Capítulo 3

O Modelo de Regressão Linear Simples: Especificação e Estimação

Introdução

Teoria Econômica Microeconomia: •Estudamos modelos de oferta e demanda (quantidades demandadas e oferecidas dependem do preço); •Estudamos funções de produção em que explicam a quantidade de um artigo produzido em função da quantidade de um insumo (ex trabalho) utilizado; Macroeconomia: •Estudamos funções investimento – explica que a quantidade de investimento agregado na economia depende da taxa de juros; •Estudamos funções consumo que relacionam o consumo agregado e o nível de renda disponível.

As especificações envolvem relacionamento entre variáveis econômicas. Estudaremos como utilizar uma amostra de dados econômicos para obter informações sobre tais relacionamentos.

Usaremos Modelos de Regressão Ex: Se o preço de um bem (variável) varia de uma certa maneira, de quanto variará a quantidade demandada ou ofertada? Ex: Se conhecemos o valor de uma variável, podemos prever o valor da outra?

3.1 Um Modelo Econômico

Estudaremos a relação entre renda familiar e despesa com alimentação. 1) Experimento: selecionar aleatoriamente residências em

uma população 2) Suponha que nos interessam residências com renda familiar

de $ 480 3) Chamaremos y – variável aleatória “despesa mensal com

alimentação” 4) A v.a. Y é contínua e tem uma função densidade de

probabilidade f(y)

5) Se x é a renda mensal da residência, f(y/x = $480) é a função densidade de probabilidade condicional.

6) A média condicional ou valor esperado de Y é Ou seja, é a despesa mensal média daquela pop. com alimentação. 7) A variância condicional de y é

|( | $480) y xE y x

2var( | $480)y x

3.1 Um Modelo Econômico

8) Análise econométrica: •Se a renda mensal aumenta de $20, de quanto, em média, aumentarão as despesas com alimentação? •É possível a despesa mensal cair quando a renda aumenta? •Qual é a despesa mensal com alimentação para uma família com renda de $800? 9) Construir um modelo econômico e em seguida um modelo econométrico ou estatístico. 10) Suponha que a relação consumo e renda sejam funções lineares. FUNÇÃO DE REGRESSÃO SIMPLES | 1 2( | ) y xE y x x

2

( | ) ( | )E y x dE y x

x dx

“” denota “mudança em”

(3.1.1)

(3.1.2)

3.2 Um Modelo Econométrico

Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples -I

• O valor médio de y, para cada valor de x, é dado pela regressão linear

1 2( )E y x

• Para cada valor de x, os valores de y se distribuem em torno do seu valor médio, seguindo distribuições de probabilidade que têm todas a mesma variância,

2var( )y • Os valores de y são todos não correlacionados e tem covariância zero. A implicação disso é que não existe qualquer associação linear entre eles.

cov( , ) 0i jy y

Essa hipótese pode se tornar mais forte se assumirmos que os valores de y são todos estatisticamente independentes.

• A variável x não é aleatória e deve assumir pelo menos dois valores diferentes

• (opcional) Os valores de y são normalmente distribuídos em torno de sua média para cada valor de x,

2

1 2~ [( ), ]y N x

3.2.1 Introduzindo o Termo de Erro

O termo de erro aleatório é

1 2( )e y E y y x

Rearranjando, temos

1 2y x e

y é a variável dependente; x é a variável explanatória ou independente

(3.2.1)

(3.2.2)

Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples -II

RS1. 1 2y x e

RS2. ( ) 0E e

1 2( )E y x

RS3. 2var( ) var( )e y

RS4. cov( , ) cov( , ) 0i j i je e y y

RS5. A variável x não é aleatória e deve assumir pelo menos dois valores diferentes.

RS6. (opcional) Os valores de e são normalmente distribuídos em torno de sua média 2~ (0, )e N

3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas

3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas Utilizar a informação amostral para estimar os parâmetros 1 e 2

3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas

3.3.1 O Princípio de Mínimos Quadrados

• A reta ajustada da regressão é

1 2ˆ

t ty b b x

• O resíduo de mínimos quadrados

1 2ˆ ˆt t t t te y y y b b x

• Qualquer outra reta ajustada

* * *

1 2ˆ

t ty b b x

• A reta de mínimos quadrados tem a menor soma de resíduos ao quadrado

2 2 *2 * 2ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )t t t t tte y y e y y

(3.3.1)

(3.3.2)

(3.3.3)

3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas

3.3.1 O Princípio de Mínimos Quadrados

• As estimativas de mínimos quadrados são obtidas pela minimização da função da soma de quadrados

