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Capítulo 3 del libro que se utiliza en la asignatura Álgebra Lineal I de la carrera Estadísticas y Ciencias Actuariales en la Universidad Central de Venezuela.Ficha técnicaAutor: Profesor William NogueraPáginas: 16Contenido 3.1 Introducción. 3.2 Definiciones, propiedades y ejemplos. 3.3 Eliminación de Gauss-Jordan. 3.4 Uso de la factorización LU para la resolver un sistema de ecuaciones lineales. 3.5 Eliminación de Gauss. 3.6 Regla de Cramer. 3.7 Aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales para la resolución de problemas. 3.8 Modelo de insumo-producto de Leontief. Ejercicios propuestosPublicado en www.eecaucv.blogspot.com
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Capítulo 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta una importante herramienta para el desarrollo del análisis de regresión multivariante como lo son los sistemas de ecuaciones lineales. Se exponen los 3 principales métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales consistentes como lo son la Eliminación de Gauss, la Eliminación de Gauss-Jordan y la Regla de Crámer, así como también se presentan aplicaciones como el Modelo de Insumo-Producto de Leontief. 3.2. DEFINICIONES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 3.1. Sean Aij, Yi∈K, con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, m, n∈ℵ*. Se define como sistema de ecuaciones lineales (SEL) de m ecuaciones con n incógnitas al siguiente conjunto de ecuaciones:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
YXAXAXA
YXAXAXAYXAXAXA
K
M
K
K
Este conjunto de ecuaciones se puede escribir de forma matricial de la siguiente manera:
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
YXAXAXA
YXAXAXAYXAXAXA
=+++
=+++=+++
K
M
K
K
⇒
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
m
2
1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
Y
YY
X
XX
AAA
AAAAAA
MM
L
MMM
L
L
⇒ AX = Y Donde A∈Mmxn(K), X∈Kn e Y∈Km. La matriz A se denomina matriz de coeficientes y los vectores X e Y se denominan vector de incógnitas y vector de términos independientes del SEL, respectivamente. La matriz particionada 1x2 [A | Y]∈Mmx(n+1)(K) se denomina matriz ampliada o aumentada del SEL. Un vector Z∈Kn se dice que es una solución del SEL si verifica la ecuación matricial que lo define, es decir, si AZ = Y.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
99
Se dice que el SEL es consistente si el sistema tiene al menos una solución. En caso contrario, se dice que es inconsistente. Si Y = θmx1 se dice que el SEL es homogéneo. En tal caso, el sistema es consistente y la solución X = θnx1 se dice que es la solución trivial de dicho SEL. Ejemplo 3.1. El conjunto de ecuaciones:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−=++=+−=+−
5X4XX24XXX38X2X3X7X2XX2
321
321
321
321
Es un SEL de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. Dicho sistema se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
54 8 7
XXX
4121 1 32 312 12
3
2
1
Este SEL es consistente ya que:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=∈∃
54 8 7
2 11
4121 1 32 3 12 12
:2 11
X ;KX 3
Definición 2.2. Sean Aij, Yi∈K, con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, m, n∈ℵ*. Consideremos el SEL siguiente:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
YXAXAXA
YXAXAXAYXAXAXA
K
M
K
K
(1)
Sean C1, C2,…, Cm∈K. La ecuación:
(C1A11+…+CmAm1)X1 +…+ (C1A1n+…+CmAmn)Xn = C1Y1 +…+CmYm (2)
Se dice que es una combinación lineal de las ecuaciones del SEL.
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
100
Observación: Cualquier solución del SEL (1) es solución de la ecuación (2). Ejemplo 3.2. En el ejemplo 3.1., una combinación lineal de las ecuaciones del SEL es: (2C1 + C2 + 3C3 + 2C4)X1 + (-C1 – 3C2 + C3 – C4)X2 + (2C1 + 2C2 + C3 – 4C4)X3
= 7C1 + 8C2 + 4C3 – 5C4 Al sustituir una solución del SEL; X1 = 1, X2 = -1 y X3 = 2 se obtiene que también es solución de la combinación lineal de las ecuaciones del SEL: (2C1+ C2 +3C3 + 2C4).1 + (-C1 – 3C2 +C3 – C4).(-1) + (2C1 +2C2 +C3 – 4C4).(2)
= 2C1+ C2 +3C3 + 2C4 +C1 + 3C2 – C3 + C4 + 4C1 +4C2 + 2C3 – 8C4 = (2+1+4)C1+ (1+3+4)C2 + (3–1+2)C3 + (2+1–8)C4
= 7C1+ 8C2 + 4C3 – 5C4
Definición 3.3. Sean A, B∈Mmxn(K), X∈Kn e Y, Z∈Km. Se dice que los SEL AX = Y y BX = Z son equivalentes si cada solución del SEL AX = Y es solución del SEL BX = Z y viceversa. Ejemplo 3.3. Los SEL:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=+−=+−
0XXX14XX3X222X4X2X
321
321
321
y ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−=++
10XX2X14X2X2X8XXX3
321
321
321
Son equivalentes ya que tienen una única solución común X1 = 2; X2 = -2 y X3 = 4. Teorema 3.1. Sean A, A’∈Mmxn(K), X∈Kn e Y, Y’∈Km. Si la matriz particionada [A’ | Y’] se obtiene de la matriz particionada [A | Y] aplicándole una operación elemental de filas entonces los sistemas AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. Demostración Supongamos que sobre la matriz [A | Y] se aplica la operación elemental de filas rp → rp + crs, con c ≠ 0. Luego,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
101
[A | Y] = ⇒+→⇒
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
spp
mmn2m1m
ssn2s1s
ppn2p1p
1n11211
crrr
YAAA
YAAA
YAAA
YAAA
L
MMMM
L
MMMM
L
MMMM
L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
mmn2m1m
ssn2s1s
spsnpn2s2p1s1p
1n11211
YAAA
YAAA
cYYcAAcAAcAA
YAAA
L
MMMM
L
MMMM
L
MMMM
L
= B’ = [A’ | Y’]
Se obtiene así el sistema
A’X = Y’ ⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
+=++++++
=+++
mnmn22m11m
snsn22s11s
spnsnpn22s2p11s1p
1nn1212111
YXA...XAXA
YXA...XAXA
cYYX)cAA(...X)cAA(X)cAA(
YXA...xAXA
M
M
M
Ahora bien, el SEL AX = Y es:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...xAXA
M
M
M
Supongamos que Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL AX = Y. Luego,
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
102
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por c en la s-ésima ecuación y luego con la ecuación obtenida sumamos a ambos lados de la igualdad con la p-ésima ecuación se obtiene que:
mnmn22m11m
snsn22s11s
spnsnpn22s2p11s1p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
cYYZ)cAA(...Z)cAA(Z)cAA(
YZA...ZAZA
=+++
=+++
+=++++++
=+++
M
M
M
Es decir, Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL A’X = Y’.
