CAPITOLO 6 Il piano fattoriale 2k - static.gest.unipd.itstatic.gest.unipd.it/~livio/PDF/Capitolo 6 - Montgomery.pdf · 3 Procedura di Analisi per un Piano Fattoriale • Stima degli

1

Douglas C. MontgomeryProgettazione e analisi degli esperimenti

© 2006 McGraw-Hill

CAPITOLO 6Il piano fattoriale 2k

Metodi statistici e probabilistici per l’ingegneriaCorso di Laurea in Ingegneria Civile

A.A. 2009-10

Facoltà di Ingegneria, Università di PadovaDocente: Dott. L. Corain

Il Piano Fattoriale 2k

• Il piano 22

• Il piano 23

• Il piano generale 2k

• Il piano 2k con una sola replicazione

• L’aggiunta dei punti centrali al piano 2k

2

Il piano fattoriale 22

Il livello alto e il livello basso dei fattori sono indicati rispettivamente con “+” e “-”

Basso e alto sono nomi arbitrari

Geometricamente, le quattro prove formano gli angoli del quadrato

I Fattori possono essere quantitativi o qualitativi, sebbene la loro trattazione nel modello finale possono essere diversi

Esempio Processo Chimico

A = concentrazione reagente

B = quantità catalizzatore

Y = resa

3

Procedura di Analisi per un Piano Fattoriale

• Stima degli effetti dei fattori• Creazione del modello iniziale

– Con replicazione: usare il modello completo– Con una sola replicazione di piano: usare il

grafici di probabilità normale• Test statistici (ANOVA)• Messa a punto del modello• Analisi dei residui (graficamente)• Interpretazione dei risultati

Stima degli effetti dei fattori

1

1

1

(1)2 2[ (1)]

(1)2 2[ (1)]

(1)2 2

[ (1) ]

A A

n

B B

n

n

A y y

ab a bn n

ab a bB y y

ab b an n

ab b aab a bAB

n nab a b

+ −

+ −

= −

+ += −

= + − −

= −

+ += −

= + − −

+ += −

= + − −

Vedere il libro a pag. 248 Per i calcoli manuali

Gli effetti stimati sono: A = 8.33, B = -5.00, AB= 1.67

Interpretazione pratica?

Analisi Design-Expert

4

Stima degli effetti dei Fattori

Term Effect SumSqr % ContributionModel InterceptModel A 8.33333 208.333 64.4995Model B -5 75 23.2198Model AB 1.66667 8.33333 2.57998Error Lack Of Fit 0 0Error P Error 31.3333 9.70072

Lenth's ME 6.15809Lenth's SME 7.95671

Test Statistici: tabella ANOVA

Response:ConversionANOVA for Selected Factorial Model

Analysis of variance table [Partial sum of squares]

Sum of Mean FSource Squares DF Square Value Prob > FModel 291.67 3 97.22 24.82 0.0002A 208.33 1 208.33 53.19 < 0.0001B 75.00 1 75.00 19.15 0.0024AB 8.33 1 8.33 2.13 0.1828Pure Error 31.33 8 3.92Cor Total 323.00 11

Std. Dev. 1.98 R-Squared 0.9030Mean 27.50 Adj R-Squared 0.8666C.V. 7.20 Pred R-Squared 0.7817

PRESS 70.50 Adeq Precision 11.669

5

Stima puntuale e intervallaredei parametri

Coefficient Standard 95% CI 95% CI

Factor Estimate DF Error Low High VIFIntercept 27.50 1 0.57 26.18 28.82A-Concent 4.17 1 0.57 2.85 5.48 1.00B-Catalyst -2.50 1 0.57 -3.82 -1.18 1.00AB 0.83 1 0.57 -0.48 2.15 1.00

Modello finaleResponse:Conversion

ANOVA for Selected Factorial ModelAnalysis of variance table [Partial sum of squares]

Sum of Mean FSource Squares DF Square Value Prob > FModel 283.33 2 141.67 32.14 < 0.0001A 208.33 1 208.33 47.27 < 0.0001B 75.00 1 75.00 17.02 0.0026Residual 39.67 9 4.41Lack of Fit 8.33 1 8.33 2.13 0.1828Pure Error 31.33 8 3.92Cor Total 323.00 11



