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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTNFACULTAD DE INGENIERA DE PRODUCCIN Y SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA DE SISTEMAS

Mg. Olha Sharhorodska

Capitulo 1MODELOS Y ANLISIS DE ERRORES

Tema:MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA


QU ES EL MODELADO? Los procesos y sistemas en ingeniera son generalmente complicados y deben sersimplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver elproblema planteado El proceso de simplificacin del problema, para que pueda ser representado entrminos de un sistema de ecuaciones (para el anlisis, diseo y optimizacin) o atravs de un arreglo fsico (para experimentacin), es lo que se conoce comomodelado


Los vocablos modelo y modelizacin, en su acepcinms amplia, incluyen una gran variedad de constructosrealizados por el intelecto. Segn el contexto donde se inscriban tambin adquierensignificados diferentes. Segn Jeffers (1982) un modelo sera la representacin delas relaciones entre algunas cantidades o cualidadesdefinidas formalmente (generalmente en trminosmatemticos o fsicos). Realmente bajo el trmino de modelo caben numerososproductos que van desde un simple esquema mental, hastalos sofisticados modelos de simulacin numrica.


QU ES UN MODELO?

Representacin de la realidad

Un modelo es un objeto real o abstracto, cuyascaractersticas corresponden parcialmente con las deotro objeto.


La relacin de correspondencia entre el objeto realy el modelo debe ser al menos parcialmentereversible y debe permitir la traduccin de algunaspropiedades del modelo a la realidad

Permite deducir conclusiones Menos tiempo Menos dinero Reduce riesgo

Por qu un modelo?

El modelo debe tener suficientes detalles como para que: El resultado sea satisfactorio Sea consistente con los datos Pueda ser analizado en el tiempo con el que se cuenta para ello

Realismo Simplicidad


Modelos Es una abstraccin de la realidad. Es una representacin de la realidad que ayuda a entendercmo funciona. Es una construccin intelectual y descriptiva de unaentidad en la cual un observador tiene inters. Se construyen para ser transmitidos. Supuestos simples son usados para capturar elcomportamiento importante.


Hoy en da han existe un sinnmero declasificaciones de modelos. Cuando en las dcadas de los aos 60 y 70 comenzaronlos estudios sobre modelizacin en el mbito de losrecursos naturales, las mencionadas caracterizacionesfueron muy tiles con objeto de estructurar lasaproximaciones e ideas iniciales. Sin embargo, segn avanzaron las investigaciones y losconstructos fueron ganando en complejidad, dejaron dereflejar los progresos alcanzados y, lo que es msimportante, comenzaron con harta frecuencia a confundirms que a clarificar.


Para qu sirve un modelo?

Ayuda para el pensamiento

Ayuda para la comunicacin

Para entrenamientoe instruccin

Ayuda para la experimentacin

Herramienta de prediccin

el modelo o la realidad?


Tipos de modelos. Icnico. Analgico. Grafico. Simblico. Matemticos. Descriptivo. Normativo.


Modelo icnico. Objetos reales que representan la forma espacial del objeto a modelar.


Modelo analgico son objetos reales, que en lacorrespondencia con el objeto a modelar seestablece sus comportamientos, es decir, en la formacomo reaccionan ante determinadas acciones que seejercen sobre ellos. Fenmenos Fsicos.


Disco

CPUPantalla

Teclado RatnModelo Grfico

Modelos grficos: En los modelosgrficos, mediante grficos se representanaspectos de un objeto. Estructura yComportamiento

Objeto


Modelos Simblicos: Modelos querepresentan aspectos de un objeto mediantesmbolos y su correspondienteinterpretacin.

0 1 0 10 0

0 00 0 0

0

1

11 1

1

3210

13

0

Matriz de incidencia

1 2

3

Estructura de sistema


Ejemplos de modelos simblicos


Modelo descriptivo. Modelo fsico, conceptual omatemtico que describe situaciones.

Seguirn las lluvias por 24 horas msLas autoridades informaron que el maltiempo en Lima seguir al menos por 24horas ms. Se sugiere a la ciudadanatomar las precauciones necesarias.


Modelo Normativo Es un modelo que sebasa en como se deben tomar lasdecisiones para quienes las toman.

