.

A 0

.1 .2

Diagrama de Venn

.3 .4

.5

TEORA DE CONJUNTOS1.1. Nocin de conjunto Un conjunto es una coleccin, reunin, agrupacin, clase o familia de objetos bien definidos, reales o abstractos, que cumplen una propiedad especfica. Cada objeto del conjunto se llama elemento, que pueden ser: nmeros, personas, letras, etc. Ejemplos: - Los pases de Amrica del sur. - Las letras del alfabeto. - Los nmeros naturales menores que 12. 1.2. Notacin y representacin Los conjuntos se nombran con letra mayscula y los elementos con letra minscula, separados por comas (o punto y coma), encerrados entre llaves. Tambin se pueden representar por medio de diagramas de Venn. Ejemplos: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} = {Los nmeros naturales} B = {Lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo} C = {Las soluciones de la ecuacin x2 x 6} D= {a, v, e, s}

1.3. Relacin de pertenencia ( ) Se dice que un elemento pertenece a un conjunto, si rene las caractersticas que definen al conjunto. Para representar que un elemento a pertenece al conjunto A se utiliza el smbolo . Si un elemento no pertenece a un conjunto se denota por . Ejemplo: Sea el conjunto A = {a, e, i, o, u } Entonces: a A , pero b AA

.a i .o

.e u.

.

1.4. Determinacin de conjuntos Los conjuntos se pueden determinar: Por extensin y por comprensin. A. Por extensin, enumerativa o firma tabular: Cuando se nombran uno a uno todos sus elementos. Ejemplos: A = {Verano, primavera, otoo, invierno} C = {c, o, n, j, u, t, s} B = {1, 3, 5, 7 ,9}

En un conjunto determinado por extensin no se repite un mismo elemento y el orden en que se presenten los elementos no importa. B. Por comprensin o forma constructiva: Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos sus elementos. Ejemplos: A = {x/x es una estacin del ao} B = {x/x es un nmero impar menor que 10} C = {x/x es una letra de la palabra conjuntos}

Por extensin A = {Lima } B = { 4, -4 } C = { m, a t, e ,i, c}

Por comprensin A = { x l x es la capital del Per} B = { x I x Z, x= raz cuadrada de 16} C = { x I x es una letra de la palabra matemtica}

1.5. Relaciones entre conjuntos Entre dos conjuntos puede establecerse las siguientes relaciones: A. Relacin de inclusin ( ): Un conjunto A est incluido en otro conjunto B si todos los elementos de A son tambin elementos de B. Se denota A B Se lee A est incluido en B A es subconjunto de B A est contenido en B

Simblicamente: A B x A x B Si A no est contenido en B se escribe A B.A = {a, b, c, d, e, f} B = {a, c, d, e}

A

Ub f a d c e

B

Propiedades de la Inclusin de Conjuntos

A A A A B B A A B y B C A CB. Relacin de igualdad: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos; es decir si y slo s todo elemento de A es tambin elemento de B, y todo elemento de B es tambin elemento de A. La igualdad se denota A = B. En smbolos: Se verifica que En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa. Ejemplos: A = {a, b, c, d}; B = {b, c, d, a, c}; C = {vocal de la palabra mesa}; D = {a, e} Se verifica: Simblicamente: C. Conjunto Potencia P(A).- Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto dado, incluyendo el vaco. Sea el conjunto A, su notacin es El nmero de elementos de P(A) est dado por: n (A) = nmero de elementos de A

n[ P( A)] = 2n(A)

Ejemplo: A = {1, 2, 1}; donde Entonces: P(A) ={ {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3},,} Subconjunto propio A es subconjunto propio de B si A es subconjunto de B, pero A no es igual a B.

Observacin: El nmero de subconjuntos propios est dado por: aquellos diferentes de A Ejemplo: A = {a, b, c}

y

son

P(A)= 23 - 1= 7, lo que significa que pueden formarse 7 subconjunto propios de A. P(A)= { {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, }. D. Comparabilidad. Dos conjuntos incluido en el otro, es decir Ejemplo: A = {3, 5, 7} A y B son comparables cuando slo uno est

; B = {1, 3, 5, 7, 9}

A y B son comparables

porque

E. Conjuntos Disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos, si no tienen elementos comunes, es decir si su interseccin es el conjunto vaco. Ejemplo: A = {1, 3, 5}; B = {2, 4, 6}

A y B son disjuntos.

