1

CAPITOLO 5 INTEGRALI L’area del segmento di parabola Il concetto d’integrale nasce per risolvere un problema geometrico dalle molteplici applicazioni: il Problema delle aree. In particolare, con l’integrale è possibile calcolare l’area racchiusa dal grafico di una funzione limitata non negativa e dall’asse delle ascisse. In Fisica, con il calcolo integrale è possibile determinare, ad esempio, il lavoro compiuto da una forza non costante, oppure quello compiuto in una trasformazione termodinamica, o lo spostamento di un corpo se è nota la legge oraria della velocità. Avviciniamoci alle idee fondamentali del calcolo integrale. Per questo scopo consideriamo il problema affrontato dai matematici greci oltre duemila anni fa: la misura dell’area del cerchio. L’idea messa in campo dai matematici del tempo, in particolare da Archimede, è riassunta dal cosiddetto metodo di esaustione, che consiste in una sorta di “somma infinita”. Un esempio in cui si applica questa idea è dato dal calcolo dell’area del segmento parabolico. Consideriamo la parabola di equazione y = ax2 . Vogliamo calcolare l’area compresa tra il grafico della parabola per 0 ≤ z ≤ x e l’asse delle ascisse. Per questo scopo suddividiamo l’intervallo 0 ≤ z ≤ x in n intervalli di uguale

ampiezza xn

. I sotto-intervalli così individuati sono rappresentati con la

seguente notazione: k −1nx; knx

"

#$

%

&' , k =1,2,...,n . Consideriamo gli n

rettangoli di base xn

ed altezza a knx

!

"#

$

%&

2

come in figura:

2

Calcoliamo l’area totale di tutti i rettangoli:

S = xnk=1

n

∑ ⋅ a kxn

#

$%

&

'(

2

=ax3

n3k2

k=1

n

∑ =ax3

n3⋅n(n+1)(2n+1)

6=ax3

n3⋅2n3 +3n2 + n

6. E’

evidente dalla figura che, al crescere del numero di suddivisioni n, l’area totale dei rettangoli “si avvicina” all’area racchiusa dal grafico della

parabola e dall’asse delle ascisse: S→ ax3

3. Di conseguenza, l’area del

segmento parabolico è data dalla differenza ax2 ⋅ x − ax3

3=23ax3 .

Funzioni integrabili Proseguiamo nel nostro cammino di avvicinamento alla formulazione del concetto d’area di una regione piana, osservando che:

1. L’area è un numero non negativo; 2. L’area di un rettangolo è il prodotto della base per l’altezza; 3. L’area di due figure congruenti è la stessa; 4. Se una regione viene suddivisa in due parti, l’area complessiva è la

somma delle aree delle due parti.

Consideriamo una partizione p dell’intervallo a;b!" #$ in n intervalli equi-

spaziati: a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅< xn = b ; xi − xi−1 =b− an

, ed indichiamo con mi e Mi

rispettivamente il minimo e il massimo della funzione su ognuno degli intervalli equi-spaziati, che supponiamo per il momento continua e non negativa (e quindi il massimo ed il minimo esistono per il teorema di

Weierstrass). Si costruiscono le somme sn = mi (xi − xi−1)i=1

n

∑ e

Sn = Mi (xi − xi−1)i=1

n

∑ , dette somma inferiore e somma superiore, formate da

plurirettangoli contenuti nel trapezoide x; y( )∈ R2, a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f (x ){ } nel

caso della somma inferiore, e contenenti il trapezoide nel caso della somma superiore. E’ ragionevole affermare che più fine è la partizione, più le somme inferiori e superiori si avvicinano al valore dell’area del trapezoide; inoltre per qualsiasi partizione, la somma inferiore è minore o al più uguale alla somma superiore.

3

Queste considerazioni portano alla seguente

Definizione. Poniamo I + = infpSn e I − = sup

psn rispettivamente l’estremo

inferiore delle somme superiori e l’estremo superiore delle somme inferiori, al variare della partizione dell’intervallo

€

a;b[ ] . Se risulta

I + = I − si dice che la funzione f (che continuiamo a supporre continua e non negativa) è integrabile secondo Riemann in

€

a;b[ ] , e si indica il comune valore I + = I − con

f (x )dxa

b

∫ ,

detto integrale definito della funzione f tra gli estremi a e b. Abbiamo bisogno di un criterio pratico per stabilire l’integrabilità di una funzione.

Teorema 1. Sia f una funzione continua e non negativa sull’intervallo a;b!" #$. Se risulta

limn→∞(Sn − sn ) = 0 ,

allora la funzione f è integrabile. Dimostrazione. Dall’ipotesi lim

n→∞(Sn − sn ) = 0 segue che ∀ε > 0 esiste un indice k

tale che Sk − sk < ε . Ora, poiché I + ≤ Sk e I − ≥ sk , combinando tutte queste disuguaglianze otteniamo I + − I − ≤ Sk − sk < ε ; questo risultato, unito al fatto che I + ≥ I − porta alla conclusione che 0 ≤ I + − I − ≤ Sk − sk < ε e quindi, per

l’arbitrarietà di scelta di ε , risulta I + = I − = f (x )dxa

b

∫ .

Osservazioni 1. Le partizioni non devono necessariamente essere equispaziate, è

sufficiente che siano costituite da intervalli di ampiezza via via più piccola (partizioni più fini).

2. La funzione non deve necessariamente essere continua: basta che sia limitata su a;b!" #$ .

4

Teorema 2. Sia f una funzione continua e monotòna sull’intervallo a;b!" #$. Allora la funzione è integrabile.

Dimostrazione. Consideriamo una partizione dell’intervallo a;b!" #$ in n

intervalli di uguale ampiezza b− an

= xi − xi−1 . Per la continuità della funzione

sull’intervallo chiuso e limitato a;b!" #$, esistono massimo e minimo su ognuno degli intervalli della partizione; per la monotonia (supponiamo la funzione non decrescente) si ha mi = f (xi−1) e Mi = f (xi ) . Valutiamo il limite delle somme inferiori e superiori:

0 ≤ limn→∞(Sn − sn ) = limn→∞

Mi −mi( )i=1

n

∑ (xi − xi−1 ) =

limn→∞

f x1( )− f x0( )+ f x2( )− f x1( )+ ...+ f xn( )− f xn−1( )&'

()b− an

=

limn→∞

f (b)− f (a)( ) b− an*

+,

-

./= 0

quindi limn→∞(Sn − sn ) = 0 e, per il teorema 1, la funzione è integrabile.

Una funzione non integrabile: la funzione di Dirichlet1 Si consideri la funzione definita su 0;1!" #$, detta di Dirichlet, così definita:

f (x ) =1; x ∈Q

0; x ∉Q

#

$%

&%

. Si tratta evidentemente di una funzione limitata e

discontinua in ogni punto del dominio. In ogni partizione di 0;1!" #$ si trovano infiniti razionali ed infiniti irrazionali, quindi

€

mi = 0 e

€

Mi =1. Di conseguenza I + =1≠ 0 = I − .