Si partimos de que Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL A’X = Y’, luego
multiplicamos a ambos lados de la igualdad de la s-ésima ecuación por (-c) y finalmente con la ecuación obtenida sumamos a ambos lados de la igualdad con la p-esima ecuación se obtiene que:
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
103
Es decir, Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL AX = Y.
Por consiguiente los SEL AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. Supongamos que sobre la matriz [A | Y] se aplica la operación elemental de filas rp → crp, con c ≠ 0. Luego,
[A | Y] = ⇒→⇒
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
pp
mmn2m1m
ssn2s1s
ppn2p1p
1n11211
crr
YAAA
YAAA
YAAA
YAAA
L
MMMM
L
MMMM
L
MMMM
L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mmn2m1m
ssn2s1s
ppn2p1p
1n11211
YAAA
YAAA
cYcAcAcA
YAAA
L
MMMM
L
MMMM
L
MMMM
L
= B’ = [A’ | Y’]
Se obtiene así el sistema
A’X = Y’ ⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YXA...XAXA
YXA...XAXA
cYXcA...XcAXcA
YXA...xAXA
M
M
M
Ahora bien, el SEL AX = Y es:
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
104
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...xAXA
M
M
M
Supongamos que Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL AX = Y. Luego,
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por c en la p-ésima ecuación se obtiene que:
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
cYZcA...ZcAZcA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
Es decir, Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL A’X = Y’.
Si partimos de que Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL A’X = Y’, luego
multiplicamos a ambos lados de la igualdad de la p-ésima ecuación por c-1 se obtiene que:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
105
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
Es decir, Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL AX = Y.
Por consiguiente los SEL AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. Supongamos que sobre la matriz [A | Y] se aplica la operación elemental de filas rp ↔ rs. Luego,
[A | Y] = ⇒↔⇒
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sp
mmn2m1m
ssn2s1s
ppn2p1p
1n11211
rr
YAAA
YAAA
YAAA
YAAA
L
MMMM
L
MMMM
L
MMMM
L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mmn2m1m
ppn2p1p
ssn2s1s
1n11211
YAAA
YAAA
YAAA
YAAA
L
MMMM
L
MMMM
L
MMMM
L
= B’ = [A’ | Y’]
Se obtiene así el sistema
A’X = Y’ ⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
pnpn22p11p
snsn22s11s
1nn1212111
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...xAXA
M
M
M
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
106
Ahora bien, el SEL AX = Y es:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...XAXA
YXA...xAXA
M
M
M
Supongamos que Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL AX = Y. Luego,
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
Si intercambiamos las ecuaciones s-ésima y p-ésima se obtiene que:
mnmn22m11m
pnpn22p11p
snsn22s11s
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
Es decir, Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL A’X = Y’.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
107
Si partimos de que Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL A’X = Y’, luego
intercambiamos las ecuaciones p-ésima y s-ésima se obtiene que:
mnmn22m11m
snsn22s11s
pnpn22p11p
1nn1212111
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
YZA...ZAZA
=+++
=+++
=+++
=+++
M
M
M
Es decir, Z =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Z
ZZ
M es solución del SEL AX = Y.
Por consiguiente los SEL AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. 3.3. ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Sean A∈Mmxn(K), X∈Kn e Y∈Km con Rango(A) = r. Si R = [RA | Z] es la matriz escalonada reducida por filas de [A | Y] entonces por el teorema anterior los sistemas AX = Y y RAX = Z son equivalentes. El sistema RAX = Z tiene la forma:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
+
+
m
1r
r
2
1
n
1r
r
2
1
rn
n2
n1
)1r(r
)1r(2
)1r(1
Z
ZZ
ZZ
X
XX
XX
0
0R
RR
0000
0000R100
R010R001
M
M
M
M
L
M
L
L
M
L
L
L
MMMM
L
K
MMMM
L
L
Por lo tanto se reduce a:
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
108
0Z...ZZ
ZXRX
ZXRX
ZXRX
m2r1r
r
n
1rjjrjr
2
n
1rjjj22
1
n
1rjjj11
====
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
++
+=
+=
+=
∑
∑
∑
M
Como R = [RA | Z] es escalonada reducida por filas puede ocurrir lo siguiente:
1. Zr+1 = 1. Esto contradice la igualdad anterior. Luego, el SEL AX = Y es inconsistente.
2. Zr+1 = 0 ó Zr+1 no existe. En este caso el SEL AX = Y es consistente y las soluciones se obtienen dando valores arbitrarios a las incógnitas Xr+1, Xr+2,…, Xn. Además si r = n entonces el sistema tiene una única solución X1 = Z1, X2 = Z2,… , Xn = Zn y si r < n entonces el sistema tiene infinitas soluciones las cuales son generadas por exactamente n – r + 1 vectores.
