CAPÍTULO 3. Modelos DEA en presencia de entradas y …bibing.us.es/proyectos/abreproy/4493/fichero/CAPITULO+3.pdf · (free disposal hull), introducida en el capítulo anterior. Como

Capítulo 3 Modelos DEA en presencia de entradas y salidas enteras.

47

CAPÍTULO 3. Modelos DEA en presencia de entradas y salidas enteras.

1. Introducción.

En este capítulo del proyecto, se desarrollarán un conjunto de modelos DEA cuyas entradas y salidas deben ser números enteros. Existen multitud de ejemplos en donde es conveniente el uso de entradas y salidas enteras en el modelo (recursos o productos que se miden en unidades enteras y que además son especialmente importantes). Los modelos DEA convencionales proyectan las unidades productivas sobre puntos de operación (targets) que en general no respetan este tipo de restricciones. El método que se plantea resuelve este problema mediante un modelo mixto de programación entera que garantiza que los targets a los que tienden las unidades productivas sean números enteros. Tradicionalmente, este problema se ha venido resolviendo en 2 fases:

a) Planteamiento del modelo tradicional DEA.


48

b) Redondeo de los targets resultantes para conseguir la integridad de las entradas y salidas.

Más adelante en el siguiente apartado veremos cómo realizar

este redondeo de los targets del modelo tradicional. Ante los inconvenientes de esta técnica de resolución, se propone en este capítulo un modelo de resolución diferente, que va a consistir en un nuevo tipo de modelo DEA que toma únicamente valores enteros para las entradas y las salidas, garantizando de esta forma que los resultados cumplan la condición de integridad. Como ya se ha comentado en el anterior capítulo de introducción al DEA, uno de los puntos fuertes de la herramienta es su carácter no paramétrico, ya que sólo es necesario conocer la cantidad de recursos que cada unidad consume (entradas) y la cantidad de producción que cada unidad genera (salidas) para medir su eficiencia relativa. Esto se consigue extrapolando de las entradas y salidas observadas un conjunto de puntos de operación admisibles que definen la tecnología. Tanto la de Retornos de Escala Constante (CRS) como la de Retornos de Escala Variable (VRS), consideran puntos admisibles a las combinaciones lineales de las entradas y salidas de las DMU’s existentes. En primer lugar se introducirán algunas técnicas de redondeo para obtener valores de las entradas y/o de las salidas enteros. Después recordaremos la notación a utilizar para las dos tecnologías posibles (CRS y VRS). A continuación se verá el cuerpo central de este capítulo, que son los modelos DEA con variables enteras, para ambas tecnologías (CRS y VRS) y para las dos posibles orientaciones (entrada o salida) así como para el caso aditivo. Se realizarán algunas consideraciones sobre el modelo FDH. Para comprobar el modelo entero realizaremos las pruebas del sistema.

2. Posibles soluciones de redondeo alternativas.

Como se ha mencionado en el apartado anterior, es relativamente común en DEA que algunas de las entradas (por ejemplo, número de empleados, número de ordenadores de sobremesa, el número de vehículos, etc.) y/o salidas (por ejemplo, número de casos resuelto por una unidad policíaca, el número de preguntas debidamente contestado por un estudiante, etc.) sea entera. Usando únicamente las tecnologías definidas en el capítulo anterior, las dimensiones que toman los valores de entrada o salida podrían ser no enteros y esto lleva al hecho de que la proyección de la DMU eficiente (con la orientación cualquier que se use) no sea factible porque sus correspondientes entradas o salidas no son enteros. Por esto se hace


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necesaria una segunda fase en la cual se realizaría un redondeo de los targets resultantes para conseguir la integridad de las entradas y salidas.

Unas veces porque las cantidades manejadas son pequeñas y otras porque el coste o importancia de la unidad de una entrada o salida son grandes, o la unión de las dos (cantidad y coste), realizar un redondeo heurístico de las proyecciones continuas de DEA no es razonable. Además, idear el citado método de redondeo no es algo del todo trivial. En general, redondeando por exceso los valores fraccionarios de la salida y/o redondeando por defecto la entrada usando un modelo DEA convencional puede llevar a un punto que esté fuera del conjunto de posibilidades de producción. La figura 3.2.1 muestra un caso simple de orientación de salida con una sola entrada constante y dos salidas enteras. Si para la DMU D, cuyo valor no es entero, redondeamos por defecto la salida 2 llegaríamos a una proyección D- dentro del conjunto de posibilidades de producción, pero sin embargo en el caso de redondear en exceso, la misma salida 2, la proyección D+ que resulta quedará fuera de este conjunto, con lo cual el resultado no sería valido.

A D

D

DB

C

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

y2

y1

-

+

Figura 3.2.1. Efecto del redondeo en un caso simple de orientación de salida con una sola

entrada constante y dos salidas enteras.

Análogamente, en la figura 3.2.2 se muestra un caso simple de orientación de entrada con dos entradas enteras y una sola salida constante. En este caso, redondeando por defecto la entrada 2, con valor fraccional, de la DMU D' se llega a una proyección D'– que es imposible. Por el contrario si el redondeo efectuado hubiese sido en exceso, la proyección D'+ que obtendríamos sería válida al pertenecer al conjunto de posibilidades de producción.


50

A'

D'D'

B'

C'

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

+

D'-

x1

x2

Figura 3.2.2. Efecto del redondeo en un caso simple de orientación de entrada con dos

entradas enteras y una sola salida constante. De lo visto anteriormente, podría extraerse la conclusión de que el método de redondeo más fiable que hemos de seguir es el de redondear hacia abajo en el caso de las salidas y por exceso en el caso de las entradas. Sin embargo, esto no genera siempre una solución óptima, puesto que en general, el punto que obtengamos mediante este redondeo puede ser dominado débilmente por otro perteneciente al conjunto de posibilidades de producción, resultando el punto obtenido mediante redondeo claramente ineficiente. Así, la figura 3.2.1 muestra cómo redondeando hacia abajo la salida 2 de la DMU D se llega a una proyección D- que es dominada por la DMU B existente. De igual manera, la figura 3.2.2 muestra cómo redondeando por exceso la entrada 2 de la DMU D’ se llega a una proyección D'+ que es dominada por la DMU B' existente. Con lo cual, lo que en un principio podría parecer un buen método para solucionar el problema planteado, resulta ser en ocasiones poco aconsejable dado que puede derivar en soluciones que no son eficientes.