1 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (matematico tedesco 1805 – 1859, ricordato perché a lui si deve la definizione “formale” di funzione (fonte wikipedia))

5

Alcune proprietà algebriche dell’integrale Presentiamo adesso alcune proprietà di carattere algebrico, utili in molte situazioni in cui si utilizza il concetto di integrale. Omettiamo la dimostrazione di questi semplici fatti, consigliando tuttavia di tentare una giustificazione basata sul significato geometrico di integrale come area.

1. E’ possibile definire l’integrale anche per funzioni che cambiano segno: laddove la funzione è negativa il contributo al calcolo dell’area racchiuso dal grafico della funzione e dall’asse delle ascisse è negativo.

2. Se a ≥ b⇒ f (x )dx := −a

b

∫ f (x )dxb

a

∫ ; f (x )dx := 0a

a

∫ .

3. (Linearità) Se f e g sono due funzioni integrabili sull’intervallo

€

a;b[ ] , allora le funzioni

€

f + g e

€

Cf (C è una costante) sono integrabili e si ha:

€

( f (x) + g(x))dx = f (x)dx +a

b

∫ g(x)dxa

b

∫a

b

∫

Cf (x)dx = C f (x)dxa

b

∫a

b

∫.

4. (Additività) Se f è integrabile sugli intervalli

€

a;c[ ] e

€

c;b[ ], allora è integrabile su

€

a;b[ ] e si ha

€

f (x)dx = f (x)dx +a

c

∫ f (x)dxc

b

∫a

b

∫ .

5. (Monotonia) Siano f e g integrabili su

€

a;b[ ] (con a<b). Allora risulta

a) Se

€

f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ a;b[ ]; ⇒ f (x)dx ≤a

b

∫ g(x)dxa

b

∫ ;

b)

€

f (x) è integrabile su

€

a;b[ ] e risulta

€

f (x)dxa

b

∫ ≤ f (x) dx;a

b

∫

c) Se

€

m ≤ f (x) ≤ M⇒ m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M(b − a).a

b

∫

6

Il teorema fondamentale del calcolo (integrale) Con questo risultato si mettono in relazione tra loro i due concetti su cui si fonda il calcolo infinitesimale: l’integrale e la derivata. Grazie a questo risultato sarà possibile gettare le basi per il calcolo effettivo degli integrali. Cominciamo con un teorema dall’interessante interpretazione geometrica. Teorema 3 (della media integrale). Sia f una funzione continua

sull’intervallo a;b!" #$; allora esiste un punto c ∈ a;b"# $% tale che f (c ) = 1b− a

f (x )dxa

b

∫ .

Dimostrazione. Poiché la funzione è continua in un insieme chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo. Per la proprietà

di monotonia (5. c) risulta m ≤ f (x ) ≤ M ⇒ m(b− a) ≤ f (x )dx ≤ M (b− a).a

b

∫

Sempre per la continuità della funzione, per il teorema dei valori intermedi esiste un punto c ∈ a;b"# $% tale che

m ≤ f (c ) ≤ M ⇒ m ≤ f (c ) = 1(b− a)

f (x )dx ≤ Ma

b

∫ , c.v.d.

Osservazione. Si denotino con f (x1),..., f (xn ) i valori della funzione in n punti

equispaziati. La media aritmetica di questi valori è f (x1)+ ...+ f (xn )n

; facciamo

vedere che la media integrale è il limite della media aritmetica quando

n→∞ . Sia Δx = b− an

l’ampiezza degli intervalli equispaziati, allora:

limn→∞

f (x1)+ ...+ f (xn )n

= limn→∞

( f (x1)+ ...+ f (xn ))ΔxnΔx

= limn→∞

f (xi )b− ani=1

n

∑

/nb− a/n

=f (x )dx

a

b

∫b− a

.

Nell’integrale definito sono fissati ambedue gli estremi di integrazione. Se decidiamo di lasciarne uno “variabile” (geometricamente significherebbe definire una “funzione dell’area”, in cui la variabile indipendente è il secondo estremo di integrazione), possiamo dare la seguente definizione:

Definizione (funzione integrale). Se f è integrabile sull’intervallo a;b!" #$, si definisce funzione integrale

F (x ) = f (t )dt ; a ≤ x ≤ ba

x

∫ .

7

E’ d’uso, quando un estremo d’integrazione è variabile, indicare la variabile della funzione integranda con un simbolo diverso.

Teorema 4 (fondamentale del calcolo integrale). Sia f una funzione

continua sull’intervallo a;b!" #$ ; allora la funzione integrale F (x ) = f (t )dt ; a ≤ x ≤ ba

x

∫

è derivabile ∀x ∈ a;b#$ %& e risulta !F (x ) = f (x ) .

Dimostrazione. Scriviamo il rapporto incrementale

F (x + h)− F (x )h

=f (t )dt − f (t )dt

a

x

∫a

x+h

∫h

= (per la proprietà 4, di additività)

=f (t )dt

x

x+h

∫h

= (per il teorema della media integrale) = (x + h− x ) f (z)h

= f (z) per

un certo valore z ∈ x;x + h( ) . Di conseguenza, passando al limite per h→ 0

si ottiene !F (x ) = limh→0

F (x + h)− F (x )h

= limz→x

f (z) = f (x ) , per la continuità della

funzione f . La seguente definizione è di fondamentale importanza. Definizione (primitiva). Si definisce primitiva della funzione f la funzione integrale F tale che !F (x ) = f (x ) .

Segue da questa definizione che le primitive sono infinite e differiscono tra loro per una costante. In particolare: Corollario (formula fondamentale del calcolo integrale). Nelle ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale si ha la seguente relazione:

F (b)− F (a) = f (x )dx := F (x )|ab

a

b

∫ .

8

Dimostrazione. Dalla definizione di primitiva di una funzione, sono primitive di f tutte le funzioni G(x ) := F (x )+ c . Di conseguenza,

G(a) = F (a)+ c = f (x )dx + c = 0+ c = ca

a

∫ ,

G(b) = F (b)+ c = f (x )dx + c⇒ F (b)− F (a) =G(b)− c −G(a)+ c =a

b

∫ f (x )dxa

b

∫ .

Esercizio

Si discuta la convessità della funzione integraleF(x) = t−2 ln t dte−1

x

∫ .

• Si tratta di applicare il teorema fondamentale del calcolo alla funzione integrale:

!F x( ) = ln xx2

⇒ !!F x( ) = x −2x ln xx4

≥ 0⇔ x > 01−2ln x > 0

&'(

)(⇔ x < e .

Un’applicazione numerica: la formula di quadratura (detta dei trapezi) Si consideri la partizione ottenuta suddividendo a;b!" #$ in intervalli uguali.

