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Introducción

Capítulo 0

En nombre de Dios, clemente y misericordioso.

Alabado sea el omnipotente, creador de los mundos.

La misericordia es en Dios el atributo supremo.

Nosotros te adoramos Señor, e invocamos tu divina asistencia.

Llévanos por el camino cierto.

Por el camino de aquellos esclarecidos y bendecidos por ti.

El Corán.

Nota: A continuación exponemos algunos conceptos que serán usuales en el presente

tratado. Posteriormente daremos una definición más técnica de los mismos sin eliminar

del todo los conceptos que aquí presentamos.

–Definición: Es un enunciado que expone con claridad y precisión los caracteres de una

cosa.

Ejemplo: Triángulo es cualquier porción del plano, no nula, limitada por tres rectas,

ninguna de ellas paralela entre sí.

Nota: La definición expresa una noción compleja mediante la enumeración de las

nociones más simples que la integran. Por eso se dice que los objetos representados por

las nociones intuitivas no son definibles, por no existir nociones previas que las integren.

Una característica de la matemática moderna consiste en evitar la definición de conceptos

que tienen poco o ningún sentido. Así, por ejemplo, las definiciones tan conocidas de

Euclides1: “punto es lo que no tiene partes”, “línea es una longitud sin anchura”, etc., se

basan en conceptos (“partes” y “anchura”) cuya definición es más compleja de lo que se

trata de definir.

–Términos Primitivos: También llamados intuitivos, son los términos (palabras) que no

se definen. Todos los demás términos técnicos de cierto discurso se definen

explícitamente mediante los términos primitivos.

Ejemplos: Los conceptos de “punto”, “línea”, “verdad” y “falsedad” se consideran

términos primitivos (al menos para la mayoría de los discursos matemáticos).

Nota: Recordemos que en cualquier discurso lógico, en un intento de que sea claro, se

tratan de definir explícitamente los elementos del discurso, las relaciones entre estos

elementos y las operaciones que han de realizarse con ellos. No obstante, dichas

definiciones han de emplear otros elementos, relaciones y operaciones, y éstos también

están sujetos a definiciones explícitas. Si estos se definen, lo tienen que ser nuevamente

con referencia a más elementos, relaciones y operaciones. Tenemos dos caminos abiertos:

o bien la cadena de definiciones ha de cortarse en un punto, o bien tienen que ser circular.

Como la circularidad no se tolera en un discurso lógico, las definiciones deben llevarse a

cerrarse en algún punto; por tanto, es necesario, que a uno o más elementos, relaciones y

1 Estas definiciones de Euclides se hallan en su libro de Geometría, compuesto por doce tomos, llamado

Elementos (escrito alrededor de los 330-320 a. C.)

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operaciones no se les dé definición explícita. Estos son los que precisamente se les

conocen como términos primitivos o intuitivos del discurso.

–Demostración: También llamada prueba, es una sucesión finita de razonamientos,

llamados argumentos de la demostración, los cuales se hallan eslabonados mediante

reglas bien definidas, los cuales se hallan eslabonados mediante reglas bien definidas,

llamadas reglas de inferencia o reglas de deducción, en donde los razonamientos

iniciales (o el razonamiento inicial, según sea el caso) son conocidos como hipótesis, en

tanto que el razonamiento final, tesis. Una demostración vacía o demostración nula es la

demostración que no posee razonamiento alguno, es decir, es la sucesión de

razonamientos que no posee elementos.

Ejemplo: Supóngase que sea desea probar el siguiente enunciado:

La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º.

Demostración:

Argumento 1 (hipótesis): Considérese un triángulo cualquiera ABC, como el que aparece

en la figura.

Argumento 2: Ya que dos rectas paralelas son aquellas que no tienen punto alguno en

común (Definición de rectas paralelas),

Argumento 3: y puesto que por un punto exterior a una recta sólo puede pasar una única

paralela (postulado de las paralelas, aceptado previamente),

Argumento 4: se sigue que, dado que el punto C es exterior a la recta AB, por C pasa una

única paralela a AB.

Argumento 5: Por otro lado, llamaremos secante a cualquier recta que corte a dos

paralelas (definición de recta secante),

Argumento 6: entonces AC y BC son rectas secantes a las rectas paralelas expuestas

anteriormente.

Argumento 7: Llamaremos ángulo a la porción del plano limitada por dos rectas no–

paralelas, llamados rayos, que se intersectan en un punto llamado vértice (definición de

ángulo entre rectas).

Argumento 8: Llamaremos ángulos congruentes entre paralelas a cualquiera de los

ángulos que forma una secante con la respectiva recta que las corta (definición de ángulos

congruentes).

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Argumento 9: De esa cuenta, α y el ángulo A son congruentes, así como β y B son

congruentes.

Argumento 10: Como los ángulos congruentes entre paralelas con iguales,

Argumento 11: Se sigue que los ángulos A y α, así como B y β, son iguales,

respectivamente, es decir, A y B .

Argumento 12: Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando comparten el mismo

vértice, formando ángulos no consecutivos (es decir, ángulos que no comparten el mismo

rayo).

Argumento 13: De esa cuenta, el ángulo C y γ son opuestos por el vértice.

Argumento 14: Claramente, dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Argumento 15: De esa cuenta, los ángulos C y γ son iguales, es decir, C .

Argumento 16 (tesis): Ya que 180 , se sigue que, 180 BCA , o lo que

es lo mismo, .180 CBA

Nota: En toda demostración de algún enunciado, usaremos la palabra “demostración”

seguida de “:” (dos puntos), para denotarla.

–Axioma: Es un enunciado tan sencillo y evidente que se admite sin demostración, es

decir, su demostración es vacía.