Ejemplo 3.4. Consideremos el SEL:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=++
4X2X4X22X3XX21XX2X
321
321
321
Utilizando la Eliminación de Gauss-Jordan, determinemos si este SEL es consistente:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−→
−→
−→
−→
1 0 1
0 005
1101 21
2 0 1
00 015012 1
421
24 231212 1
Y|A33
22
133
122
r21r
r51r
r2rr
r2rr
]Z|R[1 0 0
0 005
1105
7 01
1 0 0
0 005
1101 21
Ar2rrrrr 211311 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯ −→−→
Como se puede observar Rango(A) = 2. Por lo tanto, Zr+1 = Z2+1 = Z3 = 1. En consecuencia, el SEL es inconsistente. Ejemplo 3.5. Consideremos el SEL:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
109
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−+−=+−
7X2X3XX2X22XX3X
31
321
321
Utilizando la Eliminación de Gauss-Jordan, determinemos si este SEL es consistente:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−=
→
−→
−→
9 8
7 2
1 3 08
31 01 31
9 7 2
1 3 038 01 31
7 3 2
2 0 112 21 31
Y|A22
133
122 r81r
rrr
r2rr
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−⎯⎯⎯ →⎯
−→
+→→−→
311
32233233
rrr
r83rrr
178rr3rr
3 8
7 2
1 0 08
31 01 31
851
87 2
817 0 0
831 01 31
]Z|R[321
100010001
3 2 5
10 001 0031
Ar3rr 211 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−+→
Como se puede observar RA = I3 y Rango(A) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 no existe. En consecuencia, el SEL es consistente y como Rango(A) = 3 = n entonces tiene una única solución la cual es X1 = Z1 = 1; X2 = Z2 = 2; X3 = Z3 = 3. Ejemplo 3.6. Consideremos el SEL:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=++
2X2X4X22X3XX21XX2X
321
321
321
Utilizando la Eliminación de Gauss-Jordan, determinemos si este SEL es consistente:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−→
−→
−→
0 0 1
0 005
1101 21
0 0 1
00 015012 1
221
24 231212 1
Y|A22
133
122 r51r
r2rr
r2rr
]Z|R[0 0 1
0 005
1105
7 01
Ar2rr 211 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯ −→
Como se puede observar Rango(A) = 2. Por lo tanto, Zr+1 = Z2+1 = Z3 = 0. En consecuencia, el SEL es consistente. Como Rango(A) = 2 < n = 3 el SEL tiene
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
110
infinitas soluciones generadas por exactamente n – r + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 vectores. Dichos vectores se obtienen de la siguiente manera:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+⇒
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−32
31
32
31
X51X
X571X
0X51X
1X57X
0 0 1
0 005
1105
7 01
Luego, la solución del SEL toma la forma:
ℜ∈
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
33
3
3
3
3
2
1
X ;1 5
1 5
7
X001
X
X51
X571
XXX
Los vectores que generan las soluciones son Z1 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
y Z2 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 5
1 5
7
y el
conjunto de infinitas soluciones del SEL es S = { }ℜ∈+=ℜ∈ c;cZZZ:Z 213 . Ejemplo 3.7. Consideremos el SEL:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+−=++=+−
6X3X21XX2X4XXX22X3X2X
32
321
321
321
Utilizando la Eliminación de Gauss-Jordan, determinemos si este SEL es consistente:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=→
−→
−→
6 10 2
3 202001103 21
6 10 2
3 202005503 21
6142
320121112321
]Y|A[22
133
122 r51r
rrr
r2rr
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
⎯⎯⎯ →⎯ −→−→−→ 34433244 r5rrr
21rr2rr
6 2
10 2
5 001 001103 21
6 10 2
5 002001103 21
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
111
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−→
−→→
411
43344
r2rr
r21rrr
72r
1 2
10 2
0 001 001103 21
27 2
10 2
0 001 001103 21
]Z|R[
1 0 0 0
000100010001
1 0 0 0
000100010021
1 0 0 0
0 001 001103 21
Ar2rr
r3rr
rrr211
311
322
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+→−→
+→
Como se puede observar Rango(A) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 = 1. En consecuencia, el SEL es inconsistente. Ejemplo 3.8. Consideremos el SEL:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=−++=++−
1XXX2X4X2XXX22XX3X2X
4321
4321
4321
Utilizando la Eliminación de Gauss-Jordan, determinemos si este SEL es consistente:
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
→
−→
−→22
133
122 r51r
rrr
r2rr
1 0 2
0 20 0455 01 3 21
1 4 2
1 121211 21 321
]Y|A[
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
−→
+→−→
311
32233
r3rr
rrrr21r
21
0 2
0 1 0 05
411 01 3 21
1 0 2
0 20 05
411 01 3 21
]Z|R[
21
21
23
0 1005
40105
3001
21
21
21
0 10 05
401 01 021
Ar2rr 211 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+→
Como se puede observar Rango(A) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4. Como Z4 no existe entonces el SEL es consistente. Como Rango(A) = 3 < n = 4 el SEL tiene infinitas soluciones generadas por exactamente n – r + 1 = 4 – 3 + 1 = 2 vectores. Dichos vectores se obtienen de la siguiente manera:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
+=
+=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=−
=−
⇒
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
21X
X54
21X
X53
23X
21X
21X5
4X2
3X53X
21
21
23
0 1005
40105
3001
3
42
41
3
42
41
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
112
Luego, la solución del SEL toma la forma:
ℜ∈
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
44
4
4
4
4
3
2
1
X ;
105
45
3
X
02
12
12
3
X2
1X5
42
1X5
32
3
XXXX
Los vectores que generan las soluciones son Z1 =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
02
12
12
3
y Z2 =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
105
45
3
y el