Se la funzione è integrabile nell’intervallo a;b!" #$, risulta:

f (x )dxa

b

∫ = limn→∞

b− an

f (a)2

+ f (x1)+ ...+ f (xn−1)+f (b)2

%

&'

(

)* .

Dimostrazione. Sia

€

zi un punto appartenente all’intervallo xi−1;xi"# $% .

Risulta sn ≤ xi − xi−1( ) f zi( )i=1

n

∑ =b− an

f zi( )i=1

n

∑ ≤ Sn , e, per il criterio di integrabilità,

limn→∞

b− an

f zi( )i=1

n

∑ = f (x )dxa

b

∫ . In particolare, per il teorema dei valori

intermedi mi ≤ f (zi ) =f xi−1( )+ f xi( )

2≤ Mi . Di conseguenza

f (x )dxa

b

∫ = limn→∞

b− an

f xi−1( )+ f xi( )2i=1

n

∑ =

limn→∞

b− an

f (a)+ f (x1)2

+f (x1)+ f (x2 )

2+ ...+

f (b)+ f (xn−1)2

&

'(

)

*+=

f (x )dxa

b

∫ = limn→∞

b− an

f (a)2

+ f (x1)+ ...+ f (xn−1)+f (b)2

&

'(

)

*+⋅

9

Per quanto riguarda la valutazione dell’errore assoluto Rn , se la funzione è derivabile due volte nell’intervallo a,b!" #$, questo è dato dalla

Rn ≤h2

12b− a( )M2 , dove abbiamo indicato con h = b− a

nil passo di calcolo, e con

M2 il valore massimo assunto dalla derivata seconda nell’intervallo a,b!" #$. Per ottenere la precisione data ε , occorre quindi ricavare il passo di calcolo

dalla disuguaglianza Rn ≤ ε , da cui segue h2

12b− a( )M2 ≤ ε . Il passo di calcolo

dovrà quindi avere l’ordine di grandezza di ε .

Ad esempio, se ε = 1100

⇒ h ≈ 110

⇒ n =10 .

Esempio. Vogliamo stimare con la formula dei trapezi

l’integrale sin2 x dx0

π

∫ .

n= 20 0 0

0,157 0,02444714 0,314 0,09539791 0,471 0,205914135 0,628 0,345188593 0,785 0,499601837 valorestimatodell'integraledefinito= 1,570789772

0,942 0,654054016 1,099 0,793441474

1,256 0,9041337141,413 0,9753062991,57 0,999999366

1,727 0,9757982151,884 0,9050694412,041 0,794729512,198 0,6555684052,355 0,5011944892,512 0,3467037662,669 0,2072036612,826 0,0963356882,983 0,0249414683,14 2,53654E-06

10

Esercizi

1. Sia f una funzione continua sull’intervallo a;b!" #$ con f (x ) ≤ 0 e

f (x )dx = 0a

b

∫ . Allora f è identicamente nulla.

2. Trovare le primitive delle seguenti funzioni:

a) f (x ) = 3x2 − x−2 3 ; F x( ) = x3 −3x1 3 + c"#

$%

b) f (x ) = 6x(1+3x2 )2

; F x( ) = − 1+3x2( )−1+ c

"#$

%&'

c) f (x ) = −sin 1x

x2; F x( ) = −cos 1x + c

"

#$

%

&'

d) f (x ) = x−1 2

2(1+ x ); F x( ) = arctan x + c!

"#$%&

3. Calcolare i seguenti integrali:

a) sin x1+ cos2 x

dx0

π

∫ ; π2!

"#

$

%&

b) xex2

0

1

∫ dx ; e −12

"

#$

%

&'

c) 19+4x20

3 2

∫ dx ; π36!

"#

$

%&

d) 1− x9

1− x0

1

∫ dx . k−1k=1

9

∑#

$%

&

'(

4. Dimostrare che f (x )dx = f (a − x )dx0

a

∫0

a

∫ .

11

x = a − t⇒ dx = −dt⇒ f a − x( )dx0

a

∫ = − f t( )dt = f t( )dt0

a

∫a

0

∫$

%&

'

()

5. Una sbarretta omogenea di massa m e lunghezza L viene incernierata in un punto O, distante x da una delle due estremità, ed è libera di ruotarvi attorno. In quale punto dovremmo incernierare la sbarretta affinché sia minimo il suo momento d’inerzia? • Indicata con I x( ) la funzione momento d’inerzia,

I x( ) = dmt20

x

∫ + dmt20

L−x

∫ =mL

t2 dt + t2 dt0

L−x

∫0

x

∫#

$%

&

'(=

m3L

x3 − L − x( )3#

$%&'(,

avendo indicato la massa infinitesima dm = ρdt = mLdt . Di

conseguenza, !I x( ) ≥ 0⇔ x ≥ L2

. Il momento d’inerzia è minimo

se la sbarretta è incernierata nel punto medio (e questo risulta ci viene confermato anche dal teorema di Huygens-Steiner!).

6. L’immissione di rifiuti in una discarica viene sospesa quando viene

raggiunta la quantità di 50 mila tonnellate. Da quel momento inizia il trasferimento dei rifiuti verso un’altra discarica al tasso di !P (t ) = (−1,8t −0,08t2 ) ⋅106 , dove t è il tempo trascorso espresso in mesi.

Si calcoli la quantità di rifiuti presente nella discarica dopo 3 mesi dal raggiungimento della quantità massima di rifiuti. P 3( ) = 41,18 ⋅106 kg"#

$%.

7. Utilizzare la formula dei trapezi per tabulare alcuni valori della funzione logaritmo naturale di x.

12

n= 20

2

1 1

1,05 0,952380952 1,1 0,909090909 1,15 0,869565217 1,2 0,833333333 1,25 0,8 valorestimatodell'integraledefinito= 0,693303382

1,3 0,769230769 1,35 0,740740741

1,4 0,7142857141,45 0,6896551721,5 0,666666667

1,55 0,645161291,6 0,625

1,65 0,6060606061,7 0,588235294

1,75 0,5714285711,8 0,555555556

1,85 0,5405405411,9 0,526315789

1,95 0,5128205132 0,5

L’integrale indefinito Definizione. Si dice integrale indefinito una qualsiasi funzione integrale (primitiva) di una funzione data: F (x ) = f (x )dx∫ .

Il teorema fondamentale del calcolo suggerisce un metodo per calcolare rapidamente le primitive delle funzioni più importanti: basta (quasi) leggere al contrario una tabella di derivate!

13

F (x ) = xn+1⇒ "F (x ) = (n+1)xn ⇒ xn∫ dx = xn+1

n+1+C ;

F (x ) = sin x⇒ "F (x ) = cosx⇒ cosx dx = sin x +C ;∫F (x ) = cosx⇒ "F (x ) = −sin x⇒ sin x dx = −cosx +C ;∫

F (x ) = ln x ⇒ "F (x ) = 1x⇒

dxx∫ = ln x +C ;

F (x ) = ex ⇒ "F (x ) = ex ⇒ ex dx = ex +C ;∫

F (x ) = arctan x⇒ "F (x ) = 11+ x2

⇒dx1+ x2∫ = arctan x +C ;

F (x ) = tan x⇒ "F (x ) = 1cos2 x

⇒dxcos2 x∫ = tan x +C.