Existe la posibilidad de, en vez de hacer un redondeo en las proyecciones efectuadas en el modelo DEA continuo, utilizar la tecnología FDH (free disposal hull), introducida en el capítulo anterior. Como fue expuesto este modelo puede manejar entradas y salidas enteras, debido a que las unidades proyectadas deben coincidir con las DMU’s existentes. Como podrá comprobarse en este capítulo, lejos de mejorar los resultados, esta tecnología empeora los resultados obtenidos.


51

Los modelos que vamos a introducir en el siguiente apartado, resultan ser simples e intuitivos y serán de gran utilidad en la resolución de problemas en los cuales algunas de las entradas y/o salidas deban de ser enteras. La estructura del modelo es similar a un modelo DEA convencional excepto que las restricciones de integridad le hacen ser un modelo MILP (Mixed Integer Linear Programming).

3. Notación.

Para hacer una distinción clara de los conceptos que se van a abordar en este capítulo se recuerda a continuación la notación. Si xij e ykj son respectivamente las cantidades de entrada i y salida k, correspondientes a la DMUj para i = 1, 2, ..., m , k = 1, 2, ..., p y j = 1, 2, ..., n; jxr e jyr los vectores

columnas correspondientes para cada DMUj y X = ( 1xr , 2xr , ..., nxr ) e Y = ( 1yr , 2yr ,

..., nyr ) las matrices completas de entrada y salida. Los posibles conjuntos productivos correspondientes a las tecnologías CRS y VRS son:

( ) ( ) ,0,...,,:, 21⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≥∀≥∃= λλλλλλrrrrrr YyXxjyxT jnCRS

( ) ( ) .10,...,,:, 21⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≥=∀≥∃= ∑ λλλλλλλrrrrrr YyXxjyxT

jjjnVRS

Para cada una de estas tecnologías la frontera eficiente (la eficiencia técnica en el caso de VRS) es un subconjunto del correspondiente conjunto de posibilidades de producción formado por todos los puntos no dominados que operan:

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ){ } .,','''',':, CRSCRSCRSef

CRS TyxyxyyxxTyxTyxT ⊂=⇔≥≤∈∀∈=rrrrrr

Irrrrrr

Es decir, para el caso con tecnología CRS, si el punto ( )yx rr, pertenece al conjunto de posibilidades de producción, encontrándose en la frontera eficiente, para cualquier otro punto ( )',' yx rr también perteneciente al conjunto de posibilidades de producción se cumple que no podemos obtener ningún otro punto eficiente si partimos del punto ( )yx rr, e intentamos reducir la entrada y aumentar la salida simultáneamente. La siguiente figura clarifica lo dicho en el párrafo anterior:


52

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Entrada (x)

Salid

a (y

) (x, y)

(xA', yA')

(xB', yB')

Figura 3.3.1. Interpretación gráfica del conjunto ef

CRST .

Al intentar reducir la entrada desde el punto ( )yx, (caso “A” de la figura en azul) reduciendo la entrada (desplazamiento horizontal), para no abandonar el conjunto de posibilidades de producción, es necesario reducir la salida (desplazamiento vertical). Asimismo, en el caso “B” (en verde) al aumentar la salida (desplazamiento vertical) es necesario a su vez aumentar la entrada (desplazamiento horizontal). Reducir la entrada y aumentar la salida simultáneamente no es posible como se ha observado en los casos “A” y “B”. El realizar una de las dos acciones (reducir la entrada o aumentar la salida) nos obliga a realizar la acción contraria a la que nos quedaría por realizar, es decir, tendríamos que aumentar la entrada o disminuir la salida, según si la primera acción hubiese sido realizada sobre la salida o la entrada. Como en la definición de la frontera eficiente se establece que la nueva entrada eficiente debe de ser menor o igual ( )'xx ≥ y que la nueva salida eficiente debe de ser mayor o igual ( )'yy ≤ el punto al que llegamos es el mismo punto de partida ( )yx, , (línea roja).

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ){ } .,','''',':, VRSVRSVRSef

VRS TyxyxyyxxTyxTyxT ⊂=⇔≥≤∈∀∈=rrrrrr

Irrrrrr


53

El caso de la tecnología VRS sería similar, con la excepción de

que se debe de cumplir que 11

=∑=

n

jjλ y en lugar de frontera eficiente es

eficiencia técnica.

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Entrada (x)

Salid

a (y

)

(x, y)

(xA', yA')

(xB', yB')

Figura 3.3.2. Interpretación gráfica del conjunto ef

VRST .

Como vemos en la figura anterior no podemos, partiendo del punto eficiente ( )yx, , encontrar un nuevo punto eficiente reduciendo la entrada y aumentando la salida al mismo tiempo, puesto que esto significaría abandonar el conjunto de posibilidades de producción. Análogamente al caso anterior, se puede llegar a las mismas afirmaciones. Así, para el caso “A” (en azul) se ha disminuido la entrada (desplazamiento horizontal) pero esto ha traído consigo la correspondiente disminución de la salida (desplazamiento vertical) para que el punto de operación siga perteneciendo al conjunto de posibilidades de producción. Análogo es el caso “B” (en verde) en el que se ha operado de forma contraria, se ha comenzado aumentando la salida (desplazamiento vertical) pero forzosamente nos vemos obligados a aumentar la entrada (desplazamiento horizontal) para que el punto siga perteneciendo al conjunto de posibilidades de producción. Por lo tanto se concluye, al igual que en el caso anterior para la tecnología CRS, que si procedemos a buscar un nuevo punto eficiente, partiendo de otro que también lo es, reduciendo la entrada y aumentando la salida a la vez el punto al que llegamos es el mismo punto inicial ( )yx, del cual hemos partido.


54

4. Modelos DEA con variables enteras.

En este apartado se introducen los modelos DEA que resuelven

el problema planteado en el capítulo 2. De forma similar a como se hizo en el capítulo anterior, se irán presentando los diferentes modelos en función del escenario que se pueda plantear en el problema.

