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RICHIAMI DI MECCANICA GENERALE 13

Capitolo I - 3

RICHIAMI DI MECCANICA GENERALE

1. PREMESSA Le azioni che possono venir esercitate sui corpi materiali si dividono in forze e momenti:

le FORZE (forces) sono azioni dinamiche che tendono a indurre un moto di traslazione; - i MOMENTI (moments) sono azioni dinamiche che tendono a indurre un moto di rotazione.

I corpi materiali oggetto di studio della meccanica si dividono in: - PUNTI MATERIALI (materia! points): sono corpi puntiformi, cioè di dimensioni trascurabili

rispetto al problema che si studia (per esempio, una nave è un punto materiale quando si traccia la sua rotta in una carta nautica, ma non lo è quando attracca in banchina);

- CORPI RIGIDI (rigid bodies): sono corpi estesi (cioè di dimensioni finite e non trascurabili) che, sotto l'azione di cause esterne, non si deformano oppure si deformano senza però che la deformazione modifichi l'effetto delle azioni dinamiche esterne su di essi;

- CORPI DEFORMABILI (deformable bodies): sono corpi estesi che però, sotto l'azione di azioni dinamiche esterne, si deformano in misura non priva di conseguenze.

La meccanica generale si divide in cinematica, statica e dinamica: - la CINEMATICA (kinematics) studia il moto dei corpi, senza occuparsi delle cause (forze e

momenti) che lo determinano; la STATICA (statics) studia l'equilibrio statico dei corpi, cioè in che rapporto si devono trovare forze e momenti agenti su un corpo affinché questo sia e resti in equilibrio statico; la DINAMICA (dynamics) studia il legame tra le cause dinamiche del moto (forze e momenti) e le loro conseguenze cinematiche (accelerazioni lineari e angolari).

GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

Sono GRANDEZZE SCALARI (scalar quantities) quelle grandezze che possono essere definite da un solo numero che, rispetto a una unità di misura prefissata, ne individua il valore. Sono per esempio grandezze scalari il tempo, la lunghezza, la superficie, il volume, l'energia, la potenza.

Sono dette invece GRANDEZZE VETTORIALI (vector quantities) quelle grandezze che, per essere sicuramente definite, richiedono la conoscenza di tre parametri e cioè:

il modulo o intensità, che esprime il valore numerico della grandezza; la direzione, che indica la retta lungo la quale agisce la grandezza; il verso, che indica da quale parte della retta d' azione agisce la grandezza.

Una grandezza vettoriale si rappresenta graficamente con una freccia orientata o VETTORE ( vector) in cui (fig. 1 ):

la lunghezza della freccia indica il modulo, in base a una scala riportata nel foglio; la retta, di cui la freccia è un segmento, indica la direzione;

- 1a punta de11a freccia indica i1 verso. Fig. 1 - Rappresentazione di un vettore.

14 CAPITOLO I - 3

OPERAZIONI SUI VETTORI (operations on vectors) L'utilità di rappresentare graficamente una grandezza vettoriale con un vettore consiste nel fatto che molti calcoli su queste grandezze si riconducono a semplici costruzioni grafiche sui vettori.

Ci limiteremo comunque a vettori contenuti in un piano ( quello del foglio) e sarà facile intuire l'estensione allo spazio.

Per indicare nelle figure e nel testo scritto che una grandezza è di tipo vettoriale, si può segnare una freccetta rivolta verso destra sopra il simbolo che la rappresenta oppure scrivere in grassetto il simbolo della grandezza: noi adotteremo questa seconda procedura.

Operazioni classiche e comuni a tutte le grandezze vettoriali sono la somma di due (o anche più) vettori e la scomposizione di un vettore lungo due direzioni volute, operazioni per le quali adotteremo, per comodità e chiarezza, la soluzione grafica di disegnare i vettori risultanti o di partenza con frecce a punta nera e le componenti di un vettore con frecce a punta biancr

- per la somma di due vettori si utilizza la "regola del parallelogramma", che consiste nel tracciare da ogni vertice dei due vettori di partenza Vi e Vi le parallele ali ' altro vettore fino a farle incontrare per formare un parallelogramma, la cui diagonale uscente dal punto di applicazione dei vettori di partenza rappresenta il vettore somma V (fig. 2 a sinistra);

- per la scomposizione di un vettore V lungo due direzioni assegnate a e b, si applica la regola del parallelogramma alla rovescia e si individuano graficamente le due componenti Va e Vb (fig. 2 al centro);