Problema Si studi in modo completo (insieme di definizione, eventuali asintoti e intersezioni con

gli assi cartesiani, andamento e concavità) la funzione f x( ) = 11+ x2

, e se ne tracci un

grafico non troppo approssimativo.

• Si tratta innanzitutto di una funzione pari. 1+ x2 > 0⇒ D ≡ R , limx→±∞

11+ x2

= 0

(asintoto orizzontale y = 0 ), y = 11+ x2

x = 0

!

"#

$#

⇒ y− int x = 0y =1

!"#

$#. Notiamo che il

denominatore è tale che 1+ x2 ≥1⇒ x = 0 è un punto di massimo assoluto (troveremo una conferma dallo studio della derivata prima.

• !y = −2x

1+ x2( )2≥ 0⇔ x ≤ 0; !!y =

2 3x2 −1( )1+ x2( )

3≥ 0⇔ x ≥ 1

3. La Funzione

presenta quindi un massimo assoluto in 0,1( ) , e flessi a tangente obliqua in

−13, 34

"

#$

%

&',

13, 34

"

#$

%

&' .

14

a) In quale punto la tangente al grafico della funzione assume il valore massimo?

• Poiché la tangente dell’angolo è una funzione crescente dell’angolo in −π2,π2

"

#$

%

&',

possiamo individuare il punto in cui l’angolo è massimo in corrispondenza di quello in cui è massima la sua tangente, ovvero nel punto di massimo della derivata prima della funzione. In base allo studio condotto al punto precedente, questa ha massimo

nel punto −13, 34

"

#$

%

&' , a cui corrisponde un angolo θmax = arctan −

1

3

"

#$

%

&'= −

π6

.

(Oppure, dallo studio della funzioneθ x( ) = arctan !y( ) = arctan −2x

1+ x2( )2

#

$

%%%

&

'

(((

…)

b) Marco, dopo aver tracciato il grafico della funzione su tela, vorrebbe pitturare la

parte di piano compresa tra il grafico della funzione e l’asse delle ascisse, per x ≤1. Luca gli porge la sua tavolozza di forma semicircolare di raggio unitario, e gli dice che il colore in essa contenuto corrisponde esattamente alla quantità di cui Marco necessita. Giustifica quest’ultima affermazione.

• L’affermazione si giustifica mediante il calcolo dell’integrale definito della funzione per x ≤1:

15

dx1+ x2−1

1

∫ = arctan 1( )−arctan −1( ) = π4 +π4=π2

, che corrisponde all’area del

semicerchio di raggio unitario. Gli integrali come soluzione di semplici modelli matematici Risolvere un modello significa individuare una legge che descrive l’andamento di un fenomeno, ad esempio in base al tempo. Tra questi spicca quello riferito alla crescita di una popolazione. Nel caso discreto, la crescita l’abbiamo studiata in base al seguente schema.

Nel modello discreto, la velocità di variazione del numero d’individui è calcolata su un intervallo di tempo Δt =1anno : in altre parole è come se

avessimo scritto Nn+1 − Nn

1anno= λNn . Quest’osservazione sta alla base del

modello continuo di crescita, dato dall’equazione:

N t +Δt( )− N t( )Δt

= λN t( )⇒ $N = λN .

Equazioni di questo tipo, dove l’incognita è una funzione che compare insieme alle sue derivate, si dicono differenziali e saranno oggetto di uno studio successivo. Per ora, diciamo che la soluzione di un’equazione differenziale avviene grazie ad un processo d’integrazione che, nel caso della crescita di una popolazione, risulta essere piuttosto semplice.

16

Si può procedere così:

!N = λN ⇒!NN= λ⇒

!N τ( )N τ( )t0

t

∫ dτ = λ dτ ⇒ lnN t( )N t0( )t0

t

∫ = λ t − t0( ) , da cui segue

N t( ) = N t0( ) eλ t−t0( ) . Integrazione per sostituzione Un metodo un po’ meno immediato per il calcolo di primitive è suggerito dalla derivata della funzione composta. Esaminiamo alcuni casi rilevanti.

y = f (x )!" #$α+1⇒ &y = α +1( ) f (x )!" #$

α&f (x )⇒ f (x )!" #$

α&f (x )dx =

f (x )!" #$α+1

α +1∫ +C ;

y = ln( f (x ))⇒ &y = &f (x )f (x )

⇒&f (x )f (x )

dx = ln f (x ) +C ;∫

y = sin( f (x ))⇒ &y = &f (x )cos( f (x ))⇒ &f (x )cos( f (x ))dx = sin( f (x ))+C∫ ;

y = cos( f (x ))⇒ &y = − &f (x )sin( f (x ))⇒ &f (x )sin( f (x ))dx = −cos( f (x ))+C∫ ;

y = tan( f (x ))⇒ &y = &f (x )cos2( f (x ))

⇒&f (x )

cos2( f (x ))dx = tan( f (x ))+C ;∫

y = arcsin( f (x ))⇒ &y = &f (x )

1− f 2(x )⇒

&f (x )

1− f 2(x )dx = arcsin( f (x ))+C ;∫

y = arctan( f (x ))⇒ &y = &f (x )1+ f 2(x )

⇒&f (x )

1+ f 2(x )dx = arctan( f (x ))+C∫ ;

In generale se u =ϕ x( )⇒ du = "ϕ x( )dx⇒ f ϕ x( )( ) "ϕ x( )dx = f u( )du . Una primitiva, che avremo modo di calcolare anche con altre tecniche, è

quella relativa alla funzione f (x ) = 1m2 + x2

. Il calcolo può essere ricondotto

al tipo “arcotangente” semplicemente osservando che

dxm2 + x2∫ =

dx

m2 1+ xm

"

#$

%

&'

2"

#

$$

%

&

''

=1m∫

1m

1+ xm

"

#$

%

&'

2"

#

$$

%

&

''

∫ dx = 1marctan x

m

"

#$

%

&'+C .