Así, se ha dividido el capítulo en la consideración de las diferentes orientaciones posibles: entrada/salida/sin orientación predefinida.

4.1. Modelo con orientación de entrada.

4.1.1. Modelo CRS.

Se realizará la definición del modelo DEA propuesto para el caso de la tecnología CRS y posteriormente se introducirá el caso de la tecnología VRS.

Si I = {1,2,…, m} y O = {1,2,…, p} son respectivamente los conjuntos de entradas y salidas de un problema DEA, y sean I' ⊆ I y O' ⊆ O los subconjuntos de las correspondientes entradas y salidas que deben ser valores enteros. Evidentemente, todos los valores de xij e ykj observados deben ser enteros y por tanto i ∈ I' y k ∈ O'. Con todo lo anterior podemos definir el conjunto de posibilidades de la siguiente forma:

( ) ( )

,

'

'

0,...,,:,

'

21

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈∀

∈∀

≤≥∀≥∃

=

∑∑

Okenteroy

Iienterox

yyxxjyx

T

k

i

jkjjk

jijjijn

CRS

)

)

)))r)r λλλλλλ

Como definición, se puede afirmar que una DMUJ es CRS

eficiente-entero si ningún otro punto de operación con valores enteros le domina, es decir, si se cumple que:

( ) [ ] [ ] ( ) ( )JJJJCRS yxyxyyxxTyx rr)r)rr)rI

r)r)r)r ,,', =⇔≥≤∈∀

La frontera de la tecnología CRS eficiente-entero es el conjunto

de los puntos de operación enteros no dominados, es decir:


55

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ){ } CRSCRSef

CRS TyxyxyyxxTyxT ',,',' ⊂=⇔≥≤∈=)r)rrr)rr

I)rr)r)r

Si una DMUJ existente es CRS eficiente, entonces también es

CRS eficiente-entero, es decir:

( ) ( ) ( )efCRSJJ

efCRSJJ TyxTyx ',, ∈⇒∈

rrrr

Se puede demostrar que es una consecuencia directa de las

definiciones de ambos conjuntos y del hecho de que:

a) Las DMU’s existentes son valores enteros y pertenecen por tanto a T’CRS.

b) El conjunto de posibilidades de producción de valores enteros CRS está

incluido en la tecnología CRS.

Hay que hacer notar que, aunque las DMU’s CRS eficientes son también CRS eficiente-entero, lo contrario no es cierto. Es decir, puede haber unidades CRS eficiente-entero que cuando son relajadas las restricciones de integridad podría ser dominada por algún otro punto de operación.

Esta última idea es representada gráficamente en el siguiente ejemplo, contenido en la figura 3.4.1, donde para simplificar, se considerarán dos entradas enteras y una salida constante.


56

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x1

x2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DMU1

DMU4

DMU5

DMU6

DMU2

DMU3

Figura 3.4.1. Ilustración de seis DMU’s que operan con tecnología CRS, con dos entradas

enteras y una salida constante.

Puede observarse cómo las DMU2 y DMU3 son CRS eficientes y también son CRS eficientes-entero, pero sin embargo la DMU5 (4, 3) es únicamente CRS eficiente-entero y no es CRS eficiente.

El siguiente modelo MILP mide la mejora que puede desarrollar cada una de las unidades existentes en esta nueva tecnología.

',',

,0,,0,,0

:.

OkenterayIienteraxlibre

kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMIN

kiJ

kkiij

kkJk

kj

kjj

iiJJi

ij

ijj

kk

iiJ

∈∀∈∀

∀≥∀≥∀≥

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+−

+

−

+−

∑

∑

∑∑

θ

λ

λ

θ

λ

εθ


57

Este modelo tiene n +2(m + p) + 1 variables, de las cuales una es libre y |I ' | + |O ' | son enteras. El número de restricciones es 2(m + p). Es el típico modelo de dos fases con orientación de entrada que busca la máxima reducción radial de todas las entradas y la subsiguiente apuración de entradas y salidas mediante la maximización de las holguras. Lo que lo hace diferente es las restricciones de integridad impuestas sobre las dimensiones de entrada y salida que son enteras. De la solución óptima del modelo resulta:

a) La reducción radial CRS entera θJ*.

b) Las holguras adicionales que resultan hi

-*, ∀i; hk+*, ∀k.

c) Un punto de operación objetivo con dimensiones enteras (x*

1, ..., x*m, y*

1, ..., y*

p).

Una DMUJ existente es eficiente-entera si y sólo si θJ* = 1, hi

-* = 0, ∀i, hk

+* = 0, ∀k.

Se demuestra a continuación que la anterior afirmación es una condición necesaria y suficiente.

Respecto a la condición necesaria, hay que hacer notar que si θJ

*<1, ó ∃hi-*>0, ó ∃hk

+*>0, entonces el punto de operación objetivo obtenido pertenecería a T’CRS, no coincidiría con DMUJ pero le dominaría, con lo que por definición no sería CRS eficiente-entero.

Que es condición suficiente se demuestra por reducción al absurdo, asumiendo que la proposición no se cumple, y viendo que se llega a una contradicción. Si existe una DMUJ que cumple que θJ

*=1, hi-*=0, ∀i, hk

+*=0, ∀k y no es CRS eficiente-entero, por definición debe haber algún punto de operación entero ( x

)r , y)r ) ∈ T’CRS con ( x

)r , y)r ) ≠ ( Jxr , Jyr ) que lo domine, es decir.