6

Controlli Diagnostici e ResiduiDESIGN-EXPERT PlotConversion

Res idual

Nor

mal

% p

roba

bilit

y

Normal plot of residuals

-2.83333 -1.58333 -0.333333 0.916667 2.16667

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99

DESIGN-EXPERT P lotConversion

22

Predicted

Res

idua

ls

Residuals vs. Predicted

-2.83333

-1.58333

-0.333333

0.916667

2.16667

20.83 24.17 27.50 30.83 34.17

Superficie di Rispostat Conversion

A: Concentration

B: C

atal

yst

15.00 17.50 20.00 22.50 25.00

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

23.0556

25.2778

27.529.7222

31.9444

3 3

3 3 n

20.8333

24.1667

27.5

30.8333

34.1667

C

on

vers

ion

15.00

17.50

20.00

22.50

25.00

1 .00

1.25

1.50

1.75

2.00

A : Concen tra tio n B : Ca ta lyst

7

Il Piano Fattoriale 23

Effetti nei Piani Fattoriali 23

etc, etc, ...

A A

B B

C C

A y y

B y y

C y y

+ −

+ −

+ −

= −

= −

= −

Analisi fatta via computer

8

Esempio di un Piano Fattoriale 23

A = carbonatazione, B = pressione,

C = velocità, y = scarto riempimento

Factorial Effect

TreatmentCombin.

I A B AB C AC BC ABC

(1) = -4 + - - + - + + -

a = 1 + + - - - - + +

b = -1 + - + - - + - +

ab = 5 + + + + - - - -

c = -1 + - - + + - - +

ac = 3 + + - - + + - -

bc = 2 + - + - + - + -

abc = 11 + + + + + + + +

Contrast 24 18 6 14 2 4 4

Effect 3.00 2.25 0.75 1.75 0.25 0.50 0.50

Tabella dei segni algebrici (– e +) per calcolare gli effetti nel piano fattoriale 23 (pag. 258)

9

Proprietà della Tabella• Tranne la colonna I, ogni colonna ha un egual numero di segni +

e –• La somma dei prodotti dei segni in ogni coppia di colonne è zero• La colonna I moltiplicata per ogni colonna lascia tale colonna

inalterata (I elemento identità)• Il prodotto di una qualunque coppia di colonne produce una

colonna presente nella tabella:

• Piani Ortogonali• L’ortogonalità è un’importante proprietà per tutti i piani fattoriali

2

A B ABAB BC AB C AC× =

× = =

Stima degli effetti dei Fattori

Term Effect SumSqr % ContributionModel InterceptError A 3 36 46.1538Error B 2.25 20.25 25.9615Error C 1.75 12.25 15.7051Error AB 0.75 2.25 2.88462Error AC 0.25 0.25 0.320513Error BC 0.5 1 1.28205Error ABC 0.5 1 1.28205Error LOF 0Error P Error 5 6.41026


10

Riassunto ANOVA – Modello CompletoResponse:Fill-deviation

ANOVA for Selected Factorial ModelAnalysis of variance table [Partial sum of squares]

Sum of Mean FSource Squares DF Square Value Prob > FModel 73.00 7 10.43 16.69 0.0003A 36.00 1 36.00 57.60 < 0.0001B 20.25 1 20.25 32.40 0.0005C 12.25 1 12.25 19.60 0.0022AB 2.25 1 2.25 3.60 0.0943AC 0.25 1 0.25 0.40 0.5447BC 1.00 1 1.00 1.60 0.2415ABC 1.00 1 1.00 1.60 0.2415Pure Error 5.00 8 0.63Cor Total 78.00 15



Coefficienti – Modello Completo

CoefficientStandard 95% CI 95% CI

Factor Estimate DF Error Low High VIF

Intercept 1.00 1 0.20 0.54 1.46

A-Carbonation 1.50 1 0.20 1.04 1.96 1.00B-Pressure 1.13 1 0.20 0.67 1.58 1.00C-Speed 0.88 1 0.20 0.42 1.33 1.00AB 0.38 1 0.20 -0.081 0.83 1.00AC 0.13 1 0.20 -0.33 0.58 1.00BC 0.25 1 0.20 -0.21 0.71 1.00ABC 0.25 1 0.20 -0.21 0.71 1.00