- molto utile e frequente è poi la scomposizione di un vettore V lungo i due assi cartesiani (fig. 2 a destra), scomposizione che, indicato con a l'angolo compreso fra l'orizzontale e il vettore, può essere effettuata anche per via analitica e risulta:

Vx = Vcos a

I I ½;

V

I I

I

I la

I

Vy = Vsen a

y V V ~Jd: I I oL I

I Vx I

½/ I, X

Fig. 2 - Regola del parallelogramma, scomposizione di un vettore lungo due direzioni, scomposizione di un vettore lungo i due assi cartesiani.

Viceversa, se sono note le componenti cartesiane Vx e Vy , il modulo del vettore V si calcola con il teorema di Pitagora e si risale all'angolo a tramite la sua arcotangente:

Premesso questo, vediamo i richiami di CINEMATICA, STATICA e DINAMICA.

(

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f

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>la

RICHIAMI DI MECCANICA GENERALE 15

2. RICHIAMI DI CINEMATICA

VELOCITÀ (speed, velocity) La velocità fornisce informazioni sulla relazione esistente tra spazio percorso e tempo impiegato per percorrerlo, quindi è il rapporto tra spazio percorso e tempo:

spazio percorso velocità =

tempo impiegato in simboli Vm =

!1t

Definita così, è in realtà una velocità media e non è detto che il punto mobile abbia mai avuto questa velocità durante tale intervallo di tempo: per esempio, se un'automobile percorre 90 km in un'ora e ne fa altri 60 nell'ora successiva, la velocità media nelle 2 ore è 150: 2 = 75 km/h, anche se in realtà l'automobile non è mai andata a questa velocità.

Per un'informazione un po' più precisa sulla velocità a cui è avvenuto un moto, si può dividere l'intero spazio percorso fu in tante frazioni fu 1, fu2, fu3, ... , fu 0 , poi prendere i singoli intervalli di tempo impiegati ~t1 , ~t2 , ~t3 , ..• , ~tn e calcolare le corrispondenti velocità medie:

fu fu fu fu I _ 2 _ 3 n ,.

VmJ = -- , Vm z - --, Vm3 - --, ... , Vm n = -- eCOSlVla. ~t M ~t ~t

2 3 n

Per estensione, presi tanti intervalli di spazio piccolissimi o infinitesimi ds (leggi "de-esse") e presi gli intervalli corrispondenti di tempo dt (leggi "de-ti") anch'essi infinitesimi, si calcola un numero elevatissimo di valori di velocità, che si può anche chiamare velocità istantanea:

ds V= -

dt

Questo calcolo è ovviamente noioso, e l'ideale sarebbe poter conoscere la legge matematica:

V = V (t)

con cui la velocità istantanea varia col tempo; in tal modo, grazie alla matematica, si possono fare molti calcoli con poca fatica e avere tutte le informazioni possibili sul moto stesso.

- Ricordiamo che la velocità è una grandezza vettoriale, quindi si rappresenta graficamente con una freccia, la quale è sempre tangente alla traiettoria in ogni suo punto.

- La scomposizione più utile e frequente del vettore velocità è quella già citata lungo i due assi cartesiani (fig. 3). Indicato con o. l'angolo compreso fra l'orizzontale e il vettore v, si hanno così le componenti cartesiane:

Vx = V COSO. vy = v seno.

Viceversa, se sono note le componenti cartesiane vx e vy , il modulo del vettore v si calcola con il teorema di Pitagora e si risale all'angolo o. tramite la sua arcotangente:

"

Figura 3 - Componenti cartesiane del vettore velocità.

X

16 CAPITOLO I - 3

ACCELERAZIONE ( acceleration) L'accelerazione è definita come il rapporto tra una variazione di velocità e l 'intervallo di tempo in cui essa è avvenuta, quindi esprime come varia la velocità con il tempo. Anche qui, con considerazioni analoghe a quelle fatte parlando della velocità, si distingue tra:

accelerazione media ~V

am = -~t

e accelerazione istantanea dv

a dt

Poiché una qualunque variazione si calcola come valore finale meno valore iniziale, risulta:

se se se

a > O a < O a O

v cresce v diminuisce v costante

--moto accelerato moto rallentato moto uniforme

Anche l'accelerazione è una grandezza vettoriale, quindi la si può rappresentare graficamente con un vettore. Ma, oltre alle componenti cartesiane ax e ay, è spesso comodo fare riferimento a componenti relative alla traiettoria, dette componenti intrinseche, che (fig. 4) si ·ottengono scomponendo il vettore accelerazione lungo:

- la retta t tangente alla traiettoria,

- la retta n normale alla traiettoria.

