

dcMnsf

Fig. 9-3 Sección transformada agrietada.

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A continuación se presenta la deducción de las expresiones para el cálculo de los esfuerzos en una sección agrietada, sin utilizar la sección transformada. Para ello haremos uso de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y relaciones constitutivas.

a) Secciones Rectangulares sin Acero en Compresión

Con referencia a la figura 9-4, que muestra una sección rectangular de concreto armado sin acero en compresión, y suponiendo que la sección se encuentra “completamente” agrietada, tendremos:

(1) Compatibilidad (secciones permanecen planas):

(2) Relaciones Constitutivas: fs = Es s fc = Ec c

(3) Equilibrio: 1/2 (fc c b) = As fs

(1) y (2) en (3)

Definimos: n = Relación modular = Cuantía de acero en tracción

Se obtiene:

La ecuación 9-8 permite calcular la posición del eje neutro mediante la expresión c =kd y es completamente análoga al cálculo del centroide de la sección agrietada transformada. Es aplicable únicamente a vigas rectangulares sin acero en compresión.

Ubicada la profundidad del eje neutro, los esfuerzos en el concreto y en el acero se pueden calcular utilizando las ecuaciones 9-5 a 9-7 presentadas para la sección agrietada transformada. Sin embargo, tiene más sentido físico y es más rápido analizar el equilibrio de la sección, tal como se presenta en la figura 9-5.

Fig. 9-4 Sección agrietada, deformaciones y esfuerzos

0222 nnkk

nnnk 2)( 2 (9-8)

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Por conveniencia se define el brazo interno de palanca, es decir la distancia entre la resultante de las compresiones y la resultante de las tracciones mediante jd.

Otra forma de calcular fc:

Es ilustrativo determinar el rango de variación del brazo interno de palanca jd en una sección rectangular sin acero en compresión. La tabla a continuación muestra el rango de variación para dos calidades del concreto y para cuantías de refuerzo bajas y altas.

Es claro que a diferencia de la cuantía del acero en tracción (), la calidad del concreto no tiene mucha influencia en el valor de j. Un valor adecuado para cálculos rápidos y cuantías de acero normales es j = 0.9.

b) Secciones Rectangulares con Acero en Compresión

La demostración es totalmente análoga a la presentada para secciones sin acero en compresión y se deja como ejercicio al lector. Con la relación a la figura 9-6, es posible demostrar que la posición del eje neutro viene dada por la ecuación 9-12.

Concreto n (aprox) Cuantía Valor de j210 9 0.2% 0.942

2.0% 0.851280 8 0.2% 0.945

2.0% 0.857

Fig. 9-5 Fuerzas internas en la sección agrietada.

jdAs

Mfs

MjdfsAsMcdfsAs

)3

(

kdcjdkd

d 3

(9-9)

(9-10)

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La expresión 9-12 ignora el área de concreto desplazada por el acero en compresión; este efecto suele ser despreciable. Tampoco toma en cuenta el posible aumento en el esfuerzo en el acero en compresión por efecto del creep (2n).

Las ecuaciones 9-8, 9-9, 9-10, 9-11 y 9-12 permiten estimar los esfuerzos en el acero y en el concreto bajo condiciones de servicio. Estas suponen comportamiento elástico del concreto bajo cargas de servicio y eran empleadas para el diseño por Esfuerzos Admisibles (WSD).

9.3 Análisis y Diseño de Secciones en Flexión ( Diseño por Resistencia )

El diseño que se emplea hoy en día en las estructuras de concreto armado es el denominado Diseño por Resistencia, sus siglas en Inglés son: USD, LFRD, SDM cuyos significados ya se han explicado en el Capítulo 5.

La ecuación básica para el diseño por resistencia es:

Resistencia Efecto de las Cargas

Ecuación que, para el caso particular de las solicitaciones de flexión simple, se convierte en:

Cualquiera sea el método de análisis o diseño utilizado, siempre se deberán cumplir los tres “bloques” fundamentales de condiciones:

- Equilibrio- Compatibilidad- Relaciones Constitutivas ( - )

Fig. 9-6 Sección agrietada con acero en compresión.

- Calculada sobre la base de: f ’c, fy, As, dimensiones.

- Para su determinación se utilizan las ecuaciones de análisis (SDM).

- Resistencia Requerida - Efecto de las cargas factorizadas. Su

magnitud proviene del análisis estructural

0.9 MuMn

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9.3.1 Relaciones Momento - Curvatura de una Sección

Para las secciones de concreto armado utilizaremos la definición clásica de curvatura. Esta se estudia en Resistencia de Materiales y se ilustra en la figura 9-7.

Si se ensayara una viga de concreto armado, tal como la que se muestra en la página 126 (MacGregor), con la zona central sometida a flexión pura (cargas concentradas a los tercios) y siguiéramos el comportamiento de la sección central, el Diagrama Momento – Curvatura (M - ) tendrá, por lo general, una forma similar a la que se muestra en la figura 9-8.

Se ha aprovechado la figura 9-8 para ilustrar la definición de la ductilidad de curvatura de una sección (). Esta se define a través del cociente entre la curvatura última (u) y la curvatura donde se inicia la fluencia del refuerzo (y) y es una medida de la ductilidad de la sección, es decir de la capacidad de deformarse en el rango inelástico.

Algunas observaciones relativas a la figura 9-8.

El Punto A corresponde al agrietamiento de la sección, es decir cuando se excede la resistencia en tracción del concreto. Los esfuerzos de tracción en el concreto se

Fig. 9-8 Diagrama Momento - Curvatura

Fig. 9-7 Curvatura de una sección.

cdcsc

yCurvatura

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transfieren totalmente al acero. De allí en adelante se supone que el concreto en tracción no aporta nada a la resistencia en flexión de la sección.

La rigidez de la sección hasta el punto A se puede calcular utilizando el momento de inercia grueso se la sección (Ec Ig).

El Punto B corresponde a:Comportamiento bajo cargas de servicio.Diseño por esfuerzos admisibles.Variación de los esfuerzos en el concreto aproximadamente lineal. Acero elástico, por debajo del esfuerzo de fluencia fy.Grietas de ancho pequeño de aproximadamente 0.1 mm o menos.Deflexiones pequeñas, generalmente menores de 1/350 de la luz.

El Punto C corresponde al inicio de la fluencia en el acero de tracción.

El Punto D corresponde a:Diseño por resistencia o estado limite.Grietas anchas.Deflexiones importantes 1/60 de la luz.

La rigidez del tramo AC se puede estimar utilizando el momento de inercia de la sección agrietada transformada (Ec Icr). A partir del punto C la rigidez de la sección se reduce de manera importante.

El Punto D está asociado con la resistencia última de la sección (Mu) y corresponde al Diseño por Resistencia. Una viga o sección alcanza su máxima capacidad cuando la pendiente del diagrama M- es horizontal (Punto D). La falla ocurre cuando la pendiente se vuelve negativa, que corresponde a una situación en la cual la estructura se convierte en inestable ya que las deformaciones aumentan y la carga decrece.

Es interesante anotar que si bien el concreto simple no tiene por si mismo un comportamiento dúctil, una viga o sección de concreto armado adecuadamente diseñada y detallada puede exhibir niveles altos de ductilidad. El nivel de ductilidad se puede medir a través de la ductilidad de curvatura de la sección.

Veremos en el Capítulo 14 que una de las variables más importantes que condiciona la ductilidad de curvatura disponible en una sección, es la cantidad de armadura de refuerzo en tracción. Las Normas establecen las máximas armaduras de refuerzo para los elementos en flexión, con la finalidad de lograr un comportamiento dúctil del elemento.

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