JJ yyexx r)rr)r≥≤

Como ( x

)r , y)r ) ∈ T’CRS, debe existir un vector de landas (λ1, λ2, …,

λn) con λj ≥ 0, ∀j tal que:

kyyyixxj

kjjkj

ijji ∀≤∀≥ ∑∑ λλ ))


58

Como se cumple la condición de que Jxx r)r≤ e Jyy r)r

≥ , debe haber

un vector ( 1λ)

, 2λ)

, …, nλ)

) jλ)

≥ 0 tal que:

kyyyixxj

kjjkj

ijji ∀=∀= ∑∑ λλ))))

La solución del modelo propuesto es:

kyhyy

ixhxx

kJkkJk

iJiiJJi

∀≥+=

∀≤−=

+

−

))

))) θ

Como ( x

)r , y)r ) ∈ T’CRS, debe ser un valor entero en las dimensiones

I’ y O’, y como ( x)r , y)r ) ≠ ( Jxr , Jyr ), al menos una de las desigualdades debe ser

estricta, es decir, ó θJ*<1, y/ó ∃hi

-*>0, y/ó ∃hk+*>0, lo que es seguro que:

( ) ( ) 1*** =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−<⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+− ∑∑∑∑ +−+−

kk

iiJ

kk

iiJ hhhh

)))))εθεθ

Lo que significa que se ha encontrado una solución admisible

para el modelo propuesto que posee una mejor función objetivo que la supuestamente solución óptima, llegándose a una contradicción (c. q. d.).

El valor de eficiencia proporcionada por el modelo CRS entero nunca es menor que el proporcionado por el modelo CRS tradicional

( )** CRSJJ θθ ≥ para cada DMUJ.

Es una consecuencia directa del hecho de que el conjunto de

posibilidades de producción CRS con valores enteros está contenido en el conjunto CRS, T’CRS ⊂ TCRS.

4.1.2. Modelo VRS. Una vez vista la tecnología CRS se considera a continuación el caso VRS, y cómo queda transformado el modelo entero con orientación de entrada.

Utilizamos la misma notación que en la tecnología CRS. Si I = {1,2,…, m} y O = {1,2,…, p} son respectivamente los conjuntos de entradas y salidas de un problema DEA, y sean I' ⊆ I y O' ⊆ O los subconjuntos de las


59

correspondientes entradas y salidas que deben ser valores enteros. Evidentemente, todos los valores de xij e ykj observados deben ser enteros y por tanto i ∈ I' y k ∈ O'. Con todo lo anterior podemos definir el conjunto de posibilidades de la siguiente forma:

( ) ( )

,

'

'

10,...,,:,

'

21

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈∀

∈∀

≤≥=∀≥∃

=

∑∑∑

Okenteroy

Iienterox

yyxxjyx

T

k

i

jkjjk

jijji

jjjn

VRS

)

)

)))r)r λλλλλλλ

Puede observarse que en esta ocasión los componentes del

vector λj deben sumar 1. Análogamente al caso de la tecnología CRS, se tiene que para la

tecnología VRS, una DMUJ es VRS eficiente-entero si ningún otro punto de operación con valores enteros le domina, es decir, si se cumple que:

( ) [ ] [ ] ( ) ( )JJJJVRS yxyxyyxxTyx rr)r)rr)vI

r)r)r)r ,,', =⇔≥≤∈∀

La frontera de la tecnología VRS eficiente-entero (la eficiencia

técnica) es el conjunto de los puntos de operación enteros no dominados, es decir:

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ){ } VRSVRSef

VRS TyxyxyyxxTyxT ',,',' ⊂=⇔≥≤∈=)r)rrr)rr

I)rr)r)r

En la tecnología VRS se cumple también que si una DMUJ

existente es VRS eficiente, entonces también es VRS eficiente-entero, es decir:

( ) ( ) ( )efVRSJJ

efVRSJJ TyxTyx ',, ∈⇒∈

rrrr

Al igual que en la tecnología CRS, podemos demostrar para la

tecnología VRS que es una consecuencia directa de las definiciones de ambos conjuntos y del hecho de que:

a) Las DMU’s existentes son valores enteros y pertenecen por tanto a T’VRS.


60

b) El conjunto de posibilidades de producción de valores enteros VRS está incluido en la tecnología VRS.

Hay que hacer notar que, aunque las DMU’s VRS eficientes son

también VRS eficiente-entero, lo contrario no es cierto. Es decir, puede haber unidades VRS eficiente-entero que cuando son relajadas las restricciones de integridad podría ser dominada por algún otro punto de operación.

Esta afirmación queda más clara si observamos la figura 3.4.2, donde se ha considerado una entrada entera y una salida entera.

Puede observarse que las DMU3, DMU4 y DMU5 son VRS eficientes y además VRS eficientes-entero, pero la DMU6 (5, 5) sólo es VRS eficiente-entero.

2

4

6

1

3

5

x

y

1 2 4 5 63

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

7 8

8

7

Figura 3.4.2. Interpretación de seis DMU’s que operan con tecnología, VRS con una entrada y

una salida.

A continuación presentamos el modelo MILP que nos servirá para medir la mejora que puede desarrollar cada una de las unidades existentes en esta nueva tecnología.


61

',',

,0,,0,,0

1

:.


kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMIN

kiJ

kkiij

jj

kkJk

kj

kjj

iiJJi

ij

ijj

kk

iiJ

∈∀∈∀

∀≥∀≥∀≥

=

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+−

+

−

+−

∑

∑

∑

∑∑

θ

λ

λ

λ

θ

λ

εθ

Este modelo tiene n +2(m + p) + 1 variables, de las cuales una es

libre y |I ' | + |O ' | son enteras. El número de restricciones es de 2(m + p) + 1. La diferencia respecto al modelo BCC-I radica de nuevo en la integridad de las restricciones impuestas sobre las dimensiones de entrada y salida que son enteras. De la solución óptima del modelo resulta:

a) La reducción radial VRS entera θJ*.


-*, ∀i; hk+*, ∀k.


1, ..., x*m, y*

1, ..., y*

p).

Una DMUJ existente es eficiente-entera si y sólo si θJ*=1, hi

-*=0, ∀i, hk

+*=0, ∀k.

Al igual que hicimos para la tecnología CRS, se demostrará que la anterior afirmación es una condición necesaria y suficiente. Esta demostración queda recogida en el Anexo.


62

4.2. Modelo con orientación de salida.

4.2.1. Modelo CRS.

Hay que hacer notar al igual que se hizo en el caso con orientación de entrada que, aunque las DMU’s CRS eficientes son también CRS eficiente-entero, lo contrario no es cierto. Es decir, puede haber unidades CRS eficiente-entero que cuando son relajadas las restricciones de integridad podría ser dominada por algún otro punto de operación.