Ley


Vaco Boleto introducido Paso Libre

Boleto DevueltoPasa Persona

Boleto Boleto OK

Boleto no vlido

Retira Boleto

Modelo grfico para representar el comportamiento de un objeto


Tipos:Modelos fsicos

Modelos a escala

Modelos analgicos

Modelos matemticos.

Exactitud Abstraccin1. Planta piloto2. Modelo de un tomo, globo terrqueo, maqueta3. Reloj, medidores de voltaje, grfica de volumen/costo4. Velocidad, ecuaciones diferenciales.

icnico abstracto

Modelo analgico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real est representa-da por una propiedad sustituida, por lo que en general se comporta de la misma manera.


CLASIFICACIN DE MODELOS PARA EL ESTUDIO DE LA EROSIN (MODIFICADO DE MORGAN) MENTALES: Representacin mental de estructuras y procesos SEMNTICOS: Formalizacin lingustica de un modelo mental FSICOS: Modelos a escala reducida construidos generalmente en ellaboratorio con materiales de distinta naturaleza; se asume una similituddinmica entre el modelo y el sistema real ANALGICOS: Utilizan sistemas mecnicos o elctricos anlogos a lossistemas bajo consideracin, como por ejemplo, el flujo de electricidad puedeser capaz de simular el flujo de agua. NUMRICOS: Representacin formal en base al uso de matemticas.


i. EMPRICOS: Se sustentan en la identificacinde relaciones estadsticamente significativas entre ciertasvariables que se asumen como esenciales y suficientes paramodelar el comportamiento del sistema. Con tal motivo,debe disponerse previamente de una base de datos detamao adecuado. Pueden subdividirse en tres categorasdiferentes:

De Caja Negra: Slo se analizan los datos de entrada y de salidadel modelo. De Caja Gris: Se explican algunos detalles del conocimientoexistente sobre el comportamiento del sistema. De Caja Blanca: Se conocen y explican todos los detalles delcomportamiento del Sistema.


ii. ESTOCSTICOS: Consisten en la generacin de seriesde datos sintticas a partir de las propiedades estadsticasde las poblaciones de datos existentes. Son muy tiles conobjeto de generar secuencias de datos que alimenten amodelos empricos o a los basados sobre leyes fsicas,cuando tan slo se dispone de informacin recogidadurante periodos de observacin breves. iii. DE SOPORTE FSICO: Elaborados con ecuacionesmatemticas al objeto de describir los procesosinvolucrados en el modelo, teniendo en cuenta las leyes deconservacin de masas y energa, etc. iii. DIGITALES: Modelos estocsticos, de soporte fsico,etc. Basados en el uso de ordenadores digitales capaces deprocesar una gran cantidad de datos.


Alternativamente podemos hablar de modelos lgicos, empricossemi-empricos y fsicos. Puntualizemos aqu que el vocablo fsico nose refiere al uso de materiales, como en el prrafo anterior, sino al delos instrumentos conceptuales que nos deparan las ciencias fsicas. Un modelo lgico es aquel en el cual la representacin de unaestructura o proceso se formula mediante las leyes de la lgica. Estasltimas suelen acudir al auxilio de la simbologa matemtica. Un modelo emprico prescinde de consideraciones tericas, paracentrarse en el anlisis (generalmente estadstico) de las relacionesentre los valores de las variables estimadas. Se entiende por modelo fsico o determinista a aquellos quese sustentan sobre leyes fsicas bien conocidas. Finalmente, sedenominan modelos semi-empricos a los que utilizan leyes fsicasy estimaciones empricas simultneamente.


Otros autores prefieren categorizar los modelosmatemticos como deterministas, probabilistas y deoptimizacin. A su vez los modelos matemticos ycomputacionales pueden subdividirse en diferentesfamilias segn las herramientas metodolgicas utilizadas


FAMILIAS DE MODELOS MATEMTICOS MODELOS DINMICOS MODELOS MATRICIALES (sobre lgica booleana o difusa) MODELOS ESTOCSTICOS (modelos de distribucin, anlisis de la varianza, Markov,etc.) MODELOS MULTIVARIANTES MODELOS DE OPTIMIZACIN MODELOS DE LA TEORA DE JUEGOS MODELOS DE LA TEORA DE CATSTROFES MODELOS CATICOS (geometra fractal, criticalidad autoorganizada, sinergtica,etc.) MODELOS DE REDES NEURONALES MODELOS DE AUTMATAS CELULARES


