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Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 1
Cálculo Numérico
Capítulo 4:
Interpolación y Aproximación FuncionesDr. Gonzalo Hernández Oliva
Universidad de ChileDepartamento de Ingeniería Matemática
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
y=x/(x 2̂+1)Taylor 3° OrdTaylor 5° Ord
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 2
Interpolación y Aproximación de Funciones : Temario1) Motivación2) Aproximación de Taylor3) Interp. de Lagrange, Newton y Hermite4) Interpolación por Spline Cúbicos5) Aproximación por Mínimos Cuadrados:
Discretos y Continuos6) Aproximación Racional (Propuesto)7) Aproximación Trigonométrica
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 3
Dados n+1 puntos (xi , yi )Encontrar un polinomio de grado n tal que:( ) 1,..., 1i ip x y i n= ∀ = +
xi
yip(x)
xx
x
xxx
x
x
x
0( )
nk
i i k ik
y p x a x=
= =∑
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Motivación 1: Interpol. Polinomial
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 4
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Motivación 1: Interpol. Polinomial
1 x1 x12 x1
n
1 x2 x22 x2
n
1 x3 x32 x3
n
1 xn1 xn12 xn1
n
a0
a1
a2
an
y1
y2
y3
yn1
yi px i ∀i 1, . . . , n 1
yi ∑k0
n
ak xik ∀i 1, . . . , n 1
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 5
xi
yi
Dados n puntos (xi , yi )Encontrar la recta que mejor los “representa”:
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Mot. 2: Mín. Cuadrados Discretos
Nube de puntos con tendencialineal
[ ]0 1
20 1, 1
min ( )n
k kk
y xβ β
β β=
− +∑
0 1k ky xβ β= +
++ +++ +
+ + ++ ++
++
+
++++ +
++
+
++
++
++
++
++
+
++
++
++++
++
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 6
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Mot. 2: Mín. Cuadrados Discretos
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 7
0 1 2k k k kz x yβ β β ε= + + +
y
x
z
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Mot. 2: Mín. Cuadrados Discretos
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+
++
++
++
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 8
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Mot. 2: Mín. Cuadrados Discretos
minT ∑k1
n
zk − 0 1xk 2yk2
n ∑k1n xk ∑k1
n yk∑k1
n xk ∑k1n xk2 ∑k1
n xkyk∑k1
n yk ∑k1n xkyk ∑k1
n yk2
0
1
2
∑k1n zk
∑k1n xkzk
∑k1n ykzk
Ecuaciones Normales:
Regresión Lineal Bidimensional:
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 9
-1 -0.5 0 0.5 1
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f(x) y
Tay
lor
Aproximación de Taylor para Campana de Gauss
Campana GaussTaylor 4 Orden
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Motivación 3: Aproximación Taylor
2( ) exp( )f x x= −
42( ) 1
2Txp x x= − +
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 10
Interp. y Aprox. de Funciones:1) Motivación 3: Aproximación Taylor
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
f(x),
g(x)
Aproximacion de Taylor para f(x)= x*sin(x2)
f(x) = x*sin(x2)Taylor f(x)
2( ) sin( )f x x x=7
3( )6Txp x x= −
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 11
Teorema de Aproximación de Weierstrass: Sea una función continua.
polinomio tal que:
[ ]: ,f a b R→
( ) ( )0 ( )p xε∀ > ∃
( ) ( ) [ ]| | ,f x p x x a bε− < ∀ ∈
Interp. y Aprox. de Funciones: 2) Resultado Teórico Básico
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 12
( )y f x ε= +
( )y f x=
( )y f x ε= −( )y p x=
x
y
Interp. y Aprox. de Funciones: 2) Resultado Teórico Básico
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 13
Interp. y Aprox. de Funciones: 2) Polinomio de Taylor
Teorema de Taylor: Suponga que:
[ ],nf a b∈ ( 1)nf + existe en [a,b] 0 [ , ]x a b∈,,
Para cada x ∈ [a,b] ∃ ξ(x) entre x y x0 tal que:
( )( ) ( 1)0 1
0 00
( ( ))( ) ( ) ( ) ( )! ( 1)!