2

1 2 1 2

1

( , ) ( )T

t t

t

S y x

• Obtenha as derivadas parciais

1 2

1

2

2 1

2

2 2 2

2 2 2

t t

t t t t

ST y x

Sx x y x

• Iguale as derivadas a zero

1 2

2

1 2

2( ) 0

2( ) 0

t t

t t t t

y Tb x b

x y x b x b

(3.3.4)

(3.3.5)

(3.3.6)

• Rearranjando a equação 3.3.6, temos duas equações usualmente conhecidas como equações normais,

1 2t tTb x b y 2

1 2t t t tx b x b x y • Fórmulas para as estimativas de mínimos quadrados

2 22

t t t t

t t

T x y x yb

T x x

1 2b y b x

Como essas fórmulas funcionam para qualquer dos valores da amostra de dados, elas são os estimadores de mínimos quadrados.

(3.3.7a)

(3.3.7b)

(3.3.8a)

(3.3.8b)

3.3.2 Estimativas para a Função de Despesa com Alimentação

2 22

2

(40)(3834936,497) (27920)(5212,520)

(40)(21020623,02) (27920)

0,1283

t t t t

t t

T x y x yb

T x x

1 2

130,313 (0,1282886)(698,0) 40,7676

b y b x

Um modo conveniente de mostrar os valores de b1 e b2 é escrever a reta de regressão estimada ou ajustada:

ˆ 40,7676 0,1283t ty x

(3.3.9a)

(3.3.9b)

(3.3.10)

3.3.3 Interpretação das Estimativas

• O valor b2 = 0,1283 é uma estimativa de 2, a quantidade que a despesa com alimentação cresce semanalmente quando a renda semanal aumenta em $1. Assim, nós estimamos que se a renda subir $100, as despesas semanais com alimentação aumentarão aproximadamente $12,83. • Estritamente falando, a estimativa de intercepto b1 = 40,7676 é uma estimativa do gasto semanal com alimentação para uma família com renda nula.

3.3.3a Elasticidades

• A elasticidade renda da demanda é um modo útil de caracterizar a resposta da despesa do consumidor à mudanças na renda. Dos princípios microeconômicos, a elasticidade de qualquer variável y em relação a outra variável x é

variação percentual em /

variação percentual em /

y y y y x

x x x x y

• Em um modelo econômico linear dado pela equação 3.1.1, nós mostramos que

2

( )E y

x

• A elasticidade da despesa “média” em relação à renda é

2

( ) / ( ) ( )

/ ( ) ( )

E y E y E y x x

x x x E y E y

(3.3.11)

(3.3.12)

(3.3.13)

( , ) (698,00,130,31)x y

• Um modo alternativo freqüentemente utilizado é mostrar a elasticidade no “ponto das médias”

já que é um ponto representativo da reta de regressão.

2

698,00ˆ 0,1283 0,687

130,31

xb

y

3.3.3b Previsão

Suponha que nós queremos prever a despesa semanal com comida para um domicílio com uma renda semanal de $750. Essa previsão é conduzida pela substituição de x = 750 na nossa equação estimada para obter

ˆ 40,7676 0,1283

40,7676 0,1283(750) $130,98

t ty x

Nós prevemos que um domicílio com uma renda semanal de $750 gastará $130,98 por semana em comida.

(3.3.14)

(3.3.15)

3.3.3c Exame da Saída do Computador

Dependent Variable: DESP.ALIM

Method: Least Squares

Sample: 1 40

Included observations: 40

VARIABLE Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 40.76756 22.13865 1.841465 0.0734

INCOME 0.128289 0.030539 4.200777 0.0002

R-squared 0.317118 Mean dependent var 130.3130

Adjusted R-squared 0.299148 S.D dependent var 45.15857

S.E. of regrression 37.80536 Akaike info criterion 10.15149

Sum squared resid 54311.33 Schwarz criterion 10.23593

Log likelihood -201.0297 F-statistic 17.64653

Durbin-Watson stat 2.370373 Prob(F-statistic) 0.000155

Figura 3.10 Saída da Regressão pelo EViews

3.3.4 Outro Modelo Econômico

• O modelo “log-log” 1 2ln( ) ln( )y x

• A derivada de ln(y) em relação a x é

[ln( )] 1d y dy

dx y dx

• A derivada de em relação a x é 1 2 ln( )x

1 22

[ ln( )] 1d x

dx x

• Colocando esses dois pedaços em igualdade um com o outro e resolvendo para 2:

2

dy x

dx y (3.3.16)