17

Esercizi

1. x 2x +5( )10dx∫ 2x +5= t⇒ F x( ) =

2x +5( )12

48−5 2x +5( )

11

44+C

#

$

%%%

&

'

(((

2. 1− x1+ x∫ dx x = t⇒ F x( ) = x − 23 x

3 2 +C#

$%

&

'(

3. dx

x 2x +1∫ 2x +1= t2 ⇒ F x( ) = ln 2x +1−1

2x +1+1+C

#

$%%

&

'((

4. dx

ex −1∫ ex −1= t2 ⇒ F x( ) = 2arctan ex −1+C#

$%&'(

5. ln2xx ln4x∫ dx u = ln x⇒ du = dx

x⇒

u+ ln2u+ ln4

du⇒ F x( ) = ln x − ln ln4x( )#$

%&ln2+C∫

#

$(

%

&)

6. arcsin x( )

2

1− x2∫ dx u = arcsin x⇒ du = dx

1− x2⇒ F x( ) =

arcsin x( )3

3+C

#

$

%%%

&

'

(((

7. ex

ex +1∫ dx ex +1= t2 ⇒ F x( ) = 2 ex +1( )+C"

#$%&'

8. sin3 x

cosx∫ dx

u = cosx⇒ du = −sin xdx⇒−1− u2

udu⇒ F x( ) = −2 cosx + 2

5cosx( )

5 2+C∫

$

%&

'

()

9. *

dx

x 1+ x2∫ 1+ x2 = t2 ⇒ F x( ) = 12 ln

x2 +1−1

x2 +1+1

#

$%%

&

'((+C

)

*

++

,

-

.

.

Integrazione per parti

18

Siano f e g due funzioni continue con derivata prima continua. Dalla formula di derivazione del prodotto di funzioni si ha ddx

f (x ) g(x )( ) = !f (x ) g(x )+ f (x ) !g (x ) , da cui è possibile scrivere

!f (x ) g(x ) = ddx

f (x ) g(x )( )− f (x ) !g (x ) . Integrando ambo i membri di questa

espressione si perviene alla cosiddetta formula d’integrazione per parti:

!f (x ) g(x )dx = f (x ) g(x )|ab

a

b

∫ − f (x ) !g (x )dxa

b

∫ .

Esempio. Calcolare una primitiva della funzione f (x ) = arctan x .

arctan x dx = xarctan x − x1+ x2∫∫ dx = xarctan x − ln(1+ x

2 )2

+C .

Esercizio. Sia f una funzione derivabile nell’intervallo a,b!" #$ con

f (a) = f (b) = 0 . Dimostrare che f (t )+ t !f (t )( )dt = 0.a

b

∫

• Integrando per parti:

f (t )+ t !f (t )( )a

b

∫ dt = tf (t )− f (t )dt + f (t )dt = bf (b)− af (a) = 0.a

b

∫a

b

∫

Esercizio. Calcolare l’integrale della funzione f (x ) = arcsin x . Applicazione allo studio dei circuiti in corrente alternata Per questa applicazione è necessario saper calcolare l’integrale indefinito:

sin2 x dx = (sin x )∫∫ (sin x )dx = −(cosx )(sin x )− (−cosx )(cosx )dx∫

= −sin xcosx + (1− sin2 x )dx∫ ⇒ sin2 x dx = x − sin xcosx2∫ +C

.

La corrente indotta circolante nel circuito (ohmico) è data dalla relazione

I t( ) = εR =NABω sinωt

R.

Le forze elettromotrici e le correnti che variano con le relazioni appena viste si dicono alternate. Il grafico seguente mostra l’andamento nel tempo di una forza elettromotrice e di una corrente, alternate.

19

Nella realtà tuttavia, ciò che interessa è il valore medio della potenza fornita P = Iε nel circuito in corrente alternata (e dissipata nel resistore P = I 2R ).

Posto Imax =NABωR

, il calcolo del valore medio (su un periodo, applicando

il teorema della media integrale) è

P = I2R = NABω

R!

"#

$

%&

21T

sin2ωt dt0

T

∫!

"##

$

%&&R =

NABωR

!

"#

$

%&

21ωT

sin2ωt dt0

ωT

∫!

"##

$

%&&R =

Imax2 R2

.

Gli strumenti di misura rilevano il cosiddetto valore efficace (o valore quadratico medio) della corrente e della forza elettromotrice alternate:

Ieff =Imax2

2=Imax2

εeff = Ieff R .

In parole povere, è come se gli strumenti misurassero una corrente continua Ieff , oppure una tensione costante εeff . Esercizi

1. ln x dx∫ x ln x − x +C"# $%

2. arcsin x dx∫ xarcsin x + 1− x2 +C"#$

%&'

3. x sin x dx∫ −xcosx + sin x +C"# $%

4. xcos3x dx∫ x sin3x3

+ cos3x +C!

"#

$

%&

5. xe−x dx∫ −e−x x +1( )+C"#

$%

20

6. ** x2e3x dx∫ x2

3−2x9+227

"

#$

%

&'e3x +C

(

)**

+

,--

7. xα ln x dx∫ xα+1

α +1ln x − xα+1

α +1( )2+C

"

#

$$$

%

&

'''

8. xarctan x dx∫ x2

2arctan x − x

2+arctan x2

+C"

#$

%

&'

9. ln x + 1+ x2( )∫ dx x ln x + 1+ x2( )− 1+ x2 +C"

#$%&'

10. eax sinbx dx∫ eax a sinbx − bcosbx( )

a2 + b2+C

"

#$$

%

&''

11. sin ln x( )∫ dx x sin ln x( )− cos ln x( )( )

2+C

"

#

$$

%

&

''

12. ln ln x( )x∫ dx ln x = u⇒ 1

x=dudx⇒ ln x ln ln x( )−1#

$%&+C

#

$'

%

&(

13. e x dx∫ x = t2 ⇒ dx = 2tdt⇒ 2e x x −1( )+C#

$%&'(

14. arcsin x( )

2dx∫ x arcsin x( )

2+2 arcsin x( ) 1− x2 −2x +C"

#$%&'

15. x2dx

1+ x2( )2∫ x2dx

1+ x2( )2=

x ⋅ xdx

1+ x2( )2= ...⇒−

x2 1+ x2( )

+arctan x2

+C∫∫%

&

'''

(

)

***

21

16. dx

x2 + a2( )2∫ x2 + a2 − x2

a2 x2 + a2( )2dx = ...⇒ 1

2a3arctan x

a

#

$%&

'(+

x2a2 x2 + a2( )

+C∫*

+

,,,

-

.

///

17. 1+ x2 dx∫ x = sinh t⇒ dx = cosh tdt⇒ 12x 1+ x2 + ln x + 1+ x2( )"#$

%&'+C

(

)*

+

,-

18. a2 − x2 dx∫ xa= sin t⇒ dx = acos tdt⇒ 1

2xa1− x

2

a2+arcsin x

a

#

$%%

&

'((+C

)

*

++

,

-

.

.