k nnk n
n nk
f x f xp x x x R x x xk n
ξ++
=
= − = −+∑
( )( ) ( )n nf x p x R x= +
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 14
1.001000500161.001000500171.001000500001.00100051.0010.001
1.0100501671.010050171.010050171.010051.010.01
1.105170918071.105170831.105166671.1051.10.1
1.349858807571.34983751.34951.3451.30.3
1.64872127071.64843751.6458331.6251.50.5
2.7182818282.70833332.6666662.521
Interp. y Aprox. de Funciones: 2) Polinomio de Taylor: Ejemplo 1
1 x+x2
12xx+ +
2 3
12 6x xx+ + +
2 3 4
12 6 24x x xx+ + + + xe
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 15
Determine el polinomio de Taylor de quinto orden para la función:
en torno a Utilice estos polinomios que aproximan a f para calcular:
Cual es el error relativo ?
2( ) ln( 1)f x x= +
0 0x =
5 5(0.5), (0.5) y (1.0), (1.0)f p f p
Interp. y Aprox. de Funciones: 2) Polinomio de Taylor: Ejemplo 2
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 16
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
Func
ión
y Ta
ylor
Aproximación de Taylor de f(x)=ln(x2+1)
FunciónTaylor
2( ) ln( 1)f x x= +4
2( )2Txp x x= −
Interp. y Aprox. de Funciones: 2) Polinomio de Taylor: Ejemplo 2
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 17
Interp. y Aprox. de Funciones: 2) Polinomio de Taylor: Ejercicios
Ejemplos Polinomio de Taylor de f en torno a x0=0:
2 2
2 2
2 2
( ) sin( ), cos( ), sin( ), sin( )1( ) ,
1 1( ) ln( 1), ln( 1)
f x x x x x xxf x
x xf x x x x
=
=+ +
= + +
( )0
11Si ( ) ( ) 1(1 )
nk k
nmk
m kf x p x x
kx =
− +⎛ ⎞= ⇒ = − ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
∑
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 18
( ) 1f xx
=
( ) ( ) ( )0
1 1n
k kn
kp x x
=
= − −∑
Interp. y Aprox. de Funciones:2) Pol. Taylor: Error de Aproximación
-8543-2111-53-11
76543210n
( )3np
Aproximación de en torno a x0 =1
( ) 13 !!!3
f =
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 19
El polinomio de Taylor no entrega una buena aproximación de una función en un intervalo.Una alternativa a Taylor es Lagrange.Supongamos que se conocen (n+1)puntos de una función:
( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 1 1, , , ,..., ,n nx f x x f x x f x
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Lagrange
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 20
( ) ( ) 0,1,...,L k kp x f x k n= ∀ =
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Lagrange
Teorema: Si x0 ,x1,…,xn son (n+1) puntos distintos y si f es una función que se evalúa en esos puntos ⇒ ∃! polinomio de grado a lo más n que interpola f en estos puntos:
Donde: ,0
( ) ( ) ( )n
L k n kk
p x f x L x=
=∑
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 21
Y a su vez:
Es fácil ver que:
Veamos un ejemplo
0 1 1 1,
0 1 1 1
( )( )...( )( )...( )( )( )( )...( )( )...( )
k k nn k
k k k k k k k n
x x x x x x x x x xL xx x x x x x x x x x
− +
− +
− − − − −=
− − − − −
,
1 si ( )
0 si n k j
j kL x
j k=⎧
= ⎨ =⎩
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Lagrange
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 22
Teorema: Sean x0,x1…,xn reales distintos
en el intervalo [a,b] y
Entonces: tal que
1[ , ]nf a bζ +∈
[ ] ( ), ( ) ,x a b x a bξ∀ ∈ ∃ ∈
( ) ( ) ( )L Lf x p x R x= +
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Lagrange
Error PolinomioLagrange
( 1)
0 1( ( ))( ) ( )( )...( )
( 1)!
n
L nf xR x x x x x x xnξ+
= − − −+
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 23
Determinar el polinomio de Lagrange de las siguientes funciones:
en los puntos x = 0, 1, 2, 3, 4.Utilice este polinomio para evaluar:
Obtenga una cota del error en [0,5].Determine error absoluto y relativo.