Si hanno così queste due componenti perpendicolari tra loro:

- l'accelerazione tangenziale at che tiene conto delle variazioni di modulo e di verso del vettore velocità;

- l'accelerazione normale an che tiene conto delle variazioni di direzione del vettore velocità, è rivolta verso il centro di curvatura della traiettoria in quel punto e assume valori numerici che crescono al crescere della curvatura della traiettoria.

Dato che l'accelerazione normale è rivolta lungo il raggio e cioè verso il centro della cosiddetta "circonferenza osculatrice" ( circonferenza che meglio approssima la traiettoria in quel punto), an è detta anche accelerazione radiale o accelerazione centripeta. Figura 4 - Componenti intrinseche

del vettore accelerazione.

Passiamo adesso rapidamente in rassegna i principali tipi di moti di un punto materiale.

MOTO RETTILINEO UNIFORME (uniform rectilinear motion) Questo moto (fig. 5) è detto rettilineo perché la traiettoria è una linea retta, uniforme perché avviene a velocità costante m modulo, direzione e verso, quindi con accelerazione a= O.

Lo spazio percorso s è direttamente proporzionale al tempo t e le relazioni tra velocità, spazio e tempo sono:

S = V t

Figura 5 - Moto rettilineo uniforme.

M Q

e ac

L, m

E

u d<

M

(e Cl

u:

L

d c,

p

u 1,

po on

1te ) a no

RICHIAMI DI MECCANICA GENERALE

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE VARIO (uniform/y variab/e motion) Questo moto è detto:

- rettilineo perché la traiettoria è una linea retta,

17

- uniformemente vario perché la velocità varia con il tempo in modo uniforme, cioè con legge proporzionale o lineare, cioè l'accelerazione è costante in modulo:

dv a = - = costante

dt

Se a> O il moto è uniformemente accelerato, se a< O il moto è uniformemente rallentato.

Contando i tempi dall'inizio del moto (t = O) e detti Va la velocità iniziale e a il modulo della accelerazione costante, velocità ve spazio percorso svariano col tempo t secondo le relazioni:

I 2 s = Va t ± -a t

2 V = Va ± a t

Lo spazio s percorso in un certo tempo t si può anche calcolare come prodotto della velocità media Vm (media aritmetica tra la velocità iniziale Va e quella finale v) per questo tempo:

I S = Vm t = - (va+ v) t

2

Eliminando il tempo t da questa e dalla prima si ottiene:

Usando queste quattro semplici equazioni, si può risolvere qualunque problema di cinematica del moto rettilineo uniformemente vario.

MOTO LIBERO DEI GRAVI (heavy bodies free motion) Un caso comune e interessante di moto rettilineo uniformemente vario è il moto libero dei gravi ( o corpi pesanti) soggetti alla forza di gravità terrestre, che esercita su di essi una accelerazione costante rivolta verso il basso, detta ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (acceleration of gravity) indicata con g e che vale circa:

g ::::: 9,81 [m/s 2]

L'aggettivo "libero" indica che si suppone trascurabile la forza di attrito esercitata dall'aria.

Se il corpo ha un profilo aerodinamico e se le velocità di caduta non sono troppo alte, le leggi del moto uniformemente vario forniscono risultati molto vicini al vero; diverso è il caso di un corpo su cui l'aria eserciti un'elevata resistenza d'attrito, come ad esempio una piuma.

Per il moto verticale libero dei gravi valgono dunque le relazioni già viste per il moto rettilineo uniformemente vario, con le sole correzioni formali che si suole indicare lo spazio percorso con la lettera y e l'accelerazione costante non più con la lettera generica a ma con la lettera g:

V = Va ± g t

Va 2 ± 2 g y y

I y=vat±-gt2

2

18 CAPITOLO I - 3

MOTO CIRCOLARE UNIFORME (uniform circular motion) Questo moto è detto circolare perché la sua traiettoria è una circonferenza, uniforme perché avviene con velocità costante in modulo e verso ma, si badi, non in direzione (fig. 6). È il tipico moto di un organo meccanico che ruota in condizioni di regime o, volendo fare un esempio molto elementare, delle lancette di un orologio analogico.