11

Messa a Punto del Modello-Rimozione dei Fattori non Significativi

Response: Fill-deviationANOVA for Selected Factorial Model


Sum of Mean FSource Squares DF Square Value Prob > FModel 70.75 4 17.69 26.84 < 0.0001A 36.00 1 36.00 54.62 < 0.0001B 20.25 1 20.25 30.72 0.0002C 12.25 1 12.25 18.59 0.0012AB 2.25 1 2.25 3.41 0.0917Residual 7.25 11 0.66LOF 2.25 3 0.75 1.20 0.3700Pure E 5.00 8 0.63C Total 78.00 15



Coefficienti ModelloStima puntuale e intervallare

Coefficient Standard 95% CI 95% CIFactor Estimate DF Error Low HighIntercept 1.00 1 0.20 0.55 1.45A-Carbonation 1.50 1 0.20 1.05 1.95B-Pressure 1.13 1 0.20 0.68 1.57C-Speed 0.88 1 0.20 0.43 1.32AB 0.38 1 0.20 -0.072 0.82

12

Modello Statistico Completo (pag. 264)• R2 e R2 corretto (Adj)

• R2 prediction (basato sulla statistica PRESS)

2

2

73.00 0.935978.00

/ 5.00 / 81 1 0.8798/ 78.00 /15

Model

T

E EAdj

T T

SSRSS

SS dfRSS df

= = =

= − = − =

2Pred

20.001 1 0.743678.00T

PRESSRSS

= − = − =

Modello Statistico Completo (pag. 264)

• Errore standard di ciascun coefficiente

• Intervalli di confidenza per ciascun coefficiente di regressione

2 0.625ˆ ˆ( ) ( ) 0.202 2 2(8)

Ek k

MSse Vn nσβ β= = = = =

/ 2, / 2,ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )

E Edf dft se t seα αβ β β β β− ≤ ≤ +

13

Modello di Regressione

Final Equation in Terms of Coded Factors:

Fill-deviation =+1.00+1.50 * A+1.13 * B+0.88 * C+0.38 * A * B

Final Equation in Terms of Actual Factors:

Fill-deviation =+9.62500-2.62500 * Carbonation-1.20000 * Pressure+0.035000 * Speed+0.15000 * Carbonation * Pressure

I Grafici dei Residui sono SoddisfacentiDESIGN-EXPERT Plo tFi l l -devia tion

Studentized Res iduals

Nor

mal

% p

roba

bilit

y


-1.67 -0.84 0.00 0.84 1.67

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99

14

Interpretazione del ModelloDESIGN-EXPERT Plo t

Fi l l -devia tion

X = A : CarbonationY = B : Pressure

B- 25.000B+ 30.000

Actua l FactorC: Speed = 225.00

B: Pres s ureInteraction Graph

Fill-

devi

atio

n

A: Carbonation

10.00 10.50 11.00 11.50 12.00

-3

-0.75

1.5

3.75

6

Misura dell’interazione tra il livello di carbonatazione e la pressione

Interpretazione del ModelloDESIGN-EXPERT P lot

Fi l l -devia tionX = A: CarbonationY = B: PressureZ = C: Speed

Cube GraphFill-deviation

A: Carbonation

B: P

ress

ure

C : Speed

A- A+B-

B+

C-

C+

-2.13

-0.37

-0.63

1.13

0.12

1.88

3.13

4.88 I grafici a cubo sono spesso usati per visualizzare graficamente i risultati degli esperimenti

15

Superficie di risposta rappresentata mediante linee di livello con velocità di

livello altoDESIGN-EXPERT P lot

Fi l l -devia tionX = A: CarbonationY = B: Pressure

Design Poin ts

Actua l FactorC: Speed = 250.00

Fill-deviation

A: Carbonation

B: P

ress

ure

10.00 10.50 11.00 11.50 12.00

25.00

26.25

27.50

28.75

30.00

0.5

1.375

2.25

3.125

2 2

2 2

-0.375

0.9375

2.25

3.5625

4.875

F

ill-

de

via

tio

n

10.00

10.50

11.00

11.50

12.00

2 5.00

26.25

27.50

28.75

30.00

A: Carbonation B: Pressure

Il Piano Generale 2k

• Paragrafo 6-4, pag. 269, Tabella 6-9, pag. 271• Il modello potrebbe comprendere k effetti

