Teoría de Conjuntos

Captulo II: CONJUNTOS

Teora de ConjuntosEn la vida diaria utilizamos de modo intuitivo la Teora de Conjuntos para definir, diferenciar, organizar, y relacionar elementos del entorno que nos circunda. Es as que podemos definir que: Un conjunto es la reunin o agrupacin de elementos que poseen por lo general una caracterstica comn. Es esta caracterstica la que determina que un elemento pertenezca o no a un conjunto. Citemos algunos ejemplos para definir ms claramente dicho concepto: Las ciencias matemticas conforman un conjunto, los elementos que la conforman son cada una de las materias que las componen. Es decir que para el conjunto Ciencias Matemticas sus elementos son por ejemplo: Lgica matemtica, Geometra plana, Geometra Espacial, Trigonometra, Teora de Conjuntos, etc.

La familia constituye unos de los conjuntos con que interactuamos a diario, los elementos que componen dicho conjunto son sus miembros (padre, madre, hijo, nieto hermano, etc.).

El supermercado es un conjunto donde cada uno de sus elementos se encuentra bien definido en una zona de acuerdo al tipo de producto, ejemplo de ellos son los productos lcteos, los granos, los artculos de limpieza, los licores, etc. Los nmeros tambin constituyen un conjunto, siendo cada uno de ellos un elemento del mismo.

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Captulo II: CONJUNTOSAs mismo pudiramos citar conjuntos de sillas, mesas, alumnos, bicicletas, etc., donde cada conjunto queda definido por las caractersticas de los elementos que lo componen. Notacin y Representacin: Para definir un conjunto utilizamos LETRAS MAYSCULAS, y se representan grficamente a travs de 3 tcnicas: Diagrama de Venn.1 .2 .5 .4 .3 -3 -2 -1 0 1 2 3

Diagrama Lineal

Entre llaves

P= {, -2, -1, 0, 1, 2,}

Ejemplo: Represente los siguientes conjuntos a travs de las 3 tcnicas anteriores: a. El conjunto de nmeros enteros pares mayores que -6 y menores que 4. Represente el conjunto con la letra P. b. El conjunto de nmeros naturales mltiplos de 4. Represente el conjunto con la letra X. Solucin: a. El conjunto de nmeros enteros pares mayores que -3 y menores que 4. Diagrama de Venn-4 0 -2 2-4 -2 0 2

Diagrama Lineal P

Entre llaves

P= {-4, -2, 0, 2}

b. El conjunto de nmeros naturales mltiplos de 4. Diagrama de Venn4 2 12 16 4 8 12

Diagrama Lineal X

Entre llavesX= {4, 8, 12, 16,}

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Captulo II: CONJUNTOSDefinicin de conjunto Analicemos cmo definir un conjunto a travs de un ejemplo prctico: 1. Jorge Prez y su esposa Mara Andrade tienen 2 hijos. Es decir que los hijos de ambos tienen como apellidos Prez Andrade (en ese orden). Jorge y Mara viven en una pequea ciudad, que llamaremos X, donde solamente ellos y sus 2 hijos tienen como apellidos los antes mencionados. Los nombres que se mencionan a continuacin pertenecen a un listado del colegio donde estudian los hijos de Jorge y Mara: Pedro y Diana Pedro Prez Andrade Jorge Crespo Bermdez Laura Prez Pealoza Diana Prez Andrade Carlos Moreno

Dado que en la ciudad X solamente Jorge, Mara y sus 2 hijos poseen los apellidos Prez y Andrade, podemos afirmar que los nombres de los hijos estn contenidos en la lista anterior. Entonces podemos definir el conjunto formado por los hijos de Jorge y Mara (al cual identificaremos como J) de las siguientes maneras: J = personas de la ciudad X que poseen los apellidos Prez Andrade (en ese orden) J = Pedro Prez Andrade y Diana Prez Andrade. En el primer caso hemos definido el conjunto (J) a travs de la caracterstica especfica que deben tener los elementos para pertenecer al mismo. A este tipo de definicin le llamamos Definicin por comprensin. En el segundo caso hemos definido el conjunto (J) mencionando uno a uno los elementos que lo conforman. En este caso hemos realizado una Definicin por extensin.3

Captulo II: CONJUNTOS2. Definamos a continuacin, por extensin y por comprensin el conjunto de los nmeros naturales N menores que 7.Por extensin: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Por comprensin:

Esta caracterstica determinante del conjunto tambin podra expresarse a travs de notacin simblica (que es la que usualmente utilizamos en Matemtica), quedando de la siguiente forma:

LISTA DE SMBOLOS Aproximadamente igual y o Si, entonces, s y solo si pertenece es subconjunto de no es subconjunto de tal que existe no existe para todo (x, y) par ordenado A x B producto cartesiano unin interseccin diferencia simtrica

Pongamos en prctica lo antes aprendido: Ejemplo: Defina por comprensin y extensin los siguientes conjuntos: a. Conjunto de los nmeros primos menores que 20. b. Conjunto de divisores de 48. Solucin: a. Por extensin: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

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Por comprensin: P = {

/ x es primo

}

b. Por extensin: D= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24} Por comprensin: D = { D={ No olvides que: Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con la caracterstica que define al mismo; entonces su relacin de pertenencia con en conjunto se expresa de la siguiente forma y se lee es divisor de 48} }

Relacin entre conjuntos Existe un concepto fundamental en la definicin de los conjuntos, el cual enunciaremos antes de comenzar a abordar las relaciones entre los mismos.

Conjunto referencial o universal Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de

referencia

El Conjunto referencial o Universal se representa grficamente con un rectngulo, y se simboliza con la letra U. Complemento de un conjunto: Dado un conjunto A, que forma parte de un universo U, el complemento del conjunto A lo constituyen los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A. El complemento se denota Ac o A y se lee A complemento5 3 7 9 4 1. 2. 3. 6 5 A

U


El conjunto vaco es aquel que no tiene elementos. Se simboliza: Por ejemplo: A travs de la notacin simblica podemos representar el complemento de un conjunto como:

Segn la figura anterior podemos definir por extensin los conjuntos como:

Ejemplo: De acuerdo con la representacin grfica diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a. El conjunto A forma parte del universo U b. El elemento p forma parte del complemento del conjunto A. c. El conjunto Ac est formado por igual cantidad de elementos que el conjunto A.

.h .j .n .e .c

.a .f 4. .d .p .k .l

A

U

Solucin: a. Verdadero, grficamente queda representado el conjunto A dentro del universo U, por lo cual puede afirmarse que A forma parte de U. b. Falso, el elemento p forma parte del conjunto A, y los elementos que componen un conjunto nunca pueden ser parte del complemento de dicho conjunto. c. Falso. El conjunto A = {d, f, k, l, p}, es decir est compuesto por 5 elementos.

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Captulo II: CONJUNTOSEl conjunto Ac = {a, c, e, h, j, n}, es decir est compuesto por 6 elementos. Por lo tanto el conjunto A contiene un elemento menos que su complemento Ac. Relacin de contenencia Un conjunto M est contenido en un conjunto N si y solo si todos los elementos que conforman el conjunto M tambin pertenecen al conjunto N. Dicha relacin se simboliza y se lee M est contenido en N. Tambin

es comn expresar que M es subconjunto de N. En smbolos:

Ejemplo:Segn el ejemplo representado grficamente:

Y

2 6 3 8

X

a. Defina los conjuntos representados por el mtodo extensivo. b. Exprese, si existe, la relacin de contenencia de los conjuntos. c. Diga si es verdadera la siguiente afirmacin: Si

Solucin: a.

b. Relacin de contenencia: c. Falso.

, se lee

Pues todos los elementos que componen el conjunto forman parte del conjunto Pues los elementos forman parte del conjunto

tambin

, que forman parte del conjunto , no

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Captulo II: CONJUNTOSRelacin de igualdad Se puede afirmar que dos conjuntos son iguales cuando cada uno contiene exactamente los mismos elementos, independientemente del orden que tengan los elementos en el conjunto. Por ejemplo: El conjunto T est formado por los nmeros pares menores que 8 y el 1. El conjunto R est formado por el nmero 1 ms los nmeros pares menores que 8 en orden descendente. Dichos conjuntos son idnticos pues:

Con notacin simblica podemos representar dicha relacin as:

Donde conjuntos.

representa cada uno de los elementos que componen dichos

Operaciones entre conjuntos Unin de conjuntos La unin de 2 conjuntos , se representa como , y su significado

queda expresado como la unin de todos los elementos que conforman a cada uno de los elementos por separado. Se lee como F unin G.