2 1/3( ) cos( ), sin( ), , ln( 1), (1 )xf x x x x xe x x= + +
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Lagrange: Ejercs.
( ) 0.5,0.5,1.5,2.5,3.5,4.5f x = −
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 24
Para la función de error estadístico:
1) Determine Pol. de Taylor de orden 4.2) Determine Pol. de Lagrange en x=0.2, 0.4,
0.6, 0.8, 1.0, utilizando 1).3) Determine cotas del errores de estas
aproximaciones.
2
0
2( )x terf x e dt
π−= ∫
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Lagrange: Ejercs.
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 25
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Hermite
Los polinomios osculantes son una generalización de los polinomios de Taylor y Lagrange.
Sean: x0,x1,…,xn (n+1) reales distintos en [a,b]m0,m1,…,mn enteros no negativosm = max{m0,m1,…,mn}
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 26
[ ],mf a bζ∈El polinomio osculante que aproxima en xk , k=0,..., n es el polinomio de menor grado que concuerda con f y con todas sus derivadas de orden menor o igual a mk en xk, k = 0,1,...,n.El grado de este polinomio osculante es a lo más:
0
n
ii
M m n=
= +∑
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Hermite
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 27
Resumen: El polinomio osculante satisface: Dados:x0 ,x1 ,…,xn (n+1) reales distintos en [a,b]m0 ,m1 ,…,mn (enteros no negativos)
Si p es el polinomio de menor grado tal que:
( )0max ii n
m m≤ ≤
=[ ],mf a bζ∈
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Hermite
( ) ( ) 0,..., 0,...,k k
i i ik k
d p d fx x k m i ndx dx
= ∀ = ∀ =
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 28
Observación:1) Si n = 0 el polinomio osculante es el
polinomio de Taylor
2) Si mi = 0 ∀i=0,…,n, el polinomio osculante es el polinomio de Lagrange.
3) Si mi = 1 ∀i=0,…,n, el polinomio osculante es el polinomio de Hermite.
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Hermite
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 29
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Hermite
Teorema: Si y x0,x1,…,xn son (n+1) reales distintos en [a,b], el único polinomio de grado a lo más (n+1) que interpola f(x) y f’(x) en los puntos xi es el polinomio de Hermite H2n+1(x) que está dado por:
[ ],mf a bζ∈
( )2 10 0
ˆ( ) ( ) '( ) ( )n n
n j nj j njj j
H x f x H x f x H x+= =
= +∑ ∑
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 30
Donde:
Lnj: j-ésimo pol. de Lagrange de grado n.
Si: [ ]2 2 , [ , ] ( ) ( , ) :nf a b x a b x a bζ ξ+∈ ⇒∀ ∈ ∃ ∈
( ) 2
2
( ) 1 2( ) ' ( ) ( )
ˆ ( ) ( ) ( )
nj j nj nj
nj j nj
H x x x L x L x
H x x x L x
= − −
= −
Interp. y Aprox. de Funciones:3) Interpolación de Hermite
2 2 2(2 2)0 1
2 1( ) ( ) ...( )( ) ( ) ( ( ))
(2 2)nn
nx x x x x xf x H x f x
nξ+
+
− − −= +
+
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 31
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interpolación por Splines Cúbicos
Dada una función f definida en [a,b] y (n+1)puntos x0=a, x1, x2, ..., xn=b, el spline cúbico S de f es una función que satisface las siguientes condiciones :
a) S(x) es un polinomio cúbico en el subintervalo [xj, xj+1] denotado por Sj(x) para j=0,1,…,(n-1)
b) S(xj) = f(xj) para j=0,1,…,n: Condición de interpolación
c) Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j=0,1,…,(n-2):Condición de continuidad.