F. Cardinal de un conjunto n(A).- Es el nmero entero que indica la cantidad de elementos diferentes que tiene el conjunto A. Ejemplo : A = {a v, e,s} n(A)=4 Propiedades

Si A y B son disjuntos: n(AUB) = n(A) + n(B) Para 2 conjuntos cualesquiera A y B: n(AUB) = n(A) + n(B) n(AB) Para 3 conjuntos cualesquiera A, B, C: n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) - n (A C) - n (B C) + n (A B C) (AC) = n(U) n(A) n(A B) = n(A) n(AB)

1.6. Conjuntos especiales A. Conjunto Nulo o Vaco: Carece de elementos y es la excepcin de la regla. Ejemplo: El conjunto de los nmeros enteros entre 3 y 4. El conjunto de los hombres mayores de 200 aos. B = {x / x es un mes que tiene 53 das}.

A = { } ; o A = Simblicamente: B. Conjunto unitario o Singular (Singleton): Tiene un solo elemento. Ejemplo: A = {x/x N 7 < x < 9} A ={8} C. Conjuntos finitos e infinitos: Un conjunto es finito cuando sus elementos se pueden terminar de contar. Ejemplo: A = {x / x es la solucin de } Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad indeterminada de elementos. Ejemplo: Los conjuntos numricos.(Nmeros Naturales) (Nmeros Enteros)

a (Nmeros Racionales) Q = / a , b z ; b 0 b a 1 1 a Q = ......., ,......, 1, ........, , ......., 0, ......, , .........., 1, ..........., , ......... b 2 2 b I = ........, , ........, - 5, ........, 3 2, ........, (Nmeros Irracionales)

{

3, ........, e, ..... ...,

, ........

}

R = ..., - , ..., - 5, -e, ..., 0, ... , ... 7, ..., 4e, ...R: Conjunto de nmeros reales. Q U I = R

{

}i= -1, a, b, R

C=R Q N Z I C

{ a + bi /

}

Conclusin I es disjunto de N, Z, Q

D. Conjunto Universal: (U) Es el conjunto que contiene a otros conjuntos. Ejemplos: Si A = {hombres}; B = {mujeres}; entonces U = {seres humanos}. A = {x/x es un peruano}; B = { x/x es un colombiano}; C = { x/x es un mexicano} Entonces U = { x/x es un americano }.

1.7. Operaciones Con Conjuntos A. Unin De Conjuntos (A U B): Conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A a BB A B A B

A

Hay tres posibilidades de reunir a los conjuntos A y B.Propiedades de la Unin de Conjuntos: A B =BA propiedad conmutativa. A (B C) = (A B) C propiedad asociativa. A =A A U=U A A= A

Ejemplo: Si A = { 2; 4; 6} y B ={ 7;9;11} Hallar y graficar A B A B ={2; 4; 6; 7; 9; 11} AUBA

Ejemplo: Si A = {a; b; c; d} y B = { c; d; f;g} Hallar y graficar A B A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A B

.2 . 4 .6

.7 .9 .11

B

.a .b .c .d

.e .f

B. Interseccin de Conjuntos. (A B): Se forma con los elementos A y de B.

comunes de

B A A B A

B

A B= A A A

A BPropiedades de da Interseccin de Conjuntos

A B=A

B =B A propiedad conmutativa. (B C) = (A B) C propiedad asociativa. = A U=A A A= AEjemplo :Si A = {1; 2; 3; 4} y B = { 3; 4; 5; 6} Hallar y graficar A B A B = {3; 4}

Ejemplo: Si A = { a; e; o} y B ={ b; c; d} Hallar y graficar A B A B =A

.a .e .o

. b . c .d

B A 1 2 4 3 5 B

6

C. Diferencia de Conjuntos (A B): Se forma con los elementos que pertenecen a A pero no a B.

B BA A AB AB=A A

B

A

B

B B A A

AB AB BA=B

BA

BA

AB=

Propiedades de la Diferencia de Conjuntos AA= A =A AB

BA

Ejemplo: Si A = { u, v, x, y, z } y B = { s, t, z, v, p, q } Hallar y graficar A - B A - B = {x, y, u}A