Que las DMU’s CRS eficiente-entero no tienen por qué ser CRS eficientes queda claro al observar la figura 3.4.3, donde para una entrada continua y constante y dos salidas enteras, la DMU5 (7, 6) es CRS eficiente-entera pero no CRS eficiente y por el contrario las DMU3 y DMU4 son tanto CRS eficientes como CRS eficientes-entero.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y1

y2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DMU1 DMU5

DMU6

DMU2

DMU4

DMU3

Figura 3.4.3. Ilustración para un caso de seis DMU’s que operan con tecnología CRS, con una

entrada constante y dos salidas enteras.



63

',',

,0,,0,,0

:.


kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMAX

kiJ

kkiij

kkJkk

kj

kjj

iiJi

ij

ijj

kk

iiJ

∈∀∈∀

∀≥∀≥∀≥

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+−

+

−

+−

∑

∑

∑∑

γ

λ

γ

λ

λ

εγ


libre y |I ' | + |O ' | son enteras. El número de restricciones es de 2(m + p). De la solución óptima del modelo resulta:

a) La ampliación radial CRS entera γJ*.


-*, ∀i; hk+*, ∀k.


1, ..., x*m, y*

1, ..., y*

p).

Una DMUJ existente es eficiente-entera si y sólo si γJ* = 1, hi

-* = 0, ∀i, hk

+* = 0, ∀k.

Se demuestra a continuación que la anterior afirmación es una condición necesaria y suficiente.

Respecto a la condición necesaria, hay que hacer notar que si γJ

*>1, ó ∃hi-*>0, ó ∃hk

+*>0, entonces el punto de operación objetivo obtenido pertenecería a T’CRS, no coincidiría con DMUJ pero le dominaría, con lo que por definición no sería CRS eficiente-entero.

Que es condición suficiente se demuestra por reducción al absurdo, asumiendo que la proposición no se cumple, y viendo que se llega a una contradicción. Si existe una DMUJ que cumple que γJ

*=1, hi-*=0, ∀i, hk

+*=0,


64

∀k y no es CRS eficiente-entero, por definición debe haber algún punto de operación entero ( x

)r , y)r ) ∈ T’CRS con ( x

)r , y)r ) ≠ ( Jxr , Jyr ) que lo domine, es decir.

JJ yyexx r)rr)r≥≤

Como ( x

)r , y)r ) ∈ T’CRS, debe existir un vector de landas (λ1, λ2, …,

λn) con λj ≥ 0, ∀j tal que:

kyyyixxj

kjjkj

ijji ∀≤∀≥ ∑∑ λλ ))

Como se cumple la condición de que Jxx r)r

≤ e Jyy r)r≥ , debe existir

un vector ( 1λ)

, 2λ)

, …, nλ)

) jλ)

≥ 0 tal que:

kyyyixxj

kjjkj

ijji ∀=∀= ∑∑ λλ))))

La solución del modelo propuesto es:

kyhyy

ixhxx

kJkkJJk

iJiiJi

∀≥+=

∀≤−=

+

−

))

))

γ

Como ( x

)r , y)r ) ∈ T’CRS, debe ser un valor entero en las dimensiones

I’ y O’, y como ( x)r , y)r ) ≠ ( Jxr , Jyr ), al menos una de las desigualdades debe ser

estricta, es decir, ó γJ*>1, y/ó ∃hi

-*>0, y/ó ∃hk+*>0, con lo que se cumple que:

( ) ( ) 1*** =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++>⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++ ∑∑∑∑ +−+−

kk

iiJ

kk

iiJ hhhh

))))) εγεγ

Lo que significa que hemos encontrado una solución admisible

para el modelo propuesto que posee una mejor función objetivo que la supuestamente solución óptima, llegándose a una contradicción (c. q. d.).

El valor de eficiencia proporcionada por el modelo CRS entero nunca es mayor que el proporcionado por el modelo CRS tradicional

( )** CRSJJ γγ ≤ para cada DMUJ ya que la eficiencia es inversamente proporcional

a la amplificación radial γJ.


65

Es una consecuencia directa del hecho de que el conjunto de

posibilidades de producción CRS con valores enteros está contenido en el conjunto CRS, T’CRS ⊂ TCRS.

4.2.2. Modelo VRS.

A continuación se procede a analizar el modelo para la tecnología VRS.


',',

,0,,0,,0

1

:.


kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMAX

kiJ

kkiij

jj

kkJJk

kj

kjj

iiJi

ij

ijj

kk

iiJ

∈∀∈∀

∀≥∀≥∀≥

=

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+−

+

−

+−

∑

∑

∑

∑∑

γ

λ

λ

γ

λ

λ

εγ


libre y |I ' | + |O ' | son enteras. El número de restricciones es de 2(m + p) + 1. De la solución óptima del modelo resulta:

a) La ampliación radial VRS entera γJ*.


-*, ∀i; hk+*, ∀k.


1, ..., x*m, y*

1, ..., y*

p).


66

Una DMUJ existente es eficiente-entera si y sólo si γJ* = 1, hi

-* = 0, ∀i, hk

+* = 0, ∀k.

De nuevo es necesario demostrar que la anterior afirmación es una condición necesaria y suficiente. Y al igual que para la tecnología CRS la demostración esta incluida en el Anexo.

4.3. Modelo aditivo.

Como se explicó en el capítulo anterior en el caso del modelo aditivo, sólo se hacen máximas las holguras de las entradas o salidas discrecionales, que son las entradas o salidas que pueden variar su valor, ya que con las demás se carece de capacidad de decisión. El modelo resultante de considerar esta métrica a la hora de proyectar las unidades eficientes sobre la frontera CRS-entero anteriormente definida sería el siguiente.

','

,0,,0,,0

:.

OkenterayIienterax

kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMAX

ki

kkiij

kkJk

kj

kjj

iiJi

ij

ijj

kk

ii

∈∀∈∀

∀≥∀≥∀≥

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−

+

−

+−

∑

∑

∑∑

λ

λ

λ

En el caso de la tecnología VRS-entera definimos el modelo como sigue a continuación:


67

','

,0,,0,,0

1

:.