principali, e

interazioni a due fattori 2

interazioni a tre fattori3

1 interazioni a fattori

k

k

k

−M

16

Il piano 2k con una sola replicazione

• Questi sono piani fattoriali 2k con una prova ad ogni angolo del “cubo”

• Il piano 2k con una sola replicazione è anche a volte chiamato “fattoriale non replicato” del piano 2k

• Questi piani sono ampiamente usati• Rischio… se c’è una sola prova ad ogni angolo, c’è

la possibilità di conclusioni fuorvianti• Principio della rarità degli effetti

Spaziatura tra i Livelli del Fattore su un Piano

2kNon Replicato

Se la distanza tra i livelli del fattore aumenta, cresce la possibilità che le fluttuazioni aleatorie coprano i veri effetti del segnale

Aumentare decisamente la distanze è buona pratica

17

Il piano 2k con una sola replicazione• Mancanza di replicazione causa potenziali problemi

nei test statistici– Una replicazione può rendere valida una stima di

“errore puro” (stime interne dell’errore)– Senza replicazione, il modello completo risulta

avere zero gradi di libertà per l’errore• Possibili soluzioni a questo problema

– Uso comune di certe interazioni di ordine elevato per stimare l’errore

– Grafico di probabilità normale degli effetti (Daniel, 1959)

– Altri metodi … vedere il testo, pag. 283

Esempio di un piano 2k con una sola replicazione

• Un piano 24 viene condotto per studiare gli effetti di quattro fattori che influiscono sulla filtrazione della resina

• I fattori sono A = temperatura, B = pressione, C = concentrazione di formaldeide, D = velocità di mescolamento

• L’esperimento viene condotto in un impianto pilota

18

L’ Esperimento della Resina

L’ Esperimento della Resina

19

Stima degli EffettiTerm Effect SumSqr % Contribution

Model InterceptError A 21.625 1870.56 32.6397Error B 3.125 39.0625 0.681608Error C 9.875 390.062 6.80626Error D 14.625 855.563 14.9288Error AB 0.125 0.0625 0.00109057Error AC -18.125 1314.06 22.9293Error AD 16.625 1105.56 19.2911Error BC 2.375 22.5625 0.393696Error BD -0.375 0.5625 0.00981515Error CD -1.125 5.0625 0.0883363Error ABC 1.875 14.0625 0.245379Error ABD 4.125 68.0625 1.18763Error ACD -1.625 10.5625 0.184307Error BCD -2.625 27.5625 0.480942Error ABCD 1.375 7.5625 0.131959


Grafico della Probabilità Normale degli Effetti

DES IG N-E XP E RT P lo tFi l tra ti on Ra te

A : T e m pe ra tu reB : P ressu reC: Co nce n tra ti o nD: S ti rri ng Ra te

Normal plot

Nor

mal

% p

roba

bilit

y

E ffect

-18.12 -8.19 1.75 11.69 21.62

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99

A

CD

AC

AD

20

Grafico di Probabilità Semi - Normale DESIGN-EXPERT PlotFi l tra tion Rate

A: T em peratureB: PressureC: Concentra tionD: Sti rring Rate

Half Normal plot

Hal

f Nor

mal

% p

roba

bilit

y

|Effect|

0.00 5.41 10.81 16.22 21.63

0

20

40

60

70

80

85

90

95

97

99

A

CD

AC

AD

Riassunto ANOVA del Modello

Response:Filtration RateANOVA for Selected Factorial Model


Sum of Mean FSource Squares DF Square Value Prob >FModel 5535.81 5 1107.16 56.74 < 0.0001A 1870.56 1 1870.56 95.86 < 0.0001C 390.06 1 390.06 19.99 0.0012D 855.56 1 855.56 43.85 < 0.0001AC 1314.06 1 1314.06 67.34 < 0.0001AD 1105.56 1 1105.56 56.66 < 0.0001Residual 195.12 10 19.51Cor Total 5730.94 15