MATEMATICA -LENGUAJE de la CIENCIALa Filosofa est escrita en ese grandsimo libro quetenemos Abierto ante los ojos, quiero decir, elUniverso, pero no se puede Entender si antes nose aprende su lengua, a conocer los caracteres enque est escrito. Est escrito en lenguaMatemtica Galileo GalileiPara resolver un problema basta traducirlo al lenguaje algebraico

Isaac Newton


Maneras de estudia un sistema


Modelos Matemticos Modelo Matemtico una ecuacin (sistema de ecuaciones) que expresa lascaractersticas esenciales de un sistema fsico o de un proceso en trminosmatemticos

Variable dependiente caracterstica que refleja el comportamiento o estadode un sistema Var. Independiente (por lo general), dimensiones tales como tiempo y espacio,a travs de las cuales se determina el comportamiento del sistema Parmetros reflejo de las propiedades o la comportamiento del sistema Funciones de fuerza influencias externas que actan sobre el sistema

FuerzadeFuncionesParametrosnteIndependie

VariablefeDependientVariable ,,


Concepto de variable Una variable es un elemento de una frmula, proposicin oalgoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valorcualquiera. Los valores que una variable es capaz de recibir puedenestar definidos dentro de un rango.

V = e/tEl significado de la variable lo asigna el usuario, las variablesanteriores se leen como velocidad, espacio y tiempo solamente sipreviamente le fue asignado ese significado.


Concepto de constanteValores numricos especficos usados como coeficientes enexpresiones algebraicas y como nmeros en frmulas oecuacionesEjemplos:rea del crculo = 3,141516 * r2Vf = Vi + t*9,8 m/seg2


Concepto de parmetroParmetro es condicin variable a la que se asignan unosvalores determinados y fijos. En informtica puede sercualquier condicin para el desarrollo de un programa, quemodifica su forma de funcionar,Nota final = Peso1*NotaP1 + Peso2*NotaP2 + Peso3 * NotaP3 + Peso4 * Prctica.Peso (n) = Peso asignado a las respectivas evaluaciones


Concepto de escenarioUn conjunto de variables que para esa situacin poseen unnivel de valor y un grado de ocurrencia. En otra posicin esasvariables pueden tener otro nivel de impacto diferente odiferente probabilidad de ocurrencia (estadstica simple, puedeser alto o bajo).


EjercicioIdentifique las constantes, parmetros y variables en el textosiguiente.1. Se efecta en la sala comedor de la casa durante la maanacon dos actores; madre y servicio preparando la sala yconversando sobre la reunin de la noche. Por la ventana entraun sol radiante y se siente mucho calor.2. Se efecta en la sala comedor durante la noche con diezactores; madre, padre, hijo y siete invitados; todos compartencelebrando la graduacin del hijo de Licenciado en Computacin.Por la ventana se observa oscuridad y se siente un climaagradable.3. Se efecta en la sala comedor de la casa durante el amanecercon tres actores; madre, padre e hijo recogiendo la sala ycomentando sobre lo agradable de la reunin. Por la ventana seobserva el amanecer y se siente un clima fro.


EjercicioVariable Constante Parmetro

1 Madre, Servicio Sala comedor Calor2 Madre, Padre y siete invitados

Sala comedor Oscuridad y ambiente agradable.3 Madre, padre e hijo Sala comedor Amanecer y un clima fro.


Segn la 2da ley de Newton:a = F/mdonde a = dv/dt F = Fg+Fr = mg cv

(c coeficiente de resistencia o arrastre) Remplazando obtenemos:

dv/dt = (mg cv)/m Resolviendo la ecuacin diferencial con los valores iniciales dev=0 en t=0, tenemos:

tmcecmgtv 1)( Solucin analtica

Fg

Fr


Reformular el problema para resolver mediante operaciones aritmticas.

Reordenando obtenemos:

Es decir, a cualquier tiempo:Valor nuevo = Valor anterior + Pendiente*Tamao del paso

iiii tttvtv

tv

dtdv 11

)()(

)()()(1

1 iiiii tvm

cgtttvtv

iiiii tttvmcgtvtv 11 )()()(Solucin numrica


Caractersticas del Modelo Matemtico Describe un proceso o sistema natural en trminosmatemticos Representa una idealizacin y una simplificacin de larealidad Conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia,llega a emplearse con la finalidad de predecir.