OkenterayIienterax

kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMAX

ki

kkiij

jj

kkJk

kj

kjj

iiJi

ij

ijj

kk

ii

∈∀∈∀

∀≥∀≥∀≥

=

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−

+

−

+−

∑

∑

∑

∑∑

λ

λ

λ

λ

Se puede demostrar que las unidades eficientes-entera se distinguen por el hecho de que hi

-*=0, ∀i, hk+*0, ∀k. La demostración es similar

a la propuesta en el caso CRS-I entero y CRS-O entero, con la consideración de eliminar la variable Jθ y Jγ del razonamiento respectivamente. Debido a esta similitud se ha preferido incluir dicha demostración al Anexo.

5. Algunas consideraciones sobre el modelo FDH.

Como se comento en el apartado 7 del capítulo anterior, el modelo Free Disposal Hull tiene como característica fundamental el proyectar sobre las unidades productivas existentes. Es obvio por tanto que su solución proporciona una alternativa admisible al caso de variables enteras.

Con respecto al modelo FDH, el correspondiente conjunto de posibilidades de producción y subconjunto eficiente son respectivamente.

( ) ( ) { }

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) FDHFDHFDHef

FDH

jjjnFDH

TyxyxyyxxTyxTyxT

YyXxjyxT

⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇔≥≤∈∀∈=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≥=∀∈∃= ∑

rrrrrrI

rrrrrr

rrrrrr

,','''',':,

,11,0,...,,:, 21 λλλλλλλ


68

Desde todos los puntos que operan en el FDH el subconjunto eficiente ef

FDHT corresponde a la DMU existente, las proyecciones obtenidas por esta aproximación:

a) Tendrán valores enteros en las dimensiones de entrada y salida I’ y O’ respectivamente, y

b) Serán alcanzables en el modelo MILP-DEA propuesto.

El valor de eficiencia del modelo FDH nunca será menor que el

proporcionado por el modelo entero CRS o VRS, según la tecnología utilizada,

( )** FDHJJ θθ ≤ para cada DMUJ, para el caso de orientación de entrada. Cuando

nos encontremos con un modelo con orientación de salida, el valor de eficiencia del modelo FDH nunca será mayor que el proporcionado por el

modelo CRS o VRS entero ( )** FDHJJ γγ ≥ para cada DMUJ. Es comprobable lo

anterior, debido a que la tecnología FDH está contenida en la tecnología VRS entera y por lo tanto también en la tecnología CRS entera.

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

C

B

A

D'D

Figura 3.5.1. Comparación solución modelo FDH y entero.

En la figura 3.5.1 se observa la diferencia al resolver un problema mediante el modelo FDH o el modelo entero. El modelo FDH toma como unidades eficientes las unidades existentes y proyecta sobre éstas las no eficientes, con lo cual la unidad D se proyectará sobre la unidad D si el problema es de orientación de entrada, mientras que el modelo entero nos hubiese proporcionado como solución la unidad D’.


69

Por tanto, imponer la tecnología FDH para solucionar el problema con variables enteras podría eliminar soluciones mejores que las simples proyecciones sobre las unidades existentes.

6. Pruebas del sistema.

Antes de realizar las pruebas del sistema y debido a que en los anexos están incluidos varios modelos realizados en la ejecución del proyecto, se va a realizar una pequeña descripción del programa utilizado y de cómo se efectúa su programación. El programa que se ha utilizado es el LINGO en su versión 8.0.

6.1. Breve descripción sobre el programa LINGO. La primera sección que se suele describir es la SET (conjuntos), dado que la única restricción es que se debe definir cualquier conjunto y sus atributos antes de que los mismos sean referenciados en las restricciones del modelo. La sección de conjuntos comienza con la palabra clave “SETS:” (incluyendo los dos puntos) y termina con la palabra “ENDSETS”. La lista de miembros del conjunto es aquélla que constituyen el conjunto, éstos pueden ser listados en forma explicita o implícita. Los miembros del conjunto pueden tener cero o más atributos especificados en la lista de atributos de la definición del conjunto. Un atributo es simplemente alguna propiedad que cada uno de los miembros del conjunto posee. De los diferentes tipos de conjuntos el que se utiliza en la resolución del modelo entero que vamos a aplicar es el primitivo. Los conjuntos primitivos son los objetos fundamentales en un modelo y no pueden ser desmenuzados en componentes más pequeños. La definición de un conjunto primitivo requiere:

• El nombre del conjunto. • Sus miembros (objetos contenidos en el conjunto). • Opcionalmente, cualquier atributo que los miembros del conjunto

puedan tener.


70

La sintaxis es la siguiente: nombre_conjunto / lista_miembros / [:lista_atributos]; Para nuestro caso es: DMUS: LAMBDA, X, Y; La siguiente sección es DATA, esta sección comienza con la palabra clave “DATA:” (incluyendo los dos puntos) y termina con la palabra “ENDDATA”. En esta sección definimos los valores que toman las diferentes variables. Con la línea “DMUS = 1..10;” lo que hemos definido es el tamaño del vector DMUS. Si no se define la naturaleza de las variables del problema, el programa interpretará que éstas son continuas. Para definir una variable como entera utilizamos el comando @GIN seguido del nombre de la variable (@GIN (TX);) y para definir una variable como real se utiliza el comando @FREE seguido del nombre de la variable (@FREE (GAMMA);), éstas sino estaban definidas antes quedan definidas ahora. El último paso que queda por realizar es el de las restricciones que se deben de cumplir entre las distintas variables, además de la función objetivo. Ésta última vendrá encabezada por la orden MIN o MAX según sea el caso. Para definir las restricciones que son efectuadas por sumatorios nos vamos a servir de una de ellas: @SUM (DMUS (J): LAMBDA (J)*X (J))=TX: La orden para efectuar el sumatorio que es la siguiente “@SUM”, después y entre paréntesis va el sumatorio a efectuar, donde se hace referencia al conjunto al cual pertenecen los atributos que se suman, por último el signo de la restricción y la variable a la cual se compara. A continuación, mediante la presentación y descripción de las capturas de pantallas se podrá seguir de una forma más cómoda los pasos a seguir en la programación del modelo.