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 32
d) S’j+1(xj+1)=S’j(xj+1) para j=0,1,…,(n-2): Condición de continuidad de primera derivada.
e) S’’j+1(xj+1)=S’’j(xj+1) para j=0,1,…,(n-2):Condición de continuidad de segunda derivada
f) Condición de frontera:i) S’’(x0)=S’’(xn)=0 (Frontera libre o natural)ii) S’(x0)=f’(x0) S’(xn)=f’(xn) (Frontera sujeta)
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interpolación por Splines Cúbicos
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 33
Para construir un spline cúbico de f se tiene que ∀j = 0,1,…,(n-1):
Claramente Sj(xj) = aj = f(xj) ∀j = 0,1,…,n:Aplicando la condición c) ∀j = 0,1,…,(n-1):
2 3( ) ( ) ( ) ( )j j j j j j j jS x a b x x c x x d x x= + − + − + −
1 1 1 1
2 31 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )j j j j j
j j j j j j j j j j
a S x S x
a b x x c x x d x x+ + + +
+ + +
= = =
= + − + − + −
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interpolación por Splines Cúbicos
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 34
Definimos:
Luego:Se define bn=S’(xn) y bj=S’(xj) ∀j=0,1,...,n-1 Aplicando la condición d) ∀j=0,1,...,n-1:
Se define cn=S’’(xn)/2 y aplicando la cond. e):
2 31j j j j j j j ja a b h c h d h+ = + + + 1
21 2 3j j j j j jb b c h d h+ = + + 2
1 3 0,1,... 1j j j jc c d h j n+ = + ∀ = − 3
1 0,1,..., 1j j jh x x j n+= − ∀ = −
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interpolación por Splines Cúbicos
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 35
Despejando dj de y sustituyendo en y se obtienen las ecuaciones:
Despejando bj en : (También bj-1)
3 1
2
1 1
1 1
0,1,..., 1(2 )3
( ) 0,1,..., 1
jj j j j j j
j j j j j
ha a b h j nc c
b b h c c j n
+ +
+ +
= + + ∀ = −+
= + + ∀ = −
4
1 11 ( ) (2 ) 0,1,..., 1
3j
j j j j jj
hb a a c c j n
h + += − − + ∀ = −
4
5
2
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interpolación por Splines Cúbicos
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 36
Se obtiene el siguiente SEL ∀j=1,…,n-1:
A estas ecuaciones se debe adicionar las condiciones de frontera: Libre o Sujeta Este sist. de ecs. tiene variables: c0,c1,...,cn
¿Tiene solución única ?
1 1 1 1 1 11
3 32( ) ( ) ( )j j j j j j j j j j jj j
h c h h c h c a a a ah h− − − + + −
−
+ + + = − − −
6
6
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interpolación por Splines Cúbicos
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 37
Teo: Si se define f en a = x0<x1<...<xn = b, entonces f tendrá un único spline cúbico natural (libre) que cumple con las condiciones de frontera S’’(x0) = S’’(xn) = 0.
La forma matricial de es …
Ejercicio: Determinar el spline cúbico libre de f(x)=sin(πx) en los puntos: 0, 1/2, 1
6
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interp. por Splines Cúbicos Libre
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 38
Forma matricial S.C. Libre :6
1 0 0 0 0h0 2h0 h1 h1 0 0
0 h1 2h1 h2 h2 0
0 hn−3 2hn−3 hn−2 hn−2 00 0 hn−2 2hn−2 hn−1 hn−1
0 0 0 1
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interp. por Splines Cúbicos Libre
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 39
Forma matricial S.C. Libre : 6
Vector Lado Derecho
Incógnitas
03h 1a2 − a1 − 3
h 0a 1 − a0
3h 2a3 − a2 − 3
h 1a 2 − a1
3hn−1
an − an−1 − 3hn−2
an−1 − an−2
0
c0
c1
cn−1
cn
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interp. por Splines Cúbicos Libre
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 40
Teo: Si se define f en a = x0<x1<...<xn = b, entonces f tendrá un único spline cúbico sujeto que cumple con las condiciones de frontera S’(x0) = f’(x0) , S’(xn) = f’(xn).
