Inferência para duas populações

Capítulo 13, Estatística Básica(Bussab&Morettin, 8a Edição)

7a AULA – 27/04/2015

MAE229 - Ano letivo 2015Lígia Henriques-Rodrigues

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1. Introdução

Os dois capítulos anteriores apresentaram intervalos de confiança e testes dehipóteses para o parâmetro de uma única população (a média µ, a variânciaσ2 ou uma proporção p).

Neste capítulo iremos comparar duas populações P1 e P2, baseados emdados fornecidos por amostras dessas populações, que suporemos seguiremdistribuições normais.

Objetivo:Responder a questões do tipo: O método A é melhor do que o B?

Em termos estatísticos, a questão anterior equivale a comparar doisconjuntos de informações, resultantes das medidas obtidas da aplicação dosdois métodos a dois conjuntos de objetos ou indivíduos.

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Uma das dificuldades é a de caracterizar adequadamente a "igualdade" ou"equivalência" entre duas populações.

Exemplo: Suponha que estamos interessados em saber se os alunos deduas regiões, A e B, tiveram desempenhos iguais num mesmo teste nacional.

É necessário especificar a forma da distribuição. Especificada a forma, aigualdade dos parâmetros que identificam a curva implica a igualdade dasduas populações.

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Neste capítulo trataremos de várias situações:

Inferências para duas médias: amostras independentes

Aqui temos dados na forma de duas amostras, extraídasindependentemente de cada população. É muito comum emexperimentos do tipo "controle" versus "tratamento", nos quais ointeresse principal é verificar o efeito desse último.

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Modelo

As v.a.’s X1, . . . ,Xn representam as respostas do grupo de controle e sãov.a.’s independentes com distribuição P1.

As v.a.’s Y1, . . . ,Ym representam as respostas do grupo de tratamento e sãov.a.’s independentes com distribuição P2.

Além disso, X1, . . . ,Xn e Y1, . . . ,Ym são independentes entre si.

A hipótese a ser testada é:H0 : P1 = P2,

ou seja, queremos testar a homogeneidade das populações de onde asamostras foram recolhidas.

Suponhamos que P1 ∼ N(µ1, σ21) e P2 ∼ N(µ2, σ

22)

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A estratégia para comparar duas populações, por meio de seus parâmetrosenvolve suposições sobre a forma das distribuições, para depois testarmédias e variâncias.

É comum estarmos interessados em testar apenas que P1 e P2 difiram emlocalização, isto é, a alternativa a H0 é que P1 esteja à direita de P2, ou aocontrário, mas que ambas têm a mesma dispersão. Nesse caso, H0 seráequivalente a

H0 : ∆ = µ1 − µ2 = 0.

Outro caso interessante é aquele em que queremos testar se as duas médiassão iguais, mas as variâncias são diferentes. Neste caso, seria necessárioum teste preliminar de igualdade de variâncias.

As hipóteses apresentadas dizem-nos que não há efeito do tratamento. Aalternativa usual para H0 é que o efeito do tratamento aumenta as respostas,isto é, P2 gera maiores valores do que P1, com maior frequência. Mas podeocorrer o contrário: diminuir as respostas.

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Inferências para duas médias: amostras dependentes

Quando se comparam as médias de duas populações, pode ocorrer umadiferença significativa por causa de fatores externos não controlados. Ummodo de contornar esse problema é coletar as observaçes em pares, demodo que os dois elementos de cada par sejam homogêneos em todosos sentidos, exceto no que diz respeito ao fator que queremos comparar.

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Inferências para duas variâncias: amostras independentes

Como vimos, podemos testar se duas amostras independentes provêmde duas populações com variâncias iguais, mas desconhecidas. Esseteste, sob a suposição de normalidade das duas populações, usa umaestatística que tem uma distribuição especial, chamada F de Snedecor.

