UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE-L

1. TEMA: Resolución de ejercicios sobre funciones de transferencia para afianzar los conocimientos de conceptos básicos.

2. OBJETIVOS:

Generales: Resolver correctamente los ejercicios propuestos en el capítulo 2, y que permitan reforzar los conocimientos adquiridos.

Específicos:

Resolver satisfactoriamente los ejercicios propuestos. Analizar los resultados y conocimientos obtenidos. Afianzar los conocimientos recibidos en clase por medio de la resolución de

ejercicios.

3. RESUMEN:

Este trabajo trata sobre la resolución de ejercicios de las funciones de transferencia de una red eléctrica, de un sistema mecánico traslacional, de un sistema mecánico rotacional, y de un sistema con engranes.

Abstrac:

This paper deals with solving exercises of the transfer functions of an electrical network, a translational mechanical system, a rotational mechanical system, and a system with gears.

4. MARCO TEÓRICO:

Función de transferencia:

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada

o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo (Función de transferencia, 2014).

Tabla 1.Relaciones de voltaje-corriente, voltaje-carga e impedancia para capacitores, resistores e inductores

Tabla 2- Relación de fuerza-vectorial, fuerza-desplazamiento e impedancia para resortes, amortiguadores viscosos y masa traslacionales

Tabla 3. Relaciones de par velocidad angular, par desplazamiento angular e impedancia para resortes, amortiguadores viscosos e inercia rotacional

5. DESARROLLO

PREGUNTAS DE REPASO

1. ¿Qué modelo matemático permite una fácil interconexión de los sistemas físicos?

La función de transferencia.

2. ¿A qué clasificación de sistemas se puede aplicar mejor la función de transferencia?

A los sistemas de lazo abierto.

3. ¿Qué transformación convierte la solución de ecuaciones diferenciales en manipulaciones algebraicas?

La transformada de Laplace.

4. Defina la función de transferencia.

Es la relación de la salida de un sistema sobre su entrada.

9. ¿Qué función realizan los engranes?

Los engranes proporcionan ventajas mecánicas a los sistemas rotacionales.

10. ¿Cuáles son las partes componentes de las constantes mecánicas de la función de transferencia de un motor?

Inercia del motor, amortiguamiento en la armadura, inercia de la carga, amortiguación de la carga.

11. La función de transferencia de un motor relaciona el desplazamiento de armadura con el voltaje de armadura. ¿Cómo puede determinarse la función

de transferencia que relación el desplazamiento de carga y el voltaje de armadura?

Multiplicando la función de transferencia por relación de transmisión relativa a la posición del inducido o armadura para cargar.

12. Resuma los pasos para hacer lineal un sistema no lineal.

Reconocer el componente no lineal. Escribir la ecuación diferencial no lineal. Utilizamos la solución en estado estable o equilibrio. Hacemos lineal la ecuación diferencial no lineal Utilizamos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial

linealizada. separamos variables de entrada y salida, y formamos la función de

transferencia.

PROBLEMAS.

5. Utilice el MATLAB y las rutinas de matemáticas simbólicas para hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones de tiempo.

a) f ( t )=5 t 2cos (3 t+45 °)

Código en Matlab

syms tang=45*pi/180f=8*t^2*cos(3*t+ang);pretty(f)F=laplace(f);F=simple(F);pretty(F)

b) f ( t )=5 t e−2t sin (4 t+60 ° )

Código en Matlab

a=60*pi/180f=5*t*exp(-2*t)*sin(4*t+a);pretty(f)F=laplace(f);F=simple(F);pretty(F)

Matlab: 13. Repita el problema 12 para la siguiente función de trasferencia:

G (S )= S4+25S3+20S2+15S+42S5+13S4+9 S3+37 S2+35 S+50

Gtf=tf([1 25 20 15 42],[1 13 9 37 35 50])

Gzpk=zpk(Gtf)

Transfer function:

s^4 + 25 s^3 + 20 s^2 + 15 s + 42

-----------------------------------------

s^5 + 13 s^4 + 9 s^3 + 37 s^2 + 35 s + 50

Zero/pole/gain:

(s+24.2) (s+1.35) (s^2 - 0.5462s + 1.286)

------------------------------------------------------

(s+12.5) (s^2 + 1.463s + 1.493) (s^2 - 0.964s + 2.679)

14. Utilice Matlab para generar la expansión en fracciones parciales de la siguiente función:

R (s )= 104(s+10)(s+60)s(s+40)(s+50)(s2+7 s+100)(s2+6 s+90)

Código en Matlab

numg=[-10 -60];deng=[0 -40 -50 (roots([1 7 100]))' (roots([1 6 90]))'];[numg,deng]=zp2tf(numg',deng',1e4);Gtf=tf(numg,deng)G=zpk(Gtf)[r,p,k]=residue(numg,deng)