Por ejemplo:A

Si A =

y B= =

1 2

3

4 5

6

B

Podemos decir que

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Captulo II: CONJUNTOSSegn la representacin grfica puntos. Para reflexionar: Cul sera el conjunto Interseccin de conjuntos si ? comprende toda el rea rellena con

La interseccin elementos que analizados, y ( interseccin

de conjuntos comprende los son comunes a los conjuntos se representa como ).

Nota: Dos conjuntos son disjuntos cuando su interseccin es nula, es decir que no tienen ningn elemento en comn, entonces

Tomando como base el ejemplo anterior Teniendo en cuenta la teora anteriormente estudiada sobre la relacin de contenencia de 2 conjuntos, y aplicando lo antes expuesto sobre interaccin de conjuntos podemos decir que: Si A , entonces (realiza la representacin grfica de esta

propuesta, para comprobar la veracidad de la misma) Para reflexionar: Cul sera el valor de Diferencia entre conjuntos: Hasta el momento hemos definido la unin entre 2 conjuntos representados grficamente como: Tambin enunciamos la interseccin de 2 conjuntos, vistos grficamente la imagen es la siguiente: Colocando una imagen sobre otra, podemos ver claramente que nos faltan dos reas que no hemos analizado de modo independiente, las cuales representamos a continuacin: si ?

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Realizando un anlisis similar a los hechos anteriormente podemos deducir que: El rea azul corresponde con los elementos que pertenecen a y no a , de que no

igual modo en el rea roja se ubican los elementos del conjunto pertenecen al conjunto

Es as que podemos plantear que dichas reas representan la diferencia entre los conjuntos, en el caso del rea azul corresponde con la diferencia en el caso del rea roja la frmula asociada es Simblicamente podemos definir dichas reas como: . ,y

rea de color azul: rea de color rojo:Diferencia simtrica: Definimos como diferencia simtrica a los elementos que pertenecen a no pertenecen a La notacin para dicha diferencia simtrica es simtrica B. y se lee A diferencia y

, tambin podemos escribir: ,

Grficamente estaramos hablando de la suma de las reas roja y azul del ejemplo anterior, es decir:

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Creo que ya estamos listos para comenzar la resolucin de ejercicios sobre Teora de conjuntos, no te parece? Entonces,

ADELANTE!

Ejercicios Resueltos:1. Determine por comprensin o extensin, segn sea el caso, los siguientes conjuntos: a) b) c) d) e) Solucin: a) b) c) d) e)

2. Si:11


Solucin: Los elementos que estn en B y no estn en A son:

3. Determina la cardinalidad (nmero de elementos) del conjunto que consta de los nmeros enteros mayores que Solucin: El conjunto es: y menores que .

La cardinalidad del conjunto es

.

4. Solucin: Los elementos de son: y todos ellos son tambin elementos de

5. Juan, Jos, Luis, Mario, Alfredo, Rubn, Roberto, Bruno, Adrin, Fernando, Daniel y Andrs estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubn y Roberto practican natacin. Jos, Mario, Alfredo Roberto, Bruno y Andrs juegan ftbol. Cules nios hacen deporte? Solucin: Llamamos al conjunto de nios que nadan, es decir:

Y

al de los nios que juegan ftbol:

Ahora formamos la coleccin de nios que practican algn deporte:

Quines practican los dos deportes?

6. Determina por comprensin los siguientes conjuntos.

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7. De acuerdo a los siguientes datos.

Determine por extensin los siguientes conjuntos: Solucin:

,(

( 8. De los 40 alumnos del curso, 18 se inscribieron en el campeonato de ftbol y 15 en el de ajedrez. Adems se sabe que 9 alumnos de los que juegan ajedrez no se inscribieron para el campeonato de ftbol. Represente la situacin en un diagrama de Venn y luego responda: Cuntos alumnos se anotaron para los dos campeonatos? Cuntos no se inscribieron para ninguno? Cuntos se inscribieron solamente para el campeonato de ftbol? SOLUCIN: El problema se resuelve fcilmente en un diagrama de Venn-Euler

F1213

A6 9

Como en total suman 27, entonces restan 13 alumnos del curso total de 40 Respuestas: Nmero de estudiantes para los dos campeonatos: 613