Essendo v costante in modulo, l'arco di circonferenza percorso s cresce linearmente col tempo. Valgono le seguenti relazioni:

S = V t E Figura 6 - Moto circolare uniforme.

rapporto tra l'angolo <p spazzato dal raggio vettore Re il tempo t:

(f)

t costante Oltre alla velocità lineare v, è utile introdurre la velocità angolare cv, I

00

'-----------'

Si noti che, poiché l'angolo <p va espresso in radianti, cv si misura in [rad/s] ; dato però che, a essere precisi, i radianti sono numeri puri, c'è chi scrive [s - 1

] o anche [(rad)/s].

La comodità di misurare gli angoli al centro in radianti deriva dal fatto che la lunghezza s di un arco di circonferenza è il prodotto del raggio R per l'angolo al centro <p espresso appunto in radianti:

s <p R Il legame tra velocità lineare ve velocità angolare cv è: V ------ cvR

t t

Se il regime rotazionale è espresso da n [giri/min ], risulta: lw n

2n-60

<p R

Nei calcoli e nelle formule la velocità rotazionale a cui si deve far riferimento è quella angolare cv, che va calcolata dal numero dei giri n fornito dai comuni tachimetri. Facendo un calcolo molto approssimato, risulta comunque: cv :::::: O, 1 n.

Essendo la velocità costante in modulo e verso, l'accelerazione tangenziale è nulla e si potrebbe infine dimostrare che il modulo della accelerazione centripeta (fig. 7) vale:

e poiché v = cv R, è pure ac = cv2 R

' ...

Figura 7 - Accelerazione centripeta .

e I

u Il

s· t1

c

, a

)

RICHIAMI DI MECCANICA GENERALE

MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE VARIO (uniformly variable circular motion) Avviene su traiettoria circolare con velocità periferica v ( e angolare w) che cresce o diminuisce in modo uniforme con il tempo (fig. 8), come nel caso di organi meccanici rotanti durante le fasi di avviamento e arresto. Sono cioè costanti i due vettori:

dv accelerazione lineare tangenziale: a 1 [ m/s2

] = dt

I I I I

', I ,,, ' I ~ ........... '

19

V

2 d CV V - accelerazione angolare: a [rad/s] = -

dt

e risulta analogamente: a1 = aR Figura 8 - Moto circolare uniformemente va~io.

E si possono avere i due casi seguenti: - a 1 > O ( a > O): moto circolare uniformemente accelerato;

- a 1 < O ( a < O): moto circolare uniformemente rallentato.

Le equazioni di questo moto sono analoghe a quelle del moto rettilineo uniformemente vario e possono essere scritte in termini di spostamenti lineari oppure angolari:

v = v0 ± a1 t (ù = Cùo ± a t

I 2 S = V0 t ± - a1 t

I 2 (f) = Cù0 t ± - a t

2 2

1 1 s = - (v0 + v) t

2 (f) = - (w0 + w) t

2

2 2 ' V = Vo ± 2 a1S

MOTI RELATIVI (relative motion) Si parla di moti relativi quando un corpo si muove rispetto a un sistema di riferimento esso pure in moto (fig. 9). In un moto relativo si definiscono tre diversi vettori velocità: - la velocità relativa w è quella del corpo rispetto al

riferimento mobile; - la velocità di trascinamento u è quella del riferimento

mobile rispetto a uno fisso, detta così perché, per così dire, trascina con sé il corpo in movimento;

- la velocità assoluta e è infine quella del corpo rispetto al riferimento fisso. Figura 9 - Moto relativo.

Queste velocità sono legate dalla relazione vettoriale: I e= w+ u

I moti relativi trovano applicazioni in svariati settori, dall'astronomia alla balistica militare e spaziale, dalla navigazione aerea e marittima alla meccanica applicata alle macchine. Un caso interessante in navigazione è quello del moto di una nave nelle correnti, in cui lo studio del moto relativo serve per stabilire la vera rotta della nave. Un altro caso che si affronta nello studio delle macchine è quello di un getto di vapore o di gas che, uscito dall'ugello di una turbina, si muove all'interno del condotto mobile delimitato da due palette della girante: in tal caso lo studio del moto relativo serve per calcolare la spinta che il fluido cede alla girante.