19. Repita el problema 18. usando ecuaciones de nodos.

a)

Nodo a

Va (S )−Vi(S)2S

+Va (S )1

+Va (S )−Vb(S)

3 s=0

Va (S )2S

−Vi (S )2S

+Va (S )1

+Va (S )3 s

−Vc (S )3 s

=0

(5+6S )Va(S)6 S

−Vc (S )3 s

=Vi (S )2S

Nodo b

Vb (S )−0112S

+Vb (S )−Va(S)

3S=0

−Va(S)3 s

+SVb (S )2

+Vb (S )3S

=0

−Va(S)3 s

+( 3S2+26 S )Vb (S )=0

[Vi (S )2S0 ]=[ (5+6S )

6 S−13 S

−13S

3 S2+26 S

][Va(S)Vb(S)]

∆=(5+6S )6 S

×3 S2+26 S

− 19S2

=15 S2+10+18 S3+12 s

36 S2− 19S2

∆=6S3+5S2+4 S+212S2

Va (S )=[ Vi (S )2 S

−13 S

03 S2+26 S

]6S3+5S2+4 S+2

12S2

=Vi (s ) (3 S2+2 )

(6S3+5S2+4 S+2 )

Vb (S )=[ (5+6 S )6 S

Vi (S )2 S

−13 S

0 ]6S3+5S2+4 S+2

12S2

=2Vi (s )

6 S3+5 S2+4S+2

V 0 ( s )Vi ( s)

=Va (S )−Vb(S)

Vi ( s)=Vi ( s )¿¿

b)

Va (S )−Vi(S)S

+(S2+1 )Va (S )−0

S+Va (S )−Vo (S)

1=0

( S2+S+2S )Va (S )−Vo (S )=Vi (S )S

nodo b

Vo (S )−Va(S)1

+SVo (S )+Vo (S )−Vi (S)

S=0

Va (S )+ S2+S+1S

Vo(S)=Vi(S)S

Va (S )=Vi(S )S

−S2+S+1S

Vo (S )

( S2+S+2S )[ Vi (S )S

−S2+S+1S ]Vo (S )−Vo (S )=

Vi (S)S

S+2S2Vi (S )=[ S2+2 S+1S ]Vo (S )

Vo (S )Vi (S )

= S2+2S3+2 S2+2

21. Encuentre la función de transferencia, G( s)=V o (s )V i (s ) , para cada uno de los

circuitos amplificadores operacionales que se ilustran en la figura.

a)

Z1=500∗103+ 1

1∗10−6 s

Z1=5∗105+ 10

6

s

Z2=1∗105+ 10

6

s

G( s)=V o (s )V i (s )

=−Z2 (s )Z1 (s )

=1∗105+ 10

6

s

5∗105+ 106

s

G( s)=−10

5 s+106

s5∗105 s+106

s

=− 110s+1

12s+1

G ( s)=−15s+10s+2

b)

Z1=105+10

6

s

Zeq=

105∗106

s

105+ 106

s

Zeq=

1∗1011

s105 s+106

s

= 1∗1011

105 s+106= 106

s+10= 106

s+10

Z2=105+ 106

s+10

Z2=105 s+106+106

s+10=105 s+20

s+10

G( s)=−Z2Z1

=−105 s+20

s+10

105+106

s

G( s)=− s+20s+10s+10s

=−s ( s+20 )

( s+10 )2

G( s)=−s (s+20 )

( s+10 )2

23. Encuentre la función de transferencia, G(s)=X1(s)/F(s), para el sistema mecánico de translación que se ilustra en la figura P2.9.

[F(S)0 ]=[ 1 −1

−1 1+S+S2][X 2X 1]∆=1+S+S2−1=S+S2

X 1=[1 F (s )1 0 ]S+S2

=F (S )S+S2

→X1F (S )

= 1

S+S2= 1S (1+S )

24. Encuentre la función de transferencia G(S)=X2(S)/F(S), para la red mecánica traslacional que se muestra en la figura P2.10.