conjunto de infinitas soluciones del SEL es S = { }ℜ∈+=ℜ∈ c;cZZZ:Z 214 . Teorema 3.2. (Teorema de Rouché-Frobenius) Sean A∈Mmxn(K), X∈Kn e Y∈Km. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si Rango(A) = Rango([A | Y]). Demostración CN (⇒): Si el SEL AX = Y es consistente entonces Rango(A) = Rango([A | Y]). Sea R = [RA | Z] la matriz escalonada reducida por filas de [A | Y] y supongamos que Rango(A) = r. Si el SEL AX = Y es consistente entonces Zr+1 = 0 en cuyo caso el número de filas no nulas de R es igual a r, es decir, Rango([A | Y]) = r = Rango(A). CS (⇐): Si Rango(A) = Rango([A | Y]) entonces el SEL AX = Y es consistente. Si Rango(A) = Rango([A | Y]) entonces Zr+1 = 0. Por lo tanto el SEL AX = Y es consistente. Teorema 3.3. Sean A∈Mnxn(K) y X∈Kn. A es no singular si y sólo si el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución (la solución trivial). Demostración CN(⇒): Si A es no singular entonces el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución. El SEL AX = θnx1 es consistente. La solución trivial X = θnx1 es solución de este sistema. Veamos que esta solución es única.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
113
Supongamos que X1∈Mnx1(K) es también solución del SEL homogéneo AX = θnx1. Luego se cumple que:
AX1 = θnx1 ⇒ A-1AX1 = A-1θnx1
⇒ X1 = θnx1
La cual es la solución trivial. Por tanto el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución. CS(⇐): Si el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución entonces A es no singular. Si el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución entonces Rango(A) = n. Por consiguiente A es no singular. Teorema 3.4. Sean A∈Mnxn(K), X∈Kn e Y∈Km. Si A es no singular entonces el SEL AX = Y tiene una única solución y ésta es X = A-1Y. Demostración Si A es no singular entonces Rango(A) = n. Por lo tanto, el SEL es consistente y tiene además una única solución. Esta solución es:
AX = Y ⇒ A-1AX = A-1Y ⇒ X = A-1Y
Ejemplo 3.9. En el ejemplo 3.5., se puede verificar que la matriz de coeficientes A es no singular y su matriz inversa es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=−
178
173
172
173
171 17
517
117
6 174
A 1
Luego, el SEL es consistente con una única solución y dicha solución es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−== −
321
7 3 2
178
173
172
173
171 17
517
117
6 174
YAX 1
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
114
3.4. USO DE LA FACTORIZACIÓN LU PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Sean A∈Mnxn(K), X∈Mnx1(K) e Y∈Mmx1(K). Supongamos que A es no singular. En ese caso existen matrices únicas L∈Mnxn(K) triangular inferior con unos en la diagonal principal y U∈Mnxn(K) triangular superior tales que A = LU. Luego el SEL AX = Y se puede escribir de la forma LUX = Y. Como L y U son matrices no singulares entonces la única solución del SEL consistente AX = Y es X = U-1L-1Y. Igualmente si existe una matriz de permutación P∈Mnxn(K) tal que PA = LU, siendo L∈Mnxn(K) una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal y U∈Mnxn(K) una matriz triangular superior, entonces el SEL AX = Y se puede escribir de la forma PAX = PY, es decir, LUX = PY. Como L y U son matrices no singulares entonces la única solución del SEL consistente AX = Y es X = U-1L-1PY. 3.5. ELIMINACIÓN DE GAUSS. Teorema 3.5. Sea A∈Mnxn(K) tal que A es una matriz triangular. A es no singular si y sólo si ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0. Demostración CN (⇒): Sea A∈Mnxn(K) tal que A es una matriz triangular. Si A es no singular entonces ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0. Utilicemos el método de reducción al absurdo. Supongamos que A es triangular y no singular y que ∃ i = 1, 2,… , n tal que Aii = 0. Supongamos que A es triangular superior y sin pérdida de generalidad que para i = n se cumple que Aii = 0. Luego A tiene la última fila nula. Sea B∈Mnxn(K) la matriz inversa de A. En ese caso se cumple que AB = BA = In. Pero,
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000
AA0AAA
AB n222
n11211
L
MMM
L
L
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
n22221
n11211
BBB
BBBBBB
L
MMM
L
L
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑
∑∑∑
===
===
000
BABABA
BABABA
n
2rrnr2
n
2r2rr2
n
2r1rr2
n
1rrnr1
n
1r2rr1
n
1r1rr1
L
MMM
L
L
Es decir:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
115
In =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑
∑∑∑
===
===
000
BABABA
BABABA
n
2rrnr2
n
2r2rr2
n
2r1rr2
n
1rrnr1
n
1r2rr1
n
1r1rr1
L
MMM
L
L
Lo cual es una contradicción. De forma análoga se demuestra si A es triangular inferior. CS (⇐): Sea A∈Mnxn(K) tal que A es una matriz triangular. Si ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0 entonces A es no singular. Sea R la matriz escalonada reducida por filas de A. Si A es triangular y ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0 entonces R = In. Por consiguiente, A es no singular. Observación: Sean A∈Mnxn(K), X∈Kn e Y∈Kn tales que A es triangular superior y no singular. Consideremos el SEL AX = Y, es decir:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
n
2
1
nn
n222
n11211
Y
YY
X
XX
A00
AA0AAA
MM
L
MM
L
L
Luego,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=++=+++
nnnn
2nn2222
1nn1212111
YXA
YXA...XA YXA...XAXA
M
Por lo tanto,
nn
nn A
YX =
Haciendo sustitución hacia atrás se despejan las restantes incógnitas:
)1n)(1n(
nn)1n(1n1n A
XAYX
−−
−−−
−=
En general,
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
116
ii
n
1ijjiji
i A
XAYX
∑+=
−
= ; i = n-1, n-2,… , 1
De forma análoga se despejan las incógnitas cuando A es triangular inferior. Definición 3.4. Sea C∈Mnxn(K). Se dice que C es una matriz escalonada por filas si se verifican las siguientes condiciones:
1. ∃ r∈ℵ, 1 ≤ r ≤ n, tal que las primeras r filas de C son no nulas y las restantes n – r filas son nulas.