La forma matricial de es …
Ejercicio: Determinar el spline cúbico sujeto de f(x)=cos(πx) en los puntos: 0, 1/2, 1
6
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interp. por Splines Cúbicos Sujeto
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 41
Forma matricial S.C. Sujeto : 6
2h0 h0 0 0 0h0 2h0 h1 h1 0 00 h1 2h1 h2 h2 0
0 hn−3 2hn−3 hn−2 hn−2 00 0 hn−2 2hn−2 hn−1 hn−1
0 0 hn−1 2hn−1
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interp. por Splines Cúbicos Sujeto
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 42
Forma matricial S.C. Sujeto : 6
Vector Lado Derecho
Incógnitas
3h0a1 − a0 − 3f′x0
3h 1a2 − a1 − 3
h0a 1 − a0
3h 2a3 − a2 − 3
h1a 2 − a1
3hn−1
an − an−1 − 3hn−2
an−1 − an−2
3f′xn − 3hn−1
an − an−1
c0
c1
cn−1
cn
Interp. y Aprox. de Funciones:4) Interp. por Splines Cúbicos Sujeto
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 43
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Discreto
minT ∑k1
n
yk − 0 1x1k 2x2k nxnk2
n ∑k1n x1k ∑k1
n x2k ∑k1n xnk
∑k1n x1k ∑k1
n x1k2 ∑k1
n x1kx2k ∑k1n x1kxnk
∑k1n x2k ∑k1
n x2kx1k ∑k1n x2k
2 ∑k1n x2kxnk
∑k1n xnk ∑k1
n xnkx1k ∑k1n xnkx2k ∑k1
n xnk2
0
1
2
n
∑k1n yk
∑k1n x1k yk
∑k1n x2k yk
∑k1n xnk yk
Regresión Lineal Multidimensional:
Ecuaciones Normales:
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 44
minT ∑k1
n
zk − 0 1xk 2xk22
n ∑k1n xk ∑k1
n xk2
∑k1n xk ∑k1
n xk2 ∑k1n xk3
∑k1n xk2 ∑k1
n xk3 ∑k1n xk4
0
1
2
∑k1n yk
∑k1n xk yk
∑k1n xk2yk
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Discreto
Regresión Cuadrática:
Ecuaciones Normales:
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 45
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Discreto
Regresión Polinomial: (n < m–1)
minT ∑i1
m
yi − pnx i2 ∑i1
m
yi −∑k0
n
ak xik2
n ∑i1m xi ∑i1
m xi2 ∑i1m xin
∑i1m xi ∑i1
m xi2 ∑i1m xi3 ∑i1
m xin1
∑i1m xin ∑i1
m xin1 ∑i1m xin2 ∑i1
m xi2n
a0
a1
an
∑i1m xiyi
∑i1m xi2yi
∑i1m xinyi
Ecuaciones Normales: Sol. única para xi ≠
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 46
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Sea . Se quiere determinar un polinomio de grado n según MC:
Ecuaciones Normales:
[ , ]f a bζ∈( )np x
[ ]2
( )min ( ) ( )n
b
T np xa
f x p x dxε = −∫
a
b x0dx a
b x1dx a
b x2dx a
b xndx
a
bx1dx
a
bx2dx
a
bx3dx
a
bxn1dx
a
bxndx
a
bxn1dx
a
bxn2dx
a
bx2ndx
a0
a1
an
a
b x0 fxdx
a
bx1 fxdx
a
bxnfxdx
1 1
1
i j i j
ijb ai j
δ+ + + +−
=+ +
coeficientes
Matriz tipo Hilbert !
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Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
El conjunto de funciones eslinealmente independiente en [a,b] si:
Implica que: 0 1 ... 0nc c c= = = =
{ }0 1, , ..., nφ φ φ
0 0 1 1( ) ( ) ... ( ) 0 [ , ]n nc x c x c x x a bφ φ φ+ + + = ∀ ∈
Si es un polinomio de grado j ∀ j=0,…,n⇒ es un conjunto linealmente independiente para cualquier intervalo [a,b].
{ }0 1, ,..., nφ φ φjφ
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Sea un conjunto de funciones l.ien [a,b].