20 CAPITOLO I - 3

CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI (rigid bodies kinematics) Un corpo rigido può compiere moti di traslazione, di rotazione o combinati di rototraslazione.

Si ha un moto di traslazione quando due assi cartesiani ortogonali, fissi con esso e paralleli a due assi di riferimento, vi restano paralleli durante tutto il moto (fig. 10). Ad esempio, il vagoncino della ruota del parco dei divertimenti compie un moto di traslazione, anche se a prima vista sembra che ruoti. In un moto di traslazione le velocità di tutti i punti del corpo sono uguali in modulo, direzione e verso. Figura 10 - Moto di traslazione.

Si ha un moto di rotazione quando tutti i punti del corpo rigido si muovono su traiettorie circolari, che hanno un unico centro O, detto centro di rotazione e che può essere interno· o esterno al corpo (fig. 11).

Figura 11 - Moto di rotazione.

Detta w la velocità angolare con cui il corpo sta ruotando intorno al centro O a un dato istante, le velocità lineari di tutti i punti del corpo rigido sono perpendicolari alle congiungenti il centro di rotazione e hanno modulo direttamente proporzionale alla loro distanza da esso:

ecc.

Viceversa, se un corpo rigido sta ruotando e sono note le velocità di due suoi punti distinti ma non si conosce la posizione del centro di rotazione, questo lo si trova nel punto in cui si incontrano le perpendicolari alle due velocità, passanti per i due punti noti.

Una traslazione si può pensare come una rotazione intorno a un centro di rotazione posto a distanza infinita.

Visto che in un moto di pura rotazione la velocità di tutti i punti del segmento che congiunge un punto generico col centro di rotazione varia con legge lineare con la distanza da esso, spesso si rappresenta questa variabilità con un diagramma come quello mostrato dalla figura 12. Figura 12 - Velocità lineari di

corpo rigido rotante.

....... ..... ..... , e

' -- -O

" I ' \ I \ I I

Figura 13 - Curva dei centri di istantanea rotazione.

Se un corpo rigido ruota in ogm istante intorno a un punto C diverso, questo prende il nome di centro di istantanea rotazione e la curva formata dai centri di istantanea rotazione è detta evoluta . Per tracciare una evoluta è sufficiente fare più volte la costruzione per determinare il centro di rotazione e unire poi tutti i punti così trovati. Per esempio, l' evoluta di una sbarretta lunga Le che possa muoversi con le sue estremità vincolate a pattini scorrevoli su due semirette perpendicolari tra loro è un quarto di circonferenza, con centro nell'origine degli assi e raggio L (fig. 13).

3.

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RJCHIAMI DI MECCANICA GENERALE 21

3. RICHIAMI DI STATICA

OPERAZIONI SULLE FORZE (operations onforces) Poiché i vettori con cui si ha a che fare in statica sono spesso forze (rappresentate da carichi esterni e forze-peso), rivediamo le principali operazioni vettoriali che le riguardano.

SOMMA DI DUE FORZE APPLICA TE IN UN PUNTO

Se due forze F 1 e F2 agiscono su un unico punto P, la forza risultante R = F 1 + F2 si ricava graficamente con il già visto metodo del parallelogramma di lati F1 e F2 . Come casi particolari:

se F 1 e F 2 sono parallele e di uguale verso, la risultante R ha la direzione e il verso di F1 e F2 e per modulo la somma dei loro moduli; se F 1 e F 2 sono parallele e di verso opposto, la risultante R ha la medesima direzione, il verso della forza di modulo maggiore e per modulo la differenza dei loro moduli.

SOMMA DI PIÙ FORZE APPLICATE IN UN PUNTO

La risultante R di più forze si può calcolare con la regola del parallelogramma per tappe successive, ma è più veloce il metodo della spezzata poligonale: dopo il vertice di F 1 si riporta una forza uguale a F2 e a essa parallela, la medesima costruzione si fa con F3 riportata dopo il vertice di F2 e così di seguito; congiungendo il punto di applicazione di tutte le forze con il vertice dell'ultima forza riportata si ottiene la risultante R (fig. 14).

DIFFERENZA DI DUE FORZE AP,PLICA TE IN UN PUNTO

I[

Figura 14 - Metodo della spezzata poligonale.