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Comparação das variâncias de duas populaçõesnormais

Queremos testar

H0 : σ21 = σ2

2 ⇐⇒σ2

1

σ22

= 1 versus H1 : σ21 6= σ2

2 ⇐⇒σ2

1

σ226= 1

O estimador de σ21 é S2

1 = 1n−1

∑ni=1

(Xi − X

)2

A estatística de teste para σ21 é U =

(n−1)S21

σ21∼ χ2

n−1

O estimador de σ22 é S2

2 = 1m−1

∑mi=1

(Xi − X

)2

A estatística de teste para σ22 é V =

(m−1)S22

σ22∼ χ2

m−1

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e portanto

W =S2

1

S22

=

σ21U

n − 1σ2

2Vm − 1

=σ2

1

σ22

Un − 1

Vm − 1

, onde U ∼ χ2n−1 e V ∼ χ2

m−1

Sob a validade da hipótese nula:

S21

S22

=

Un − 1

Vm − 1

∼ F (n − 1,m − 1),

onde F (n − 1,m − 1) representa a distribuição F deSnedecor com n − 1 em − 1 graus de liberdades. Assim a estatística de teste é

W =S2

1

S22∼H0

F (n − 1,m − 1)

NOTA: Na prática consideramos o quociente S21

S22

de tal forma que w0 =s2

1s2

2> 1.

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Dado α (nível de significância), a RC é uma reunião de caudas, em que cadacauda tem peso α/2, sendo necessário determinar os quantis da distribuiçãoF , f1 e f2 que satisfazem a condição:

P {f1 ≤W ≤ f2} = 1− α, P(W < f1) = α/2 = P(W > f2).

Tendo em conta a tabela da distribuição F , os quantis f1 e f2 são dados por

f1 = f n−1;m−11−α

2f2 = f n−1;m−1

α2

,

tendo-se ainda a seguinte relação entre eles

f n−1;m−11−α

2=

1f m−1;n−1α2

.

A RC é então,

RCα = (0, f1) ∪ (f2,∞)

P {W ∈ RCα} = P {W < f1 ou W > f2} = α.

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Calculado o valor observado da estatística de teste, w0 = s21/s

22, a decisão a

tomar é a deNão rejeitar H0 se f1 ≤ w0 ≤ f2Rejeitar H0 se w0 < f1 ou w0 > f2

Caso tivéssemos rejeitado a hipótese nula, seria conveniente obter umintervalo de confiança para o quociente das duas variâncias. Quandoσ2

1 6= σ22 ,

W =S2

1/σ21

S22/σ

22

=U/(n − 1)

V/(m − 1)∼ F (n − 1,m − 1),

e para um dado γ, 0 < γ < 1, podemos encontrar f1 e f2, tais que

P {f1 ≤ F (n − 1,m − 1) ≤ f2} = γ ⇐⇒ P{

f1 ≤S2

1

S22

σ22

σ21≤ f2

}= γ

logo,

IC(σ22/σ

21 ; γ) =

(f1

s22

s21, f2

s22

s21

).

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Quantis da distribuição F de SnedecorExemplo: Calcule f 12;10

0.05 e f 8;90.95.

Distribuicao F de Snedecor a 5% (p=0.05)p=0,05

FFt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20 30 40 60 1202 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.42 19.43 19.43 19.44 19.45 19.46 19.47 19.48 19.493 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.71 8.70 8.69 8.67 8.66 8.62 8.59 8.57 8.554 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.87 5.86 5.84 5.82 5.80 5.75 5.72 5.69 5.665 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.64 4.62 4.60 4.58 4.56 4.50 4.46 4.43 4.406 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.96 3.94 3.92 3.90 3.87 3.81 3.77 3.74 3.707 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.53 3.51 3.49 3.47 3.44 3.38 3.34 3.30 3.278 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.24 3.22 3.20 3.17 3.15 3.08 3.04 3.01 2.979 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.03 3.01 2.99 2.96 2.94 2.86 2.83 2.79 2.7510 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.86 2.85 2.83 2.80 2.77 2.70 2.66 2.62 2.5811 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.74 2.72 2.70 2.67 2.65 2.57 2.53 2.49 2.4512 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.64 2.62 2.60 2.57 2.54 2.47 2.43 2.38 2.3413 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.55 2.53 2.51 2.48 2.46 2.38 2.34 2.30 2.2514 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.48 2.46 2.44 2.41 2.39 2.31 2.27 2.22 2.1815 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.42 2.40 2.38 2.35 2.33 2.25 2.20 2.16 2.1116 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.37 2.35 2.33 2.30 2.28 2.19 2.15 2.11 2.0617 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.33 2.31 2.29 2.26 2.23 2.15 2.10 2.06 2.0118 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.29 2.27 2.25 2.22 2.19 2.11 2.06 2.02 1.9719 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.26 2.23 2.21 2.18 2.16 2.07 2.03 1.98 1.9320 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.22 2.20 2.18 2.15 2.12 2.04 1.99 1.95 1.9021 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.20 2.18 2.16 2.12 2.10 2.01 1.96 1.92 1.8722 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.17 2.15 2.13 2.10 2.07 1.98 1.94 1.89 1.8423 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.15 2.13 2.11 2.08 2.05 1.96 1.91 1.86 1.8124 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.13 2.11 2.09 2.05 2.03 1.94 1.89 1.84 1.7925 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.11 2.09 2.07 2.04 2.01 1.92 1.87 1.82 1.7726 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.09 2.07 2.05 2.02 1.99 1.90 1.85 1.80 1.7527 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.08 2.06 2.04 2.00 1.97 1.88 1.84 1.79 1.7328 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.06 2.04 2.02 1.99 1.96 1.87 1.82 1.77 1.7129 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.05 2.03 2.01 1.97 1.94 1.85 1.81 1.75 1.7030 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.84 1.79 1.74 1.6840 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.95 1.92 1.90 1.87 1.84 1.74 1.69 1.64 1.5860 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.86 1.84 1.82 1.78 1.75 1.65 1.59 1.53 1.47120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.78 1.75 1.73 1.69 1.66 1.55 1.50 1.43 1.35