19. **

dx

x +1( ) 1+ x2∫ x +1= 1

t⇒ dx = − 1

t2dt⇒ ... ln

1− x + 2 1+ x2( )1+ x

+C

#

$

%%%

&

'

(((

Integrazione di semplici funzioni razionali fratte Si studiano i casi in cui al denominatore è presente un polinomio di secondo grado ed al numeratore un polinomio di grado inferiore:

px + qax2 + bx + c

dx;∫ qax2 + bx + c

dx;∫

Qualora il grado del polinomio al numeratore fosse maggiore di quello al denominatore, si esegue la divisione tra polinomi in modo da ricondurci ai casi suddetti (più l’integrazione del polinomio quoziente). In base al segno del discriminante del polinomio al denominatore si hanno tre casi:

1. Δ > 0⇒ ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2 ) . Si decompone la funzione

integranda nella somma di funzioni Ax − x1

+Bx − x2

, dove i coefficienti al

numeratore sono determinati con il principio d’identità dei polinomi.

• Esempio. Si calcoli il seguente integrale: 2x −7x2 − x −2

dx∫ .

Si ha x2 − x −2 = (x −2)(x +1) . Imponiamo che Ax −2

+Bx +1

=2x −7x2 − x −2

. Si uguaglia il polinomio al numeratore del

membro di sinistra (A+ B )x + (A−2B ) a quello del membro di

22

destra 2x −7( ) . Si determinano i coefficienti A e B risolvendo il

sistema A+ B = 2A−2B = −7

"#$

%$⇒ B = 3

A = −1

"#%

L’integrale di partenza si

scrive quindi nella forma 2x −7x2 − x −2

dx∫ =−1x −2

dx + 3x +1

dx = − ln x −2 +3ln x +1 +C∫∫ .

2. Δ = 0⇒ ax2 + bx + c = a(x − x1)2

. Si possono presentare due tipologie di integrali di questo tipo.

• Esempio. Si calcoli il seguente integrale: 14x2 −4x +1

dx∫ .

Risulta 14x2 −4x +1

dx∫ =1

4 x − 12

#

$%

&

'(

2∫ dx = − 1

4 x − 12

#

$%

&

'(

+C .

• Esempio. Si calcoli il seguente integrale: x +59x2 −6x +1

dx∫ .

In questo caso si ha x +59x2 −6x +1

dx∫ =x +5

9 x − 13

#

$%

&

'(

2∫ dx . Scriviamo la

funzione integranda nella forma

A

9 x − 13

"

#$

%

&'

+B

9 x − 13

"

#$

%

&'

2=

x +5

9 x − 13

"

#$

%

&'

2⇒

A =1

B = 163

)

*+

,+

, da cui segue

x +59x2 −6x +1

dx∫ =1

9 x − 13

#

$%

&

'(

∫ dx + 16 3

9 x − 13

#

$%

&

'(

2∫ =19ln x − 1

3−

16

27 x − 13

#

$%

&

'(

+C .

3. Δ < 0 . In questo caso il polinomio si scrive come somma del quadrato di un binomio e di un numero positivo.

• Esempio. Si calcoli il seguente integrale: 14x2 −4x +6

dx∫ .

L’integrale è quindi scritto nella forma 1

4x2 −4x +6dx∫ =

14x2 −4x +1+5∫ dx = 1

2x −1( )2+5

∫ dx . Si passa al

23

“tipo arcotangente” con l’operazione 1

2x −1( )2+5

∫ dx = 15

1

2x5−15

#

$%

&

'(

2

+1

dx = 12 5

∫ arctan 2x5−15

#

$%

&

'(+C .

• Esempio. Si calcoli il seguente integrale: 3x +1x2 +4

dx∫ .

In questo caso non si cerca il quadrato del binomio, bensì:

3x +1x2 +4

dx∫ =3xx2 +4

dx + 1x2 +4∫∫ dx = 3

22xx2 +4

+24∫

12x2"

#$%

&'

2

+1∫ dx , da cui

si ottiene

3x +1x2 +4

dx∫ =32

2xx2 +4

+24∫

12x2"

#$%

&'

2

+1∫ dx = 3

2ln x2 +4( )+ 12arctan

x2"

#$%

&'+C .

Esercizi

1. x +7x2 − x −2∫ dx −2ln x +1 +3ln x −2 +C"

#$%

2. xx2 +2x +1

dx∫ ln x +1 + 1x +1

+C!

"#

$

%&

3. 1−2xx2 +2x +5∫ dx − ln x2 +2x +5( )+ 32arctan

x +12

"

#$

%

&'+C

(

)*

+

,-

4. xx2 + x +1

dx∫ 12ln x2 + x +1( )− 3

3arctan 2

3x + 1

3

"

#$

%

&'+C

(

)**

+

,--

5. x5 − x +1x4 + x2

∫ dx x2

2− ln x − 1

x−arctan x +C

"

#$

%

&'

24

6. Dopo aver dimostrato che, se f è una funzione continua, la derivata

della funzione integraleF x( ) = f t( )dt0

g x( )

∫ è !F x( ) = f g x( )( ) ⋅ !g x( ) , si

calcoli il limx→0

t2 dt0

1−cosx

∫x4

. (Si osservi che F x + h( )− F x( )

h=

f (t )dtg ( x )

g ( x+h )

∫

h…)

• limh→0

F x + h( )− F x( )h

= limh→0

f (t )dtg ( x )

g ( x+h )

∫

h= lim

h→0

g x + h( )− g x( )( ) ⋅ f g(z)( )h

= %g x( ) ⋅ f g x( )( )

• Si applica il teorema di de l’Hospital

limx→0

t2 dt0

1−cosx

∫x4

= limx→0

1− cosx( )2sin x

4x3 e, poi, i limiti notevoli:

limx→0

1− cosx( )2sin x

4x3= limx→0

1− cosx( )2

x4x sin x4

=14⋅0 = 0 .

Problema

1. E’ data la funzione f (x ) = e−x cosx . Si tracci un grafico approssimativo evidenziando chiaramente: limiti agli estremi dell’insieme di definizione, andamento, massimi e minimi assoluti e relativi, concavità e convessità.

• D ≡ R⇒limx→+∞

e−x cosx = 0

limx→−∞

e−x cosx = /∃

• f (x ) = e−x cosx⇒ #f x( ) = −e−x cosx + sin x( )⇒ #f x( ) ≥ 0⇔ cosx + sin x( ) ≤ 0

la funzione è crescente negli intervalli della forma 3π4+2kπ ,7π

4+2kπ

!

"#

$

%& , dove gli estremi sono, rispettivamente, punti di

minimo e di massimo relativi. • !f x( ) = −e−x cosx + sin x( )⇒ !!f x( ) = 2e−x sin x⇒ !!f x( ) ≥ 0⇔ sin x ≥ 0 , la

funzione è convessa negli intervalli della forma 2kπ , 2k +1( )π!"

#$,

dove gli estremi sono punti di flesso a tangente obliqua.

25

Inoltre: a) Si calcoli l’area racchiusa dal grafico e dall’asse delle ascisse per

0 ≤ x ≤ π2

;

• e−x cosx dx0

π2

∫ = −e−x cosx − e−x sin x dx = −e−x cosx − −e−x sin x + e−x cosx dx∫#$

%&∫

da cui segue e−x cosx dx =e−x sin x − cosx( )"#

$%0

π2

20

π2

∫ =e−π2 +12

.

b) Si determini una relazione tra la funzione e le sue derivate prima e seconda2.