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Por ejemplo:
{ }1 2, , ..., nφ φ φ
2
1( )1
xx
ω =−
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
f(x)=1/sqrt(1-x2)
Una función ω(x) es una función de peso en [a,b] si ω(x) ≥ 0 para x∈[a,b] y ω(x) ≠ 0 en cualquier subintervalo de [a,b].
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Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Sea . Se quiere determinar una función de la forma:
que aproxime según el criterio de MC
para el peso ω(x):
[ , ]f a bζ∈( )p x
[ ]2( )
min ( ) ( ) ( )b
Tp xa
x f x p x dxε ω= −∫
( )f x0
( ) ( )n
k kk
p x a xφ=
=∑
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Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
2
0min ( ) ( ) ( )
b n
T k kka
x f x a x dxε ω φ=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∫
2
0
min ( ) ( ) ( )b n
T k kka
x f x a x dxε ω φ=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫Si las funciones son ortogonales
con respecto a ω(x) en [a,b] se tiene que:{ }1 2, , ..., nφ φ φ
a
b0
2xdx a
b01xdx
a
b0nxdx
a
b10xdx
a
b1
2xdx a
b1nxdx
a
bn0xdx a
bn1xdx
a
bn2xdx
a0
a1
an
a
bf0xdx
a
bf1xdx
a
bfnxdx
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 51
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
2( )( ) 0b
j ja
x dxα ωφ= >∫
En este caso, las ecuaciones normales quedan diagonales:
0 si ( )( )
si
b
j kja
j kx dx
j kωφ φ
α≠⎧
= ⎨ =⎩∫
a
b0
2xdx 0 0
0 a
b1
2xdx 0
0 0 a
bn2xdx
a0
a1
an
a
bf0xdx
a
bf1xdx
a
bfnxdx
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 52
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Teo: El conjunto de polinomiosdefinidos recursivamente es ortogonal en [a,b] con respecto a la función de peso ω(x):
0 1 1
1 2
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 k k k k k
x x x Bx x B x C x k
φ φφ φ φ− −
= = −= − − ∀ ≥
[ ]
[ ] [ ]
2
1 2 1
2 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C
( ) ( ) ( ) ( )
b b
k k ka ak kb b
k ka a
x x x dx x x x x dxB
x x dx x x dx
ω φ ω φ φ
ω φ ω φ
− − −
− −
= =∫ ∫∫ ∫
{ }0 1, ,..., nφ φ φ
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 53
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Teo: El conjunto de polinomiosde Legendre definidos recursivamente es ortogonal en [-1,1] c/r a la f. de peso ω(x)=1:
0 1 1
1 2
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 k k k k k
x x x Bx x B x C x k
φ φφ φ φ− −
= = −= − − ∀ ≥
[ ]
[ ] [ ]
21 1
1 2 11 12 21 1
1 21 1
( ) ( ) ( ) C
( ) ( )
k k kk k
k k
x x dx x x x dxB
x dx x dx
φ φ φ
φ φ
− − −− −
− −− −
= =∫ ∫∫ ∫
{ }0 1, ,..., nφ φ φ
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 54
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Teo: El conjunto de polinomiosde Chebyshev definidos recursivamente es ortogonal en [-1,1] c/r a la f.p. :
Se utilizan para ubicar los puntos interpolantesdebido a que minimizan el error de interp. de Lagrange
0 1
1 1
( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 k k k
T x T x xT x xT x T x k+ −
= == − ∀ ≥
{ }0 1, ,..., nT T T
2 1/2( ) (1 )x xω −= −
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 55-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Polinomios de Chebyshev
T0,T
1,T2
,T3,
T4
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
T0
T1
T2
T3 T4
Polinomios de Chebyshev
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 56
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Teo: El polinomio de Chebyshev de grado n≥1 tiene n ceros simples en [-1,1] definidos por:
Adicionalmente alcanza sus extremos en:
2 1cos 1,2,..., 2kkx k nn
π−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )nT x
( )nT x
ˆ ˆcos ( ) ( 1) 0,1,2,...,kk n k
kx T x k nnπ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 57
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Teo: Si pL(x) es el polinomio de Lagrange de grado n definido en los ceros del polinomio de Chebyshev , se tiene que:
Para cualquier
( )nT x
( 1)
[ 1,1] [ 1,1]
1max ( ) ( ) max ( )2 ( 1)!