[F (s )0 ]=[s2+1 −1

−1 s2+1]∗[X1 (s )X 2 (s )]

∆=( s4+2 s2+1 )−1

∆=s4+2 s2

∆=s2(s2+2)

X 2 (s )=[ s2+1 F (s)−1 0 ]

∆=

F(s)s2(s2+2)

X2 (s )F (s )

= 1s2(s2+2)

26. Para el sistema de la figura P2.12, encuentre la función de transferencia G(S)=X1(S)/F(S).

[ 0F(S)]=[2+S2+3S −(1+S )

−(1+S) 1+2 S+S2] [X1X2]∆=(2+S2+3 S ) (1+2S+S2 )−(1+S )2

∆=S4+2S3+S2+3 S3+6 S2+3 S+2 S2+4 S+2−1−2S−S2

∆=S4+5S3+8S2+5 S+1

X 1=[ 0 −(1+S )F ( s) 1+2S+S2]

S4+5S3+8S2+5 S+1=

F ( s )(1+S)(S+1 ) (S3+4 S2+4 S+1 )

→X 1F (S)

=(1+S )

(S+1 ) (S3+4S2+4 S+1 )= 1

(S3+4 S2+4S+1 )

27. Encuentre la función de transferencia G(s)=X3(s)/F(s), para el sistema mecánico traslacional que se muestra en la figura P2.13.

[ 0F (s )0 ]=[s

2+s+1 −1 0−1 s2+s+2 −s0 −s s2+s+1][ x1 (s )

x2 (s )x3 (s )]

∆=( s2+s+1 ) ( s2+s+1 ) ( s2+s+2 )−( s4+s3+2 s2+s+1 )

∆=s6+s5+2 s4+s4+s3+2 s2+s2+s+2+2 s5+2 s4+4 s3+2 s4+2 s3+4 s2+2 s3

+2 s2+4 s−s4−s3−s2−s2−s−1

∆=s6+3 s5+6 s4+8 s3+7 s2+4 s+1

x3 ( s )=[s2+s+1 −1 0−1 s2+s+2 F (s)0 −s 0 ]

s6+3 s5+6 s4+8 s3+7 s2+4 s+1

x3 ( s )=( s2+s2+s) F ( s )

s6+3 s5+6 s4+8 s3+7 s2+4 s+1

x3 ( s)F (s )

=( s2+s2+s)

s6+3 s5+6 s4+8 s3+7 s2+4 s+1

31. Para el sistema mecánico rotacional que se muestra en la figura P2.17, encuentre la función de transferencia G(S)=𝛉2(S)/T(S).

[T (S)0 ]=[ (S2+2S+1 ) −(1+S)

−(1+S) 1+2 S ][θ1θ2]∆=(S2+2S+1 ) (1+2S )−(1+2S )2

∆=2S3+4 S2+2S=2S (S2+2S+1)

θ2=[(S2+2 S+1 ) T (S )

−(1+S ) 0 ]2S (S2+2S+1 )

=T (S ) (1+S )

2S (S+1 ) (S+1 )→

θ2T (S )

= 12S (S+1 )

33. Para el sistema rotacional que se muestra en la figura, encuentre la

función de transferencia,G (s )=θ2(s)/T (s)

36. Para el sistema rotacional que se muestra en la figura P2.22, encuentre la función de transferencia, G(S)=𝛉l(S)/T(S).

Grafico equivalente:

[10T (S)00 ]=[S (S+1) −S 0

−S S+1 −10 −1 S+1][

θ2θ3θ4 ]

∆=S (S+1 )2−[S (S+1 )+S2 (S+1 ) ]

∆=S (S+1 )3−S (S+1 ) (S+1 )=S (S+1 )2 [ (S+1 )−1 ]

∆=S2 (S+1 )2

θ4=[S (S+1 ) −S 10T (S )

−S S+1 00 −1 0 ]

S2 (S+1 )2=S10T (S )S2 (S+1 )2

=10T (S )S (S+1 )2

→θ 4T (S )

= 10

S (S+1 )2

θL=50θ410

=5θ 4

θL=5 10

S (S+1 )2= 50

S (S+1 )2

6. ANÁLISIS DE RESULTADOS

7. CONCLUSIONES

Realizar las preguntas de repaso fue bastante enriquecedor para afianzar los conocimientos de la materia respecto a los temas tratados en clase.

Se recordó la resolución de la transformada de Laplace y su utilización en ejercicios de circuitos eléctricos y de movimiento mecánicos, recordando que facilita el análisis de sistemas en el dominio s, mediante la utilización de las funciones de transferencia.

Se realizó efectivamente los ejercicios propuestos demostrando que los temas fueron asimilados correctamente.

Además se aprendió la utilización de ciertos comandos en Matlab, útiles a la hora de trabajar con las funciones de transferencia de los sistemas.

8. BIBLIOGRAFÍAFunción de transferencia. (23 de Noviembre de 2014). Obtenido de

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_transferencia

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS FÍSICOS. (s.f.). Recuperado el 23 de NOVIEMBRE de 2014, de http://ciep.ing.uaslp.mx/njjccontrol/images/pdf/c_tema_2.2.pdf

Nise, N. (2006). Sistemas de control para ingeniería (Tercera Edición ed.). México: Editorial Continental.