2. Si el pivote de la i-ésima fila de C pertenece a la columna si, i = 1, 2,… , p entonces s1 < s2 < … < sp.
3. Todos los elementos de la columna si, i = 1, 2,… , p correspondientes a las filas i+1, i+2,… , n son nulos.
Observaciones:
1. Una matriz escalonada por filas es una matriz triangular superior. 2. Sea A∈Mnxn(K). Entonces A siempre es equivalente por filas a una
matriz escalonada por filas C∈Mnxn(K). Además Rango(A) = r si y sólo si la matriz C tiene r filas no nulas.
3. Sea A∈Mnxn(K), X∈Mnx1(K) e Y∈Mnx1(K). La matriz aumentada [A | Y] es equivalente por filas a una matriz particionada [C | Z]. Por consiguiente, los SEL AX = Y y CX = Z son equivalentes.
Ejemplo 3.10. Utilizando la Eliminación de Gauss, determinemos si el SEL del ejemplo 3.4., es consistente:
[ ] ]Z|C[1 0 1
0 005
1101 21
2 0 1
00 015012 1
421
24 231212 1
Y|A33
22
133
122
r21r
r51r
r2rr
r2rr
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−→
−→
−→
−→
Como se puede observar Rango(C) = 2. Por lo tanto, Zr+1 = Z2+1 = Z3 = 1. En consecuencia, el SEL CX = Z es inconsistente y al ser equivalente al SEL AX = Y, éste último también es inconsistente. Ejemplo 3.11. Utilizando la Eliminación de Gauss, determinemos si el SEL del ejemplo 3.5., es consistente:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−=
→
−→
−→
9 8
7 2
1 3 08
31 01 31
9 7 2
1 3 038 01 31
7 3 2
2 0 112 21 31
Y|A 22
133
122 r81r
rrr
r2rr
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
117
]Z|C[3 8
7 2
1 0 08
31 01 31
851
87 2
817 0 0
831 01 31
33233
r178rr3rr =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−⎯⎯⎯ →⎯
→−→
Como se puede observar Rango(C) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 no existe. En consecuencia, el SEL CX = Z es consistente y al ser equivalente al SEL AX = Y, éste último también es consistente. Haciendo sustitución hacia atrás se obtienen las incógnitas:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−
−=+−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−
−=+−⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−
3X8
7)3(83X
2XX3X
3X8
7X83X
2XX3X
3 8
7 2
1 0 08
31 01 31
3
2
321
3
32
321
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
−=+−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
−=+−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−
−=+−
3X2X
2XX3X
3X8
78
9X2XX3X
3X8
78
9X2XX3X
3
2
321
3
2
321
3
2
321
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
−−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
−=+−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
−=+−⇒
3X2X1X
3X2X
236X
3X2X
236X
3X2X
23)2(3X
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3.6. REGLA DE CRAMER. Teorema 3.6. (Regla de Gabriel Cramer) Sean A∈Mnxn(K), X∈Kn e Y∈Kn tales que A es no singular y por consiguiente el SEL AX = Y es consistente con una única solución. Entonces dicha
solución es X = [X1 X2 … Xn]t, siendo n, 2,... ,1j ;)A(Det
))A(D(DetX j
j =∀= ,
donde D(A)j es la matriz D(A)j∈Mnxn(K) que se obtiene sustituyendo la j-ésima columna de A por la matriz columna Y. Demostración La solución única del sistema AX = Y es X = A-1Y. En consecuencia:
X = Y)A(Adj)A(Det
1
Ahora bien,
Adj(A)Y =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
Y
YY
)nn(A)n2(A)n1(A
)2n(A)22(A)21(A)1n(A)12(A)11(A
M
L
MMM
L
L
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
118
⇒ Adj(A)Y =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++++++
n21
n21
n21
Y)nn(A...Y)n2(AY)n1(A
Y)2n(A...Y)22(AY)21(AY)1n(A...Y)12(AY)11(A
M
Consideremos ahora la matriz D(A)j, es decir:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnn1n
n2221
n1111
j
AYA
AYAAYA
)A(D
LL
MMM
LL
LL
Por definición:
Det(D(A)j) = ∑=
+−n
1it,ijitj
ti )))A(D(M(Det))A(D()1(
Sea t = j. Luego,
Det(D(A)j) = ∑=
+−n
1ij,ijijj
ji )))A(D(M(Det))A(D()1(
Det(D(A)j) = (-1)1+j(D(A)j)1jDet(M(D(A)j)1,j)+ +…+(-1)n+j(D(A)j)njDet(M(D(A)j)n,j) = (-1)1+jY1Det(M(D(A)j)1,j)+…+(-1)n+jYnDet(M(D(A)j)n,j) = Y1(-1)1+jDet(M(D(A)j)1,j)+…+ Yn(-1)n+jDet(M(D(A)j)n,j) Pero Det(M(D(A)j)i,j) = Det(M(A)i,j) ∀ i = 1, 2,… , n. Luego, Det(D(A)j) = Y1(-1)1+jDet(M(A)1,j)+…+ Yn(-1)n+jDet(M(A)n,j) = Y1A(1|j) +… + YnA(n|j)
= A(1|j)Y1 +… + A(n|j)Yn Por consiguiente,
Adj(A)Y =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++++++
))A(D(Det
))A(D(Det))A(D(Det
Y)nn(A...Y)n2(AY)n1(A
Y)2n(A...Y)22(AY)21(AY)1n(A...Y)12(AY)11(A
n
2
1
n21
n21
n21
MM
En consecuencia,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
119
X = Y)A(Adj)A(Det
1 =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)A(Det))A(D(Det
)A(Det))A(D(Det
)A(Det))A(D(Det
))A(D(Det
))A(D(Det))A(D(Det
)A(Det1
n
2
1
n
2
1
MM
Es decir,
X = [X1 X2 … Xn]t, siendo n, 2,... ,1j ;)A(Det
))A(D(DetX j
j =∀=
Ejemplo 3.12. Consideremos el SEL del ejemplo 3.5.:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−+−=+−
7X2X3XX2X22XX3X
31
321
321
Este SEL es consistente con una única solución. Utilizando la Regla de Cramer determinemos la solución de dicho sistema:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
2 0 112 21 31
A ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
7 3 2
Y
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−=
2 0 7 12 3 1 32
)A(D 1 ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
2 7 113 21 21
)A(D 2 ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−=
7 0 13 2 2231
)A(D 3
Se puede verificar fácilmente que:
Det(A) = 17, Det(D(A)1) = 17, Det(D(A)2) = 34 y Det(D(A)3) = 51 Luego,
11717
)A(Det))A(D(DetX 1
1 === ; 21734
)A(Det))A(D(DetX 2
2 === ;
31751
)A(Det))A(D(DetX 3
3 ===
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
120