nL nx x
f x p x f xn
+
∈ − ∈ −− ≤
+
1[ 1,1]nf ζ +∈ −
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Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Ejemplo: Interpolación de en [0,1.5]
0.0123.6440.0183.6503.6321.15
5.224
1.571
0.5064
0.1868
0.016
0.017
0.0097
0.01250.02260.19690.17430.15
0.0295.2375.2081.35
0.0161.5721.5880.75
0.01540.51210.49670.35
x ( ) xf x xe= ( ) ( )CLf x p x−( )Lp x ( )C
Lp x( ) ( )Lf x p x−
( ) xf x xe=
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 59
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Teo: Las funciones son orto-nales en [-π,π] para la función de peso :
El conjunto de funciones generado por sedenomina polinomios trigonométricos
( ) 1xω =
01( )2
( ) cos( ) 1,2,...,( ) sin( ) 1,...,2 1k
n k
x
x kx k nx kx k n n
φ
φφ +
=
= =
= = + −
{ }0 1 2 1, ,...,T nB φ φ φ −=
TBTΠ
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( )1
01
( ) cos( ) cos( ) sin( )n
n n k kk
S x a a nx a kx b kx−
=
= + + +∑
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
Para una función la aproximaciónde mínimos cuadrados en es de la forma:
donde los coeficientes están dados por:,k ka b1 1( )cos( ) ( )sin( )k ka f x kx dx b f x kx dx
π π
π ππ π− −
= =∫ ∫
TΠ[ , ]f ζ π π∈ −
k=0,1,…,n k=1,2,…,n-1
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 61
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f(x)=abs(x) y S(x)=1/2π - 4cos(x)/π - 4/9cos(3x)/π
f(x) y
S(x
)
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación Método MC Continuo
T3
Aproximacióntrigonométricade:
( ) [ , ]
f x xx π π
=
∈ −
34 4( ) cos( ) cos(3 )
2 9S x x xπ
π π= − −
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Teorema de Interpolación Trigonométrica:Considere 2m puntos j=0,1,…,2m-1,con: (dist. uniforme en [-π,π])Los coeficientes que minimizan el error de interpolación trigonométrico:
( )1
01
( ) cos( ) cos( ) sin( )n
n j n j k j k jk
S x a a nx a kx b kx−
=
= + + +∑
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Interpolación Trigonométrica
( ),j jx y
,k ka b
2 1 2
, 0
min ( )k k
m
T j n ja b j
y S xε−
=
⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑
/jx j mπ π=− +
donde:
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Están dados por:2 1
0
2 1
0
cos( ) 0,1,2,...,
sin( ) 1,2,..., 1
m
k j jj
m
k j jj
a y kx k n
b y kx k n
−
=
−
=
= ∀ =
= ∀ = −
∑
∑
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Interpolación Trigonométrica
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 64
Ejercicios1) Determine los polinomios trigonométricos
continuos de S2(x) y S3(x) de x2
2) Determine el polinomio trigonométrico continuo Sn(x) de ex
3) Determine el pol. trigonométrico discretoS3(x) de f(x) = excos(x) para m = 4 en [-π,π]
4) Determine el pol. trigonométrico discreto S4(x) de f(x)= x2sin(x) para m = 5 en [0,1]
Interp. y Aprox. de Funciones:5) Aproximación por Método MC
Dr. Gonzalo Hernández Oliva Interpolación y Aproximación Funciones 65
Bibliografía1) R. Burden & J. D. Faires, Análisis
Numérico, Séptima Edición, ThomsonLearning, 2002.
2) J. Stoer & R. Burlisch, Introduction toNumerical Analysis, Second Edition, Springer, 1992.
3) G. Hernández: Apuntes de Cálculo Numérico 2006