Desafortunadamente, no siempre es posible aplicarmtodos analticos clsicos por diferentes razones: No se adecuan al modelo concreto. Su aplicacin resulta excesivamente compleja. La solucin formal es tan complicada que hace imposiblecualquier interpretacin posterior. Simplemente no existen mtodos analticos capaces deproporcionar soluciones al problema.


Comparamos la solucin analtica y numrica del ejemplo de paracaidista

m = 65 kgg = 9.8 m/s2c = 12.5 kg/s

t, s

v, m/sanaltico numrico

0 0.000 0.0002 16.271 19.600 4 27.347 31.662 6 34.886 39.084 8 40.018 43.652

10 43.512 46.463 12 45.890 48.192 14 47.509 49.257 16 48.611 49.912

0.010.020.030.040.050.060.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16t, s

V, m/s

v, m/s analitico v, m/s numrico


Ventajas de los modelosLos modelos se construyen para representar, conocer (estudiar) opredecir propiedades del objeto real. La representacin simplificadapermite cambiar las condiciones de estudio de forma favorable:eliminando o simplificando componentesvariando las escalas espacial o temporalvariando las condiciones de entorno (escenario)evitando la actuacin sobre el objeto real


Riesgos de los modelosExisten varios tipos de error inherentes al proceso demodelacin:Por la seleccin de componentes (reduccin de complejidaddel sistema)Error de generalizacin (la simplificacin en larepresentacin de los elementos): el trazado de unacarretera se simplifica ms o menos en funcin de la escalay no se conservan algunas propiedades (p. ej. sinuosidad)error por propagacin (la consecuencia de generarresultados a partir de datos imprecisos)Los errores anteriores no pueden eliminarse pero sreducirse (incluyendo una mayor cantidad de componentescon un incremento de complejidad y/o seleccionando ymidiendo mejor los componentes crticos)


Exactitud y precisin

Los errores en clculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su exactitud y su precisin.

Inexacto e impreciso Exacto e impreciso Inexacto e preciso

Exacto e preciso


Los errores asociados con los clculos y las medidas de un valor sepueden caracterizar en trminos de su exactitud y su precisin. Porejemplo: Se determina el tiempo con un reloj anlogo que muestra la hora y losminutos. El reloj entonces tiene una precisin de 1 minuto: leamos elvalor aproximado ex de 3 horas y 15 minutos durante todo el intervaloen que el reloj muestra este tiempo, es decir [1 hora 15 min, 1 hora 16min]. El reloj no necesariamente es exacto. Puede ser que sabemos quese encuentre hasta 5 minutos adelantado o atrasado. Entonces la horaexacta puede ser cualquier valor entre 3 horas y 10 minutos y 3 horas y20 minutos. En el velocmetro de un carro se muestra la velocidad actual del carroen una escala de 1km/hora lo que corresponde a la precisin de lamedicin: se puede diferenciar entre 47 y 48 km/hora, mas no entre 47.2y 47.6 km/hora. Para determinar la exactitud de una medicin se deberealizar un experimento, se debe comparar la lectura del velocmetrocon la medicin independiente de la velocidad.


Cifras significativas El concepto de cifras significativas se ha introducido para poder manejarformalmente la contabilidad de un valor numrico. El velocmetro en elejemplo anterior nos permite la lectura de velocidades con dos cifrassignificativas. Sin embargo, sin conocer el contexto puede ser imposible conocer las cifrassignificativas de un nmero. Por ejemplo, los nmeros 0.000857, 0.00857 y0.0857 tienen 3 cifras significativas, ya que los ceros solamente se usan paraubicar el punto decimal. Pero cuntas cifras significativas tiene el nmero 857000? Puede tener 3, 4 5 o 6 cifras significativas, dependiente de cuantos de losceros se conocen con exactitud.


Para resolver este tipo de ambigedad, se usa la notacin cientfica de los nmeros reales: 0,000857 = 8,57x 104 ) 3 cifras significativas 0,00857 = 8,57x103 ) 3 cifras significativas 0,0857 = 8,57x102 ) 3 cifras significativas

Y para el nmero 857000 tenemos: si lo escribimos como 8,57 x105 indicamos que tiene 3 cifras significativas si lo escribimos como 8,570 x105 indicamos que tiene 4 cifras significativas si lo escribimos como 8,5700 x105 indicamos que tiene 5 cifras significativas.