21

Modello di Regressione

Final Equation in Terms of Coded Factors:

Filtration Rate =+70.06250+10.81250 * Temperature+4.93750 * Concentration+7.31250 * Stirring Rate-9.06250 * Temperature * Concentration+8.31250 * Temperature * Stirring Rate

I Grafici dei Residui sono Soddisfacenti

DESIGN-EXPERT PlotFi l tration Rate

Studentized Res iduals

Nor

mal

% p

roba

bilit

y


-1.83 -0.96 -0.09 0.78 1.65

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99

22

Interpretazione del Modello –Interazioni

DESIGN-EXPERT P lot

Fi l tra tion Rate

X = A: T em peratureY = C: Concentra tion

C- -1 .000C+ 1.000

Actua l FactorsB: Pressure = 0 .00D: Sti rring Rate = 0 .00

C: ConcentrationInteraction Graph

Filtr

atio

n R

ate

A: Tem perature

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

41.7702

57.3277

72.8851

88.4426

104

DESIGN-EXPERT Plo t

Fi l tra tion Rate

X = A: T em peratu reY = D: Sti rring Rate

D- -1.000D+ 1.000

Actual FactorsB: Pressure = 0.00C: Concentration = 0.00

D: Stirring RateInteraction Graph

Filtr

atio

n R

ate

A: Tem perature

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

43

58.25

73.5

88.75

104

Interpretazione del Modello

DESIGN-EXPERT Plo t

Fi l tra tion RateX = A : T em peratu reY = C: Concentra tionZ = D: Sti rring Rate

Actua l FactorB: Pressure = 0.00

Cube GraphFiltration Rate

A: Tem perature

C: C

once

ntra

tion

D : Stirring Rate

A- A+C-

C+

D-

D+

46.25

44.25

74.25

72.25

69.38

100.63

61.13

92.38

Se un fattore viene rimosso, il piano con una sola replicazione verràproiettato in due repliche a 23

Proiettare un piano èuna proprietàestremamente usata (vedere piani fattoriali frazionati)

23

Interpretazione del Modello –Superficie di risposta

DESIGN-EXPERT P lot

Fi l tra tion RateX = A: T em peratureY = D: Sti rring Rate

Actua l FactorsB: Pressure = 0 .00C: Concentra tion = -1 .00

44.25

58.3438

72.4375

86.5313

100.625

F

iltr

ati

on

Ra

te

-1.0 0

-0.50

0.00

0.50

1.00

-1 .00

-0.50

0.00

0.50

1.00

A: T em perature D: Sti rring Rate

DESIGN-EXPERT Plo t

Fi l tra tion RateX = A: T em peratureY = D: Sti rring Rate

Actual FactorsB: Pressure = 0 .00C: Concentra tion = -1.00

Filtration Rate

A: Tem perature

D: S

tirrin

g R

ate

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

64.62571

77.375

83.75

90.125

56.93551.9395

Con la concentrazione sia al livello alto o basso, alta temperatura e alto mescolamento si stima che risulti alta la velocità di filtrazione

Esperimento di Trivellazione Esempio 6.5B, pag. 285

A = carico sulla trivella, B = portata, C = velocità di rotazione, D = tipo di fango di trivellazione usato, y = velocità di avanzamento nella trivellazione

24

Stima Effetti – Esperimento di Trivellazione

Term Effect SumSqr % ContributionModel InterceptError A 0.9175 3.36722 1.28072Error B 6.4375 165.766 63.0489Error C 3.2925 43.3622 16.4928Error D 2.29 20.9764 7.97837Error AB 0.59 1.3924 0.529599Error AC 0.155 0.0961 0.0365516Error AD 0.8375 2.80563 1.06712Error BC 1.51 9.1204 3.46894Error BD 1.5925 10.1442 3.85835Error CD 0.4475 0.801025 0.30467Error ABC 0.1625 0.105625 0.0401744Error ABD 0.76 2.3104 0.87876Error ACD 0.585 1.3689 0.520661Error BCD 0.175 0.1225 0.0465928Error ABCD 0.5425 1.17722 0.447757