•

f x( ) = e−x cosx"f x( ) = e−x −cosx − sin x( )

""f x( ) = e−x 2sin x( )⇒ ""f +2 "f +2 f = 0 .

2 Un’equazione differenziale

26

Calcolo di aree L’integrale definito ha permesso di calcolare l’area di figure piane tipo

S = x, y( ) a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f x( ){ } : Area S( ) = f x( )a

b

∫ dx . In generale, se

vogliamo calcolare l’area di una regione del piano delimitata da due funzioni continue f x( ), g x( ) , definita come

G = x, y( ) a ≤ x ≤ b, g x( ) ≤ y ≤ f x( ){ } , dobbiamo calcolare l’integrale

definito

Area G( ) = f x( )− g x( )"#

$%

a

b

∫ dx .

Esempio. Calcolare l’area della regione finita racchiusa dai grafici delle

funzioni y = −3x2 −2x +2 e y = −1x

.

Innanzitutto, è opportuno tracciare i grafici delle due curve, e calcolare le ascisse dei punti che delimitano l’intervallo (o gli intervalli) in cui è definita la regione finita del piano, racchiusa dai grafici delle due curve.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

y = −3x2 −2x +2

y = −1x

"

#$

%$

⇒

x1 = −1:= a

x2 =1− 136

:= b

x3 =1+ 136

⇒ Area G( ) = −3x2 −2x +2+ 1x

"

#$

%

&'

−1

1− 136

∫ dx .

27

Calcolo di volumi di solidi di rotazione Vogliamo calcolare il volume di particolari solidi, generati dalla rotazione di un trapezio curvilineo, limitato dalla curva y = f x( ) , dall’asse x, e dalle rette x = a e x = b , intorno agli assi cartesiani. Rotazione attorno all’asse x In questo caso l’elemento di volume è dato dal cilindro infinitesimo di altezza Δx e raggio f x( ) , dV = π f x( )!

"#$2dx . Il volume si calcola con la formula

V = π f x( )!"

#$2dx

a

b

∫ .

Esempio Calcolare il volume del corpo generato dalla rotazione della figura limitata dal grafico della funzione f x( ) = sin x , dal segmento 0 ≤ x ≤ π , e dall’asse delle ascisse, attorno all’asse x.

• V = π sin2 x dxa

b

∫ = πx − sin xcosx

2

#

$%

&

'(0

π

=π 2

2.

Rotazione attorno all’asse y In questo caso l’elemento di volume è dato dalla corona cilindrica di altezza f x( ) , larghezza Δx , e raggio x , dV = 2πxf x( )dx . Il volume si calcola con la formula

V = 2π xf x( )dxa

b

∫ .

Esempio Calcolare il volume del corpo generato dalla rotazione della figura limitata dal grafico della funzione f x( ) = sin x , dal segmento 0 ≤ x ≤ π , e dall’asse delle ascisse, attorno all’asse y.

• V = 2π x sin x dx0

π

∫ = 2π −xcosx + sin x#$ %&0π= 2π 2 .

Osservazione. Nel caso generale, il volume del corpo generato dalla rotazione attorno agli assi cartesiani di una figura limitata dalle curve y = f x( ) ≤ y = g x( ) dall’asse x, e dalle rette x = a e x = b , è dato dalle seguenti

formule.

28

• Rotazione attorno all’asse x: V = π g x( )!"

#$2− f x( )!"

#$2{ }dx

a

b

∫ .

• Rotazione attorno all’asse y: V = 2π x g x( )− f x( )"#

$%dx

a

b

∫ .

Esempio. Calcolare il volume del toro generato dalla rotazione del cerchio x2 + y− b( )

2= a2 , con b ≥ a , attorno all’asse delle ascisse.

• Posto f x( ) = b− a2 − x2 ; g x( ) = b+ a2 − x2 si ha

V = 4πb a2 − x2 dx−a

a

∫ = 2π 2a2b .

Problema Dopo aver rappresentato graficamente le funzioni y = ex−2e y = x −1, si calcoli il volume del solido ottenuto ruotando la regione finita delimitata dall’asse delle ordinate e dai grafici delle due funzioni. Soluzione Conviene traslare di uno le due funzioni lungo la direzione dell’asse delle ordinate: f x( ) = ex−2 +1, g x( ) = x . Adesso è possibile utilizzare la formula che fornisce il volume dei solidi ottenuti ruotando il grafico di funzioni positive attorno all’asse delle

ordinate: V y = 2π x ex−2 +1− x"

#$%

0

2

∫ dx = 2π xex−2 − ex−2 + x2

2−x3

3

"

#'

$

%(0

2

=

2π 2−1+2− 83− 0− e−2 +0+0( )

"

#'

$

%(= 2π

13+1e2

"

#'

$

%(

.

29

Oppure, senza traslazione, potremmo considerare il solido come costituito di tre parti: il cono di vertice nel punto (0,-1) e raggio 1, quello ottenuto ruotando la funzione f x( ) = ex−2,0 ≤ x ≤1, e quello ottenuto ruotando la

parte di piano compresa tra le funzioni f x( ) = ex−2e g x( ) = x −1, con

1≤ x ≤ 2 . In definitiva: V =

π3+2π xex−2 dx

0

1

∫ +2π x ex−2 − x −1( )#$

%&

1

2

∫ dx =

π3+2π e−2 + π

3= 2π 1

3+1e2

#

$'

%

&(

.

Nei casi in cui il centro di gravità di una figura piana coincide con il centro geometrico (quando questo esiste), è possibile sfruttare il seguente risultato. Teorema di Guldin. Il volume di un corpo generato dalla rotazione di una figura piana intorno ad un certo asse che si trova nel piano della figura senza intersecarla, è uguale al prodotto dell’area di questa figura per la lunghezza della circonferenza descritta dal centro di gravità della figura. Esempio. Calcolare il volume del toro generato dalla rotazione del cerchio x2 + y− b( )

2= a2 , con b ≥ a , attorno all’asse delle ascisse.

• Applichiamo stavolta il teorema di Guldin. L’area è πa2 , mentre la lunghezza della circonferenza descritta è 2πb ; il volume è quindi 2π 2a2b .

Esercizio. Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando il triangolo di vertici A(2;0), B(4;0), C(3;4) attorno all’asse delle ordinate3.

• Il triangolo in questione è isoscele, con altezza parallela all’asse delle ordinate. Per questioni di simmetria, il baricentro del triangolo appartiene alla retta contenente l’altezza x = 3 , di conseguenza la sua distanza dall’asse di rotazione è r = 3 . L’area

del triangolo è A = 2 ⋅42

= 4 , il volume richiesto si ottiene

applicando il teorema di Guldin: V = 2π rA = 24π .