El concepto de cifras significativas es importante ya quepermite definir criterios para la bondad de unaaproximacin: Por ejemplo la aproximacin de un valor numrico esaceptable, si coincide con el valor exacto en 4 cifrassignificativas. La aceptabilidad o inaceptabilidad de un valor numricodeterminado est definido por la persona que usa laaproximacin.


Ejemplos Una aproximacin aceptable del debe coincidir en 8cifras significativas con su valor exacto. Como = 3,14159265358 , aproximaciones aceptablesde son por ejemplo 3,1415926; 3,141592611 o3,1415926999. Una aproximacin aceptable de ln 1,01 debe coincidir en3 cifras significativas con su valor exacto. Como ln 1,01 =0,00995033 = 9,95033 10-3, una aproximacinaceptable es 9,95 x10-3.


Error Los errores surgen del uso de aproximaciones pararepresentar operaciones y cantidades matemticasexactas. Valor Verdadero = Valor Aproximado + Error Error = Valor Verdadero Valor Aproximado

Error con mtodos iterativos


Ejemplo Se mide la longitud y el dimetro de una varilla encentmetros, obteniendo 99 cm y 0.9 cm respectivamente.Los valores exactos son 100 cm y 1 cm. Determinar elerror verdadero y el error porcentual verdadero. Que sepuede decir sobre las dos mediciones? Solucin

Para la longitud de la varilla: Ev = 100 - 99 = 1; ev =1/100x100% = 1%: Para el dimetro de la varilla: Ev = 1 0,9 = 0,1; ev = 0,1/1x100% = 10%:

La medicin del dimetro no es muy satisfactorio, ya queproduce un error porcentual del 10 %.


Ejemplo La serie de MacLaurin para la funcin exponencial(obtenido por el desarrollo de Taylor en el punto x0 = 0)es

ex = 1 + x + x2/2!+ x3/3!+ + xn/n! : Calcule el valor de e0,5, usando inicialmente un solotrmino de la serie de MacLaurin y agregando en cadaiteracin un trmino ms hasta que el error aproximadoporcentual sea menor que = 0,05%:


Solucin Sea yi el valor de la i-sima iteracin. Entonces tenemos:

Despus de la 6a iteracin, el error porcentual aproximado queda por debajo de la tolerancia previamente definida. Esto significa: Si se usa y6 como aproximacin del valor exacto de e0,5, se sabe que el error aproximado porcentual queda por debajo de la tolerancia especificada = 0,05.


Causas principales de errores en los mtodos numricos Truncamiento: debido a las aproximaciones utilizadas en laformula matemtica del modelo. Las soluciones numricasson en su mayora aproximaciones de las solucionesexactas, las series de Taylor es el medio mas importanteusado para obtener modelos numricos Redondeo: asociado con el numero limitado de dgitoscon que se representan los nmeros en una computadora


Series de Taylor Gran parte de los mtodos numricos se basan en laaproximacin de funciones por medio de Polinomios Por tanto, el error estar asociado con la precisin con laque el polinomio aproxima la funcin verdadera La serie de Taylor es una serie infinita de potencias querepresenta de manera exacta a una funcin dentro de uncierto radio alrededor de un punto dado


Errores de Redondeo La causa fundamental del error de redondeo se atribuye a la representacin limitada de un numero en bits para su almacenamiento Casos fcilmente comprobables de errores de redondeo son:

Sumas de nmeros muy pequeos Restar un numero muy pequeo de uno muy grande Restas de nmeros muy pequeos


Serie de Taylor Truncada: Si ignoramos todos los trminos dela serie de Taylor, excepto unos pocos, se puede obtenerun polinomio que se aproxima a la funcin verdadera El error del mtodo numrico se origina en eltruncamiento y se conoce como error de truncamiento


Serie de Taylor Truncada En las aplicaciones reales, es imposible incluir un numeroinfinito de trminos de un desarrollo de Taylor Si la serie de Taylor se trunca despus de un termino deorden N, se expresa como

donde representa el error debido al truncamiento delos trminos N+1 y superiores

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