Captulo II: CONJUNTOSNmero de estudiantes que no se inscribieron a ninguno: 13 Nmero de estudiantes que se inscribieron solo a ftbol: 12

9. En un aula de 40 estudiantes, a 25 les gusta las matemticas y a 18 les gusta la biologa, a cuntos estudiantes les gusta las dos asignaturas?, a cuntos les gusta solo las matemticas? A cuntos les gusta solo la biologa?. Veamos como planteamos el problema: Total de alumnos: 40 Les gusta las matemticas: 25. Les gusta la biologa: 18 Hagamos un grfico para describir el problema:

Total del Curso: 40Matemticas Biologa

Podemos observar que, al dividir las regiones de los crculos, es necesario hacer clculos para encontrar el valor de la incgnita , que representa, claro est, el nmero de estudiantes que gustan de las dos materias a la vez, para lo cual hacemos un poco de lgebra:

Despejando , Hacemos nuevamente el grfico, y.Total del Curso: 40

Matemticas

22

Biologa

3

15

14

Captulo II: CONJUNTOSDe tal manera que ya podemos contestar las preguntas: Nmero de estudiantes que les gusta las dos materias: 3 Nmero de estudiantes que les gusta solo las matemticas: 22 Nmero de estudiantes que les gusta solo la biologa: 15 Viste, muy fcil.

Ejercicios Propuestos1.- Determina por comprensin los siguientes conjuntos.

2.- De acuerdo a los siguientes datos.

Determine por extensin los siguientes conjuntos: )CC C

(

C C

3.- Un grupo de 20 nios realizan sus tareas. Para ello han pedido a sus padres que les faciliten papeles de colores, semillas, y pinturas de agua. Se sabe que 15 utilizan las semillas, 13 utilizan pinturas de agua, y todos utilizan papeles de colores. Determine cuntos nios utilizaron los 3 tipos de materiales? 4.- Para los siguientes conjuntos:

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Captulo II: CONJUNTOSRepresente los tres conjuntos en un diagrama de Venn. Defina en cada diagrama qu elementos conforman los siguientes conjuntos.

a) b) c) d) e) 5.- En un colegio 770 alumnos estudian ingls; 530 alemn y 250 portugus. Adems, 400 estudian ingls y alemn; 170 ingls y portugus; 130 alemn y portugus; 100 ingls, alemn portugus; 50 no estudian idiomas. Cuntos alumnos tiene el colegio? Cuntos estudian solamente dos idiomas? 6.- Un grupo de jvenes fue entrevistado sobre sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, moto y auto). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: Moto solamente: 5 Moto: 38 No gustan de auto: 9 Moto y bicicleta, pero no auto: 3 Moto y auto pero no bicicleta: 20 No gustan de bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la moto: 61 a) Cul fue el nmero de personas entrevistadas? b) A cuntos le gustaba la bicicleta solamente? c) A cuntos le gustaba el auto solamente? d) A cuntos les gustaba las tres cosas? e) A cuntos le gustaba la bicicleta y el auto pero no la moto?16

Captulo II: CONJUNTOS7.- Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C revel los siguientes datos: 126 personas consuman C. 124 personas no consuman A. 36 personas no consuman A ni B. 170 personas consuman por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consuman A y C. 40 personas consuman los tres productos. 56 personas no consuman B. Cuntas personas consuman solamente B? Cuntas personas consuman A y B? Cuntas personas consuman solamente A?

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Captulo II: CONJUNTOSBIBLIOGRAFAAyra, Jagdish C. y Lardner, Robin W. Matemticas aplicadas a la administracin y la economa Ed. Pearson Educacin, Mxico 2002. Bosch, Carlos, Gmez Claudia lgebra Ed. Santillana S.A. Mxico, 2006. Chvez, Hugo; Salgado, Diana; y otros Introduccin al Clculo. Edicin para el Docente. Ed. Santillana S.A., Bogot, 2004. Haeussler F., Ernest Jr. Matemticas para administracin y economa. Dcima Edicin Ed. Pearson Educacin, Mxico 2003. http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos http://recursostic.educacion.es/descartes/web/http://www.mister-wong.es/groups/+Galois/ Misset, L. et Garraux, E. Mathmatiques. Fichier-Guide de llve Ed. Hachette Lyces, France 1991.

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