3 Si ricorda che il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle mediane…

30

Problema 1 (PD): “salvataggio in mare” Due Stati, di cui uno insulare, sono raffigurati come segue.

Nel rispetto della convenzione di Montego Bay4, l’ampiezza delle acque territoriali dei due stati è stabilita in 20km . Sull’isola le imbarcazioni possono attraccare o salpare da qualsiasi punto del tratto costiero AB, e solo da quello. 4 Fonte Wikipedia

31

I due Stati hanno stabilito la seguente convenzione che regola tutti gli interventi di soccorso in mare: una volta individuate le coordinate del punto in cui si è verificata l’emergenza, se questo dista da D più che dalla costa AB interviene lo Stato insulare, altrimenti l’altro Stato. Limitando lo studio al braccio di mare costituito dal trapezio ABDG, esprimi con una funzione della variabile x, nel sistema di riferimento in figura, la linea rappresentativa dei punti in cui è indifferente l’intervento dei due Stati (equidistanza da questi del punto dove si è verificata l’emergenza, nel rispetto della convenzione stabilita). Qual è l’ampiezza dell’area d’intervento dello Stato insulare all’interno del braccio di mare delimitato dal trapezio ABDG? SOLUZIONE Poiché 0 < x ≤ 400km si tratta del luogo dei punti equidistanti da D (fuoco) e dalla retta di appartenenza del tratto costiero AB (direttrice):

y = x −0( )2+ y+400( )

2⇒ x2 +800 y+160.000 = 0 .

L’ampiezza può essere calcolata con il seguente integrale definito:

x2

800+200

!

"#

$

%&

0

400

∫ dx = 320.0003

km2 .

Problema 2 (PD o PF ?): “popolazione estiva” La popolazione di un’isola conta 5.000 abitanti residenti. Durante il periodo estivo la popolazione può crescere fino ad un massimo di 50.000 abitanti. Sull’isola non ci sono aeroporti e può essere raggiunta via mare partendo solo da una città sul continente. Dal I luglio iniziano le partenze giornaliere dalla città verso l’isola; il tasso di crescita della popolazione di questa è proporzionale alla differenza tra il numero massimo di abitanti che possono essere ospitati e quelli presenti ad

32

una data successiva al I luglio. Assumi come modello discreto per la rappresentazione del numero di abitanti la successione

Nn = 50.000−45.000 1− k( )n.

Sapendo che la popolazione dopo venti giorni dall’inizio degli arrivi è di 25.000 abitanti:

a) Determina il modello continuo con cui rappresentare il numero di

abitanti N t( ) in base al modello !N = k 50.000− N( )

N 0( ) = 5.000#$%

&%;

b) Confronta i valori di k ottenuti con i due modelli; c) Calcola infine il numero medio di presenze dopo trenta giorni

(dall’inizio degli arrivi). SOLUZIONE

a) L’equazione differenziale ha come soluzione generale − ln 50.000− N t( )( )+ ln 50.000−5000( ) = kt , da cui segue

N t( ) = 50.000−45.000e−kt . Si determina il parametro imponendo che

25.000 = 50.000−45.000e−k20 ⇒ k = 0,03 . b) Confrontando il modello continuo N t( ) = 50.000−45.000e−kt con

quello discreto Nn = 50.000−45.000 1− k( )n, si giunge ad una

determinazione di k (ottenuto sostituendo t = 20 nel modello continuo e n = 20 in quello discreto) che differisce, tra i due modelli, per 4 ⋅10−4 !

c) Il numero medio di presenze richiesto è quindi

N =130

50.000−45.000e−0,03t( )0

30

∫ dt = 130

50.000t + 45.000e−0,03t

0,03

#

$%

&

'(0

30

= 20.328 .

Problema 2 (PD): CHI VA SULLA PALLA?

In un classico schema calcistico (molto semplificato) quattro difensori sono schierati, in linea, a 20 metri dalla linea di fondo, nella loro metà campo. I difensori intervengono sulla palla se questa è più vicina alla loro linea che al portiere, schierato per l’occasione al centro della linea di porta. In base al sistema di riferimento fissato in figura:

a) Trova il luogo dei punti equidistanti dal portiere e dalla linea dei difensori.

33

b) Limitandoti alla porzione di campo compresa tra la linea dei difensori e quella di fondo-campo, calcola l’area della porzione di campo in cui sono chiamati all’intervento i difensori.

SOLUZIONE

a) Si tratta di una parabola con fuoco nell’origine del sistema di riferimento scelto, e direttrice coincidente con la linea dei difensori; il

vertice è il punto di coordinate V 0,10( ) , ed il parametro a = − 140

.

L’equazione della parabola è quindi y = − x2

40+10 .

b) L’area d’intervento dei difensori è data dal rettangolo di dimensioni 80m×20m , privato dell’area d’intervento del portiere (area del

segmento di parabola): Area =1.600m2 − −x2

40+10

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dx

−20

20

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥m2 =1.067m2 .

Problema 3 (PD): Svuota la botte Una botte barrique in cui è conservato del buon vino ha una forma ottenibile ruotando l’arco di parabola ʹP QP attorno all’asse delle ascisse, secondo lo schema in figura. Quant’è il volume della botte?

34

SOLUZIONE Scriviamo l’equazione della parabola a cui appartiene l’arco PQP’: P h,r( ),Q 0,R( ), !P −h,r( )⇒ y− R = a x −0( )

2

r − R = ah2 ⇒ a = r − Rh2

⇒ y = r − Rh2

x2 + R = − x2

32+3

. Il volume della botte si

determina con la formula

V = π f x( )!"

#$2dx = π 3− x

2

32

!

"&

#

$'

2

−h

h

∫a

b

∫ dx = π 9+ x4

1024−3x2

16

!

"&

#

$'dx

−h

h

∫ =

2π 9x + x5

5 ⋅1024−x3

16

!

"&

#

$'0

4

= 2π 36+0,2−4!" #$= 202dm3

.

Problema 4(PD): “Burro cacao” Una ditta che produce burro cacao per le labbra vuole stimare il numero di utilizzi del prodotto. Per questo scopo, il modello di riferimento per la superficie labiale è quello riportato in figura. Si stima che, ad ogni utilizzo, si deposita sulle labbra un film dello spessore d = 5 ⋅10−3cm . Il prodotto

35

contenuto nello stick ha una forma cilindrica di volume V = 6 ⋅10−3dm3 . Qual è, approssimativamente, il numero di utilizzi?

SOLUZIONE Ad ogni utilizzo, il volume di prodotto consumato è

ΔV = S ⋅ d = 2 cos x −0,52( )−0,2x2⎡⎣

⎤⎦

0

1,5

∫ dx⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪⋅5 ⋅10−3cm3 = 6 ⋅10−3cm3 . Il

numero di utilizzi è quindi N =VΔV

=6cm3

6 ⋅10−3cm3=103 .