Grafico di Probabilità Semi –Normale degli Effetti

DESIGN-EXPERT Plo tadv._rate

A: loadB: flowC: speedD: m ud

Half Normal plot

Hal

f Nor

mal

% p

roba

bilit

y

|Effect|

0.00 1.61 3.22 4.83 6.44

0

20

40

60

70

80

85

90

95

97

99

B

C

D

BCBD

25

Grafici Residuiot

Res idual

Nor

mal

% p

roba

bilit

y


-1.96375 -0.82625 0.31125 1.44875 2.58625

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99

t

PredictedR

esid

uals


-1.96375

-0.82625

0.31125

1.44875

2.58625

1.69 4.70 7.70 10.71 13.71

DE S IG N -EX P ER T P l otadv ._ rat e

Pre di cte d

Re

sid

ual

s

R esiduals vs. Pr edicted

-1. 96375

-0. 82625

0. 31125

1. 44875

2. 58625

1.69 4.70 7. 70 10.71 13. 71

• I grafici residui indicano quali sono i problemi con le assunzioni di omogeneità della varianza

• La consueta impostazione a questo problema èassumere una interpretazione adeguata della risposta

• Le trasformazioni sono ampiamente usate

• Le trasformazioni sono usualmente fatte per – Omogeneizzare la varianza – Portare normalità– Semplificare il modello

Grafici Residui

*y yλ=

26

Selezionare una Trasformazione

• Selezione Empirica di lambda• Più importante (teoria) conoscenza o esperienza

può spesso indicare la forma di una trasformazione

• Selezione Analitica di lambda: Box-Cox (1964) metodo (contemporaneamente stima i parametri del modello e il parametro lambda della trasformazione)

• Box-Cox metodo attuato in Design-Expert

Il Metodo Box-CoxDESIGN-EXPERT Plo tadv._rate

Lam bdaCurrent = 1Best = -0 .23Low C.I. = -0 .79High C.I. = 0 .32

Recom m end transform :Log (Lam bda = 0)

Lam bda

Ln(R

esid

ualS

S)

Box-Cox Plot for Power Transforms

1.05

2.50

3.95

5.40

6.85

-3 -2 -1 0 1 2 3

Una trasformazione log èconsigliata

La procedura fornisce un intervallo di confidenzasulla trasformazione del parametro landa

Se l’unità è inclusa nel intervallo di confidenza, la trasformazione non ènecessaria

27

Stima degli Effetti Seguendo la Trasformazione Log

DESIGN-EXPERT Plo tLn(adv._ra te)

A: loadB: flowC: speedD: m ud

Half Normal plot

Hal

f Nor

mal

% p

roba

bilit

y

|Effect|

0.00 0.29 0.58 0.87 1.16

0

20

40

60

70

80

85

90

95

97

99

B

C

D

I tre principali effetti sono grandi

Niente indicazioni sulla grandezza delle interazioni degli effetti

Che cosa succede alle interazioni?

ANOVA Seguendo la Trasformazione Log

Response: adv._rate Transform: Natural logConstant: 0.000

ANOVA for Selected Factorial Model

Analysis of variance table [Partial sum of squares]Sum of Mean F

Source Squares DF Square Value Prob > FModel 7.11 3 2.37 164.82 < 0.0001B 5.35 1 5.35 371.49 < 0.0001C 1.34 1 1.34 93.05 < 0.0001D 0.43 1 0.43 29.92 0.0001Residual 0.17 12 0.014Cor Total 7.29 15



28

Seguendo la Trasformazione Log

Equazione Finale Codificata in Termini di Fattori:

Ln(adv._rate) =+1.60+0.58 * B+0.29 * C+0.16 * D

Seguendo la Trasformazione LogDESIGN-EXPERT Plo tLn(adv._ rate)