3.7. APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Ejemplo 3.13. Un viajero recién llegado de Europa gastó en alojamiento por día $30 en Inglaterra, $20 en Francia y $20 en España. En comida, por día gastó $20 en Inglaterra, $30 en Francia y $20 en España. Adicionalmente desembolsó $10 por día en cada país por gastos varios. El registro del viajero indica que gastó un total de $340 en alojamiento, $320 en comida y $140 en gastos varios en su recorrido por estos 3 países. Determine si el registro esta correcto y en caso afirmativo determine el número de días que el viajero permaneció en cada país. Definamos las incógnitas: X1: Número de días que pasó el viajero en Inglaterra. X2: Número de días que pasó el viajero en Francia. X3: Número de días que pasó el viajero en España. Los datos del problema se pueden reducir en el siguiente cuadro:
Gasto/País Inglaterra Francia España Total Alojamiento 30 20 20 340 Comida 20 30 20 320 Varios 10 10 10 140
De allí se pueden extraer las siguientes ecuaciones: 30X1 + 20X2 + 20X3 = 340 20X1 + 30X2 + 20X3 = 320 10X1 + 10X2 + 10X3 = 140 Dando lugar al siguiente SEL:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
140X10X10X10320X20X30X20340X20X20X30
321
321
321
Como la matriz de coeficientes es cuadrada (3x3) apliquemos eliminación de Gauss:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −→
−→→
380
3280
334
310
3100
320
3500
32
321
140320
334
1010102030203
23
21
140320340
101010203020202030
]Y|A[133
12211
r10rr
r20rrr301r
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯→−→→
45
283
34
1005
2103
23
21
85
283
34
2005
2103
23
21
380
528
334
310
3100
5210
32
321
3323322 r21rr
310rrr
503r
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
121
Como se puede observar Rango(C) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 no existe. En consecuencia, el SEL CX = Z es consistente y al ser equivalente al SEL AX = Y, éste último también es consistente. Esto prueba que el registro del viajero esta correcto. Haciendo sustitución hacia atrás se obtienen las incógnitas:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
=++
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==+
=++
⇒
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4XX5
25
28X3
34X32X3
2X
4X5
28X52X
334X3
2X32X
45
283
34
1005
2103
23
21
3
32
321
3
32
321
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=++⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=++⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
=++
⇒4X4X
334)4(3
2)4(32X
4X4X
334X3
2X32X
4X)4(5
25
28X3
34X32X3
2X
3
2
1
3
2
321
3
2
321
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−−=⇒
4X4X6X
4X4X
38
38
334X
3
2
1
3
2
1
El viajero permaneció 6 días en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España. 3.8. MODELO DE INSUMO-PRODUCTO DE LEONTIEF. Supongamos un sistema económico que tiene n industrias. Existen 2 tipos de demandas en cada industria: Primero, una demanda externa desde afuera del sistema y segundo, la demanda que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Supongamos que Ei representa la demanda externa ejercida sobre la i-ésima industria. Supongamos que Aij representa la demanda interna que la j-ésima industria ejerce sobre la i-ésima industria, es decir, Aij representa el número de unidades de producción de la i-ésima industria que se necesitan para producir una unidad de la j-esima industria. Sea Xi la producción de la i-ésima industria. Supongamos ahora que la producción de cada industria es igual a su demanda. La demanda total es igual a la suma de las demandas internas y externas. Igualando la demanda total a la producción de cada industria se obtiene el siguiente SEL:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++++
=++++=++++
nnnnn22n11n
22nn2222121
11nn1212111
XEXA...XAXA
XEXA...XAXAXEXA...XAXA
M
Dicho sistema se puede escribir también de la siguiente forma:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+−−−
=−−−+−=−−−−
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
EX)A1(...XAXA
EXA...X)A1(XAEXA...XAX)A1(
M
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
122
La solución del sistema indica la producción de cada industria. Este modelo recibe el nombre de modelo de insumo-producto de Leontief en honor a su autor Wassily W. Leontief. Ejemplo 3.14. Las demandas externas de un sistema económico con 3 industrias son 10, 25 y 20, respectivamente. Se sabe que se requieren 0,2 unidades de la primera industria para producir una unidad de dicha industria, mientras que se requieren 0,4 unidades de la segunda industria y 0,25 unidades de la tercera industria para producir una unidad de la primera industria. También se conoce que se requieren 0,1 unidades de la segunda industria para producir una unidad de dicha industria, mientras que se requieren 0,5 unidades de la primera industria y 0,5 unidades de la tercera industria para producir una unidad de la segunda industria. Por último se sabe que se necesitan 0,15 unidades de la tercera industria para producir una unidad de dicha industria, mientras que se requieren 0,15 unidades de la primera industria y 0,3 unidades de la segunda industria para producir una unidad de la tercera industria. Determinemos la producción de cada industria de manera que la oferta sea exactamente igual a la demanda. En este caso, n = 3, A11 = 0,2, A21 = 0,4, A31 = 0,25, A22 = 0,1, A12 = 0,5, A32 = 0,5, A33 = 0,15, A13 = 0,15, A23 = 0,3. Luego, 1 – A11 = 0,8, 1 – A22 = 0,9 y 1 – A33 = 0,85. Luego, el SEL del modelo es:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−−=−+−=−−
20X85,0X5,0X25,025X3,0X9,0X4,010X15,0X5,0X8,0
321
321
321
Se resuelve el SEL y la solución es X1 = 110,30, X2 = 118,74 y X3 = 125,82. En consecuencia, la producción necesaria para que la oferta sea aproximadamente igual a la demanda es X1 = 110, X2 = 119 y X3 = 126.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
123
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determine si los siguientes sistemas de ecuaciones lineales son
consistentes. En caso afirmativo determine su solución o su conjunto de todas las soluciones:
1.1. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++=++=++
2XX2X6X51XX2X
0XX2X3
4321
321
421
1.2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=++=+−
5XXX22XXX
1X2XX2
321
321
321
1.3.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++=+=−+=+−
0XXX50X4X3
0XXX0XX3X2
321
21
321
321
1.4.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+=++=−+−=−+
1X3X2X3XXX
1X2XX21X3XX
321
321
321
321
2. Discutir el sistema según los valores de k.
2.1.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=++
−=−+=−+
215k16kX2kX3X
kX2XkX2k2kXkXX2
321
321
321
2.2.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=++=++
kX2
11X
4kX3XkXk2XkXX2
31
321
321
2.3. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−++=+−=−+
2kX)14k(XX42X5XX34X3X2X
32
21
321
321
2.4. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+
+−=+−
kkXXX41kXXX
5k2XkXX2
321
321
321
3. Determine los valores de k para que el siguiente sistema de ecuaciones
lineales homogéneo tenga soluciones distintas de la solución trivial:
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
124
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++=+++=+++
0XXX)1k(0X)1k(XX0XX)1k(X
321
321
321
4. Determine si el sistema AX = Y es consistente. En caso afirmativo
determine su solución o su conjunto de todas las soluciones:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
155315103133511111
A
4.1.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1121
Y
4.2.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1110
Y
4.3.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2102
Y
4.4.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0201
Y
5. Para cada una de las matrices del ejercicio 6 del capítulo 2, verifique para
cada valor de λ que el sistema de ecuaciones lineales homogéneo (A–λIn)X = θnx1 tiene soluciones distintas de la solución trivial y determine además el conjunto de todas las soluciones para cada valor de λ.
6. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la
Regla de Cramer:
6.1. ⎩⎨⎧
=+−−=+47X4X71X3X2
21
21
6.2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=−−
=++
11X5X2X85X3X2X3
6XXX2
321
321
321
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
125
6.3. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=++=++
1X3XX0XX2X
7XX2X2
321
321
321
6.4. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+
=−+
1X5X2XX
4XXX2
32
31
321
6.5.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−=−
=+=−
2X5X33XX4
2XX27XX
43
21
32
41
7. Considere el siguiente SEL:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−−=−+=+−
cX21X5X5bX5XX3 aX3XX2
321
321
321
Demuestre que el SEL es inconsistente si y sólo si c ≠ 2a – 3b.
8. Considere el siguiente SEL:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=+−=−+
cX5X7X3bX3XX aXX3X2
321
321
321
Encuentre las condiciones sobre a, b y c para que el SEL sea inconsistente.
9. Suponga que las demandas externas en un sistema económico con 3
industrias son 10, 15 y 30, respectivamente. Suponga que 31a11 = ,
21a12 = ,
61a13 = ,
41a 21 = ,
41a 22 = ,
81a23 = ,
121a31 = ,
31a32 = y
61a33 = . Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea
igual a la demanda. 10. Suponga que las demandas externas en un sistema económico con 3
industrias son 10, 25 y 20, respectivamente. Suponga que 30,0a11 = , 40,0a12 = , 50,0a13 = , 25,0a21 = , 25,0a22 = , 20,0a23 = , 10,0a31 = ,
30,0a32 = y 15,0a33 = . Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea igual a la demanda.
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
126
11. En cierta región existen 3 industrias A, B y C. Cada mes la industria A recibe una demanda de 20 unidades de las demás regiones del país y para producir cada unidad de su producto necesita 0,4 unidades del producto de la industria B y de 0,25 unidades del producto de la industria C. De igual manera la industria B tiene una demanda de 15 unidades de las demás regiones y para producir cada unidad de su producto necesita 0,5 unidades del producto A y 0,3 unidades del producto C. Finalmente de las demás regiones se origina una demanda mensual de 30 unidades del producto de la industria C, la cual para producir una unidad necesita 0,15 unidades del producto de A y de 0,7 unidades del producto de B. Suponiendo que para cada industria hay equilibrio entre la producción y la demanda, determinar las cantidades producidas mensualmente por cada industria de la región considerada.
12. Un inversionista le afirma a un corredor de bolsa que todas sus acciones
son de 3 empresas A, B y C y que hace 2 días el precio de sus acciones bajó en $350 pero que subió $600 el día de ayer. El corredor recuerda que hace 2 días el precio por acción de la empresa A bajó $1, que el de la empresa B bajó $1,5 pero que el precio de la empresa C subió $0,5. También recordó el corredor que el día de ayer los precios por acción de las 3 empresas se comportaron de la siguiente manera: subió el de la empresa A en $1,5, el de la empresa B bajó en $0,5 y el de la empresa C subió en $1. Demuestre que el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones del inversionista. Si el inversionista dice que tiene 200 acciones de la empresa C, determine cuántas acciones tiene de las otras 2 empresas.