Ejemplo :Si A = { m, n, p } y B = { m, n, p, q, r } Hallar y graficar B - A B - A = {q; r}B

.u .y

.x

v .s z v .t .p z .q

B A .m

.q

.n .p .r

D. Complemento de Conjuntos (A): Es lo que falta al conjunto para ser igual al Universal (U). Si el conjunto es A, su complemento se denota por AA = U A = {x/x U x A} UU A

A

Propiedades del Complemento de Conjuntos U = =U (A) = A (AB) = A B (AB) = A B

Ejemplo: Sea U = {letras de la palabra Huancayo} y A = {vocales de la palabra Hunuco}. Halla el complemento de A Solucin: A = {h, n, c, y} .n A El grfico es el siguiente. .h .c .yA

.a .u .o

E. Diferencia Simtrica (A B): Se forma con los elementos que pertenecen a A o .y a B pero no a ambos.A B = (A B) (A B) B A A B = (A B) (B A) A B A B A A B

A B

A B

Ejemplo: Si A = {5; 6; 7; 8 } y B = { 7; 8; 9; 10 }.Hallar y graficar A B. Solucin: A B = {5; 6; 9; 10} A 5 6 7 8 9 10 B

Ejemplo : Si A = {1; 2; 3} y B = { 1; 2; 3; 8; 9; 10; 11}. Hallar y graficar A B. Solucin: A B = {8; 9; 10, 11} B 11 9 10 .1 A . 2 .3 8

1.8. Problemas con conjuntos 1. De 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina 87 Derecho y 120 ninguna de las 2 carreras. Cuntos quieren estudiar ambos cursos al mismo tiempo? Solucin: U=234 Tenemos:M(92) D(87) 92 - X X 87 - X

Luego:

Alumnos

120 2. En el mes de Febrero de 2008, Mario desayun 24 maanas pan con mantequilla y 14

maanas pan con jamn. Cuntas maanas desayun pan con jamn solamente? Solucin: U= 29 x=9 Luego: 14 - x = 14 - 9 = 5 maanasM(24) 24 - X 14 - X J(14)

X

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIN DETERMINACIN DE CONJUNTOS Determinar por extensin los conjuntos: 1. A= {n2-5n /n Z, 2< n 10} A ={x/x Z, x < 6} B ={x/x N, 3 < x < 26 } . Hallar: n(A) n(B) n(C)

6. Determinar cuantos elementos tienen los siguientes conjuntos: P(A) , P(B), P(C), si : A = {x N/2 < x < 6} , B= { x N/ 4 x 6 } C = { x/x N; x es nmero par x < 10} 7. Dado el conjunto: G = {a+3 /a Z+; 4a < a + 24}. Calcular el n(G) e indicar el nmero de subconjuntos propios. 8. Analiza el est incluidos en diagrama adjunto e indica qu conjuntos otros:

CLASES DE CONJUNTOS 1. Determina cules de los conjuntos dados a continuacin son unitarios o vacos. a) G = {x N/ 10 < x < 12 } ( ) b) A = {x N / x2 + 3x + 2 = 0}( ) c) D = { x N/ x2 1 = 0} ( ) d) M = { { } } ( ) e) F = {x N/ 7 < x < 8} ( ) f) C = {x/x N x < 0 } } ( ) 2 g) B = {x U/ x = x x x} ( ) h) L = { x N /x 4 = 0} ( ) 2 i) E = { {a} } ( ) j) H = { x N/ x +1= 0} ( ) 2. Establecer la validez de cada una de las siguientes afirmaciones: a) A = { x N/ 18 < x < 19 } es un conjunto vaco ( b) C = { x/x es un punto de la recta L} es un conjunto infinito ( c) D = { x/x es mltiplo de 3}, es un conjunto infinito ( d) Q = { 1;2; 3; 4; .. ;1000} es un conjunto finito ( e) F= { x N / x es impar } es un conjunto finito ( f) R = { x/x N; 2x = 5 } es un conjunto vaco (

) ) ) ) ) )

3. Indicar cules de los siguientes conjuntos son: unitarios, vacos, finitos o infinitos.2 a) A = x N / x + 7x+ 12= 0

{

c) C = x R { 0} / e) F = x R/

{ (

}

b) B = { 2 x 1/ d)

x Z, 1 < x