Res idual

Nor

mal

% p

roba

bilit

y


-0.166184 -0.0760939 0.0139965 0.104087 0.194177

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99

DESIGN-EXPERT Plo tLn(adv._ rate)

Predicted

Res

idua

ls


-0.166184

-0.0760939

0.0139965

0.104087

0.194177

0.57 1.08 1.60 2.11 2.63

29

Altri Esempi di Piani 2k con una sola replicazione

• Esperimento per pannelli di rivestimento (Esempio 6.5C, pag. 289)– Due fattori influiscono sulla difettosità media– Un terzo fattore influisce sulla variabilità– I grafici sui residui sono usati per identificare gli effetti di

dispersione

• Esperimento del forno di ossidazione (Esempio 6.5B, pag. 293)– Osservazioni replicate contro ripetizioni (o duplicazioni)?– Modello con all’interno - prova variabilità

Altri metodi per analizzare Piani Fattoriali 2k Non Replicati

• Metodo di Lenth (Vedere testo, pag. 283)– Metodo analitico per stimare gli effetti, usa la stima

dell’errore formata dalla messa in comune di piccoli contrasti

– Alcuni adattamenti ai valori critici nel metodo originale possono essere utili

– E’ consigliato di usarlo come supplemento all’abituale grafico di probabilità normale degli effetti

• Carte d’inferenza condizionale (pag.284 & 285)

30

L’aggiunta di punti centrali del piano2k

• Basato sull’idea di replica di alcune prove nel piano fattoriale

• Prove al centro mantengono una stima di errore e permettere all’esperimento di distinguere tra due possibili modelli:

01 1

20

1 1 1

First-order model (interaction)

Second-order model

k k k

i i ij i ji i j i

k k k k

i i ij i j ii ii i j i i

y x x x

y x x x x

β β β ε

β β β β ε

= = >

= = > =

= + + +

= + + + +

∑ ∑∑

∑ ∑∑ ∑

no "curvature"F Cy y= ⇒

Le ipotesi sono:

01

11

: 0

: 0

k

iiik

iii

H

H

β

β

=

=

=

≠

∑

∑2

Pure Quad( )F C F C

F C

n n y ySSn n

−=

+

Questa somma dei quadrati ha un solo grado di libertà

31

Esempio 6.6A, Pag. 303

5Cn =

Abitualmente per poter lavorare bene servono tra i 3 e i 6 punti centrali

Design-Expert provvede all’analisi, includendo il test - F per una vera curva quadratica

ANOVA Esempio 6.6

Response: yieldANOVA for Selected Factorial Model


Sum of Mean FSource Squares DF Square Value Prob > FModel 2.83 3 0.94 21.92 0.0060A 2.40 1 2.40 55.87 0.0017B 0.42 1 0.42 9.83 0.0350AB 2.500E-003 1 2.500E-003 0.058 0.8213Curvature 2.722E-003 1 2.722E-003 0.063 0.8137Pure Error 0.17 4 0.043Cor Total 3.00 8

Std. Dev. 0.21 R-Squared 0.9427Mean 40.44 Adj R-Squared 0.8996

C.V. 0.51 Pred R-Squared N/A

PRESS N/A Adeq Precision 14.234

32

Se la curvatura è significativa, aumentare il piano con prove negli assi per creare un piano composito centrale. Il CCD è un piano molto efficace per accostare il modello di secondo - ordine

Usi Pratici dei Punti Centrali (pag. 304)• Usare condizioni operative correnti come punto

centrale del piano• Controllare se qualche condizione “strana” si è

verificata durante l’esperimento • Controllare l’andamento nel tempo• Usare i punti centrali come alcune prove quando

c’è poca o non c’è informazione sulla variabilitàriferito alla grandezza del errore

• Punti centrali sono fattori qualitativi?

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Punti Centrali e Fattori Qualitativi

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CAPITOLO 6 Il piano fattoriale 2k - static.gest.unipd.itstatic.gest.unipd.it/~livio/PDF/Capitolo 6 - Montgomery.pdf · 3 Procedura di Analisi per un Piano Fattoriale • Stima degli