71

Figura 3.6.1. Pantalla de inicio del programa Lingo.

Nada más ejecutar el programa Lingo nos aparecerá la pantalla presentada en la figura 3.6.1. Si por el contrario ya lo tenemos ejecutado y queremos programar un nuevo modelo, habrá que picar en el apartado “New” dentro del menú “File”, como se muestra en la figura 3.6.2.

Figura 3.6.2. Abrir un nuevo archivo desde el menú “File”.


72

Si lo que se va a realizar es abrir un archivo ya existente, se desplegará el menú “File” y se pulsará sobre la orden “Open”.

Figura 3.6.3. Abrir un archivo existente desde el menú “File”.

Una vez realizada la orden anterior hay que buscar la ubicación del archivo existente, como se muestra en la figura 3.6.4.

Figura 3.6.4. Búsqueda del archivo a ejecutar.


73

Una vez abierto el archivo, éste se visualizará como se muestra en la figura 3.6.5, donde se pueden distinguir las diferentes partes que componen la codificación del modelo (SET, DATA, función objetivo, restricciones…).

Figura 3.6.5. Programa codificado.

Para resolver el problema deberemos desplegar el menú “LINGO” y pulsar sobre “Solve”, como se muestra en la figura 3.6.6.

Figura 3.6.6. Procedimiento de resolución del problema.


74

Tras proceder a ordenar la resolución nos aparecerá la siguiente ventana, donde se nos informa sobre el estado de resolución del problema. Detalle que se refleja en la figura 3.6.7.

Figura 3.6.7. Pantalla del estado de resolución del problema.

Tras cerrar la ventana correspondiente al estado de resolución del problema, siempre que éste haya terminado, se observan las soluciones proporcionadas por el programa para las diferentes variables. Figura 3.6.8.


75

Figura 3.6.8. Solución de las variables del problema.

La última operación a realizar será guardar las soluciones obtenidas. Para realizar esta operación desplegamos el menú “File” y pulsamos sobre “Save as”, para poder elegir el nombre con el cual se guardará el archivo y donde será ubicado éste, como se muestra en la figura 3.6.9.

Figura 3.6.9. Operación de salvado de las soluciones obtenidas.


76

6.2. Prueba para el modelo con orientación de entrada VRS. Para comprobar las afirmaciones y ventajas del modelo entero se realizarán pruebas utilizando casos sencillos. Así, se solucionará un problema con tecnología VRS y orientación de entrada que tiene una única entrada y una única salida, de forma que se pueda comprobar de forma gráfica si la solución proporcionada por el modelo verifica las propiedades expuestas. Los valores de la entrada y salida entera son los mostrados en la tabla 3.6.1.

ENTRADA SALIDADMUX Y

1 5 1 2 7 3 3 3 4 4 1 1 5 6 6 6 6 4 7 3 2 8 9 1 9 9 6

10 8 5 Tabla 3.6.1. Valores iniciales de la prueba del sistema.

Cuya representación gráfica queda reflejada en la figura 3.6.10.

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU10

DMU9

DMU6

DMU7

DMU8


77

Figura 3.6.10. Representación de los valores iniciales de la prueba del sistema. Para resolver el modelo se ha utilizado el lenguaje de programación LINGO 8.0, y cuya codificación se encuentra en el Anexo a este capítulo.

La solución al modelo se encuentra en la siguiente tabla, indicándose las correspondientes proyecciones de las diferentes DMU’s, así como los valores de las eficiencias obtenidas, los valores de las holguras y de las variables lambdas.

ENTRADA SALIDADMU EFICIENCIA PROYECCION X Y

HX HY LAMBDA

1 0,200 4 1 1 0 0 λ4=1 2 0,429 3 3 4 0 1 λ3=1 3 1,000 3 3 4 0 0 λ3=1 4 1,000 4 1 1 0 0 λ4=1 5 1,000 5 6 6 0 0 λ5=1 6 0,500 3 3 4 0 0 λ3=1

7 0,667 7’ 2 2 0 0 λ3=0,333; λ4=0,625; λ8=0,042

8 0,111 4 1 1 0 0 λ4=1 9 0,667 5 6 6 0 0 λ5=1

10 0,625 10' 5 5 0 0 λ3=0,381: λ5=0,571: λ8=0,048

Tabla 3.6.2. Valores de las proyecciones de la prueba del sistema con orientación de entrada. La mayoría de las DMU’s se han proyectado sobre otras ya existentes, pero existen dos, la DMU7 y DMU10 que no se han proyectado sobre una DMU existente, sino sobre un punto no perteneciente a la frontera eficiente, pero que sin embargo sí es eficiente entero, posibilidad que ya se expuso en el apartado anterior. A continuación se representan las proyecciones de las diferentes DMU’s, obtenidas mediante la resolución del problema con el programa Lingo.


78

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU7

DMU10

DMU2=3=6

DMU1=4=8

DMU5=9

Figura 3.6.11. Representación de las proyecciones de la prueba del sistema.

Se aprovecha el hecho de tener solo una entrada y una salida para poder realizar la resolución del problema de forma gráfica, y de esta forma realizar la comparación con la solución obtenida mediante el programa informático. Al ser la resolución mediante la orientación de entrada, la primera fase es la reducción radial de las entradas, hasta el valor entero más bajo posible. Esto queda reflejado en la figura 3.6.12 que se muestra a continuación.

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU10

DMU9

DMU6

DMU7

DMU8

Figura 3.6.12. Representación gráfica de la reducción de las entradas.


79

El siguiente paso a ejecutar para que todas las DMU’s lleguen a la solución óptima es la segunda fase, éste se observa en la figura 3.6.13.

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU2

DMU3=6

DMU1=4=8

DMU5=9

DMU10

DMU7

Figura 3.6.13. Representación gráfica de la segunda fase en el caso de orientación de entrada. Con este último paso efectuado, mediante la resolución del problema de forma gráfica, se llega a la misma solución de las proyecciones que se represento en la figura 3.6.11 obtenidas por el programa Lingo. Esto demuestra con una sencilla prueba, para el caso de una entrada y una salida, la validez del modelo presentado. Queda por realizar la comparación con el modelo tradicional, en la siguiente figura 3.6.14 se observa la solución proporcionada por el modelo tradicional.