Ejemplos:

El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

El todo es la suma de sus partes.

Nota: Así como se hace un esfuerzo por definir todos los términos, en un discurso, sin

caer en circularidades, así también se debe hacer un esfuerzo por deducir lógicamente los

enunciados de un discurso y, nuevamente, para evitar el círculo vicioso, al inicio, uno o

más enunciados deber permanecer completamente no demostrados. Estos enunciados son

precisamente los axiomas (o enunciados primarios) del discurso.

–Postulado: Es un enunciado no tan evidente como un axioma pero que se admite

también sin demostración, es decir, su demostración es vacía.

Ejemplos:

Hay infinitos puntos.

Por dos puntos pasa una recta y solamente una.

Por un punto exterior a una recta pasa una y solamente una recta paralela a la

primera.

Nota: Un postulado es una “verdad intuitiva” –cualquiera que sea su significado– que

tiene suficiente evidencia para hacer aceptada como tal. La diferencia entre un postulado

y un axioma es bastante sutil: un axioma, es una verdad que es reconocida a primera vista

(sin necesidad de ulteriores explicaciones), mientras que un postulado es una verdad que

para aceptarla es necesario explicarla a través de la exposición de uno o varios ejemplos

que aclaren su significado. Por lo general, para aceptar un postulado es necesario tener

dominio de ciertos conceptos y términos básicos del discurso. En la actualidad, las

palabras “axioma” y “postulado” suelen tratarse como sinónimas dado que, por su

funcionalidad ambas denotan enunciados primarios de un discurso.

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–Teorema: Es un enunciado que puede ser demostrado a partir de axiomas, postulados o

teoremas previos, es decir, es un enunciado cuya demostración es no vacía. La

demostración de un teorema consta de una sucesión de razonamientos que conducen a la

evidencia de la verdad que se quiere demostrar. Todo teorema consta de dos partes:

hipótesis y tesis. La hipótesis es la suposición que se da por sentado en el teorema, es lo

que se supone válido dentro del mismo. La tesis es la conclusión del teorema, es lo que se

quiere demostrar a partir de la hipótesis del mismo.

Ejemplo: La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos2 (o

simplemente dos rectos).

La hipótesis y la tesis de este teorema pueden enunciarse así:

HIPÓTESIS: Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo dado.

TESIS: La suma de los ángulos A, B y C es dos rectos. Esto es, si R denota un ángulo

recto3, .2RCBA

Nota: En la demostración se utilizan los conocimientos adquiridos hasta el momento,

enlazados de una manera lógica. Un teorema, es pues, una “verdad” –cualquiera que sea

su significado– no evidente, pero demostrable. Tanto el teorema como el postulado (así

como el axioma) tienen una parte condicional (hipótesis) y una conclusión (tesis), que se

supone se cumple, en caso de tener validez la hipótesis. En el postulado, así como en el

axioma, este cumplimiento se acepta tácitamente. En el teorema es necesaria la

demostración, que consiste en una serie de razonamientos eslabonados, los cuales se

apoyan en propiedades intuitivas (postulados, axiomas), en otros teoremas ya

demostrados o en ambos. Básicamente, un teorema se distingue de un axioma o un

postulado por el hecho de que su demostración no es vacía.

–Corolario: Es un teorema que se deduce de un teorema previamente demostrado, como

consecuencia del mismo.

Ejemplo: Del teorema

“la suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos”,

se deduce el siguiente corolario:

“la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es un recto”.

Nota: Un corolario es pues un enunciado que se deriva como consecuencia, siempre de

otro teorema previamente demostrado.

–Teorema Recíproco o Converso: Es un teorema cuya hipótesis y tesis son,

respectivamente, la tesis y la hipótesis de un teorema que, en este caso, se llama teorema

directo.

Ejemplo: El recíproco (converso) del teorema

“la suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos”

Es

“si la suma de los ángulos interiores de un polígono4 es dos rectos, el polígono es un

triángulo”

2 Aquí equivale a 180º.

3 Un ángulo recto es un ángulo de 90º.

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La hipótesis y tesis del recíproco son, respectivamente:

HIPÓTESIS: Sea un polígono cuyos ángulos interiores suman dos ángulos rectos.

TESIS: El polígono es un triángulo.

Nota: No todo recíproco es verdadero, de esa cuenta, no todo recíproco es teorema.

–Lema: Es un teorema que debe anteponerse a otro por ser necesario para la

demostración de este último. Es como un teorema preliminar a otro que se considera más

importante.

Ejemplo: Para demostrar el volumen de una pirámide se tiene que demostrar antes el

lema que dice “un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros

equivalentes”.

Nota: Un lema es un teorema que sirve a la demostración de otro teorema. Actualmente

se ha prescindido bastante del uso de la palabra lema y se le suele llamar teorema o bien,

teorema preliminar.

–Escolio: Es una nota, advertencia u observación que se hace sobre un teorema

previamente demostrado, o bien acerca de alguna cuestión matemática cualquiera.

Ejemplo: Después de demostrar el teorema que dice: “en una misma circunferencia o en

circunferencias iguales, a mayor arco corresponde mayor cuerda (considerando arcos

menores que una semicircunferencia)”, se podría añadir como escolio: “si no se

consideran arcos menores que una semicircunferencia, a mayor arco corresponde menor

cuerda”.

Nota: Actualmente apenas se usa la palabra “escolio” por sustituto de observación o nota.

En nuestro estudio a desarrollar, tomaremos como conceptos primitivos (intuitivos) los

conceptos de verdadero y falso.

4 Polígono es una región del plano, no nula, delimitada por cuatro o más rectas, no todas paralelas entre sí.