Tabela 5: Quantis da Distribuicao F para probabilidade p = P [F ≥ Ft] = 0, 05. Graus de liberdade do numerador dado no topo e do denominador na margem esquerda.

5

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Exemplo (pág 373): Queremos verificar se duas máquinas produzem peçascom a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão (considereα = 0.10). Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças da máquina Ae oito peças da máquina B, e obtivemos as seguintes resistências:

Máquina A: 145; 127; 136; 142; 141; 137Máquina B: 143; 128; 132; 138; 142; 133; 134; 138.

Construa um intervalo de confiança, a 90%, para σ2B/σ

2A e para σ2

A/σ2B.

[Nota: s2A = 40 e s2

B = 26.6]

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Comparação de duas populações normais: amostrasindependentes

Sejam P1 ∼ N(µ1, σ21) e P2 ∼ N(µ2, σ

22).

A hipótese a testar é

H0 : ∆ = 0 ⇐⇒ µ1 = µ2,

contra a alternativa (Fig. 13.2 (c))

H1 : ∆ < 0 ⇐⇒ µ1 < µ2,

ou se estivermos interessados apenas em verificar se existe diferença entreas médias das duas populações, não importando a direção,

H1 : ∆ 6= 0 ⇐⇒ µ1 6= µ2.

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Os estimadores da média e da variância são:

X =1n

n∑i=1

Xi , S21 =

1n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2;

Y =1m

m∑i=1

Yi , S22 =

1m − 1

m∑i=1

(Yi − Y

)2.

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1o Caso: Variâncias conhecidas

Sob a validade de H0, isto é, quando µ1 = µ2,

E(X − Y ) = 0,

Var(X − Y ) = Var(X ) + Var(Y ) =σ2

1n

+σ2

2m,

e portanto, a estatística

Z =X − Y√

σ21/n + σ2

2/m∼H0

N(0,1)

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2o Caso: Variâncias desconhecidas, mas iguaisSe a hipótese de igualdade das variâncias não foi rejeitada então podemossupor que as variâncias populacionais são iguais, mas não conhecidas.

Como S21 e S2

2 são dois estimadores não enviesados de σ2, podemoscombiná-los para obter um estimador comum

S2p =

(n − 1)S21 + (m − 1)S2

2n + m − 2

=

∑ni=1(Xi − X )2 +

∑ni=1(Yi − Y )2

n + m − 2

que também é um estimador não viesado de σ2. Além disso, temos ainda que

(n + m − 2)S2p

σ2 ∼ χ2(n + m − 2)

A estatística de teste é então

T =(X − Y )− (µ1 − µ2)

Sp

√1n

+1m

∼tn+m−2

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Com base na estatística anterior, podemos construir um intervalo deconfiança para ∆ = µ1 − µ2:

P{−tα

2 ;n+m−2 ≤X − Y − (µ1 − µ2)

Sp

√1n

+1m

≤ tα2 ;n+m−2

}= 1− α

P{

X−Y−tα2 ;n+m−2Sp

√1n

+1m≤ µ1−µ2 ≤ X−Y +tα

2 ;n+m−2Sp

√1n

+1m

}= 1−α

IC1−α(µ1 − µ2) ={

(x − y)± tα2 ;n+m−2sp

√1n

+1m

}

Como o intervalo de confiança corresponde à região de aceitação do testebilateral, então:

Se 0 ∈ IC1−α(µ1 − µ2) então não rejeitamos hipótese µ1 = µ2.Se 0 /∈ IC1−α(µ1 − µ2) então aceitamos a hipótese µ1 6= µ2.