80

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU2

DMU3=6

DMU1=4=8

DMU5=9

DMU10

DMU7

Figura 3.6.14. Representación de las proyecciones de la prueba del sistema para el caso del

modelo tradicional. En la figura anterior 3.6.14, se observa como las DMU2, DMU7 y DMU10 tienen para sus entradas valores continuos, por lo tanto para llegar a la solución eficiente (variables de entrada enteras) se debería hacer algún tipo de redondeo. Es por esto que el nuevo modelo no es más que una aproximación más fina de los modelos ya existentes para el caso de variables enteras.

En la siguiente tabla 3.6.3 se observa que se cumple que el valor de eficiencia proporcionada por el modelo VRS entero nunca es menor que el proporcionado por el modelo VRS tradicional.

DMU EFICIENCIA MODELO

ENTERO )( *Jθ

EFICIENCIA MODELO TRADICIONAL *)( VRS

Jθ

1 0,200 0,200 2 0,429 0,333 3 1,000 1,000 4 1,000 1,000 5 1,000 1,000 6 0,500 0,500 7 0,667 0,556 8 0,111 0,111 9 0,667 0,667 10 0,625 0,563

Tabla 3.6.3. Comparación de las eficiencias entre los modelos entero y tradicional.


81

6.3. Prueba para el modelo con orientación de salida VRS. A continuación se realizan las pruebas del sistema para la orientación de salida, utilizando las mismas unidades que en el caso de orientación de entrada (tabla 3.6.1).

Al igual que se hizo para la orientación de entrada, se refleja en la tabla 3.6.4 la solución, indicándose las correspondientes proyecciones de las diferentes DMU’s, así como los valores de las eficiencias obtenidas, los valores de las holguras y de las variables lambdas.

ENTRADA SALIDADMU EFICIENCIA PROYECCION X Y

HX HY LAMBDA

1 5,000 1’ 5 5 0 0 λ3=0,381; λ5=0,571; λ8=0,048

2 2,000 5 6 6 1 0 λ5=1 3 1,000 3 3 4 0 0 λ3=1 4 1,000 4 1 1 0 0 λ4=1 5 1,000 5 6 6 0 0 λ5=1 6 1,500 5 6 6 0 0 λ5=1 7 2,000 3 3 4 0 0 λ3=1 8 6,000 5 6 6 3 0 λ5=1 9 1,000 5 6 6 3 0 λ5=1 10 1,200 5 6 6 2 0 λ5=1 Tabla 3.6.4. Valores de las proyecciones de la prueba del sistema con orientación de salida.

Como ocurrió en el caso de la orientación de entrada la mayoría de las DMU’s se han proyectado sobre otras ya existentes, salvo una la DMU1 que se ha proyectado sobre un punto no perteneciente a la frontera eficiente, pero que sin embargo sí es eficiente entero. Se representan a continuación las proyecciones de las diferentes DMU’s resultantes de la resolución del problema con el programa informático Lingo.


82

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU1

DMU3=7

DMU4

DMU2=5=6=8=9=10

Figura 3.6.15. Representación de las proyecciones de la prueba del sistema.

Al igual que hicimos en el caso de orientación de entrada, para el caso de orientación de salida se resuelve el problema de forma gráfica, gracias a que el problema solo tiene una entrada y una salida, y resulta ser su resolución intuitiva. Al tratarse de un problema con resolución mediante orientación de salida, la primera fase es la ampliación radial de las salidas, hasta el valor entero más alto posible. Esto queda reflejado en la figura 3.6.16 que se muestra a continuación.


83

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU10

DMU9

DMU6

DMU7

DMU8

Figura 3.6.16. Representación gráfica de la ampliación de las salidas.

El siguiente paso a ejecutar para que todas las DMU’s lleguen a la solución óptima es la segunda fase, éste se observa en la figura 3.6.17.

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU1

DMU2

DMU3=7

DMU4

DMU5=6 DMU10

DMU8=9

Figura 3.6.17. Representación gráfica de la segunda fase en el caso de orientación de salida.

Al realizar esta segunda fase se llega a la solución de las proyecciones que se represento en la figura 3.6.15, las cuales son las soluciones eficaces obtenidas de las dos formas.


84

Al igual que en el caso de la orientación de entrada se realiza la comparación con el modelo tradicional, en la siguiente figura 3.6.18 se muestra la solución proporcionada por el modelo tradicional para el caso de la orientación de salida.

2

4

6

8

1

3

5

7

x

y

2 4 6 8 101 3 5 7 9

DMU1

DMU3=7

DMU4

DMU2=5=6=8=9=10

Figura 3.6.18. Representación de las proyecciones de la prueba del sistema para el caso del

modelo tradicional. En la figura 3.6.18 se observa como la DMU1, mediante la resolución con el modelo tradicional, se ha proyectado sobre un punto que no es valido, esto es debido a que para la salida se tiene un valor no entero, y por lo tanto habría que efectuar un redondeo para llegar a un valor entero para la variable salida.

Que el valor de la eficiencia proporcionada por el modelo VRS entero nunca es mayor que el proporcionado por el modelo VRS tradicional queda reflejado en la tabla 3.6.5


85

DMU EFICIENCIA MODELO

ENTERO )( *Jγ

EFICIENCIA MODELO TRADICIONAL *)( VRS

Jγ

1 5,000 5,333 2 2,000 2,000 3 1,000 1,000 4 1,000 1,000 5 1,000 1,000 6 1,500 1,500 7 2,000 2,000 8 6,000 6,000 9 1,000 1,000 10 1,200 1,200

Tabla 3.6.5. Comparación de las eficiencias entre los modelos entero y tradicional. En resumen, se ha podido observar en este apartado que la resolución del modelo matemático mediante Lingo, cumple con las especificaciones y propiedades descritas en el apartado anterior.

Documents

CAPÍTULO 3. Modelos DEA en presencia de entradas y …bibing.us.es/proyectos/abreproy/4493/fichero/CAPITULO+3.pdf · (free disposal hull), introducida en el capítulo anterior. Como