Per calcolare la differenza R = Ft - F2 basta sommare Ft a - F2 : si costruisce allora - F2 e poi si applica la regola del parallelogramma alle forze F 1 e - F2 (fig. 15). Se una forza è applicata in un punto P (fig. 16), è indifferente segnarla a partire da P (come se tirasse) o con il vertice in P ( come se spingesse).

I

I I

I

I I

I I

I

p

Figura 15 - Differenza di due forze.

F po-0-----1 ....

Figura 16 - Rappresentazioni equivalenti di una forza applicata in un punto.

Così pure, se una forza è applicata a un corpo rigido, il punto di applicazione si può scegliere su un punto qualsiasi della sua retta d'azione senza che l'effetto della forza cambi (fig. 17).

Figura 17 - Punti di applicazione di una forza applicata a un corpo rigido.

22 CAPITOLO I - 3

RISULTANTE DI UN SISTEMA DI FORZE COMPLANARI

Se più forze agiscono su un corpo rigido (fig. 18), la risultante si determina col metodo del poligono fanicolare:

- accanto alla figura si tracciano i segmenti consecutivi 0-1 , 1-2, 2-3 e 3-4, paralleli alle forze date e di uguale lunghezza, in modo da formare una spezzata poligonale: la congiungente 0-4 è parallela alla retta d'azione della risultante e ne fornisce modulo e verso; per individuare la retta d'azione della risultante si opera così:

- da un polo di proiezione P scelto liberamente si tracciano le congiungenti P-0, P-1, P-2, P-3 e -P-4;

- da un qualunque punto A a sinistra del sistema di forze, si traccia una parallela alla P-0 fino a incontrare la retta d'azione della prima forza, si prosegue con una parallela alla P-1 fino a incontrare la retta d'azione della seconda e così via, fino a uscir fuori sulla destra con una parallela alla P-4;

- si prolungano le due parallele estreme ora costruite e la loro intersezione K individµa la retta d'azione della risultante, che ha modulo 0-4 e punto di applicazione qualunque.

o

4

Figura 18 - Poligono funicolare.

SCOMPOSIZIONE DI UNA FORZA IN DUE DIREZIONI

Si usa, come già sappiamo, la regola del parallelogramma alla rovescia: note le direzioni a e b passanti per il punto di applicazione della forza e tracciate le parallele a queste passanti per il vertice della forza, risulta un parallelogramma che ha per lati le componenti Fa e Fb (fig. 19).

a

y

F.rz:( 0l I I

f; X

In particolare, se le direzioni volute sono i due assi cartesiani, i F moduli delle componenti hanno le seguenti espressioni:

Fx = F cosa Fy = F sena

b Se sono invece note le componenti cartesiane Fx e Fy , il modulo di F e l'angolo a valgono:

F= ~F2 +F 2

X y a

Figura 19 - Scomposizione di una forza lungo due direzioni.

F arctg _Y

Fx

MC Se

Sl

ns

Il IDI

d'

Il

L, cb ve

p~ m es te

In cl (r dt

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b il

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RICHIAMI DI MECCANICA GENERALE

MOMENTO DI UNA FORZA (torque, moment of aforce) Se un corpo rigido piano è libero di ruotare intorno a un polo P e gli si applica una forza F la cui retta d'azione non passi per P, si origina un'azione meccanica M detta momento della forza F rispetto al polo P e che tende a far ruotare il corpo intorno a P.

Il momento è un vettore che ha per modulo M il prodotto del modulo F della forza per la distanza b (braccio) tra la retta d'azione della forza e il polo:

I M=F b

Il momento di una forza si misura in newton x metro [N m].

23

La direzione del momento si assume perpendicolare al piano che contiene polo e retta d'azione della forza, mentre per il verso si usa la "regola della mano destra" (fig. 20). Figura 20 - Momento di una forza.

Per le figure piane ( cioè con polo e retta d'azione della forza nel piano del foglio), pensando il momento come una freccia vista assialmente (fig. 21), si usano i simboli 0 quando il momento esce dal foglio e @ quando vi entra. Inoltre, per dare il senso della rotazione che il momento tende a creare, si può segnare sul foglio una freccia arcuata in senso orario o in senso antiorario:

Figura 21 - Rappresentazione grafica di un

B-----E)> momento.

Indicare i momenti come orari o antiorari è anche utile per assegnare un segno a ogni momento che si calcola quando si fanno esercizi numerici: in tal caso si deve stabilire una convenzione (per esempio quella di considerare positivi i momenti orari), che si specifica disegnando a lato della figura una freccia arcuata (oraria o antioraria) associata al segno "più" o al segno "meno".