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Exemplo (pág. 376-377): Duas técnicas de vendas são aplicadas por doisgrupos de vendedores: a técnica A, por 12 vendedores, e a técnica B, por 15vendedores. Espera-se que a técnica B produza melhores resultados. Nofinal de um mês, obtiveram-se os resultados da tabela 13.1.

Teste, para o nível de significância de 5%, se há diferenças significativasentre as vendas resultantes das duas técnicas, supondo que as vendassejam normalmente distribuídas e que σ2

A = σ2B.

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3o Caso: Variâncias desconhecidas, mas diferentes

Quando a hipótese de igualdade das variâncias for rejeitada, devemos usar aestatística

T =X − Y√S2

1n + S22

m

,

que sob a validade de H0 : µ1 = µ2, segue distribuição t-Student com ν grausde liberdade,

ν =(A + B)2

A2

n−1 + B2

m−1

, A =s2

1n, B =

s22

m.

Como o valor de ν é geralmente um numero fracionário, deve-se arredondarpara o inteiro mais próximo para obter o número de graus de liberdade.

7a aula (27/04/2015) MAE229 22 / 27

Exemplo (pág. 378): Queremos testar as resistências de dois tipos de vigasde aço, A e B. Tomando-se n = 15 vigas do tipo A e m = 20 vigas do tipo B,obtemos

xA = 70,5 s2A = 81,6

xB = 84,3 s2B = 210,8.

Admita que as variâncias populacionais são desconhecidas e diferentes.Teste, para o nível de significância de 5%, se há diferenças significativasentre as resistências dos dois tipos de vigas de aço, supondo que asresistências são normalmente distribuídas.

7a aula (27/04/2015) MAE229 23 / 27

Comparação de duas populações normais: amostrasdependentes

Consideremos as amostras X1, . . . ,Xn e Y1, . . . ,Yn, de igual dimensão, emque as observações são pareadas,

(X1,Y1), . . . , (Xn,Yn).

Definindo a v.a. D = X − Y , teremos a amostra D1, . . . ,Dn, resultante dasdiferenças entre os valores de cada par.

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População NormalVamos então assumir que a v.a. D tem distribuição normal N(µD, σ

2D).

Mostra-se que

D =1n

n∑i=1

Di =1n

n∑i=1

(Xi − Yi ) = X − Y ∼ N(µD,

σ2D

n

).

Considerando o estimador não enviesado da variância σ2D

S2D =

1n − 1

n∑i=1

(Di − D)2,

mostra-se que a estatística

T =

√n(D − µD)

SD∼ tn−1.

Nota: µD = E(D) = E(X − Y ) = E(X )− E(Y ) = µX − µY .

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Podemos também construir um intervalo de confiança para µD. Assim,

P{−tα

2 ;n−1 ≤√

n(D − µD)

SD≤ tα

2 ;n−1

}= 1− α

P{

D − tα2 ;n−1SD/

√n ≤ µD ≤ D + tα

2 ;n−1SD/√

n}

= 1− α

IC1−α(µX − µY = µD) ={

d ± tα2 ;n−1sD/

√n}.

Como o intervalo de confiança corresponde à região de aceitação do testebilateral, então:

Se 0 ∈ IC1−α(µD) então não rejeitamos hipótese µX = µY .Se 0 /∈ IC1−α(µD) então aceitamos a hipótese µX 6= µY .

7a aula (27/04/2015) MAE229 26 / 27

Exemplo (pág. 379: Cinco operadores de certo tipo de máquinas sãotreinados em máquinas de duas marcas diferentes, A e B. Mediu-se o tempoque cada um deles gasta na realização de uma mesma tarefa, e osresultados estão na Tabela 13.8

Com o nível de significância de 10%, poderíamos afirmar que a tarefarealizada na máquina A demora mais do que a tarefa realizada na máquinaB?

7a aula (27/04/2015) MAE229 27 / 27