13. Una pequeña constructora ofrece 3 tipos de casas. El primer tipo requiere
3 unidades de concreto, 2 unidades de cerámica y 5 unidades de madera. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5 y 4, 2, 6 unidades de concreto, cerámica y madera, respectivamente. Cada mes la compañía dispone de 150 unidades de concreto, 100 unidades de cerámica y 250 unidades de madera. ¿Cuántas casas de cada tipo podrá construir mensualmente si usa todos los materiales de que dispone? ¿Existe una solución única? Determine el número de casas de tipo 1 y de tipo 2 que se pueden construir mensualmente si usa todos los materiales de que dispone y construye 5 casas de tipo 3.
14. Una empresa compra café en granos a cooperativas agrícolas, lo procesa
y lo vende. Utiliza dos tipos de granos: tipo A y tipo B. En el proceso de torrefacción y molienda se pierde el 5% del café de tipo A y el 7% del tipo B. Luego, se mezclan los granos molidos para producir el café superior que contiene 30% de granos de tipo A y 70% de granos de tipo B y el café familiar con un contenido de 60% de granos de tipo A y 40% de granos de tipo B. Actualmente la empresa tiene en existencia 1,2 toneladas de granos de tipo A y 1,75 toneladas de granos de tipo B. ¿Cuántos kilogramos de café superior y de café familiar puede producir la empresa para utilizar toda su existencia?
15. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de
alimentos a un lago que mantiene a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
127
1, 4 unidades de alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 3 consume cada semana un promedio de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 15.000 unidades del alimento 1, 10.000 unidades del alimento 2 y 35.000 unidades del alimento 3. Suponiendo que los 3 alimentos se consumen completamente, ¿qué población de cada especie se encontrará en coexistencia en el lago? ¿Existe una solución única? Estime la población de la tercera especie.
16. En la caja de cierto banco hay cheques de Bs. 25.000, Bs. 50.000, Bs.
100.000 y Bs. 500.000. Todos los cheques suman en total Bs. 61.050.000. La cantidad de cheques de Bs. 25.000 es tres veces la cantidad de cheques de Bs. 500.000. Dos veces el número de cheques de Bs. 500.000 es la cantidad de cheques de Bs. 50.000. Por último se sabe que la cantidad de cheques de Bs. 25.000 es el doble de la cantidad de cheques de Bs. 100.000. Determine el número de cheques de cada monto que hay en la caja del banco.
17. Un granjero desea determinar la selección de ganado para su granja.
Puede comprar ovejas, reses o cabras. Cada oveja cuesta $20 y necesita 1 acre de pastura y $15 de alimentación y tratamiento. Para las reses estos valores son: $40, 4 acres y $30. Para las cabras estos valores son: $10, 0,5 acres y $5. La granja tiene 350 acres de pastura y el granjero dispone de $7.500 Por último el granjero ha fijado un límite inferior al número de animales que desea adquirir; este límite inferior es de 20 para las ovejas, 45 para las reses y 100 para las cabras. Determine el número de animales que debe criar el granjero para utilizar completamente sus recursos.
18. Se va a demoler un barrio de 15 acres y el gobierno municipal debe
decidir sobre un plan de desarrollo habitacional. Dispone de $4.020.000 y considera 3 tipos de viviendas: tipo A, B y C. Se pueden construir por acre 20 viviendas de tipo A ó 15 de tipo B ó 12 de tipo C. Los costos de construcción son de $12.000 para una vivienda de tipo A, $18.000 para una vivienda de tipo B y $21.000 para una vivienda de tipo C. Se estima que el mercado potencial combinado es de 225 viviendas. ¿Cuántas viviendas de cada tipo se deberán construir para utilizar todos los recursos y satisfacer la demanda?
19. Un joyero tiene 4 láminas de plata para fabricar 3 tipos de dijes. Con una
lámina de plata puede obtener 20 dijes de tipo 1 ó 15 de tipo 2 ó 25 de tipo 3. Los dijes de tipo 1 llevan una piedra azul, los de tipo 3 una piedra verde y los de tipo 2 pueden llevar una piedra azul o una piedra verde. El joyero dispone de 40 piedras azules y 20 piedras verdes. Para elaborar un dije de tipo 1 el joyero necesita 15 minutos, para fabricar un dije de tipo 2 necesita media hora y elaborar un dije de tipo 3 le toma 6 minutos. El joyero tiene 30 horas disponibles. Determinar el número de dijes de cada tipo que puede elaborar el joyero si quiere utilizar toda su materia prima así como todas las horas de trabajo disponibles.
20. Maira y María están confrontadas. Maira alega haber estado más tiempo
en Estados Unidos que María en sus vacaciones del invierno pasado. Ambas llegaron a ese país el mismo día, María a Chicago y Maira a Boston. En su viaje Maira gastó $1.590 en comida, $4.600 en compras y $1.190 en gastos varios. No gastó nada en alojamiento porque llegó a la
CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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casa de un amigo en cada ciudad que visitó. Por su parte María gastó $4.260 en alojamiento, $1.360 en gastos varios, $1.370 en comida y $2.900 en compras. Se sabe que en Chicago María gastó $100 por día en comida, $300 por día en alojamiento, $150 por día en compras y $100 por día en gastos varios. En New York, en comida María gastó $75 por día y Maira $120 por día, en compras María $200 por día y Maira $300 por día, en gastos varios María $150 por día y Maira $100 por día y en alojamiento María $250 por día. En Boston, en comida María gastó $90 por día y Maira $110 por día, en compras María $50 por día y Maira $400 por día, en gastos varios María $20 por día y Maira $50 por día y en alojamiento María $320 por día. En Miami, María gastó en comida $100 por día, en compras $300 por día, en gastos varios $80 por día y en alojamiento $280 por día. Por último, Maira gastó en Philadelphia en comida $80 por día, en compras $200 por día y en gastos varios $85 por día. ¿Quién tiene la razón, Maira o María?