COPPIA DI FORZE E MOMENTO DI UNA COPPIA DI FORZE (moment of a couple)

Figura 22 - Momento di una coppia di forze.

Si definisce coppia di forze l' insieme formato da due forze F di ugual modulo, verso contrario e rette d'azione parallele e distanti d tra loro. Spesso una rotazione tende a essere indotta da una coppia di forze e quindi è giusto chiedersi quanto può valere il momento creato da esse (fig. 22). Il modulo M del momento creato dalla coppia di forze vale:

I M=F d I

Un caso importante di momento di una coppia di forze si incontra nello studio dell'equilibrio di una nave soggetta a sbandamento trasversale, in cui le due forze uguali e contrarie sono:

- il dislocamento della nave e - la spinta idrostatica esercitata dall'acqua in cui la nave galleggia.

Come si vedrà, entro certi angoli di sbandamento questa coppia di forza origina un momento raddrizzante detto momento di stabilità.

24 CAPITOLO I - 3

CENTRO DI MASSA E BARICENTRO (centre of mass, centre of gravity) Il CENTRO DI MASSA (CM) è il punto in cui si può pensare concentrata tutta la massa di un corpo agli effetti dell'equilibrio, mentre il BARICENTRO (G) è il punto in cui si può pensare concentrato tutto il suo peso. In un campo gravitazionale uniforme, centro di massa e baricentro coincidono, e per comodità noi useremo d'ora in poi solo il termine baricentro.

In molte figure omogenee di forma semplice il baricentro coincide con il centro di simmetria geometrica, mentre in altre più complesse, ma scomponibili in parti semplici, si può determinare con un calcolo analitico o una costruzione grafica che qui non vediamo. Si noti che il baricentro può trovarsi anche in una zona vuota esterna o interna al corpo.

Il baricentro G si trova nel punto di mezzo di segmenti rettilinei come ad esempio una sbarretta, nel centro di circonferenze, cerchi e corone circolari , nel punto di incontro delle tre mediane nei triangoli, nel punto di incontro delle diagonali in quadrati, rettangoli e parallelogrammi (fig. 23).

G ~

() Figura 23 - Baricentro di sbarretta rettilinea, corona circolare, triangolo, parallelogramma.

CORPI LIBERI E VINCOLATI (free and constrained bodies) Un corpo si dice VINCOLATO se in qualche modo è collegato col suolo, tanto da essere impedito in qualche movimento o in tutti . Il collegamento con il suolo è detto VINCOLO. Se un corpo non è vincolato si dice LIBERO, ma il suo studio non è interessante in statica.

Esempi di corpi vincolati sono un oggetto posato su un tavolo, un tavolo che poggia per terra, una porta incernierata sui cardini, un lampadario appeso al soffitto e così via.

Un corpo vincolato soggetto a forze e momenti esterni esercita a sua volta forze e momenti sui vincoli che, per il principio di azione e reazione, esercitano su di esso azioni meccaniche uguali e contrarie dette REAZIONI VINCOLARI (constraining reactions) .

Ad esempio, una colonna di pietra appoggiata al suolo esercita su questo nella zona di contatto una forza di schiacciamento P uguale al proprio peso e rivolta verso il basso (fig. 24): come risposta, il suolo esercita sulla colonna una reazione vincolare R uguale, contraria e rivolta verso l ' alto. Pertanto la colonna, sottoposta all ' azione di due forze uguali e contrarie, è in equilibrio e non si muove. Se il suolo non fosse in grado di reagire in modo uguale e contrario e cedesse, il peso della colonna prevarrebbe sulla reazione vincolare e la colonna sprofonderebbe.

7

Figura 24 - Corpo vincolato .

La successione delle fasi con cui in statica si studia l'equilibrio dei corpi vincolati è la seguente: - prima di tutto si calcola il valore delle reazioni vincolari ; - poi si calcolano quanto valgono gli sforzi a cui è sottoposta ogni sezione della struttura;

infine, scelti i materiali con cui andrà costruita la struttura, si dimensionano vincoli e parti strutturali affinché possano resistere alle reazioni vincolari e agli sforzi ( calcolo di progetto) ovvero, note le dimensioni di vincoli e di parti strutturali , si calcola se sono in grado di resistere alle reazioni vincolari e agli sforzi (calcolo di verifica).

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